Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial

MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years at the Techical Uiversity of Civil Egieerig of Bucharest. It cotais: Sequeces ad Series of Numbers, Sequeces ad Series of Fuctios, Power Series, Taylor s Series, Metric Spaces, Normed ad Hilbert Spaces, Fuctios of Several Variables, Limits ad Cotiuity, Partial Derivatives, Differetiable Fuctios, Taylor s Formula, Local Etremum of a Fuctio, Implicit Fuctios, Local Coditioal Etremum, Depedet Fuctios. This list itself demostrates that the book provides the egieerig disciplies with the ecessary iformatio of differetial calculus of fuctios with oe ad several variables. We tried to offer the fudametal material cocisely ad without distractig details. We focused o the presetatio of basic ideas of differetial calculus i order to make it detailed ad as comprehesible as possible. The umerous eamples also serve this aim. Besides studets i tehical faculties ad those startig a mathematics course, the book may be useful to egieers ad scietists who wish to refresh their kowledge about some aspects of mathematics. Lucrarea a fost realizată î cadrul Cotractului de Grat r. 39643 /.08.998, CNFIS, cod 54, acordat de către Baca Modială şi Guverul Româiei.

Prof. uiv. dr. GAVRIIL PĂLTINEANU ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial Seria MATEMATICĂ

4 ANALIZĂ MATEMATICĂ Editura AGIR Bucureşti, 00

ASOCIAŢIA GENERALĂ A INGINERILOR DIN ROMÂNIA EDITURA AGIR, 00 Editură acreditată de C.N.C.S.I.S. Toate drepturile petru această ediţie sut rezervate editurii. Adresa: Editura AGIR Calea Victoriei, r. 8, sector, 7079 Bucureşti Telefo: 40-8 04; 40-8 06 (redacţie) 40-83 50 (difuzare) Fa: 40-3 55 3; E-mail: office@agir.ro Referet: prof. uiv. dr. Gheorghe Bucur, Facultatea de Matematică, Uiversitatea Bucureşti Redactor: ig. Adia NEGOIŢĂ Coperta: Camelia BOGOI Bu de tipar: 5.08.00; Coli de tipar:,75 ISBN 973-830-90-5 Imprimat î Româia

Prefaţă Lucrarea se adresează studeţilor di aul îtâi di uiversităţile tehice şi are la bază eperieţa de peste 0 de ai a autorului î predarea cursului de Aaliză Matematică la Facultatea de Costrucţii Civile şi Idustriale di Uiversitatea Tehică de Costrucţii Bucureşti. Materialul prezetat corespude programei aalitice di semestrul îtâi şi este împărţit î patru capitole: Şiruri şi serii de umere reale, Şiruri şi serii de fucţii reale, Spaţii metrice. Spaţii ormate şi Spaţii Hilbert, Calculul difereţial al fucţiilor de mai multe variabile. Î vasta ofertă de cursuri de Aaliză Matematică de pe piaţa cărţii di ţara oastră, difereţa este dată de măsura î care se păstrează u echilibru rezoabil ître rigoare şi accesibilitate. Acesta a fost criteriul de bază î scrierea acestui curs şi sperăm că, măcar parţial, am reuşit acest lucru. Bucureşti, februarie 00 G. Păltieau

Cupris. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE... 9.. Numere reale... 9.. Şiruri de umere reale (complemete)... 6.3. Dreapta îcheiată. Limitele etreme ale uui şir....4. Serii umerice covergete şi divergete... 5.5. Serii cu termei pozitivi... 7.6. Criterii de covergeţă petru serii cu termei oarecare... 39.7. Calculul aproimativ al sumei uor serii... 4.8. Serii absolut covergete... 44.9. Operaţii cu serii covergete... 47. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE... 49.. Covergetă simplă (puctuală) şi covergeţă uiformă... 49.. Formula Taylor... 60.3. Serii Taylor şi Mac Lauri... 66.4. Serii de puteri... 7 3. SPAŢII METRICE. SPAŢII NORMATE. SPAŢII HILBERT... 79 3.. Spaţii metrice. Pricipiul cotracţiei... 79 3.. Spaţii ormate... 87 3.3. Spaţii Hilbert... 88 3.4. Serii î spaţii ormate... 9 3.5. Fucţii elemetare Formulele lui Euler... 96 3.6. Fucţii de matrice... 99 3.7. Elemete de topologie î ϒ... 0 3.8. Limite de fucţii... 3.9. Fucţii cotiue... 8 3.0. Proprietăţile fucţiilor cotiue pe mulţimi compacte şi coee... 4. CALCULUL DIFERENŢIAL AL FUNCŢIILOR DE MAI MULTE VARIABILE... 8 4.. Derivate parţiale Difereţiabilitate... 8 4.. Difereţiabilitatea fucţiilor vectoriale. Matrice iacobiee... 36 4.3. Difereţiabilitatea fucţiilor compuse... 38 4.4. Difereţiala de ordiul îtâi şi ivariaţa formei sale... 4

. Şiruri şi serii de umere reale 9 4.5. Derivate parţiale de ordi superior. Difereţiale de ordi superior... 44 4.6. Derivatele parţiale de ordiul doi ale fucţiilor compuse de două variabile... 50 4.7. Formula Taylor. Etremele fucţiilor de mai multe variabile... 5 4.8. Teorema de iversiue locală... 58 4.9. Trasformări regulate... 6 4.0. Fucţii implicite... 65 4.. Fucţii depedete şi idepedete... 70 4.. Etreme cu legături... 75 4.3. Schimbări de variabile... 80 4.4. Elemete de teoria câmpurilor... 8 BIBLIOGRAFIE... 88

. Şiruri şi serii de umere reale.. Numere reale Î cele ce urmează vom ota cu mulţimea umerelor aturale, adică mulţimea { 0,,, K,, K } şi cu = \{} 0 Pe mulţimea umerelor aturale sut defiite două operaţii: aduarea (otată cu +) şi îmulţirea (otată cu ). Deoarece elemetele di u sut simetrizabile ici faţă de aduare, ici faţă de îmulţire, operaţiile de scădere şi împărţire u sut posibile î Ν. (Ν u are structură de grup ici faţă de aduare, ici faţă de îmulţire). Petru a face posibilă operaţia de scădere, la mulţimea umerelor aturale se adaugă mulţimea umerelor egative şi se obţie astfel mulţimea umerelor îtregi = K,, K,,,0,,, K,, K { } (, +, ) este iel comutativ. Următoarea etesie a umerelor este mulţimea umerelor raţioale, adică mulţimea umerelor de forma p q, ude p, q, q 0, p şi q prime ître ele. Î sut defiite cele patru operaţii aritmetice: aduarea, scăderea, îmulţirea şi împărţirea (cu ecepţia împărţirii la zero). Di puct de vedere algebric (, + ), este corp comutativ. Îcă di atichitate s-a observat că mulţimea umerelor raţioale u este suficiet de bogată petru a servi la eprimarea măsurii oricărei mărimi di atură. Costrucţii geometrice foarte simple se coduc la mărimi a căror măsură u se poate eprima cu ajutorul umerelor raţioale. Cel mai simplu eemplu este diagoala uui pătrat de latură. Îtr-adevăr, coform teoremei lui Pitagora, pătratul lugimii acestei diagoale este şi este biecuoscut faptul că u eistă ici u umăr raţioal al cărui pătrat să fie egal cu. Este deci ecesar să adăugăm la mulţimea umerelor raţioale şi umere de altă atură, pe care le umim umere iraţioale şi obţiem mulţimea umerelor reale ϒ. Dacă primele etesii ale mulţimii umerelor aturale Ν şi aume şi, au fost determiate de ecesităţi algebrice, etesia de la la ϒ este determiată de ecesităţi topologice (de covergeţă). Mulţimea umerelor raţioale suferă de o aumită "icompletitudie", deoarece, î această mulţime eistă şiruri mootoe şi

. Şiruri şi serii de umere reale mărgiite care u au limită (î ). Vezi de eemplu şirul a 0 = ; a =, 4 ; a =, 4 ; a 3 =,44 ; a cărui limită este. Pri crearea mulţimii umerelor reale se îlătură acest "defect". Î ϒ, orice şir mooto şi mărgiit are o limită. Nu e propuem să prezetăm aici costrucţia umerelor reale. O să spuem umai că se poate costrui o mulţime ϒ care coţie corpul umerelor raţioale, pe care sut defiite două operaţii, aduarea (otată cu +) şi îmulţirea (otată cu ) şi o relaţie de ordie (otată ) astfel îcât (, +,, ) este corp comutativ total ordoat, care satisface î plus următoarele proprietăţi: (P.A.) (Aioma lui Arhimede) Petru orice ϒ şi orice y ϒ, y > 0 eistă Ν astfel îcât y. (PC) (Aioma lui Cator) b sut două şiruri de umere raţioale care au următoarele Dacă { } a şi { } proprietăţi: ) a a K ak b K b b ) lim ( b a) = 0 ) atuci eistă c ϒ (uic) astfel îcât a c b, Ν. Pri urmare, di puct de vedere algebric, ϒ este grup abelia faţă de aduare, avâd elemetul eutru 0, iar ϒ \ {0} este grup abelia faţă de îmulţire, avâd elemetul eutru. Î plus are loc proprietatea de distributivitate: y+ z = y+ z y z. ( ),,, Relaţia de ordi " " este totală, adică petru orice, y ϒ avem sau y sau y şi compatibilă cu structura algebrică: y şi y atuci + y + y y şi α 0 atuci α αy Di faptul că ϒ este corp comutativ total ordoat rezultă toate regulile de calcul cu umere reale. Observaţia... Aioma lui Arhimede este echivaletă cu următoarea proprietate: ϒ, [] astfel îcât [] < [] + ([] se umeşte partea îtreagă a lui ). Îtr-adevăr, dacă, atuci [] =. Dacã ϒ \ şi > 0, atuci cosiderâd î aioma lui Arhimede y =, rezultă că eistă Ν astfel îcât <. Fie cel mai mic umăr atural mai mare ca şi fie [] =. Se verifică imediat că: [] < [] +. ) ε > 0, ε astfel îcât b a <ε, ε.

ANALIZĂ MATEMATICĂ Dacă ϒ \, < 0, atuci [] = [ ]. Reciproc, fie şi y > 0. Dacă otăm cu = + y y > y =. y +, atuci îcât Propoziţia... Petru orice, y ϒ î situaţia < y eistă r < r < y. astfel Demostraţie Cazul : = 0 < y. Deoarece 0, eistă 0 astfel îcât < y şi 0 alegem r =. 0 Cazul : 0 < < y. Fie a = ( ) 0 y r cu proprietatea 0 < r < a. Dacă otăm cu r = r +, atuci r r şi avem r r + = + r< + ( y ) = ( + y) < y. r Pe de altă parte r > r =. Aşadar, r r şi < r < y. Cazul 3: < 0 < y. Alegem r = 0. Cazul 4: < y < 0. Atuci r astfel îcât > r > y. Alegem r = r. Defiiţia... O mulţime A se umeşte umărabilă dacă eistă o aplicaţie bijectivă f : A. Dacă otăm cu a = f ( ), Ν, rezultă că o mulţime este umărabilă dacă elemetele sale pot fi puse sub forma uui şir A= { a, a, K, a, K } Se observă uşor că o reuiue fiită de mulţimi umărabile este de asemeea o mulţime umărabilă. Propoziţia... Mulţimea umerelor raţioale este umărabilă. Demostraţie Elemetele mulţimii + pot fi puse sub forma următorului tablou:

. Şiruri şi serii de umere reale 3 3 4 3 4 3 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 4 Urmâd săgeţile, se observă că elemetele mulţimii + se pot pue sub forma uui şir + = 3 4,,,,,,,..., 3 de ude rezultă cã + este umărabilă. Î mod aalog este umărabilă. Cum = + U U { 0} rezultă că mulţimea umerelor raţioale este umărabilă. Propoziţia..3. Mulţimea [ 0, ] { : 0 } = u este umărabilă. Demostraţie Presupuem pri absurd că mulţimea [0, ] este umărabilă, deci că I = [ 0, ] = {,, K,,...}. Împărţim itervalul I î trei itervale îchise egale. Eistă cel puţi u subiterval (ditre acestea) care u-l coţie pe. Notăm cu I acest iterval. Împărţim acum itervalul I î trei părţi egale. Eistă cel puţi u iterval I care u-l coţie pe. Procedâd î cotiuare î acest mod obţiem u şir de itervale îchise I I I cu proprietatea că I. Pe de altă parte observăm că lugimea itervalului I este 3. Dacă otăm cu a, respectiv b, etremităţile itervalului I, obţiem două şiruri de umere raţioale b care îdepliesc codiţiile di aioma lui { } a, { } Cator. Rezultă că eistă y ϒ astfel îcât y I I I. =

4 ANALIZĂ MATEMATICĂ Pe de altă parte este evidet că astfel la o cotradicţie. y petru orice, deci y I. Am ajus Corolarul. Petru orice ab,, a< b mulţimea [, ] = { ; a b} u este umărabilă. Îtr-adevăr, mulţimile [ ab, ] şi [ ] pri fucţia f :0, [ ] [ ab, ] defiită astfel: f ( ) = a+ ( b a) ab = 0, pot fi puse î corespodeţă bijectivă Corolarul. Petru orice ab,, a< b eistă cel puţi u umăr iraţioal z astfel îcât a < z < b. Demostraţie Mulţimea umerelor raţioale care aparţie itervalului ( ab, ) este umărabilă, î timp ce mulţimea ( ab, ) este eumărabilă. Dacă ( ab), ar fi umărabilă atuci [ ab, ] ( ab, ) { ab, } Rezultă că eistă z ( a, b) \. = ar fi umărabilă, ceea ce este absurd. Di Propoziţia.. şi..3 rezultă că ître două umere reale se află o ifiitate de umere raţioale şi o ifiitate de umere iraţioale. Propoziţia..4. Dacă { }, { } proprietăţile: ) K K y K y y; ) lim ( y ) 0 =, y sut două şiruri de umere reale cu atuci eistă z ϒ (uic) astfel îcât z y,. astfel îcât Demostraţie Di Propoziţia. rezultă că petru orice Ν eistă Observăm că şirul { } a şi b < a < y < b < y +. (.) a poate fi ales crescător, iar şirul { b } poate fi ales descrescător. Îtr-adevăr, fie a, a astfel îcât < a< şi < a <.

. Şiruri şi serii de umere reale 5 Dacă otăm cu a ma ( a, ) a = a şi ţiem seama că, rezultă < <. Evidet a a. Î cotiuare se poate arăta pri iducţie completă că şirul { descrescător. a } este crescător. Aalog se poate arăta cã { } Deoarece 0 b a ( y ) b poate fi ales < < +, rezultă că lim ( b a) = 0. Di,. Cum aioma Cator rezultă că eistă z ϒ, uic, astfel îcât a z b { } este crescător avem:, k + k + + k a + k z k (.) Î cotiuare avem z, k, de ude rezultă 0 + k z şi deci z,. Î mod asemăător se arată că z y,. Observaţia... O mulţime de umere reale A se umeşte majorată b b, A. (miorată) dacã eistă b ϒ astfel îcât ( ) Numărul b se umeşte majorat (miorat). Este evidet că dacă A admite u majorat (miorat) atuci admite o ifiitate de majoraţi (mioraţi). O mulţime se umeşte mărgiită dacă este majorată şi miorată. Se umeşte margiea superioară (iferioară) a mulţimii A cel mai mic majorat (cel mai mare miorat) al mulţimii A. Margiea superioară a mulţimii A se otează cu supa, iar margiea iferioară cu ifa. Teorema... Orice mulţime de umere reale majorată (miorată) are margie superioară (iferioară). Demostraţie Vom demostra eisteţa margiii superioare. Dacă mulţimea A e fiită, adică A = { a, a, K, ap}, atuci evidet sup A ma { a, a,, ap} = K. Fie A majorată şi ifiită şi fie a, b astfel îcât b este majorat petru A, iar a u este majorat petru A. Fie c mijlocul itervalului [a, b]. Dacă c este majorat petru A, otăm cu [ a, b ] itervalul [ ac, ], iar dacă c u este majorat petru A otăm cu [ a, b ] itervalul [ cb, ]. Fie c mijlocul itervalului [ a, b ]. Procedâd ca mai îaite, otăm cu [ a, b ] itervalul

6 ANALIZĂ MATEMATICĂ [, ] a c dacă este majorat petru A, respectiv itervalul este majorat petru A şi aşa mai departe. c [, ] Se obţi astfel două şiruri de umere raţioale { } proprietăţi: ) a a K a K b K b b b a ) lim ( b a) = lim = 0, a, { } c b, dacă c u b cu următoarele 3) petru orice b este majorat, iar a u este majorat al mulţimii A. Di aioma lui Cator rezultă că eistă M astfel, a M b, Ν. Observăm că M = supa. Îtr-adevăr, M este majorat petru A, petru că î caz cotrar, eistă A astfel îcât M <. Deoarece lim ( b a) = 0, eistă 0 b 0 cu proprietatea b a < M. 0 0 Î cotiuare avem ( ) b < + a M, ceea ce cotrazice faptul că 0 0 este majorat petru A. Arătăm acum că M este cel mai mic majorat al mulţimii A. Să presupuem pri absurd că eistă M' < M, M' majorat petru A. Fie astfel îcât b a < M M. Mai departe avem: de ude rezultă cã a ( ) a > M + b M M este majorat petru A. Am ajus astfel la o cotradicţie. Î cocluzie, M este cel mai mic majorat al mulţimii A, deci margiea superioară a mulţimii A. Demostraţia eisteţei margiii iferioare este aalogă. Observaţia..3. M ϒ este margiea superioară a mulţimii A dacă şi umai dacă ) M, A ) ε> 0, ε A astfel îcât M ε< ε. Îtr-adevăr, dacă M = supa, atuci M este majorat petru A, de ude rezultă ). Deoarece M este cel mai mic majorat al mulţimii A, rezultă că ε > 0, M ε u este majorat petru A, deci ε > M ε. Fie acum M ϒ cu proprietăţile ) şi ). Di ) rezultă cã M este majorat petru A. Fie M < M şi fie ε= M M > 0. Di ) rezultă că eistă ε A astfel îcât ε > M ε= M. Pri urmare M' u este majorat petru A şi deci M = supa.

. Şiruri şi serii de umere reale 7.. Şiruri de umere reale (complemete) Reamitim că u şir de umere reale { a } se umeşte coverget (are limită fiită) dacă eistă l ϒ astfel îcât ε > 0, u rag ε astfel îcât ε avem a l <ε. Defiiţia... Fie { } a u şir de umere reale şi k < k < K< k < K u şir strict crescător de umere aturale. Şirul { a k } se umeşte subşir al şirului { } a. Î particular şirul iiţial { } k = ). a poate fi privit ca u subşir al său (cazul Dacă şirul { a } este coverget şi are limita l, atuci orice subşir al său este coverget şi are limita l. (Afirmaţia rezultă imediat di Observaţia k ). Lema... (Cesàro). Orice şir mărgiit de umere reale coţie u subşir coverget. Demostraţie u şir de umere reale mărgiit. Atuci eistă ab, astfel îcât Fie { } a< < b, Ν. Fie c mijlocul itervalului [a, b]. Cel puţi uul di itervalele [a, c], [c, b] coţie o ifiitate de termei ai şirului { }. Presupuem că [a, c] are această proprietate. Atuci otăm a = a şi b = c. Fie c mijlocul itervalului [ a, b ]. Cel puţi uul di itervalele [ a, c ], [ c, b] coţie o ifiitate de termei ai şirului { }. Să presupuem că [ c, b ] are această proprietate. Atuci otăm a = c, b = b şi aşa mai departe. Se obţi astfel două şiruri de umere raţioale { a }, { b } cu proprietăţile: ) a a K a K b K b b b a ) lim ( b a ) = lim 0 =. 3) Ν, itervalul [ a, b ] coţie o ifiitate de termei ai şirului { }. Di aioma lui Cator rezultă că eistă ϒ astfel îcât a b, Ν. Alegem k astfel îcât k [ a ], b. Deoarece [ a, b ] coţie o, eistă k, k > k astfel îcât ifiitate de termei ai şirului { } [ a, b ]. k Procedâd î cotiuare î mod asemăător rezultă că eistă u şir strict crescător de umere aturale

8 Deoarece K K astfel îcât [ a, b ] k < k < < k < Ν. k ANALIZĂ MATEMATICĂ b a k b a = rezultă că { k } coverge la. Defiiţia... U şir de umere reale { } se umeşte fudametal (Cauchy) dacă ε > 0, ε astfel îcât m, ε avem m <ε. Notâd cu p = m (dacă m > ), respectiv p = m (dacă m < ) obţiem următoarea defiiţie echivaletă: { } astfel îcât ε şi p avem + p <ε. Lema... Orice şir fudametal este mărgiit. Demostraţie Fie { } este fudametal dacă ε > 0, ε u şir fudametal. Petru ε = eistă astfel îcât Petru = rezultă Dacă otăm cu + p <,, p. + <, p, deci p < < +, p. + p { K } şi cu b= ma {, K,, + } a= mi,,, atuci a b, Ν. Teorema... (Criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy) Codiţia ecesară şi suficietă ca u şir de umere reale să fie coverget este să fie fudametal. Demostraţie Necesitatea. Fie { } mai departe ( ) ( ) u şir coverget, avâd limita l ϒ. Petru ε > 0, ε ε ε astfel îcât l <, ε. Dacă m ε, atuci m l < şi ε ε m = m l + l m l + l < + =ε. Aşadar, m, ε avem m < ε, deci { } este fudametal. u şir fudametal. Petru ε > 0, ε astfel îcât Suficieţa. Fie { } m, ε avem:

. Şiruri şi serii de umere reale 9 ε m < (.3) Pe de altă parte, di Lema... rezultă că şirul { } este mărgiit, iar di Lema.., că admite u subşir k coverget. Fie l lim = k şi fie ε astfel îcât: ε k l <, ε. (.4) Dacă ε = ma ( ε, ε ) şi ε, atuci di (.3) şi (.4) rezultă: ε ε l = k + k l k + k l < + =ε. Aşadar, l <ε petru orice ε, deci { } este coverget şi are limita l. Criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy stabileşte că petru şirurile de umere reale oţiuile de şir coverget şi şir fudametal sut echivalete. Pri urmare, este suficiet să verificăm petru u şir că este fudametal (deci o codiţie mai slabă) ca să tragem cocluzia că este coverget. Eemplu: Să se studieze covergeţa şirului cu termeul geeral cos cos cos a = + + K + ( ϒ oarecare fiat). Verificăm că şirul { a } este fudametal. Îtr-adevăr avem: ( + ) ( + ) cos cos p a+ p a = + K+ + K + + + p + + p = lim 0 p = < +, p. Deoarece =, rezultă că ε > 0, astfel îcât ε a+ p a < <ε, ε şi p. Aşadar, şirul { a } este fudametal şi deci coverget. Datorită importaţei deosebite petru aaliza matematică a criteriului geeral de covergeţă al lui Cauchy, prezetăm î cotiuare o altă demostraţie a sa, mai precis a implicaţiei: orice şir fudametal este coverget. Fie { } u şir fudametal. Petru Fie ε= k eistă k astfel îcât

0 ANALIZĂ MATEMATICĂ Petru Î particular avem: k+ ε= eistă k <, m, k. (.5) m k <,. (.6) k k k + astfel îcât m k+ Dacă alegem ma (, ) Pri urmare dacă { } k+ > k k+ <, m, k +. (.7) k + > k, atuci şi < +. k k k este fudametal, eistă u subşir al său { } cu proprietatea: < k < k k+ +, k Ν. (.8) k k Dacă otăm cu ak = şi b k k k = + atuci şirurile { a k k k } şi b satisfac codiţiile Propoziţiei..4. Îtr-adevăr, ţiâd seama de (.8) avem: { } k ak+ ak = 0 k + k k k k k k + > + = bk+ bk = 0 k + + k k k k k k + < + = bk ak = 0 petru k. k Pri urmare, eistă ϒ astfel îcât = a k k k bk = +, k Ν. (.9) k k Di (.8) şi (.9) rezultă 3 <, k Ν. (.0) k + k este coverget şi are limita. Fie ε > 0 şi ε astfel îcât Aşadar, subşirul { } k Fie ε astfel îcât k ε <, k ε. (.) k

. Şiruri şi serii de umere reale Dacă otăm cu ( ) ε ε m <, m, ε (.) = ma,, atuci di () şi (), petru avem: ε ε de ude rezultă că { } coverge la. ε ε + k < + =ε, k Teorema... Orice şir mooto şi mărgiit este coverget. Demostraţie u şir mooto crescător şi mărgiit. Deoarece mulţimea Fie { } { } este majorată, di Teorema... rezultă că eistă M sup { ; } ; =. Di Observaţia... rezultă că M, Ν şi ε > 0, ε astfel îcât M ε< ε. Deoarece şirul { } este mooto crescător, rezultă ε,. ε Pri urmare, petru orice ε avem: M ε< M M +ε, adică de ude rezultă că { } este coverget şi are limita M. ε M <ε, (.3) Cel mai cuoscut eemplu de aplicaţie a Teoremei... este şirul a = +. Se ştie di liceu că acest şir este mooto crescător şi mărgiit ( a < 3, Ν). Limita sa se otează cu e. Deci e = lim +. Despre umărul e se poate arăta că este iraţioal şi valoarea sa este aproimativ egală cu e,788. Î cotiuare prezetăm o altă aplicaţie iteresată a Teoremei... Eemplu. Fie şirul cu termeul geeral a = + + + K+ l. 3 Vom arăta că acest şir este mooto descrescător şi mărgiit. Petru aceasta folosim următoarea iegalitate cuoscută di liceu l + <, >, 0. (.4) ( ) Îtr-adevăr, a+ a = l + + + = l 0 + + + < + + = Aşadar a + < a,.,.

ANALIZĂ MATEMATICĂ Pe de altă parte, deoarece l > + = l +, vom avea: a = + l > + 3 + K + 3 + l + l + K + l l = 3 4 + = l K l = l ( + ) l > 0 a > 0,. 3 Rezultă că şirul { a } este coverget. Limita sa se otează cu C şi se umeşte costata lui Euler şi este aproimativ egală cu 0,57756. Dacă otăm cu ε = + + + K+ l C, atuci { ε } este u şir 3 de umere pozitive, descrescător, cu lim ε = 0. Rezultă următoarea idetitate: + + + K + = l+ C+ε, (.5) 3 care se dovedeşte utilă î aplicaţii şi va fi folosită mai departe..3. Dreapta îcheiată. Limitele etreme ale uui şir Reamitim că pri dreapta îcheiată se îţelege mulţimea = { ; } U. Pe mulţimea se cosideră relaţia de ordie obţiută pri prelugirea relaţiei de ordie de pe ϒ astfel: <, < şi <, ϒ. Î felul acesta este o mulţime ordoată. Dacă A ϒ este o mulţime evidă care u este majorată, defiim supa = = +. Î mod aalog, dacă A u este miorată defiim ifa =. Cu această coveţie, orice mulţime de umere reale este mărgiită î. Operaţiile algebrice de pe ϒ se etid pe, fără îsă să fie peste tot defiite şi aume: + =,, + =,, ( daca > 0 = (,. daca < 0 Defiiţia.3.. U şir de umere reale { } are limita (respectiv ) dacă ε ϒ, ε astfel îcât >ε(respectiv < ε ), ε. Se folosesc otaţiile: lim = (respectiv lim = ). Propoziţia.3.. Orice şir mooto de umere reale are limită î şir de umere reale coţie u subşir care are limită î.. Orice

. Şiruri şi serii de umere reale 3 Demostraţie Fie { } u şir mooto crescător de umere reale. Dacă { } este mărgiit este coverget, deci are limită fiită. (Teorema...) u este mărgiit superior, atuci petru ε ϒ, ε >ε. Cum { } superior, atuci { } Dacă { } este crescător vom avea >ε, ε, deci lim descrescător se procedează î mod aalog. Fie acum { } = +. Dacă { } u şir de umere reale oarecare. Dacă { } este este mărgiit, atuci di Lema Cesàro rezultă că eistă u subşir { k } coverget. Să presupuem că { } u este mărgiit (de eemplu u este mărgiit superior). Vom arăta î acest caz că eistă u subşir care are limita +. Îtr-adevăr, eistă o ifiitate de termei ai şirului mai mari ca. Fie >. De asemeea, eistă o ifiitate de termei ai şirului mai mari ca. Atuci putem alege k > k astfel îcât >. Costruim astfel pri iducţie u şir strict crescător de umere k } aturale { k cu proprietatea k >. Rezultă lim k k =. Defiiţia.3.. Fie { } u şir de umere reale şi a. Spuem că a este puct limită petru şirul { } astfel îcât a= lim k. dacă eistă u subşir { } Observaţia.3.. Dacă u şir are limită, atuci acest şir are u sigur puct limită care coicide cu limita sa. Eemple ) Şirul = ( ) are două pucte limită şi. ) Şirul ( ) = are două pucte limită 0 şi. 3) Şirul = are u sigur puct limită. ( ) 4) Şirul = are u sigur puct limită 0. Teorema.3.. Petru orice şir de umere reale { } eistă u cel mai mic puct limită (fiit sau u) şi u cel mai mare puct limită (fiit sau u). Demostraţie k

4 ANALIZĂ MATEMATICĂ Dacă { } u este majorat, atuci di Propoziţia.3.. rezultă că eistă u subşir care are limita +. Aşadar, + este puct limită şi evidet este cel mai mare. Să presupuem acum că şirul { } este majorat şi să otăm cu A mulţimea puctelor sale limită fiite. Dacă A este vidă, atuci di Lema Cesàro rezultă cã u este mărgiit iferior. Î această situaţie este sigurul puct limită şi { } deci şi cel mai mare. Să presupuem acum A φ. Cum { } este majorat, rezultă că şi A este majorată, deci eistă supa ϒ (Teorema...). Să observăm îsă că α = supa A. Îtr-adevăr, di defiiţia margiii superioare rezultă că eistă ap A astfel îcât α < a p α. p Pe de altă parte, petru a p eistă u subşir al şirului { } coverget la ap. Aşadar, petru a eistă k astfel îcât p k a <. Petru a eistă k, k > k astfel îcât k a <. Pri iducţie costruim u şir de umere aturale k < k < K< k < K cu proprietatea k a p p <. Di iegalitatea p rezultă k p k α p k a p p + ap α < + = p p p α. Aşadar, α = supa este puct limită al şirului { } şi evidet, este cel mai mare. Eisteţa celui mai mic puct limită se dovedeşte î mod asemăător. Defiiţia.3.3. Cel mai mic puct limită al uui şir se umeşte limita iferioară a şirului şi se otează cu lim if sau lim. Cel mai mare puct limită al şirului se umeşte limita superioară a şirului şi se otează cu sau lim. lim sup Observaţia.3.. Di Teorema.3. rezultă că orice şir de umere reale are limită superioară şi limită iferioară (deşi poate să u aibă limită). Fie L = lim sup şi l = lim if. Limita superioară L, câd este fiită, este caracterizată de proprietăţile: a) Petru orice a < L eistă o ifiitate de termei ai şirului mai mari ca a. b) Petru orice b > L eistă u umăr fiit de termei ai şirului mai mari ca b.

. Şiruri şi serii de umere reale 5 Î mod aalog, limita iferioară l, câd este fiită, este caracterizată de proprietăţile: a) Petru orice a < l eistă u umăr fiit de termei ai şirului mai mici ca a. b) Petru orice b > l eistă o ifiitate de termei ai şirului mai mici ca b. Îtr-adevăr, să justificăm afirmaţia î cazul limitei superioare L. Di a) şi b) rezultă cã eistă o ifiitate de termei ai şirului î itervalul L, L+. Se poate costrui pri iducţie u şir strict crescător de umere k astfel îcât k L, L+. Rezultă k L < şi deci L. Aşadar, L este puct limită al şirului. Di proprietatea b) rezultă cã L aturale { } k este cel mai mare puct limită al şirului. Am făcut mai îaite observaţia că orice mulţime de umere reale este mărgiită î. Î particular, orice şir de umere reale, este mărgiit î. Fie m = if { ; } şi M = sup { ; }. Următoarele iegalităţi sut evidete: m l L M +. ( ) + ( ) Eemplu. Fie şirul = +. Observăm că ( daca este impar = ( + daca este par. Aşadar, şirul coţie două subşiruri covergete care au limitele 0, respectiv. Rezultă că l = 0 şi L =. Subşirul este crescător, deci este cel mai mic terme al său, iar subşirul + este descrescător, deci cel mai mare terme al său este. Rezultă m =, M =. Aşadar, avem: m = < l = 0 < L = < M =. Propoziţia.3.. Codiţia ecesară şi suficietă ca u şir sã aibă limită (fiită sau u) este ca L= limsupa = limif a =l. Demostraţie

6 ANALIZĂ MATEMATICĂ Necesitatea. Dacă şirul are limită, atuci şirul are u sigur puct limită, care coicide cu limita sa. Rezultă L= l = lim. Suficieţa. Să presupuem că L= l = a. Di Observaţia.3.. rezultă a ε, a+ε se află o ifiitate de termei ai şirului, iar î ε > 0, î itervalul ( ) afara acestui iterval, se află u umăr fiit de termei ai şirului. Rezultă a= lim. Dacă L= l = a =+ atuci lim = +, iar dacă L= l = a = atuci lim =..4. Serii umerice covergete şi divergete Fie { u } u şir de umere reale. Asociem acestui şir următorul şir: s = u s = u+ u KKKKKKKKK s = u+ u + K + u KKKKKKKKK ( ) Defiiţia.4.. Perechea { u },{ s } se umeşte serie defiită de şirul { u } şi se otează cu u sau u+ u + K+ u + K (.6) = Elemetele şirului { u } se umesc termeii seriei, iar şirul { s } se umeşte şirul sumelor parţiale. Seria (.6) se umeşte covergetă dacă şirul sumelor parţiale { s } este coverget; limita s = lim s se umeşte suma seriei şi se obişuieşte să se scrie: s = u (.7) = s este diverget (u are limită sau are limită Dacă şirul sumelor parţiale { } ifiită) spuem că seria (.7) este divergetă. Eemple. Seria geometrică a+ aq+ aq + + aq + K K

. Şiruri şi serii de umere reale 7 Suma parţială q s = a + aq + aq + K + aq = a petru q. q a Dacă q <, atuci lim q = 0 şi deci eistă lim s =. Pri urmare, q dacă q < seria geometrică este covergetă şi suma sa este limită. Dacă q =, atuci s = a şi lim s = ±. ( a daca este impar Dacă q =, atuci s = ( 0 daca este par. Şirul { s } u are limită î acest caz. Dacă q >, atuci lim q = + şi deci lim s = ±. Dacă q <, atuci şirul { } a s =. q q u are limită şi deci şirul { } Î cocluzie, petru q seria geometrică este divergetă. s u are. Seria armoică + + + K+ + K 3 Suma parţială s = + + + K+ = l+ C+ε 3 ude lim 0 (vezi subcap.., formula (.5)). Rezultă lim s = +, deci seria armoică este divergetă. Propoziţia.4.. Dacă seria u este covergetă, atuci lim u = 0. = Demostraţie Fie s = lim s. Deoarece u = s s, rezultă lim u = s s= 0. Afirmaţia reciprocă u este î geeral adevărată. Eistă serii divergete cu proprietatea lim u = 0 (de eemplu seria armoică). Di Propoziţia.4. rezultă următoarea observaţie utilă î aplicaţii:

8 ANALIZĂ MATEMATICĂ Observaţia.4.. Dacă Eemplu: Seria lim u = lim u 0, atuci seria ( 3 + e ) ( + e ) ( + e ) ( + e ) l este divergetă, deoarece = l 3 3 l e 3 lim l e 3 u este divergetă. = ( ) ( ) 3 3+ l + e 3 = lim = 0. + l + 3e Teorema.4.. (Criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy) Codiţia ecesară şi suficietă ca seria u să fie covergetă este ca = petru ε > 0 să eiste avem u+ + u+ + + u+ p < ε, astfel îcât petru ε şi p să K ε. Demostraţie Seria u este covergetă dacă şi umai dacă şirul sumelor parţiale { s } = s este coverget dacă şi umai este coverget. Di Teorema.. rezultă că { } dacă { } s este fudametal, deci dacă ε > 0, ε astfel îcât s+ p s = u+ + u+ + K u+ p < ε, ε şi p. Observaţia.4.. Natura uei serii u se schimbă, dacă schimbăm valorile uui umăr fiit de termei ai săi (î particular, dacă îi suprimăm). s este şirul sumelor parţiale al seriei iiţiale, Îtr-adevăr, dacă { } atuci şirul sumelor parţiale ale oii serii, este de forma { s c} u aumit rag), ude c este u umăr costat. + (îcepâd de la.5. Serii cu termei pozitivi Seriile cu termei pozitivi sut seriile î care toţi termeii sut strict pozitivi ( u > 0, Ν). Locul special pe care îl ocupă aceste serii pritre seriile umerice este pus î evideţă de următoarea teoremă:

. Şiruri şi serii de umere reale 9 Teorema.5.. Codiţia ecesară şi suficietă ca o serie de termei pozitivi să fie covergetă este ca şirul sumelor parţiale să fie mărgiit. Demostraţie Dacă seria este covergetă, atuci şirul sumelor parţiale este coverget şi deci mărgiit. Codiţia este şi suficietă, petru că şirul sumelor parţiale al uei serii cu termei pozitivi este mooto crescător şi dacă este î plus şi mărgiit, rezultă că este coverget (Teorema...). k Teorema.5.. (Criteriul I de comparaţie) Fie u şi v două serii cu termei pozitivi. Presupuem că eistă = = astfel îcât u v, k (.8) Atuci: a) Dacă seria v coverge, rezultă că şi seria u coverge. = = b) Dacă seria u diverge, rezultă că şi seria v diverge. = = Demostraţie Di Observaţia.4. rezultă că, suprimâd evetual primii k termei di cele două serii, putem presupue că u v,. Dacă otăm cu s = = u+ u + K + u şi cu σ = v+ v + K + v, atuci di (.8) rezultă s σ,. Dacă v este covergetă, atuci { σ } este mărgiit deci şi { s } va fi = mărgiit. Di Teorema.5. rezultă că u este covergetă. = b) Dacă u este divergetă, atuci lim s = şi deci lim σ =. = Rezultă că seria v este divergetă. = Observaţia.5.. Î euţul teoremei precedete iegalitatea (.8) poate fi îlocuită cu iegalitatea

30 ANALIZĂ MATEMATICĂ u c v, k, (.8') ude c este u umăr costat strict pozitiv. Îtr-adevăr, atura seriilor v = şi ( c v ) este evidet aceeaşi. = Teorema.5.3. (Criteriul de codesare al lui Cauchy) Fie u o serie cu termei pozitivi cu proprietatea că şirul { u } este = descrescător. Atuci seriile u şi u au aceeaşi atură. = = (cu Demostraţie Fie k cu proprietatea < k. Deoarece { u } este u şir descrescător de umere pozitive avem: ( ) ( k ) s = u + K + u u + K + u k u u u3 u u = + + + K + + K + k σ k K k u + u + + u = u +σ otăm şirul sumelor parţiale al seriei u ). = k Dacă seria u = este covergetă şi are suma σ, rezultă < u +σ, şi deci seria u este covergetă. = Pe de altă parte, dacă k vom avea: ( ) ( k ) k ( K k ) = s = u+ K+ u u+ K+ u k = u + u + u3 + u4 + K+ u + K+ u k k u+ u + u4 + K+ u k = u + u + u + + u = ( u +σ k ).

. Şiruri şi serii de umere reale 3 Dacă seria u diverge, rezultă lim σ k = şi deci lim s =. = k Aşadar, seria u este divergetă. = Eemple. Seria armoică geeralizată Cosiderăm seria, α > 0, umită seria armoică geeralizată. α = Deoarece α > 0, termeii seriei descresc şi se poate aplica Teorema.5.3. Rezultă că seria are aceeaşi atură cu seria ( α) α, care este o serie = = α geometrică, cu raţia q =. Dacă α, atuci q şi q diverge. = Dacă α >, atuci q < şi q coverge. = Î particular, petru α = obţiem o ouă demostraţie a faptului că seria armoică este divergetă. =. Seria, ude a > este covergetă petru α > şi α = ( loga ) divergetă petru 0 α. Îtr-adevăr, di Teorema.5.3 rezultă că această serie are aceeaşi atură cu seria = α = α α. α = log = loga loga = a ( ) ( ) ( ) Aşadar, seria dată are aceeaşi atură cu seria armoică geeralizată. k Teorema.5.4. (Criteriul II de comparaţie) Fie u şi v două serii cu termei pozitivi. Presupuem că eistă = = astfel îcât u+ v +, k. (.9) u v

3 ANALIZĂ MATEMATICĂ Atuci: a) Dacă seria v coverge, rezultă că şi seria u coverge. = = b) Dacă seria u diverge, rezultă că şi seria v diverge. = = Demostraţie Di Observaţia.4. rezultă că putem presupue că iegalitatea (.9) are loc petru orice. u Aşadar avem + u, şi mai departe v+ v u u u u K u, de ude rezultă u v, Ν. v v v v v Afirmaţiile di euţ rezultă acum di Teorema.5. (Observaţia.5.). Teorema.5.5. (Criteriul III de comparaţie) Fie u şi v două serii cu termei pozitivi cu proprietatea: = = 0 < u lim u lim v v <+. (.0) Atuci cele două serii au aceeaşi atură. Demostraţie Fie a, b ϒ astfel îcât 0 < u lim u a < lim v v <b. Di Observaţia.3. rezultă că umai u umăr fiit de termei ai şirului u sut mai mici ca a sau mai mari ca b. Pri urmare eistă k astfel îcât v u a< <b, petru orice k. (.) v Cum v > 0, mai departe avem: av < u < bv. Afirmaţia rezultă acum di Teorema.5..

. Şiruri şi serii de umere reale 33 Corolar. Fie u că eistă lim v şi u = şi v două serii cu termei pozitivi cu proprietatea = u 0< lim <+. (.) v Atuci cele două serii au aceeaşi atură. Demostraţie Afirmaţia rezultă di Teorema.5.5 şi Propoziţia.3.. Eemplu. Să se afle atura seriei Deoarece lim = rezultă rezultă că şi seria = u v =. Fie lim =. Cum seria este divergetă. = şi u v =. este divergetă, = Teorema.5.6. (Criteriul rădăciii al lui Cauchy) Fie u o serie cu termei pozitivi. = a) Dacă eistă 0 < α < şi k astfel îcât u α, k, (.3) atuci seria u este covergetă. = b) Dacă petru o ifiitate de termei avem u, (.4) atuci seria u este divergetă. = Demostraţie

34 ANALIZĂ MATEMATICĂ Di (.3) rezultă u α, k. Deoarece seria α este covergetă, = fiid o serie geometrică cu raţia q = α<, di Teorema.5. rezultă că seria u este covergetă. = Di (.4) rezultă u petru o ifiitate de termei şi deci că şirul { u } u coverge la 0. Di Observaţia.4. rezultă că seria u este divergetă. = Corolarul. Fie u o serie cu termei pozitivi şi fie L = lim u. Dacă = L < seria este covergetă, iar dacă L > seria este divergetă. Demostraţie a) Fie L < α <. Di defiiţia limitei superioare rezultă că eistă u umăr fiit de termei ai şirului u mai mari ca α. Aşadar eistă k astfel îcât u α, k. Afirmaţia rezultă acum di Teorema.5.6. b) Dacă L >, atuci eistă o ifiitate de termei ai şirului { } mari ca, deci seria este divergetă (vezi Teorema.5.6). Corolarul. Fie u = u mai o serie cu termei pozitivi cu proprietatea că eistă l = lim u. Dacă l < seria este covergetă, iar dacă l > seria este divergetă. u Demostraţie Afirmaţia rezultă di Corolarul şi Propoziţia.3.. Eemple. Să se afle atura seriei ( ) = ( ) + a, atuci = + a, a > 0. Dacă otăm cu ( ) lim u = lim + a= 3a. Pri urmare,

. Şiruri şi serii de umere reale 35 di Corolarul rezultă că dacă a < seria este covergetă, iar dacă 3 este divergetă. ( Dacă a = atuci u = daca este impar 3 3 ( daca este par. Seria este divergetă deoarece u 0.. Să se afle atura seriei = 3 +. Deoarece lim a > seria 3 = rezultă lim u = <. 3 Di Corolarul rezultă că seria este covergetă. Teorema.5.7. (Criteriul raportului al lui D'Alembert) Fie u o serie cu termei pozitivi. = a) Dacă eistă 0 < α < şi k astfel îcât u + u α, k, (.5) atuci seria u este covergetă. = b) Dacă eistă k astfel îcât u + u, k, (.6) atuci seria u = este divergetă. Demostraţie Suprimâd evetual u umăr fiit de termei ai seriei, putem presupue că iegalitatea (.5) are loc petru orice. Aşadar, avem: u α u, (.5') + Dâd succesiv lui valorile,, 3, di (.5') rezultă α u,. u

36 ANALIZĂ MATEMATICĂ Deoarece seria α u = este covergetă, fiid o serie geometrică cu raţia q =α<, di Teorema.5. rezultă că seria u este covergetă. = Di (.6) rezultă 0 < u u +, k. Aşadar, î acest caz, şirul { u } este crescător (îcepâd de la u aumit rag) şi deci termeul său geeral u coverge la 0. Di Observaţia.4. rezultă că seria u este divergetă. = Corolarul. O serie cu termei pozitivi u este covergetă dacă = u lim + u < şi divergetă dacă lim + >. u u Demostraţie u Fie L = lim + < şi L < α <. Di defiiţia limitei superioare rezultă că u u umai u umăr fiit de termei ai şirului + sut mai mari ca α. Aşadar, eistă u u k astfel îcât + u α<, k. Di Teorema.5.7 rezultă că seria u = este covergetă. u Fie l = lim + >. Di defiiţia limitei iferioare rezultă că umai u umăr u u fiit de termei ai şirului + u sut mai mici ca. Aşadar, eistă k astfel u îcât + u, k. Di Teorema.5.7 rezultă că seria u este divergetă. = Corolarul. Fie u o serie cu termei pozitivi cu proprietatea că eistă = u l = lim +. Dacă l < seria este covergetă, iar dacă l > seria este divergetă. u Demostraţie

. Şiruri şi serii de umere reale 37 Afirmaţia rezultă di Corolarul şi Propoziţia.3.. a =! u Eemplu. Să se afle atura seriei, a > 0. Deoarece lim + = u = a lim 0 + = <, rezultă că seria este covergetă, a > 0. Teorema.5.8. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie u o serie cu termei pozitivi. = a) Dacă eistă α > şi k astfel îcât u α, k, (.7) u + atuci seria u coverge. = b) Dacă eistă k astfel îcât u, k, (.8) u + atuci seria u diverge. = Demostraţie a) Suprimâd evetual u umăr fiit de termei ai seriei, putem presupue că iegalitatea (.7) are loc petru orice, aşadar avem u u+ α u+, (.7') Dâd lui succesiv valoarea,,3, î (.7') rezultă: u u αu u u3 αu3 3u3 3u4 αu4 KKKKKKKK u u αu + + Notâd cu s = u+ u + K + u şi aduâd iegalităţile de mai sus obţiem: s α( s u+ u+ ) >α( s u) αu şi mai departe s,. α

38 ANALIZĂ MATEMATICĂ Aşadar, şirul sumelor parţiale este mărgiit. Di Teorema.5. rezultă că seria u este covergetă. = b) Di iegalitatea (.8) rezultă u ( + ) u + şi mai departe + u +, k. u Deoarece seria este divergetă, di Teorema.5.4 rezultă că seria u = = este divergetă. Corolarul. Fie u o serie cu termei pozitivi. = u a) Dacă lim l = >, seria u u este covergetă. + = u b) Dacă lim L= <, seria u u divergetă. + = Demostraţie a) Fie l > α >. Di defiiţia limitei iferioare rezultă că eistă k astfel u îcât: α, k. Afirmaţia rezultă acum di Teorema.5.8. u + b) Fie L <. Di defiiţia limitei superioare rezultă că eistă k astfel u îcât:, k. Afirmaţia rezultă di Teorema.5.8. u + Corolarul. Fie u o serie cu termei pozitivi cu proprietatea că eistă = u lim. Dacă l > seria u u coverge, iar dacă l < seria u + = = diverge. Demostraţie Afirmaţia rezultă di Corolarul şi Propoziţia.3.. Eemplu: Să se afle atura seriei

. Şiruri şi serii de umere reale 39 Dacă otăm cu u ( ) ( ) 35 KK. = 4 6KK + termeul geeral al seriei, atuci lim lim u ( + )( + 3 ) 6 + 5 = u+ ( ) = lim + ( + ) Di Corolarul rezultă că seria este covergetă. 3 = >. Teorema.5.9. (Criteriul logaritmic al lui Cauchy) Fie u o serie cu termei pozitivi. = a) Dacă eistă α > şi k astfel îcât: l u α, > k, (.9) l atuci seria u este covergetă. = b) Dacă eistă k astfel îcât: l u l, k, (.30) atuci seria u este divergetă. = Demostraţie α a) Di (.9) rezultă l α l = l. Deoarece fucţia f = l este u crescătoare, rezultă α şi mai departe u u α, k. Cum seria că şi seria u = α = este covergetă petru α >, di Teorema.5. rezultă este covergetă.

40 b) Di (.30) rezultă u, k. Cum seria Teorema.5. rezultă că seria u este divergetă. = = ANALIZĂ MATEMATICĂ este divergetă, di Corolarul. Fie u o serie cu termei pozitivi. = l u a) Dacă lim l >, seria u coverge. = l u b) Dacă lim l <, seria u diverge. = Demostraţia rezultă di Teorema.5.9 şi este asemăătoare cu demostraţia de la Corolarul, Teorema.5.8. Corolarul. Fie u = o serie cu termei pozitivi petru care eistă l u l = lim l. Dacă l > seria este covergetă, iar dacă l < seria este divergetă. Demostraţia rezultă di Corolarul şi Propoziţia.3.. l a Eemplu: Să se afle atura seriei, a > 0. = l a Dacă otăm cu u =, atuci l u l = lim = l la. Dacă a < rezultă l >, deci seria este covergetă. e Dacă a > seria este divergetă. e Dacă a = atuci u coicide cu seria armoică e = divergetă. şi deci este =

. Şiruri şi serii de umere reale 4.6. Criterii de covergeţă petru serii cu termei oarecare Vom cosidera acum serii de umere reale, î care termeii pot avea orice sem. Cazul iteresat este acela al seriilor care au o ifiitate de termei pozitivi şi o ifiitate de termei egativi (O serie care are umai u umăr fiit de termei de acelaşi sem poate fi asimilată cu o serie cu termei pozitivi). Petru astfel de serii avem deja u criteriu de covergeţă şi aume, criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy (Teorema.4.). Î cotiuare vom prezeta u criteriu care e dă o codiţie suficietă petru covergeţa uei serii cu termei oarecare. Teorema.6.. (Criteriul Abel-Dirichlet) a u şir descrescător de umere pozitive coverget la 0 şi fie seria Fie { } v cu proprietatea că şirul sumelor sale parţiale { s } este mărgiit. Atuci = seria av este covergetă. = Demostraţie Demostraţia se bazează pe Teorema.4. (criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy). Pri ipoteză, eistă M > 0, astfel îcât s < M,. Observăm că, deoarece şirul { a } este descrescător, avem Dacă otăm cu cu { } ak ak+ = ak ak+, k. σ şirul umerelor parţiale ale seriei av, atuci: = σ σ = a v + a v + K + a v = + p + + + + + p + p = a+ ( s+ s) + a+ ( s+ s+ ) + + a+ p( s+ p s+ p ) = a s + ( a a ) s + K + ( a a ) s + a s a s ( a a ) s K ( a a ) s a s M ( a+ + a+ a+ + + a+ p a+ p + a+ p) = Ma K = + + + + + p + p + p + p + p + + + + + + + + + p + p + p + p + p Aşadar, petru orice şi p K +. avem:

4 ANALIZĂ MATEMATICĂ σ+ p σ M a+. (.3) Deoarece lim a = 0, petru ε > 0, ε astfel îcât ε. Dacă î iegalitatea () cosiderăm ε obţiem ε σ+ p σ M = ε, p. M Di Teorema.4. rezultă că seria av este covergetă. = Eemplu: Să se afle atura seriei: si cos. = Deoarece si cos = si( + ) si( ), seria dată se mai poate scrie sub forma: si ( + ) si ( ) =. Fie a = şi v = si ( + ) si( ). Se observă imediat că s = v = + k = k si ( ) şi deci s, Ν. a < ε M, Di Teorema.6. rezultă că seria este covergetă. Următorul criteriu de covergeţă se referă la serii alterate. Pri serie alterată se îţelege o serie î care termeii sut alterativ strict pozitivi sau strict egativi. O serie alterată este deci de forma ( ) u = u u + u3+ KK, ude u > 0,. = Teorema.6.. (Criteriul lui Leibiz) Orice serie alterată ( ) u = cu proprietatea că şirul descrescător şi coverget la 0 este covergetă. { } u este

. Şiruri şi serii de umere reale 43 Demostraţie Demostraţia rezultă imediat di Teorema.6. dacă vom codidera şi ( ) v =. Îtr-adevăr a 0 şi s = vk = k = ( daca este impar ( 0 daca este par. Eemplu. Seria armoică alterată + + K+ ( ) + K, 3 4 este covergetă deoarece u = 0. a = u.7. Calculul aproimativ al sumei uor serii Calculul eact al sumei uei serii covergete este posibil umai î cazuri foarte particulare (de eemplu petru seria geometrică). Î geeral, acest lucru u este posibil şi de aceea se aproimează suma s a seriei, cu suma parţială s. Eroarea absolută care se face este r = s s.. Cazul seriilor cu termei pozitivi Dacă seria u este cu termei pozitivi, atuci u > 0 şi valoarea = aproimativă s va fi mai mică decât valoarea eactă s. Atuci avem a) Să presupuem că eistă m şi 0 < α(m) < astfel îcât u + ( m) u α, m. (.3) r m α( m) m α ( m) u. (.33) Îtr-adevăr, di (.3) rezultă: α( m) rm = um+ + um+ + K α ( m) +α ( m) + K um = u m α( m).

44 ANALIZĂ MATEMATICĂ Deoarece Eemplu: Să se calculeze cu trei zecimale eacte suma seriei. =! u + = < petru u + m+ ( + ) m, putem lua α ( m) = m + α( m) 3 şi vom pue codiţia ca um = < 0, de ude rezultă m 5. Vom α( m) mm! aproima deci suma seriei cu Atuci avem s 5 = + + + +,376.! 3!3 4!4 5!5 b) Presupuem că eistă m şi 0 < α(m) < astfel îcât Îtr-adevăr, di (.34) rezultă u α ( m) <, m. (.34) r m m+ α ( m ). (.35) α ( m) m+ m+ rm = um + um + K α ( m) +α ( m) + K= + + m+ α ( m ). α( m) Eemplu. Să se calculeze cu două zecimale eacte suma seriei. = Deoarece u = m petru m, putem lua α = α(m) = şi puem m codiţia m+ α = < 0, α m m m ( ) de ude rezultă m 4. Vom aproima deci suma seriei cu s 4 = + + +,90. 3 3 4 4. Cazul seriilor alterate Fie ( ) u o serie alterată care îdeplieşte codiţiile di criteriul = lui Leibiz ( u 0). Vom arăta că eroarea absolută r = s s < u +.

. Şiruri şi serii de umere reale 45 Îtr-adevăr, deoarece { u } este descrescător, rezultă: s = s + ( u u) s s s ( u u ) s + = + Dacă otăm cu s suma seriei, atuci: s s iar s s şi deci avem următoarea situaţie s < s4 < K< s < K< s< K< s+ < K< s3 < s, de ude rezultă: 0 < s s < s+ s = u+ şi 0 < s+ s< s+ s+ = u+. Pri urmare, dacă aproimăm suma seriei cu o sumă parţială care se face este mai mică decât primul terme eglijat. Eroarea este pri lipsă dacă este par şi pri adaus dacă este impar. Eemplu: Să se calculeze cu patru zecimale eacte suma seriei ( ). = Coform celor de mai sus vom pue codiţia ca de ude rezultă 5. Vom aproima deci suma seriei cu s 5 = + + + + 0,78345. 3 4 5 3 4 5 = < 0 u + + ( + ) 4,.8. Serii absolut covergete Defiiţia.8.. O serie cu termei oarecare covergetă, dacă seria u este covergetă. = u se umeşte absolut = Teorema.8.. Orice serie absolut covergetă este covergetă. Demostraţie

46 ANALIZĂ MATEMATICĂ Fie u o serie absolut covergetă. Deoarece seria u este = = covergetă, di criteriul geeral de covergeţă al lui Cauchy rezultă că ε > 0, ε astfel îcât u+ + u+ + K + u+ p < ε, ε Pe de altă parte avem, p. u+ + u+ + K+ u+ p u+ + u+ + K+ u+ p < ε, petru ε şi p. Rezultă că seria u este covergetă î virtutea aceluiaşi criteriu. = Observaţia.8.. Afirmaţia reciprocă u este î geeral adevărată. Eistă serii covergete care u sut absolut covergete. Eemplu. Seria armoică alterată ( ) este covergetă, dar u = este absolut covergetă, deoarece seria u = este divergetă. = = Defiiţia.8.. O serie covergetă care u este absolut covergetă se umeşte semicovergetă (sau codiţioat covergetă). Rezultă că seria armoică alterată este semicovergetă. Ua di proprietăţile cele mai importate ale uei sume fiite de umere reale este proprietatea de comutativitate, care costă î faptul că suma u se schimbă dacă schimbăm ordiea termeilor. Se pue î mod atural problema dacă proprietatea aceasta se păstrează şi î cazul seriilor covergete. Răspusul este î geeral egativ. Eemplu: Fie seria armoică alterată... + 3 4 + K + + (.36) Aşa cum am văzut, suma acestei serii este s = l. Dacă otăm cu { s } şirul sumelor sale parţiale rezultă l = lim s. Cosiderăm acum seria următoare:

. Şiruri şi serii de umere reale 47 + + + +... 4 3 6 8 K 4 4 (.37) (obţiută di seria armoică alterată pri schimbarea ordiii termeilor). Dacă otăm { σ } şirul sumelor parţiale ale acestei serii, rezultă: σ 3 = = k= k 4k 4k k= 4k 4k = = = s k k. Aşadar avem: σ 3 = s. Evidet, avem şi relaţiile: σ 3 = s + 4 σ 3 =σ 3 +. 4 Deoarece lim s = l rezultă că lim σ = l. Pri urmare seria (.37), obţiută di seria (.36) pritr-o schimbare a ordiii termeilor este covergetă şi are suma l. Am arătat astfel că schimbâd ordiea termeilor îtr-o serie semicovergetă suma sa se schimbă. Prezetăm î cotiuare, fără demostraţie, următorul rezultat datorat lui B. Riema. Teorema.8.. Îtr-o serie semicovergetă se poate schimba ordiea termeilor astfel îcât oua serie să aibă suma egală cu u umăr dat diaite sau astfel îcât seria să deviă divergetă. Di Teorema.8. rezultă că îtr-o serie semicovergetă u este permisă schimbarea ordiii termeilor. Defiiţia.8.3. O serie covergetă care are proprietatea de comutativitate (adică suma sa u se schimbă dacă se schimbă ordiea termeilor) se umeşte ecodiţioat covergetă. Teorema.8.3. (Cauchy). Orice serie absolut covergetă este ecodiţioat covergetă. Demostraţie Cosiderăm seria absolut covergetă u şi otăm cu s suma sa. =

48 ANALIZĂ MATEMATICĂ Notăm cu σ suma seriei u =. Etapa I. Vom arăta că îtr-o serie absolut covergetă seriile formate cu termeii pozitivi, respectiv egativi sut covergete şi că suma seriei este egală cu difereţa sumelor acestor serii. Fie { s } şirul umerelor parţiale ale seriei parţiale ale seriei u = u şi fie { σ } şirul sumelor =. Dacă otăm cu a suma termeilor pozitivi di s şi cu suma termeilor egativi di s rezultă: s = a b, σ = a + b şi mai departe a = ( σ + s), b = ( σ s). Aşadar, avem: a= lim a = ( σ+ s) ; b= lim b = ( σ+ s) şi s = a b. Etapa II. Vom arăta că o serie cu termei pozitivi covergetă este ecodiţioat covergetă. Presupuem deci că u > 0,. Fie seria u% obţiută di seria = u pri schimbarea ordiii termeilor. Evidet u% = uk, k. Deoarece = s% = u% + u% + K + u% < s rezultă că seria u% este covergetă şi suma sa s % s. = Pe de altă parte, putem presupue că seria iiţială u este obţiută di = seria u % pri schimbarea ordiii termeilor, de ude rezultă s s%, deci s = s%. = Etapa III. Vom arăta că orice serie u absolut covergetă este = ecodiţioat covergetă. Dacă otăm cu { u } termeii egativi şi cu { u } termeii egativi, atuci di prima parte a demostraţiei rezultă: a = u, b= u şi s = a b. = = b

. Şiruri şi serii de umere reale 49 Orice schimbare a ordiii termeilor î seria u revie la schimbarea = ordiii termeilor î seriile u, respectiv u. Cum sumele acestor serii u = = se schimbă dacă se schimbă ordiea termeilor (aşa cum s-a demostrat î etapa II) rezultă că s% = a b= s, şi cu aceasta teorema este demostrată..9. Operaţii cu serii covergete Teorema.9.. Dacă seriile u şi = v sut covergete şi au sumele = U, respectiv V atuci α, β ϒ seria ( α u +βv) este covergetă şi are = suma egală cu α U +β V. Demostraţie Afirmaţia rezultă imediat di următoarea egalitate: ( α uk +β vk) =α uk +β vk. k= k= k= Pri produsul a două serii u şi v se îţelege orice serie de forma = = w ude w = ukvl, kl,. Eistă deci o ifiitate de pozibilităţi petru a = îmulţi două serii. Ditre acestea, două tipuri de serie produs sut mai des utilizate şi aume: uv + ( uv + u v) + K+ ( uv + uv + K+ uv) + K (.38) ( ) K ( ) uv + uv + uv + uv + + uv + uv + K K+ uv + uv + K+ uv + K Produsul a două serii covergete u este î geeral o serie covergetă. (.39)