Miro-foundaions of maroeonomis (or Το υπόδειγμ Άριστης Οικονομικής Μεγέθυνσης) Α. Αποκεντρωμένη Οικονομί Υποθέστε μί κλειστή οικονομί η οποί πρτίζετι πό πλήθος όμοιων νοικοκυριών κι πλήθος όμοιων επιχειρήσεων. Συνεπώς, επιλέγουμε ν μελετήσουμε τη συμεριφορά του ντιπροσωπευτικού νοικοκυριού κι της ντιπροσωπευτικής επιχείρησης. Το ντιπροσωπευτικό νοικοκυριό επιλέγει πόσο θ κτνλώσει, πόσο θ εργσθεί κι πόσο θ ποτμιεύσει, με κριτήριο τη μεγιστοποίηση της διχρονικής του ευημερίς κι σεβόμενο τους εισοδημτικούς περιορισμούς που ντιμετωπίζει. Τις ποτμιεύσεις του τις επενδύει σε φυσικό κεφάλιο το οποίο δνείζει στην επιχείρηση κι γι το οποίο λμβάνει τόκο/πόδοση. Επίσης, προσφέρει εργσί στην επιχείρηση γι την οποί λμβάνει μισθό. Τέλος είνι γορστής των μετοχών της επιχείρησης κι ως εκ τούτου το εισοδημά του συμπληρώνετι πό τ μερίσμτ της επιχείρησης. Noe ha we have all basi onsumpion-saving-work deisions. Η ντιπροσωπευτική επιχείρηση πό την άλλη πλευρά πράγει έν μονδικό προϊόν χρησιμοποιώντς κεφάλιο κι εργσί. Επιλέγει την ποσότητ του κεφλίου κι της εργσίς που θ χρησιμοποιήσει με κριτήριο την μεγιστοποίηση των κερδών της. βεβιότητ. Υποθέτουμε δικριτό χρόνο, άπειρο χρονικό ορίζοντ κι πλήρη
A. Το πρόβλημ του ντιπροσωπευτικού νοικοκυριού Το ντιπροσωπευτικό νοικοκυριό επιλέγει πόσο θ κτνλώσει κι πόσο θ ποτμιεύσει/επενδύσει προκειμένου ν μεγιστοποιήσει τη διχρονική του ευημερί που δίνετι πό την πρκάτω σχέση: =0 β log () Όπου 0 < β < είνι ο συντελεστής χρονικής προεξόφλησης που δείχνει τον βθμό που το νοικοκυριό ενδιφέρετι γι τη μελλοντική του ευημερί σε σχέση με την σημερινή κι η κτνλωσή του την περίοδο. Noe ha he uiliy funion is inreasing and onave in is argumen. Ο εισοδημτικός περιορισμός που ντιμετωπίζει το νοικοκυριό σε κάθε χρονική περίοδο είνι ο κόλουθος: + i = r k + w l + π () Όπου i είνι η επένδυση την περίοδο, r είνι η μοιβή του κεφλίου την περίοδο, k είνι το φυσικό κεφάλιο στο τέλος της περιόδου ή στην ρχή της περιόδου, w ο μισθός την περίοδο, l η ποσότητ εργσίς την οποί τ νοικοκυριά προσφέρουν στην περίοδο κι π τ μερίσμτ που λμβάνει το νοικοκυριό πό τη λειτουργί της επιχείρησης. Γι λόγους λγεβρικής πλοποίησης κι μόνο θ υποθέσουμε ότι το νοικοκυριό προσφέρει νελστικά μί μονάδ εργσίς άρ l =. We assume ha he household λμβάνει τις ποφάσεις του πίρνοντς σν δεδομέν το ύψος της μοιβής του κεφλίου, r, το μισθό, w, κθώς κι τ μερίσμτ, π, ενώ είνι γνωστό το ύψος του
φυσικού κεφλίου στην ρχή της περιόδου, k (ha is, is as perfely ompeiively). Noe ha το ριστερό κομμάτι της () δίνει το σκέλος της δπάνης ενώ το δεξιό το σκέλος του εισοδήμτος. Η επένδυση δίνετι πό: i = k + ( ) k (3) δ Όπου k + είνι το φυσικό κεφάλιο στο τέλος της περιόδου ή στην ρχή της περιόδου + κι 0 δ είνι ο συντελεστής πόσβεσης του κεφλίου. Γι λόγους λγεβρικής πλοποίησης υποθέτουμε ότι δ =, δηλδή έχουμε πλήρη πόσβεση κεφλίου. Έτσι, λοιπόν το πρόβλημ του νοικοκυριού ξνγράφετι ως εξής: [ log + β log + β log +...] max 0, k + Ούτως ώστε σε κάθε χρονική περίοδο ν ικνοποιείτι ο κόλουθος εισοδημτικός περιορισμός: + k + = r k + w + π (4) Πρτηρώντς arefully το πρόβλημ διπιστώνουμε ότι μόνο δύο διδοχικές περίοδοι πίζουν ρόλο γι την άριστη επιλογή του κι του + k σε οποιδήποτε χρονική περίοδο, οπότε το πρόβλημ του νοικοκυριού είνι δυντό ν ξνγρφεί ως εξής: max, k +! [ log + log ] β (5) + 3
Ούτως ώστε ν ικνοποιείτι η (4). Λύνοντς την (4) ως προς κι ντικθιστώντς στην (5) κι γράφοντς την (4) μί περίοδο μπροστά, λύνοντς ως προς + κι ντικθιστώντς στην (5), μεττρέπουμε το πρόβλημ πό εν πρόβλημ με περιορισμούς σε έν πρόβλημ χωςρίς περιορισμούς: [ log( r k + w + k ) + β log( r k + w + π k )] max π + + + + + + (6), k +! Η συνθήκη πρώτης τάξης ως προς k + πό τη μεγιστοποίηση της (6) δίνει την κόλουθη σχέση: ( ) + = 0 = + β r + βr + (7) + Η εξίσωση (7) είνι η γνωστή εξίσωση Euler, η οποί δίνει τον διχρονικό λόγο υποκτάστσης μετξύ κτνάλωσης της περιόδου κι της περιόδου +. Οι εξισώσεις (7) κι (4) πρτίζουν έν σύστημ δύο εξισώσεων σε δύο γνώστους, and k. A. Το πρόβλημ της ντιπροσωπευτικής επιχείρησης Η ντιπροσωπευτική επιχείρηση χρησιμοποιεί κεφάλιο κι εργσί προκειμένου ν πράγει έν μονδικό γθό σύμφων με την κόλουθη συνάρτηση πργωγής: y = Ak l (8) 4
Όπου A > 0 είνι μί στθερά συντελεστής τεχνολογίς, 0 < < μί στθερά η οποί ουσιστικά κθορίζει την πργωγικότητ του φυσικού κεφλίου κι l η ποσότητ εργσίς την περίοδο. Η επιχείρηση επιλέγει το k κι το l με κριτήριο τη μεγιστοποίηση των κερδών της σε κάθε περίοδο. Η συνάρτηση κερδών της επιχείρησης σε μί οποιδήποτε περίοδο είνι η κόλουθη: π y r k w l (9) Όπως είνι προφνές πό την εξίσωση (9) το πρόβλημ της επιχείρησης είνι σττικό σε ντιδιστολή με το πρόβλημ του νοικοκυριού που είνι δυνμικό. Οι συνθήκες πρώτης τάξεως ως προς το κεφάλιο κι την εργσί είνι: π = 0 r = Ak l k (0a) π = 0 w = ( ) Ak l (0b) l Προσέξτε ότι οι σχέσεις (0a)-(0b) εάν ντικτστθούν στην συνάρτηση των κερδών υπονοούν ότι σε κάθε περίοδο : π = 0 (0) Δηλδή η επιχείρηση δεν μπορεί πρά ν έχει μόνο κνονικά κέρδη. 5
A.3 Αντγωνιστική Ισορροπί Ορίζετι ως η κτνομή πόρων {, k, l, y} κι τιμών { } + = 0 r, w 0 = η οποί προκύπτει εάν: () Τ νοικοκυρί μεγιστοποιούν την ευημερί τους, (β) Οι επιχειρήσεις μεγιστοποιούν τ κέρδη τους, (γ) Όλοι οι περιορισμοί ικνοποιούντι κι (δ) Όλες οι γορές «κθρίζουν». Έτσι λοιπόν στην ντγωνιστική ισορροπί η προσφορά εργσίς πό την πλευρά των νοικοκυριών πρέπει ν ισούτι με τη ζήτηση εργσίς πό την πλευρά των επιχειρήσεων, άρ πρέπει s l = l λλά φού l =, θ έχουμε κι s d l =. Θέτοντς l = το προϊόν στην ντγωνιστική ισορροπί πό τη σχέση (8) d γίνετι: y = Ak () Επίσης οι (0a)-(0b) γίνοντι: r = Ak (a) w = ( ) Ak (b) δίνει: Η εξίσωση (7) σε συνδυσμό με την (a) γρμμένη μί περίοδο μπροστά β + = Ak+ (3) γίνετι: Τέλος, η σχέση (4) εφόσον χρησιμοποιήσουμε τις (a)-(b) κι τη (0) 6
+ k + = Ak (4) Οι σχέσεις (), (a), (b), (3) κι (4) πρτίζουν μί ντγωνιστική ισορροπί. Εχουμε 5 δυνμικές εξισώσεις σε 5 γνώστους που είνι {,,,, } k y r w. + = 0 Α.4 Έν πράδειγμ δύο περιόδων Ενς εύκολος τρόπος ν εξάγουμε λύσεις κλειστού τύπου είνι ν υποθέσουμε ότι η οικονομί μς υφίσττι μόνο γι δύο () περιόδους, κι. Τότε, έχουμε πό τις (), (a), (b), (3) κι (4): y = Ak γι την πρώτη περίοδο (5a) y = Ak γι την δεύτερη περίοδο (5b) r = Ak γι την δεύτερη περίοδο (6a) w ( ) Ak = γι την δεύτερη περίοδο (6b) = βak (7) + = γι την πρώτη περίοδο (8a) k Ak + = γι την δεύτερη περίοδο (8b) k3 Ak Πρόσεξτε ότι φού η οικονομί μς υφίσττι μόνο γι περιόδους, k3 0 στην (8b). 7
Οι εξισώσεις (7), (8a) κι (8b) πρτίζουν έν σύστημ τριών εξισώσεων σε τρείς γνώστους, δηλδή τ, κι k. Από (8a) κι (8b) έχουμε: = Ak k (9a) = Ak (9b) Η (7) με βάση τις (9a) κι (9b) δίνει: Ak Ak k = β β βak = k = Ak Ak k k + β (0) Η (9b) σε συνδυσμό με την (0) δίνει: = A + β β + k () Τέλος, η (9a) σε συνδυσμό με την (0) δίνει: = Ak () + β Οι σχέσεις (0), () κι () δίνουν τις κτνομές, κι k σε μί ντγωνιστική ισορροπί, συνρτήσει του δεδομένου k κι των πρμέτρων της οικονομίς,, β κι A. Όπως θ ποδείξουμε στη συνέχει υτή η ισορροπί, ν κι ποκεντρωμένη, ισοδυνμεί με την κτά Pareo άριστη κτνομή πόρων. 8
Β. Το πρόβλημ του Κοινωνικού Σχεδιστή Υποθέστε τώρ ότι υπάρχει ένς Κοινωνικός Σχεδιστής ο οποίος επιλέγει γι λογρισμό των πργόντων της οικονομίς το ύψος της κτνάλωσης κι της επένδυσης προκειμένου ν μεγιστοποιήσει τη διχρονική ευημερί όπως υτή δίνετι πό την εξίσωση (). Ο Κοινωνικός Σχεδιστής περιορίζετι μόνο πό τη συνάρτηση πργωγής που δίνετι πό την εξίσωση (8) κι τον εισοδημτικό περιορισμό: Y = Ak = + k+ (3) Έτσι το πρόβλημ τώρ είνι ο Κοινωνικός Σχεδιστής ν επιλέξει σε κάθε χρονική περίοδο, τ κι k + που θ δώσουν τη μέγιστη δυντή τιμή στην () ούτως ώστε σε κάθε περίοδο ν ικνοποιείτι η (3). Ακολουθώντς κριβώς την ίδι μθημτική λογική όπως κι στο τμήμ Α κτλήγουμε στις σχέσεις (3) κι (4). Εν συνεχεί, υποθέτοντς μόνο δύο περιόδους, μπορούμε ν πάρουμε τις ίδιες κτνομές κτνάλωσης,, κι κεφλίου, k όπως υτές που δίνοντι πό τις σχέσεις (), () κι (0) ντίστοιχ. Άρ σε μί οικονομί σν υτή που νλύθηκε, η ποκεντρωμένη δομή μέσω της ντγωνιστικής ισορροπίς, «πράγει» κριβώς την ίδι κτνομή πόρων μετξύ κτνάλωσης κι συσσώρευσης κεφλίου, όπως υτή που «πράγετι» πό το πρόβλημ του Κοινωνικού Σχεδιστή. Συνεπώς, οι σχέσεις (0), () κι () δίνουν μί κτά Pareo άριστη κτνομή των πόρων. Bu his equivalene does no hold if here are imperfeions a marke or poliy level. 9