ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ διαλ. 4 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 6/5/7
Χαρακτηριστικά του προβλήματος Μελέτη αντικειμενικών συναρτήσεων και συναρτήσεων περιορισμών: Απλούστευση προβλήματος Εξερεύνηση λάθος διατύπωσης του προβλήματος Επιλογ κατάλληλων αλγορίθμων βελτιστοποίησης Ιδιότητες: Οριακή συμπεριφορά Γραμμικότητα Κυρτότητα Μονοτονικότητα
Οριακή συμπεριφορά Ο ορισμός κατάλληλων ορίων είναι απαραίτητος για την αποφυγή μη ρεαλιστικών λύσεων: Π.χ.: σχεδιασμός χαπιού ασπιρίνης Στόχος: ελαχιστοποίηση χρόνου διάλυσης = μεγιστοποίηση επιφάνειας (σταθερός όγκος max s..
Οριακή συμπεριφορά ( Ο περιορισμός ισότητας όγκου μπορεί να αντικατασταθεί δίνοντας: max 5 45 4 5 5 5 5 4 5 6 7 8 9
Γραμμικότητα Μια συνάρτηση είναι γραμμική αν ικανοποιεί το (x + x = (x + (x και (a x = a (x για κάθε δύο σημεία x x iστο χώρο και όλα τα a
Γραμμικότητα ( Μη γραμμικές αντικειμενικές συναρτήσεις μπορεί να έχουν πολλά τοπικά ακρότατα: x x Πρόκληση: η εύρεση του ολικού βέλτιστου. x x x
Οριακή συμπεριφορά Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της επιφάνειας του χαπιού ασπιρίνης δεν είναι καλά ορισμένο: max 5 45 4 5 5 5 5 4 5 6 7 8 9
Κυρτότητα Κυρτή συνάρτηση: κάθε γραμμή που ενώνει οποιαδήποτε σημεία στη γρ. παρ. υπερκείται αυτής (ή κείται πάνω σ αυτή Η γραμμικότητα συνεπάγεται κυρτότητα (αλλά όχι με τον αυστηρό ορισμό αυτής
Κυρτό σύνολο : Κυρτότητα ( Ένα σύνολο S είναι κυρτό αν για κάθε δύο σημεία x x στο S η γραμμή που τα ενώνει επίσης βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός του.
Κυρτότητα ( Οι μη γραμμικές συναρτήσεις περιορισμών μπορεί να έχουν ως αποτέλεσμα μη κυρτά εφικτά χωρία: x Τα μη κυρτά εφικτά χωρία μπορούν να έχουν πολλαπλά τοπικά βέλτιστα ακόμα και με γραμμικές αντικειμενικές συναρτήσεις. x
Μονοτονία Συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα αν: (x > (x για x > x ασθενώς αύξουσα αν: (x (x για x > x Ομοίως για Φθίνουσα x x Ομοίως: d dx Σημ.: μονοτονία κυρτότητα! Η γραμμικότητα συνεπάγεται μονοτονία
Παράδειγμα: σχεδιασμός σωληνωτού στύλου max min max min max 4.. min R R R R ER P R P s R R R R P
Ανάλυση προβλήματος βελτιστοποίησης Κίνητρο: Απλούστευση Προσδιορισμός λαθών στη διατύπωση έγκαιρα Προσδιορισμός υπό-/ υπέρ-δεσμευμένων προβλημάτων Διορατικότητα Αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη βέλτιστης λύσης Βάση: οριακή συμπεριφορά και ενεργοί περιορισμοί
Καλά ορισμένες συναρτήσεις μερικές έννοιες Κάτω όριο: ( x x Μέγιστο άνω όριο: (x Ελάχιστο: Ελαχιστοποιητής: ( x* x* x* x
Έλεγχος οριακής συμπεριφοράς Υπόθεση: σε προβλήματα βελτιστοποίησης μηχανικού οι μεταβλητές σχεδιασμού είναι θετικές and πεπερασμένες Ορισμός Έλεγχος οριακής συμπεριφοράς: N x : x P x : x Προσδιορισμός + για Προσδιορισμός ελαχιστοποιητών x N X x : ( x Καλώς ορισμένη αν X P
Παραδείγματα ( x x X P Φραγμένη στο μηδέν ( x x X P Ασυμπτωτικά φραγμένη ( x ( x P X ( x ( x ( x X P ( x ( x X P x x ( ( x X ( N P
Σχεδιασμός τρόμπας αέρα Στόχος: ελαχιστοποίηση μάζας ( ( ( x ( P X Όχι καλά ορισμένη: απαιτούνται περιορισμοί
Minimum voume: Περιορισμοί σχεδιασμού τρόμπας..48 7 7 Min. ead/adius aio (ASME code: 7.7. Min. ickness/adius aio (ASME code: 4.959 Room o nozzes: min. en Space imiaions: max. ouside adius. 4 4 5 5 5 5
Μερική ελαχιστοποίηση κ περιορισμοί Μερική ελαχιστοποίηση: κράτα σταθερές όλες τις μεταβλητές εκτός από μια. Π.χ. πάχος τοιχώματος τρόμπας : 5. 4 7.7.48 ( 5 4 7 s.. min Συμπέρασμα: Η δεν είναι καλά ορισμένη από κάτω Το φράσσει το από κάτω 5 4 ( 5 R R H R L R s.. min
Ενεργοί περιορισμοί Διαγραφή περιορισμών = χαλάρωση προβλήματος Το σύνολο των ελαχιστοποιητών χωρίς το i είναι το X i.. X X X i i X i i ανενεργό ενεργό A A και B ενεργά. X X i i ημιενεργό Πληροφορίες ως προς τους ενεργούς περιορισμούς απλοποιούν το πρόβλημα: B Ενεργός: εξάλειψη μεταβλητής Ανενεργός: εξάλειψη περιορισμού
Έλεγχος ενεργών περιορισμών Παράδειγμα: min x x x s.. x ( x ( x ( x 4 ( x 5 x x x 5 x 4 (x 5 Συμπέρασμα: ενεργός ημιενεργός και 4 ανενεργοί x
Θεώρημα ενεργών περιορισμών και μοντοτονίας Ο περιορισμός i είναι ενεργός αν και μόνο αν το ελάχιστο του χαλαρωμένου-αδέσμευτου προβλήματος είναι χαμηλότερα από το αρχικό (x (x x Αν (x και i (x αυξάνονται ή μειώνονται (ασθενώς σε σχέση με (x (x το x ο χώρος των λύσεων δεν είναι καλά δεσμευμένος x
Πρώτη αρχή μονοτονίας Σε ένα καλά-δεσμευμένο πρόβλημα βελτιστοποίησης κάθε μεταβλητή που αυξάνει την φράσσεται από κάτω από τουλάχιστο έναν μηαυξούμενο ενεργό περιορισμό Η αρχή αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ενεργών περιορισμών (x (x Ο περιορισμός αυτός ονομάζεται κρίσιμος περιορισμός x
Σχεδιασμός τρόμπας αέρα Ανάλυση μονοτονίας: 5. 4 7.7.48 ( 5 4 7 s.. min 5 4 Κρίσιμο σε σχέση με το Κρίσιμο σε σχέση με το Κρίσιμο σε σχέση με το Ασαφές είναι το τι γίνεται με το
Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί: min s.. ( (.48 ( 7.48 7.7 ( 4 (. 4 5 5
Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί: min s.. ( 4 5 7.48 7.7 4. 5 7.7.
5. 4.48.6( 5 4 7 s.. min 4 4 Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί:
Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί min s.. 9 4.48 5.6 4 7.48 7 6 4 5. 5 4*5
Βελτιστοποιώντας τις μεταβλητές Οι κρίσιμοι περιορισμοί πρέπει να είναι ενεργοί: min s.. 9*6 4.6* 6 5 4 4 5. 5*6 4*5 min s.. 4 4.65. 4 5 6 9
Πρόβλημα! Το μήκος δεν είναι καλά ορισμένο: 9 4 4.65 min min s... s.. 4 5 6 4 5 6 4 4.65 Απαιτείται η προσθήκη περιορισμού πλέον των ανωτέρω: 9 Μέγιστο πλάτος πλάκας: 6
Λύση Ο περιορισμός του μήκους είναι κρίσιμος: πρέπει να είναι ενεργός! Λύση: 6 5.6 Αποτέλεσμα Ανάλυσης μονοτονίας: Εντοπίστηκε πρόβλημα το οποίο λύθηκε Η λύση βρέθηκε χωρίς αριθμητική βελτιστοποίηση
Αναγνωρίζοντας τη μονοτονία Μερικές χρήσιμες ιδιότητες: Αθροίσματα: Αθροίσματα μονοτονικά όμοιων συναρτήσεων έχουν την ίδια μονοτονίας. Γινόμενα: * ' ' ' Γινόμενα μονοτονικά όμοιων συναρτήσεων έχουν: Ίδια μονοτονία αν Αντίθετη μονοτονία αν
Αναγνωρίζοντας τη μονοτονία Περισσότερες ιδιότητες: δυνάμεις: : : a a a Θετικές δυνάμεις μονοτονικών συναρτήσεων έχουν την ίδια μονοτονία αρνητικές δυνάμεις έχουν αντίθετη μονοτονία. Σύνθεση: ' ' '
Αναγνωρίζοντας τη μονοτονία Ολοκλήρωση: Σε σχέση με όρια ολοκλήρωσης: dx x b a b a ( ( x a b ( ( b a b x a ( ( ( b a b a ( ( y y Σε σχέση με την ποσότητα ολοκλήρωσης b a dx y x y b a ( ( x y a b