3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
Χαρακτηριστικά μεταβλητών Η συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής (τ.μ.) Χ καθορίζεται από την σ.π.π. () ή την σ.κ.π. F(). Παρόλ αυτά πολλές φορές είναι χρήσιμη η εξαγωγή ορισμένων χαρακτηριστικών της. Η γνώση και μόνο τέτοιων χαρακτηριστικών βοηθά στην κατανόηση και ερμηνεία της μεταβλητής, χωρίς να είναι κατ ανάγκη γνωστός ο τύπος της () Χαρακτηριστικά = Μέτρα περιγραφής μιας μεταβλητής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
Η Μέση ή η Αναμενόμενη τιμή (μ) (Me or pecttio vlue) Έστω τυχαία μεταβλητή. Ορίζεται ως μέση τιμή η ποσότητα: που είναι το κέντρο μάζας της μεταβλητής. Εκφράζει την πιο πιθανή τιμή της μεταβλητής. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (3)
Έστω διακριτή τ.μ. Χ στο Ω ={,,, } και σ.π.π. ()=P(=) Ω Η μέση τιμή υπολογίζεται ως εξής: δηλ. ο σταθμισμένος μέσος όρος P P P P Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (4) Υπολογισμός της μέσης τιμής
Υπολογισμός της μέσης τιμής Έστω συνεχή τ.μ. Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (). Η μέση τιμή υπολογίζεται ως εξής: d δηλ. περιοχές με μεγαλύτερη πυκνότητα πιθανότητας έχουν μεγαλύτερο βάρος (συνεισφορά) στον υπολογισμό του μέσου Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (5)
Η Αναμενόμενη Τιμής ως πράξη Έστω g() μία συνάρτηση ή μία έκφραση μίας τυχαίας μεταβλητής. Η αναμενόμενη ή μέση τιμή της g(), (g()), ορίζει μία πράξη (ή έναν τελεστή) που υπολογίζεται με βάση την τυχαιότητα της Χ: g g g d, ή, αν Χ διακριτή αν Χ συνεχής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (6)
Η Διακύμανση ή Διασπορά (σ ) Ορισμός: (Vrice) V () Έκταση ή πλάτος τιμών της μεταβλητής (>) Το μέτρο της διαφοράς της μεταβλητής από το μέσον της Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (7)
Υπολογισμός Διακύμανσης Διακρίνουμε περιπτώσεις Αν τ.μ. διακριτή με σ.π.π. ()=P(=) P V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (8)
Υπολογισμός Διακύμανσης Διακρίνουμε περιπτώσεις Αν τ.μ. διακριτή με σ.π.π. ()=P(=) V P Αν τ.μ. συνεχής με σ.π.π. () V d Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (9)
Τυπική απόκλιση (stdrd devitio) Ορίζουμε ως τυπική απόκλιση STD( ) V ( ) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
Χρήσιμες σχέσεις Μέση τιμή και διακύμανση σταθεράς c, Vc Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
Χρήσιμες σχέσεις Μέση τιμή και διακύμανση σταθεράς c, Vc c c d c d c c V c c c c c Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
Μέση τιμή και διακύμανση γραμμικής σχέσης b Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (3)
Μέση τιμή και διακύμανση γραμμικής σχέσης b b d d b d b b V b b b b b V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (4)
Μέση τιμή και διακύμανση γραμμικής σχέσης b b b V b V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (5)
Μία χρήσιμη σχέση της διακύμανσης V Απόδειξη Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (6)
Μία χρήσιμη σχέση της διακύμανσης Απόδειξη V ) ( ) ( ) ( V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (7)
Χρήσιμες σχέσεις V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (8)
Μέση Τιμή και Διακύμανση γνωστών κατανομών (διακριτών και συνεχών) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (9)
Μέση τιμή και Διακύμανση Διακριτών τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν γνωστές κατανομές Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
(Α) Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη τυχαία διακριτή μεταβλητή ( ισοπίθανες τιμές) P,,, Υπολογισμός μέσης τιμής ομοιόμορφης διακριτής μεταβλητής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
(Α) Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη τυχαία διακριτή μεταβλητή ( ισοπίθανες τιμές) Υπολογισμός μέσης τιμής ομοιόμορφης διακριτής μεταβλητής P,,, Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ ()
(Α) Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη τυχαία διακριτή μεταβλητή ( ισοπίθανες τιμές) P,,, Υπολογισμός διακύμανσης ομοιόμορφης διακριτής μεταβλητής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (3)
(Α) Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη τυχαία διακριτή μεταβλητή ( ισοπίθανες τιμές) Υπολογισμός διακύμανσης ομοιόμορφης διακριτής μεταβλητής P,,, 6 3 3 6 V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (4)
(B) Μέσος και διακύμανση Beroulli κατανομής Beroulli τυχαία (δυαδική) μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής Beroulli μεταβλητής } {,, Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (5)
(B) Μέσος και διακύμανση Beroulli κατανομής Beroulli τυχαία (δυαδική) μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής Beroulli μεταβλητής } {,, ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (6)
(B) Μέσος και διακύμανση Beroulli κατανομής Beroulli τυχαία (δυαδική) μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης Beroulli μεταβλητής } {,, Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (7)
(B) Μέσος και διακύμανση Beroulli κατανομής Beroulli τυχαία (δυαδική) μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης Beroulli μεταβλητής } {,, ) ( V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (8)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Διωνυμικής κατανομής Διωνυμική τυχαία μεταβλητή,,,, Υπολογισμός μέσης τιμής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (9)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Διωνυμικής κατανομής Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής (),,,, )! )!( ( )! ( )!!(! Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (3)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Διωνυμικής κατανομής Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής (),,,, k k k k k=- ν=- Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (3)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Διωνυμικής κατανομής Διωνυμική τυχαία μεταβλητή,,,, Υπολογισμός διακύμανσης Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (3)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Διωνυμικής κατανομής Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης (),,,, )! )!( ( )! ( )!!(! Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (33)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Διωνυμικής κατανομής Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης (),,,, ) ( ) ( ) ( V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (34)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γεωμετρικής κατανομής Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή,,, Υπολογισμός μέσης τιμής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (35)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γεωμετρικής κατανομής Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής,,, ' ' k k k k k k k Ισχύει ότι: Έτσι παίρνουμε: Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (36)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γεωμετρικής κατανομής Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή,,, Υπολογισμός της διακύμανσης Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (37)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γεωμετρικής κατανομής Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός της διακύμανσης (),,, 3 ' ' '' '' k k k k k k k k k 3 Ισχύει ότι: Έτσι παίρνουμε: Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (38)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γεωμετρικής κατανομής Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός της διακύμανσης (),,, V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (39)
(Ε). Μέσος και διακύμανση Poisso κατανομής Poisso τυχαία μεταβλητή! e,,,, Υπολογισμός μέσης τιμής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (4)
(Ε). Μέσος και διακύμανση Poisso κατανομής Poisso τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής,,,,! e e e k e e e k k!!!! k k e k Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (4)
(Ε). Μέσος και διακύμανση Poisso κατανομής Poisso τυχαία μεταβλητή! e,,,, Υπολογισμός διακύμανσης Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (4)
(Ε). Μέσος και διακύμανση Poisso κατανομής Poisso τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης (),,,,! e! )! (! k k k e e e! k k e k Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (43)
(Ε). Μέσος και διακύμανση Poisso κατανομής Poisso τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης (),,,,! e V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (44)
Μέση Τιμή και Διακύμανση Γνωστών Διακριτών τυχαίων μεταβλητών Κατανομή σ.π.π. () Μέση Τιμή (μ) Ομοιόμορφη Διωνυμική Γεωμετρική Poisso! e Διακύμανση (σ ) Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (45)
Μέση τιμή και Διακύμανση Συνεχών τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν γνωστές κατανομές Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (46)
Υπολογισμοί Μέση Τιμή: d Διακύμανση: V d ή εναλλακτικά V όπου d Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (47)
(Α). Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη συνεχής τυχαία μεταβλητή, b b Υπολογισμός μέσης τιμής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (48)
(Α). Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη συνεχής τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής b b, b b d b d b b b Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (49)
(Α). Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη συνεχής τυχαία μεταβλητή, b b Υπολογισμός διακύμανσης Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (5)
(Α). Μέσος και διακύμανση Ομοιόμορφης κατανομής Ομοιόμορφη συνεχής τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης b b, 3 3 3 3 3 3 b b b b b d b d b b b 4 3 b b b b V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (5)
(Β). Μέσος και διακύμανσης Εκθετικής κατανομής Εκθετική τυχαία μεταβλητή e, Υπολογισμός μέσης τιμής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (5)
(Β). Μέσος και διακύμανσης Εκθετικής κατανομής Εκθετική τυχαία μεταβλητή e, Υπολογισμός μέσης τιμής d e d y ye y dy Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (53)
(Β). Μέσος και διακύμανσης Εκθετικής κατανομής Εκθετική τυχαία μεταβλητή e, Υπολογισμός διακύμανσης Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (54)
(Β). Μέσος και διακύμανσης Εκθετικής κατανομής Εκθετική τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διακύμανσης, e 3 dy e y d e d y y V Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (55)
(Γ). Μέσος και διακύμανση Κανονικής κατανομής Κανονική τυχαία μεταβλητή e, Πρόταση: «Οι παράμετροι μ, σ είναι το μέσο και η διακύμανση της κανονικής κατανομής» Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (56)
Υπολογισμός μέσης τιμής d d d d < > d d (): συμμετρική d Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (57)
Υπολογισμός διακύμανσης Χρησιμοποιώντας τη σχέση: και παραγωγίζοντας στη συνέχεια ως προς σ παίρνουμε: d e 3 V d d e d e Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (58)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γάμμα κατανομής Γάμμα τυχαία μεταβλητή e, Υπολογισμός μέσης τιμής Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (59)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γάμμα κατανομής Γάμμα τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός μέσης τιμής, e Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (6) dy e y d e d y y ) ( ) ( ) ( ) ( d e
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γάμμα κατανομής Γάμμα τυχαία μεταβλητή e, Υπολογισμός διασποράς Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (6)
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γάμμα κατανομής Γάμμα τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διασποράς (), e Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (6) ) ( ) ( ) ( ) ( dy e y d e d y y
(Δ). Μέσος και διακύμανση Γάμμα κατανομής Γάμμα τυχαία μεταβλητή Υπολογισμός διασποράς (), e Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (63) V
Συνεχείς Διακριτές Μέση Τιμή και Διακύμανση Γνωστών κατανομών Κατανομή σ.π.π. () μέση τιμή (μ) διακύμανση (σ ) Ομοιόμορφη Διωνυμική Γεωμετρική Poisso Ομοιόμορφη Εκθετική Κανονική Γάμμα e! e e /( b ) e b b Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (64)
Παραδείγματα Να βρεθεί η μέση τιμή και διακύμανση στις επόμενες περιπτώσεις συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας: (α) () = 3 e -3, >. (β) () = 9 e -3, >. (γ) () = 3/(+) 4, >. (δ) ()=6(-)(-), < < Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (65)
Έστω τυχαία μεταβλητή με σ.π.π. ()= + b + c, όπου <. (α) Να δειχθεί ότι /3+c= (β) Να δειχθεί ότι το μέσο είναι: μ=b/3 και η διακύμανση: σ = (6+c-4b )/5 Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (66)
Να υπολογιστούν τα, b έτσι ώστε η συνάρτηση με τύπο: () = (b- ), <<b να είναι συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταβλητής με μέσο. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (67)
Δείξτε ότι για μια τ.μ. η συνάρτηση φ() = ( (-) ), παίρνει την ελάχιστη τιμή της για =μ=(), όπου τότε φ() = V()=σ. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (68)
Έστω Χ τ.μ. που ακολουθεί την Poisso κατανομή με παράμετρο λ>. Αν ισχύει ότι ( )= να βρεθεί η τιμή του λ. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (69)
Η αντοχή ενός ανυψωτικού μηχανήματος ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ=8 (τόνους) και σ =9. α) Να βρεθούν οι πιθανότητες ένα μηχάνημα: α) να μην καταφέρει να σηκώσει αντικείμενα άνω των τόνων, α) να ανυψώνει αντικείμενα μεταξύ 7 και τόνων β) Έστω μάντρα αποτελούμενη από 5 ανυψωτικά μηχανήματα. Να βρεθεί η πιθανότητα τουλάχιστον 3 μηχανήματα να είναι σε θέση να σηκώνουν αντικείμενα μεταξύ 7 και τόνων. γ) Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός και ποια η τυπική απόκλιση των μηχανημάτων της μάντρας που σηκώνουν αντικείμενα μεταξύ 7 και τόνων. Πιθανότητες & Στατιστική 7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ (7)