VEROVATNOĆA I STATISTIKA SA ZBIRKOM ZADATKA

Transcript

1

2

3 UNIVERZITET SINGIDUNUM Ivaa Kovačevć VEROVATNOĆA I STATISTIKA SA ZBIRKOM ZADATKA Treće zmejeo dopujeo zdaje Beograd, 05.

4 VEROVATNOĆA I STATISTIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: dr Ivaa Kovačevć Recezet: dr Nead Cakć, Elektrotehčk fakultet, Uverztet u Beogradu mr Zora Mškovć, Vsoka škola elektrotehke račuarstva, Beograd Izdavač: UNIVERZITET SINGIDUNUM Beograd, Dajelova 3 Za zdavača: dr Mlova Stašć Prprema za štampu: Novak Njeguš Dzaj korca: Aleksadar Mhajlovć Goda zdaja: 05. Traž: 600 prmeraka Štampa: Mobd, Lozca ISBN: Copyrght: 05. Uverztet Sgduum Izdavač zadržava sva prava. Reprodukcja pojedh delova l cele ove publkacje je dozvoljea.

5 PREDGOVOR Ovaj udžbek pokrva kurs od jedog semestra osova verovatoće matematčke statstke. Nameje je studetma koj se po prv put sreću sa ovom materjom to prvestveo studetma formatke račuarstva. Udžbek e sadrž stroge matematčke dokaze, pošto je osov clj da se čtaoc upozaju sa osovm pojmovma teorje prmee, da h prhvate, razumeju osposobe da h prmee u struc. Uz teorjsk deo dat je velk broj rešeh zadataka koj omogućavaju lakše savladavaje materje. Treba mat u vdu da se daas jedo statstčko zračuavaje e realzuje bez upotrebe ekog od softvera koj je predvđe za tu oblast, kao sto su Excel, SPSS, Statstca dr. Nova u odosu a prethodo zdaje udžbeka je što su u ovom materjalu za zračuavaja osm klasčh metoda zložea mogućost koršćeja softverskog paketa Excel. Excel je zabra jer je kao deo Mcrosoftovog paketa prstupača već korska, a drug razlog je što je to relatvo jedostava softver za rad, a dovoljo sadržaja da se veća problema može rešt jegovm koršćejem. Beograd, avgust 05. Autor - III -

6 SIMBOLI obeležavaje pojmova verovatoće koršćejem grčke azbuke (omega) (omega) -( m) -(sgma) -(sgma) (lambda) -(f) (ks) -(epslo) ozaka za elemetara događaj ozaka za skup svh elemetarh događaja ozaka za matematčko očekvaje slučaje promeljve ozaka za stadardo odstupaje slučaje promeljve ozaka za dsperzju slučaje promeljve ozaka za parametar Poasoove raspodele ozaka za fukcju raspodele ormale slučaje promeljve ozaka za raspodelu ozaka za mal poztva broj -(velko sgma) ozaka za zbr - IV -

7 SADRŽAJ Predgovor Uvod III. VEROVATNOĆA 7.. SLUČAJNI EKSPERIMENTI I SLUČAJNI DOGAĐAJI 8.. ALGEBRA DOGAĐAJA 9.3. AKSIOME TEORIJE VEROVATNOĆE AKSIOME VAŽNE TEOREME.4. STATISTIČKA DEFINICIJA VEROVATNOĆE.5. KLASIČNA DEFNICIJA VEROVATNOĆE 3.6. VEROVATNOĆA ZBIRA DOGAĐAJA 5.7. VAŽNI OBRASCI 7.8. ZADACI 7. USLOVNA VEROVATNOĆA I NEZAVISNOST 9.. USLOVNA VEROVATNOĆA 9.. VEROVATNOĆA PROIZVODA DOGAĐAJA - NEZAVISNI I ZAVISNI DOGAĐAJI 3.3. TOTALNA VEROVATNOĆA BAJESOVA FORMULA VAŽNI OBRASCI ZADACI 4 3. SLUČAJNE PROMENLJIVE FUNKCIJA RASPODELE DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA FUNKCIJA RASPODELE OSOBINE FUNKCIJE RASPODELE NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA VAŽNI OBRASCI ZADACI 57 - V -

8 4. PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA OSOBINE MATEMATIČKOG OČEKIVANJA PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUČAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJA OSOBINE VARIJANSE VAŽNI OBRASCI ZADACI 7 5. RASPODELE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH BERNULIJEVI EKSPERIMENTI-BINOMNA RASPODELA BERNULIJEVI EKSPERIMENTI BINOMNA RASPODELA POASONOVA RASPODELA APROKSIMACIJE BINOMNE RASPODELE POASONOVOM RASPODELE NEPREKIDNE SLUČAJNE PROMENLJIVE NORMALNA GAUSOVA RASPODELA APROKSIMACIJE BINOMNE RASPODELE NORMALNOM χ RASPODELA STUDENTOVA RASPODELA VAŽNI OBRASCI ZADACI GRANIČNE TEOREME ZAKON VELIKIH BROJEVA CENTRALNA GRANIČNA TEOREMA RASPODELA EMPIRIJSKE FUNKCIJE VAŽNI OBRASCI ZADACI 3 7. MATEMATIČKA STATISTIKA OSNOVNI POJMOVI STATISTIKE STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI EMPIRISKE RASPODELE OBELEŽJA PARAMETRI STATISTIKE SLUČAJNIH STATISTIČKIH PROMENLJIVIH PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA - SREDNJE VREDNOSTI 40 - VI -

9 7.3.. PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUČAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJA RASPODELE PARAMETARA-STATISTIKA UZORKA RASPODELA ARITMETIČKIH SREDINA UZORKA VAŽNI OBRASCI ZADACI OCENJIVANJE PARAMETARA RASPODELE TAČKASTE OCENE TAČKASTE OCENE MATEMATIČKOG OČEKIVANJA TAČKASTE OCENE VARIJANSE TAČKASTE OCENE VEROVATNOĆE INTERVALI POVERENJA INTERVAL POVERENJA ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE µ KADA JE POZNATA DISPERZIJA σ INTERVAL POVERENJA ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE µ KADA JE NEPOZNATA DISPERZIJA σ INTERVAL POVERENJA ZA NEPOZNATU DISPERZIJU σ INTERVAL POVERENJA ZA VEROVATNOĆU p BINOMNE RASPODELE VAŽNI OBRASCI ZADACI 8 9. TESTIRANJE HIPOTEZA TESTIRANJE PARAMETERSKIH HIPOTEZA GREŠKE TESTIRANJA HIPOTEZA TESTIRANJE HIPOTEZE H o (µ=µ 0 ) AKO JE σ POZNATO TESTIRANJE HIPOTEZE H o (µ=µ 0 ) AKO JE σ NEPOZNATO TESTIRANJE HIPOTEZE H o (σ=σ 0 ) TESTIRANJE HIPOTEZE H o (p=p 0 ) TESTIRANJE NE PARAMETERSKIH HIPOTEZA VAŽNI OBRASCI 9.9. ZADACI 3 LIteratUra 3 TABLICE 33 - VII -

10

11 UVOD U svakodevom žvotu često se srećemo sa zjavama koje u seb sadrže reč verovatoća. Umesto reč verovatoća korste se reč mogućost, šasa sl. Na prmer:. Progostčar vremea kaže u zveštaju a TV da je verovatoća da sutra pade kša 80%.. Reporter koj zveštava o zdravlju građaa kaže da pušač maju veću verovatoću da dobju rak ego epušač. 3. Studet se pta kolka je verovatoća, da dobje oceu 0, ako je baš sve aučo. 4. Izveštač sa zbora se pta kolka je verovatoća da pobed baš ta poltčka straka. 5. Zaposle se ptaju kolka je verovatoća da će se plate povećat u aredoj god. Verovatoća se bav proceama, progozama, mogućostma sl u stuacjama kada emamo sve potrebe podatke za rešavaje ekog problema. U tom smslu verovatoća: mer mogućost da l će se ek događaj realzovat l e korstt se da doosmo odluke u uslovma epotpuh formacja predstavlja osovu statstčkog zaključvaja Problem ajrazlčtjh struka mogu se rešavat prmeom verovatoće, a prmer: upravljaje rzcma blo kog poslovaja procea pojave greške u telekomukacom sstemma procea potreba za zgradju vodoprvredh sstema u budućost predvđaje događaja u spoljoj poltc mog drug - -

12 Teorja verovatoće je matematčka dscpla koja zučava zakotost pojava čj su shod slučaj. Prv problem za čje je rešavaje koršćea verovatoća potču z 0 veka odose se a rezultate prlkom bacaja kocke hazardh gara. Rađaje teorje verovatoće vezao je za mea Blez Paskal (Blase Pascal ), Pjer Ferma (Perre de Fermat ) Krstjaa Hajgesa (Huyghes ). Između Paskala Ferma počela je 654. gode prepska o zu problema, među kojma je bo zadatak o podel uloga prlkom prekda kockarske gre. Name, Paskalu se obrato jegov prjatelj kockar, sa sledećm problemom: Dva grača A B se dogovore da čtav ulog prpade oom koj prv dobje tr gre. Kada je grač A dobo gre, a grač B jedu moral su da preku gru. Postavlja se ptaje kako da podele ulog? Paskal je odgovoro 3:. Ovaj zamljv prmer se često uzma kao početak astaka verovatoće. Prvu kjgu z verovatoće O račuu u hazardm grama apsao je Hajges 657g. stakao je da je kjga maje o hazardm grama, a vše o osovama jede ove teorje. U joj Hajges po prv put spomje pojmove kao što su matematčko očekvaje, slučaje promeljve sl. Perod formraja verovatoće kao auke započje pojavom kjge švajcarskog matematčara Jakoba Berulja ( ) Vešta predvđaja. U ovoj kjz je strogo defsaa prva grača teorema, zako velkh brojeva, koj se daas azva Beruljeva teorema. Oa tvrd da je verovatoća odstupaja frekvecje ekog događaja od jegove verovatoće mala, ukolko je broj poavljaja ekspermeta u kome se događaj realzuje dovoljo velk. Početak 8 veka obeleže je radovma Abrahama de Muavra ( ). U radu Učeje o slučajevma o razmatra z ptaja koja su vezaa za Beruljevu teoremu. Razmatrao je verovatoće odstupaja frekvecja od verovatoće događaja. Pjer Laplas (Perre Laplace ) prošro je Muavrovu teoremu. U kjz Aaltčka teorja verovatoća defše pravlo koje se smatra klasčom defcjom verovatoće. Sumrajuć svoje radove radove svojh prethodka produbo je matematčke flozofske probleme vezae za verovatoću. Nemačk matematčar Karl Frederk Gaus (Carl Fredrch Gauss ) daje ormal zako raspodele slučajh grešaka, zatm defše oceu parametara ormale raspodele, metod ajmajh kvadrata sl. Njegov rezultat z teorje grešaka sada se, bez zmea, alaze u matematčkm udžbecma. Svakako treba spomeut moge druge matematčare koj su se bavl ovom oblašću dal velk dopros to:tomas Bajes (Thomas. Bayes ), - -

13 Leoard Ojler (Leohard Euler ),Smeo Des Poso (Smeo Des Posso ) dr. U drugoj polov 9 veka u Zapadoj Evrop dolaz do zastoja u razvoju teorje verovatoće. Međutm, u Rusj mog velk matematčar se bave ovom dscplom to prvo Vktor Bujakovsk ( ) Mkhal Ostrogradsk (80-866), a pod jhovm utcajem Pafut Čebšev (8-894). Njegov ajzačajj sledbec su bl Adrej Markov (856-9) Aleksadar Ljapuov (858-98). Za me Markova veza su lac Markova, to jest zov slučajh promeljvh povezah tako da verovatoća realzacje jedog ekspermeta uzma određeu vredost ako je pozat rezultat predhodog ekspermeta. Poseba dopros dao je Aleksadar Ljapuov. Defsao je teoremu koja je dobla azv cetrala grača teorema. Zahvaljujuć uspehu ruskh matematčara postepeo se tokom 0 veka povrato teres za verovatoću u Evrop Amerc. Prmee verovatoće postavle su zahtev za preczrajem jee logčke osove, odoso defsaje aksomatskog metoda koj je već bo uvede u moge druge matematčke dscple. Prvu aksomatku verovatoće dao je Sergej Berštaj (Berste) 97.gode, a zatm ju je prošro Adrej Kolmogorov 933. gode. I daas, mogma su ajteresatj kockarsk aspekt prmee teorje verovatoće. Tako se povremeo se čuje kako je ek gejala matematčar doveo kazo a rub propast, jer je ašao sstem koj sguro dobja. Mogo začajje od kockarskh problema je što je daas verovatoća sastav deo auke tehke. Sa verovatoćom kao matematčkm modelom, praktč problem trasformšu se u teorjske tako se jedostavje lakše rešavaju. Zapravo, velk teres za verovatoću statstku astupo je posle drugog svetskog rata. Jeda zuzeto začaja ova oblast je teorja slučajh procesa koju je zasovao Kolmogorov. Od posebog praktčog začaja su proces Markova koj se prmejuju u problemma masovog opslužvaja (telefoja, saobraćaj, trgova). Metod smulacje (Mote Karlo metod) uz prmeu račuara korste se u ajrazlčtjm oblastma auke tehke. Zahvaljujuć razvoju teorje verovatoće astale su ove matematčke dscple: teorja masovog opslužvaja, teorja formacja, teorja pouzdaost tehčkh sstema, teorja zalha. Reč statstka potče od latske reč status, tako da b statstka bla opsvaje staja eke pojave

14 U 7-om veku su se pojavle dve velke statstčke škole, emačka egleska. Po emačkoj škol zadatak statstke je bla sstematzacja podataka o staovštvu prvred, u clju vođeja države poltke, bez aglaska a otkrvaje zakotost. Zadatak statstke se uglavom zasvao a opsu, pa je kasje ovaj pravac azva deskrptva škola. Egleska škola stakla je zahtev za matematčkom obradom statstčkh podataka za otkrvajem zakotost u poašaju posmatrah pojava, što je doprelo bržem razvoju savremee statstke. Postgl su začaje rezultate u stražvaju odosa demografskh, socološkh ekoomskh pojava. Matematčka statstka kao auča dscpla je počela da se razvja tek edavo. Početkom 0 veka pojavle su se prve tače formulacje osova matematčke statstke. Savremea statstčka metodologja vezaa je za me amerkaaca Džoa Nojmaa ( Joh vo Neuma ). Zahvaljujuć jegovm radovma razvle su se tr oblast: teorja estmacje (ocee), teorja provere (verfkacje) statstčkh hpoteza, teorja plaraja ekspermeta. Teorja estmacje se sastoj u defsaju metoda za oceu vredost parametara zakoa raspodele verovatoća slučajh promeljvh. Nje tvorac je Nejma. Osov zadatak teorja provere (verfkacje) statstčkh hpoteza je u određvaju pravla l krterjuma a osovu kog se pomoću ekspermetalh vredost slučajh promeljvh može prhvatt l odbact predložea hpoteza. Treća, ajmlađa oblast statstke je teorja plaraja ekspermeta. Praksa je pokazala da btu ulogu u prme statstke gra sama šema ekspermeta, jer u zavsost od je može da se dobje epotpua l potpuja kvaltetja formacja. Uapred je utvrđe broj posmatraja a osovu kojh se zvode statstčk zaključc. Daas matematčka statstka je savremeo oruđe žejera, ekoomsta, lekara, bologa drugh, dok a početku prošlog veka a prste jede ruke mogle su se abrojat oblast ljudskog stražvaja koje su korstle teorju verovatoće matematčku statstku. Statstka je korsa u predvđaju budućost, jer ema boljeg ača da se odred kolko vremea, resursa, apora, ovca sl. treba upotrebt da b se realzovao ek projekat. Pošto se to e može tačo uapred predvdet, a osovu skustava prakse, zaključc se doose a osovu statstčkh metoda, koje su bazrae a koršćeju verovatoće

15 U teorj verovatoće zučavaju se matematčk model stvarh pojava, dok se u statstc, metodom slučajog uzorka, uspostavlja veza zmeđu stvarh pojava odgovarajućh modela. Statstka je blža realost od verovatoće jer povezuje ekspermetale podatke matematčke modele. Među aučcma daas postoj dlema da l su zako prrode determstčk l slučaj. Da l slučajost postoj samo zato što e umemo da proučmo broje uzročo posledče veze, l je oa realost u prrod? Još u 8 veku aučke je zamalo ovo ptaje, tako je Laplas zastupao strog determzam smatrao da b pozavaje parametara koj defšu staje kosmosa omogućlo tačo predvđaje rezultata svakog ekspermeta. Događaj b se po jemu dell samo a emoguće sgure. Međutm, a daašjem staju auke sguro je jedo, to da slučaje pojave postoje, da maju svoje zakotost, a jma se bav teorja verovatoće

16 - 6 -

17 . VEROVATNOĆA Neke od pojava koje se događaju oko as možemo da predvdmo, objasmo kotrolšemo, pošto pozajemo zakotost jhovog astaka. Tako, a prmer, možemo da predvdmo pomračeje suca meseca, pojavu plme oseke, pojavu elektrcteta sl. Nasuprot tome, postoje pojave čje uzroke smo u staju da odredmo, pa takve pojave e možemo u potpuost da predvdmo objasmo. Tu spadaju, a prmer, meteorološke pojave, pojave zemljotresa, al dobtak a lutrj, sportskoj progoz sl. To su pojave l događaj koj se e moraju užo dest, al su emoguć. Takve slče događaje proučava teorja verovatoće. Da bsmo preczje objasl čme se bav teorja verovatoće posmatrajmo sledeć prmer. Zamo da prlkom bacaja ovčća može da pade psmo l glava obe mogućost su jedako verovate. Ako ovčć bacamo vše puta, očekujemo da se broj glava eće mogo razlkovat od broja psama. Kod malog broja bacaja to e mora da se dogod. Izvrše su sledeć ekspermet: Bufo je baco ovčć 4040 puta 060 puta je dobo grb, Prso je 000 puta baco ovčć dobo 609 puta grb, a kada ga je baco puta dobo ga je 0 puta. Frekvece pojave grba u ovm ekspermetma su 0,500; 0,506 0,5005. Vdmo da se tek u slučaju velkog broja poavljaja ekspermeta uočava eka zakotost u pogledu broja glava. U ovom slčm prmerma može se uočt da pr pojedačm posmatrajma događaj se realzuju bez kakvog reda, po čstoj slučajost, bez mogućost predvđaja. Tako, kada bacamo dar m e zamo da l će past psmo l glava. Al, pr velkom broju poavljaja ekspermeta, mogu da se uoče eke zakotost, što se vd z prethodog prmera. Frekvece dobjaja glave varraju oko očekvae vredost koja zos 0,5. Takvm zakotostma se bav teorja verovatoće. Ove zakotost su drugačje prrode od oh a koje smo avkl, je se oe uočavaju tek pr velkom broju poavljaja ekspermeta. Verovatoća događaja je umerčka mera objektve mogućost ostvarvaja tog događaja

18 .. SLUČAJNI EKSPERIMENTI I SLUČAJNI DOGAĐAJI Ekspermetma se u auc prkupljaju podac koj se zatm obrađuju dobje rezultat korste u praks l za dokazvaje ovh teorja. Međutm, kod ekh ekspermeata smo u mogućost da tačo odredmo kotrolšemo vredost dobjeh rezultata, odoso t rezultat e mogu pouzdao da se predvde. Takv ekspermet su predmet zučavaja verovatoće azvaju se slučaj ekspermet. Prmer: Bacamo ovčć. Ovaj ekspermet možemo poavljat prozvoljo mogo puta, a moguć shod su glava psmo. Prmer: Rezultat ekspermeta koj se sastoj u bacaju kocke su broje vredost koje prpadaju sledećem skupu,,3,4,5,6. Teorja verovatoće za svoja stražvaja korst deale ekspermete koj maju sledeće osobe: Poavljaju se prozvolja broj puta pod stm uslovma, Sv jhov shod su uapred defsa, Ishod pojedačog ekspermeta je uapred pozat. Slučaj ekspermet azvaju se još statstčk l stohastčk ekspermet. Ishod slučajog ekspermeta je slučaja događaj. Prmer: Pol deteta l pojava glave pr bacaju ovčća su slučaj događaj. Slučaj događaj mogu da budu elemetar, odoso da se e mogu redukovat a jedostavje događaje slože, koj mogu da se dalje razlože a elemetare događaje. Kao polaza osova za proučavaje slučajh događaja je određvaje skupa (prostora) elemetarh događaja. Svak moguć shod ekspermeta azva se elemetara događaj obeležava sa grčkm slovom. Skup svh elemetarh događaja, odoso skup svh shoda ekspermeta, zove se prostor elemetarh događaja, a obeležava se sa,,,

19 Svak podskup skupa azva se događaj. Događaj se obeležavaju velkm slovma A,B,C... Događaj koj se pojavljuje prlkom svake realzacje ekspermeta je sgura događaj. Skup svh elemetarh događaja je sgura događaj. Događaj koj se kada e može pojavt pr realzacj ekspermeta zove se emoguć događaj. Nemoguć događaj se obeležava kao praza skup. Ako su A, A,, A slučaj događaj takv da je A A A da se A A ;, j,, svaka dva događaja sključuju (dsjukt događaj), tj. tada ov događaj če potpu sstem događaja. Prmer: U ekspermetu bacaja jedog ovčća shod su G P (glava l psmo). Dakle skup GP,. Prmer: U ekspermetu bacaja kocke shod su brojev,,3,4,5,6. Dakle skup,,3, 4,5,6. Događaj A da pade para broj ma shode, 4,6. Prmer: Događaj da kada bacamo kocku za gru pade blo koj broj od jeda do šest je sgura događaj, a da pade broj 7, je emoguć događaj. j.. ALGEBRA DOGAĐAJA Pošto se događaj defšu kao podskupov skupa elemetarh događaja moguće je veze zmeđu događaja zrazt pomoću odgovarajućh skupovh relacja operacja. Ako su A B slučaj događaj, tada: Događaj A l B ozačavamo sa A B A B. Događaj A B ozačavamo sa A B AB. Događaj A al e B ozačavamo sa A\ B. Suprota događaj događaju A obeležavamo sa A l A, gde se komplemet posmatra u odosu a skup. Ako događaj A povlač ( mplcra ) događaj B, tada kažemo da je A B. Ako za događaje A B važ da je A B B A, tada kažemo da su događaj A B jedak pšemo A B

20 Prmer: Događaj A da se a gorjoj stra kocke pojav broj pet, odoso događaj B da se pojav para broj, su događaj koj se sključuju, odoso dsjukt su. Prmer: Zbr događaja A, koj se sastoj da se a kock pojav broj već od tr l događaja B, koj se sastoj u pojav parog broja, je događaj koj se sastoj u pojav brojeva,4,5 AB 4,5,6, 4,6, 4,5,6 l 6, odoso Prmer: Prozvod događaja koj se sastoj u pojav parog broja a gorjoj stra kocke, 4,6 4,5,6 4,6. događaja da se pojav broj već od tr je.3. AKSIOME TEORIJE VEROVATNOĆE Osov zadatak teorje verovatoće jeste određvaje metoda pravla za zračuavaje verovatoće slučajh događaja. Teorja verovatoće je strogo matematčk formalzovaa zasva se a aksomama teoremama koje prostču z jh..3.. AKSIOME Ako je skup svh elemetarh događaja eka su događaj AB,. Fukcja P azva se verovatoća a skupu, ako važe sledeće aksome:. P,. PA 0, 3. Ako se događaj A B međusobo sključuju oda važ P AB P A P B. Uopšteo možemo reć da je PA PA, ako se događaj A razlaže a koačh l prebrojvo mogo događaja koj se međusobo sključuju. Verovatoća je dakle fukcja, preslkavaje, oblka, P : skup događaja 0,. Drugm rečma, ova fukcja događaje z skupa svh događaja preslkava u terval 0, reale ose

21 Napomea: Ozaka P za verovatoću potče od početog slova latske reč probabltas što zač verovatoća..3.. VAŽNE TEOREME Teorema: Ako događaj A če potpu sstem, odoso važ A A A, oda je Dokaz: Dokaz drekto sled z aksome 3. PA P A Teorema: Verovatoća događaja A koj je suprota ( komplemetara) događaju A zos P A P A. Dokaz: Kako je A A, pr čemu se događaj A A sključuju, a P, dobjamo da je PA A P A P A P, odakle sled P A PA Teorema3: Verovatoća emogućeg događaja je 0. Dokaz:. 0. Kako je, a osovu predhode teoreme sled P P Teorema4: Ako je A B, oda je P A PB. Dokaz: Ako je A B, oda je B A B\ A, odoso pošto se događaj A B \ A sključuju PB P A PB\ A, odakle sled PB\ A PBPA 0, čme je teorema dokazaa. - -

22 Dokaz teoreme lustrova je a sledećoj slc. B A B\ A.4. STATISTIČKA DEFINICIJA VEROVATNOĆE Do pojma verovatoće može se doć skustveo (emprjsk) koršćejem pojma relatve frekvece. Pretpostavmo da se ekspermet u kome se može realzovat događaj A poavlja puta. Neka je broj m broj povoljh realzacja događaja A u poavljaja ekspe-rmeta. m Broj r predstavlja relatvu učestalost (frekvecu) pojave događaja A u poavljaja ekspermeta. U ekoj drugoj serj od poavljaja stog ekspermeta dobće se m m realzacja događaja ek drug broj koj predstavlja frekvecju r. Ako b astavl sa poavljajem ekspermeta dobl b z razlčth vredost koje se u velkm serjama, kada je broj poavljaja ekspermeta eogračeo velk, grupšu oko ekog broja P A koj azvamo statstčka defcja verovatoće m. lm P A Ova defcja ukazuje a tesu povezaost sa realošću. Nedostatak joj je zato što grač proces kojm je data defcja je jaso defsa. Međutm, pored svh edostataka ova defcja omogućava da se odred verovatoća a koačom skupu elemetarh događaja. - -

23 Prmer: Izvršee su 3 serje bacaja kocke od 600, 6 000, puta. Broj se u tm bacajma pojavo 06, 98, 0 90 puta, tako da relatve frekvece zose 0,8; 0,64; 0,70. Ove relatve frekvece pojavljvaja broja grupšu se oko broja 0, Naravo tutvo je jaso da će se svak broj sa kocke pojavt podjedak broj puta..5. KLASIČNA DEFINICIJA VEROVATNOĆE Klasču defcju verovatoće dao je Pjer Laplas (749-87), fracusk matematčar astroom. Defcja se odos samo a oe slučaje ekspermete kod kojh je skup elemetarh događaja koača, a događaj su jedako verovat. Klasča ekspermet ovog tpa je bacaje ovčća. Skup elemetarh događaja je dvočla skup {glava, psmo}, a oba događaja su jedako verovata, jer pr bacaju ovčća obe opcje su ravoprave. Defcja: Neka skup sadrž elemetarh događaja koj su dsjukt jedako moguć. Ako je m(0 m ), broj svh povoljh shoda događaja A, oda je verovatoća PA jedaka m PA Prmer: Kolka je verovatoća događaja A da prlkom bacaja ovčća pade glava? PA. Prmer: Kolka je verovatoća događaja A da prlkom bacaja kocke za gru pojav se para broj? 3 PA

24 Klasča defcja verovatoće se azva defcja apror. Prmeljva je kao što smo već aglasl samo u slučaju kada je koača skup, a sv shod maju jedaku verovatoću. Nažalost, jedakost verovatoća pojavljuje se samo u malom broju slučajeva, kao što su prmer bacaja ovčća l kocke. U praks, odoso statstc, bologj, ekoomj sl. to ajčešće je slučaj. Čak rađaje dečaka devojčce su dva jedako verovata događaja. Ipak, pored svojh edostataka ova defcja je mala zuzeta začaj jer je dovela do astaka drugh, preczjh defcja verovatoće. Napomea: U ekspermetma čj su shod jedako verovat, shode je potrebo prebrojat, pa se u ovm zadacma korst kombatorka. Podsetmo se ekh osovh pojmova obrazaca.,,,. Broj permutacja skupa od elemeata, bez poavljaja, zos P! Neka je dat skup A a a a Broj permutacja sa poavljajem, skupa od elemeata, među kojma ma! k, k,, km jedakh zos Pk, k, k m k! k! km!. Varjacja k klase od elemeata je blo koja k -torka razlčth elemeata skupa A. V k. Broj varjacja zos k Varjacja sa poavljajem k klase od elemeata je blo koja k -torka elemeata skupa A. k Broj varjacja zos Vk. Kombjacja klase od k elemeata je blo koja k -torka razlčth elemeata skupa A, bez obzra a redosled elemeata. V k k Broj kombacja zos Ck. k! k k! Izraz čta se ad k. k Kombacja sa poavljejem k klase od elemeata je blo koja k -torka elemeata skupa A k Broj kombacja zos Ck. k - 4 -

25 Prmer: Od 0 stoveth prozvoda jede fabrke 7 je spravh, a ostal su esprav. Nasumce se bra 5 prozvoda. Kolka je verovatoća da će među zvučem prozvodma bt 3 sprava? CC PA. 0 C Prmer: Kocka se baca 3 puta. Kolka je verovatoća da se bar jedom pojav broj 6? Izračuaćemo prvo verovatoću suprotog događaja, da se e pojav broj V3 5 5 PA 6 3 V PAPA VEROVATNOĆA ZBIRA DOGAĐAJA Kao što smo već aglasl u aksom 3, verovatoća zbra događaja AB, koj se međusobo sključuju, tj. A B je P AB P A PB Za koačo mogo događaja A,,..., važ formula P A A A P A P A P A P A Prmer: U kutj se alaz 00 cedulja a kojma su spsa prrod brojev od do 00. Izvlačmo jedu cedulju. Kolka je verovatoća da je broj koj smo zvukl deljv sa l deljv sa 5 l deljv sa 9? Ako sa A, B, C ozačmo ove događaje, oda je jhova verovatoća PA B C PA PB PC

26 Teorema: Ako se događaj A B međusobo e sključuju, tj. AB,, A B, oda je verovatoća zbra događaja P AB P A PB P AB Dokaz: Događaj A B može se prkazat kao zbr događaja A B \ A B, pr čemu se ov događaj sključuju. Zato je P AB P A P B\ AB P A P B P AB A A B B \ A B Na osovu ove formule mogu se zvest formule za zbr vše od dva događaja koj se e sključuju. Za tr događaja mamo formulu: P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC A A BC A C A B B C C B Prmer: Bacamo kocku. Kolka je verovatoća da dobjemo broj koj je deljv sa l sa 3? Neka je A događaj da je dobje broj deljv sa, a B događaj da je deljv sa 3. Događaj A B se e sključuju, jer postoj broj 6 koj je deljv sa sa 3. 3, dobjamo PAB PAPBPAB Kako je PA, PB, PAB - 6 -

27 .7. VAŽNI OBRASCI Klasča defcja verovatoće m PA Verovatoća zbra događaja koj se sključuju P A A A P A P A P A P A Verovatoća zbra događaja koj se e sključuju \ P A B P A P B AB P A P B P AB.8. ZADACI. Odredt suprote događaje događajma: A- pojava dva grba pr bacaju dara, B- pojava bele kuglce prlkom zvlačeja jede kuglce z kutje u kojoj se alaze bele, 3 cre 4 crvee kuglce, C- tr pogotka u tr gađaja, D- makar jeda pogodak u pet gađaja, E- e vše od dva pogotka u pet gađaja. Rešeje: A - pojava bar jedog psma, B - pojava cre l crvee, C - bar jeda promašaj, D - svh pet promašaja, E - vše od dva pogotka.. U prodavc se alaze sjalce z dve fabrke. Događaj da je slučajo zabraa sjalca z prve fabrke obeležmo sa A, a da je dobrog kvalteta sa B. Šta zače sledeć događaj: A, A A, AA, AB, A B, AB, AB? Rešeje: A - je događaj da je sjalca z druge fabrke, A A - je događaj da je sjalca z prve l druge fabrke, AA - događaj je emoguć, - 7 -

28 AB - da je z prve fabrke da je dobra, A B - da je z prve fabrke l da je dobra, AB - da je z prve fabrke da je dobra, AB - da je z druge fabrke da je dobra. 3. Meta se gađa sa tr metka. Neka je A,,,3 događaj pogotka mete z -tog gađaja. Predstavt sledeće događaje: A - sva tr pogotka, B - sva tr promašaja, C - makar jeda pogodak, D - e maje od dva pogotka, E - e vše od jedog pogotka. Rešeje: A AA A3, B AAA 3, C A A A3, D AAA 3 AAA 3 AAA 3 AAA 3 E AAA 3 AAA 3 AAA 3 AAA Navest skup svh događaja za sledeće ekspermete A bacaje jedog dara, B bacaje dva dara, C bacaje kocke dara, D bacaje dve kocke, E - bacaje tr kocke. Rešeje: GP,, GG, PP, GP, PG, G, G, G3, G4, G5, G6, P, P, P3, P4, P5, P6 Ekspermet bacaja dve kocke ma 6 36 elemetarh događaja:,,3,4,5,6,,,3,4,5,6, 3,3,33,34,35,36, 4,4,43,44,45,46, 5,5,53,54,55,56, 6,6,63,64,65,66, 3 Ekspermet bacaja tr kocke ma 6 6elemetarh događaja

29 5. Četr studeta polažu spt. Ako sa A,B, C, D ozačmo događaj da su položl spt, zrazt sledeće događaje a) Njeda je položo b) Pao je samo drug studet c) Položla su ajvše 3 studeta d) Položla su ajmaje 3 studeta Rešeje: a) ABC D b) ABCD c) ABC D d) ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 6. Ako je A događaj da dve kocke pr stovremeom bacaju pokažu brojeve čj je zbr para broj, a B događaj da pokažu brojeve čj je prozvod para broj, ać zbr A+B? Rešeje: A B 7. U posledjh 0 goda beleže je broj padava temperatura u martu mesecu u Beogradu dobje su sledeć podac: događaj A-05 daa je blo sa padavama, događaj B-35 daa je blo hlado, 53 daa je blo hlado sa padavama. Odredt verovatoće P A, P B, P AB, P A B, P AB, P A/ B, P AB Rešeje: Kako mesec mart ma 3 da, ukupo je posmatrao 30 daa PA, PB, PAB, Iskorstmo Veove djagrame da prkažemo događaje A B

30 da sa padavama l hlada PA B P AB da bez padava hlada 8 30 da sa padavama je hlada / P A B da bez padava je hlada PAB PA B 8. U jedoj prodavc tokom 0 daa prodava je st prozvod to: da Br. prozv Odredt verovatoću prodaje drugog daa od trećeg do sedmog daa Rešeje: PA 0,533 PB , U posud se alaz belh, 3 crveh 4 plavh kuglca. Kolka je verovatoća zvlačeja plave kuglce pod uslovom da su sve mogućost jedako verovate? P A Rešeje: Ako se kocka za gru bac jedom, kolka je verovatoća pojave a) parog broja b) pojave broja tačaka koj je maj od 5. Rešeje: a) Neka je A događaj da pade para broj. PA PAPA4PA b) Događaj da se pojav broj tačaka koj je maj od 5 je suprota događaju da je broj tačaka već l jedak 5. PBPA5PA

31 . Na osam lstća apsa su brojev,4,6,7,8,,,3. Na slučaja ač braju se dva lstća. Odredt verovatoću da se razlomak dobje od ovh brojeva može skratt. 5 5 C 5 Rešeje: PA. 8 C 8 4. Deset kartca umersao je brojevma od do 0. Izvlače se dve kartce stovremeo. Nać verovatoću da je zbr brojeva a zvučem kartcama jedak Rešeje: PA U kutj se alaz 8 crveh 6 plavh kuglca. Nasumce zvlačmo kuglce. Kolka je verovatoća da će: a) zvučee kuglce bt razlčth boja b) da će obe kuglce bt crvee c) da će obe kuglce bt plave Rešeje: a) PA , b) PB , c) PC P A P B P C. 9 Ov događaj če potpu sstem 4. U kutj se alaz 8 crveh 6 plavh kuglca. Nasumce zvlačmo 5 kuglca. Kolka je verovatoća da će među jma bt tačo 3 plave? Rešeje: PA

32 5. U serj od 5 sjalca jeda je esprava. Kolka je verovatoća da zmeđu 3 asumčo zabrae sjalce a) bude esprava sjalca b) e bude esprava. Rešeje: a) PA Ako je jeda esprava oda od preostale 4 treba brat. 3 b) PA U jedoj serj od 0 stoveth sjalca alaz se jeda esprava. Nasumce se braju 3 sjalce. Kolka je verovatoća da su sve tr zabrae sjalce sprave? Rešeje: P A 0,3. 7. Među prozvoda m je lošeg kvalteta. Nać verovatoću da je među k slučajo zabrah prozvoda bar jeda lošeg kvalteta. Rešeje: Događaj A je suprota događaju da su sv prozvod dobr. m k PA. k 8. U pakovaju od prozvoda ma m espravh. Nać verovatoću da se u uzorku od r slučajo zabrah prozvoda ađe k espravh. Rešeje: PA m m k r k. r - -

33 9. Dete ma 4 pločce za gru a kojma pše,3,5,6. Od th brojeva prave se raz četvorocfre brojev. Kolka je verovatoća da dete dobje broj a) deljv sa 4 b) deljv sa Rešeje: a) Broj svh shoda su permutacje od 4 elemeta, tj. 4!=4. Brojeva deljvh sa 4 ma 8. To su brojev koj se završavaju sa dvocfrem brojevma deljvm sa 4. (3,36,5,56). Preostale cfre če razlčte permutacje. 4 8 PB 4! 4 3 b) PB. 4! 4 0. Koja je verovatoća da u društvu od osoba postoje bar dve koje su rođee stog daa u god? Rešeje: Problem treba rešt kao suprota događaj, događaju da sv maju razlčt datum rođeja PAPA P A. 365 Može se zračuat da je P 0, 467, a P3 0,507. Dakle, ako postoje vše od osobe, oda je veća verovatoća da postoje osobe sa stm datumom rođedaa. A kako je P68 0,999, oda za vše od 68 osoba sa sgurošću od 99,9%, možemo tvrdt da postoje bar dve osobe rođee stog datuma.. Bacamo 3 ovčća jeda za drugm. Nać verovatoću da ćemo dobt psma jeda grb. 3 3 Rešeje: PA. V3 8. Na četr cedulje spsa su brojev,,3,4. Cedulje su slučajo poređae u z. Kolka je verovatoća da će se dobt broj kod koga su prva druga cfra epar brojev? Rešeje: PA! 4 4!

34 3. Šest porodca se sastoje od oca, majke troje dece. Izaberu se slučajo jeda otac, jeda majka jedo dete. Kolka je verovatoća da prpadaju stoj porodc? Dato je 7 pertl razlčth boja, od kojh je jeda crvea, a jeda zelea. Nać verovatoću da će crvea zelea pertla bt jeda pored druge, ako se pertle ređaju a slučaja ač a) a prav koac, b) u krug. Rešeje: PA Rešeje: a) Broj svh ača da se ažu pertle a prav koac je 7!. Da bsmo odredl povolje realzacje, zamslmo da su crvea zelea pertla jeda pored druge to crvea pa zelea. Dakle mamo 6 objekata, ( ove dve kao ostalh 5 ) koje treba raspodelt a 6 mesta, dakle 6! Dve pertle još mogu da razmee mesta pa je 6! PA. 7! 7 b) Ako se pertle ređaju u krug mesta se e razlkuju. U jedom kružom rasporedu ma 7 razlčth mesta, jer ogrlcu možemo raseć a 7 mesta. Prema tome broj razlčth kružh rasporeda je 7 puta maj od broja ljskh rasporeda, dakle 6! Slčo je za povolje shode, pa je 5! PB. 6! Šest kuglca raspoređeo je asumce u kutja. Nać verovatoću da je tačo 0 kutja prazo. Rešeje: 6 Ukupa broj shoda je Ako je 0 kutja prazo, zač da smo svh 6 kuglca stavl u kutje. Broj rasporeda za kuglce je. Broj rasporeda da 6 kuglca stavmo u kutje je 6. Al među ovm rasporedma postoje rasporeda u kojma je jeda od dve kutje prazaa. Zato broj rasporeda 6 kuglca u kutje, a da jeda je praza je 6. 6 PA

35 6. Iz špla od 5 karte za gru a slučaja ač zvlače se 3 karte. Nać verovatoću da to budu tr razlčte slke. Rešeje: 444 PA 8 4 0, 009 l PA 0, Telefosk broj se sastoj od 6 cfara. Ako se pretpostav da postoje sv telefosk brojev od do , koja je verovatoća da u prozvoljo zabraom broju sve cfre budu razlčte? Rešeje: PA V ,5. V U televzjskom studju ma 3 kamere. Verovatoća da je kamera uključea za svaku kameru zos 0,6. Odredt verovatoću da je u datom treutku uključea bar jeda. 3 Rešeje: P A 0,4 0, Kocka čje su sve strae obojee rasečea je a 000 kockca sth dmezja. Sve kockce su stavljee u jedu kutju. Kolka je verovatoća da zvučea kockca ma: a) 3 obojee strae, b) obojee strae, c) obojeu strau. Rešeje: a) PA 0,008 b) PB 0,096 c) 384 P C 0, Posmatramo 3 zatvoree kutje. U jedoj od jh se alaz poklo koj grač žel da dobje, a ostale su praze. Vlask kutja za u kojoj se alaz poklo. Igrač pokazuje jedu kutju, kao svoj zbor. Oa se e otvara. Vlask otvara jedu od preostale dve kutje oa je obavezo praza. Zatm vlask pta grača da l žel da prome kutju zme svoj prvobt zbor. Da l je za grača bolje da prome odluku o zboru kutje? - 5 -

36 Rešeje: A je događaj da je u prvom pokazvaju zabrao prazu, B promeo je zbor osvaja poklo. Očgledo je A=B, odoso PA PB. 3 Zač, bolje je da prome kutju. 3. Jeda studet je od 30 spth ptaja aučo 4, a drug 5. Na sptu su dobl po 3 ptaja. Kolka je verovatoća da će prv, odoso drug da odgovoro a: a) ajmaje ptaja b) ajvše ptaje Rešeje: PA 0,96, PB PA, PB Bacamo stovremeo kocku ovčć. Kolka je verovatoća da ćemo dobt a ovčću psmo l a kock broj 5? Rešeje: Neka je A događaj da dobjemo psmo, a B događaj da dobjemo broj 5. Događaj A B se sključuju. PAB PAPB Dva strelca gađaju clj. Verovatoća da prv pogod clj je 0,7, a drug je 0,4. Obojca stovremeo opale prema clju. Kolka je verovatoća da ce clj bt pogođe? Rešeje: A je događaj da clj pogod prv strelac, B je događaj da clj pogod drug srelac. Događaj A B se e sključuju jer je moguće da oba strelca stovremeo pogode clj. P AB P A P B P AB. 0,7 0,4 0,7 0,4 0,8-6 -

37 34. U grup je 0 studeata 0 studetkja. Polova od ove grupe puš. Kolka je verovatoća da će slučajo zabraa osoba bt l studetkja l pušač. Rešeje: A je događaj da je zabraa osoba studetkja B je događaj da je zabraa osoba pušač PA, PB, PAB PAB PAPBPAB U kutj se alaz 80 cedulja a kojma su spsa brojev od do 80. Odredt verovatoću da ćemo zvuć cedulju a kojoj broj je maj od 45 l broj koj je deljv sa 3? Rešeje: P AB P A PB P AB 0, Kolka je verovatoća da pr bacaju dve kocke jeda kocka prkaže broj deljv sa 3 l deljv sa 4? Rešeje: A je dodađaj da se a kock pojav broj deljv sa 3, odoso jeda od brojeva je 0 3 l 6, oda je PA. 36 B je dodađaj da se a jedoj kock pojav broj deljv sa 4, odoso jeda od brojeva je 4, oda je PB Događaj A B se e sključuju, pa je PAB PAB PAPBPAB Bacamo dar tr puta. Neka je događaj A pojavljvaje samo jedog psma, događaj B pojavljvaje ajmaje jedog grba, događaj C pojavljvaje prv put P A B C. psma, a druga dva puta grb. Izračuat Rešeje: Broj svh elemetarh događaja je

38 ,,, A PGG GPG GGP P A,,,,,,, B GPP PGP PPG PGG GPG GGP GGG 3 8 P B C PGG, PC. 8 AB A, AC BC AB C C. P ABC P A PB PC P AB P AC PBC P ABC Kolka je verovatoća da se stovremem bacajem 3 kocke dobju bar jedaka broja? 4 P A. 9 Rešeje: 39. Iz špla od 3 karte za gru zvlačmo jedu kartu. Kolka je verovatoća sa ćemo zvuć a) asa l kralja b) karo kartu l kralja? Rešeje: a) PA B PA PB b) PA B PA PB PAB - 8 -

39 . USLOVNA VEROVATNOĆA I NEZAVISNOST.. USLOVNA VEROVATNOĆA Verovatoća događaja A zajuć da se događaj B već realzovao l pretpostavljajuć da će se realzovat azva se uslova verovatoća. Defcja: Verovatoća PA B zove se uslova verovatoća događaja A pod uslovom B defše se sa PA B P AB, za 0 PB P B. A A AB B Relatva učestaost događaja A u ekspermetma u kojma se događaj B AB AB realzovao zos gde je broj ekspermeata, B broj realzacja B B P AB događaja A AB broj realzacja događaja AB, pa je PA B P B Prmer: Kolka je verovatoća da će se a kock prlkom bacaja pojavt para broja, pod uslovom da je taj broj maj od 4? Neka je A događaj pojave parog broja, a B pojava brojeva majh od 4. 3 A, 4,6, B,,3, A B, PAB, PB,

40 PAB PA B 6 PB Prmer: U kes se alaz 5 belh 9 crh kuglca. Izvlačmo asumce kuglce, jedu po jedu, bez vraćaja. Kolka je verovatoća da ćemo z drugog puta zvuć cru, ako zamo da je prvo zvučea bela kuglca? Neka je A događaj zvlačeja cre kuglce, a B verovatoća pojave bele kuglce z prvog zvlačeja. 5 PB PAB, al mogl smo da zračuamo a drug ač kao 4 V PAB P AB 9 PA B P B 3 Prmer: Dar se baca l do pojave grba l do tr uzastope pojave psma. Pod uslovom da je rezultat prvog bacaja psmo, ać verovatoću da dar bude bače 3 puta. Prlkom bacaja ovčća moguće je da se dogod G, PG, PPG, PPP. PG, PPG, PPPG, PPPP Neka je B događaj pojave psma u prvom bacaju (B=PG+PPG+PPP), pa je PB Ako je A događaj da se dar baca 3 puta, oda je (A=PPG+PPP) PA Kako je AB=A PAB. 4 PAB PA B 4. PB

41 .. VEROVATNOĆA PROIZVODA DOGAĐAJA - NEZAVISNI I ZAVISNI DOGAĐAJI Korsteć defcju uslove verovatoće moguće je defsat zavsost ezavsost događaja dat defcju verovatoće prozvoda dva događaja. Neka je dat skup AB., Događaj A je zavsa od događaja B, ako ostvarvaje događaja B utče a realzacju događaja A. U suprotom su ezavs. Prmer: Bacamo dve kocke. Neka je A događaj da prva kocka pokaže broj 5, a B događaj da druga kocka pokaže broj 6. PA bez obzra da l se događaj B realzovao l e. Isto važ u obrutom 6 slučaju. Dakle događaj A B su ezavs. Prmer: Imamo 6 artkala jede fabrke od kojh je 3 espravo. Bramo dva artkla, jeda pa drug. Neka je A događaj da u prvom zvlačeju dobjemo esprava artkal, a B događaj da u drugom zvlačeju zvučemo esprava artkal. Jaso je da će realzacja događaja A utcat a realzacju događaja B. 3 P B. 6 Ako e b obraćal pažju a događaj A, oda je P B. 6 Pod pretpostavkom da se događaj A realzovao, tada je Događaj A B su zavs. Defcja: Ako su događaj A B međusobo zavs, tada je prozvod događaja A B PAB PB P A B P A PB A. Za koačo mogo zavsh događaja AA A važ formula P AA A P A P A A P A A A P A A A A 3-3 -

42 Defcja Događaj A B su međusobo ezavs ako je, P A B P A P B A P B, a prozvod događaja A B je P A PB P AB. Za koačo mogo ezavsh događaja važ formula P AA A P A P A P A Prmer: Ekspermet se sastoj u bacaju ovčća od po dar. Neka su događaj: A: pojava glave a prvom daru B: pojava makar jede glave C: pojava makar jedog psma D: pojava glave a drugom daru Isptat da l su događaj A C, A D, B C, B D, zavs l ezavs. 3 Događaj A C su zavs jer je, PC PC A. 4 Događaj A D su ezavs, Događaj B C su zavs, Događaj B D su zavs, P A D. P A P B C. 3 P B P B D. P B Prmer: Radk rad a 3 automatske maše. Verovatoća da tokom sata maša e zahteva tervecju je za prvu mašu 0,9, za drugu 0,8 za treću 0,85. Kolka je verovatoća da jeda od 3 maše e zahteva tervecju tokom sata? U ptaju su ezavs događaj ako sa A, B, C ozačmo događaje da je potreba tervecja a mašama, oda je P ABC P A P B P C 0,9 0,8 0,85 0,6-3 -

43 Prmer: Među prozvodma jede fabrke ma 5% škarta, a od prozvoda koj su dobr 80% je prve klase. Nać verovatoću da je slučajo zabra prozvod prve klase. Neka je A događaj da prozvod je škart, P A 0,95 ako je B događaj da prozvod prve klase PB A 0,8, oda je PAPB A 0,95 0,8 0,76 P AB. Izuzeto je važo pravt razlku zmeđu ezavsost dsjuktost (događaj koj se sključuju). Nezavs događaj se defšu ad skupom, za razlku od dsjuktost koja postoj ezavso od skupa. Na prmer, ezavs događaj su događaj da pade psmo l glava kod bacaja dva ovčća, a dsjukt događaj su da pade psmo prlkom bacaja ovčća l da pade broj pet prlkom bacaja kocke..3. TOTALNA VEROVATNOĆA Neka ezavs slučaj događaj H, H,, H če jedo razlagaje skupa. O če potpu sstem hpoteza, odoso k P H uapred pozate. k H k, gde su verovatoće Neka se prozvolj događaj A ostvaruje uz realzacju bar jedog od ovh događaja. H A H H 3 H 4 Da b se odredla verovatoća događaja A potrebo je ać uslove verovatoće PA H k, realzacje pojedh hpoteza koje su dovele do ostvarvaja događaja A

44 Teorema: Formula totale verovatoće: Ako događaj H, H,, H če potpu sstem hpoteza u odosu a događaj A, tada je k k P A P H P A H. k Dokaz drekto sled z čjece da je kako je PAH PH P A H A Hk A l P A P H k A, a k, dobjamo tražeu formulu. Prmer: Na spt z matematke zašlo je 60% studeata koj polažu prv put 40% ostalh. Verovatoća da će studet koj polaže prv put položt spt je 0,3, a za ostale 0,4. Odredt verovatoću da će slučajo zabra studet položt spt. Neka su H, H verovatoće da studet polaže prv put, odoso vše puta. P H 0,6 P H 0, 4 A je događaj da studet polož spt, P A H, su verovatoće da polož spt z prvog, odoso ostalh puta. P A H 0,3 P A H 0, 4 P A P H P A H P H P A H 0,6 0,3 0, 4 0, 4 0,34. k Prmer: U ekoj fabrc 30% prozvodje otpada a prvu mašu, 5% a drugu mašu ostalo a treću mašu. Na prvoj maš pojavljuje se % škarta, a drugoj maš,% škarta a trećoj maš % škarta. Kolka je verovatoća da će slučajo zabra prozvod bt škart? A je događaj da je slučajo zabra prozvod škart. Događaj H, H, H 3 predstavljaju prozvode zrađee redom a mašama. PH0,30, PH 0,5, PH3 0,45 P A H 0,0, P A H 0,0, P A H 0, P A P H P A H P H P A H P H P A H 0,

45 Prmer: Određe artkal prozvode 3 fabrke. Pozato je da prva fabrka prozvod dva puta vše od druge, a druga treća sto. Takođe % prozvoda z prve druge fabrke je defekto, a 4% z treće. Sv prozvod alaze se a stom skladštu. Slučajo se bra jeda prozvod. Nać verovatoću da je o defekta. Neka sa H, H, H 3 obeležmo događaje da je prozvod z ovh fabrka respektvo. Iz uslova zadatka mamo da je P H P H, P H P H, P H P H P H, 3 3 pa dobjamo da je PH PH PH3. 4 Ako je događaj A da je zabra prozvod defekta mamo da je P A H P A H 0,0 P A H 0,04. 3 Na osovu formule totale verovatoće dobjamo da je P A P H P A H P H P A H P H P A H 3 3 0,0 0,0 0,04 0, BAJESOVA FORMULA Na osovu formule totale verovatoće e može se u prethodom prmeru odgovort a ptaje z koje fabrke potče zabra prozvod. Odgovor a ovo ptaje daje Bajesova formula. Bajesova formula: Ako događaj H, H,, H če potpu sstem hpoteza u odosu a događaj A PA 0, tada je PHkPA Hk P H P A H P H P A H PH A,,,. P A k

46 Bajesova formula se zove formula verovatoća hpoteza (uzroka), jer a događaje H, H,, H može se gledat kao a razlčte uzroke koj mogu dovest do realzacje događaja A. Prmer: U prethodom prmeru verovatoća da je traže prozvod z prve fabrke zos: 0,50,0 PH A 0, 4. 0,05 Prmer: Baca se kocka. Ako se a kock pojav l 6 uzma se kuglca z prve kutje, u suprotom se uzma z druge kutje. Prva kutja sadrž 3 cre, bele zeleu kuglcu, a druga kutja sadrž 4 bele zelee kuglce. a) Nać verovatoću da je zvučea bela kuglca b) Nać verovatoću da je zvučea z prve kutje, ako zamo da je bela. a) Ako su H, H događaj da su zabrae prva odoso druga kutja, mamo 4 PH, PH, PA H, PA H, P A P H P A H P H P A H b) PH A P A H P H. P A

47 .5. VAŽNI OBRASCI Uslova verovatoća Verovatoća prozvoda: P A B P AB P B zavs događaj P AB P B P A B P A P B A ezavs događaj P A PB P AB Formula totale verovatoće k k P A P H P A H k Bajesova Formula PH P A H PH P A H PH A,,, PA P H k kpa Hk.6. ZADACI. U jedoj kutj alaze se 4 bele 8 crh kuglca, a u drugoj 3 bele 9 crh. Izvlačmo z svake kutje po jedu kuglcu. Odredt verovatoću da je z obe kutje zvučea bela? Rešeje: Događaj A: bela kuglca z prve kutje. Događaj B: bela kuglca z druge kutje, Događaj A B su ezavs. 4 3 PAB PAPB

48 . U magacu se alaz prozvoda, od kojh je 8 spravh. Radk asumce bra prozvoda, prvo jeda pa drug. Nać verovatoću da su oba prozvoda sprava. Rešeje: Događaj A B su zavs. 8 7 PAB PAPB A 0, Iz špla za gru zvučea je jeda karta, a zatm je poovo zvučea još jeda karta. a) kolka je verovatoća da su oba puta zvučee petce ako se karta posle prvog zvlačeja vraća u špl? b) kolka je verovatoća da su oba puta zvučee petce, ako se posle prvog zvlačeja karta e vraća u špl? Rešeje: A -je događaj da je u prvom zvlačeju zvučea petca B -je događaj da je u drugom zvlačeju zvučea petca a) Događaj su ezavs, pa je PAB PAPB b) Događaj su zavs, pa je PAB PAPB A Pr bacaju dve kocke posmatramo zbr koj se pojavljuje a jma. Kolka je verovatoća da je zbr 6, ako se za da je zbr para broj? Rešeje: Događaj A: zbr je 6. Događaj B: zbr je para broj. 5 PAB 5 PA B 36. PB

49 5. U jedom odeljeju od 30 učeka, os aočare, 8 pše levom rukom, a 6 ma obe te osobe. Kolka je verovatoća da slučajo zabra uček pše levom rukom, ako zamo da os aočare. Rešeje: Neka je A događaj da uček pše levom rukom. Neka je B događaj da uček os aočare. 6 PAB 3 PA B 30. PB Studet je zašao a spt zajuć 0 od 5 ptaja. Isptvač je postavo 3 ptaja. Nać verovatoću da je studet zao odgovor a sva 3 ptaja. Rešeje: Ako sa A, B C ozačmo događaje da su zvlačea ptaja koje studet za, oda P PAPB APC AB 0, Zadatak se mogao rešt prmeom klasče defcje verovatoće P Iz špla od 3 karte za gru slučajo se, odjedom, zvlače karte. Neka je A događaj da je zvučea bar jeda dama B događaj da je zvuče bar jeda pk. Nać verovatoću da je zvučea bar jeda dama bar jeda pk. Rešeje: PAPA, PBPB PABPAB PAB PAPBPAB

50 8. U kutj se alaze 6 crveh 4 bele kuglce. Izvlačmo kuglce jedu za drugom. Kolka je verovatoća da, ako je prva zvučea kuglca crvea, druga bude bela? P A Rešeje: Dat je z prrodh brojeva,,3,4,5,6,7,8,9. Bramo broja. Kolka je verovatoća da jhov zbr bude već od epara? Rešeje: Ako je B događaj da je zbr epara 0 5 PB, a uslova verovatoća da je zbr već od, pod uslovom da je epara PA B, oda je tražea verovatoća PAB PA BPB Kolka je verovatoća da se a dvema bačem kockama dobje zbr 9 l ako se to e dogod, da se a poovljeom bacaju dobje zbr 7. Rešeje: Događaj A - zbr je 9 Događaj B -zbr je PA, PA PB PAB PA AB

51 . Verovatoća da će studet A rešt ek zadatak je 0,7, a za studeta B je 0,9. a) Nać verovatoću da će zadatak bt reše ako ga rešavaju oba studeta, ezavso jeda od drugog. b) Ako je zadatak reše, koja je verovatoća da ga je rešo studet B? Rešeje: a) P P AB AB AB 0,7 0,0,30,9 0,7 0,9 0,97 b) Il P AB 0,30, 0,97. P 0, 7 0,9 0,8. U kutj se alaze 7 crveh, 4 belh 3 plave kuglce. Izvlače se 3 kuglce jeda za drugom. Kolka je verovatoća da će prva zvučea kuglca bt crvea, druga bela treća plava? Rešeje: , P APB APC AB P ABC 3. Letlca se gađa puta. U prvom gađaju verovatoća pogotka je 0,3 a u drugom 0,6. Jedom pogođea letlca se ruš sa verovatoćom 0, a dva puta pogođea ruš se sa verovatoćom 0,9. Kolka je verovatoća da letlca pade? Rešeje: Događaj: H- letlca je pogođea jedaput H -letlca je pogođea dva puta A- letlca je pada. P H P H 0,30, 4 0,7 0,6 0,56 0,30,6 0,8 P A P H P A H P H P A H 0,56 0, 0,8 0,9 0,9-4 -

52 4. Fabrka prozvod televzore. Tr pogoa prozvode respektvo 5%, 35% 40% celokupe prozvodje. Pogo redom daju 5%, 4% % škartova. a) Kolka je verovatoća da je slučajo zabra televzor škart? b) Kolka je verovatoća da je taj televzor prozvede u drugom pogou? Rešeje: PH 0, 5, PH 0,35, PH PA H 0,05, P A H 0,04, 3 0, 40 P A H3 0, PHPA H A. PA a) PA PH PA H PH PA H PH PA H b) PH 5. U magacu se alaze prozvod ste vrste, prozvede u tr razlčta pogoa, respektvo po 0%, 40% 40% prozvoda. Pogo redom daju 0,0; 0,0 0,04 škartova. a) Kolka je verovatoća da je slučajo zabra prozvod škart? b) Kolka je verovatoća da je taj prozvod zrađe u prvom pogou? Rešeje: a) P H 0,; P H 0,4; P H 0,4; 3 0,0; 0,0; 30,04; 3 3 P A H P A H P A H P A P H P A H P H P A H P H P A H 0,06 b) PH A P A H P H 0, 0,0 0,769. P A 0,06 6. U dve kutje alaze se kuglce. U prvoj kutj se alaz crvee 4 bele, a u drugoj 6 crveh bele. Izvlač se jeda kuglca z slučajo zabrae kutje. Oa je bela. Kolka je verovatoća da je z prve kutje? - 4 -

53 Rešeje: Događaj B: kuglca je bele boje. Događaj A,, : Kuglca je z te kutje. 4 PA, PA, PB A, PB A 6 8 P A B PAPB A P A P B A P A P B A Na sportskom takmčeju z strljaštva učestvuju tr takmčara. Clj gađaju stovremeo. a) Odredt verovatoću da je clj pogođe ako verovatoća pogotka za prvog takmčara zos 3 7, za drugog 4 0 za trećeg 0. b) Ako je clj pogođe, odredt verovatoću da ga je pogodo prv takmčar? Rešeje: 3 7 a) PA 0, b) PH A 3 4 0,45 0,55 8. Na ašem fakultetu 45% studetkja ma plavu kosu, 0 % ma plave oč, a 5% ma plavu kosu plave oč. Odredt verovatoću da slučajo zabraa studetkja a) Ako ma plavu kosu da će mat plave oč b) Ako ma plavu kosu da eće mat plave oč c) Ako ma plave oč da eće mat plavu kosu d) Da eće mat plavu kosu plave oč Rešeje: Događaj A je plava kosa Događaj B je plave oč

54 45 PA 0, , 00 a) P AB 0,5 PB A 0,33. P A 0, 45 P B b) c) d) PB A P B A 0,33 0, 67 PA B P A B 5 P AB 0,5 00 P AB 0,5 0,5 P B 0, P A B P A B P AB P A P B P AB P AB 9. U prodavc se alaze cpele z dve fabrke to 70% je z prve fabrke, a 30% je z druge. % cpela z prve fabrke je lošeg kvalteta, a 5% z druge fabrke. a) Odredt verovatoću da slučaj kupac kup kvaltete cpele? b) Kolka je verovatoća da su to cpele prozvedee u prvoj fabrc? Rešeje: a) 0,97 b) 0,7 0. Svaka od 3 kutje za akt ma pregrade. U prvoj od kutja u jedoj od predgrada alaz se zlat prste, a u drugoj srebr. U drugoj kutj u obe pregrade su zlat prsteov, a u trećoj u obe pregrade srebr prsteov. Na slučaja ač bramo jedu od kutja, otvaramo jedu pregradu alazmo srebr prste. Kolka je verovatoća da je u drugoj pregrad zlata prste? Rešeje: /3-44 -

55 . Na jedom uskom putu u susret jeda drugom du vozača. Ako su oba vozača treza verovatoća da eće doć do sudara je 0,999, ako je jeda vozač prpt verovatoća je 0,7 ako su oba vozača prpta verovatoća je 0,4. Ako sa za da je svak deset vozač prpt odredt verovatoću da eće doć do sudara. Rešeje: PH0,9 0, 9 0,8, PH 0, 9 0, 0,0, 9 0,8, PH30,0, 0,0 PA H 0,99, P A H 0,7, PA 0,94. P A H3 0,4. Na sptu ma 0 ptaja. Od 0 studeta koj su zašl a spt 3 studeta su se prpreml odlčo, 4 vrlo dobro, dobro slabo. Studet koj se odlčo prpremo za odgovore a sva ptaja, vrlo dobro prpremlje studet za odgovore a 4 ptaja, a slabo prpremlje za odgovore a 7 ptaja. Slučajo zabra studet je odgovoro a sva tr ptaja. Kolka je verovatoća da je to vrlo dobro prpremlje studet? Rešeje: PH 3 0,40,49 PH A 0,348 0,30,4 0,490,0,3 0,0,03 0,563 PAH PA

56 - 46 -

57 3. SLUČAJNE PROMENLJIVE FUNKCIJA RASPODELE U prethodm razmatrajma slučaj događaj su bl okaraktersa opso, rečma. Mogo je korsje slučaje događaje okaraktersat kao broje vredost, kao reale brojeve. Tako se dolaz do pojma slučaje promeljve. Prmer: Novčć se baca dva puta. Kako je PP, PG, GP, GG ako je slučaja promeljva X broj regstrovah psama oda oa uzma vredost X PP, X GP, X PG, X GG 0. Zač, slučaja promeljva X uzma 3 vredost, a to su 0,,. Defcja: Fukcja X koja svakom slučajom događaju dodeljuje ek real broj X zove se slučaja promeljva, gde je X : R. Slučaje promeljve obeležavaju se velkm slovma X,Y,Z..., a jhove vredost malm slovma x,y,z... U prethodom prmeru, slučaja promeljva X koja predstavlja broj regstrovah psama kod bacaja ovčća uzma vredost (x,y, z)= (0,,). Da b se okaraktersala slučaja promeljvu treba zat sve vredost koje oa može da uzme. Ovako defsaa slučaja promeljva X predstavlja jeda apstrakta matematčk model. Na prmer, ako b u ekspermetu bacaja kocke sa X=0 ozačl pojavu parog broja, a sa X= eparog, a u ekspermetu bacaja ovčća sa X=0 pojavu psma, a sa X= pojavu glave, mamo stuacju da se razlčt slučaj događaj preslkavaju u ste reale brojeva. Zač, u ptaju je jeda st apstrakt model sa dva podjedako verovata shoda. Slučaja promeljva predstavlja preslkavaje događaja z skupa u skup svh realh brojeva X : R, dok je verovatoća, kako smo već aglasl, preslkavaje događaja z skupa a terval realh brojeva P : 0, 0,,

58 Važo je shvatt da slučaja promeljva ema eku određeu vredost, već se samo može govort o verovatoćama da oa uzme eku određeu vredost. Razlkuju se dva osova tpa slučajh promeljvh, dskrete eprekde slučaje promeljve. Podela se vrš u zavsost da l slučaja promeljva uzma vredost u koačom l beskoačom skupu vredost. 3.. DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Slučaja promeljva X je dskreta ako je dome jeh vredost koača l prebrojv beskoača skup. Defcja: Neka slučaja promeljva X uzma vredost x, x,, x, sa verovatoćama p, p,, p, pr čemu je p p p. Skup parova x, p P X x,,,..., l apsao x x p p č raspodelu verovatoća slučaje promeljve X l zako raspodele dskrete slučaje promeljve. Napomea: Zako raspodele je detča u slučaju prebrojvo mogo vredost. Zako raspodela verovatoća kao potpua karakterstka odos se sključvo a dskretu slučaju promeljvu. Prmer: U prethodom prmeru bacaja dva ovčća,gde je slučaja promeljva X broj 0 regstrovah psama, zako raspodela verovatoća bo b. 4 4 Raspodele verovatoća slučaje promeljve mogu se prkazat grafčk

59 a) Ako se a x-osu aesu vredost x slučaje promeljve X, a a y-osu jhove verovatoće raspodele. p, tada tačke, p A A x, p A x p, kada se spoje daju polgo x p b) Ako se acrtaju pravougaoc, tako da je d x x, Ax,, dobja d se hstogram raspodela p / d x x x 3.. FUNKCIJA RASPODELE Vredost slučaje promeljve e mogu se predvdt pre obavljeog ekspermeta. Samm tm, e može se defsat zako raspodele. Prema tome potrebo je defsat eku velču koja e zavs od ekspermeta, a to je fukcja raspodele. Fukcja raspodele je karakterstka slučaje promeljve X koja omogućava da se zračua verovatoća da slučaja promeljva uzme vredost a ekom tervalu a x os. Drugm rečma, slučaja promeljva X uzma eku vredost x sa verovatoćom P

60 Umesto verovatoće da slučaja promeljva uzme eku vredost, češće govormo o verovatoć da vredost slučaje promeljve prpada ekom tervalu. Razlog za ovakvo rezoovaje su ekspermet koj maju shode a eprekdom skupu vredost. Defcja: Neka je X slučaja promeljva. Reala fukcja F defsaa kao F x P X x P X x azva se fukcja raspodele slučaje promeljve X. X x x x osa Fukcja raspodele opsuje sve bte karakterstke slučaje promeljve. Dok vredost slučaje promeljve se e zaju pre obavljeog ekspermeta, fukcja raspodele je potpuo pozata. Iz ovh razloga predmet proučavaja teorje verovatoće su slučaje promeljve, već jhove fukcje raspodela. Prmer: Ako je slučaja promeljva X shod bacaja kocke, pre bacaja kocke zamo da 4 je Fx PX 4, ako e možemo da tačo predvdmo koju vredost će 6 slučaja promeljva X mat u kokretom bacaju

61 3... OSOBINE FUNKCIJE RASPODELE Neka je F fukcja raspodele slučaje promeljve X. Tada je:. 0 F x, x R,. Fx F x lm 0, lm, x x jer je verovatoća emogućeg događaja X jedaka 0, a sgurog X jedaka 3. Fukcja F je mootoo e opadajuća, x x F x F x 4. Fukcja je eprekda s desa, lm.. F x h F x h 0 Kod dskrete slučaje promeljve, fukcja raspodele se zove kumulatva fukcja oblka je: 0, x x p, x x x Fx p p, x x x3..., x x Grafčk prkaz kumulatve fukcje raspodele dat je a sledećoj slc: F x p p p x x x x Fukcja raspodele kod dskrete slučaje promeljve je prekda fukcja čj su skokov PX x p k,,...,. k k - 5 -

62 Prmer: Bacamo ovčć. Neka je slučaja promeljva X broj regstrovah psama. X P, X G 0, zač slučaja promeljva uzma dve moguće Oda je vredost 0,. Zako raspodele fukcja raspodele slučaje promeljve X su: 0, x 0 0 X : F x, 0 x, x Prmer: Novčć se baca dva puta. Neka je slučaja promeljva X broj regstrovah PP, PG, GP, GG, mamo da je psama. Kako je X PP X GP X PG X GG,,, 0. Zač slučaja promeljva uzma 3 moguće vredost 0,,. 0, x 0 0, 0 x :, 4 X Fx , x 4, x 3.3. NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA Slučaja promeljva X je eprekda (kotuala) ako je dome jeh vredost terval a realoj os. Prmer: Posmatrajmo skup odraslh žea u jedom gradu. Njhova vsa je eprekda slučaja promeljva koja može da uzme blo koju od beskoačo mogo vredost z tervala 55 cm;85cm

63 Defcja: Kod eprekde slučaje promeljve X fukcja raspodele može se predstavt u oblku x, F x P X x f t dt x gde je f x fukcja gusteverovatoća zadovoljava uslove. f x 0. f xdx Grafk krve a aredoj slc predstavlja fukcju raspodele za eprekdu slučaju promeljvu. F x x Krva a aredoj slc azva se krva guste verovatoća. f x F x x

64 Polazeć od geometrjskog tumačeja određeog tegrala, fukcja raspodele F(x) predstavlja površu dela rav zmeđu krve guste x- ose u gracama od do x. Fukcja guste verovatoće omogućava da se zračua verovatoća da se vredost slučaje velče ađe u ekom tervalu. Ta verovatoća je jedaka površ koja je ogračea fukcjom guste gracama datog tervala.. f x a b x F b F a a b P F x x b P a X b f x dx Prema tome možemo zaključt: a. Pa X b Fb Fa.. PX c0, c R Jedakost PX c 0 e zač da se događaj X c kada eće ostvart, već da je mala, veoma mala, verovatoća da će se o ostvar To je razumljvo, jer slučaja promeljva X može da uzme blo koju vredost c sa tervala (a,b), a jh je beskoačo mogo, pa su mal zgled da uzme baš vredost c Kod eprekde fukcje, emoguće je svakom elemetu c z tervala (a,b) dodelt poztvu verovatoću, jer tada b zbr svh verovatoća bo beskoača, a zbr verovatoća skupa svh vredost promeljve X mora bt jedak. Zato se uzma da je PX c 0. Prvdo ovo je paradoks. Međutm, ovakv paradoks postoje u auc. U geometrj duž ma poztvu dužu, a duža svake tačke je 0. U mehac, masa tela postoj, a masa svakog pojedog dela je ula

65 Kao posledca avedeog važ da je: Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b. Teorema:. Između fukcje raspodele fukcje guste postoj veza da je F x f x Dokaz: Verovatoća slučaje promeljve X a tervalu x, x x zos xx P x X xx f t dt l aproksmatvo P x X xx f x x. 0 x Prmer: 0 x 0 Ako je data fukcja guste f x x 0 x, odredt fukcju 0 x raspodele x x 3 x Fx f xdx x dx x 3 0 x 0 3 x Fx x 0 x 3 x Prmer: ax Odredt kostatu a tako da fukcja, 0 x f x, 0, x 0, x bude fukcja guste raspodele verovatoće eprekde slučaje promeljve. P 0 X. Zatm ać fukcju raspodele zračuat Kako je, 3 f x dx ax dx a

66 3 x, 0 x Fukcja guste glas f x. 0, x 0, x 0, x 0 x 3 Fukcja raspodele glas: Fx 3 x dx x, 0 x 0, x P 0 X F F 0 8. Tražea verovatoća 3.4. VAŽNI OBRASCI Zako raspodele dskrete slučaje promeljve x X : p x p Kumulatva fukcja raspodele dskrete slučaje promeljve 0, x x p, x x x Fx p p, x x x3..., x x Fukcja raspodele eprekde slučaje promeljve, F x P X x f t dt x x Vredost verovatoće eprekde slučaje promeljve u tervalu P a X b f x dx b a

67 3.5. ZADACI. Ekspermet se sastoj od bacaja dve kocke. Neka slučaja promeljva X predstavlja zbr brojeva koj se dobjaju prlkom bacaja kocke. Nać zako raspodele slučaje promeljve X. Rešeje: Slučaja promeljva uzma mogućh vredost,3,., Verovatoće slučaje promeljve X su: 3 PX, PX 3, PX 4,, PX Zako raspodele je: X : U kes se alaz 5 belh 3 cre kuglce. Vade se po kuglce. Neka slučaja promeljva X predstavlja broj belh kuglca. Napsat zako raspodele slučaje promeljve X. Rešeje: Slučaja promeljva uzma 3 moguće vredost 0,,. Broj belh kuglca je slučaja promeljva X sa verovatoćama: PX 0, PX, PX X :

68 3. U kutj se alaze 4 bele 3 cre kuglce. Kuglce se vade do prvog pojavljvaja bele. Napsat zako raspodele slučaje promeljve X koja predstavlja broj zvlačeja kuglca. Rešeje: PX, PX, X 3, PX x 4 x X : 4 4 Fx x x 4 35 x 4 4. Odredt zako raspodele slučaje promeljve X koja predstavlja broj glava kod bacaja 3 dara, kao fukcju raspodele. Rešeje: Neka je slučaja promeljva X broj regstrovah grbova. El.dog. GGG GGP GPG PGG GPP PGP PPG PPP Broj glava 3 0 verovatoće /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 Slučaja promeljva uzma 4 moguće vredost 0,,,3 Broj glava je slučaja promeljva sa verovatoćama: 3 3 PX 0, PX, PX, PX

69 0 3 Zako raspodele verovatoća broja grbova je: X : , x 0, 0 x 8 Fukcja raspodele: Fx 4, x 8 7, x 3 8, x 3 5. Slučaja promeljva X data je zakoom raspodele 3 X : 0,08 0, 4 0,3 0, Nać verovatoće događaja P X, P X 3, P X 3. Rešeje: P X P X P X 0,48 P X 3 P X P X 0,7 P X 3 P X P X 3 0,5 6. Kocka za gru se baca do pojave petce, a ajvše 4 puta. Neka je X broj bacaja. Odredt zako raspodele slučaje promeljve X, fukcju raspodele acrtat je grafk. 7. Kutja sadrž kuglce umersae brojevma,,3,4,5, čj je odos :5:4:3:. Ako su vredost slučaje promeljve X cfre ozačee a kuglcama, apsat zako raspodele, fukcju raspodele acrtat graf fukcje raspodele

70 Rešeje: X : F x 0 x x 5 7 x x x 5 5 x 5 cx, x f x cx, x3. 0, x, x 3 Odredt epozat parametar c tako da ova fukcja bude fukcja guste verovatoća slučaje promeljve X. Zatm odredt fukcju raspodele 3 zračuat P X P X. 8. Data je fukcja, Rešeje: Kako je 3 3 x x 3 6 f xdx cx dx cxdx c c c 3 9. Fukcja guste verovatoća glas 6 x, x 9 6 f x x, x 3 9 0, x, x

71 Fukcja raspodele glas F x 0, x x 9 9 x 9 9, x x xdx, x 6 3x 4 xdx, x P X F F PX PX F Data je fukcja f x 3 x ce, x 0. Odredt epozat parametar c tako 0, x 0 da ova fukcja bude fukcja guste verovatoća slučaje promeljve X. Zatm odredt fukcju raspodele zračuat P X, P X 3 P X. Rešeje: Kako je 3x c 3x c 3x c f xdx ce dx e lme ; c x 3 0 3x 3 e, x 0 f x Fx 0 0, x 0 0, x 0 P X F F e e P X P X F e P X F e x 3x 3x 3e dx e, x 0-6 -

72 a f x, bude fukcja guste x verovatoća eprekde slučaje promeljve. 0. Odredt kostatu a tako da fukcja Zatm ać fukcju raspodele zračuat P X. Rešeje: Kako je a f xdx dx a arctgarctg a a x Fukcja guste verovatoća glas f x. x Ova raspodela se zove Košjeva raspodela. Tražea verovatoća dx. x P X arctgarctg. Fukcja raspodele slučaje promeljve X data je zrazom x e, x 0 Fx 0, x 0 Nać: a) fukcju guste verovatoća, P 3 X 4. b) verovatoće P X, Rešeje: x df e, x 0 a) Kako je f x Fx dx 0, x 0 4 b) PX P X F e. e c) P 3 X 4 F4 F 3 0 e

73 . Data je f x 4, 0, a x x x 0, x, x0. Odredt epozat parametar a tako da ova fukcja bude fukcja guste verovatoća slučaje promeljve X. Zatm odredt fukcju raspodele skcrat grafke ovh fukcja. Rešeje: f xdx a4xx dx a. f x F x 0 8a x x, x 0, 3 0, x 0, x x x 4x x dx x, x0, , x0, x P X 3 P X 3 F 3 3 PX F Data je fukcja raspodele slučaje promeljva X 0, x 0 x Fxe 0 x x Odredt fukcju guste verovatoća. Rešeje: Fukcja guste verovatoća je

74 x f x F x e e 0 x 0 f x e x 0 x x 0 x 4. Ko je data fukcja raspodele a) Odredt parametar c ako je P X 0 b) Nać fukcju guste verovatoća Rešeje: a) 0, x 0 F x cx 0 x x P X F F c0c 0, x 0 Fx x 0 x x f x F x b) f x x 0, x 0 f x x 0 x 0 x

75 4. PARAMETRI ILI BROJNE KARAKTERISTIKE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH Fukcja raspodele l zako raspodele za dskretu slučaju promeljvu fukcja raspodele l gusta raspodele verovatoća za eprekdu slučaju promeljvu predstavljaju potpue karakterstke th promeljvh. Međutm, u mogm praktčm problemma je potrebo u potpuost okaraktersat slučaju promeljvu. Najčešće je potrebo samo ukazat a eke parametre (umerčke pokazatelje) koj do zvese mere karakteršu bte osobe raspodele verovatoća. Najveć praktč začaj maju dve grupe parametara: Parametr koj reprezetuju cetar rasturaja slučaje promeljve Parametr koj mere rasturaje oko cetra rasturaja 4.. PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA Jeda od ajvažjh parametara koj reprezetuje cetar rasturaja je matematčko očekvaje l kako se još azva, sredja vredost, proseča vredost, ada, slučaje promeljve. Za matematčko očekvaje korst se ozaka E X, al ozake X l. Iako se azva očekvaje, matematčko očekvaje e mora da bude moguća vredost slučaje promeljve. Defcja: Ako je X dskreta slučaja promeljva čj je zako raspodela verovatoća dat zrazom x x x p p p p p p, matematčko očekvaje je EXxp xp x p xp. Dskreta slučaja promeljva može da uzma koačo mogo vredost, kao u prethodoj defcj l beskoačo, al prebrojvo mogo vredost

76 Defcja: Ako je X eprekda slučaja promeljva sa gustom raspodele verovaeoća f x, oda je matematčko očekvaje E X x f x dx. Napomea: Da b postojalo matematčko očekvaje, esvojstve tegral kod eprekde slučaje promeljve, odoso beskoač red kod dskrete slučaje promeljve moraju da kovergraju. Matematčko očekvaje se azva momeat prvog reda. k k Momet k-tog reda defše se kao EX x PX x OSOBINE MATEMATIČKOG OČEKIVANJA Neka je C kostata-prozvolja real broj, a X Y slučaje promeljve. Tada važ:. EC C. ECX CE X 3. E X Y E X EY 4. Ako su X Y ezavse slučaje promeljve oda je EXY E X EY Prmer: 3 5 Neka zraz 6 3 predstavlja zako raspodele verovatoća dskrete slučaje promeljve X. Nać matematčko očekvaje E X, a zatm 5 E X. E X EX xpxp x3p Iz ovog prmera se vd da matematčko očekvaje e mora da bude postojeća vredost slučaje promeljve

77 4 E5X E5XE5EX EX x px p x3 p Prmer: Neka slučaja promeljva X predstavlja broj psama u tr bacaja ovčća. 0 3 Zako raspodele slučaje promeljve X je Matematčko očekvaje EX0 3, Prmer: Jeda prodavca prodaje tr tpa televzora.zarada od prodaje je 000dara po komadu od prve vrste, 000 dara, od druge 3000 dara od treće vrste. Najvše se prodaju prv, a jh odlaz 60%, drugh 30% trećh 0%. Odredt proseču zaradu. Neka slučaja promeljva X predstavlja zaradu po tpovm televzora Zako raspodele slučaje promeljve X : 0, 6 0,3 0, E X Matematčko očekvaje 000 0, , , 500 Prmer: Data je eprekda slučaja promeljva sa fukcjom guste, a x b f x b a. 0, x ax, b Nać matematčko očekvaje b E X. E X EX x f xdx x dx ba ba a x b a b a, b b a b aba E X x f x dx x dx ba ba a

78 4.. PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUČAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJA U ekm problemma sredja vredost je dovolja karakterstka za opsvaje pojava. To može da se vd z sledećh prmera. Prmer: Proseča temperatura u Beogradu tokom gode je 5 stepe. Imamo utsak prjate klme, al let temperatura de do 0 40, a zm 0 0. Prmer: Posmatrajmo dve dskrete slučaje promeljve čj su zako raspodele dat sa: 6 X : ,5 Y : U oba slučaja matematčka očekvaja su sta, tj E X EY 4 Odstupaja za prvu slučaju promeljvu, X E X za drugu promeljvu, Y EY, redom -64, -34, 40,5.., su redom -3, -, dok su Iako su m matematčka očekvaja jedaka, odstupaja za promeljvu X su relatvo mala, dok su za promeljvu Y velka, pa se raspodele slučajh promeljvh dosta razlkuju. Prema tome, osm sredje vredost potrebo je zat još ek parametar koj karakterše slučaju promeljvu. To je odstupaje, odoso velča rasprostrajeost mogućh vredost slučaje promeljve oko očekvae vredost

79 Defcja: E X. Neka je X slučaja promeljva sa matematčkm očekvajem Dsperzja l varjasa slučaje promeljve X se defše kao matematčko očekvaje kvadrata odstupaja slučaje promeljve X od matematčkog očekvaja D X E X E X Kvadrat kore varjase azva se stadarda devjacja l stadardo odstupaje X DX. Defcja: Ako je X dskreta slučaja promeljva, oda je dsperzja je D X E X E X x E X p Defcja: Ako je X eprekda slučaja promeljva sa gustom raspodele dsperzja D X x E x f x dx f x, oda je Dsperzja predstavlja meru rasturaja vredost slučaje promeljve X oko srede EX. f x mala dsperzja velka dsperzja E x

80 Ako je kocetracja vredost oko srede velka, dsperzja je mala, a vredostma koje leže blzu srede moraju odgovarat velke verovatoće slučaje promeljve X, dok ako se vredost slučaje promeljve začajo raspaju oko srede dsperzja je velka. Vredostma slučaje promeljve koje su daleko od srede odgovaraju male verovatoće, što se vd a slc OSOBINE VARIJANSE Neka je C kostata- prozvolj real broj, a X Y slučaje promeljve. Tada važ:. DC 0. DX E X E X 3. DCX C D X 4. DX a D X 5. Ako su X Y ezavse slučaje promeljve DX Y D X DY Prmer: Izračuat dsperzju stadardo odstupaje slučaje promeljve X ako je 0 defsaa zakoom raspodele EX0, DX EX Ex E X X, 64 D X E X E X l korsteć osobu X : 3 EX 0 4, DX EX EX

81 Prmer: Neka je data gusta raspodele verovatoće slučaje promeljve X x, 0 x f x 3 0, x 0, x Izračuat dsperzju stadardu devjacju slučaje promeljve X. 0 EX x f xdx x xdx 9, DX x x dx, X VAŽNI OBRASCI Matematčko očekvaje dskrete slučaje promeljve EXxp xp xp xp Matematčko očekvaje eprekde slučaje promeljve EX x f xdx Osobe matematčkog očekvaja EC C ECX CEX EX Y EXEY E XY E X E Y Dsperzja l varjasa slučaje promeljve D X E X E X Stadarda devjacja l stadardo odstupaje X D X - 7 -

82 Dsperzja l varjasa dskrete slučaje promeljve DX x E X p Dsperzja l varjasa eprekde slučaje promeljve D X x E x f x dx Osobe dsperzje D C 0 D X E X E X DCX C DX DX a DX DX Y DX DY 4.4. ZADACI 0. Neka je dat zako raspodele slučaje promeljve X zrazom Nać matematčko očekvaje. Rešeje: EX xpxp x3p U ovom prmeru matematčko očekvaje jedako je artmetčkoj sred E X X

83 3. Data je slučaja promeljva X zakoom raspodele. 3 6 Nać E X, E3X 4, E X. Rešeje: EX E 3X 4 E 3X 43E X E X. 3. Prv grač baca kocke, a drug grač mu plaća oolko dara kolko zos zbr dobjeh brojeva bačeh kock. Kolka je sredja dobt prvog grača? Rešeje: X : 3 6, EX Dva grača bacaju kocku. Pre bacaja prv grač uplat uapred eku svotu. Posle bacaja drug grač plaća prvom oolko dara kolk broj pade. Kolko treba da uplat prv grač da b gra bla fer? Rešeje: Ako b prv grač uplato dar, posle prvog bacaja drug grač b morao da uplat prvom bar dar, a verovato vše, zač gra je epovolja za jega, drugog grača. Ako prv uplat 6 dara, može da dobje ulože ovac, al je verovatje da će dobt maje, pa je to epovoljje za prvog grača. Posmatramo matematčko očekvaje slučaje promeljve X, koja predstavlja broj koj može da se dobje kada kocka pade, sa podjedakm verovatoćama /

84 EX , Prema tome, prv grač treba da uplatt 3,5 dara da b gra bla podjedako povolja za oba grača. 5. Prodavac sladoleda zarad 0 dara kada je lep da 40 dara kada je hlado. Kolko može da očekuje da zarad u dau za koj je verovatoća da će bt hlado 0,35? Rešeje: EX00,65 400, Prv grač baca kocke, a drug grač mu plaća oolko dara kolko zos prozvod dobjeh brojeva bačeh kock. Kolka je sredja dobt prvog grača? Rešeje:,5. 7. Lutrja ma sledeće dobtke: dobtak od dara dobtka od dara 5 dobtaka od dara 0 dobtaka od dara 00 dobtaka od dara 000 dobtaka od 000 dara Ako cea jedog loza zos 00 dara zdato je lozova, kolko je matematčko očekvaje osobe koja kup loz? Rešeje: Verovatoća da učesk zvuče loz sa ekm dobtkom je k p, k,,5, 0,00, EX EX00 47 Može se dakle zaključt da je lutrja epovolja za učeska, jer od svakog kupljeog loza gub 47 dara

85 . 8. Dokazat teoremu D X E X E X Rešeje: DXEXEX EXXEX E X EX EXEXE X EX E X 9. Odredt dsperzju slučaje velče X čj je zako raspodele dat sa Rešeje: EX , X : E X ,3 0 D X E X E X 3,3 3,5, Dva strelca gađaju metu. Meta je podeljea u tr dela. Pogodak u pojede krugove doos redom 3, bodova. Slučaja promeljva je broj bodova. Dat su zako raspodele broja bodova oba strelca X 3 4 4, Y Nać matematčko očekvaje dsperzju a osovu toga zaključt ko je bolj strelac. Rešeje: , EY 6 33 E X

86 Na osovu artmetčke srede rekl bsmo da je drug strelac bolj, o prav rezultat može da se dobje tek kada se zračua dsperzja vd kolko je rasturaje vredost oko srede X 4 4 Y EX , EY DX EX E X 0, DY EY EY 0, Kako je dsperzja, a samm tm stadardo odstupaje maje u drugom slučaju, sa sgurošću možemo reć da je drug strelac bolj.. Dve košarkaške ekpe su postgle sto po 96 poea. U prvoj 4 grača su postgla po 6 poea, 4 grača po 8 poea 4 po 0 poea, a u drugoj ekp grača po 4 poea grač 5 poea. Neka su X Y slučaje promeljve koje predstavljaju broj poea slučajo zabraog grača. Odredt jhove fukcje raspodele, grafčk h prkaž ađ matematčka očekvaja. Rešeje: X 4 4 4, Y EX, EY X E Y EX, EY, D X,7, D Y

87 Prva ekpa je uspešja 0, x 6 4 0, y 4,6 x 8 Fx Fy,4 y5 8,8 x 0, y 5, x F x x F y 4 5 y. Osobe A B bacaju ovčć. Ako pade glava osoba A splat dar osob B, a ako pade psmo osoba B plaća osob A dar. Kolko je matematčko očekvaje dobtka u ovoj gr? Rešeje: X : E X 0 3. Baca se ovčć. Ozačmo sa X broj bacaja ovčća do prve pojave glave. Nać matematčko očekvaje slučaje promeljve X. Rešeje: U ptaju je slučaja promeljva koja ma prebrojvo mogo vredost

88 3 X :. 3 k EX 3 3. k k Zajuć da je xx, dferecrajem dobjamo x x3x x, pa je E X. 4. Matematčko očekvaje slučaje promeljve X jedako je,5 a dsperzja 3,48. Izračuat matematčko očekvaje dsperzju sledećh slučajh promeljvh: a) 3X ; b) X 0 ; c) X X 5 ; d) ; e) X Fukcja guste verovatoća data je zrazom f x Odredt matematčko očekvaje dsperzju. Rešeje: EX xf xdx x xdx x dx DX xex f xdx x xdx x, 0 x. 0, x 0; x 6. Neka je X eprekda slučaja promeljva čja je fukcja guste 3 x, 0 x f x. 0, x 0; x E X, E 3X, E X. Nać

89 Rešeje: 3 3 EX xf xdxx3x dx 3x dx E3X 3EX EX x f xdxx 3x dx 3x dx Neka je X eprekda slučaja promeljva čja je fukcja guste x 3 e, x 0 f x. 0, x 0 E X. E X E X Nać, 3 Rešeje: x E X xf x dx x e dx xe dx x 0 0 x x e e a lmx 0 a 4 E3X 3EX3 x E X x f x dx x e dx x e dx x x x x lm x x a 0 0 e e e a Televzor sa razlčtm kvarovma doose se u radocu a opravke. Neka je vreme popravke slučaja promeljva X. Ako je fukcja raspodele data sa 0, t 0 F t t e, t 0 Nać prosečo vreme popravke televzora vreme čekaja sa mogućm odstupajem

90 Rešeje: Potrebo je ać ać matematčko očekvaje stadardo odstupaje slučaje promeljve. 0, t 0 Kako je f t F t t e, t 0 t E X tf t dt te dt 0 0 Proseća popravka traje jeda da. t EX t f t dt t e dt 0 0 D X E X E X. Popravka je moguća u raspou 0,, odoso odmah, do dva daa 9. Neprekda slučaja promeljva zadata je fukcjom guste verovatoća, gde je k epozat parametar kx x 0 x f x 0 ače Izračuat matematčko očekvaje. Rešeje: k x 0 3 x k x k x dx Fukcja guste verovatoća glas 3 x x 0 x f x 4 0 ače Matematčko očekvaje x x EX 4 x x x dx

91 5. RASPODELE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH 5.. RASPODELE DISKRETNE SLUČAJNE PROMENLJIVE 5... BERNULIJEVI EKSPERIMENTI Dve ajzačajje raspodele dskrete slučaje promeljve su boma raspodela jea geeralzacja Poasoova raspodela. Boma raspodela vezaa je za Beruljeve ekspermete. Beruljev ekspermet su z ezavsh ekspermeata, sa dva moguća shoda koj se zvode pod stm uslovma. U datm ekspermetma događaj A se može l e može realzovat. Verovatoća realzacje događaja A je sta u svm poavljajma ekspermeta zos p. Sa q p ozačava se verovatoća suprotog događaja, da se događaj A e realzuje. Ako je X slučaja promeljva koja predstavlja broj realzacja događaja A, pod pretpostavkom da se događaj realzuje jedom, zako raspodele verovatoća b zgledao: X 0 p q Ova raspodela se zove ula-jeda raspodela BINOMNA RASPODELA Neka se u ekspermeata događaj A realzuje k puta, a verovatoća svake realzacje događaja je p. Ekspermet su međusobo ezavs zvode se pod stm uslovma. Oda slučaja promeljva X može uzet vredost 0,,,. ma Bomu raspodelu

92 Boma raspodela Neka promeljva X predstavlja broj realzacja događaja A u poavljaja ekspermeta. Verovatoća da se u ekspermeata događaj A realzuje k puta, ako je verovatoća svake realzacje događaja p, zos PA PX k p p p q k k Za bomu raspodelu se korst ozaka X : B, p. k k k k. Dokaz Ako je X k, to zač da se u k slučajeva realzovao događaj A, a u preostalh -k slučajeva je. Jeda od takvh mogućost je AA... A AA... A, a kako je P A p, mamo da je pp... pqq... q. k k k k Imajuć u vdu da događaj A može da se pojav u k od mogućh ekspermeata, broj razlčth rasporeda je Ck, k k k pa dobjamo obrazac PA PX k p p k. Ova raspodela se zove boma raspodela zato što su verovatoće člaov bomog razvoja k k p q p q k 0 k. Fukcja raspodele dskrete slučaje promeljve sa bomom raspodelom jedaka je: 0 x 0 k k Fx p q,0 x k 0 k x - 8 -

93 Prmer: Kolka je verovatoća da se u 0 uzastoph bacaja ovčća 6 puta pojav glava? Neka je A događaj pojave glave. Verovatoća događaja A u svakom bacaju zos p, pa slučaja promeljva X koja prestavlja broj glava ma bomu raspodelu X : B, ,05 6. PX P A Prmer: Verovatoća da je jeda prozvod defekta je 0,0. Iz skladšta se uzma 00 prozvoda. Kolka je verovatoća da: a) bude tačo 5 defekth prozvoda, b) broj defekth prozvoda je već od 0? Neka je A događaj da je prozvod defekta. Slučaja promeljva X je broj defekth prozvoda ma bomu raspodelu B 00;0,0 a) Za k 5 mamo PX 5 0,0 0,99 0, b) P PX 0 P X P X 0 0 k ,0 k 0,99 k 00k Matematčko očekvaje, dsperzja stadardo odstupaje dskrete slučaje promeljve date bomm zakoom raspodele zose: E X p, D X pq, D X pq

94 Zajuć da je pq dobjamo k k p p q p p q p k! k k! k k k k EXk p q k p q p p q k k k k! k! k k! k! k Dokaz formule za dsperzju se slčo zvod. Pouzdaost ekog uređaja se defše kao verovatoća da uređaj spravo rad. Ako je sstem sačje od ezavsh kompoeata, tada se pouzdaost može odredt ako zamo pouzdaost pojedačh kompoet. Osov ač povezvaja kompoet su reda paralela veza. Sstem od dve rede kompoete rad samo ako obe kompoete rade. Pouzdaost sstema je dakle p pp. Sstem od dve paralele kompoete e rad samo ako jeda kompoeta p p. Pouzdaost e rad. Dakle verovatoća da sstem e rad je sstema je dakle p p p p p p p.. p p p p

95 Prmer: Data su dva sstema a slc. Koj od jh ma veću pouzdaost? I II Neka su p, p pouzdaost dath sstema. Sstem I se svod a paralelu vezu 3 kompoete od kojh je svaka reda sa p p 3p 3p p pouzdaošću Sstem II se svod a redu vezu 3 kompoete od kojh je svaka paralela sa pouzdaošću Dakle p p, pa dobjamo 3 p p p p p p, 3 0 Pa prema tome sstem I ma veću pouzdaost. p p p 8p p 6p p U Excelu se za za bomu raspodelu korst se fukcja BINOM.DIST. Dobja se tako što z meja zabere aredba Formulas - Isert Fucto z padajućeg meja zabere se Statstcal pa BINOMDIST, kao što se može vdet a sledećoj slc:

96 Staksa za ovu fukcju je: BINOMDIST(umber_s, trals, probablty_s, cumulatve) Fukcja BINOM.DIST

97 umber_s broj uspešh realzacja ekog događaja u poavljaja ekspermeta trals broj poavljaja ekspermeta probablty_s verovatoća događaja u svakom ekspermetu cumulatve logčka vredost koja određuje oblk fukcje, ako je cumulatve=true, BINOM.DIST daje kumulatvu raspodelu fukcje, ukolko je cumulatve= FALSE, rezultat je verovatoća da će događaj ostvart zadat broj puta POASONOVA RASPODELA Poasoova (Smeo Des Posso ) raspodela defše verovatoće događaja u jedc vremea l prostora, kada je verovatoća p mala, a broj mogućost velk. Takv događaj se azvaju retk događaj. Može da se korst kao: model za broj telefoskh pozva u jedc vremea, broj osoba u ekom redu, broj autobusa koj dolaze a stacu u jedc vremea, broj radoaktvh raspada ekog materjala u jedc vremea, broj retkh bolest u jedoj držav sl. Ovakv događaj su međusobo ezavs. U teorjskom smslu može da h bude beskoačo mogo, za razlku od bome raspodele koja važ samo za koačo mogo događaja. Poasoova raspodela Slučaja promeljva X slučaja promeljva za koju važ k, 0,,,, 0 P X k e k k! k PX ke e e k! k k ma Poasoov zako raspodele

98 gde je k broj realzovah događaja u jedc vremea l prostora, a parametar raspodele predstavlja proseča broj ovh događaja. Za ovu raspodela korst se ozaka X : P, Poasoov zako raspodele može se prkazat grafkom koj azvamo hstogram. 5 Osove pravougaoka su cetrrae u tačkama k 0,,,0, a jhova vsa jedaka je PX k. Ukupa površa svh pravougaoka je. Na slc je prkazao samo ekolko, jer je vsa preostalh pravougaoka zaemarljvo mala. Prmer: Sekretarca frme prma u proseku 5 telefoskh pozva u 0 muta. Kolka je verovatoća da će u perodu od 0 m a). prmt tačo pozv? b) eće bt pozva? Broj pozva je slučaja promeljva X koja ma Poasoovu raspodelu sa parametrom 5 a) PX b) PX 5 5 e 0,0336,! e 0 0, !

99 Matematčko očekvaje, dsperzja stadardo odstupaje dskrete slučaje promeljve date Poasoovm zakoom raspodele zose: E X, D X, D X. Za Poasoovu raspodelu u Excelu korst se fukcja POISSON.DIST Staksa za ovu fukcju je POISSON.DIST(x, mea,cumulatve) APROKSIMACIJE BINOMNE RASPODELE POASONOVOM Poasoova raspodela je astala kao grač slučaj bome raspodele. Name, kada u bomoj raspodel sa parametrma p, prozvod p, ako je velko, a p malo, tada boma raspodela tež Poasoovoj raspodel sa parametrom. U praks zamea se vrš ako je p 0. k P X k p q e k p k k! k k,,,..., 0, Prmer: Verovatoća prozvodje defektog prozvoda je 0,003. Nać verovatoću da će od 000 slučajo zabrah prozvoda bt: a) 4 defekta, b) bar defekta, c) e vše od defekta. Slučaja promeljva X je broj defekth elemeata ma bomu raspodelu. Kako je 000, p 0,003; q p 0,997 X : B 000; 0,003., 000 P X 4 0,003 0,997 4 a)

100 Kako je p 3 0,boma raspodela se može aproksmrat Poasoovom raspodelom za e P X 4 0,680. 4! P X P X 000 P X P X 0 b) e 0, , ! e P 0 X P X 0 P X P X c) e e e 0, !!! 5.. RASPODELE NEPREKIDNE SLUČAJNE PROMENLJIVE 5... NORMALNA GAUSOVA RASPODELA Normala raspodela zauzma cetralo mesto u teorj verovatoće jem prmeama. Nos azv po emačkom aučku Karlu Frederchu Gaussu ( ), mada je ormalu raspodelu je prv proučavao fracusk matematčar sveštek Abraham de Movre ( ). Osova Gausova zasluga je otkrće, da se slučaje greške razlčth mereja mogu predstavt stom raspodelom. Promeljve koje astaju z poovljeh mereja jedog stog objekta stm aparatom sa stom preczošću e daju uvek st rezultat. Na rezultate mereja utču slučaj faktor (šum mereja) koj se e mogu kotrolsat koj varraju od jedog mereja do drugog, al dobjee greške maju stu raspodelu. Slučaje promeljve koje maju ormalu raspodelu astaju kao rezultat velkog broja utcaja, pr čemu je efekat pojedačog utcaja ezata u odosu a celokupu sumu efekata svh pojedačh utcaja. Moge slučaje promeljve, kao a prmer, teža ovorođečad, vsa muškaraca stog uzrasta sl maju takođe ormalu raspodelu,tako da se velk broj statstčkh problema može rešt samo uz pretpostavku da osov skup podataka ma ormalu raspodelu. Takođe, ako eka promeljva, blo da je dskreta l eprekda, ema ormalu raspodelua jea raspodela se može uspešo aproksmrat ormalom

101 Normala l Gausova raspodela. Neka je X eprekda slučaja promeljva. fukcja guste je x f x e, x,, fukcja raspodele je x x x e dx x,,,, R, X N. Za ormalu raspodelu korst se ozaka ~, Matematčko očekvaje dsperzja slučaje promeljve koja ma ormalu raspodelu: x EX xe dx x D X x e dx Normala raspodela je raspodela sa cetrom u stadardm odstupajem. f x zadovoljava uslove:. Fukcja f x je defsaa za sve reale brojeve,. f x 0, Fukcja guste verovatoće 3. Krva guste je smetrča u odosu a pravu x, tj. f x f x 4. f x f x lm lm 0, x 5. U tačk x x fukcja dostže maksmum f 6. Prevoje tačke su tačke sa apscsama. max

102 Grafk fukcje guste prkaza je a sledećoj slc: f x x Ukolko je stadardo odstupaje maje, utolko je veća kocetracja verovatoća oko očekvae, sredje vredost, slučaje promeljve X. f x x Defcja: Ako je 0, a, tada se ormala raspodela zove stadarda ormala raspodela. Fukcja guste je oblka f x x e, x,, odoso fukcja raspodele x x x e dx, x,,, R. Ozaka za stadardu ormalu raspodelu je N 0,

103 Grafk fukcje raspodele prkaza je a sledećoj slc: x 0.5 x ma sledeće osobe:. 0 0,5., 0 3. x x 4. Pa X bb a Fukcja raspodele Fukcja guste ema prmtvu fukcju u skupu elemetarh fukcja, pa se vredost fukcje raspodele, koja je defsaa esvojstvem tegralom fukcje guste, mogu odredt samo umerčkom tegracjom. Za praktča zračuavaja vredost fukcje raspodele sključvo se korst tablca prblžh vredost fukcje x koja se alaz a kraju udžbeka. Ako slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu N,, oda slučaja promeljva Z ma stadardu ormalu raspodelu N 0,, ako je X Z. Neka slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu N, stadardu ormalu raspodelu alazmo da je P X 0,68 P X 0,955 P 3 X 3 0,997. Iz tablca za

104 Ovo zač da možemo očekvat da će velk broj vredost slučaje promeljve X bt raspodelje a sledeć ač: Oko68% svh vredost ać će u tervalu,, Oko 95% svh vredost ać će u tervalu,, Oko 99% svh vredost ać će u tervalu 3, 3. f x 68% x % 99% Posledj rezultat zač da će se skoro sve vredost slučaje promeljve ać u tervalu 3, 3. Ova osoba ormale raspodele pozata je pod azvom pravlom 3 sgme. U ovom tervalu skocetrsaa je skoro sva masa verovatoća. Tako a prmer, ako a pakovaju ekog prozvoda pše da je teža kg 0g, to zač da je teža prozvoda ormala slučaja promeljva sa 0 kg g. Pravlo tr sgme omogućava da se otkrju grube greške 3 mereja. Podac koj su u opsegu 3, su ajverovatje pogreš. Prmer: Izračuat sledeće verovatoće ako je slučaja promeljva ma stadardu N 0, ormalu raspodelu

105 a) PX 3, 33, 3 0, f x 0 3, 3 x b) P X 9 9 0,977 0,08 f x Prmer: 0 9 x Ako slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu N 6, 4, odoso 6, 4, dobjamo X ,843 X 36 P X 3 P P Z,5,5 0, 0668 a) PX P PZ b) Prmer: Izračuat P X 9 ako je 4, N. 4 X 94 P X 9 P PZ 55 0,

106 Prmer: Teža određee grupe dece u jedom obdaštu ormalo je raspoređea sa matematčkm očekvajem 5kg stadardm odstupajem od 3kg. Kolka je verovatoća da će slučajo zabrao dete mat težu zmeđu kg 7kg. Slučaja promeljva X-teža dece ma ormalu raspodelu N 5,9, tada je 5 X 7 5 P X 7 P P,33 Z 0, , 66,33 0, 6539 Prmer: Čekaja lfta je slučaja promeljva sredje vredost,5 m sa stadardm odstupajem od 0sec. a) Skcrat grafk krve guste rad lustracje zadath podataka b) Nać verovatoću da eko čeka lft duže od m 0sec c) Nać verovatoću da eko čeka lft maje od m 0sec d) 00 ljud je posmatrao u odosu a vreme čekaja lfta. Izračuaj broj ljud koj su lft čekal maje od 50sec a) U ptaju je ormala raspodela,5 m 90sec, 0sec, N 90, 400 f x 95% 68% x

107 b),5 m 90sec, 0sec, t 30sec PX 30PX 30PX 0 P X 0, 08 f x 50% 47,5% 90 0 x 30 l c) 50% 47,5%,5% ato je0,05,5 m 90sec, 0sec, t 70sec PX 70 PX 70 PX PX 0,6 0 f x 50% 34% x

108 l d) 50% 34% 6% ato je0,6,5 m 90sec, 0sec, t 50sec PX 50 PX 50 PZ PZ 0, 0, 5 0 f x 50% l 47,5% x % 47,5%,5% broj ljud 00*0, 05 5 ato je0,05 U Excel-u se za ormalu raspodelu korst fukcja NORM.DIST koja ma vše razlčth oblka. Osova je NORM.DIST( x,mea, stadard_dev,cumulatve) gde je x vredost za koju se zračuava fukcja mea artmetčka sreda raspodele stadard_dev stadraro odstupaje cumulatve- logčka vredost koja određuje oblk fukcje True l False

109 5... APROKSIMACIJE BINOMNE RASPODELE NORMALNOM Ako slučaja promeljva X ma bomu raspodelu sa parametrma p, kod koje je p 0, bez velke greške, aproksmacja se vrš ormalom raspodelom to: X p, gde je Z, pq pq a) PX k Z ap bp P a X b P Z. pq pq b) Prmer: Nać verovatoću dobjaja od 30 do 60 glava u 00 bacaja ovčća. 00, p P A 0,5, q p P A 0,5 X : B 00;0, k P30 X 60 0,5 0,5 k 30 k 00k Kako je p 50 0, aproksmacja može da se zvrš ormalom raspodelom, gde je: p 50, pq 5, N 50, Xp 6050 P30X60P P4 Z 00 0,5 0,5 pq 00 0,5 0,5 4 0,9775 Na aredoj slc se vd kako krva ormale raspodele aproksmra hstogram koj je dobje a osovu podataka bome raspodele

110 f x x Prmer: Verovatoća prozvodje defektog prozvoda je 0,05. Nać verovatoću da zmeđu 500 slučajo zabrah prozvoda bude od 5 do 5 defekth prozvoda. Neka je A dogadjaj da je prozvod defekta. 500, p P A 0, 05, q P A 0,95 X : B 500;0, k 500k P5 X 5 0,05 0,95 k 5 k Kako je p 5 0, može da se vrš aproksmacja ormalom raspodelom. 55 Xp 55 P5X5P 500 0,05 0,95 pq 500 0,05 0,95 P 4,,09,09 4, 0,83 0 Z RASPODELA Pretpostavmo da slučaja promeljva X ma stadardu ormalu raspodelu (0,). Uočmo slučaju promeljvu Y X. Ova promeljva je poztva jea fukcja raspodele drugačje zgleda ego kod ormale raspodele. Nazva se, h-kvadrat slučaja promeljva. Za ozačavaje korst se grčko slovo. I za slučaju promeljvu za raspodelu korst se st azv

111 Neka su X,,, X X eprekde slučaje promeljve sa stadardom ormalom raspodelom N 0,. Zbr jhovh kvadrata H X X X defše slučaju promeljvu koja ma raspodelu. Ova slučaja promeljva zavs od parametara zato kažemo da slučaja promeljva ma raspodelu sa stepea slobode. Stepe slobode je broj learo ezavsh slučajh promeljvh X, X,..., X u zrazu H. Ako b zal bar jedu vezu zmeđu promeljvh, oda b slučaja promeljva H mala - stepe slobode. Fukcja guste kod raspodele zavs samo od stepea slobode oa je Ojerova gama fukcja, x, što prevazlaz elemetara zaja ovog kursa. stepe slobode stepea slobode 3 stepea slobode 4 stepea slobode Prethod grafc predstavljaju fukcje guste za četr vredost stepea slobode. Osobe fukcje guste:. Fukcja je defsaa samo za poztve vredost ezavso promeljve.. Za egatve vredost, uzma se da je vredost fukcje guste

112 3. Kada je stepe slobode mal, fukcja guste je asmetrča, kako raste grafk fukcje guste postaje sve vše vše smetrča. 4. Kada je dovoljo velk broj, raspodela se asmptotsk prblžava ormaloj raspodel. Za zračuavaje vredost raspodele korste se tablce koje za dat stepe slobode, občo,,...30 dat broj, verovatoću, občo 0,0; 0,05 daju vredost P. k,, takve da je k, f x,k x Grafk predstavlja fukcju guste, a verovatoća predstavlja osečeu površu sa slke. E H, a dsperzja Imajuć u vdu da je matematčko očekvaje je H,, za 30 N. raspodela se aproksmra ormalom raspodelom raspodela je začaja u statstčkom ocejvaju. Korst se za određvaje tervala povereja epozate dsperzje, za testraje saglasost dsperzja, a posebo u slučajevma koršćeja e parametarskh testova. Prmer: Za k=9 verovatoću 0,95 z tablca se dobja da je 9,0,95 6,9. To zač da kod uzorka velče 0, odoso k 0 9 stepea slobode, važ P 6,9 0,95 Ako slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu N,, tada je X H, slučaja promeljva sa raspodelom

113 Ako slučaje promeljve X,,, X X tada je: a) b) X H slobode. H X X slučaja promeljva sa, gde je X maju ormalu raspodelu, x raspodelom sa stepea artmetčka sreda, slučaja promeljva sa raspodelom sa - stepeom slobode. N, U Excelu postoj fukcja CHISQ.DIST koja zračuava vredost rapodele. Staksa je CHISQ.DIST(x,deg_freedom,cumulatve), gde deg_freedom predstavlja defsa stepe slobode STUDENTOVA RASPODELA Neka su date, slučaja promeljva X sa ormalom raspodelom N, slučaja promeljva H sa raspodelom sa stepea slobode. Slučaja promeljva Z X T, H s ma studetovu l t raspodelu, sa stepea slobode. Za određe stepe slobode verovatoću p a osovu tablca se zračuava poztva vredost p PTtp p. t, tako da je

114 f x p P t t p t p x Grafk predstavlja fukcju guste, a osečea površa verovatoću p za P t t p. koju važ da je p Za velko, odoso za 30 t -raspodela se aproksmra sa ormalom. Što je već broj stepea slobode to krva guste sve vše se prblžava ormaloj raspodel. f x N 0, v 5,0,5 x Fukcja guste kod Studetove t-raspodele je gama fukcja, x, što prevazlaz elemetara zaja ovog kursa. Studetova raspodela ma velk začaj u statstc. Korst se u slučajevma kada je uzorak mal 30, za oceu parametara, defsaju tervala povereja za oceu sredjh vredost, za testraje hpoteza o parametrma osovog skupa sl. Napomea: Ovu raspodelu otkro je početkom dvadesetog veka Vlam Gosset (908) koj je rado u pvar, pa je svoje radove zdavao pod pseudomom studet. U Excelu postoj fukcja T.DIST koja zračuava verovatoće Studetove rapodele. Postoj vše oblka ove fukcje. Staksa je T.DIST( x, deg_freedom,cumulatve), gde deg_freedom predstavlja defsa stepe slobode

115 Prmer: Za 5 verovatoću 0,99, a osovu tablce dobćemo f4;0,99, VAŽNI OBRASCI Boma raspodela k k PA PX k p p k Matematčko očekvaje, dsperzja stadardo odstupaje za bomu raspodelu E X D X p pq, D X pq Fukcja raspodele za bomu raspodelu 0, x 0 k k Fx p q,0 x kxk, x Poasoova raspodela k, 0,,, P X k e k k! Matematčko očekvaje, dsperzja stadardo odstupaje za Poasoovu raspodelu E X D X, DX

116 Aproksmacja bome raspodele Poasoovom, ako je p 0 k P X k e, k! Fukcja guste kod ormale raspodele x f x e, Fukcja guste kod stadarde ormale raspodele f x e x Fukcja raspodele ormale raspodele x x x e dx Fukcja stadarde ormale raspodele x x e dx x Matematčko očekvaje dsperzja za ormalu raspodelu x EX xe dx x D X x e dx Aproksmacja bome raspodele ormalom, ako je p 0 X p PX k Z, gde je Z, pq pq ap bp Pa X b P Z. pq pq

117 5.4. ZADACI. Kolka je verovatoća da kad ovčć bacamo 3 puta, puta se pojav grb? Rešeje: p ; 3; k ; X; B 3; 3 3 PX 8. Clj se gađa sa četr metka. Nać zako raspodele fukcju raspodele slučaje promeljve X koja ozačava broj pogodaka, ako je u svakom gađaju verovatoća pogotka clja. Rešeje: k 4k 4 pk PX k, k 0,,,3 k X : F x 0 x 0 0 x 6 5 x 6 x x 4 6 x

118 3. Učestalost krve grupe O u ekoj populacj je 40%. Uzet je uzorak od 0 osoba. Kolka je verovatoća da u tom uzorku postoje osobe sa krvom grupom O? Rešeje: X : B 0;0,40, k 0 PX 8 0, 4 0, 6 0,09 4. Na osovu rezultata gađaja zaključeo je da strelac sa verovatoćom od 80% pogađa clj. Ako zvrš tr gađaja, kolka je verovatoća da će clj bt pogođe a) jedaput, b) jedom, c) bar jedom? Rešeje: Slučaja promeljva X je broj pogodaka mete u 3 pokušaja. Zako raspodele je: 3 0,8 k 0, 3k pk P X k. k X 0 3 : 0, 008 0, 096 0,348 0, a) PX 0 0,8 0, 0,008 0, 3 3 b) PX 0,8 0, 0,096, 0 0,008 0,99. c) PX 5. Kotrolor proverava prozvod jede partje od prozvoda koja sadrž 0% škarta obustavlja proveru kada ađe a škart. Ako je slučaja promeljva X broj pregledah prozvoda. Nać raspodelu verovatoća slučaje promeljve X

119 Rešeje: Provera se završava a - tom prozvodu, ako je prvh - prozvoda dobro, oda je -t škart. 4 PX U kutj se alaze dve bele šest crh kuglca. Izvlačmo 5 puta po jedu kuglcu sa vraćajem. Neka je X slučaja promeljva predstavlja broj pojavljvaja bele kuglce u pet zvlačeja. a) Nać zako raspodele. b) Kolka je verovatoća da će bela kuglca bt zvučea bar 3 puta? Rešeje: k 5k a) pk PX k, k 0,,,3,4,5 k. 4 4 Zako raspodele je: X : b) PX 3 PX 3 PX 4 PX 5 k 5k k3 k Nać verovatoću da porodca sa četvoro dece ma a) ajmaje jedog dečaka, b) ajmaje jedog dečaka ajmaje jedu devojčcu Rešeje: Neka je X slučaja promeljva koja predstavlja broj dečaka

120 k 4k 4 P X k, k 0,,,3 k, 5 P PX PX PX 3PX 4. 6 Do stog rezultata se moglo doć koršćejem verovatoće suprotog događaja, da ema samo dečaka a) 4 5 P 6 b) Koršćejem suprote verovatoće, da ema samo dečaka ema samo devojčca dobjamo P 8 8. Utvrđeo je da 3 prozvoda prpada prvoj klas, a prozvoda prpada 3 drugoj klas. Odredt raspodelu verovatoća 4 slučajo zabrah prozvoda koj prpadaju prvoj klas, zatm ać matematčko očekvaje dsperzju slučaje promeljve. Rešeje: k 4k 4 PX k, k 0,,,3,4 k X : X : EX EX DX EX EX 0,

121 9. Tehčk sstem se sastoj od blokova povezah kao a datm slkama. O spravo rade sa verovatoćama p,,5. Nać verovatoću da će sstem spravo radt. a) p p p 3 p p b) p p p 5 p 3 p 4 c) p p p 5 p 3 p 4 Rešeje: P p p p p p a) 3 3 b) P pp p3 p4 p5 c) P p p p p p

122 0. Cetrala gradskog taksja prma u proseku pozva a sat. Kolka je verovatoća da u perodu od 0 muta eće bt pozva? Rešeje: U ptaju je Poasoova raspodela. Prosečo se prma pozva a sat, a to je pozva u 0 muta, zač 0 PX 0e e 0,35. 0!. Servs za popravku televzora pozva je u proseku 6 puta u toku jedog sata. Kolka je verovatoća da će tokom određeog sata servs bt pozva a) tačo 5 puta b) bar jedaput. Rešeje: U ptaju je Poasoova raspodela sa parametrom 6 a) PX e 5 0,606, 5! b) P X P X 0 e 0, !. Telefoska sekretarca dobja prosečo 90 pozva a čas. Ukolko je lja bla u prekdu mut, kolka je verovatoća da je za to vreme blo ajvše pozva? Rešeje: Prosečo se dobja 90 pozva a čas, zač,5 pozva u mut. U ptaju je Poasoova raspodela sa parametrom,5 tražea verovatoća je 0 0 P X P X P X P X,5 e, 5,5 0, Partja prozvoda sadrž 5% škartova. Uzma se slučaj uzorak od 60 prozvoda. Izračuat verovatoću da se u uzorku e pojav jeda škart. - -

123 Rešeje: U ptaju je Boma raspodela sa 60; p0,05; q 0, PX 0 0, 05 0,95 0, Aproksmacja može da se zvrš Poasoovom raspodelom.jer je p e P X 0 0, ! 4. Aparat se sastoj od 00 delova. Verovatoća da jeda deo otkaže u toku jede gode je 0,0. Kolka je verovatoća da za godu daa otkažu: a) dela, b) bar dela. Rešeje: U ptaju je Boma raspodela sa 00; p0,0; q 0,99, kako je p, aproksmacju vršmo Poasoovom raspodelom. a) PX e 0,84.! P X P X P X 0 P X 0,64. b) 5. Ako je u prozvodj zvesh artkala % espravh, ać verovatoću da u uzorku od 00 artkala ađu a) tr esprava b) ajmaje 3 esprava Rešeje: 000,0 a) P 0,8 b) P 0,35 6. U tabel je dat broj esrećh slučajeva fabrc, devo, u toku od 00 daa. Broj esreća Broj daa

124 Izračuat sredju vredost esrećh slučajeva devo, a zatm Poasoovom raspodelom zračuat verovatoću da se jedog daa dogode 3 l vše esreća Rešeje: X xf EX f X ,5 00 0,5 PX 3 PX 3PX 4PX 5PX 6 0, 0630, , , 00000, , Partja sadrž % škarta. Kolk treba da bude uzorak da verovatoća pojave bar škarta u uzorku e bude maja od 0,95? Rešeje: P X P X 0 0,95 0 0,05 0,99 0, 05 log 0,99 log 0, 05 log 0,05 98 log 0,99 8. U perodu od 0 daa mere je broj vozla a raskrsc u vremeu od h do 4h. Dobje su sledeć rezultat: Broj vozla Broj daa Izračuat sredju vredost broja vozla devo, a zatm Poasoovom raspodelom zračuat verovatoću da jedog daa kroz raskrscu prođe maje od vozla. 9. Slučaja promeljva X ma stadardu ormalu raspodelu N 0,. Izračuat: - 4 -

125 a) P0 X,44, b) P0,73 X 0, c) P,37 X,0 d) P0,65 X, 6, e) P,79 X 0,54, f) P X,3. Rešeje: a) P X, 0, 44, ,9336 0,5 0,4336 f x 0, 44 x b) P X 0, ,73 0,5 0,37 0,673 0,9778 0,0853 0,895 U ekm tablcama ema vredost za vredost x 0 tada korstmo x x. c) P,37 X,0,0,37 osobu da je f x, 37,0 d) P X 0,65,6,6 0,65 0,540 x f x 0,65, 6 x - 5 -

126 e) P X f) PX P X,79 0,54 0,54,79 0,579,3,3,3 0,9 f x,3 x 0. Slučaja promeljva ma raspodelu N 3, 4. Izračuat 9 P X. Rešeje: Kako je 3, X 9 X 3 93 PX 9 P P P Z ,9986 0, 004 PZ. Ako je slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu EX 6, a DX 4, ać P X 6. Rešeje: N 6, 4 6 X 6 66 P X P P Z 0, 08 0, Neka je X : N 7,5. Odredt: a) P X, b) P X 9, c) PX, d) P X, e) ać x tako da je P X x 0,85 tako da je PX x 0,., f) ać x - 6 -

127 Rešeje: X 7 7 a) PX P PZ 0, X ,4,6 0,6006 b) P X 9 P P,6 Z 0,4 X 7 7,8,8 0, 0359, 5 5 c) PX P PZ X 7 7,6,6 0,945, 5 5 d) PX P PX X 7 x7 x7 x7 0,85, kako se ova vredost e alaz u tablcama, treba uzet ajprblžju, a to je 0,8508 joj odgovara vredost z, 04, pa je x 5z7,. e) P P Z z x 7 P X x PZ 0,0. 5 f) PZ z z 0, z,05 x5z7 3,5 3. Vsa žea ma ormalu raspodelu. Izmereo je 50 žea dobjea sredja vsa od,68m sa stadardm odstupajem od 0,06m. a) Nacrtat krvu ove raspodele b) Nać verovatoću da je prozvoljo zabraa žea vsoka zmeđu,56m,74m. c) Nać broj žea čja je vsa veća od,8m Rešeje: - 7 -

128 , 68 f x, 74, 6,80,56 3,863,50 68% x % 99% a)oblast zmeđu,56,74m je 34%+47,5% = 8,5% l 0,85 Odoso:,56,68,74,68 P,56 X,74 P X P X 0,06 0,06 0,843 0,08 0,885 c) Oblast veća od,8m je 50%-47,5% 00,05,8, 68 PX,8 PX PX PX 0,08 0,06 4. Pretpostavmo da deblja metalh ploča ma ormalu raspodelu N 0,5 cm, 0,08cm. Nać proceat espravh ploča, ako se smatra da je ploča esprava kad je jea deblja maja od 0,0cm l veća od 0,8cm Rešeje: Ploča sprava ako je 0, 0 0, 5 X 0,5 0,8 0,5 P0, 0 X 0, 8 P 0,08 0,8 0,08 P,78 0,7 0,7,78 0,965 Z P X P X 0,8 0, 0 0,965 0,0375. Proceat je 3,7%

129 5. Pretpostavmo da telese teže 800 studeata maju ormalu raspodelu, sa sredjom težom 66kg 5kg. Nać broj studeata čja je teža a) zmeđu kg, b) veća od 7kg. Rešeje: X : N 66,5, Z : N 0, P X P X 5 5 P 0, X 0,8 0,8 0, 0,3674 a) , b) 7 66 PX 7 PX PX, PX,, 0, ,59 6. Neka fabrka prozvod kuglce omalog prečka m 5mm. Usled eprecze zrade je prečk je slučaja promeljva X, sa ormalom raspodelom, matematčkm očekvajem m odstupajem 0,05mm. Pr kotrol se odbacuju sve kuglce čj prečk odstupa od omalog za vše od 0,mm. Kolk proceat kuglca će bt odbače? Rešeje: N 0,5;0, 05 Treba zračuat P X 5 0,. Izračuaćemo suprota događaj, tj. 0, X 5 0, P X 5 0, P0, X 5 0, P 0,05 0,05 0,05 P 0,9544 Z P X 5 0,0,9544 0, 456 0, 046. Dakle bće odbačeo 4,6%

130 7. Neka su vremea 'žvota' dva elektrča uređaja slučaje promeljve sa 40,36 N 45,9 respektvo. Ako uređaj treba da rad raspodelama N bar 48 časova, koj od jh je bolje uzet? Rešeje: X PX 48P PZ,33,330,908 0, X PX 48 P PZ 0,843 0, Bolje je uzet drug uređaj. 8. Prečk kuglca koje prozvod fabrka je slučaja promeljva X sa ormalom raspodelom N,5 cm; 0, 04cm. a) Nać verovatoću škarta pod uslovom da je propsaa toleracja prečka kuglce 0,07 b) Kolka toleracja prečka može da se garatuje sa verovatoćom od 0,97? Rešeje: a) P X P X b) P X,5 0,97, 0, 09,5 0,07,5 0,07 0,08 9. Vek trajaja elektrče lampe ma ormalu raspodelu N 00, 5. a) Nać verovatoću da ova lampa stog tpa traje ajmaje 05 časova. b) Ako je jeda lampa već zdržala 90 časova, kolka je verovatoća da će zdržat još 5časova? Rešeje: a) PX 05PX 05PZ 0,587 5 b) U ptaju je uslova verovatoća - 0 -

131 P X 05, X 90 P X 05 PX 05 X 90 P X 90 P X PZ 5 PZ PZ 0, PZ PZ P Z Broj mušterja subotom u frzerskom salou ma prblžo ormalu raspodelu sa Odredt verovatoću da će sledeće subote broj mušterja bt: a) već od 45, b) maj od 5, c) ajmaje 5, a ajvše 40. Rešeje: X a) PX 45 P PZ 330, b) PX P PZ X , X P 5 X 40 P 0, c) 3. Verovatoća pogađaja u clj je u svakom od 00 ezavsh gađaja 0.8. Izračuat verovatoću da će od 00 obavljeh gađaja bt: a) bar 80 pogodaka b) broj pogodaka bt zmeđu Rešeje: 00, p0,8; q 0,; X : B 00;0,8 00 PX 80 P80 X 00 0,8 0, 00 k 00k k 80 k. - -

132 Kako je p 80 0, vrš se aproksmacja ormalom raspodelom P 80 X 00 P Z 0,5 000,80, 000,80, a) P 40 X 90 P Z 0, ,80, 000,80, b) 3. Verovatoća kvara uređaja je 0,03. U kom procetu se može očekvat da će se kod 000 uređaja kvarov pojavt u e maje od 0 e vše od 40 slučajeva. Rešeje: 000, p P A 0, 03, q P A 0,97 X : B 000;0, k 40k P0 X 40 0, 03 0,997 k 0 k. Kako je p 30 0, vrš se aproksmacja ormalom raspodelom P0 X 40 P Z 0, ,030, ,030,997 Zač da se u 93,6% slučajeva može dest da broj espravh uređaja bude zmeđu Pozato je sa 90% kupaca Soy televzora ema reklamacje u garatom roku. Prodato je 00 televzora u jedoj prodavc. a) kolka je očekvaa vredost broja reklamacja, b) ać verovatoću da reklamacja bude max 0 Rešeje: Slučaja promeljva X je broj reklamacja, ma bomu raspodelu B 00;0, a) EXp 0 Xp ,33 3,33 0,9996 pq 000,0,9 b) PX P PZ - -

133 34. Neka su vremea 'žvota' dva elektrča uređaja slučaje promeljve sa raspodelama N 40,36 45,9 bar 45 časova, koj od jh je bolje uzet? N respektvo. Ako uređaj treba da rad Rešeje: a) X PX 45 P PZ 0,8330,8330, 6 6 X PX 45 P PZ 000, Bolje je uzet drug uređaj. Neka maša prozvod 000 kompoeata/h svakh 30 muta je uzmao po 0 uzoraka rad kotrole, tokom dužeg peroda. Tako je kostatovao da je proceat škarta 0%. Kolka je verovatoća da u slučajom uzorku od 6 kompoeata a) bude 4 defekta b) e bude vše od 3 defekta c) e bude jeda defekta x p E-05 x = x = 0 l x = l x = l x = x =

134 35. Proceat škarta pr prozvodj delova je%. Odredt verovatoću da u uzorku od 60 delova ma a)tačo 3 škarta b) ajvše 3 škarta Rešeje: 60, p 0, 0, p, a) PX 3 0, b) PX P X P X 3 0,9663 =POISSON(3,,,5,FALSE) =POISSON(3,,,5,FALSE) 36. Vek trajaja elektrče lampe u časovma ma ormalu raspodelu N 00,5 a) Nać verovatoću da ova lampa stog tpa traje ajmaje05 časova b) Ako je jeda lampa već zdržala 90 časova, kolka je verovatoća da će zdržat još 5 časova? Rešeje: a) PX 05 0,84345 =NORM.DIST(05,00,5,TRUE) P X P X ,58655 P X 05 X 90 P X 05 P X 05 X 90 0,634 PX 90 PX 90 PX 90P X 90 0,9775 X 90 0,075 b) =NORM.DIST(90,00,5,TRUE) - 4 -

135 6. GRANIČNE TEOREME U matematčkoj aalz veoma strogo je defsa pojam grače vredost za realh brojeva, odoso kovergecj za. Međutm, a z slučajh promeljvh X e mogu se prmet ove pozate defcje teoreme z razloga što slučaje promeljve postoje samo sa ekom verovatoćom, pa jedo može da se ustaov da je verovatoća događaja lm X X jedaka. U verovatoć možemo govort samo o sledećm kovergecjama: Ako su zadate slučaje promeljve XX X... oda postoj: Stroga kovergecja l kovergecja skoro svuda ako je P lm X X Kovergecja u verovatoć ako je lm P X X, 0 Kovergecja u raspodel l slaba kovergecja ako je lm P X x P X x Postoje dve grupe zakoa teorema koje važe u verovatoć, a to su zako velkh brojeva Cetrala grača teorema. 6.. ZAKON VELIKIH BROJEVA Pod zakoma velkh brojeva podrazumeva se z teorema koje objašjavaju uslove pod kojm realzacje slučajh promeljvh dovode do rezultata koj su slučaj. Statstčke zakotost povezae sa masovm pojavama poseduju određeu stablost poašaja u odosu a sredju vredost. Pr velkom broju slučajh promejvh jhova sredja vredost praktčo prestaje da bude slučaja može se predskazat sa velm sgurošću. Geeralo, o tvrde da artmetčka sreda kovergra ka matematčkom očekvaju. U ekspermetu bacaja ovčća, pojava psma e može se predvdet u kokretom bacaju, al sa sgurošću se može tvrdt da je verovatoća pojave - 5 -

136 psma je 0,5. Oko ove vredost se grupšu relatve frekvece pr velkom broju poavljaja ekspermeta, odoso bacaja ovčća. Već smo govorl o rezultatma koje su ekspermetalo dobl Bufo Prso. Nažalost, je moguće S dokazat da je lm 0,5, gde je S -broj uspeha u ekspermeata S Može se samo tvrdt da je Plm 0,5. Prv koj je aučo terpretrao ovaj rezultat je Jakob Berul koj 73. gode daje prv zako velkh brojeva, koj zovemo Beruljev zako velkh brojeva. Teorema: Ako slučaje promeljve XX X maju bomu raspodelu, S Plm p gde je S X X X -broj uspeha u ekspermeata B p tada je Geeralo zako velkh brojeva glas Teorema Čebševa: Ako su date ezavse slučaje promeljve XX X sa stm matematčkm očekvajem dsperzjom D, tada z artmetčkh sreda kovergra u verovatoć važ X X.. X lm P, 0 Za dokazvaje ove teoreme potrebo je zat sledeću važu ejedakost Nejedakost Čebševa Ako postoj dsperzja D X, tada važ D X P X, 0-6 -

137 Prmer: Verovatoća rađaja dečaka je 0,5. Ocet verovatoću da apsoluta vredost razlke verovatoće frekvecje rađaja dečaka je maja od 0,0. Posmatrao je rođee dece Po teorem Berulja S S Plm p, a zajuć da je u bomoj raspodel frekvecje S jedaka E S pq p D, po ejedakost Čebševa se može apsat S pq u oblku P p S 0,5 0,5 P 0,5 0, 0 0, ,0 Prmer: Za kotrolu teže uzeto je 0 prozvoda z pogoa eke fabrke. Ako se za da je dsperzja 0,8g, kolka je verovatoća da artmetčka sreda teža e odstupa od sredje teže vše os 3g. Po ejedakost Čebševa D X P X P X Kako je DX mamo P X D X 0,8 0,94. Tražea verovatoća treba da bude veća od 0, Teorema Čebševa je ajjedostavj slučaj Zakoa velkh brojeva. Teorema u sušt tvrd, da mada u zu slučajh promeljvh svaka pojedača promeljva može da uzme vredost koje se razlkuju od sredje vredost (velka dsperzja), artmetčka sreda za slučajh promeljvh uvek ma malu dsperzju sa velkom verovatoćom uzma vredost koje su blske jeoj sredjoj vredost. Ovo je moguće objast čjecom da pr zračuavaju - 7 -

138 artmetčke srede slučaja odstupaja, poztva egatva se međusobo poštavaju. Osm ovh postoje z drugh teorema velkh brojeva kao što su teorema Markova, Hča, Borela, Kolmogorova moge druge. Sve oe omogućavaju auče progoze ocee tačost rezultata masovh pojava. 6.. CENTRALNA GRANIČNA TEOREMA Teoreme koje prpadaju grup cetralh gračh teorema e odose se a grače vredost slučajh promeljvh, već a grače zakoe raspodela. Tako dok zako velkh brojeva tvrd da artmetčka sreda kovergra matematčkom očekvaju, cetrala grača teorema daje asmptotsku raspodelu artmetčke srede. Ova teorema defše da zako raspodele verovatoća suma velkog broja slučajh promeljvh tež ormaloj raspodel. Sve teoreme ovog tpa uzmaju ormalu raspodelu kao grač zako defšu uslove pod kojm je to spujeo. Iako ormala raspodela je jeda koja daje dobre aproksmacje emprjskh raspodela, sguro se ajčešće korst. Možda je razlog što oko 30% svh pojava u prrod ma ormalu raspodelu. Teorema: Cetrala grača teorema Neka su date slučaje ezavse promeljve XX X,sa stom raspodelom sa dsperzjom D X, tada stm matematčkm očekvajem E X slučaja promeljva Z slučajoj promeljvoj Z : N 0,, tj X X X kovergra u raspodel t lm PZ x e dt x R, x Postoj mogo verzja cetrale grače teoreme., al sve se svode a slučaj S ES S da z. gde je S X X X kovergra u D S raspodel N 0, - 8 -

139 Teorema: Moavro-Laplasova teorema Neka su date slučaje promeljve XX X,sa bomom raspodelom, tada slučaja promeljva promeljvoj Z : N 0,, tj S sa parametrma p kovergra u raspodel slučajoj x t S p lm P x e dt xr pq, Prmer: Nać verovatoću dobjaja vše od 60 glava u 00 bacaja ovčća. Neka su X slučaje promeljve koje maju Bomu raspodelu. Ako je S X X, zračuat PS 60 00, p P A 0,5 X : B 00;0, k 00k PS 60 0,5 0,5 k 60 k Aproksmacja može da se zvrš ormalom raspodelom, gde je: p 50, pq 5, N 50, 5 S p 6050 PS 60 PS 30 P P P 0,9775 pq 00 0,5 0,5 Prmer: Neka su X slučaje promeljve koje maju Poasoovu raspodelu Izračuat PS00 Ako b račual drekto mal b za 5 P PS 00 PS 00 PS 00 0PS 00 e e 0,9596 0!! Ako b korstl cetralu graču teoremu, a zajuć da su matematčko očekvaje dsperzja kod Poasoove raspodele 5, pa je S , PS 00 PS 00 P 0,9099 0,

140 6.3. RASPODELA EMPIRIJSKE FUNKCIJE Matematčka veza zmeđu populacje uzorka zražea je vezom zmeđu fukcje raspodele X koja reprezetuje eko F x slučaje promeljve obeležje populacje emprjske fukcje raspodele frekvecja F x uzorka obma. Treba vodt račua da se u svakom ovom ekspermetu dobja eka druga emprjska fukcja raspodele. Teorema: ( Glveko) Neka je Fx fukcja raspodele obeležja X populacje, a fukcja raspodele ezavsog uzorka obma ove populacje, tada, P lm sup F x F x 0. x F x emprjska Ova teorema u sušt tvrd, da kada je uzorak dovoljo broja, sa verovatoćom blskom jedc, emprjska raspodela se malo razlkuje od teorjske VAŽNI OBRASCI Stroga kovergecja l kovergecja skoro svuda ako je P lm X X Kovergecja u verovatoć ako je lm P X X, 0 Kovergecja u raspodel l slaba kovergecja ako je lm P X x P X x Beruljev zako velkh brojeva S Plm p

141 Teorema Čebševa: X X.. X lm P, 0 Nejedakost Čebševa D X P X, 0 Cetrala grača teorema 6.5. ZADACI t lm PZ x e dt x R x. Velča je zmerea 000 puta. Dsperzja mereja je veća od cm ać verovatoću da artmetčka sreda rezultata mereja e odstup od matematčkog očekvaja za vše od 0, Rešeje: Na osovu ejedakost Čebševa mamo D X P X P X p 0,9 0000,04 D X. U svakom od 6000 ezavsh ekspermeata događaj se realzuje sa verovatoćom od 0,65. Nać verovatoću da se frekveca pojave događaja razlkuje od verovatoće za vše od 0,0. Rešeje: S pq S 0,65 0,375 P p P 0, 65 0, ,0 S P 0,65 0,00,

142 3. Ekspermet po Beruljevoj šem je realzova 600 puta sa verovatoćom svakog od jh od 0,9. ać verovatoću da se relatva frekveca događaja e razlkuje od verovatoće događaja za e vše od 0,04. Rešeje: P F x p a P p a P a a a pq S S p pq pq pq S 600 P 0,9 0,04 0,04 0, ,90, 4. Novčć se baca 0000 puta, Nać verovatoću da se psmo pojav od puta. Rešeje: S p P4950 S 500 P 0,885 pq - 3 -

143 7. MATEMATIČKA STATISTIKA 7.. OSNOVNI POJMOVI STATISTIKE Začetke statstke srećemo još u sredjem veku, sa prvm popsma staovštva, a tek sredom dvadesetog veka oa se defše kao ova matematčka dscpla. Matematčka statstka je auka koja se bav proučavajem masovh pojava u prrod društvu ova stražvaja maju kvattatva, a e kvaltatva karakter. Pojedače pojave maju maja l veća odstupaja, al ako se oe posmatraju u velkom broju, u mas se spoljavaju jhove zakotost. Za sptvaje prmeu ovh zakotost korst se teorja verovatoće. Predmet stražvaja matematčke statstke je statstčk skup l populacja. To je skup svh elemeata a kojma se eka statstčka pojava posmatra. Skup,, može bt koača beskoača. Obeležava se sa Prmer: Populacja je skup svh građaa Srbje, skup svh studeata ašeg fakulteta, skup svh mereja eke velče sl. Do statstčkh podataka se dolaz se sstematsk, po jaso utvrđeom plau. U procesu proučavaja pojava statstka se služ određem aučm metodama. Razlkujemo tr koraka u proučavaju podataka:. Prkupljaje podataka ( akete, pops, mereje, ekspermet sl. ). Sređvaje obrada podataka 3. Doošeje zaključaka Svaka populacja se može posmatrat sa staovšta jede l vše osoba, koje azvamo obeležje. Za posmatrau populacju eka obeležja su bta, druga su. Na prmer, ako posmatramo studete jedog fakulteta, bta obeležja su jhov broj, prolazost a sptma, sredje ocee, duža studraja slčo, a ebta obeležja su jhova vsa, teža slčo. Obeležja mogu bt umerčka, koja se zražavaju kvattavvo, brojem atrbutva, koja se zražavaju opso

144 Numerčka obeležja su ako u populacju studeata posmatramo, vsu težu, a atrbutva su pol boja očju. Da b se a atrbutva obeležja mogle prmet statstčke metode, eophodo je se oa prevedu a jezk matematke. Za matematku su od teresa samo umerčk podac. Defcja: Ako svakom elemetu skupa prdružmo jeda reala broj, defšemo preslkavaje X : R koje se azva obeležje. Obeležje X je dakle slučaja promeljva, koja svakoj vredost, prdružuje reala broj X. Isptvaja obeležja cele populacje u praks se retko realzuju. Oa b mogla da budu složea, eracoala, a poekad emoguća jer populacja može da ma beskoačo mogo elemeata l koačo mogo, al da je taj broj velk. Iz th razloga defše se ek podskup uočee populacje azva se uzorak. Defcja: Blo koj podskup U, populacje, azvamo uzorak, U. Prmer: Ako je potrebo odredt proseču vsu građaa Srbje, je potrebo zmert vsu svakog jeog građaa već se uzma prozvolja uzorak, a prmer 000 građaa, a osovu rezultata mereja ovog broja građaa, određuje se proseča vsa za celokupo staovštvo. Nač formraja uzorka su razlčt od toga zavs verodostojost zaključvaja. Odoso, postavlja se ptaje kolko je opravdao populacju zamet uzorkom, kolko su rezultat dobje z uzorka prhvatljv kao rezultat cele populacje. Uzorak treba zabrat tako da dobro reprezetuje populacju, da zaključak doese a osovu jega važ za celu poulacju. Samm tm formraje uzorka je slože postupak koj treba zadovolj z praktčh teorjskh krterjuma. Uzorak treba da bude: reprezetatva, odoso da svak elemet populacje ma podjedaku šasu da se ađe u uzorku

145 dovoljo broja, da sadrž optmala broj elemeata a osovu kojh se doos zaključak objektva, potrebo je odbact sve subjektve faktore, a to se postže slučajm zborom. Ako u ekoj populacj posmatramo obeležje X, oda se z je a slučaja ač uzma elemeata kod svakog od jh regstrujemo vredost obeležja X. Na taj ač dobja se slučaja uzorak obma, x, x,..., x. Uzorak x, x,..., x se može smatrat realzacjom dmezoe slučaje promeljve X, X,..., X. Ako su slučaje promeljve X, X,..., X ezavse jedako raspodeljee oda se dobja prost uzorak. Uzorak je umajea slka osovog skupa. Njegove karakterstke, parametr, kao što su artmetčka sreda, dsperzja, stadardo odstupaje ostale, jesu procee sth parametara osovog skupa. Raspodela frekvecja statstčkog obeležja uzorka je aproksmacja raspodele odgovarajuće slučaje promeljve u celoj populacj. Kako je svako obeležje eka slučaja promeljva, osov zadatak matematčke statstke je alažeje raspodela verovatoća ovh slučajh promeljvh. 7.. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI EMPIRISKE RASPODELE OBELEŽJA Podatke dobjee posmatrajem l ekspermetma, a koj predstavljaju vredost posmatraog obeležja populacje l uzorka, potrebo je sredt a odgovarajuć ač da b se mogl sptvat odredt raspodela obeležja. Prvestveo podac se smeštaju u tablce U jma su podac preczo jaso sređe omogućavaju zračuavaje velča koje se traže u stražvaju. Ako je broj podataka mal sv podac se uose u tabele, dok kod velkog broja podataka, podac se dele u serje. Oe u zavsost od problema mogu da budu strukture, vremeske geografske. Grafčko prkazvaje statstčkh podataka može da bude razlčto u zavsost od vrste podataka jhove prmee

146 Najčešće se korste djagram koj mogu da budu: Tačkast-stgmogram Ljsk-polgo Površsk-hstogram Prostor-stereogram Neka posmatrao obeležje X uzma vredost x, x, x3,, xk,koja se pojavljuju redom f, f,. f k puta uz uslov da je f f. fk N azvaju se apsolute frekvece ( učestalost ) vredost obeležja. Umesto apsoluth frekvec često se korste relatve frekvece vredost obeležja f f fk fr, fr,. frk, uz uslov fr fr. frk. N N N Vredost obeležja x, x, x3,, xk uzete sa odgovarajućm frekvecjama raspoređuju se po rastućm vredostma mogu da formraju statstčku tabelu. X x x... x k f f f f k N f r f r f r rk f Podac z tabele mogu se predstavt grafčk u koordatom sstemu, tako što se a x-osu aose vredost obeležja X, a a y-osu frekvece dobja se polgo raspodela apsoluth l relatvh frekvec

147 f f 3 f f f k x x x3 xk x Ukolko je broj vredost obeležja velk vredost obeležja se zadaju tervalo. Kada je obeležje eprekda velča to je uvek slučaj. Iterval [a,b] u okvru koga se alaze sve posmatrae vredost obeležja, podel se a k, ajčešće jedakh delova, [a,a), [a,a),...[ak-,b]. Zatm se odrede frekvece podataka koj prpadaju ovm tervalma rezultat prkažu tabelaro grafčk. X aa, a, a... a b f f f f r f r f r rk, k f k N f Grafčk prkaz azva se hstogram raspodele dobja se tako što se crtaju pravougaoc sa osovcom velče uočeh tervala, a vse su vredost odgovarajućh frekvec

148 Prmer: U jedom odeljeju ma 3 učeka. Među jma su 4 odlča, 9 vrlo dobrh, 0 dobrh, 3 dovolja 6 edovoljh učeka. Ovo obeležje ma atrbutv karakter zato ako uzmemo da su umerčke vredost obeležja, 5-odlča, 4-vrlo dobar tako redom, odgovarajuća tablca polgo raspodela frekvecja su: X f f r f x 0 3 f r x

149 Prmer: U skupu od 3 učeka obeležje je vsa koja je data u tervalma duže 5cm. X f f r f x 7.3. PARAMETRI STATISTIKE SLUČAJNIH STATISTIČKIH PROMENLJIVIH Tabelarm grafčkm predstavljajem statstčkh podataka mogu se samo delmčo uočt jhove pravlost. Da b se statstčk podac preczje proučl potrebo je zat jhove parametre. Postoje dve vrste parametara koj karakteršu statstčke promeljve, l kako se azvaju statstke: parametr koj reprezetuju cetar rasturaja, parametr koj mere rasturaje vredost promeljvh oko cetra rasturaja

150 7.3.. PARAMETRI KOJI REPREZENTUJU CENTAR RASTURANJA -SREDNJE VREDNOSTI Važe statstčke karakterstke ekog obeležja su sredje vredost. Oe mogu da reprezetuju skup, al da omoguće upoređvaje razlčth skupova. Postoje dve vrste sredjh vredost, račuske pozcoe. Račuske sredje vredost su artmetčka sreda, geometrjska sreda, harmojska sreda sl. Pozcoe sredje vredost su moda, medjaa sl ARITMETIČKA SREDINA Od svh sredjh vredost artmetčka sreda je ajčešće u upotreb. Defcja: Artmetčka sreda. Ako obeležje X ma egrupsae vredost x, x, x3,, x 3 X x x x x x.. Kada su vredost obeležja grupsae sa razlčtm frekvecjama, oda je X x f f 3. U slučaju tervalo grupsah podataka X k s k x f f x x s x U Excelu se za zračuavaje artmetčke srede korst aredba AVERAGE

151 Prmer: Pros pšece a 5 parcela u toama je 760, 990, 00, 450, 000. Izračuat proseča pros X x x x x x Proseča pros je 080t. Prmer: Nać artmetčku sredu brojeva,,,,,3,3,3,3,4,4,4,4,4. X f Xf xf 40 0 X f 4 f 4 4 xf 40 Prmer: U skupu od 7 učeka obeležje je vsa koja je data u tervalma duže 5cm. Izračuat sredju vsu učeka. x- vsa f sreda tervala x f ,5 4, ,5 5, ,5 47, ,5 37, , , ,5 53,5 7 f 7 7 xf 4467,5-4 -

152 X 7 xf 4467,5 7 65,46 7 f GEOMETRIJSKA SREDINA Pomoću geometrjske srede zračuava se proseča stopa promee eke pojave. Defcja: Ako su x, x, x 3,, x vredost obeležja X, oda je G x x x3 x. Prmer: Prmeom geometrjske srede odgovorl b a ptaje: Kolko puta je prosečo pao ataltet u Srbj u zadjh 0 goda Prmer: Geometrjska sreda brojeva, 8, 7 je G Defcja: Ako su x, x, x 3,, x vredost obeležja X sa frekvecama f, f, f3,, f oda je G x x x x f f f3 f. 3 Geometrjsku sredu ema smsla račuat ako su eke vredost ula l egatve. Može da se korst kao mera promee brza pojava u vremeu HARMONIJSKA SREDINA Harmojska sreda korst se u slučajevma kada su vredost obm obeležja u obrutoj razmer

153 Defcja: Ako su x, x, x3,, x vredost obeležja X, oda je je prosta harmojska sreda H x složea harmojska sreda H f. f x Prmer: Harmojska sreda brojeva,, 3 je, 3 8 H. 3 Prmer: Pet fabrka prozvode st artkal. U prvoj fabrc prozvede se 650 komada za 4 daa, u drugoj 350 za 4 daa, u trećoj 75 za 5 daa, četvrtoj 50 za 3 daa u petoj 80 za daa. Kolko je prosečo vreme zrade tog artkla. f H 3, 67 f x Između artmetčke, geometrjske harmojske srede važ relacja H G X. Koju ćemo od sreda korstt zavs od problema koj treba rešt ema opšteg pravla. Za zračuavaje artmetčke, geometrjske harmojske srede korstmo sve postojeće vredost. Geometrjska harmojska sreda su u sušt mere brze promea posmatrah pojava

154 Prmer: Merejem dobjee su vredost slučaje promeljve X, obeležja eke populacje x f 3 Izračuat artmetčku, geometrjsku harmojsku sredu x f xf f x 5 5 0, , , , , , xf 09 X 0,9 f 0 f 0 H 9,76 f,05 x 0 G x x x f f f ,35 f x MODA Defcja: Moda M je vredost obeležja koje ma ajveću frekvecu, o Od svh pozcoh sredjh vredost moda se ajčešće se korst. Može se dest da moda e postoj l da h ma vše

155 Prmer: Nać modu brojeva,,,,,3,3,3,3,4,4,4,4,4. X 3 4 : Broj 4 ma ajveću frekvecu, dakle M 4 o Prmer: Nać modu brojeva,,,,,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4. X 3 4 : Kako postoje dva broja 3 4 koj maju ste frekvece 5, zaključujemo da mamo dve mode. M 4, M 3 o o Ako su vredost obeležja dat tervalma, modu treba tražt u tervalma sa ajvećm frekvecama o se azvaju modal terval. Defcja: Ako su vredost obeležja X date tervalma mamo da je f f M o a d f f f f 3 gde je a doja graca modalog tervala, a f, f, f 3 su frekvecje predmodalog, modalog postmodalog tervala, a d velča tervala., Prmer: U skupu od 7 učeka obeležje je vsa koja je data u tervalma duže 5cm. x- vsa f modal terval je [65-70]

156 Prema tome a 65 f 7, f 8, f3 5 d=5, pa je moda Mo , MEDIJANA Defcja: Medjaa je sredja vredost svh vredost obeležja x, x, x3,, xk uređeh po velč. Ako je broj vredost obeležja epara, medjaa je sredja vredost obeležja. Ako je broj vredost obeležja para, medjaa je artmetčka sreda. sredja člaa. Prmer: Skup vredost ekog obeležja, 5, 7, 30, 3. Kako ma epara broj vredost obeležja jegova medjaa je sredja vredost medjaa je 7. Prmer: Skup vredost ekog obeležja 7, 9,, 3, 6, 8. U ovom prmeru mamo para broj vredost obeležja medjaa je artmetčka sreda dva sredja člaa, 3 M e. Defcja: Ako su vredost obeležja date tervalo, prvo se određuje medjal terval u kome se alaz sredj čla, pa je medjaa k d Me a f f k. Prmer: U skupu od 7 učeka obeležje je vsa koja je data u tervalma duže 5cm

157 x- vsa f medjal terval je 65,70, a 65, f, f, f3 3, f4 7 d=5 Medjaa je 5 M e ,50 8 U Excelu za zračuavaje medejaa se korst fukcja MEDIAN. Moda medjaa maju velku prmeu u statstc, aročto kada treba ać ou vredost obeležja koje se ajčešće sreće. Naprmer, ako sptujemo uslove staovaja građaa, bolj je pokazatelj velče stambee površe koju korst ajveć broj staovka (moda), ego proseča površa po jedom staovku (artmetčka sreda). Takođe, sredj vek trajaja službeh automobla u jedom preduzeću može se odredt pre rashodovaja svh automobla, tako što se ađe medjaa kada broj rashodovah automobla pređe polovu PARAMETRI KOJI MERE RASTURANJE SLUČAJNE PROMENLJIVE OKO CENTRA RASTURANJA U ekm praktčm problemma mogo korsj podatak je odredt rasturaje podataka oko cetara rasturaja, ego sredu. Najvažj parametr koj mere rasturaje oko cetara su razmak varjacje, varjasa, stadardo odstupaje dr

158 RAZMAK VARIJACIJE Defcja: Razmak varjacje R je razlka zmeđu maksmale mmale vredost podataka. R xmax xm VARIJANSA ILI DISPERZIJA Varjasa l dsperzja je mera odstupaja predstavlja prosečo kvadrato odstupaja svakog podatka, od artmetčke srede. Defcja: Ako obeležje X ma vredost x, x, x3,, x, tada je varjasa l dsperzja s x X x X Kada se vredost obeležja javljaju sa razlčtm frekvecjama oda je s f x X f x X f f U Excelu se korst fukcja VARP. Prmer: Na osovu broja daa koje je ek radk proveo a bolovaju tokom jede gode 7,3,4,8,,,6,3,9,4 zračuat proseča broj daa a bolovaju odredt rasturaje u odosu a taj broj. Rešeje: Proseča broj daa koj je proveo a bolovaju je

159 x -broj daa a bolovaju x x X x 8,8 x 8,8 X x ,8 3, , 0, ,8 3, ,8 0,64 4-6,8 46,4 44 3, 0, ,8 7, , , 0, ,8 3, ,06 X 0 88 x 8, ,06 s x X ,36 l koršćejem druge formule 08 s x X 8,8 33, Prmer: Odredt rasturaje prodaje TV aparata a osovu podataka dath u tabel. Broj aparata Broj daa

160 Rešeje: Proda Broj to daa u aparat mesec a u x f x f x X x X f x X x Proseča broj prodath TV aparata je. s 8 f x X 8,7 l s 8 30 f 8 8 xf 330 X 8 30 f k fx X k 376,7 30 f x f STANDARDNA DEVIJACIJA Dsperzja l varjasa je pogoda za terpretacju jer je zražea u kvadratma jedce. Zbog toga se za zračuavaje rasturaja eke pojave korst kvadrat kore dsperzje koj se azva stadarda devjacja l stadardo odstupaje

161 Defcja: Ako obeležje X ma vredost x, x, x3,, xk, tada je stadardo odstupaje. s x X x X Kada se vredost obeležja javljaju sa razlčtm frekvecjama oda je f x X fx s X f f U Excelu se korst fukcja STDEVP. Iz prethodog prmera mamo da je s 8 fx X 8 f 376,7, KOEFICIJENT VARIJACIJE Koefcjet varjacje korst se u slučajevma kada je potrebo upoređvat varjacje vše skupova koje su zražee razlčtm jedcama mere. Korst se u slučajevma kada su jedce mere ste, al maju razlčte artmetčke srede. s s K 00 % X X Prmer: Rudar ekog rudka u proseku svak da skopaju X 400kguglja sa stadardm odstupajem s=80 kg. U drugom rudku skopaju X 00kg uglja sa stadardm odstupajem s=0 kg. U kom rudku se skopa vše uglja? - 5 -

162 Ako zračuamo koefcjet korelacje za oba rudka mamo s 80 K 0% X 400 s 0 K 0% X 00 Zaključujemo da je u prvom rudku skopaa veća kolča uglja jer je u jemu duplo veće rasturaje oko srede ego u drugom RASPODELE VEROVATNOĆA PARAMETARA-STATISTIKA UZORKA RASPODELA ARITMETIČKIH SREDINA UZORKA Neka obeležje X u populacj ma matematčko očekvaje E X x dsperzju x. Elemet blo kog uzorka od elemeata X,, X, ove populacje maju sto matematčko očekvaje dsperzju, E X, D X, pa su matematčko očekvaje dsperzja artmetčke srede X jedak: Defcja: Matematčko očekvaje Dsperzja-varjasa X X X E X E EX X X X s D X D D X Stadardo odstupaje-stadarda greška s

163 Prema tome, ako slučaja promeljva X, koja predstavlja eko obeležje populacje, ma ormalu raspodelu N,, oda će jea artmetčka sreda X mat takođe ormalu raspodelu al oblka N,. Ako slučaja promeljva X ema ormalu raspodelu, al je 30, oda će raspodela artmetčkh sreda težt ormaloj raspodel. Prmer: Kuglce koje su prozvedee u jedoj fabrc maju sredju težu 5gr stadardo odstupaje od 0,3gr. Bra se slučaja uzorak od 00 kuglca. Nać verovatoću da će se teže svh kuglca alazt u gracama od 4,9gr do 5,0gr, ako zamo da se rad o ormaloj raspodel. 0,3 00, x 5, s 0,03, 00 4,9 5 X 5, 0 5 P4,9 X 5,0 P P3,33 Z 0,66 0,03 0,03 0,66 3,33 0, VAŽNI OBRASCI Artmetčka sreda Moda prosta složea x X. x f X f M o a d f f f f3 f f

164 Medjaa d M e a f f. Geometrjska sreda prosta f f 3 G xxx3 x. složea G x x x3 x f f Harmojska sreda prosta H. složea x Varjasa l dsperzja s x X x X H f f x Stadardo odstupaje s f x X f x X f s x X x X f x X fx s X f f Matematčko očekvaje X E X Dsperzja-varjasa X s Stadardo odstupaje X s, f

165 7.6. ZADACI. Populacju če sv studet Uverzteta Sgduum. U ovoj populacj posmatraju se sledeća obeležja: a) avka redovog posećvaja kocertma ozblje muzke b) vsa studeata Uzet je uzorak koga če sv studet druge gode Fakulteta za formatku račuarstvo. Da l je ovaj uzorak reprezetatva? Rešeje: a) Uzorak je reprezetata jer avka posećvaja kocerata klasče muzke je uslovljea delatošću, to b bl studet muzke l ekh slčh fakulteta. b) U drugom slućaju uzorak je reprezetatvaa jer su u ptaju mlad ljud slče socjale strukture, porekla, žvoth avka, shrae sl.. Neka je osov skup sastavlje od brojeva,3,4,5,6,7,8. Nać sredju vredost stadardo odstupaje. Rešeje: Kako je =7 mamo x x X Kocka se baca 36 puta. Broj je pao 6 puta, broj je pao 3 puta, broj 3 je pao 0 puta, broj 4 je pao 8 puta, broj 5 je pao 5 puta broj 6 je pao 4 puta. a) Nać odgovarajuću tablcu raspodele frekvecja b) Nacrtat polgo raspodela frekvecja. c) Izračuat artmetčku sredu d) Izračuat varjasu stadardo odstupaje e) Nać modu f) Nać medjau

166 Rešeje: x f f r x f x x f xf 3 X 3, 4 36 f s,47,57 M0 0, M e s fx X , 4, f

167 4. Vse 0 učeka eke osove škole su: 47,44,5,53,3,36,50,38,48,48,40,47,46,50,48,36,40,44, 46,47. a) Odredt raspodelu frekvecja b) Kostrusat polgo raspodele frekvecja c) Izračuat sredju vredost d) Izračuat varjasu e) Izračuat medjau f) Izračuat modu Rešeje: x f x f =865 =0 =308 =4337 x x f f 3 x

168 865 X 43, ,5 s 0566,85 050,56=46,9 0 s=6,8 M 44 M 47, M 48. e o o Data je slučaja promeljva X :. Izračuat jeu artmetčku, 3 geometrjsku harmojsku sredu. Rešeje: X 9, G , 7 8 H 8, Četvorca radka rade st posao u fabrc cpela. Za 8h prv radk je završo prekotrolsao 48 par obuće, drug radk 80 par, treć 0 četvrt radk 44 par obuće. Izračuat proseča broj završeh parova obuće. Rešeje: Ako proseču prozvodju za 8h račuamo preko: Artmetčke srede mamo X 86, a to je proseča broj prozvedeh cpela. 4 Harmojske srede je 4 H 5,58 to je prosečo vreme koje je potrebo utrošt za prozvodju jedog para obuće

169 7. Četr grupe studeta od 5,0,0 8 člaova maju vse 6, 48, 53 40cm. Nać artmetčku sredu jhovh vsa. Rešeje: 4 xf X f 8. Na kraju sptog roka 60 studeata formatke doblo je sledeće ocee z matematke dskrete matematke. Ocee matematke Broj studeata Ocee dskrete matematke Broj studeata Izračuat sredje ocee z oba predmeta stadardo odstupaje. Rešeje: Ocee x f x x f x f

170 X 6 xf 44 6,9 60 f 6 s, 7,3 6 x f 96 6,9, 7 60 f, s X 6 x f x x f x f X 6 xf 440 7,34 60 f 6 s,93, 7 6 x f ,34,93 60 f, s X 6 Koefcjet korelacje je relatva mera odstupaja koja pokazuje koje se obeležje vše meja u odosu a artmetčku sredu. s, 3 s, 7 M : 0,9, DM : 0,3 X 6,9 X 7,43 Ocee z dskrete matematke pokazuju veću promeljvost. 9. U fabrc čokolade u prvh 6 mesec prozvedeo je mesec Prozvodja u toama Izračuat sredju prozvodju, stadardo odstupaje, modu medjau

171 0. Pretpostavmo da su teže studeata ormalo raspoređee N68 kg,9kg. Uzet je uzorak od 5 studeata. Da l možemo očekvat da će se artmetčka sreda X teža ać u gracama od 66,8 do 68,3kg? Rešeje: 3 68 s 0,6, x x 5 Artmetčka sreda ma raspodelu X : N 68;0,6. Stadarda slučaja promeljva Z ma raspodelu N 0,, pa je 66,8 68 X 68,3 68 P66,8 X 68,3 P 0,6 0,6. P 0,5 0,5 0,6687 Z. U fabrc se prozvode kuglce. Prečk kuglce ma raspodelu N,. Sa prozvode trake se uzmaju uzorc obma 00 delova. Izračuat verovatoću da artmetčka sreda uzorka odstup od očekvae vredost za maje od 0,0. Rešeje:,, 00 Traž se verovatoća 0,0 X 0,0 PX z P0,0 X 0,0 P P 0, 0, 0, 0,5398 0, 0796 Z. Izračuat kolk treba uzet obm uzorka z populacje sa ormalom raspodelom, epozatog matematčkog očekvaja 00, tako da verovatoća odstupaja sredje vredost uzorka od očekvae vredost populacje za maje od 5 jedca zos 0,

172 Rešeje:, 0 P X z P 5 X 5 0, X 5 P P Z 0, , Za prečk X ekog dela za se da ma ormalu raspodelu sa varjasom 00. Kotrolor je uzeo 9 delova. Sa kojom verovatoćom kotrolor može račuat da će artmetčka sreda a uzorku odstupt od matematčkog očekvaja za maje od 5 po apsolutoj vredost. Rešeje: P X z P 5 X 5 5 X P P Z 0, Iz populacje sa ormalom raspodelom N,6 uzet je uzorak obma 6. Neka je artmetčka sreda X 5. Izračuat verovatoću da epozat parametar populacje bude u opsegu 4,6. Rešeje: P4 6 P6 4 P X P Z 0,

173 8. OCENJIVANJE PARAMETARA RASPODELA Jeda od osovh zadataka sa kojm se sreće matematčka statstka je određvaje umerčkh karakterstka, odoso parametara obeležja X raspodele verovatoća, osove populacje, pomoću ekog jeog ezavsog uzorka X, X,..., X Kako smo u mogućost da odredmo tače vredost parametara vrš se ocea jhova ocea. Prmer: Ako sptujemo vsu svh ljud jede države možemo pretpostavt da ova promeljva ma ormalu raspodelu. Međutm, m e zamo uapred kolko je matematčko očekvaje - sredja vredost vse. Moramo da ga ocemo a osovu statstčkh podataka. Prmer: Pretpostavmo da zamo broj uspešh realzacja ekog ekspermeta. Zamo da je u ptaju boma raspodela, al e zamo kolka je verovatoća p tražmo prblžu vredost. Prmer: Ako želmo da predvdmo rezultate zbora, e zamo proporcoalo broj ljud koj će da pruže podršku ekom određeom kaddatu. Zač e zamo raspodelu parametre. Međutm, u mogućost smo da zaberemo slučaja uzorak pokušamo da zvršmo proceu. Ovaj zadatak se azva ocejvaje l estmacja parametara, a tako dobjee vredost azvamo ocee parametara. Skup svh mogućh vredost parametra populacje obeležavamo sa. Na osovu uzorka X, X,..., X obma, zvod se ocea epozatog parametra u oblku fukcje f X X X,,...,

174 Na osovu skustva l pozavaja prrode posmatraog problema poekad smo u mogućost da prepozamo o kojoj je raspodel reč da procemo epozate parametre. U raspodelama koje smo do sada proučaval sretal smo se sa razlčtm parametrma. Velče p, u bomoj raspodel, u Poasoovoj raspodel, l, u ormaloj raspodel. U praks ajčešće e pozajemo raspodelu, vredost jeh odgovarajućh parametara. Parametr populacje, odoso uzorka, azvaju se statstke. Za svak uzorak možemo zračuat eku statstku. Zač, parametr populacje, odoso uzorka, su statstke. Na osovu zakoa velkh brojeva kada, po verovatoć, a greška ocee u odosu a taču vredost može se učt prozvoljo malom ako je uzorak dovoljo velk. Korste se dve vrste ocea parametara. To su tačkaste tervale ocee. Tačkasta ocea je slučaja promeljva sa stom raspodelom kao slučaja velča uzeta z populacje. Izračuava se a osovu jedog uzorka služ kao aproksmacja epozate vredost parametara raspodele populacje z koje je uzorak uzet tada postaje kokreta broj. Ako je uzorak mal moguća su velka odstupaja procee od stvare vredost. Ako su ocee parametara zražee u tervalma, oda se se oe azvaju tervale ocee. Ov terval se azvaju terval povereja (pouzdaost) zato što se braju terval sa uapred datom pouzdaošću, odoso verovatoćom. Ideja tervalog ocejvaja se zasva a čjec da se a osovu slučajog uzorka defše odgovarajuća statstka uzorka, odoso tačkasta ocea parametra oko jega se formra terval povereja. Ocea treba da bude: Cetrraa l eprstrasa E Cetrraost zač da e postoj odstupaje date procee od prave vredost. Efkasa je oa ocea koja ma mmalu varjasu. D m

175 Za dve cetrrae ocee, efkasja je oa ocea koja ma maju varjasu. D D. Prmer: Dat je uzorak od 5 elemeata z populacje sa sredom eke jegove ocee. Koja je od sledećh ocea ovog parametra eprstrasa, a koja je ajefkasja? X 4, X X X X X5 3, 5 XX X XX, X X5 6 Zajuć da je Eax bae x b E x y E x E y E E X4 EX X 3 E EX X X5 3 E EXX X5 E 4 4 E E X X E 5 EX X5 6 Cetrrae su prva, četvrta, peta šesta ocea., mamo:

176 Kako je Daxb a D x D x y D x D y, posmatrajuć samo cetrrae ocee mamo da je D D X D X X X5 6 3 D D X X5 D D X D X D Najmaju varjasu ma četvrta ocea, zač oa je ajefkasja. 8.. TAČKASTE OCENE Posmatrajmo obeležje X eka je parametar posmatrae populacje, a vredost uočeog parametra dobjeog a osovu uzorka. Defcja: Slučaja promeljva f X X X,,, koja se korst za oceu epozatog parametra zove se tačkasta ocea. Ako je x, x,, x jeda realzacja slučajog uzorka X, X,, X broj f x x x uzma za oceu parametra.,,,, tada se Ova defcja dopušta da se a mogo razlčth ača defšu ocee za st parametar. Na prmer, ako hoćemo da ocemo matematčko očekvaje populacje, kao oceu možemo da korstmo artmetčku sredu uzorka, modu, medjau, geometrjsku sredu, harmojsku sredu sl. Neke od ovh vredost parametar ocejuju bolje, a eke slabje

177 8... TAČKASTA OCENA MATEMATIČKOG OČEKIVANJA Defcja: Neka su X, X,, X, ezavsh slučajh promeljvh sa stom raspodelom, N. Stadarda tačkasta ocea matematčkog očekvaja slučaje promejve je artmetčka sreda, X X X X TAČKASTA OCENA VARIJANSE Defcja: Ocea varjase ezavsh slučajh promeljvh X, X,, X, gde je X artmetčka sreda, data je zrazom D X D X D X s. Artmetčka sreda X ma ormalu raspodelu cetrraa ocea matematčkog očekvaja jer je E X k k Varjasa uzorka, zato što je Es. s X X k N,. Oa je. s X X je cetrraa ocea varjase populacje k. Cetrraa ocea b bla ako b uzel da je

178 Prmer: Sreda uzorka X je jeda cetrraa ocea matematčkog očekvaja. X X 5X X To su X,, 3, zato što je 6 XX 5XX 5 EEX, EE, E3E 6 6 U prethodom slučaju mamo da je D DX, DX X D 4 4 D5X X 5 3 D Najefkasja je druga ocea, zato što je to ocea sa ajmajom varjasom TAČKASTE OCENE VEROVATNOĆE Parametrom raspodele obeležja X može se smatrat verovatoća p ostvarvaja ekog slučajog događaja A koj se može opsat pomoću slučaje promeljve X. Ako se ekspermet poavlja puta, oda dobjamo slučajh promeljvh X, X,, X koje maju Bomu raspodelu B, p, sa pozatm parametrom epozatm parametrom p. Defcja: Kao ocea parametra p uzma se relatva frekveca p pojavljvaja događaja A u uzorku X, X,, X, X p j,

179 gde prlkom zračuavaja X velče x mogu samo da uzmaju vredost 0 l, zavso od toga da l se u poavljaju Beruljevog ekspermeta događaj realzovao l e. j ako se događaj realzovao, ače je j 0. U defsaju procee verovatoće koršćeo je da je p, a ocea sredje vredost je X. Prmer: Fabrka prozvod kuglce stadardog prečka 3,00 mm. Kuglca se smatra spravom oko je prečk odstupa od stadarde ajvše za 0,03 mm. Na osovu uzorka od kuglca dobjee su sledeće vredost duza prečka u mm: 3,0; 3,04;,98; 3,00; 3,0,,98;,99; 3,00; 3,06;,99; 3,05. Nać oceu verovatoće p da je kuglca koja je prozvedea sprava. Kako je za 8 prečka z datog uzorka odstupaje od omalog maje od 0,03mm, to je p 8 0,73, jer je j j j j j j j j, a j j9 j INTERVALI POVERENJA Pr ocejvaju parametara,,... raspodela, mogo preczje je ać tervale koj sa velkom verovatoćom sadrže vredost epozatog parametara. Ov terval zovu se terval povereja l terval pouzdaost Iterval povereja se uvek vezuje za uapred zabrau verovatoću, koja se občo obeležava sa azva vo povereja. Ako su grace tražeog tervala Y, Y tada verovatoća da će se procejea vredost parametra ać u datom tervalu zos y p f xdx. y

180 Da b se odredo terval povereja, dakle, treba odredt površu čja je vredost, a zaklapa je krva guste sa x-osom. Za verovatoću ajčešće se uzma da je 0.9; 0.95 l Y Y Defcja: Neka je X, X,, X epozat parametar. uzorak obeležja X, sa raspodelom, Ako su f X X X f X X X,,..., datm uzorkom,za koj važ F X, gde je,,..., dve statstke ad P, tada terval, se azva terval povereja sa voom povereja. Kada se defše uzorak dobju brojev x, x,, x, tada statstke Y X, X,..., X Y X, X,..., X postaju određe brojev y y. Slučaj terval, postaje broj terval y, y. To aravo e zač da svak terval y, y obavezo mora da sadrž parametar sa verovatoćom. Zamslmo da smo uzel vše serja uzoraka obma dobl brojeve. kako Ako smo zračual za jh tervale povereja y, y, y, y, y, y je x x x x x x x x x P, može se reć da prblžo 00 % brojh tervala pokrva epozat parametar,,...,,,,...,,,,...,

181 y y y y y y y y U praks ocejvaje se sprovod samo a osovu jedog slučajog uzorka jegove artmetčke srede oko oga se formra terval INTERVAL POVERENJA ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE KADA JE POZNATA DISPERZIJA Kao što smo već aglasl, ako slučaja promeljva X ma ormalu N,, tada artmetčka sreda uzorka X ma takođe ormalu raspodelu raspodelu, al oblka N,. Zač, artmetčka sreda X može da aproksmra matematčko očekvaje. Ptaje je samo odoso kolko dobro. Kako se vd sa arede slke, verovatoću treba defsat tako da slučaj terval ( X cx, c) pokrva epozat parametar. X c X c X X c X c Izračuavaje graca tražeog tervala povereja, za zadatu verovatoću, odoso vo povereja,, vrš se pomoću tablca fukcje guste ormale stadardzovae raspodele

182 Teorema: Neka je X, X,, X N. ezavsa uzorak ormale raspodele, Iterval povereja za epozato matematčko pozatu varjasu može bt: dvostra terval povereja I : X z, X z, jedostra terval povereja I :, X z, I : X z, Dokaz: Statstka X ma ormalu raspodelu stadardu ormalu raspodelu N 0, Za dvostra terval, X c X X c N,, a statstka P X c X c P cx c P c X c P c X c Z X ma - 7 -

183 c X c X P Pz z PX z X z a osovu čega se dobja terval povereja za matematčko očekvaje I : X z, X z. Izraz z azva se greška artmetčke srede (sredje vredost). Duža tervala: d X z X z z. Duža tervala se smajuje sa porastom obma uzorka. Prmer: Godšj pros eke poljoprvrede kulture je slučaja promeljva X sa stadradm odstupajem od 6 jedca. Na 00 kotrolh parcela zmere je sredj pros od 75 jedca. Odredt 99% dvostra terval povereja za očekva pros poljoprvrede kulture. Imamo da je 6, 00, X 75, 0,99 Iterval povereja za epozato matematčko očekvaje kada je pozata dsperzja zos I : X z, X z Iz tablca se čta da je z0,99,58, pa je 6 6 I : 75,58 ;75,58 70,87;79, Zač, sa pouzdaošću od 99% zaključuje se da očekva pros poljoprvrede kulture se alaz u datom tervalu

184 Odgovor da proseča vredost očekvae kulture se alaz u datom tervalu e b bo korekta, jer b to začlo da smo 00% sgur da se očekvaa vredost alaz u zračuatom tervalu. Ako b korstl pojam verovatoće, vredost očekvaog prosa b se l alazla u zračuatom tervalu, pa b verovatoća bla, l e b prpadala tervalu pa b verovatoća bla 0. Zač verovatoća kada e može bt 0,99- Prmer: Na osovu uzorka od 45 komada ekog prozvoda sa ormalom raspodelom N,48 zarčuata je artmetčka sreda X 3. Nać 95% terval povereja za epozatu sredu populacje (matematčko očekvaje). 45, X 3, 48 z0,95, 96 I : X z, X z I : 3,96 ;3,96 9,89;3, INTERVAL POVERENJA ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE KADA JE NEPOZNATA DISPERZIJA Iterval povereja za matematčko očekvaje ako je epozata dsperja, određuje se a osovu aproksmacje dsperzje uzoračkom dsperzjom s gde k k s X X. je X Statstka T ma studetovu t raspodelu sa - stepeom slobode, a s t t određuje se a osovu tablca vredost ove raspodele. broj

185 Teorema: Ako je X, X,, X uzorak z ormale raspodele N,, pr čemu su matematčko očekvaje varjasa epozate, terval povereja su: dvostra terval povereja s s I : X t, X t, jedostra terval povereja s I :, X t, : s I X t, Dokaz: X s s Pt t P X t X t s s I : X t, X t s Iterval povereja u slučaju kada je dsperzja pozata je už ego u slučaju kada dsperzja je pozata. To je za očekvat jer se oceom dsperzje uos dodata esgurost. Za velko, praktčo ema razlke u slučajevma kada je pozato l e, zato što se tada t raspodela aproksmra ormalom. Prmer: Uoče je uzorak od 0 prozvoda. Na osovu zmereh vredost uzorka dobjea je sreda X 3 ocea dsperzje s 0, 5. Odredt dvostra terval povereja za epozato matematčko očekvaje sa verovatoćom od 0,

186 Imamo da je s 0, 5; s 0,5; 0; X 3 ; 0,95. Iz tablca studetovu raspodelu dobjamo da je t0,95 9,6. Iterval povereja za epozato matematčko očekvaje kada je epozata dsperzja zos s s I : X t, X t 0,5 0,5 I : 3, 6 ;3, 6, 64;3, INTERVAL POVERENJA ZA NEPOZNATU DISPERZIJU Kako dsperzja obeležja X a ek mer ač homogeost tog obeležja, često je važo odredt samo gorju gracu dsperzje. Zato se u ovm problemma češće korstte jedostra terval. s Statstka, ma raspodelu sa - stepeom slobode. U slučaju kada je pozata sredja vredost populacje za dsperzju se uzma s X E X, Teorema: Ako je X, X,, X uzorak sa ormalom raspodelom N, Iterval povereja za epozatu dsperzju za vo povereja stepea slobode je: jedostra terval povereja s I : 0;,

187 dvostra terval povereja s s I : ;,, Dokaz: Jedostra terval: U tablcama raspodele date su vredost za koje je spujeo s P P 0,, odoso terval Dvostra terval s I : 0; s,.,,,

188 P s s, odoso terval,, s s I : ;,, U slučaju kada je pozata sredja vredost populacje za dsperzju se uzma s X E X, terval povereja je s s I : ;,, Prmer: Iz populacje sa ormalom raspodelom uzet je uzorak velče 0 zračuata jegova dsperzja koja zos,8. Nać 95% terval povereja za epozatu dsperzju. Za 0 s,8 0,95, Jedostra terval ; 9;0,05 0,7 s 9,8 I : 0; 0; 0;3,38, 0,7. Dvostra terval 0,05 0,975, dobjamo 9;0,975 3,85 9;0,05 8,

189 s s,8,8 I : ; 9 ;9,87;6,9 3,85 8,907,, INTERVAL POVERENJA ZA VEROVATNOĆU p BINOMNE RASPODELE Neka je zadata slučaja promeljva X koja ma bomu raspodelu X : B, p. Za velke vredost broja slučaja promeljva X, ma prblžo ormalu raspodelu sa matematčkm očekvajem p, dsperzjom p p. S p Statstka Z ma prblžo ormalu raspodelu N 0,, gde p p je S slučaja promeljva u uzorku koja e odgovara stadardu. S p Pz z p p P S S P p p p p p p z z Pa je traže terval :, I p p, gde su z p S z p S 0 p p rešeja kvadrate jedače

190 Prmer: Među 0 zabrah prozvoda uočeo je da je samo jeda škart. Nać 95% terval povereja za epozatu verovatoću. Kako je 0; S,. a a osovu tablce za stadardu ormalu raspodelu dobjamo da je z z 0,95, z, 96 S p p p p 0p p 38 p 58, 4 p 0 p 0,08 p 0,404 I: p; p 0,08;0, VAŽNI OBRASCI Cetrrae l eprstrase ocee Efkasa ocea D E D Ocea matematčkog očekvaja X X X X

191 Ocea varjase Ocea parametra p X p j s Xk X k, gde je Iterval povereja za epozato pozato gde je z j, ako je x, ače je j 0. I : X z, X z, I :, X z, I : X z, z -tablca ormale raspodele. Iterval povereja za epozato epozato s s I : X t, X t, :, s I X t, : s I X t, gde je t t -tablca studetove t raspodele. Iterval povereja za epozato I : 0; s,, gde se korst -tablca raspodele. s s I : ;,, Iterval povereja za verovatoću p z p S z p S 0-8 -

192 8.4. ZADACI. Iz populacje sa sredom uzet je uzorak velče 4 Koje od sledećh ocea ovog parameta su eprstrase, a koja je ajefkasja? X X4 X X3 X4 X 3,, 3 5 XX3 X4 X3 X X3 4, 5 X, 6 3 Rešeje: E E, 4 3, E X X E X X3 X4 3 E 3, 5 5 EXX3 X4 E 4 X 3 3 E5 E X, EX X3 E 6 3 Neprstrase su prva, četvrta šesta ocea. Upoređujuć vredost jhovh dsperzja dobjamo D, D XX3 X4 D4 4 DX X3 9 D6 9 5 da su druga četvrata ocea podjedako efkase

193 . Merejem prečka lopte dobje je uzorak od 5 mereja 6,33; 6,37; 6,36; 6,35; 6,37. Na osovu uzorka odredt cetrrau oceu sredje vredost varjase. Rešeje: Cetrraa ocea sredee vredost populacje je artmetčka sreda uzorka. 5 5 X X 6,35, s X X 0, U clju zračuavaja sredje duže trajaja rada lamp z jede serje uzet je uzorak obma 400. komada. x f Sa voom povereja 0,99 odredt terval povereja za sredju dužu rada lamp cele populacje, ako se za da je dsperzja populacje rada lamp 5. Rešeje: Kako je X x f 0, 5; 35; 400; 0,99 Iz tablca se dobja z0,99,567, I: Xz ; Xz 0,576 ;0,576 5,5;4; Kolk ajmaj uzorak treba uzet z populacje sa ormalom raspodelom čja je dsperzja jedaka 9, tako da duža 99% tervala povereja za matematčko očekvaje bude maja od 5,

194 Rešeje: 3,?, 0,99. Duža tervala povereja je d X z X z z. Kako je uslov da duža tervala e bude veća od 5,6 mamo 3 d z 5,6z 5,6. Sa druge strae je z0,99,576, pa dobjamo 3,576 5, Mereć vreme reagovaja pacjeata a ov lek, lekar je proceo da je stadrado odstupaje 0,05 sekud. Kolk uzorak pacjeata treba uzet z populacje sa ormalom raspodelom, tako da u 95% slučajeva greška procee sredje vredost e bude veća od 0,0. Rešeje: 0,05;?; 0,95 ; z0,95, 96 Greška procee sredje vredost data je zrazom z 0,05,96 0, 0 96, 04. Treba uzet uzorak od mmalo 97 pacjeata.. 6. Neka je dat uzorak obma 00, sa epozatm matematčkm očekvajem pozatom dsperzjom. Uporedt tervale povereja za slučajeve 4 voa povereja 0,9 0,

195 Rešeje: Kako se a osovu tablca dobja z z0,9, 645, pa je sa verovatoćom 0,9 terval povereja 0,5 0,5 I : X,64 ; X,64 X0,08, X0, Ako b uzel da je vo povereja 0,95, dobl b terval I : X 0,, X 0,. Zač da terval sa majm voom povereja ma maju šru. 7. Uzorak od 80 posmatrah račua u jedom restorau pokazao je da raču maju sredju vredost od 5 evra stadardo odstupaje od 6 evra. Odredt 95% 99% tervale povereja za sredju vredost svh račua u tom restorau. Rešeje: 6; 80; X 5; 0,95; 0,99 z z0,95, 96, z z0,99,576 Pa dobjamo sledeće tervale: 6 6 I: X z ; X z 5,96 ;5,96 3,686;6, I: X z ; X z 5,576 ;5,576 3, 9; 6, Na osovu uzorka od 0 elemeata, sa artmetčkom sredom od X 0,4 oceom odstupaja s 0,8, ać 99% terval povereja za epozato matematčko očekvaje? Rešeje: Zajuć da je 0; X 0, 4 ; s 0,8; 0,99;

196 Na osovu tablca je s I : X t, X t t0,99 9 3,5 s 0,8 0,8 I : 0, 4 3, 5 ;0, 4 3, 5 9,578;, Odredt 95% terval povereja za epozato matematčko očekvaje, gde je a uzorku od 6 mereja dobjea artmetčka sreda X 5,4 ocea stadarog odstupaja od, 3. Rešeje: 6; X 5, 4 ; s,3; 0,95; 5,3 Na osovu tablca je t 0,95, 3, 3 I : 5, 4,3 ; 5, 4,3 4, 707; 6, Možemo apsat 5,4 0,7. 0. Izvršeo je pet mereja duže čekaja automobla a semaforu. Dobje je sledeć rezultat: 0, 8; 0,30; 0, 7; 0,33; 0,3 sekud. Odredt 95% terval povereja za sredju vredost čekaja Rešeje: X X X X X 0,8 0,08 0, ,30-0,00 0, ,7 0,08 0, ,33-0,03 0,0004 0,3-0,0 0, k k

197 , 49 X 0,98. 5 s X Xk k s 0,008 0, s 0,03 5 t0,95 4,776 0,04 0,04 I : 0, 98, 776 ;0, 98, 776 0, 69;0, Na uzorka dobje su rezultat: 80, 5,, 80, 56, 90, 85, 0, 60, 0, 80, 06, 80, 9. Nać terval povereja za sredju vredost, ako je 0,99. Rešeje: 9,5 X, s t0,99 I : 6,33;9,97 33,, 3,055. Na osovu uzorka ormale raspodele N, ać 95% terval povereja za epozato. Kolk treba da je obm uzorka da b šra tervala bla maja od 0, u slučajevma: a) Pozata je dsperzja b) Dsperzja je epozata, al je a osovu uzorka velče 0 zračuata ocea s. Rešeje: a) d z, z0,95, 96,

198 ,96 0, 39, 536,6 Obm uzorka treba da bude već od 537. s b) d t, 0, t0,95 9, 6, s s,,6 0, 5, 4 745,76 Obm uzorka treba da bude već od Uzorak od 5 elemeata ma X 7,38, s, 4. Odredt 95% 99% terval povereja za sredju vredost sa epozatom dsperzjom. Rešeje: I : 7,38 0,8 I : 7,38,6 4. Merejem dobjee su sledeće vredost: 34,; 7,4; 33,7; 3,;30,9;35,; 8,4; 3,. Odredt 90% terval povereja za epozato matematčko očekvaje? Rešeje: X 3,6 s 7,5, t 7,895 :9,6;33,6 0,9 I. 5. Prozvod fabrke lekova maju ormalu raspodelu. U uzorku od 0 prozvoda zračuata je artmetčka sreda X 3, 9 procea dsperzje s,53, ać 96% terval povereja za epozatu dsperzju. Rešeje: I : 0,07;0,

199 6. Iz slučajo zabraog uzorka, populacje sa ormalom raspodelom, obma 5 komada zračuata je dsperzja s. Odredt terval povereja za epozatu dsperzju populacje sa verovatoćom od 0,99. Rešeje: 5, s, 0,99 =9,886, =45,558 4,0,005 4,0,995,, Dvostra terval: s s 4 4 I :,, 6,3;6,53 45,558 0,856.,, Jedostra terval je ; 4;0,0 0,856 s 4 I : 0; 0; 0;6,53, 0, Dsperzja ekog prozvoda ma ormalu raspodelu. U uzorku od 0 komada zračuata je dsperzja,53. Nać 95% dvostra terval povereja za epozatu dsperzju. Rešeje: 3,85, 8,907 9,0,975 9,0,05,, s s,53,53 I k ; k 9 ;9, 46;5, 40 3,85 8,907 k, k, 8. Neka obeležje X ma ormalu raspodelu. Uzet je uzorak od 6 komada zračuata je dsperzja koja zos,65. Izračuat 90% terval povereja za epozatu dsperzju

200 Rešeje: 5 7, 6 s 5,0,95 5,0,05 н, н,, 65;,65, 65 I 5 ;5 6,975; 4, , 6 9. Nać dvostrau tervalu oceu dsperzje populacje z koje je zvuče uzorak sa pouzdaošću od 90%. x f Rešeje: X 5 x f 3,5 s x f X, , 0, 9,0,95 9,0,05 н, н,, 45, 45 I 9 ;9,546; 4, , 0, 0. U 00 gađaja clja strelac ga pogod 3 puta. Nać 95% terval povereja za epozatu verovatoću p pogotka u jedom gađaju. Rešeje: 00, S 3, 0,95 z, 96, S p 3 00 p z, 96 p p 00 p p 0384 p 6784 p04 0 p 0, 37 p 0,47 I 0, 37;0,

201 . Tokom daa u jedom pogou fabrke prozvedeo je 80 ekh prozvoda. Kotrola je otkrla 4 defekta. Nać 95% terval povereja za epozatu verovatoću p da je prozvod defekta. Rešeje: 80, S 4, 0,95 z0,95, 96, 480 z, 96 S p p p p 80p p 6707 p 37 p6 0 p 0, 096 p 0,6 I 0,096;0, 6. Od 00 studeata 0 je položlo spt. Nać 95% terval povereja za epozatu verovatoću p polagaja spta. Rešeje: I 0,;0, 8 3. Uočeo je da od 3000 testrah prozvoda jede fabrke ma 578 oh koj su kvaltet. Ako je u ptaju boma raspodela, odredt 99% terval povereja za kvaltete prozvode. Rešeje: I 0,50;0, Uzorak od 55 studeata a testu mao je sredj broj poea 68, od moguć 00 stadardo odstupaje od 5 poea. Odredt 95% 99% tervale povereja za sredju vredost broja poea a testu

202 5. Pretpostavmo da u 0 pokušaja mamo 00 uspeha. Odredt terval povereja za verovatoću p sa voom povereja 0, Iz populacje uzet je uzorak obma 0, čja je artmetčka sreda X 4, uzoračka dsperzja s 49. Zatm je uoče drug uzorak obma 8, čja je artmetčka sreda X 3, 4 uzoračka dsperzja s 3. Uporedt duže 90% tervala povereja. 7. Kolk uzorak treba posmatrat da b se sa pouzdaošću od 95% dobo terval povereja od 0,04, za proceat p lca koja su glasala za ekog kaddata a zborma? - 9 -

203 9. TESTIRANJE HIPOTEZA Hpoteza je pretpostavka zasovaa a skustvem aučm čjecama. Kada se postav služ za doošeje zaključaka o posmatraom problemu koršćejem statstčkh metoda Postavljee hpoteze podvrgavaju se statstčkom proveravaju, verfkacj l testraju, pomoću koga se doose odluke, da l sa određeom verovatoćom, hpoteze se prhvataju l se odbacuju. Zaključc se doose a osovu fukcje uzorka, odoso zračuatoj statstc. Kako jeda zaključak o populacj a osovu uzorka je apsoluto tača, tako odbacvaje hpoteze e zač da je oa etača. Pravlje je reć da a osovu uzorka postoj razlog za odbacvaje hpoteze. Savremeu teorju verfkacje-testraja hpoteza dal su Nojma Prso (98,933 ) Testov mogu bt: Parametarsk- koj se odose a epozate parametre raspodela obeležja Ne parametarsk- koje se odose a raspodele obeležja. Prmer: Kocku bacamo 000 puta broj 6 se pojavo 85 puta Parametarska hpoteza se odos a parametar p glasla b: Da l je Ne parametarska hpoteza se odos a raspodelu, odoso: Koja je raspodela u ptaju, da l je boma raspodela? p, 000, k p p?

204 9. TESTIRANJE PARAMETERSKIH HIPOTEZA Postupak testraja hpoteza sastoj se od ekolko koraka.. Prvo je potrebo defsat dve hpoteze: H0 - polaza-ulta hpoteza H -suprota- alteratva hpoteza.. Defše se test- statstka a osovu čjh vredost se doose odluke 3. Zadaje se prag začajost, odoso verovatoća. 4. Određuje se krtča oblast testa a osovu tablca raspodele alaz se vredost koja predstavlja krterjum. 5. Vrš se upoređvaje tablčog krterjuma sa statstkom testa. 6. Na osovu toga doos se odluka. Ako zračuata vredost statstke prpada krtčom području hpoteza H 0 se odbacuje prhvata alteratva hpoteza H. U suprotom hpoteza H 0 se prhvata. Hpoteza H 0 je tvrđeje o vredost parametra populacje koj se testra. Odbacuje se kao posledca ekspermeta a uzorku prhvata se H Ako se hpoteza H 0 e odbac, to e mora da zač da je tača, već samo, da a osovu ekspermeta ema dokaza protv je. H 0 je hpoteza o zostaku efekta, dok H je u sušt hpoteza stražvača. Odluke o prhvataju l odbacvaju ulte hpoteze koja se odos a parametar doose se a osovu ove vredost slučaje promeljve koja je rezultat ekspermeta a uočeom uzorku. H Nulta hpoteza je občo oblka 0 Alteratve hpoteze H mogu da budu: H ocea se začajo razlkuje H ocea je začajo maja H ocea je začajo veća Sa uapred zadatom verovatoćom određujemo oblast prhvataja hpoteze ako vredost prpada toj oblast ema razloga za odbacvajem ulte hpoteze. Grace te oblast azvamo gorj doj prag začajost

205 Na prmer, za verovatoću od 0,95, prag začajost je 0,05. To zač da postoj 5% rzka da vredost e prpada zračuatoj oblast da se ulta hpoteza e odbacuje. Razlkujemo dve vrste testova, dvostrae jedostrae. Dvostra test Na osovu praga začajost zračuava se broj c, takav da je P c, a sa jme krtča oblast za ultu hpotezu H 0, odoso, c prpadaju vredost koje jako odstupaju od vredost. P Ako je c, kojma c dobja se oblast prhvataja ulte hpoteze c, c. krtca oblast H 0 a k a k krtca oblast oblast odbacvaja Jedostra test Zasvaju se a verovatoćama P k l P k slučajevma krtča oblast za hpotezu H 0 je. U ovm, k l k,. Izuzetak se pojavljuje kod testraja hpoteze za dsperzju. U tom slučaju korstmo statstku koja ma raspodelu čja je fukcja guste defsaa a tervalu 0,, umesto tervala, kako je defsaa fukcja guste kod ormale studetove raspodele

206 9.. GREŠKE TESTIRANJA HIPOTEZA Prlkom testraja hpoteza zaključc se doose a osovu uzorka uz zadatu verovatoću. Moguće je ačt vrste grešaka:. Greške prvog tpa - greške, Ove greške astaju kada ultu hpotezu H 0 odbacmo, a tača je, a prhvatmo alteratvu hpotezu H. U tom slučaju, k k,. Greške drugog tpa, greške Ove greške astaju kada pogrešu ultu hpotezu H 0 e odbacmo e prhvatmo hpotezu H, a tača je. U tom slučaju je k, k. Verovatoća se zove pouzdaost l povereje. Ideala test mao b male greške prvog drugog tpa. Uslov za stovremeo smajeje grešk prvog drugog reda su suprot. Ako se jeda greška smajuje, druga greška raste. Rešeje problema je u povećaju uzorka. Občo se vod račua da greška drugog tpa bude mmala. U teorj verovatoće ovaj problem se rešava razm teoremama TESTIRANJE HIPOTEZE H 0 0 AKO JE POZNATA U slučaju testraja ulte hpoteze H 0 protv alteratve hpoteze H, ako slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu, korst se statstka X 0 Z, koja ma stadardu ormalu raspodelu N 0,. N je pozato,

207 U ovom zrazu, sreda populacje je epozata, a ultom hpotezom se pretpostavlja da je oa 0, X je artmetčka sreda dobjea z uzorka, je pozato stadardo odstupaje populacje je obm uzorka. Verovatoća, prag začajost, daje krtču oblast. Občo se uzma da zos 0,0 l 0,05, a za zračuavaja korste se tablce stadarde ormale raspodele. Normala raspodela se korst uvek kada je 30. Dvostra test: Testramo hpotezu H protv alteratve hpoteze H 0 0 Oblast prhvataja ulte hpoteze se dobja z uslova P Z z zos zz,. Krtča oblast, oblast odbacvaja hpoteze H, z z, je 0 0 Vredost z se čta z tablca dvostrae ormale raspodele. 0 krtca oblast H 0 z z krtca oblast za H0 oblast odbacvaja Jedostra testov: Testramo hpotezu H0 0 protv alteratve hpoteze. H 0 krtča oblast se dobja z uslova PZ z PZ z, odoso zos z;.. H 0 krtča oblast se dobja z uslova PZ z pa je oblast prhvataja ulte hpoteze, odoso, z Vredost z se čta z tablca jedostrae ormale raspodele

208 z krtca oblast oblast prhva ta ja Hoblast odbacvaja H o o z krtca oblast oblast odbacvaja H o oblast prhva ta ja H o Krtča oblast za ultu hpotezu mogla b da se odred pomoću zračuavaja graca oblast prhvataja (l odbacvaja) ulte hpoteze. X 0 k 0 k 0 P P Z k 0 z, k 0 z, Ako je X k ; k ulta hpoteza se prhvata Ako je X ; k k ; ulta hpoteza se odbacuje. Određvaje krtče oblast u slučaju jedostraog testa je detča

209 Prmer: Sredja duža trajaja sjalca jede fabrke je 600h. Za se da je duža trajaja slučaja promeljva, ormale raspodele, sa stadardm odstupajem od 0h. Za sptvaje kvalteta sjalca uzet je uzorak od 00 sjalca čja je sredja duža trajaja 570h. Testrat hpotezu H0 600 protv hpoteze H, korsteć prag začajost 0, Rešeje: Oblast prhvataja ulte hpoteze 0 Pomoću tablca dobjamo da je z z0,95, 96. H se dobja z uslova P Z z 0,95 Zač, oblast prhvataja ulte hpoteze je, 96;, 96. X Z, Kako,50,96,,96 ulta hpoteza se odbacuje sa rzkom od 5% prhvata alteratva hpoteza H.,5, 96 0,95 H 0, 96 0,05 I Oblast prhvataja-odbacvaja ulte hpoteze H 0 može se odredt račuajem krtčh graca oblast a sledeć ač: k600 k600 P X k P Z 0,95,96 k 0 z 600,96 576, 48 k 0 z 600,96 63,5 X , 48;63,5 Zač ulta hpoteza se odbacuje

210 0, , ,5 0,05 Ako b alteratva hpoteza bla H 600, krtča oblast ulte hpoteze H dobla b se z uslova PZ z 0,05 0. Iz tablca dobjamo da je z z0,05, 64. Zač, krtča oblast ulte hpoteze je ;,64. Kako,50 ;, 64 ulta hpoteza se odbacuje sa rzkom od 5% prhvata alteratva hpoteza H. I 0,05,5, 64 0,95 H 0 Ako je alteratva hpoteza H 600, tada se krtča oblast ulte hpoteze 0 z 0,95 P Z. H dobja z uslova PZ z 0,05 Iz tablca dobjamo da je z z0,95, 64. Zač, oblast prhvataja ulte hpoteze je ;,64. Kako,5 ;, 64 ulta hpoteza se prhvata. odoso račua se z uslova,5 0,95 H 0, 64 0,

211 9.4. TESTIRANJE HIPOTEZE H 0 0 AKO JE NEPOZNATO. Postupak testraja je detča prethodom slučaju, al se u ovom slučaju korst slučaja promeljva-statstka X 0 T uzmajuć da je ocea cetrraa s ače b korstl statstku X T 0 s gde je s uzoračko stadardo odstupaje. Statstka T ma studetovu -t raspodelu sa - stepeom slobode. Studetova raspodela se korst kada je 30. Testov mogu takođe bt jedostra dvostra. Dvostra test Oblast prhvataja za ultu hpotezu dobja se z uslova P T t, zračuava z tablca za studetovu -t raspodelu. gde se t t Krtča oblast, oblast odbacvaja ulte hpoteze H0 0, t t, Vredost t se čta z tablca dvostrae studetove raspodele. je Jedostra test Kada testramo ultu hpotezu H0 0. H 0 PT t zos t;. H 0 PT t zos,t krtča oblast se dobja z uslova krtča oblast se dobja z uslova protv alteratve hpoteze Vredost t se čta z tablca jedostrae studetove raspodele - 0 -

212 Prmer: Maša prozvod kuglce prečka 0,5cm. Da b proverl da l kuglce maju propsa prečk uzma se uzorak od 0 kuglca. Ako je artmetčka sreda prečka uzorka 0,53cm uzoračko stadardo odstupaje 0,03cm, testrat hpotezu da maša prozvod kuglce propsaog prečka sa pragom začajost 0,05. a) Jedostra test H 0,5 ; H 0,5 0 X 0,53 s0, ,83, krtča oblast je t;,83; t t t 0,95 PT t X 0 0,53 0,5 T 3,6 s 0,03 Kako 3,6,83; b) Dvostra test: H 0 0,5 ; H 0,5 0 0,95, ulta hpoteza se odbacuje. t t t 9,6 P T t T 3,6, krtča oblast je ; t t; ;,6,6; Kako3,6 ;,6,6;, ulta hpoteza se odbacuje. Il određvajem gračh vredost krtče oblast s 0,03 k 0 t 0,5, 6 0, s 0,03 k 0 t 0,5, ,53 0, 478;05 Nulta hpoteza se odbacuje

213 Za upoređvaje dve ormale populacje, gde su matematčka očekvaja, a dsperzje pozate, korst se statstka T X X koja ma raspodelu N 0,. Za očekvaje jede od dve ormale populacje, gde su matematčka očekvaja, a dsperzje e, pozate, korst se statstka T s X X, gde je s s s, t TESTIRANJE HIPOTEZE H 0 0 Ovo je jeda od ajstarjh ajčešće koršćeh testova. Defsao ga je 900g. Prso. Kao što zamo, dsperzja kao mera rasturaja je dobar pokazatelj stablost procesa, tačost strumeata, ezavsost obeležja sl. pa se često se u prmeama pojavljuju hpoteze o dsperzj. Najčešće ptaje sa kojm se tada srećemo je, da l a osovu slučajog uzorka X, X,..., X možemo da provermo da l je proces prošao propsae grace dsperzje. U ovom slučaju se korst statstka H koja ma h-kvadrat raspodelu sa k stepea slobode. H s

214 Dvostra test Oblast prhvataja za ultu hpotezu dobja se z uslova P H k, gde se zračuava z tablca. Krtča oblast, oblast odbacvaja hpoteze H s s 0,, k, k, je 0 0 Jedostra test Oblast prhvataja za ultu hpotezu dobja se z uslova P H, gde se zračuava z tablca. Krtča oblast, oblast odbacvaja hpoteze H s je k, 0 0, f x p, k x Iz tablca za raspodelu, možemo da zračuamo tražee vredost

215 Prmer: Neka je uzet uzorak velče 0 artkala. Pod pretpostavkom da slučaja promeljva ma ormalu raspodelu, pragom začajost 0, testrat ultu hpotezu 0 a) H, b) H a) Jedostraa krtča oblast k k k 9 7, s,5, 0, 0,9 Krtča oblast se dobja z uslova P k s 0,5 3 Kako 37, ; N uzoračko odstupaje s,5, sa H protv alteratve 7, ;, ulta hpoteza se e odbacuje. b) Dvostraa krtča oblast se dobja z uslova k 9 30,44 0,05 k 9 0,7 0,95 Kako 30;0,7 30,44;, ulta hpoteza se e odbacuje TESTIRANJE HIPOTEZE H p p. 0 0 U ovom slučaju se korst statstka Z, koja ma ormalu raspodelu N(0,). Z S p p p gde je velča uzorka, S broj elemeata z uzorka koj maju sptvao svojstvo, p verovatoća. Slučaja promeljva Z ma N(0,) raspodelu

216 Testraje hpoteze se vrš u odosu a hpoteze:: Nulta hpoteza H p p 0 o Alteratve hpoteze H p p, H p p, H p p o o o Postupak je detča testraju hpoteze o matematčkom očekvaju. Prmer: Prozvođač lekova tvrd da ov lek pomaže bolescma u 90% slučajeva. Grup od 00 pacjeata dat je lek. Njh 60 je dobro reagovalo a lek ozdravlo. Da l je tačo tvrđeje prozvođača? Uzet prag začajost od 0,0. H p, a H p 0 0,9 0,9 p0,9 00 S60 S p ,9 Z 4,76 p p 000,9 0, P X z 0,0, z0,99,576 Krtča oblast je ;,576,57; ulta hpoteza se odbacuje. kako 4,76 prpada ovoj oblast ILI ap S p bp PaS b P 0,99 -oblast pq pq pq prhvataja ap a000,9,576,576 a 66,8 pq 000,90, b p,576 b 3,8 pq Kako 60 66,8;3,8 oblast prhvataja hpoteze, ulta hpoteza se odbacuje, odoso tvrđeje prozvođača je u spravo

217 Prmer: U uzorku od 3000 bacaja ovčća dobjeo je 578 grbova. Verovatoća dobjaja grba je 0,5. Testrat ultu hpotezu o broju grbova sa pragom začajost od 0,0. H p, 0 0,5 H p 0,5. S p ,5 Z,77 p p 30000,50,5 z 0,0 P Z, z0,99,33 Kako,77 ;,33, ulta hpoteza se prhvata, odoso tvrđeje je spravo TESTIRANJE NE PARAMETERSKIH HIPOTEZA Testraje parametarskh hpoteza svodlo b se a ptaje: Ako zamo da N, kolk su? eko obeležje ma ormalu raspodelu Testraje e parametarskh hpoteza svodlo b se oda a ptaje: Da l N,? obeležje ma ormalu raspodelu Zač, e parametarska hpoteza je oa hpoteza koja se odos a raspodelu verovatoća obeležja X u populacj. Testraje e parametarskh hpoteza se svod a testraje teorjske (očekvae ) raspodele u odosu a emprjsku (zmereu) raspodelu, odoso uočava razlka zmeđu emprjske- f teorjske ft -frekvece. Ako je razlka f ft mala, smatramo da je H 0 dobra da ema razloga za jeo odbacvaje, a ko je razlka velka, ma razloga za odbacvaje. Ako su podac kvaltatv l ako m dstrbucja začajo odstupa od ormale korst se raspodela

218 Teorema: Neka je slučaja promeljva X određea sa emprjskom frekvecom teorjskom frekvecom f t. Slučaja promeljva statstka Ima raspodelu H f f k r je broj stepea slobode zos, gde je r broj epozath parametara pretpostavljee raspodele, a broj elemeata uzorka. f t t f test se uvek može prmet kada je moguće zračuat teorjske frekvecje a osovu postavljee hpoteze žel utvrdt jhovo odstupaje. test korst sključvo frekvece. Hpotezu H 0 b odbacl, uz zadat prag začajost ako P H, odoso krtča oblast je r ;. Prmer: Neka je slučaja promeljva X defsaa sledećm zakoom raspodele 0 3 PX x 0,46 0,494 0,0 0,0 Na osovu mereja dobje su sledeć podac: x 0 3 f Sa pragom začajost od 0,05 sptat da l se kao stta može prhvatt hpoteza H 0 da podac dobje z uzorka maju stu raspodelu. Defšmo promeljvu H koja ma raspodelu

219 f p ft p f ft H ,64 6,4 0, ,494 49,4 0,39 0,0 0, ,0, 00 H=0,9 Broj stepea slobode je k 3, jer su sv parametr raspodele pozat, r 0. 5,99;.,0,95 5,99. Krtča oblast je H 0,9 kako 0,95,99; prpadaju populacj sa zadatm zakoom raspodele. ulta hpoteza se prhvata. Odoso uzorc f r Ako mamo dva l vše ezavsh uzoraka, problem zračuavaja je ešto složej. Za podatke koj su svrsta u tabelu sa s vrsta t koloa, tablca frekvecja b zgledala: X / Y y... y y t x f f... f t f x f f... ft f xs fs fs... fst fs g... g g t Teorjske frekvece pretpostavke H 0.se račuaju a osovu veze f g j fg j ftj pq j gde su p q j verovatoće dva zadata obeležja. Stepe slobode se račua po obrascu k s t koloa u tablc., gde je s broj vrsta, a t broj

220 Prmer: Lekar tvrde da od 80 ljud starost 40 goda slabo vd os aočare, dok kod ljud od 60 goda u grup od 90, 34 slabo vd. Da l su lekar u pravu? Broj Nose aočare Ne ose aočare 40 goda goda Frekvece Nose aočare Ne ose aočare f tj 5,9 54, f tj 9, 5, f j f tj f ft f f t f f 5,9-4,9-4,4 9,36 0, , 4,9 4,4 9,36 0, , 4,9 4,4 9,36 0, , ,4 9,36 0,38 H,09 f t t Broj stepea slobode je k s t Za 0, 05 krtča oblast za ultu hpotezu je 0,95 3,84 Kako,093,84;, ulta hpoteza se e odbacuje. 3,84;

221 9.8. VAŽNI OBRASCI Greške prvog tpa P Verovatoću obeležavamo sa ( vo sgurost-vo povereja) H odbacujemo, a tačo je 0 Greške drugog tpa P Verovatoću obeležavamo sa H 0 prhvatamo, a e tačo je. Testov o parametrma ormale raspodele X : N,, testramo, a je pozato. Ako je X H Statstka Z Z : N0, Nulta hpoteza 0 0 Alteratve hpoteze krtča oblast, z z, H,. krtča oblast z krtča oblast 0 H 0. Ako je :,, z X N, testramo, a je e pozato X s H Statstka T T : t Nulta hpoteza 0 0 Alteratve hpoteze H 0 krtča oblast, t t, - -

222 H. krtča oblast t, krtča oblast 0 H 0 3. Ako je :,, t X N, a testramo epozato X s Statstka H : k H Nulta hpoteza 0 0 Alteratve hpoteze s s H 0 krtča oblast 0,, k, k, s H 0 krtča oblast 0; k, 4. Test o proporcj Ako slučaja promeljva ma X : B, p Artmetčka sreda X uvek ma aproksmatvo ormalu raspodelu. S p Statstka Z Z N0, p p Nulta hpoteza H p p 0 0 Alteratva hpoteza Hp p0 krtča oblast, z z, H p p,. krtča oblast z krtča oblast 0 H p p 0, z - -

223 9.9. ZADACI. Ako zamo da je proseča vredost doze leka 4 gr, da l je potrebo zvršt povećavaje doze a 6gr? Za sptvaje je uzet uzorak 0 doza a osovu jega je zračuata sredja vredost doze od 4,3 gr. Doza leka ma ormalu raspodelu N,9. Uzet prag začajost od 5%. Rešeje: 4 ; 6, 4 X : N,9 ; X 4,3; 3; 0; 0, 05 H H tj H 0 Krtča oblast ulte hpoteze 0 H dobja se z uslova PZ z 0,05 Iz tablca dobjamo da je z z0,95, 64. Zač, krtča oblast ulte hpoteze je terval, 64;. Statstka: X 4,3 4 Z 0, Kako 0,36,64; leka. ulta hpoteza se e odbacuje.ne treba povećat doze 0,36 0,95, 64 0,05 krtča oblast za H o. Proseč vek trajaja sjalce je 000h, sa stadardm odstupajem od 50h. Izabra je slučaj uzorak od 00 sjalca a osovu jega je određea sredja vredost trajaja sjalce od 935h. Sa rzkom od % može l se pretpostavt da zabra uzorak odgovara stadardu? - 3 -

224 Rešeje: Neka su H H. X Z, Oblast prhvataja hpoteze je Pz Z z 0,99, z0,99,58 Kako statstka Z, tj, 6,58;,58, ulta hpoteza se odbacuje. 0,0 0,0 krtca oblast za H 0,6,58,58 3. Fabrka prozvod sjalce koje prosečo rade 0 h. sa odstupajem od 8 h Na uzorku od 44 sjalce određea je artmetčka sreda duže rada sjalca dobjeo je 5h. Sa pragom začajost 0,05 postavlja se ptaje da l se zadržat a ovom tpu prozvoda l zvršt povećaje duže rada sjalce? Rešeje: 44, X 5 ; 8 ; 0,05 H0 0 H 0 X 5 0 Z 7, Krtča oblast PZ z 0,05, Iz tablca dobjamo z, 64 oblast, 64, Kako je Z 7,5,64 ulta hpoteza se e prhvata. Zač treba promet tekuću prozvodju

225 4. Šećer se pakuje u kese omale teže od kg. Potrošač su prmetl da u pakovajma ma maje šećera. Zajuć da je stadardo odstupaje 30g, testrat hpotezu da u stadardm pakovajma ma maje šećera, a baz od 00 slučajh uzoraka. Uzet da je prag začajost 0,05 Rešeje: 000g, 30g, 00 H0 000, H 000 Zadat se može rešt određvajem grace tervala u gramma. Oblast odbacvaja ulte hpoteze se dobja z uslova: k PX k, PZ 0,05 z z, 64 0,95 k 000, 64, k Zač, ako je sredja vredost teže šećera maja od 995gr ulta hpoteza se odbacuje prhvata hpoteza H, odoso u korst potrošača 5. U automatskoj maš zrađuju se profl sredje duže 9,7cm, sa stadardm odstupajem od,4cm. Uzet je uzorak od 36 komada za jega je dobjea sredja duža od 8,93cm. Testrat hpotezu H0 9,7, protv alteratve H 9,7 sa rzkom od 0,0. Rešeje: 9, 7; X 8,93;, 4; 36; 0, 0 X Z 3,38-5 -

226 Oblast odbacvaja ulte hpoteze dobja se z uslova PZ z 0,0 z,3, 3,38,,3 Kako je 3,38,,3, hpoteza se odbacuje., 6. Rekord skoka u vs zos 8,30m. Metoda mereja vse skokova podleže ormalom zakou raspodele sa odstupajem od 0,0m. Na tregu učestvuje 6 skakača dobjee su sledeće vredost skokova u metrma: 8,9; 8,30; 8,3, 8,30; 8,3; 8,34. Na osovu dobjeh rezultata, da l možemo očekvat da će a takmčeju doć do promee rekorda. Prag začajost 0,05 Rešeje: H, H 0 8,30 8,30 8, 9 8,30 8,38,30 8,3 8,34 Sreda ovog uzorka je X 8,3, 6 X 8,38,30 0,0, Z,. 0,0 6 Oblast prhvataja ulte hpoteze je P Z z 0,95, z, 96. Kako statstka Z u okvru oblast prhvataja, tj.,96,,96 ulta hpoteza se e odbacuje, zač e očekuje se promea rekorda. 7. Proseča vek trajaja baterje je 0 h, sa odstupajem od,5 h. Izabra je uzorak od 45 baterja. Proseča vek trajaja baterje u uzorku je 9,6 h. Može l se prhvatt pretpostavka da je proseča vek trajaja dobar da je potrebo vršt poboljšavaja. Testrat a vou sgurost 5%. Rešeje: Neka su H0 0 0 H. X 9, 6 0 Z, 78,

227 Oblast prhvataja hpotezese dobja z uslova Pz Z z0,95 z,96. Kako je zračuata vredost,78,96;,96, ulta hpoteza se odbacuje. Potrebo je poboljšaje. 8. Na osovu uzorka obma 50dobjeo je sredje vreme rada maše zos 950h sa stadardm odstupajem od 00h. Na vou 5% testrat hpotezu H0 000 protv alteratve H, H H 000. Rešeje: X T, 75 s Kako je 50, možemo smatrat sa ova statstka ma asmptotsk ormalu raspodelu N 0,, T Z. a) Oblast prhvataja hpoteze se dobja z uslova Pz Z z0,95 z,96.,75,96;,96, ema razloga da se odbac ulta hpoteza. b) Krtča oblast PZ z 0,05, z,64, 75 ;, 64 Sa rzkom od 5% odbacujemo ultu hpotezu. c) Krtča oblast PZ z 0,05, z,64, 75, 64, Ne odbacujemo ultu hpotezu. 9. Na osovu uzorka obma 0 dobjeo je sredje vreme rada uređaja koje zos X 950h, sa stadardm odstupajem od s 00h. Sa pragom začajost 0, 05, testrat hpotezu da je sredje vreme rada uređaja 000h

228 Rešeje: U ptaju je Studetova - t raspodel. Podac su st kao u predhodom prmeru, jedo je uzorak maj, pa se korst Studetova raspodela bez aproksmacje. a) H 000 H 000 X T, s X 950; s 00; 0 Oblast prhvataja hpoteze je PTt, PTt 0,95 t0,95 9,79 Kako,,79;, krtčoj oblast 0,05 krtca oblast za H 0,, 79 ulta hpoteza se e odbacuje. H bh ) X 950; s 00; 0 krtca 0,05 oblast za, 79 H 0, Oblast odbacvaja hpoteze je PTt, PTt 0,05 Kako u tablcama t raspodele ema egatvh vredost, važ - 8 -

229 t 9, 79 PTt, PTt 0,95 0,95 Kako, ;,79, krtčoj oblast ulta hpoteza se e odbacuje, H ch ) ,95 H 0,09,,09 Oblast prhvataja hpoteze je P t T t, t 9,09 0,95 Kako,,09;,09, ulta hpoteza se e odbacuje. 0. Rad sptvaja spravost teže prozvedeog artkla posmatra je uzorak od 0 prozvoda dobje su sledeć rezultat u klogramma: 360; 370; 385; 367; 355; 365; 375; 330; 34; 30 Testrat hpotezu da je proseča teža artkla 350 kg sa pragom začajost %. Rešeje: X 356, s 356, ,7 s 9,4, 0 350kg Testrat hpotezu H0 350 protv alteratve 350 U ptaju je Studetova - t raspodela X 356,9 350 T, s 9,4 0 H

230 Za 0, 0 0,99, pa z tablca za studetovu-t raspodelu dobjamo t t 0,99 9 3,50. Kako je 3, 5, 3, 5, ulta hpoteza se prhvata, što zač da hpoteza da je proseča teža artkla 350kg sprava. Određvajem krtčh graca mal bsmo sledeće rešeje X k PT t P s s s 9,4 k t 350 3, 5 330, 05 0 s 9,4 k t 350 3, 5 369,95 0 X 356,9 k ; k Pa se ulta hpoteza prhvata.. Maša prozvod ploče deblje 0,5mm. Da b se proverlo da l maša dobro rad uzet je uzorak od 5 ploča a osovu jega određea je artmetčka sreda X 0,53mm sa stadardm odstupajem od 0,03mm. Testrat hpotezu da su ploče propsae deblje sa pragom začajost od 0,0. Rešeje: X 0,53mm, s 0,03mm, 5 0,5mm H0 0,5 H 0,5. X 0,53 0,5 T 5 s 0,03 5 t0,99 4,797 Kako je 5,797;,797, ulta hpoteza se odbacuje sa rzkom od %

231 . Prozvodjom va bav se 350 prozvođača u Srbj. Prosečo varja zapošljava 5 radka. U slučajom uzorku od 0 varja, proseča broj zaposleh je bo 4,8 sa stadardm odstupajem od,9 radka. Sa rzkom od 5% testrat hpotezu o prosečom broju radka. Rešeje: X 4,8, s, 9, 0, 5, 0,05 H 5 H 5. 0 X 4,8 5 T 0, 47 s, 9 0 t 9,093 0,95 Kako je 0, 47,093;,093, ulta hpoteza se prhvata. 3. Isptvae su dve metode koje određuju skrob u amrcama. Razlke u kolč skroba dobjee ovm metodama su,0,0,,,,3,-3,,,3,0,-,,-,. Testrat hpotezu H 0, da razlke su začaje, a vou 5% začajost. Rešeje: 3 Dobja se X, s,64. 4 H H protv alteratve X T 4, 77 s, 64 6 P t T t, t 5,3 0,95,77,3;,3 0, ema razloga da se odbac ulta hpoteza. 4. Izvršeo je 6 mereja pakovaja kafe od 00gr dobjea sredja teža koja zos 00,5gr sa odstupajem od,5gr.provert sa rzkom od 5% da l je očekvao odstupaje teze pakovaja začajo. - -

232 Rešeje: H, 0 00 H 0 se e odbacuje. H 00,, 34 T, t 5,3 5. Bolog je posmatrao broj X leptrova u uzorku od zabeležo sledeće rezultate. 0,95 X f a) Izračuat sredju vredost uzorka uzoračku dsperzju b) Sa 0,99 tervalo ocet sredju vredost broja leptrova populacje c) Testrat hpotezu 0 5 H protv alteratve H Prozvođač objavljuje uvođeje ove tehologje svoga prozvoda žel da dužu žvota uređaja sa sadašjh 00 sat poveća. Nov uređaj maju dužu žvota 99, 98, 0, 0, 97, 04, 03, 96, 95, 04 sat. Sa pragom začajost od 0,0 testrat hpotezu da je potrebo uvest ove tehologje. 7. Stadardo odstupaje teže paketa zos 0,5 gr. Uzet je uzorak os 0 paketa dobjeo uzoračko odstupaje od 0,3g. Može l se tvrdt da da je došlo do uvećaja stadardog odstupaja a vou od 5%? Rešeje: H H 0 0, 5 0, 5 0, 0, 5, s 0,3, 0, 05 s Uočmo statstku koja ma 00,3 3,8 0, 5 raspodelu. Krtča oblast se dobja z uslova P k 0,05, - -

233 Pa z tablca za račuamo da je 9,0,95 30, Krtča oblast je 30,; a osovu podatka z uzorka zaključujemo da 3,8 30,;. Odbacujemo ultu hpotezu. 8. Prozvod proces je stabla ako varjasa oštećeja, slučaja promeljva X, koja ma ormalu raspodelu zos. Na osovu uzorka od 5 komada zračuata je sredja vredost varjasa uzorka s, 8. Sa pragom začajost 0,05, provert da l je sstem stabla. Rešeje: 0 H H 0, 5 5,, s,8, 0, 05 s 5,8,5 P k, dobja se oblast odbacvaja polaze hpoteze. Iz uslova Iz tablca za račuamo da je 4,0,05 3,8 Kako je,5 0;3,8, ulta hpoteza se e odbacuje. Sstem je stabla. 9. Stadardo odstupaje duže trajaja sjalca zračuato je a uzorku od H protv 5 sjalca zos 0h. Testrat hpotezu 0 0 alteratve hpoteze H 0, sa pragom začajost 0,05. Rešeje: s 500,73 0 Oblast prhvataja ulte hpoteze se dobja z uslova - 3 -

234 P k s, k k 8,97 4,0,05 k,,73 8,97;3,85 Nulta hpoteza se prhvata. s,, k, 3,85 4,0,975 k, 0. Stadard predvđaju da teža prozvoda ma dsperzju 9. Uzet je slučaj uzorak obma 0 dobje su sledeć rezultat teže u gramma. 0; ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Da l se sa pragom začajost od 0,05 a osovu ovog uzorka može smatrat da je prozvodja stadarda?. Rođeje deteta je slučaja događaj. U uzorku od 000 rođeja dobjeo je 97 dečaka. Verovatoća rađaja dečaka je 0,5. Testrat ultu hpotezu da u posmatraom uzorku bude maje od 000 dečaka, sa pragom začajost od 0,05. Rešeje: H p 0 0,5 H p 0,5. Slučaja promeljva X predstavlja broj rođeh dečaka ma bomu raspodelu Aproksmraćemo je ormalom raspodelom. p0,5; 000; S 97. S p ,5 Z, 3 pq 0000,50,5 z z, 64 0,05 Kako,3,, 64 ulta hpoteza se e odbacuje

235 . Prozvođač z Beograda smatra da će jegov prozvod ako dobre reklame kupovat svak drug građa. Za proveru rezultata kampaje uzet je uzorak od 500 kupaca, od kojh je 70 kuplo prozvod ovog prozvođača. Testrat da l je reklama kampaja bla uspeša, sa dozvoljem rzkom od 5%. Rešeje: H p H p 0 0,5 0,5 p0,5; 500; S 70; 0,05 X 70 50, ,50,5 z, 96,79,96;,96 hpotezu H 0 e odbacujemo. 3. U 4040 bacaja ovčća doblo se 048 grbova ( Bufoov ekspermet ). Testrat hpotezu H0 p 0,5, protv alteratve hpoteze H p 0,5. Uzet da je rzk 5%. Rešeje: Slučaja promeljva X predstavlja broj grbova u 4040 bacaja ovčća. Ima bomu raspodelu, koju aproksmramo ormalom, sa matematčkm očekvajem p 40400,5 00 stadardm očekvajem pq 40400,50,5 00. z0,95, Z 0,88,96;,96, e odbacmo ultu hpotezu Iz pošljke olovaka, zabra je uzorak od 00 komada, među kojma je ađeo oštećeh. Hoće l kupac prhvatt ovu pošljku, ako je dogovoreo ajvše 3% škarta, sa rzkom od 5%? - 5 -

236 5. U ekoj fabrc apravljea je aalza učka prozvodje. Rukovodstvo tvrd da se 50% prozvoda urad se u prvom, % u drugom 8% u trećem pogou. Uzet je uzorak od 500 prozvoda od kojh je 75 z prvog, 45 z drugog 80 z trećeg pogoa. Testrat hpotezu H 0 da l je rukovodstvo u pravu, sa pragom začajost od 0,05. Rešeje: Verovatoće su p 50, p 8, p3, f p ft p f ft f f t f f , , , H 39,35 Stepe slobode: k r30, r je 0 jer je blo epozath parametara. 0,95 5,99, krtča oblast je 5,99; Kako H 39,35 prpada krtčoj oblast, ulta hpoteza se odbacuje. Odoso, rukovodstvo je blo u pravu što se tče procee produktvost pogoa. 6. Fabrka lekova tvrd da je ov jek dobar. Napravla je testraje o korsost ovog leka testrao je 48 lekara, o toga 6 lekara je zjavlo da je dobar, se je zjaslo 0 je odgovorlo sa e. Testrat hpotezu da ema razlke zmeđu dobjeh odgovora lekara mšljeja prozvođača. f t t - 6 -

237 Rešeje: odgovor f da 6 e ezam 0 p f f f f f t t t f f , , H=9,5 Kako je 3-= mamo stepea slobode pod pretpostavkom da je prag začajost 0,05 z tablca dobjamo 0,95 5,99 Krtča oblast je 5,99;, kako 9,505,99;, ulta hpoteza se odbacuje. 7. Fabrka čokolade sptvala je vezu ukusa pola. Tvrde da ukus e zavs od pola, U tu svrhu 00 ljud je tervjusao. U tablc su dat rezultat kako su se ljud opredeljval prema ukusu polu. Da l su u pravu predstavc fabrke? f t t Čokolada sa cra valom kafom jagodom ukupo žee muškarc ukupo Rešeje: čokolada vala kafa jagoda 3857 f tj, ,68,40 0,6 57 6,34 0,3 8,6 7,

238 f j f tj fj ftj f j f tj f j ftj 38,66 6,34 67,00,74 4 3, ,50 7,78 0,40 8,60 73,6 6,49 8 0,6 7,74 59,9 5,39 H=3,40 f tj , Stepe slobode 4 3 0,95 3 7,8 H 3,40 Kako je 3,40>7,85, H 0 hpoteza se odbacuje. 8. Želmo da testramo 4 leka za prevecju prehlade. Na prv pogled se č da je lek 3 ajefkasj. Da l je to tačo? Rad odgovora testrao je 495 ljud dobje sledeć rezultat dat tablcom: Broj ljud koj su dobl prehladu Broj ljud koj su dobl prehladu Lek Lek Lek 3 Lek f f 43 ukupo g 6 g 33 g3 05 g f f j fg j 664 6,

239 Lek Lek Lek 3 Lek4 Frekveca broja ljud koj su 6,9 7,0 3,57 6,94 64 dobl prehladu Frekveca broja ljud koj su 09,7 5,80 9,43 4,06 43 dobl prehladu ukupo Kako je (4-)(-)=3 mamo 3 stepea slobode pod pretpostavkom da je prag začajost 0,05 z tablca dobjamo 0,95 3 7,8 Hpoteza se odbacuje - 9 -

240 - 30 -

241 LITERATURA. M. Spegel, J. Schller, R. Srvasa: Probablty ad Statstcs. Schaum, Mc Graw hll, D. Dowg, J, Klark, E-Z Statstcs, Baro's Educatoal Seres, M. Merkle: Verovatoća statstka. Akademska msao, Beograd, S. Vukadovć: Elemet teorje verovatoće matematčke statstke.prvred pregled, Beograd, P. Vasć: Zadac problem teorje verovatoće. Građevska kjga, Beograd, M. Rajovć, D. Staoševć: Verovatoća statstka, teorja prmer. Akademska msao, Beograd,

242 - 3 -

243 TABLICE Tablca. Vredost k za Poasoovu raspodelu P l, k k l - l = e k! k / k /

244 Tablca. Jedosmera stadarda ormala raspodela x x P Z z p

245 - 35 -

246 Tablca 3. Dvosmera stadarda ormala raspodela x P Z z p

247 Tablca 4. raspodela P a p

248 Tablca 5. Jedosmera t raspodela p PTt p

249 Tablca 6. Dvosmera t raspodela p P T t p