3.STOHASTICKI PROCESI U EKONOMIJI 3.. SISTEMI I PROCESI Mguće defcje sstema: Sstem je ača de besačg rstra. Sstem je su elemeata dsa zmeđu jh. Sstem je mles međusb vezah fucja jhvh met. Sve št je uljuče u sstem redstavlja jegvu lu. Karaterste met ač jhvg vezvaja sajaja, srazumevaja, rasreda mštva drugh dsa zmeđu jh sačjavaju dređuju struturu sstema. Stala mdfacja met jhvh međusbh dsa redstavlja fucsaje sstema. Strutura fucsaje su dva aseta smatraja sstema. Ul su mete sstema reale, da su sstem u čj sl ulaze real r.: sstem acale rvrede, tražja, eletrs račuar, čvečj rgazam, društv, td. Sstem j su real azvaju se astrat sstem. Njhve mete su frmal smbl, međusb veza frmalm zatstma. Astrat
sstem redstavljaju mdele realh sstema, ajčešće su jhva mtacja u svrhu aalze fucsaja redvđaja jhvg budućeg ašaja. Nač uzajamg delvaja zmeđu sstema ružeja, u tu vremea, mžem azvat ašaje sstema. l: Iteracja dsa sstema ružeja sljava se u vdu ašaja sstema. Ia rmea ašaja čest bva zazvaa zvesm delvajem le, za arater ašaja su dlučujuća uutrašja strutura sstema, brj vrsta jegvh elemeata dsa j elemete sajaju. Ov uzajam delvaje se dvja re ulazh zlazh frmacja, aratersah redstavljeh vetrma čj sastav delv zražavaju staja jedh sastavh delva ulaza ds zlaza. Prema brju sastavh delva razlujem dvdmezale, trdmezale, ds všedmezale vetre. Su vetra ulaza, ds zlaza, azvam rstr ulaza ds rstr zlaza. Redsled vetra u vremeu azvam trajetrja. Trajetrje a ulazu zlazu stje u zvesj zavsst. A red ulazh zlazh staja razlujem uutrašja staja, da reacje sstema mžem ratt trajetrjama uutrašjh staja. Kreta trajetrja zlaza a sledca trajetrje ulaza azva se atvst l rces sstema. Drugačje reče: u svrhu fucsaja sstema, u jemu se dvja realzuje su međusb uslvljeh atvst dgađaja. Ova zbvaja u sstemu mžem azvat rcesm.
Prese ašaja sstema rcesa u jemu, u dređem mmetu, mžem azvat staje sstema. Grusaje dređeg brja met eg slžeg sstema u jedu celu, rad lašeg aalzraja sstema a cele, azva se agregacja sstema. Surta stua se azva dezagregacja sstema. A jede mete u sastavu sstema dejstvuju a tač dređe ač, ta da se jegve buduće rmee mgu uzda redvdet, sstem je determstč. Njegv fucsaje se dvja strg dređem determstčm lau. Ul su meata ema strt dređee veze, a samm tm fsrau struturu, a su međusb ds, a sastavh elemeata ta dsuva dsstema, dlž utcaju slučajh mbacja brjh fatra, jhv ašaje bće slučaje rrde, sam su će bt sthastč sstem, a rces u jemu sthastč rces. Prmer: Tražja zavs d dhta tršača, cee rzvda, ava tršača, td. Međutm, a se vaj sstem meja u zavsst d sastavh met ava je veza zmeđu met, e mže se utvrdt a tačst, već a vervatst.
Sthastčm sstemma je svjstve sthastč l rbablstč vervat ašaje, je se e dvja strg dređem zau, već je zavs d slučajh fatra. Pručavaje aratersta sstema mgućuje tuje reczje sagledavaje velg brja java u vez sa fucsajem sstema, te drs mgućst uravljaja sstemma jhvm usmeravaju a svm clju uravljaja - tmalzacj sstema. Ems sstem radaju gru društveh sstema. Bte araterste vh sstema su slžest, damčst sthastčst. Na emse ssteme utču ljud, mejaju h usmeravaju svjm svesm acjm. T su u zvesm smslu veštač stvre sstem je stvaraju ljud j su ameje ljudma. Razlčt cljev u emsm sstemma zazvaju razlčte acje, št zat mluje težava uravljaje sstemm jegv fucsaje. Uslađvajem svh cljeva acja stvara se jedstve sstem dšeja dlua u me su uslađe ems, rgazac, sclš drug teres. Ova jedstvea ljudsa acja, dređea lam zražea uravljajem, bezbeđuje tutet fucsaja sstema, tj. bezbeđuje rgres. Na uravljaje razvj veće emsh sstema utču dlue je sadrže elemete ezvesst. Kd vh sstema sva dgađaj meja vervatću sledećh dgađaja, št zač da se rad sstemma sa zrazt sthastčm ašajem.
Osv clj svag uravljaja je državaje sstema št je mguće blže staju tmalst, a štj težj društva da racal, efas efetv ruvd svjm razvjem. Otmal ems sstem drazumeva racal ršćeje svh raslžvh resursa, uz ajveću efetvst jhve rzvde utrebe, tj. stzaje masmalh rzvdh rezultata sa ajmajm ulagajma. Da b se sstemm mgl uravljat mra da stj clj j treba stć uravljajem, a j je jas dređe zvesm strategjm. Pd strategjm se drazumeva la ašaja sstema, uz uvažavaje razh stuacja, lst gračavajućh uslva. Utvrđvaje clja sastj se z dređvaja tmale strategje ja bezbeđuje stzaje masmuma željeg efeta. U tm ravcu je treb dredt rterjum efetvst, j, red tga št uzma u bzr ceu treutg staja, vd račua budućem razvju sstema. Nač ašaja sstema, relaz z jedg staja u drug, mže se matematč zahvatt razat a taj ač št se smatra ds rces razuju a staja ja dlaze jed za drugm u vremeu a eracje je dređe staje revde - trasfrmšu u sledeća. Ovaj stua matematčg zučavaja ašaja sstema rcesa u jemu se azva mdelraje.
Mdelraje je stua zasva a strucj mdela j služ a sredstv za dbjaje sazaja zavaju dređeg bjeta l sstema aalzu struture sstema jegvg ašaja. Kstrucja mdela mže se vršt lgč l u blu astrath sstema zava, tj. rmem matemate. Ušte reče, mdel je rblža sla redstava stvarst, tj. eg stvarg redmeta l ee stvare stuacje. Razlujem: fzče, lve vzuele astrate smblče, tj. lgč-matematče mdele. Mdel u aučstražvačm smslu je bl redstavljaja zvesh bjeata, java, dgađaja, sstema l rblema j su redmet stražvaja, s cljem da se redvd jhv buduće staje, ašaje razvj. Mdelraje se utrebljava tam gde je emguće l je vrl teš zvdt zaljuče dret z rgala. Mdel tavu mgućst ruža ta št rerezetuje sstem ds jegvu struturu ašaje. Na mdelu se jed rces mgu ubrzat, a ta stat a b jede mete fucsale. A mdel rgal maju zmrfu struturu, da je reč mdelu struture, a a maju zmrf ašaje, da je reč mdelu ašaja. Dva sstema su slča zmrfa, a su slče struture slčg ašaja.
Za stražvaje zučavaje emsh java, mdelraje ma seba začaj, jer se u blast emje uglavm e mgu rstt lasč metd esermetsaja. Ka mdel bra se taav sstem j razuje ašaje rblž aalg ašaju realg sstema. Od sebg začaja je utreba matematčh mdela vattatvh matematč-statstčh metda u rcesu dlučvaja, arčt u fazama rreme dlue. Smsa uvđeja matemate u rces rreme dšeja dlue je da se, ršćejem, relevath frmacja uvažavajem stjaja stalg mejaja fatra j deluju a smatra sstem učestvuju u smatram rcesu, smaj rz u dlučvaju d te mere da se, dabrm ajvljje alteratve, mgu čevat želje rezultat sa velm steem zvesst.
3.. STOHASTIČKE PROMENLJIVE 3... Pjam sthastčst sthastče rmeljve Nared je reče da je emsm sstemma svjstve sthastč ašaje da se u jma dvjaju rces a je utču brj rmeljv fatr. T su sstem je arateršu sthastče fucje vremea, rstra l drugh arametara u jma se retaje razvj tčjava zau vervatće. U jma dlaz d zražaja rmeljvst razlčte vrste d estjast ljudsg duha, razvrsst uusa hteja d rmeljvst tržšh dsa društve-ltče stuacje drugh arametara. Sthastčst je term jam j utrebljavam ada želm da zrazm ešt št je stvarljv u fucj vervatće. Sthastča, aleatra l slučaja rmeljva je a ja mže uzmat vredst sam sa dređem vervatćm. Lat.: Aleatr Kcar Slučaj je dgađaj j se d datm uslvma u datm času, e mra už dest realzvat. Slučaj dgađaj se ravaju rema zau velh brjeva. Za slučaju rmeljvu ažem da je reda, dsreta l dsturaa, a a slučaj mže uzet ač mg vredst Brj esravh rzvda je maša rzvede za čas, Brj autmbla j rđe ulcm za čas, dr..
Za slučaju rmeljvu ažem da je ereda l turaa, a mže uzet bl ju vredst jedg tervala a, b, tj. da se ered rasređuje duž celg tervala a, b l celg sua realh brjeva tj. tervala -,. T su r.: starst, teža vsa d sua ljud; brza retaja vzla; vreme zrade rzvda; teža masa rzvda dr. 3... Za vervatće sthastče rmeljve Vervatća da će dsreta aleatra rmeljva X uzet vredst zs, tj. P X,,,..., Dale, dsreta aleatra rmeljva X je a ja a slučaj uzma vredst za,..., sa dgvarajućm vervatćama,,..., r čemu je. Su arva vredst, r čemu je., azva se za rasreda razdebe vervatće l raće za vervatće dsrete slučaje rmeljve X. Za vervatće slučaje rmeljve je ustvar, ravl me svaj vredst rmeljve rdružujem dgvarajuću vervatću a taj ač uuu vervatću, ja je jedaa jedc, rasređujem a jede brje vredst slučaje rmeljve.
Grafč redstavljaje Zaa vervatće dsrete rmeljve vrš se mću hstgrama vervatća l lga vervatća. Prmer: Ocee 6 7 8 9 0 Vervatće javljvaja 0,35 0,35 0, 0, 0,05 P 0,4 0,3 0, 0, 6 7 8 9 0 Vervatće javljvaja su ustvar relatve frevecje F r, dbjee va:
f r f f, r čemu je f zaa za aslutu frevecju. Prmer: Ocee 6 7 8 9 0 6-0 Brj studeata f 6 8 6 8 80 Verv. Rel. frev. f r 0,35 0,35 0, 0, 0,05 Relatve aslute frevecje su azatelj učestalst jedh vredst beležja u ršlst a stvarst, dale, dbje a rezultat stvarg dešavaja. Ist dac, tj. relatve frevecje mgu služt za redvđaje učestalst javljvaja jedh vredst beležja u budućst, a se tretraju a vervatće javljvaja vredst beležja u budućst, d retstavm da su u začajjj mer rmeje fatr uslv j utču a smatrau javu, tj. beležje. -. -. -. - U slučaju erede aleatre rmeljve, vervatće radaju jedm tervalma vredst slučaje rmeljve. Vervatće za jede zadate vredst rave su ul, a se gvr fucj guste vervatće f.
Prema tme, vervatća da će se vredst slučaje turae rmeljve X alazt u tervalu d, zs f d, ds P < X < d f d. Fucja f je za vervatće erede slučaje rmeljve X, a azva se fucja guste vervatće, jm je dređea vervatća ja rada, d. svam tervalu A varra u tervalu a, b ema vredst zva tga tervala, da rema zau vervatće mra bt: a < < b P f d, b a a a varra u tervalu,, da važ: P < < f d Grafč se gusta rasreda vervatće redstavlja rvm vervatće. Celua vrša sd rve zs.
Vervatća da će se vredst erede slučaje rmeljve alazt u tervalu α, β jedaa je vrš zmeđu rve se X, duž tervala α, β, β dređeg tegralm α < < β 0 P α f d β α f d, r čemu važ: 3..3. Fucja rasreda dstrbucje sthastče rmeljve Fucja rasreda dstrbucje F, slučaje rmeljve X daje vervatću da će vredst rmeljve X zst ajvše, tj. X F P gde je F eadajuća fucja. -. -. - Fucja rasreda dsrete slučaje rmeljve X je: F P P P K P K. Ov je u stvar zbra vervatća, ta da vredst F redstavljaju umulrae vervatće, r čemu je: F F. Djagram fucje rasreda rede rmeljve je steeastg bla.
Prmer: Ocee 6 7 8 9 0 Vervatće javljvaja 0,35 0,35 0, 0, 0,05 Kumulrae vervatće 0,35 0,675 0,875 0,975,000 F,0 0,975,0 0,8 0,6 0,675 0,875 0,4 0, 0,35 6 7 8 9 0 -. -. -
Fucja rasreda erede slučaje rmeljve X, sa zam vervatće F, f d, r čemu je: F 0, a f, je: F P b a f d F b F a. A je F u tač ereda, da je za vervatće f jeda rvm zvdu d F, tj. f F df d. 3..4. Parametr rasreda slučaje rmeljve Najvažj arametr rasreda slučaje rmeljve su: čevaa vredst matematča ada varjasa. 3..4.. Očevaa vredst slučaje rmeljve Očevaa vredst rede slučaje varjable X je: E f r µ. Artmetčj sred f r f f d emrjsh dstrbucja jer su f r u stvar emrjse l a sterr vervatće dgvara čevaa vredst E µ d rasreda slučajh rmeljvh.
Dale, artmetča sreda je azatelj sredjj vredst beležja u ršlst, a ečem stvarem a svu stvarh frevecja. µ E je azatelj čevaj vredst rsea, tj. čevaj vervatj sredjj vredst, ds matematčj ad da će tl zst sredja vredst a svu relatvh frevecja, a vervatća javljvaja. Očevaa vredst, Matematča ada l Matematč čevaje dsrete slučaje rmeljve X se mže bjast va: Pretstavm da slučaja rmeljva X uzma vredst z ačg sua brjeva {, }, A začava dgađaj X ;,, K,. A regstrujem, K a vredst slučaje rmeljve X u N ta, da je artmetča sreda dbjeh vredst: m m K m N m m m K N N N Pr čemu je m zaa za učestalst frevecju dgađaja ta. A,, K, u N Sa uvećajem brja ta, va vredst artmetča sreda se gruše dređeg brja j azvam matematč čevaje slučaje rmeljve X: E P A,
m P A N je zaa za vervatću realzacje dgađaja A, tj. dgađaja da će rmeljva X uzet vredst. Očevaa vredst erede slučaje rmeljve X je: µ E f d. 3..4.. Varjasa slučaje rmeljve Varjasa l cetral mmeat drugg reda dsrete slučaje rmeljve X je čevaa vredst rmeljve µ µ E µ σ azuje rse vadrata dstuaja vredst slučaje rmeljve d čevae vredst µ., tj. Očevaj vredst varjase σ E µ u budućst a vervatj vredst dgvara varjasa: σ f f a azatelj ečem št se desl u ršlst.
Varjasa erede slučaje rmeljve X je: σ E µ µ f d -. -. - Cetral mmeat r-tg reda je: r r µ M r µ, za redu slučaju rmeljvu X, a E r r E µ µ f d, za eredu slučaju rmeljvu X. Pšt r f ada -. -. -, t se u ratčj rme sva arametar slučaje rmeljve mže arsmrat dgvarajućm arametrm dbjem z emrjse dstrbucje frevecja. Rezme u vez sa Prmerm. Obavlje je st r. z Matemate, u jusm ru za 80 studeata zbr frevecja. Ocee rmeljva, beležje: 6,7,8,9,0 vredst rmeljve je stgl stvarl: 6,8,6,8 studeta frevecja, učestalst, št u % zs: 3,5%0,35; 35%0,35; 0%0,; 0%0,,5%0,05 relatve frevecje. Ostvarea je sredja cea artmetča sreda:
f f f r, f r f f 7,5 Ovde je cea jeda determstča rmeljva.. Na svu rezultata bavljeg sta, u aredm dgvarajućem ru ju, za vu geeracju sa rblž stm struturm završee sredje šle useha u jj uz ermeje rgram redmeta j se laže mžem čevat da će studet e za se l će h rstut stu stvart cee 6,7,8,9 0 vredst rmeljve sa vervatćama 0,35, 0,35, 0,, 0, 0,05; tj. Očeuje se da će ceu 6 stvart rblž 3,5%; ceu 7 rblž 35%; ceu 8 rblž 0%; ceu 9 rblž 0% ceu 0 rblž,5% studeata; te da se mže čevat sredja rseča cea čevaa vredst 7,5 ja se račus dbje va: E 6 0,35 7 0,35 8 0, 9 0, 0 0,05 7, 5 r čemu su vervatće je rate rmeljvu X jee vredst, dbjee emrjs z relatvh frevecja. Ovde je cea jeda sthastča rmeljva. f r 3..5. Dvdmezala slučaja rmeljva
A je ea java aratersaa sa dve l vše slučajh rmeljvh, da se rad tzv. dvdmezalj ds všedmezalj slučajj rmeljvj. Sstem d aleatrh rmeljvh -dmezala slučaja rmeljva terretra se a su slučajh tačaa u -dmezalm rstru. Vredst dvdmezale slučaje rmeljve, y redstavljaju se tačama u rav X Y va "rmeljva", a jeddmezala, mže bt reda dsreta ereda turaa. Preda dvdmezala slučaja rmeljva X, Y uzma ača su arva vredst, y,,, K, ; j,, K m, d ereda rmeljva j, vh vredst ma erebrjv mg. j je zaa za vervatću da će dsreta aleatra rmeljva X uzet vredst, a stvreme rmeljva Y uzet vredst y j, tj. P X, Y y ;,, K, ; j,, K, m. j j Su trj y,, je za vervatće rede dvdmezale slučaje j j rmeljve X, Y. T je u stvar za vervatće združee dstrbucje m j j rmeljvh X Y, r čemu je:.
Za vervatće dvdmezale erede aleatre rmeljve X, Y je ereda fucja y f,, za ju važ: b d, y ddy a c f a je a < < b c < y < d; ds: f, y ddy, a je < < < y <. -. -. - Razmatraja ja se dse a dvdmezalu slučaju rmeljvu, mgu se uštt utrebt a aalzu všedmezale slučaje rmeljve.
3.3. POJAM I KARAKTERISTIKE STOHASTIČKIH PROCESA Staje sstema se meja z časa u čas, u em sstemu začajje, a u em ezat, ta da u malm vremesm tervalma deluje a da se sstem e meja. Međutm, sagledavajem staja sstema u dvlj velm razmacma dbje se sla rmeama u ašaju sstema rcesma u jemu. A e sstem S tm vremea relaz z staja u staje d utcajem slučajh fatra, ta da se e mže uared decd redvdet a taj sstem meja staje, da se aže da se u sstemu S dvjaju slučaj sthastč rces. Nea je X t slučaja rmeljva ja d arametra t ajčešće vreme zavs u tm smslu da je za svau vredst arametra t defsaa svjm zam vervatće ea za vervatće zavs d za vredst t < τ je je slučaja rmeljva rmla u tzv. rethdm rajm stajma. X t t Tsa rethd avedem svjstvma če celu ju azvam sthastč rces, slučaj rces, sthastča fucja l slučaja aleatra fucja. Prmer. Pratm retaje eg autbusa a relacj d mesta A d mesta B merm brzu retaja dama u stm "mmetma" l a stm tačama uta.
Namee:. Da mgu bt r. sv edeljc, utrc,... u jedj sez.. Krve u djagramu redstavljaju te l servacje. 3. X t je slučaja rmeljva sa sum svjh vredst vetr staja: { X t, X t,..., X 5 t 5,...}, u treutu t Prmer. Pratm velču tražje za rzvdm P a vše smatrah stražvah tržšta, u dređem vremesm erdu.
Velča tražje a 3. tržštu u treutu t Namee:. X t je slučaja rmeljva tražja za rzvdm P u treutu t, a 5. smatrah tržšta, sa sum svjh vredst tražja, jedač za sva d 5 tržšta u treutu t : { X t, X t, X t, X t, X t }, 3 3 4 4 5 5 u treutu t.. Za t t0, bće: X t { X t, X t, X t, X t, X t,} {,,, }. 0 0 0 3 0 4 0 5 0 0 0 30 40, 0, 0, 30, 40, 50 su elemet vetra četg staja, tj. vetra t 0. 50 3. X t je sredja vredst slučaje rmeljve X t, r čemu je: 5 X t t 5
A su sve vervatće međusb jedae, da je: 5 X t 5 t 5 5 Za reta rmer: X t je zaa za rse tražje a svh et tržšta, u treutu t. 4. X t je fucja rva ja razuje rseč retaje sredjh vredst slučajh rmeljvh X t,,3, 4, 5. Rezme: A fsram vreme a t t, tada se rces X t svd a aleatru rmeljvu X t, a vaj slučaj redstavlja tzv. rese sthastčg rcesa l rese aleatre fucje. Prema tme, treucma t, t, K, t, K, t dgvara z d aleatrh rmeljvh. X t, X t,..., X t,..., X t, a svaa d jh u smatram treutu uzma z svjh vredst, t: { t, t,...} {,,...} X t { t, t,...} {,,...} X t { t, t,...} {,,...} X t uz čet staje u treutu t t0 { t, t,...} {,,...} X t0 0 0 0 0
-. - Pd sthastčm rcesm aleatrm fucjm drazumevam su slučajh rmeljvh X je zavse d vremea t, tj. rmeljvh X t j,, K,, r čemu je svaa rmeljva aratersaa sum svjh j vredst X t j. j Dale, sthastč rces je su slučajh rmeljvh je svje vredst stvaruju u reseu servacja rcesa u dređem treutu. Nz vredst slučaje rmeljve, u smatram treutu, araterše staje rcesa u tm treutu. -. - Rad defsaja zaa rasreda vervatće sthastčg rcesa, zabere se vremesh treutaa u jedm tervalu 0, t, a se za sva t dbja aleatra rmeljva X t sa svjm zam vervatće. Prema tme, j za vervatće sthastčg rcesa je dređe zam vervatće sthastčh rmeljvh X t, j ga če rcesm l je ga geeršu. j Psmatrajm aleatru rmeljvu X t j u treutu t j. Ova aleatra rmeljva ma svj za vervatće f, t j j zavs d t j. Fucja f, t j daje frmacju staju sthastčg rcesa u treutu t j. Za zabraa dva treuta t j t. mam blju frmacju, tj. dvdmezal za vervatće f, t ;, t. Odabrm većeg brja treutaa dbjam sve j blju frmacju rcesu, a ajvljju a zaberem sve treute t ;,, K,, je rat -dmezal za vervatće
f, t ;, t ; ;, t. K Terjs je mguće brj treutaa uvećavat u besač, a ratč se dabra ača brj treutaa. -. - Među začaje araterste sthastčh rcesa ubrajam Očevau vredst sredju vredst, Varjasu, Krelacu fucju, Autrelacu fucju, Krelac efcjet Autrelac efcjet. Očevaa vredst sthastčg rcesa X t je: E X t µ t X t X t je jeda ealeatra fucja realg arametra t, ja je za fs t jedaa brju X t, tj. sredjj vredst aleatre rmeljve X t astaje u reseu sthastčg rcesa vd slu *, ja Dale, E X t redstavlja sredju fucju je varraju realzacje rcesa, a mera dstuaja dserzje X t d X t dbje se re varjase sthastčg rcesa: t E X t X t σ. Varjasa sthastčg rcesa redstavlja sredje vadrat dstuaje sthastčg rcesa, ds servacja sthastčg rcesa, d svje X t je sredja fucja azuje rseč dvjaje sthastčg rcesa t, tj. rseč retaje. X t je sredja vredst sthastče rmeljve t redstavlja rseč staje sthastčg rcesa u treutu t, tj. sredja vredst resea sthastčg rcesa u treutu t.
sredje servacje, ds sredje fucje. Varjasa sthastčg rcesa je, tađe, jeda ealeatra fucja arametra t. X t σ t su važe araterste, al e mraju bt dvlje za ručavaje recza s sthastčh rcesa. Name, mže se dest da dva sthastča rcesa X t Y t maju ste sredje vredst fucje varjase, tj. da je X t Y t da je t σ y t, a da je arater vh rcesa a razlčt vd sle σ U svrhu utvrđvaja razlčtg aratera tavh drugačjh rcesa defšu se dređuju Krelaca fucja Autrelaca fucja. Krelacu fucju defšem a: K t K X t, Y t E X t - X t, Y t - Y t, XY a mću je stujem stee zavsst dve sthastče fucje rcesa X t Y t.
Autrelaca fucja sthastčg rcesa X t azuje stee zavsst zmeđu dva resea t t j t t, sthastčg rcesa defše se a: K XX t K X t j, X t K X t, t j, t E X t j X t j, X t X t K X t j, t Oa, defcj, redstavlja relac mmeat dgvarajućh resea sthastčg rcesa X t, za sva ar vredst: t, t T, ds redstavlja varjasu sthastčh rmeljvh j X t j X t. A je t j t, da autrelaca fucja staje varjasa, a secjal slučaj autrelace fucje. * Pmću varjas mću relach autrelach fucja mguće je dredt sredju vadratu grešu stadardu grešu - dstuaje u slučaju vremesg maa tme lag, a: σ t, t E X t - Y t K t, t K t, t K t, t j j XX j XY j YY j Dalje mžem dredt relac efcjet dve aleatre fucje X t Y t. r X t, Y t K XY t σ t σ t y autrelac efcjet aleatre fucje X t u resecma K X t j, t r X t j, t σ t σ t X j X t t j t t : * Reč je varjas sthastče rmeljve X t j t fucj., a e varjas sthastčg rcesa, dale reč je brju a e
Sthastče rcese j u tu vremea e azuju začajje rmee azvam stacarm sthastčm rcesma. Karaterste vh rcesa su: Za vervatće m staje ermeje, r rme vremesg mmeta t u mmeat t τ. Sthastč rces je strg strt stacara, a su fucje rasreda sthastčh rmeljvh za t t τ detče, tj. a važ: F X t, X t,..., X t,..., X t F X t τ, X t τ,..., X t τ,..., X t τ sva τ > 0 t, t,..., t,..., t T. X t E X t µ je stata ezavsa d vremea t. X t E X t X t st. K t, t t K τ σ σ τ X X j j X Psebu vrstu sthastčh rcesa redstavljaju rces X t sa rastućm stacaršću l rces hmge u vremeu, j maju araterstu da su razle: X t τ - X t τ X t X t sthastče rmeljve stg rasreda j j vervatća. Nestacare sthastče rcese araterše evlucja u tu vremea.
Emse jave rcese arsmram stacarm sthastčm rcesma m estacarm j stee relaze a stjaj režm. Za sthastč rces X t ažem da je Ergdča l da seduje ergdču sbu a rseče vredst je se dbju a svu jedg za servacja uzra, u vremeu u me se rces smatra, mgu da se smatraju arsmacjama dgvarajućh rsečh vredst rcesa u cel. Ta se rseča čevaa vredst E X t sthastčg rcesa X t zračuava a grača vredst sredje vredst jedg za uzra servacja, dzvljavajuć da se T uvećava u besač, tj.: T lm X t E X t T T t Prces sa dsretm sum T, tj. rces sa dsretm rstrma staja, azvaju se lac. A je X t za fs t slučaja dsreta rmeljva, da je reč dsretm sthastčm rcesu. U rtvm se rad eredm sthastčm rcesu.
Prlg Za velh brjeva Szaja delvaju vga zaa mgućava učavaje ravlst zatst u astuaju smatrag dgađaja. Karatersta delvaja zaa velh brjeva je u smatraju astuaja dgađaja u velm brju slučajeva, jer se sam u mas sljavaju ravlst zatst. Nastuaje dgađaja jedač u malm brju redstavlja slučaj, a astuaje stg dgađaja u mas se sljava a zatst. Ta r. a u smatraj gd d rete grue ljud d 8 lca ste starst umre šestr 75%, e treba zvuć zaljuča da je vervatća smrt za ljude smatrae starst 75%. Međutm, smatraje grue d r. 80.000 ljud ste starst mže rezultrat u frmraju vervatće smrt lca smatrae starst. Delvaje Zaa velh brjeva ajblje lustruju rmer z esermeata j su vrše u svrhu ručavaja vezah za vaj za.. rmer: Vrše su esermet bacaja včća raćea java grba a grjj stra, r svam bacaju. Rezultate esermeata razuje sledeća tabela: Istražvač Brj bacaja Pjava grba Dgađaj A Relatva učestalst WA Bf 4040 048 0,5069350,693%
K. Prs 000 609 0,505850,58% K. Prs 4000 0 0,500550,05%. rmer Prat se java brja a grjj vrš r bacaju umersae ce brjevma d 6. Rezultate razuje sledeća tabela: Brj bacaja Brj jav. Dgađaj B Relatva učestalst WB 50 5 0,0% 00 3 0,33% 500 88 0,767,6% 000 59 0,595,9% 5000 8 0,6446,44% Prmetm da brj javljvaja grba tež a 50%, a javljvaje brja tež a 0,6 6,67% 6
Prlg Raču vervatće Razlujem jam lasče defcje vervatće d jma emrjse a sterr defcje vervatće. Vršm e esermet E. Među shdma esermeta javljaju se dgađaj A, B, C,... Nea je zaa za brj svh jeda mgućh shda esermeta E, a m zaa za brj shda esermeta E j dvde d realzacje astuaja dgađaja A tzv. brj vljh shda za astuaje dgađaja A. Klasča defcja vervatće: Vervatća realzacje astuaja dgađaja A, u zac PA, je ds brja vljh mgućst za astuaje dgađaja A svh jeda mgućh shda eg esermeta E, tj. m P A S bzrm a velče ds brjeva m mguć su v slučajev: m, da je P A, a je tada reč tzv. sgurm dgađaju. m 0, da je P A 0, a je reč tzv. emgućem dgađaju. m 3 0 < m <, tj. 0 < <, ds 0< P A <, a je tada reč tzv. slučajm l vervatm dgađaju. Nejedast 0 P A buhvata sva tr slučaja.
P A m je matematč čevaje astuaje dgađaja A u budućst. Za razlu d jma lasče defcje vervatće, ja drazumeva zračuavaje vervatće re esermeta ezavs d tga da l će se esermet vršt, a sterr emrjsa vervatća l relatva učestalst dgađaja A, u zac W A, se zračuava sle esermeta ds je brja shda u esermetu u jma se realzva astu dgađaj A brja svh shda uu zvršeh ušaja, tj. W A Prmećujem da r velm brju ušaja bude W A P A, tj. a, da m W A P A. U rmerma je sm srstl za bjašjeje zaa velh brjeva: W A P A W B P B 0,5 0,6& 6 C A je P A vervatća da će se realzvat dgađaj A, da je P A vervatća realzacje surtg dgađaja, tj. vervatća da se eće realzvat C dgađaj A, r čemu je P A P A.
Prlg 3. Statstč rasred dstrbucje Prulje statstč dac, grusa u blu umerčh serja, azvaju se emrjs rasred frevecja l raće emrjs rasred. Emrjse dstrbucje rasred se ada e laaju u tust sa Terjsm rasredma, al m se mgu maje l vše rblžt, a se emrjsm rasredma mgu arsmrat dgvarajuć terjs mdel rasreda. Terjs rasred terjsa razdeba azuje čevae vervate frevecje astuaja jedh vredst beležja tj. vredst slučaje rmeljve. Emrjs rasred frevecja azuje struturu masvh varjablh java a stvarst a realzvau mgućst. Terjse razdebe mgu bt rede erede. U statstčj ras se ajčešće rste sledeć mdel terjsh rasreda: - dsret: Bm, Psv Pss, Hergemetrjs.
- ered: Nrmal, t-rasred l studetv rasred, Sederv Sedecr F-rasred χ -rasred H vadrat rasred. Za mdelraje sthastčh emsh sstema rcesa su seb začaj mdel dsreth rasreda, a arčt Psv. Psv rasred je secjal slučaj bmg rasreda. BINOMNI RASPORED A ereda slučaja rmeljva X a slučaj uzma ača brj uzasth celh vredst 0,,,..., a zmeđu th vredst dgvarajućh vervatća stj veza: P X, je zaa za vervatću astuaja dgađaja, a zaa za surtu vervatću, tj. vervatću eastuaja dgađaja, r čemu je, da se za P X aže da je bma vervatća, a za rasred me se va vervatća rdružuje rasređuje vredstma rmeljve, da je bm rasred. Za Bm rasred je važa retstava ezavsst astuaja dgađaja, tj. statst u velč zvučea - realzvaa jedca se vraća ma zgleda šasu da bude v "zvučea".
Bm rasred je dređe arametrma, tj. važ B,. Pšt je 0,,, K, t relacja P. P X sadrž u seb vervatću, čj zbr daje, tj. Prema tme, ažem da su svh arva, P 0,,, K, č bm rasred, tj. da slučaja rmeljva X sa zam vervatće, ma bm rasred. Očevaa vredst bme rasdele je: µ E Vd: Ddata. Varjasa bmg rasreda je: σ U slučaju, Bm rasred je asmetrča, a u slučaju smetrča tada važ: je
P X E σ 4 4 POISSONOV RASPORED Kada u Bmm rasredu 0, r čemu staje ača brj, Bm rasred tež a Pssvm, za j važ: P X m! m lm e, m > 0. m je arametar Pssvg rasreda Pssv rasred je secjal slučaj Bmg rasreda, za slučaj da je vervatća astuaja dgađaja vrl mala 0, d je brj ta esermeata terjs besača, a ratč vrl vel. U ras se rst ada je >50, a vrl mal. Za rmer mže služt trla valteta rbe u velj lč, u jj je vervatća, da se rađe esrava rzvd, vrl mala. Za vervatće Pssvg rasreda slučaje rmeljve X je:
m m, e, P!, r čemu je P Očevaa vredst Pssvg rasreda je: µ E m Varjasa Pssvg rasreda je: σ, zbg 0, σ m µ tj. Reuret brazac za zračuavaje vervatća Pssvm rasredu m P P X Prv se zračua: m m m P 0 e e 0! zatm dalje:,
m m P P0 me P m m P e m P 3 td. 3 m m P e 3 3 m
Ddac uz Prlg 3. Ddata.. ač E Za 0, bće: E µ P X Za, bće: E µ P P Za, bće: E 0 µ,
Za 3, bće: E 3 3 3 3 6 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 µ... Za, bće: E µ, jer je P X. ač: *,!!!!!!!!! s s E s s s µ µ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- je zameje sa zbg tga št je rv čla uve jeda ul
Ddata. σ P E σ Za 0, bće: σ Za, bće: σ za, bće: σ 4 8 4 4 3 3 3 3... Za, bće σ
Ddata 3.. ač! lm!... lm lm zbg -, -,... -,!! /! lm / m e m e m. ač! lm!... lm!!... lm 0!... lm lm m m m P m m - zbg m m m e m m m! /! lm /