Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca, care reprezinta partea regulata este convergenta pentru z z 0 < R. Daca seria de puteri este conevergenta pentru z z < R, rezulta ca seria n= n= (z z 0 ) n este convergenta pentru z z 0 > r = /R. Daca r < R atunci seria Laurent este convergenta in coroana circulara r < z z 0 < R. Theorem. Fie G C un domeniu, f : G C o functie olomorfa si coroana circulara D = {z C : R < z z 0 < R 2 } cu D G. Pentru orice z din D functia f poate fi dezvoltata in serie Laurent de puteri ale lui z z 0. Demonstratie.. Fie cercurile centrate in z 0, C(z 0, R ) = {z C : z z 0 = R } si C(z 0, R 2 ) = {z C : z z 0 = R 2 } si γ = [z 0 + R, z 0 + R 2 ] un segment de dreapta cu capetele pe cele doua cercuri. Domeniul D = D \ γ este simplu conex cu frontiera D = C(z 0, R 2 ) γ C(z 0, R ) γ. Cu formula lui Cauchy, avem pentru z D. ζ z dζ = ζ z dζ ζ z dζ D Daca ζ C(z 0, R 2 ) avem z z 0 ζ z 0 < si deci C(z 0,R 2 ) ζ z = (ζ z 0 ) (z z 0 ) = (ζ z 0 ) Daca ζ C(z 0, R ) avem ζ z 0 z z 0 < si deci ζ z = (ζ z 0 ) (z z 0 ) = (z z 0 ) z z = 0 ζ z 0 (ζ z 0 ) C(z 0,R ) = ζ z 0 (ζ z z z 0 ) 0 (ζ z 0 ) n.
In consecinta, daca ζ C(z 0, R 2 ) avem si daca ζ C(z 0, R ) avem ζ z = (ζ z 0 ) ζ z = (z z 0 ) (ζ z 0 ) n (ζ z 0 ) n. (ζ z 0 ) n Intrucat convergenta este uniforma, prin integrare termen cu termen obtinem C(z 0,R 2 ) ζ z dζ = C(z 0,R 2 ) (ζ z 0 ) dζ (z z 0) n n+ Rezulta ca unde C(z 0,R 2 ) ζ z dζ = a n = a n = C(z 0,R 2 ) C(z 0,R ) n= C(z 0,R 2 ) (ζ z 0 ) n dζ dζ, n 0 (ζ z 0 ) n+ (ζ z 0 ) n dζ, n. Din Teorema lui Cauchy rezulta ca pentru orice R < r < R 2 a n = dζ, n 0 C(z 0,r) (ζ z 0 ) n+ a n = (ζ z 0 ) n dζ, n. C(z 0,r) Puncte singulare izolate. Reziduuri Definition 2. Fie G C, z 0 G si f : G \ {z 0 } C. Punctul z 0 se numeste punct singular izolat pentru functia f daca exista R > 0 astfel ncat D(z 0, R) G si f este olomorfa pe D(z 0, R) \ {z 0 }. Din Teorema anterioara, rezulta ca exista r > 0 astfel incat pentru orice z D(z 0, R)\ {z 0 } avem n= 2
Daca partea principala a dezvoltarii este identic nula atunci z 0 se numeste punct singular izolat aparent. Daca partea principala are un numar finit de coeficienti nenuli, adica este de forma atunci z 0 se numeste pol de ordinul n + + a z z 0, 0 Daca partea principala are o infinitate de termeni nenului atunci z 0 se numeste punct singular izolat esential. Definition 3. Fie z 0 un punct isolat pentru f is fie dezvolatrea lui f in serie Laurent pe multimea D(z 0, R) \ {z 0 } Se numeste reziduu al lui f in punctul z 0 si se noteaza Res(f, z 0 ) coeficientul a al dezvoltarii lui f in serie Laurent de puteri ale lui z z 0. Asadar, Res(f, z 0 ) = a = C ( z 0,r) f(z)dz, 0 < r < R. Propozitie. Fie G C o multime deschisa, f : G C olomorfa si z 0 un punct singular izolat pentru f. Atunci z 0 este un punct singular aparent daca si numai daca f este restrictia unei functii olomorfe g pe G {z 0 }. Demonstratie. Daca z 0 este un punct singular aparent, exista R > 0 astfel incat pentru orice z D(z 0, R) \ {z 0 } avem. Functia g : G {z 0 } C definita prin { f(z) z z 0 a 0 z = z 0 este olomorfa pe G {z 0 } si restrictia ei la G este f. Reciproca, este evidenta. Corolar. Fie G C o multime deschisa, f : G C olomorfa si z 0 un punct singular izolat pentru f. Atunci z 0 este un punct singular aparent daca si numai daca functia f are limita in punctul z 0. 3
Proposition 4. Fie G C o multime deschisa, f : G C olomorfa si z 0 un punct singular izolat pentru f. Atunci z 0 este un pol de ordinul n daca si numai daca exista o functie g olomorfa pe G {z 0 } cu g(z 0 ) 0 astfel incat () g(z) Demonstratie. Sa presupunem ca z 0 este un pol de ordinul n. Atunci exista R > 0 astfel incat pentru z D(z 0, R) \ {z 0 } sa avem + + a z z 0 + a 0 + a (z z 0 ) + + a k (z z 0 ) k +, 0. Asadar, daca z D(z 0, R) \ {z 0 } atunci + + (z z 0 ) + a + a 0 + a + + si deci lim z z0 f(z) = Functia g : G {z 0 } C { f(z) z z 0 z = z 0 este olomorfa cu g(z 0 ) 0 si daca z G atunci g(z) Reciproc sa presupunem ca exista g : G {z 0 } C olomorfa care satisface () si g(z 0 ) 0. Intrucat g este olomorfa exista R > 0 astfel incat pentru z D(z 0, R) sa avem Atunci, daca z D(z 0, R) \ {z 0 } avem. a 0 + a + a n z z 0 + a n + a n+ (z z 0 ) + si cum a 0 = g(z 0 ) 0, rezulta ca z 0 este un pol de ordinul n. Corolar. Fie G C o multime deschisa, f : G C olomorfa si z 0 un punct singular izolat pentru f. Atunci z 0 este pol de ordin n pentru f daca si numai daca lim f(z) = 4
Corolar. Fie G C o multime deschisa, f : G C olomorfa si z 0 un punct singular izolat pentru f. Atunci z 0 este punct singular esential pentru f daca si numai daca nu exista lim z z0 f(z) Proposition 5. Daca f are in z 0 un pol de ordinul n atunci Demosntratie. g(z 0 ) 0 astfel incat Res(f, z 0 ) = Atunci, daca z D(z 0, R) \ {z 0 }, (n )! lim [ f(z)] (n ) Deoarece z 0 este pol de ordin n exista g : G {z 0 } C olomorfa cu f(z) (z z 0 ). n. a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 + + + Atunci reziduul lui f in z 0 este coeficientul lui a n din dezvoltarea in serie de puteri a lui f(z). Deci, Res(f, z 0 ) = = (n )! g(n ) (z 0 ) = (n )! lim g (n ) (z) (n )! lim [ f(z)] (n ) Corolar. Daca f are in z 0 un pol de ordinul atunci Res(f, z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z) Theorem 6. Fie G C o multime deschisa, a, a 2,... a n G si f : G\{a, a 2,... a n } C o functie olomorfa in G \ {a, a 2,... a n } (deci acesta sunt puncte izolate pentru f). Fie D un domeniu marginit simplu conex astfel incat D G si a, a 2,... a n D. Daca frontiera lui D notata cu C este o curba neteda pe portiuni si orientata pozitiv atunci C f(z)dz = n Res(f, a i ) i= Demonstratie. Fie r, r 2,..., r n numere pozitive suficient de mici astfel ca discurile D(a i, r i ), i =, 2,..., n sa fie incluse in D si disjuncte doua cate doua. Fie C(a i, r i ) frontierele lor 5
orientate pozitiv. Fie D = D \ n i=d(a i, r i ) cu frontiera (orientata pozitiv) D = D \ n i=c(a i, r i ). Cu Teorema lui Cauchy, se poate arata 0 = f(z)dz = D D f(z)dz + n i= C(a i,r i ) f(z) si deci n f(z)dz = Res(f, a i ). D i= 6