III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvjnje funkcij ene spremenljivke Odvjnje je en njpomembnejši opercij n funkcij. Z uporbo odvod, kdr le-t obstj, lko veliko bolje spoznmo vedenje funkcje v bližini določene točke, kot lko to storimo le z rčunnjem njeni vrednosti in njene limite. Definicij in geometrijski pomen odvod Nj bo funkcij f : R R definirn v neki okolici točke R, tj. n intervlu ( δ,+δ), kjer je δ > 0. Z 0 < x < δ lko izrčunmo ulomek (f(x) f())/(x ) ozirom (f(+) f())/, če pišemo = x. T ulomek imenujemo diferenčni kvocient funkcije f v točki. DEFINICIJA. Reln funkcij f : R R je v točki odvedljiv, če obstj limit diferenčneg kvicient f f(x) f() f( + ) f(x) () = lim = lim. x x 0 To limito imenujemo odvod funkcije f v točki. Geometrijsko pomeni odvod f () tngens nklonskeg kot tngente n krivuljo y = f(x) v točki (,f()) in določ strmino (smer grf) funkcije v dni točki. Nklon tngente dobimo kot limitno lego nklon seknte skozi točki (,f()) in (+,f(+)) (glej sliko 13). f(+) f(+)-f() f() Slik 13 + Smerni koeficent tngente v točki (,f()) torej znš f (), zto je enčb tngente n krivuljo y = f(x) v točki enk y f() = f ()(x ). Premici, ki je prvokotn n tngento in potek skozi njeno dotiklišče, p rečemo norml. Če tngent ni vodorvn, se prvi, če f () 0, norml ni nvpičn in lko zpišemo enčbo normle v obliki y = f() (x )/f (). Včsi lko izrčunmo smo desno li smo levo limito diferenčneg kvocient. Tedj f(x) f() f(+) f(x) f(x) f() imenujemo limito lim x x = lim 0 desni odvod in limito lim x f(+) f(x) lim 0 levi odvod funkcije f v točki. Rečemo,d je funkcij v odvedljiv z desne ozirom z leve. x = 1

2 ZGLEDI. () Če je f(x) = kx + n, je f () = k z vsk R, sj je že diferenčni kvocient povsod enk k. Tngent v kterikoli točki se ujem s premico y = kx + n, ki je grf funkcije f. (b) Če je f(x) = x2, je f () = 2 z vsk R, sj je diferenčni kvocient enk f(+) f() = (+)2 2 = 2 +. Tngent n prbolo y = x 2 v točki im enčbo y = 2 + 2(x ) = 2x 2. (c) Funkcij f(x) = x v točki x = 0 ni odvedljiv. Diferenčni kvocient v točki 0 je enk f() f(0) = 0 = /. Zdj je lev limit enk 1, desn 1, limite p ni. Odvod v točki 0 ne obstj, obstjt p levi in desni odvod v točki 0 in st rzličn (glej sliko 14). (y) x 0 (x) Slik 14 TRDITEV. Če je funkcij f v točki odvedljiv, je tm tudi zvezn. Dokz. Zpišimo f( + ) f() = f(+) f(). Ker limit diferenčneg kvocient obstj, obstj tudi limit rzlike f( + ) f() pri pogoju 0 in je enk 0. To pomeni, d je lim 0 f( + ) = f() in funkcij f je v točki zvezn. Obrtno ne drži, kot pove prejšnji zgled (c). Funkcij f(x) = x je v točki 0 (prvzprv povsod) zvezn, ni p tm odvedljiv. Prv tko je funkcij { xsin(1/x), x 0 f(x) = 0, x = 0 v točki 0 zvezn, vendr ne odvedljiv, ker limit lim 0 sin(1/) ne obstj. DEFINICIJA. Funkcij f je n odprtem intervlu (, b) odvedljiv, če je odvedljiv v vski točki x (,b). Funkcij f je n zprtem intervlu [,b] odvedljiv, če je odvedljiv v vski točki x (,b) in je v levem krjišču odvedljiv z desne, v desnem krjišču b p z leve. Odvod funkcije f(x) je odvisen od točke x, v kteri jo odvjmo; torej je f spet funkcij. Njeno definicijsko območje D f je v splošnem mnjše od definicijskeg območj D f funkcije f, sj funkcij f n D f ni nujno zvezn, kj šele odvedljiv. Obstjjo celo funkcije, ki so n vsej relni osi zvezne in v nobeni točki odvedljive. DEFINICIJA. Rečemo, d je funkcij f n (odprtem li zprtem) I zvezno odvedljiv, če je odvedljiv n I (v krjišči z ene strni) in je njen odvod f n I zvezn funkcij (v krjišči z ene strni). Funkciji f(x) = kx + n in f(x) = x 2 st npr. zvezno odvedljivi povsod n relni osi. Funkcij { x f(x) = 2 sin(1/x), x 0 0, x = 0

je odvedljiv povsod n R, tudi v točki 0, vendr v v točki 0 ni zvezno odvedljiv. Njen odvod { f 2xsin(1/x) cos(1/x), x 0 (x) = 0, x = 0 v točki 0 nmreč ni zvezn funkcij. Prvil z odvjnje Z odvjnje veljjo znn prvil: 1. Odvod konstntne funkcije je 0. 3 Dokz. Že diferenčni kvocient konstnte je enk 0. 2. Odvod vsote in rzlike: (u + v) = u + v, (u v) = u v. Dokz. Uporbimo definicijo odvod in prvil z rčunnje limit. Zpišimo npr. diferenčni kvocient z vsoto u + v: u(x + ) + v(x + ) u(x) v(x) = u(x + ) u(x) + v(x + ) v(x). če n desni strni obstjt limiti obe diferenčni kvocientov, ko 0, obstj tudi limit n levi strni. To lko posplošimo n več členov: (u 1 + u 2 +...u n ) = u 1 + u 2 +... + u n. 3. Odvod produkt: (uv) = u v + uv. Dokz. Spet zpišimo diferenčni kvocient z produkt: u(x + )v(x + ) u(x)v(x) = u(x + ) u(x) v(x + ) + u(x) v(x + ) v(x) in izrčunjmo n obe strne limito pri pogoju 0. Upoštevjmo, d pri tem velj lim 0 v(x + ) = v(x) zrdi zveznosti funkcije v. Poseben primer je odvod funkcije pomnožene s konstnto: (cu) = cu. Formulo z odvod produkt lko posplošimo n več fktorjev, npr. (uvw) = u vw + uv w + uvw. 4. Odvod kvocient: ( u v ) = u v uv v 2 Dokz izpustimo, ker je podoben kot dokz z produkt, le nekoliko bolj zpleten. 5. Odvod kompozitum: (g f) (x) = g (f(x)) f (x). To formulo imenujemo tudi formul z odvod sestvljene ozirom posredne funkcije li verižno prvilo. Tu je y = g(u), u = f(x), tko d je y posredn funkcij spremenljivke x. Pogosto ne vpeljemo novi oznk, mpk pišemo kr y = y(u), u = u(x), s čimer nkžemo, od čes so odvisne nstopjoče spremenljivke. V tem primeru se verižno prvilo glsi y (x) = y (u(x))u (x). Dokz. Oznčimo diferenčni kvocient funkcije u v točki x s k x (), torej k x () = (f(x + ) f(x))/. Torej je f(x + ) = f(x) + k x (). Če je k x () = 0 z vse dovolj mjne, je f(x + ) = f(x); zto tudi g(f(x + )) g(f(x)) = 0 in odvod sestvljene

4 funkcije je enk nič. Če p je k x () 0, lko zpišemo diferenčni kvocient sestvljene funkcije v obliki g(f(x + )) g(f(x)) = g(f(x) + k x()) g(f(x)) k x () k x (). Prvi fktor konvergir pri pogoju 0 proti g (f(x)), drugi p proti f (x). Zgled. Če je y = (2x2 + x) 3, je y = 3(2x 2 + x) 2 (4x + 1). 6. Odvod inverzne funkcije: Če je y = f 1 (x) inverzn funkcij k funkciji f, je y = 1/f (y), y = f 1 (x), torej y = 1/f (f 1 (x)). Dokz. Uporbili bomo prvilo z odvod sestvljene funkcije, sj zdj velj x = f(y), y = f 1 (x). Potem z upoštevnjem točke 5 dobimo z odvjnjem n spremenjlivko x n obe strne 1 = f (y)y ozirom y = 1/f (y), kjer je seved y = f 1 (x). Odvodi elementrni funkcij Vse elementrne funkcije so ne smo zvezne, mpk tudi odvedljive. Njiove odvode njdemo po definiciji, upoštevti p je potrebno nektere limite iz prejšnjeg rzdelk in splošn prvil z odvjnje. 1. Odvod konstnte je 0. To smo že videli. 2. Odvod potence je (x n ) = nx n 1. Z potence z nrvnim eksponentom n N je t formul poseben primer formule z odvod produkt več fktorjev. Z splošne potence bomo to formulo izpeljli tkoj, ko bomo poznli odvod eksponentne in logritemske funkcije. 3. Odvod eksponentne funkcije je (e x ) = e x. Dokz. Izrčunjmo limito diferenčneg kvocient ex+ e x (upoštevjmo, d je limit zdnjeg ulomk enk 1). = e x e 1 pri pogoju 0 Podobn formul velj tudi z eksponentne funkcije z drugo osnovo. Z > 0, 1 in f(x) = x = e x ln npr. dobimo po prvilu z odvod posredne funkcije f (x) = e x ln ln = x ln. 4. Odvod logritemske funkcije je (ln x) = 1/x. Dokz. Logritemsk funkcij y = ln x je inverzn k eksponentni, zto iz x = e y dobimo y = 1/e y = 1/x. Odvjmo lko tudi logritme z drugo osnovo > 0, 1, če ji prej prevedemo n osnovo e. Dobimo log x = ln x/ln in zto (log x) = 1/(xln ). Zdj se lko lotimo tudi splošne potence (x > 0, n R), ki jo njprej zpišemo v obliki x n = e nln x. Torej je (x n ) = e nln x n/x = nx n 1, se prvi formlno enk formul kot z nrvne eksponente. 5. Odvodi kotni funkcij so: (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tgx) = 1/cos 2 x = 1 + tg 2 x, (ctgx) = 1/sin 2 x = (1 + ctg 2 x).

Dokz. Z sinusno funkcijo je po definiciji sin(x + ) sin x = (2/)cos(x + /2)sin /2 in t diferenčni kvocient konvergir proti cos x, ko 0. Odvod kosinus dobimo podobno li z odvjnjem formule cos x = sin(x + π/2). Odvod z tngens in kotngens dobimo z odvjnjem ustrezni ulomkov, sin x/ cos x in cos x/ sin x. 6. Odvodi krožni funkcij so: (rcsin x) = 1/ 1 x 2, (rccos x) = 1/ 1 x 2, (rctn x) = 1/(1 + x 2 ), (rcctgx) = 1/(1 + x 2 ). Dokz. Upoštevjmo prvil z odvod inverzni funkcij. Če je npr. y = rcsin x, je x = siny in zto y = 1/cos y = 1/ 1 sin 2 y = 1/ 1 x 2. Podobno dobimo iz x = tgy odvod z rkus tngens: y = 1/(1 + tg 2 y) = 1/(1 + x 2 ). Diferencil in diferencibilnost funkcije Diferenčni kvocient funkcije f (v poljubni točki ) pogosto oznčimo z y/ x, kjer je x = x rzlik rgumentov in y = f = f(x) f() rzlik funkcijski vrednosti. Pogosto pišemo kr x = dx in to rzliko imenujemo diferencil neodvisne spremenljivke. DEFINICIJA. Diferencil (odvedljive) funkcije f v točki je izrz oblike df = f ()dx, torej produkt odvod funkcije f v točki in diferencil neodvisne spremenljivke dx. Če je f(x) = x z vsk x, je f () = 1 z vsk in zto df = dx; diferencil (identične) funkcije f(x) = x se v tem primeru ujem z diferencilom neodvisne spremenljivke x. Opomb. Odvod dobimo kot limito diferenčneg kvocient y/ x, ko pošljemo x proti nič, zto se je z odvod funkcije že od Leibniz dlje uveljvil tudi izrz dy/dx ozirom df/dx. Ker je diferenčni kvocient pri mjnem dx približno enk odvodu funkcije f v točki, f (), immo tudi približno formulo torej f(+dx) f() dx f( + dx) f() f ()dx. To formulo pogosto uporbljmo, kdr želimo približno oceniti vrednost funkcije f v premknjeni točki x + dx z vrednostjo funkcije f v točki x. Geometrijsko to pomeni, d vrednost funkcije v bližini dne točke x ocenimo z vrednostjo tngente n krivuljo y = f(x) v tej točki (glej sliko 15). f ( )dx 5 f( ) dx Slik 15 +dx f( +dx) ZGLED. 1. Z f(x) = x je f( + dx) + dx 2, zto immo npr. z točko = 1 in z premik dx = 0.1 oceno 1.02 1 + 0.02/2 = 1.01. 2. Zrdi sin( + dx) sin + cos dx dobimo npr. z = 0 in dx = π/180 vrednost sin 1 0 sin 0 + cos 0 π/180 = π/180 0.018.

6 Aproksimtivni formuli f( + dx) f() f ()dx djmo še ntnčnejšo obliko. Če pišemo dx =, potem formul f( + ) f() f () prvzprv pomeni f( + ) f() f () lim = 0 0 Tu je preslikv f () nek linern funkcij iz R v R. DEFINICIJA. Nsplo rečemo, d je funkcij f diferencibiln v točki, če obstj tko relno število A (odvisno od funkcije f in točke ), d je f( + ) f() A lim = 0. 0 Hitro se lko prepričmo, d je število A, če obstj, ntnko določeno, d je funkcij f diferencibiln v točki ntnko tkrt, ko je odvedljiv v točki, in d je A = f (). Res, če bi tudi število B ustrezlo zgornjemu pogoju, bi imeli B A f( + ) f() A f( + ) f() B B A = lim = lim lim = 0. 0 0 0 f( + ) f() A f( + ) f() Poleg teg je lim = 0 ntnko tkrt, ko je lim = A, 0 0 se prvi, ntnko tkrt, ko je funkcij f odvedljiv v točki in njen odvod enk A. Višji odvodi DEFINICIJA. Višje odvode funkcije f definirmo rekurzivno: f (n+1) = (f (n) ). Npr. f = (f ). Drug oznk z n-ti odvod funkcije f je d n f/dx n. ZGLEDI. Višje odvode nekteri funkcij, npr. f(x) = x n, f(x) = e x, ln x, f(x) = sin x, f(x) = cos x izrčunmo brez težv. Tko je npr. (e x ) (n) = e x z vsk n, (x n ) (k) = n(n 1)...(n k + 1)x n k z k n in (x n ) (k) = 0 z k > n. Tudi z vsk polinom f stopnje n je f (k) = 0 z k > n. Odvod logritemske funkcije f(x) = ln x je, kot vemo f (x) = 1/x, zto je drugi odvod f (x) = 1/x 2, tretji odvod f (3) (x) = 2/x 3, četrti odvod f (4) (x) = 6/x 4 itd.; splošno ugotovimo (z indukcijo), d je f (n) (x) = ( 1) n 1 (n 1)!/x n z vsk n. Z indukcijo se lko tudi prepričmo, d je (sin x) (n) = sin(x + nπ/2) in (cos x) (n) = cos(x + nπ/2) z vsk n. Oglejmo si še, kko večkrt odvjmo produkt dve funkcij uv. Vemo že, d je (uv) = u v+uv. Potem je (uv) = u v+2u v +uv. Z indukcijo potem njdemo splošno prvilo: Leibnizov formul: (uv) (n) = u (n) v + ( n) 1 u (n 1) v + ( n 2) u (n 2) v (2) +... + uv (n) li n krtko (uv) (n) = n ( n k=0 k) u (n k) v (k). Če je funkcij f n intervlu [,b] odvedljiv, je f seved tm zvezn (v krjišči le z ene strni). Podobno velj: Če je funkcij f n intervlu [, b] dvkrt odvedljiv, je prvi odvod f tm zvezn funkcij in zto isto velj tudi z funkcijo f. Zto je smiseln nslednj definicij. DEFINICIJA. Nj bo I odprti li zprti, omejeni li neomejeni intervl. Rečemo, d pripd funkcij f rzredu C n (I), n = 0,1,2,..., če je funkcij f n I n-krt odvedljiv in je n-ti odvod f (n) n I zvezn funkcij. Rzred C 0 (I) = C(I) je množic vse zvezni, rzred C 1 (I) p množic vse zvezno odvedljivi funkcij n intervlu I. Posebej p definirmo še rzred C (I) = n=0 Cn (I) neskončnokrt odvedljivi funkcij n I. Elementrn funkcij f običjno spd v C (I), če je I D f. Tko so npr. neskončnokrt odvedljivi vsi polinomi, eksponentn funkcij,

logritemsk funkcij, vse trigonometrične in ciklometrične funkcije itd. Neskončkokrt so odvedljive tudi nektere neelementrne funkcije, npr. funkcij { e 1/ x, x 0 f(x) = 0, x = 0 Pri tej funkciji je 0 edin kritičn točk, kjer je treb preveriti odvedljivost. Npr. z prvi odvod iz f e 1/ x e 1/y (0) = lim = lim = 0 dobimo f (0) = 0. Z drugi odvod mormo x 0 x y 0 y njprej izrčunti odvod v točk x 0. Dobimo f (x) = ± e 1/ x x 2 (+, če je x > 0 in, če je x < 0), zto je f f (x) e 1/ x (0) = lim = lim x 0 x x 0 x 3 = 0. Podobno velj tudi pri višji odvodi, vsi so v točki 0 enki nič. Uporb odvod pri proučevnju funkcij Zdj bomo nše znnje o odvjnju uporbili pri podrobnejši obrvnvi vedenj funkcij v posmezni točki li n vsem intervlu. Nj bo odslej I poljuben odprt intervl in f reln funkcij, definirn in zvezn n I. Spomnimo se, d je funkcij f strogo nrščjoč n intervlu I, če z vsk x,y I iz x < y sledi f(x) < f(y). To je globlni pojem nrščnj funkcije n celem intervlu, potrebovli p bomo tudi nslednji loklni pojem nrščnj funkcije v eni smi točki. DEFINICIJA. Prvimo, d je funkcij f v točki I nrščjoč, če obstj tk δ > 0, d je ( δ,+δ) I in d z 0 < < δ velj f( ) < f() < f(+) (glej sliko 16). 7 f( -) f( ) f( +) f( -) f( ) f( +) f( -) f( ) f( +) f( -) f( ) f( +) - + - + - + - () (b) (c) (d) Slik 16 + Iz strogeg nrščnj funkcije f n intervlu I seved tkoj sledi nrščnje funkcije f v vski točki teg intervl. Ni se težko prepričti, d velj z zvezne funkcije tudi obrtno. Res, če f n I ni strogo nrščjoč, obstj tk točk I, d množic A = {x I; < x in f(x) f()} ni przn. Ker je nvzdol omejen z, obstj b = inf A. Zrdi zveznosti funkcije f iz konvergence x k b, x k A, sledi konvergenc f(x k ) f(b) in zto f(b) f(). Če je < b, z < x < b velj f(b) f() < f(x) po definiciji infimum b, zto funkcij f ni nrščjoč v točki b. Če p je = b, obstjjo poljubno blizu točke x k > z lstnostjo f(x k ) f(), tko d funkcij f ni nrščjoč v točki. Podobno definirmo tudi pdjoče funkcije (glej sliko 16b). DEFINICIJA. Funkcij f je v točki I pdjoč, če obstj tk δ > 0, d je ( δ, + δ) I in d z 0 < < δ velj f( ) > f() > f( + ) (glej sliko 16b).

8 Spet je zvezn funkcij f pdjoč v vski točki n I, če je strogo pdjoč n I v smislu, d z vsk x,y I iz x < y sledi f(x) > f(y). Pri odvedljivi funkcij lko nrščnje in pdnje funkcije v eni točki krkterizirmo z odvodom. TRDITEV 1. Če je I in z odvedljivo funkcijo f velj f () > 0, je funkcij f v točki nrščjoč. Če je f () < 0, je funkcij f v točki pdjoč. Dokz. Če je odvod f () > 0, obstj tk δ > 0, d je f( + ) f(x 0) > 0 in f( ) f() f() f( ) = > 0 z 0 < < δ. Drugi del dokžemo podobno. Poleg nrščnj li pdnj se funkcij v posmezni točki lko vede tudi drugče. DEFINICIJA. Funkcij f im v točki I loklni mksimum, če obstj tk δ > 0, d je ( δ, + δ) I in d z 0 < < δ velj velj f() f( ± ). Kdr enkost ni dopuščen, govorimo o strogem loklnem mksimumu (glej sliko 16c). DEFINICIJA. Funkcij f im v točki I loklni minimum, če obstj tk δ > 0, d je ( δ, + δ) I in d z 0 < < δ velj velj f() f( ± ). Kdr enkost ni dopuščen, govorimo o strogem loklnem minimumu (glej sliko 16d). Če im funkcij f v točki I svoj loklni mksimum li svoj loklni minimum, potem rečemo, d im v točki loklni ekstrem. T pojem mormo ločiti od globlneg ekstrem funkcije f n intervlu I. Vsk globlni ekstrem je tudi loklni, obrtno n splo ni res. Zvezn funkcij n odprtem intervlu I mord nim niti loklni niti globlni ekstremov, n zprtem intervlu p ji lko im v krjišču (npr. če je strogo nrščjoč). Še n eno podrobnost opozorimov zvezi z gornjo definicijo: funkcij lko im v točki loklni ekstrem (mksimum li minimum) ntnko tkrt, ko v niti ne nršč niti ne pd. Tudi n intervlu I konstntn funkcij im npr. v vski točki teg intervl svoj loklni (in globlni) mksimum in krti svoj loklni (in globlni) minimum. V tem primeru njene ekstremne točke niso izolirne. Pri odvedljivi funkcij immo lep potreben pogoj z nstop loklneg ekstrem. TRDITEV 2. Če im odvedljiv funkcij f v točki I loklni ekstrem (mksimum li minimum), je f () = 0. Dokz. Sledi iz trditve 1: če bi bil f () > 0 li f () < 0, bi v točki funkcij f nrščl li pdl. DEFINICIJA. Točko, v kteri je f () = 0, imenujemo stcionrn točk funkcije f. Vsk loklni ekstrem odvedljive funkcije je stcionrn točk, obrtno p ni nujno. Zgled. Funkcij f(x) = x 3 im v točki 0 ničlo 3. stopnje, zto velj f (3) (0) = 0, vendr se itro lko prepričmo, d je funkcij v točki 0 nrščjoč. Opomb. Trditev 2 velj z odvedljive funkcije. Lko p se zgodi, d im funkcij f loklni ekstrem v točki, v kteri splo ni odvedljiv. To je npr. res z funkcijo f(x) = x, ki im minimum (koleno) v točki 0 (glej sliko 14).

9 Izreki o odvedljivi funkcij Nslednji izrek zgotvlj funkciji pod določenimi pogoji vsj eno stcionrno točko. IZREK (Rolle). Nj bo f zvezn funkcij n zprtem intervlu [, b] in odvedljiv n odprtem intervlu (,b). Če je f() = f(b), obstj tk točk c (,b), d je f (c) = 0. Dokz. Če je funkcij f n intervlu [, b] konstntn, je odvedljiv n (, b) in v vski točki c (,b) velj f (c) = 0. Denimo, d ni konstntn. Potem im zrdi zveznosti n zprtem intervlu [, b] svoj globlni mksimum in svoj globlni minimum; vsj eden od njiju zrdi nekonstntnosti funkcije f ni dosežen v krjišču intervl mpk v neki točki c (,b). Ker je v njej funkcij f odvedljiv, je po trditvi 2 f (c) = 0 (slik 17). f(c) f() f(b) c b Slik 17 IZREK (Lgrnge). Nj bo f zvezn funkcij n zprtem intervlu [, b] in odvedljiv n odprtem intervlu (,b). Tedj obstj tk točk c (,b), d je f(b) f() = f (c)(b ). f(b) f() Dokz. Pišimo g(x) = f(x) (x ). Funkcij g je zvezn n [,b], odvedljiv n (,b) in velj g() = g(b) = f(). Po Rolleovem izreku obstj tk točk c (,b), b d je g (c) = 0. Tod to pomeni, d je f f(b) f() (c) = (slik 18). b f(c) f(b) f() c b Slik 18 POSLEDICA. Če je z odvedljivo funkcijo f: (i) f (x) 0 (f (x) > 0) z vsk x I, je funkcij f n intervlu I nrščjoč (strogo nrščjoč); (ii) f (x) 0 (f (x) < 0) z vsk x I, je funkcij f n intervlu I pdjoč (strogo pdjoč); (iii) f (x) = 0 z vsk x I, je funkcij f n intervlu I konstntn. Dokz. Uprbimo Lgrngev izrek: z poljuben pr točk,b I z lstnostjo < b immo f(b) f() = f (c)(b ), kjer je c (,b). Če je f (c) > 0 li f (c) < 0, je f(b) f() > 0 li f(b) f() < 0. Točk (iii) sledi podobno.

10 ZGLEDI. Lgrngevim izrekom lko tkoj izpeljemo rzlične neenkosti, npr.: () sin x x z vsk x R. Res, iz sin x sin 0 = (cos c)(x 0), kjer je c med 0 in x, dobimo sin x = cos c x x (b) e x 1 + x z vsk x R. Res, iz e x e 0 = e c (x 0), kjer je c med 0 in x, dobimo e x = 1 + e c x 1 + x, ne glede n to, li je x > 0 li x < 0. (c) e x 1/(1 x) z 0 x < 1. Res, z funkcijo f(x) = (1 x)e x z odvodom f (x) = xe x z vsk x 0 velj f(x) f(0) = ce c (x 0) ozirom f(x) = 1 xce c 1. Posplošitev Lgrngeveg izrek je nslednji rezultt. Tudi dokz je podoben. IZREK (Cucy). Nj bost f,g zvezni funkciji n zprtem intervlu [,b] in odvedljivi v odprtem intervlu (,b). Tedj obstj tk točk c (,b), d je [f(b) f()]g (c) = [g(b) g()]f (c). Dokz. Oglejmo si funkcijo (x) = [f(b) f()]g(x) [g(b) g()]f(x). Znjo velj zveznost n [,b], odvedljivost n (,b) in () = f(b)g() g(b)f() = (b). Po Rolleovem izreku obstj točk c (,b) z lstnostjo (c) = 0, kr je ekvivlentno trditvi v izreku. Lgrngev izrek dobimo, če v Cucyjevem izreku izberemo g(x) = x z vsk x [, b]. Posledic Cucyjeveg izrek p je nslednji izrek, ki velikokrt pomg pri rčunnju limit. IZREK (L Hospitlovo prvilo I). Nj bost funkciji f in g odvedljivi v vski točki intervl (,b). Z neko točko c (,b) nj velj f(c) = g(c) = 0 in g(x) 0, g (x) 0 z x blizu c. Poleg teg nj obstj limit lim x c f (x)/g (x). Tedj je f(x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x). f(x) f(x) f(c) Dokz. Uporbimo Cucyjev izrek z funkciji f in g: = g(x) g(x) g(c) = f (t) g (t). Ker je c < t < x (li x < t < c), konvergir krti s x c tudi t c, in ker obstj limit lim t c f (t)/g f(x) (t), obstj tudi limit lim t c g(x) in obe limiti st enki. ZGLED. L Hospitlovo prvilo lko pogosto s pridom uporbimo. Preprosti zgledi so že znne limite: e x 1 e x sin x () lim = lim = 1, (b) lim x 0 x x 0 1 x 0 x = lim cos x = 1, x 0 1 Včsi je potrebno prvilo uporbiti večkrt zpored, npr.: x sinx 1 cos x sin x (c) lim x 0 x 3 = lim x 0 3x 2 = lim x 0 6x = 1 6. L Hospitlovo prvilo velj tudi z enostrnske limite (ki so lko limite v neskončnosti). IZREK (L Hospitlovo prvilo II). Nj bost funkciji f in g odvedljivi v vski točki intervl (,b), kjer je < b, g(x) 0, g (x) 0 z x (,b) in nj obstj (končn li neskončn) desn limit lim x f (x)/g (x). Tedj je v nslednji primeri: () f(x) 0 in g(x) 0, ko x ; (b) g(x) +, ko x. f(x) lim x g(x) = lim x f (x) g (x) Dokz. Če velj (), rzširimo funkciji f v točko tko, d postvimo f() = g() = 0; dokz potem potek tko kot pri osnovnem L Hospitlovem prvilu, le d zdj vzmemo

f(y) f(x) c =. Lko p tudi z vsk < x < y < b zpišemo po Cucyju g(y) g(x) = f (t) g (t), kjer je x < t < y. Če velj () njprej pošljemo x in dobimo f(y) g(y = f (t) g (t). Ker z y velj tudi t, dobimo odtod iskni rezultt. Če p velj (b), pomnožimo obe f(y) f(x) strni enkosti g(y) g(x) = f (t) g(y) g(x) g z in dobimo v limiti (ko x ) enkost (t) g(x) f(y) g(y) = f (t) g, odtod p iskni rezultt, kot prej. (t) Podobno kot z desno limito v velj prvilo tudi z levo limito v b. Dokz je nlogen. Pogoj () li (b) mort biti res izpolnjen, sicer nm L Hospoitlovo prvilo ne d prveg rezultt. Prv tko mor obstjti lim x f (x)/g (x). 2 + x ZGLED. Limit kvocent funkcij je lim = 2/3, limit kvocientov odvodov p je x 0 3 + x 2x + sin x enk 1. Limit kvocent funkcij lim = 2/3 obstj, limit kvocient odvodov x 3x cos x 2 + cos x lim p ne obstj. x 3 + sin x Aproksimcij s polinomi in Tylorjev formul Nj bo f odvedljiv funkcij n odprtem intervlu I in nj bost točki,x I. Če uporbimo Lgrngev izrek z intervl [,x] dobimo formulo f(x) = f() + f (c)(x ), kjer je < c < x li x < c <, odvisno kko ležit in x. To formulo lko immo z npotek, kko lko n I proksimirmo odvedljivo funkcijo f s konstntno funkcijo f(), pri čemer predstvlj člen f (c)(x ) npko. Opzimo, d je formul eksktn v točki in dokj ntnčn v njeni bližini. Če je funkcij f večkrt odvedljiv, je možno zgornjo formulo posplošiti, Nmesto s konstntno funkcijo, bi rdi f proksimirli s polinomom P višje stopnje, vendr tko, d bo proksimcij v točki eksktn ne smo z vrednosti funkcije, mpk tudi z višje odvode. Rdi bi torej, d bi veljlo P() = f(), P () = f (), P () = f () itd. Nj bo funkcij f n intervlu I odvedljiv vsj n-krt in iskni polinom P n stopnje n. Ujemnje odvodov v točki p ztevjmo do vključno n-teg red, proksimcij p nj bo oblike f(x) = P n (x) + R n (x), kjer je R n (x) ostnek, ktereg obliko bi tudi rdi določili. Polinom P n iščimo v obliki n P n (x) = c k (t ) k = c 0 + c 1 (x ) + c 2 (x ) 2 +... + c n (x ) n. k=0 Koeficiente mormo še določiti tko, d bo P n (k) () = f (k) () z k = 0,1,2,...,n. Njprej vidimo, d mor biti c 0 = f(). Ker je P n(t) = c 1 +2c 2 (x )+...+n(x ) n 1, mor biti c 1 = f (). Še z enim odvjnjem spoznmo, d mor biti c 2 = f ()/2! itd., postopom njdemo, d mor z vsk k = 0,1,2,...,n veljti c k = f (k) ()/k!. Iskni polinom je torej oblike n f (k) () P n (x) = (x ) k. k! k=0 Temu polinomu rečemo n-ti Tylorjev polinom (stopnje n) z funkcijo f in točko. Glede ostnk ozirom celotne proksimcijske formule velj nslednji izrek. 11

12 IZREK (Tylor). Z funkcijo f : R R, ki je (n + 1)-krt odvedljiv n odprtem intervlu I, nj bo P n njen n-ti Tylorjev polinom z točko I. Potem z vsk x I obstj tk točk c med in x, d velj nslednj Tylorjev formul: f(x) = P n (x) + f(n+1) (c) (n + 1)! (x )n+1. Dokz izrek. Če je x =, je formul prviln, zto privzemimo, d je x in definirjmo M = (f(x) P n (x))/(x ) n+1. Pokzli bi rdi, d je M = f (n+1) (c)/(n+1)! z nek c med in x. Z t I vpeljimo oznko g(t) = f(t) P n (t) M(t ) n+1 in novo funkcijo (n + 1)-krt odvjjmo, d izničimo polinom P n (t). Dobimo g (n+1) (t) = f (n+1) (t) M(n + 1)!. Ker je P n (k) () = f (k) () z k = 0,1,2,...,n, velj g() = g () =... = g (n) () = 0. Zdj bomo večkrt zpored uporbili Rolleov izrek. Ker je g() = 0 in zrdi definicije števil M tudi g(x) = 0, obstj po Rolleovem izreku tk c 1 med in x, d je g (c 1 ) = 0. Ker je tudi g () = 0, obstj po Rolleovem izreku tk c 2 med in c 1, d je g (c 2 ) = 0. Postopek tko ndljujemo; po n + 1 korki njdemo tk c = c n+1, d je g (n+1) (c) = 0. To p pomeni, d je f (n+1) (c) = M(n + 1)! ozirom M = f (n+1) (c)/(n + 1)!, kr smo potrebovli. Drugemu členu R n (x) = f(n+1) (c) (x )n+1 (n + 1)! n desni strni Tylorjeve formule rečemo Tylorjev ostnek (v Lgrngevi obliki) in pomeni npko proksimcijske formule. Iz oblike ostnk vidimo, d lko npko ocenimo, če poznmo omejitev z f (n+1) (c). To je res npr. tkrt, ko je f C n+1 (I) in je zto f (n+1) tudi omejen funkcij n vskem zprtem podintervlu v I. Pri n = 0 je P 0 (x) = f() in R 0 (x) = f (c)(x ), tko d dobimo že znno Lgrngevo formulo f(x) = f() + f (c)(x ) z x I. Pri n = 1 je to formul f(x) = f() + f ()(x ) + f (c)(x ) 2 /2, kjer smo funkcijo f proksimirli z linerno funkcijo (ozirom njen grf s tngento v točki ), itd. ZGLEDI. Z uporbo Tylorjeveg izrek lko izpeljemo rzlične bolj ntnčne formule z proksimcijo rzlični funkcij in tudi rzlične znimive ocene. npr.: () 1 + x 1 + x/2 z npko R 1 (x) = x 2 /4 (1 + c) 3, torej R 1 (x) x 2 /4, če x > 0; (b) cos x 1 x 2 /2 z npko R 3 (x) = cos(c)x 4 /24, torej R 4 (x) x 4 /24; (c) e x 1 + x/1! + x 2 /2! +... + x n /n! z npko R n (x) = e c x n+1 /(n + 1)!, torej R n (x) e x n+1 /(n + 1)!, če je x 1. Spomnimo se, d smo pri zporedji že ugotovili e 1 + 1/1! + 1/2! +... + 1/n! z dovolj velik n. Zdostni pogoji z loklni ekstrem Vedenje odvedljive funkcije f v okolici stcionrne točke lko ugotovimo z nslednjim kriterijem, ki uporblj predznk odvod f levo in desno od točke. TRDITEV. Funkcij f nj bo n intervlu I zvezn in odvedljiv, točk I p stcionrn točk, torej f () = 0. Če obstj tk δ > 0, d n intervlu ( δ, + δ) velj: (1) f (x) > 0 z x < in f (x) > 0 z x >, funkcij v točki nršč, (2) f (x) < 0 z x < in f (x) < 0 z x >, funkcij v točki pd, (3) f (x) 0 z x < in f (x) 0 z x >, im funkcij f v točki loklni minimum, (4) f (x) 0 z x < in f (x) 0 z x >, im funkcij f v točki loklni mksimum.

Dokz. Z 0 < < δ je po Lgrngevem izreku f( + ) f() = f (c), kjer je c < +, in f() f( ) = f (d), kjer je < d. V vskem od štiri primerov ocenim odvod v c in d p dobimo ustrezen rezultt (nrščnje, pdnje li ekstrem funkcije f v točki ). ZGLED. Obrvnvjmo funkcije f(x) = x 3, g(x) = x 4 in (x) = x 4 v stcionrni točki = 0. Ugotovimo, d je predznk odvod levo in desno od točke z funkcijo f obkrt pozitiven, z funkcijo g negtiven in pozitiven, z funkcijo pozitiven in negtiven. Zto prv funkcij v stcionrni točki nršč, drug im minimum in tretj mksimum (glej sliko 19). 13 0 x 3 0 x 4 -x 4 0 Slik 19 Z dvkrt odvedljive funkcije immo z nstop ekstrem zdosten pogoj, pri kterem izrčunmo vrednost prveg in drugeg odvod smo v točki. IZREK. Če je funkcij f n intervlu I dvkrt odvedljiv in je I stcionrn točk z f, torej f () = 0, velj nslednje: () Če je f () > 0, im funkcij f v točki loklni minimum. (b) Če je f () < 0, im funkcij f v točki loklni mksimum. Dokz. Če je f () > 0, st z vse dovolj mjne > 0 izpolnjeni neenkosti f ( + ) f () > 0 in f () f ( ) > 0. Ker je f () = 0, sledi od tod f (+) > 0 in f ( ) < 0. Po zgornji trditvi im funkcij f v stcionrni točki minimum. Podobno dokžemo točko (b). ZGLEDI. () Edin stcionrn točk kvdrtne funkcije f(x) = x 2 + bx + c, 0, je točk b/2, v kteri im prbol, ki je njen grf, teme. Funkcij f im v tej točki mksimum, če je < 0, in minimum, če je > 0. To sledi iz dejstv, d je f (x) = 2 z vsk x. (b) Funkcij f(x) = cos x im v točki 0 mksimum, v točki π p minimum, sj je f (0) = f (π) = 0, f (0) = 1 in f (π) = 1. Opomb. T kriterij odpove, če je f () = 0. Tedj lko nstopijo vse rzlične možnosti (zgled: funkcije f(x) = x 3, g(x) = x 4 in (x) = x 4 n sliki 19). V tem primeru si lko včsi pomgmo z višjimi odvodi v stcionrni točki. IZREK. Denimo, d z funkcijo f C n (I) in točko I velj f () = f () =... = f (n 1) () = 0 in f (n) () 0. Potem velj: () Če je n sodo število, im funkcij f v točki loklni ekstrem in sicer minimum, če je f (n) () > 0, in mximum, če je f (n) () < 0. (b) Če je n lio število, je funkcij f v točki nrščjoč, če je f(n) () > 0, in pdjoč, če je f (n) () < 0.

14 Dokz. Uporbimo Tylorjevo proksimcijsko formulo f(x) = P n 1 (x) + R n 1 (x), kjer je P n 1 (x) = n 1 f (k) () k=0 k! (x ) zdj Tylorjev polinom stopnje n 1. Ker je po predpostvki izrek P n 1 (x) = f(), je f(x) f() = R n 1 (x) in od predznk Tylorjeveg ostnk je odvisno vedenje funkcije v bližini točke. Vemo p, d je ostnek oblike R n 1 (x) = f(n) (c) n! (x ) n (c je nek vmesn točk med in x). Če je torej n sodo število, je predznk rzlike f(x) f() enk predznku n-teg odvod f (n) v točki c, ne glede n to, li je x < li x >. Zrdi zveznosti teg odvod p je predznk f (n) (c) isti kot predznk f (n) (), če je le x (in s tem c) dovolj blizu točki. Tedj im funkcij f v točki očitno loklni ekstrem ustrezne vrste, v odvisnosti od predznk z f (n) (). Če p je n lio število, je predznk rzlike f(x) f() odvisen tudi od teg, n kteri strni točke je x. V tem primeru funkcij f v točki nršč li pd. ZGLEDI. Z funkcijo f(x) = x 3 je f (0) = f (0) = 0 in f (0) = 6, zto je f v točki 0 nrščjoč funkcij. Po drugi strni p z funkcijo g(x) = x 4 velj g (0) = g (0) = g (0) = 0 in g (4) (0) = 24, zto im funkcij g v točki 0 loklni (in globlni) minimum. Opomb. Lko se zgodi, d im neskončnokrt odvedljiv funkcij v izolirni točki loklni ekstrem, vendr so v tej točki vsi njeni odvodi (poljubneg red) enki nič. V tem primeru si z zgornjim kriterijem seved ne moremo pomgti. Zgled je funkcij { e 1/ x, x 0 f(x) = 0, x = 0, ki im v točki 0 (globlni) minimum, vsi njeni odvodi v 0 p so enki nič. Konveksnost in konkvnost funkcije Nj bo funkcij f : R R definirn n intervlu I in,b I. Potem je enčb seknte skozi točki (,f() in (b,f(b), ki ležit n grfu funkcije f, enk y = f()+ f(b) f() b (x ). DEFINICIJA. Rečemo, d je funkcij f n intervlu I: () konveksn, če z vsk pr,b I, < b, in z x b velj f(x) f() + f(b) f() (x ); b (b) konkvn, če z vsk pr,b I, < b, in z x b velj f(x) f() + f(b) f() (x ). b Vidimo, d leži grf n intervlu I konveksne funkcije f n vskem zprtem podintervlu [,b] I pod seknto skozi točki (,f()) in (b,f(b)) (slik 20), grf konkvne funkcije p nd njo (slik 20b). (b,f(b)) (x, f(x)) (b,f(b)) (,f()) (x, f(x)) (,f()) x () b x (b) b Slik 20

Definicijo lko povemo tudi nekoliko drugče: z vsk z lstnostjo 0 b je f(b) f() + b in b b in zto f( + ) f() +, če je f konveksn, b f(b) f() in f( + ) f() +, če je f konkvn. b Če p zpišemo t = (x )/(b ), je 0 t 1 in x = (1 t) + tb (konveksn kombincij točk in b). Neenkost z konveksnost se zdj glsi z konkvnost p f((1 t) + tb) (1 t)f() + tf(b), f((1 t) + tb) (1 t)f() + tf(b). 15 Opomb. Iz definicije je jsno, d rzumemo konveksnost li konkvnost v širšem smislu. Med konveksne (li konkvne) štejemo npr. tudi linerne funkcije. Kdr enkost ni dopuščen, govorimo o strogi konveksnosti (li strogi konkvnosti). ZGLED. Kvdrtn funkcij f(x) = x 2 in eksponentn funkcij g(x) = e x st npr. (strogo) konveksni n vsej relni osi, logritemsk funkcij (x) = ln x p je n svojem definicijskem območju (strogo) konkvn. N vsej relni osi st konveksni tudi funkciji x x in x x, ki p nist strogo konveksni. TRDITEV. Vsk konveksn li konkvn funkcij f, definirn n odprtem intervlu I, je zvezn. Dokz. Iz konveksnosti funkcije f n intervlu I, vidimo, d je f(t) f() f(x) f() f(x) f(t) f(b) f(t). t x x t b t z poljubne štiri točke,b,t,x I z lstnostjo < t < x < b. Odtod je f(t) f() (x t) f(x) f(t) t f(b) f(t) (x t). b t Če pošljemo x t, dobimo f(x) f(t), se prvi zveznost z desne funkcije f v točki t. Podobno dokžemo tudi zveznost z leve. DEFINICIJA. Rečemo, d je n intervlu I odvedljiv funkcij: () konveksn v točki I, če obstj tk δ > 0, d je ( δ, + δ) I in d z vsk x ( δ, + δ) velj f(x) f() + f ()(x ); (b) konkvn v točki I, če obstj tk δ > 0, d je ( δ, + δ) I in d z vsk x ( δ, + δ) velj f(x) f() + f ()(x ). f (, f()) (, f()) f () Slik 21 (b) Grf funkcije f, ki je konveksn v točki, leži torej v dovoj mjni okolici točke nd tngento v tej točki, grf konkvne funkcije p pod njo.

16 Nekoliko drugče, z običjno oznko = x, lko definicijo povemo tudi tkole: DEFINICIJA. Odvedljiv funkcij f je v točki I () konveksn, če obstj tk δ > 0, d z < δ velj f( + ) f() f (), in (b) konkvn, če obstj tk δ > 0, d z < δ velj f( + ) f() f (). ZGLED. Kvdrtn funkcij f(x) = x 2 in eksponent funkcij g(x) = e x st konveksni v vski točki R. To sledi iz ocen f( + ) f() = ( + ) 2 2 = 2 + 2 2 = f (), g( + ) g() = e + e = e (e 1) e = f (). Po drugi strni je logritemsk funkcij (x) = ln x v vski točki > 0 konkvn, kr vidimo iz ocene ( + ) () = ln( + ) ln = ln(1 + /) / = (). TRDITEV. Odvedljiv funkcij f je konveksn v vskem svojem loklnem minimumu in konkvn v vskem svojem loklnem mksimumu. Dokz. Res, če im odvedljiv funkcij f loklni minimum v točki, obstj δ < 0, tko d z < δ velj f( + ) f() 0, torej tudi f( + ) f() f (), ker je v loklnem ekstremu f () = 0. Podobno dokžemo trditev glede loklneg mksimum. Z odvedljive funkcije lko konveksnost li konkvnost definirmo n en li drug nčin in dobimo isti rezultt. Velj nmreč nslednj trditev. TRDITEV. Odvedljiv funkcij f je n intervlu I konveksn (konkvn) ntnko tkrt, ko je konveksn (konkvn) v vski točki I. Dokz. Dokžimo smo konveksnost. Nj bo funkcij f n I konveksn, I poljubn točk in δ > 0 tk, d je ( δ, + δ) I. Izberimo x I z lstnostjo 0 < x < δ in nj bo t I tk, d je < t < x, če je x >, in x < t <, če je x <. Zrdi f(x) f() konveksnosti funkcije f je potem v obe primeri f(t) f() + (t ). Ker x je t f(t) f() > 0, dobimo odtod (x ) f(x) f() in v limiti (t ) tudi x t f ()(x ) f(x) f(), kr pomeni, d je funkcij f konveksn v točki. Obrtno, nj bo zdj funkcij f konveksn v vski točki intervl I in pokžimo njprej vmesni rezultt, d velj potem neenkost f(x) f() + f ()(x ) z vsk pr,x I (tj. ne smo loklno, v okolici točke ). Dovolj je pri dnem I neenkost pokzti z x > (z x < potek dokz podobno). Če bi bil množic A = {x > ; f(x) < f() + f ()(x )} neprzn, bi obstjl b = inf A in z njeg bi veljlo b in f(b) f() + f ()(b ). V primeru b =, funkcij f ne bi bil konveksn v točki. V primeru b > p mor nujno veljti f(b) = f() + f ()(b ), sicer b ne bi bil infimum množice A. Z funkcijo g(x) = f(x) f ()(x ) torej velj g() = g(b) = f(). Ker je zvezn, im n zprtem intervlu [,b] globlni mksimum, ki je dosežen vsj v eni točki teg intervl. Če je c supremum vse tki točk, im funkcij g v točki c tudi mksimum, zto je g (c) = 0 ozirom f (c) = f (), funkcij g p je v točki c po prejšnji trditvi konkvn. Ker je g(x) < g(c) z x > c, velj v te točk tudi f(x) f (x)(x ) < f(c) f (c)(c ) ozirom f(x) < f(c) + f (c)(x c). To pomeni, d funkcij f v točki c I ne bi bil konveksn.

Izberimo zdj poljubni točki,b I, < b. Če je < x < b, ležit po prvkr dokznem vmesnem rezulttu točki (,f()) in (b,f(b)) obe nd tngento n grf funkcije f v točki x. Torej velj isto z dljico skozi omenjeni točki, od koder sledi, d leži točk f(b) f() (x,f(x) pod seknto skozi (,f()) in (b,f(b)). Torej je f(x) f() + (x ) x z vsk x b in funkcij f je n intervlu I konveksn. IZREK 1. Odvedljiv funkcij f je v točki R strogo konveksn, če odvod f v točki nršč, in strogo konkvn, če odvod f v točki pd. Dokz. Če f v točki nršč, obstj δ > 0, d z 0 < < δ velj f ( ) < f () < f ( + ). Po Lgrngevem izreku potem obstjt točki c (,) in d (, + ), tko d velj f() f( ) = f (c) < f () in f( + ) f() = f (d) > f (). Torej je funkcij f v točki konveksn. Podobno dokžemo konkvnost, kdr odvod v točki pd. IZREK 2. Nj bo funkcij f dvkrt odvedljiv v točki. () Če je f () > 0, je funkcij f v točki strogo konveksn. (b) Če je f () < 0, je funkcij f v točki strogo konkvn. Dokz. Če je f () > 0, odvod f v točki nršč, zto je funkcij f po izreku 1 konveksn in velj točk (). Podobno dokžemo točko (b). DEFINICIJA. Točk je prevoj odvedljive funkcije f, če obstj tk δ > 0, d z 0 < < δ velj: () f( + ) f() < f (), če je > 0, in f( + ) f() > f (), če je < 0, li (b) f( + ) f() > f (), če je > 0, in f( ) f() < f (), če je < 0. Drugče rečeno, prevoj je tk točk, v kteri ni odvedljiv funkcij f niti konveksn niti konkvn, mpk leži njen grf v bližini točke tko n eni kot n drugi strni tngente v točki (glej sliko 22). 17 (,f()) f (,f()) f Slik 22 IZREK 3. Potreben in zdosten pogoj z prevoj funkcije f v točki je strogi loklni ekstrem (mksimum li minimum) odvod f v točki. Dokz. Če im funkcij f v točki prevoj, ni v točki niti konveksn niti konkvn. Po izreku 1 potem prvi odvod f v točki niti ne nršč niti ne pd, ne more p se niti zgoditi, d bi bil n eni li n obe strne točke konstnten. Se prvi, d im f v točki strogi loklni ekstrem. Obrtno, če im f v točki npr. strogi loklni mksimum, obstj δ > 0, tko d z 0 < x < δ velj f (x) < f (). Z 0 < < δ je potem po Lgrngeu f( + ) f() = f (c) f (), če je > 0, in f( + ) f() = f (c) > f (), Če je < 0. Torej im funkcij f v točki prevoj. N podoben nčin ugotovimo prevoj, če im f v točki loklni minimum.

18 Opomb. Če je funkcij f v točki dvkrt odvedljiv, je f () = 0 potreben pogoj z prevoj, ki p ni tudi zdosten. ZGLEDI. Funkcij f(x) = x 2 nim nobeneg prevoj; prvi odvod f (x) = 2x je povsod nrščjoč funkcij, f povsod konveksn. Funkcij g(x) = x 3 im prevoj v točki 0, sj im prvi odvod g (x) = 3x 2 tm svoj minimum. Konveksn funkcij (x) = x 4 tudi nim nobeneg prevoj, sj je (x) = 4x 3 povsod nrščjoč funkcij. Ker je v tem primeru drugi odvod (x) = 12x v točki 0 enk nič, vidimo, d izničenje drugeg odvod ni zdostno z nstop prevoj. (y) e -x 2-1/ 2 0 1/ 2 Slik 23 (x) Poiščimo še prevoje funkcije f(x) = e x2. Ker je t funkcij velikokrt odvedljiv je potreben pogoj z prevoj v točki enčb f () = 0. Prvi odvod je f (x) = 2xe x2, drugi odvod p f (x) = (4x 2 2)e x2. Torej je prevoj lko le v točk = ±1/ 2. Ker im tu prvi odvod res loklni ekstrem, im funkcij f prevoj, sicer p je konveksn z x < 1/ 2 in x > 1/ 2, med obem prevojem p je konkvn (glej sliko 23). Krivulje v prmetrični in polrni obliki Doslej smo vekrt nrisli grfe rzlični eksplicitno podni funkcij ene spremenljivke. Grf funkcije f je nek krivulj v rvnini, ki jo opiše točk (x,f(x)), ko neodvisn spremenljivk zvzme vse svoje možne vrednosti. Pogosto p podmo rvninsko krivuljo, ki ni nujno grf neke funkcije, v ti. prmetrični obliki: x = x(t), y = y(t), kjer je zdj t nov spremenljivk, ki lko zvzme svoje vrednosti n nekem (omejenem li neomejenem) zprtem intervlu I, z x in y p ztevmo, d st zvezni relni funkciji n I. Novi spremenljivki t rečemo prmeter, enčbm x = x(t), y = y(t) p prmetrični enčbi krivulje. V posebnem primeru lko tudi grf funkcije f zelo enostvno podmo v prmetrični obliki; preprosto pišemo x = t in y = f(t) (prmeter je v tem primeru v resnici kr neodvisn spremenljivk x). Prvzprv gre pri prmetrični enčb x = x(t), y = y(t) z preslikvo iz I v R 2, t (x(t),y(t)), ki vski vrednosti prmetr t I priredi točko (x(t),y(t)) R 2. Vsko tko zvezno preslikvo imenujemo pot, njeno zlogo vrednosti p (prmetrizirno) krivuljo. Če je intervl omejen, npr. I = [α, β], je (x(α), y(α)) zčetn in (x(β), y(β)) končn točk dne poti. Mislimo si, d je prmeter t čs, in d se točk (x(t), y(t)) giblje po rvnini in pri tem v dnem čsovnem intervlu I = [α, β] opiše dno krivuljo ozirom njen lok od zčetne do končne točke. V primeru x(α) = x(β) in y(α) = y(β) rečemo, d je krivulj sklenjen. Tudi loklno vedenje prmetrično podni krivulj obrvnvmo z odvodom, določmo tngente nnje, iščemo njiove posebne točke itd. Nj bost x = x(t) in y = y(t) vsj enkrt odvedljivi funkciji prmetr t. Odvode n t običjno oznčimo s piko, torej ẋ = dx/dt in ẏ = dy/dt, črtic p nj še nprej pomeni odvod n spremenljivko x, torej y = dy/dx.

Če je npr. x = x(t) n intervlu I strogo monoton funkcij ki preslik I n intervl J, in je ẋ(t) 0 z vsk t I, obstj n J inverzn funkcij t = t(x), ki je tudi strogo monoton in odvedljiv, poleg teg p velj t (x) = 1/ẋ(t(x)) z vsk x J. Potem p je tudi y posredn funkcij spremenljivke x in po prvilu z odvjnje posredne funkcije velj y = ẏ(t(x)) t (x) = ẏ(t(x))/ẋ(t(x)) ozirom krjše y = ẏ(t)/ẋ(t). To formulo si njlže zpomnimo z uporbo diferencilov: ker je dx = ẋ(t)dt in dy = ẏ(t)dt, je y = dy/dx = ẏ(t)dt/ẋ(t)dt = ẏ(t)/ẋ(t) ozirom n krtko y = ẏ/ẋ. Enčbo tngente n krivujo y = f(x) v točki (,b), kjer je b = f(), smo podli z enčbo y b = f ()(x ). Tudi zdj y = ẏ(t)/ẋ(t) določ smer tngente n prmetrično krivuljo x = x(t), y = y(t) v točki (,b), kjer je = x(t) in b = y(t), tko d je enčb tngente enk y y(t) = ẏ(t)/ẋ(t)(x x(t) ozirom v lepši obliki ẏ(t)(x x(t)) ẋ(t)(y y(t)) = 0. Vidimo, d je vektor (ẋ(t), ẏ(t)) smerni vektor n tngenti; določ smer, v kteri potek krivulj skozi točko (x(t),y(t)). Tu je lko tudi ẋ(t) = 0; če je v tem primeru ẏ(t) 0, je tngent nvpičn, pri ẋ(t) 0 in ẏ(t) = 0 p je vodorvn. Če vsj eden od odvodov pri dnem t ni enk nič, rečemo, d je krivulj tm gldk (im tngento). Točki (x(t),y(t)) n krivulji, kjer velj ẋ(t) = 0 in ẏ(t) = 0 p rečemo singulrn točk krivulje. V singulrni točk tngent n krivuljo ne obstj. ZGLEDI. 1. Nj bo x = t 2, y = t 3. Vidimo, d st obe funkciji zvezni z vsk t R in d je x 0. Poleg teg st obe funkciji odvedljivi ẋ(t) = 2t in ẏ(t) = 3t 2. Pri t = 1 dobimo npr. n krivulji točko (1,1), enčb tngente p se v tej točki glsi 3(x 1) 2(y 1) = 0 ozirom y = (3x 1)/2. Iz odvodov tudi vidimo, d doseže x svoj minimum (ker je drugi odvod ẍ(0) > 0) v točki t = 0, medtem ko je funkcij y strogo monotono nrščjoč z vsk t R. Vendr st pri t = 0 ob odvod enk nič, zto je (0,0) singulrn točk, krivulj im v njej ost (glej sliko 24). x = t 2 y = t 3 (y) 1 19 0 1 ( x) Slik 24 2. Elips v centrlni legi je v prmetrični obliki podn z enčbm x = cos t, y = bsin t, kjer je > 0, b > 0 in 0 t 2π. Res, z elimincijo prmetr iz te dve enčb dobimo knonično obliko elipse x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1. Če je = b, dobimo krožnico (glej sliko 25). Predstvljmo si lko, d dobimo elipso tko, d točk kroži po krožnici, v vski legi p ordinto skrčimo v rzmerju b/; prmeter t pri tem meri kot do točke n krožnici. Torej lko rečemo, d je elips stisnjen krožnic.

20 (x,y) t 0 Slik 25 Odvjjmo prmetrični enčbi in dobimo ẋ = sint, ẏ = cos t, vidimo, d st stcionrni točki z x točki t = 0 in t = π, kjer dobimo x(0) =, x(π) = in y(0) = y(π) = 0, stcionrni točki z y p točki t = π/2 in t = 3π/2, kjer p je x(π/2) = x(3π/2) = 0, y(π/2) = b, y(3π/2) = b. Dobili smo rvno vs štiri temen elipse (, 0), (, 0), (0, b), (0, b). Singulrni točk p elips nim; z noben t ni krti ẋ = 0 in ẏ = 0. 3. Cikloid im prmetrične enčbe x = (t sin t), y = (1 cos t), kjer je > 0 in t R. Geometrijsko nstne kot krivulj, ki jo oriše točk n krožnici s polmerom, ko se le-t brez drsenj kotli po relni osi, v zčetku, pri t = 0 p se opzovn obodn točk ujem s koordintnim izodiščem (glej sliko 26). Z dvkrtnim odvjnjem n prmeter t njdemo ẋ = (1 cos t), ẏ = sin t in ẍ = sin t, ÿ = cos t. Odtod tkoj sledi, d im funkcij x prevoje pri t = 2kπ, k Z, ko je x = 2kπ in y = 0, funkcij y p loklne minimume v isti točk in loklne mksimume pri t = (2k + 1)π, k Z, ko je x = kπ in y = 2. Singulrne točke n krivulji so točke (2kπ,0), k Z, kjer im krivulj osti (glej sliko 26). 2 0 Slik 26 2 Polrn oblik Pogosto je prmeter t = φ, polrni kot, ki lko zvzme vsko vrednost n relni osi (pozitivno in negtivno). Ker je zvez med krtezičnimi in polrnimi koordintmi dn z enčbm x = r cos φ, y = r sin φ, dobimo iz x = x(φ), y = y(φ), d se tudi polrn rzdlj r = x(φ) 2 + y(φ) 2 spreminj s kotom φ, seved p lko zvzme le nenegtivne vrednosti. Tko pridemo do polrne oblike enčbe krivulje: r = r(φ), D r = {φ R; r(φ) 0}. ZGLEDI. 1. Krožnic s polmerom > 0 v centrlni legi je podn s preprosto enčbo r =. Tudi krivulj z enčbo r = 2cos φ, π/2 φ π/2, je krožnic, in sicer tk, ki im polmer in središče n bscisni osi v točki (,0) (slik 27). Prmetrični enčbi te krožnice st x = 2cos 2 φ, y = 2cos φsin φ. Če rje pišemo x = (2cos 2 φ 1) = cos 2φ in y = sin 2φ, vidimo d je res (x ) 2 + y 2 = 2.

21 (y) r 2 (x) Slik 27 2. Poševn premic, pri kteri dljic dolžine, ki povezuje koordintno izodišče z njbljižjo točko n premici, oklep z bscisno osjo kot φ 1, im enčbo r = /cos(φ φ 1 ) (glej sliko 28). Polrni kot je zdj v mej med φ 1 π/2 in φ 1 +π/2. V posebnem primeru, ko je φ 1 = 0 gre z nvpično premico r = /cos φ, ki presek bscisno os v točki, ko je φ 1 = π/2 p z vodrvno premico r = /sin φ, ki presek ordintno os v točki. 0 1 = + 0 0 0 r 0 Slik 28 Tudi krivulje v polrni obliki lko obrvnvmo z odvodom. Tko lko npr. določimo enčbe tngent v poljubni točki tke krivulje, poiščemo točke, v kteri so tngente vodorvne li nvpične, p tudi druge znimive točke. Z r oznčimo odvod polrne rzdlje r n polrni kot φ. Ker je ẋ = r cos φ r sin φ in ẏ = r sinφ + r cos φ, je enčb tngente n polrno podno krivuljo r = r(φ) v točki s polrnim koordintm (r 0,φ 0 ), r 0 = r(φ 0 ), enk (r (φ 0 )cos φ 0 r 0 sin φ 0 )(y r 0 sin φ 0 ) (r (φ 0 )sin φ 0 + r 0 cos φ 0 )(x r 0 cos φ 0 ) = 0. Vpeljimo oznko r 0 = r (φ 0 ), pišimo x = r cos φ in y = r sinφ ter iz dobljene enčbe ob upoštevnju dicijski izrekov izrzimo r, p dobimo r = r0 2/(r 0 cos(φ φ 0 )+r 0 sin(φ φ 0)). Tudi to je enčb neke premice, kr vidimo, če izberemo tk ψ 0, d je cos ψ 0 = r 0 / r0 2 + r 2 0 in sin ψ 0 = r 0 / r0 2 + r 2 0. Tedj je nmreč r = r 0 cos ψ 0 /cos(φ φ 0 ψ 0 ) (glej sliko 28). 3. Zelo znimive in v nrvi prisotne krivulje so rzlične spirle: () Arimedov spirl im polrno enčbo r = φ. Tu je > 0 in φ 0. (b) Hiperboličn spirl je dn z enčbo r = /φ, > 0,φ > 0. (c) Logritemsk spirl im enčbo r = e mφ. Tu je > 0 in m R, m 0 (pri m = 0 bi dobili enčbo krožnice), polrni kot φ R p lko zvzme vse relne vrednosti. Če je m > 0, se spirl z rstočim φ odpir, z m < 0 p zpir okrog koordintneg izodišč. Vse tri spirle so prikzne n sliki 29.

22 0 2 0 0 Slik 29 ZGLED. Znno je, d logritemsk spirl s polrno enčbo r = e mφ sek vsk poltrk iz izodišč pod istim kotom β. (y) tg m 0 (x) Slik 30 To spoznmo tkole. Kot med poltrkom in krivuljo je v bistvu kot med poltrkom in tngento n krivuljo v presečišču. Ker je smerni koeficient tngente n krivuljo v polrni obliki pri dnem polrnem kotu φ enk tgα = (r sin φ + r cos φ)/(r cos φ r sin φ) in je v nšem primeru r = me mφ, dobimo tgα = (m sin φ + cos φ)/(m cos φ + sin φ) Nklonski kot poltrk je seved φ, kot med njim p iskni kot β = α φ (glej sliko 30). Njegov tngens je po znni trigonometrični formul in po krjšem rčunu enk tgβ = tgα tgφ (m sin φ + cos φ)cos φ (m cos φ sin φ)sin φ = 1 + tgαtgφ (m cos φ sin φ)cos φ + (m sin φ + cos φ)sin φ = 1 m. Vidimo, d je kot β neodvisen od φ, torej konstnten. 4. Še en lep krivlj v polrni obliki je srčnic (krdioid), dn z enčbo r = (1 + cos φ), kjer je > 0 in 0 φ π. Prikzn je n sliki 31. (y) 0 2 (x) Slik 31 V tem primeru dobimo ẋ = (sin φ + sin 2φ) = sin φ(1 + 2cos φ), ẏ = (cos φ + cos 2φ) = (1 + cos φ)(1 2cos φ), tko d im x loklne ekstreme (nvpičn tngent) pri φ = 0, φ = π, φ = ±2π/3 in y loklne ekstreme (vodorvn tngent) pri φ = π in φ = ±π/3. Singulrn točk je koordintn izodišče (pri φ = π).

23 Pritisnjeni krog in ukrivljenost rvninski krivulj V dotiklišču tngente n grf odvedljive funkcije f se poleg vrednosti ujemt tudi nklon tngente in krivulje (odvod funkcije f). Podobno je pri proksimciji večkrt odvedljive funkcije f s Tylorjevim polinomom višjeg red, ko se v neki točki ujemjo vrednosti in vsi višji odvodi funkcije in polinom do nekeg red. DEFINICIJA. Če st f in g večkrt odvedljivi funkciji in če v neki točki c velj f(c) = g(c), f (c) = g (c),..., f (n) (c) = g (n) (c), rečemo, d imt krivulji y = f(x) in y = g(x), tj. grf funkcij f in g, v točki c dotik red n. Grf funkcije f in grf n-teg Tylorjeveg polinom z točko c imt npr. v točki c dotik red n in to je edini polinom n-teg red s to lstnostjo. Lko torej rečemo, d med vsemi polinomi n-teg red grf Tylorjeveg polinom v točki c njbolje prileg grfu dne n-krt odvedljive funkcije f. Imejmo zdj dvkrt odvedljivo funkcijo f in si zstvimo sorodno vpršnje: Kter krožnic se v dni točki (x,y) njbolje prileg grfu funkcije f? Krožnico iščimo v obliki (x ) 2 + (y b) 2 = ρ 2, kjer st središče (,b) in polmer ρ še neznni. Določimo ji tko, d bo imel krožnic z grfom funkcije f v točki (x,y) dotik red dv: y(x) = f(x), y (x) = f (x) in y (x) = f (x). Tu smo z y = y(x) oznčili tudi funkcijo, ki se skriv v enčbi krožnice. Njene odvode lko poiščemo po prvilu z odvjnje posredne funkcije. Z odvjnjem enčbe krožnice n spremenljivko x dobimo 2(x ) + 2(y b)y = 0 ozirom = x (b y)y. Še enkrt odvjjmo, p dobimo 0 = 1 + y 2 (b y)y. Če je y 0, lko iz zdnje enčbe izrčunmo in nto iz prejšnje dobimo b = y + (1 + y 2 )/y = x y (1 + y 2 )/y. To st koordinti središč krožnice, njen polmer p je potem ρ = (1 + y 2 ) 3/2 / y. Zdj p ztevjmo y = f(x), y = f (x) in y = f (x). Potem so količine, b in ρ s funkcijo f in točko x ntnko določene. Dobljen krožnic omejuje krog, ki mu rečemo pritisnjeni li krivinski krog krivulje, ki predstvlj grf funkcije f, v splošni točki (x,f(x)), kjer je f (x) 0. Središče pritisnjeneg krog je točk (,b), kjer je polmer p = x f (x)(1 + f (x)) 2 f (x) ρ = (1 + f (x) 2 ) 3/2 f. (x), b = f(x) + 1 + f (x) 2 f, (x) Opomb. Središče pritisnjeneg krog n krivuljo y = f(x) v točki (x,f(x)) leži seved n normli skozi (x,f(x)). Ker se v bližnji točki (x +,f(x + )) krivulj skorj ujem s pritisnjen krožnico v točki (x, f(x)), dobimo središče pritisnjeneg krog tudi tko, d njprej poiščemo presečišče (,b) normle skozi (x+,f(x+)) z normlo skozi (x,f(x)) (kr je možno storiti, če normli nist vzporedni). Točk (, b) torej zdošč enčbm obe norml b f(x) = (x )/f (x) in b f(x+) = (x+ )/f (x+). Če odtod izločimo b, dobimo z enčbo (f (x+) f (x))(x ) = (f(x+) f(x))f (x)f (x+)+f (x). Delimo s in pošljimo 0 p dobimo v limiti f (x)(x ) = f (x)(1 + f (x) 2 ), kr nm d isti rezultt kot zgorj.

24 Poleg teg definirmo še eno količino. DEFINICIJA. Ukrivljenost krivulje y = f(x) v točki x je količin κ = f (x) (1 + f (x) 2 ) 3/2. Vidimo, d je ukrivljenost pozitivn, če je funkcij f v točki x strogo konveksn (krivulj se z rstočim x ukrivlj n levo) in negtivn, če je funkcij f v točki x strogo konkvn (krivulj se z rstočim x ukrivlj n desno). Ukrivljenost je tudi lko enk nič, kr se zgodi, kdr je f (x) = 0. Opomb. Ksneje bomo ukrivljenost (krivulje v prmetrični obliki) definirli še drugče, kot itrost spreminjnj smeri tngente n krivuljo glede n t.i. nrvni prmeter. DEFINICIJA. Polmeru pritisnjeneg krog rečemo krivinski polmer li krivinski rdij. Iz definicije vidimo, d je enk bsolutni vrednosti urivljenosti n 1, se prvi ρ = 1/ κ. Kdr je ukrivljenost enk nič, je krivinski polmer neskončen. ZGLED. Običjn prbol je grf kvdrtne funkcije f(x) = x 2. Tu je f (x) = 2x, f (x) = 2 in zto κ = 2/(1 + 4x 2 ) 3/2 z vsk x R. Vidimo, d je ukrivljenost njvečj in enk 2 v točki x = 0 (tedj je krivinski polmer enk 1/2), potem p se zmnjšuje in konvergir proti 0, ko x. Poglejmo si še, kko ukrivljenost izrčunmo pri krivulj v prmetrični in polrni obliki. TRDITEV 1. Z krivuljo, ki je podn v prmetrični obliki z enčbm x = x(t), y = y(t), kjer st x in y dvkrt odvedljivi funkciji prmetr t, je v ukrivljenost pri poljubni vrednosti prmetr t enk krivinski polmer p κ = ÿ(t)ẋ(t) ẍ(t)ẏ(t) (ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 ) 3/2, ρ = (ẋ(t)2 + ẏ(t) 2 ) 3/2 ÿ(t)ẋ(t) ẍ(t)ẏ(t). Dokz. Še enkrt odvjmo y = ẏ/ẋ n spremenljivko x, p dobimo z drugi odvod po x izrz y = (ẏ/ẋ) /ẋ = (ÿẋ ẍẏ)/ẋ 3. Ker je tudi (1 + y 2 ) 3/2 = (ẋ 2 + ẏ 2 ) 3/2 /ẋ 3, dobimo rezultt iz definicij z ukrivljenost in z krivinski polmer. TRDITEV 2. Z krivuljo, ki je podn v polrni obliki z enčbo r = r(φ), kjer je r dvkrt odvedljiv funkcij polrneg kot φ, je v ukrivljenost pri poljubni vrednosti kot φ enk κ = r(φ)2 + 2r (φ) 2 r(φ)r (φ) (r(φ) 2 + r (φ) 2 ) 3/2, krivinski polmer p (r(φ) 2 + r (φ) 2 ) 3/2 ρ = r(φ) 2 + 2r (φ) 2 r(φ)r (φ). Dokz. Ker je ẋ = r cos φ r sin φ in ẏ = r sin φ + r cos φ, st drug odvod enk ẍ = r cos φ 2r sin φ+r cos φ in ẍ = r sinφ+2r cos φ+r sin φ, zto s krtkim rčunom dobimo ÿẋ ẍẏ = r 2 + 2r 2 rr in ẋ 2 + ẏ 2 = r 2 + r 2, odkoder sledi rezultt po trditvi 1.