ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU

Transcript

1 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU metor: Docet dr Mroslav Marć addat: Mlca Žvaovć dpl. mat. Beograd jauar 0.

2 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu SADRŽAJ UVODNA REČ...3. MOODLE UKRATKO O MOODLE-U I NJEGOVOJ INSTALACIJI OTVARANJE I UREĐIVANJE NALOGA KREIRANJE I UREĐIVANJE KURSA.... PREDSTAVNICI BROJEVNIH INTERVALA OSNOVNI POJMOVI LINEARNI RAČUNSKI PREDSTAVNICI BROJEVNIH INTERVALA NEKE TRANSFORMACIJE RAČUNSKIH PREDSTAVNIKA BROJEVNIH INTERVALA FUNKCIJA BROJEVNOG INTERVALA FUNKCIJA BROJEVNOG INTERVALA FUNKCIJA VIŠESTRUKIH INTERVALA SISTEM FUNKCIJA BROJEVNIH INTERVALA BROJEVNI INTERVALI U ALGEBRI TRINOM DRUGOG STEPENA KOREN REALNOG BROJA BROJEVNI INTERVALI I NIZOVI KOLIČNIK DVA ZBIRA ODNOS IZMEĐU ZBIRA I PROIZVODA ZBIR PROIZVODA BROJEVNI INTERVALI I ARITMETIČKA GEOMETRIJSKA I HARMONIJSKA SREDINA ARITMETIČKA SREDINA ODNOS ARITMETIČKE GEOMETRIJSKE I HARMONIJSKE SREDINE DVA BROJA...60 ZAKLJUČAK...63 IMENIK...64 LITERATURA...66

3 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 3 UVODNA REČ Ideja da radm a ovoj tem prostela je z jede dsusje sa učecma četvrtog razreda specjao-matematčog odeljeja Valjevse gmazje ojma sam mala prlu da održm eolo časova. Namera m je bla da h uvedem u oblast tervale algebre da m poažem da se sa brojevm tervalma može radt slčo ao sa občm brojevma. Kao sama tema zahteva eolo časova uvoda dosetla sam se da ašu raspravu povežem sa svojm master radom a ao da ovu deju učm još pratčjom prmeljvjom pomogao m je metor docet dr Mroslav Marć spomeuvš m platformu Moodle. Isorstla bh ovu prlu da mu se zahvalm a pružeoj podršc savetma oje m je davao tme m pomogao da oblujem svoju početu zamsao. Taoñe bh se zahvalla prof. dr Dušau Tošću prof. dr Alesadru Lpovsom oj su svojm savetma predlozma poboljšal test ovog rada. Rad obuhvata 64 strae 3 slu lteraturu od 5 bblografsh jedca. Koršćea lteratura je dostupa u bblotec Matematčog faulteta Uverzteta u Beogradu u bblotec Valjevse gmazje Gradsoj bblotec grada Valjeva ao u bblotec Istražvače stace Petca. Jeda deo avedee lterature je u eletrosoj verzj preuzet sa tereta prevede sa eglesog jeza.

4 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 4. MOODLE.. UKRATKO O MOODLE-U I NJEGOVOJ INSTALACIJI Nazv Moodle je sraćeca od Modular Object-Oreted Dyamc Learg Evromet. To je softvers paet dzajra da omoguć reraje urseva za oje je dovoljo mat pretražvač (Frefox IE Safar Opera ). Njegova upotreba b se mogla dopast aročto učecma studetma jer a jedostava ač mogu da postave razmejuju ometaršu ea ova sazaja formacje. Korsc ojma stalacja može predstavljat problem formacje o Moodle-u jegovom razvoju stalacj mogu ać a zvačom sajtu []. Moodle je besplata softver otvoreog oda za preuzmaje oršćeje modfovaje. Izmee u jegovm temama jezčm paetma modulma mogu vršt pozavaoc PHP-a CSS-a HTML-a. Prvobto je pravlje za operatv sstem Lux al razvjee su verzje za Mac OS X Wdows orse. Upozavajem sa vše verzja Moodle-a počev od.5. preo do može se uvdet ao se razvjao šta je to što se mejalo šta je ostajalo sto olo Sla. Izgled strace sa uputstvma za stalacju Moodle-a

5 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 5 pažje je polojeo om uslužom elemetu. Novje verzje Moodle-a sadrže dodata pod azvom XAMPP. Ovaj paet odgovara većem broju platform sastoj se od Apache HTTP servera MySQL baze terpretera za programse jeze PHP Perl. Uloga XAMPP dodata je da stalacju uč jedostavjom. Ao se pr stalacj a OS WdowsVsta l Wdows7 ao započetog formraja baze podataa pojav beo era stalacja eće da se astav oda se predlažu sledeć orac:. Krerat moodledata folder egde a račuaru (recmo c:\wwwroot\moodledata).. Des l a folder moodledata seletovat Propertes a potom seletovat Securty tab. 3. Klut a Everyoe (Users) a vrhu prozora (Group or User ames) a potom lut Edt. 4. Čerat Alow read ad wrte permssos for Everyoe. 5. Krerat cofg.php (sla.) u glavom Moodle folderu. U p r e t r a Sla 3. Deo eraa odoso strace a ojoj se bra jez stalacje Sla. Na slc je praza sadržaj fajla Cofg.php žvaču treba poovo uucat URL Moodle-a ( l ao čega se stalacja astavlja. Na aredoj stra ors se odlučuje za jez sajta (Sla 3.) potom se formra baza uolo ema dodath smetj pojavljuju se porue Success Ma databases set up successfully. Na jedoj od sledećh straca pojavće se forma u ojoj ors defše parametre za svoj Moodle sajt za aslovu stracu (frot page).

6 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 6 Uolo se server e poree ao prvog odjavljvaja l stopraja savet je da se zaobñe startovaje stopraje Moodle-a sa xampp_cotrol da se to uč pomoću BAT fajlova (apache_start apache_stop mysql_start mysql_stop) prazah a Slc 4. Sla 4. Kotrole za poretaje stopraje Moodle-a

7 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 7.. OTVARANJE I UREĐIVANJE NALOGA Kreraje ovog aloga (New Accout) vrš se ao stalacje Moodle-a defsaja parametara za aslovu stracu. Tpov orsčh aloga su: studets - Studet (omogućava jedo teracju sa sadržajma ursa) astavč sa dozvolom zmee sadržaja Teacher wth Edtg Permssos astavč bez dozvole zmee sadržaja Teacher wthout Edtg Permsso reator ursa Course Creator admstrator Admstrator (omogućava gotovo sve u radu sa Moodle-om) Sla 5. Kreraje ovog aloga

8 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 8 Sla 6. Modfovaje ažurraje aloga Ureñeje počete stace te otvoreog aloga omogućavaju bloov sa straa. Jeda od jh je praza a Slc 7. Klom a Podešavaje počete strae otvara se straa a ojoj se avod puo sraćeo me sajta ops počete strae sajta drugo. Na Slc 8. praza je zgled jede počete strae. Sla 7. Izgled bloa za admstracju sajta Sla 8. Početa straa ursa Predstavc brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu

9 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 9 Jeda od bloova prazah sa straa (odatle potče jhov azv sde blos) je aledar (Caledar). Ovaj dodata omogućava svm orscma da marraju bte datume dogañaje a sve to u saglasost sa tpom jhovh aloga. Tao se razluju sledeć tpov dogañaja: global dogañaj dogañaj a ursu grup dogañaj orsč dogañaj Sla 9. Pregled dogañaja u blou Kaledar Postoj još par bloova oje je moguće dodat po potreb (Sla 0. Sla.). Ne od jh su: ajovje vest atvost atv orsc porue predstojeć dogañaj prsut orsc td. Kao se z samog azva aslućuje jhova svrha je eophodo objašjavat sva posebo. Sla 0. Dodavaje bloova

10 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 0 Sla. Izgled počete strae ursa sa bloovma sa strae

11 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu.3. KREIRANJE I UREĐIVANJE KURSA Sla. Blo za ureñvaje ursa Kreraje ovog ursa omogućeo je bloom čj je azv Admstracja sajta (Admstrato bloc). Klom a l Kursev otvara se padajuć me praza a Slc. Nao la a Dodaj/ured urs otvara se prozor u om se bra ov urs l ova ategorja. U ovom orau može se odabrat ea od već postojećh ategorja pod ojom se otvara ov urs l se može formrat ova ategorja. Korecje promee se mogu vršt aado. Sla 3. Deo strace sa zahtevma za ureñvaje ursa

12 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu Sada ada je urs formra može se prstupt jegovom ureñvaju. Na Slc 3. praza su zahtev a oje ors mora odgovort da b mogao da rad a te otvoreom ursu. Kao je ova tema algebarsa ajpre je formraa ategorja Mathematcs pa je u ovru je formra urs pod pum azvom Predstavc brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu. Od orsa se zahteva rata azv oj se pojavljuje u Navgato bar-u ao ea vrsta prečce. Sraće azv ovog ursa je BIEAR. Idetfaco broj ursa uolo ga poseduje ors može uet a ovom mestu u suprotom polje treba da ostav prazo. Što se Rezmea tče potrebo je urato opsat ameu clj postavljeog ursa. Pod Formatom se bra og obla će bt urs. Ne od pouñeh ajčešće oršćeh su: temats format (Topc) sedmč format (Weely) društve format (Socal) Format oj je bo ajpogodj za zradu ove teme je temats format (Topc) u ome je zabrao 0 tema:. Uvod. Račus predstavc brojevh tervala 3. Nee trasformacje račush predstava brojevh tervala 4. Fucja brojevh tervala 5. Brojev terval u algebarsom račuu 6. Brojev terval zov 7. Brojev terval artmetča geometrjsa harmojsa sreda 8. Brojev terval e algebars odos 9. Zaljuča 0. Preporučea lteratura

13 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 3 Nao zabraog formata reñaju se: Broj sedmca/tema Datum početa ursa Dodac za ups Obavešteje o steu upsa a urs Grupe Dostupost Jez td. Alat oj će bt od vele orst za sreñvaje avedeh tema praza su a Slc 4. Kao b ov smbol za edtovaje bl dostup potrebo je lut a Uljuč ureñvaje (Tur edtg o) u gorjem desom uglu. Strelce omogućavaju orsu pomeraje tema udeso avše l aže odoso promeu jhovog redosleda; - omogućava ettovaje teme; - brsaje atvost; - omogućava srvaje atvost od studeata l poovo prazvaje atvost uolo je već bla srvea; oačo - služ za prazvaje grupa. Sledeće dve opcje vrede pomea su Dodavaje atvost (Add a actvty) Dodavaje resursa (Add a resourse) prazae a slama Pod dodavajem atvost podrazumeva se dodavaje: Sla 4. Smbol za edtovaje testa baze podataa foruma zbora lecja prčaoca reča testa Sla 6. Dodavaje resursa upta zadataa Sla 5. Dodavaje atvost Za urs Predstavc brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu ajprladje je blo zabrat atvost Lecja (Lesso Module). Kl a ovaj l z gore

14 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 4 prazaog padajućeg meja vod a stracu a ojoj se popujava prvo azv lecje. Na ovootvoreom prozoru pouñee su opcje za: ocejvaje otrolu toa lecje formatraje lecje otrolu prstupa td. U ovru lecja mogu se dodat: ptaja grupa ptaja tabela graaja straca sa ptajem. U zad avedeom ursu ajčešće su zastupljee lecje sa tabelom graaja l stracom sa ptajma. Kreraje lecje ors počje lom a ocu. Odavde odlaz a ovu stracu (Sla 7.) a ojoj će prmett prostor za uos testa ešto slča Mcrosoft Word-u. Sa dodatom se možda veća orsa je susretala. Njegova svrha je da orsa prebac u HTML edtor uolo ma potrebu za tm.

15 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 5 Sla 7. Izgled prostora za uos podataa Korscma oj će Moodle orstt za reraje lecja z prrodh aua (matemate fze hemje jma srodh) zaps formula se može a prv pogled učt problematča. Postoj vše ača modula oj mogu omogućt jedostava zaps složeh matematčh formula. Pošto Moodle podržava Tex Algebarsu otacju reator urseva moraju zahtevat od admstratora da atvra ove fltere uolo već je. Na početoj stra u blou Admstracja sajta (Admstrato bloc) potrebo je zabrat Module. U padajućem meju lom a Fltere (Flters) otvara se straca prazaa a

16 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 6 Slc 8. Potrebo je atvrat flter pod azvom Tex otacja Algebarsa otacja. Sada je sve spremo za uos matematčh formula svaao pod uslovom da ors za da rad u Tex-u. Formule se prlom uosa ucaju uutar [tex] [/tex] (prazao a Slc 7.)[]. Sla 8. Atvacja potrebh fltera Uolo ors e pozaje rad u Tex-u postoj vše ača da ubac potrebe formule. Ne od jh su stalacja dodath modula tj. fltera ao a prmer: TyMCE A Wyswyg Equato Edtor fully worg HTML edtor FCK edtor td. Navede flter se mogu preuzet sa već spomeute teret strace a ojoj se mogu ać uputstva za jhovo stalraje []. Ovm se završava ovo rato zlagaje o Moodle-u. Namera je bla da se dotau sv bt alat opcje mogućost oje Moodle ma pruža ao b rad s jm bo što prjatj jedostavj.

17 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 7. PREDSTAVNICI BROJEVNIH INTERVALA Za brojeve oj maju besoačo mogo decmala za oje je uočea ava zaotost može se fsrat samo jeda broj razma odoso razma a brojevoj pravoj za oj se može tvrdt da se pomeuta velča sguro alaz u jemu. Kao ajčešć prmer uzmaju se brojev l π. Kada pred oč padu sve moguće greše oje b se mogle sprečt pr rešavaju eog problema deja za uvoñeje brojevh tervala je sasvm prroda razumljva []. Ne od mogućh problema a oje se može ać su: epozate velče po samoj svojoj prrod javljaju se ao brojev terval eada sam uslov zadata e zahtevaju tačo odreñvaje epozath velča ada je epozatu z eh razloga emoguće tačo odredt ada je epozata tave prrode da je dovoljo ać dovoljo suže brojev terval u ome se oa reće pa se odmah l zom eh račush radj dobje jea tača l prblža vredost Rad lustracje eh jedostavjh problema avešćemo par prmera. Prmer.. Odredt vredost y za oje će vadrata jedača x - x y - 7y 7 = 0 mat reale razlčte oree. Potrebo je dovoljo da y lež u tervalu zmeñu 6 a to se lao može poazat pomoću dsrmate za oju treba da važ Dale: D = 4 4( y 7y 7) = 4y 8y 4 = 4(6 y )( y ). Pojam broj razma preuzet je z radova Mhala Petrovć Alasa. Daas b se umesto ovog možda eome arhačog terma orsto term brojevog tervala.

18 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 8 Prmer.. Stepe red sa poztvm oefcjetma a 0 a xa x... bće overgeta ao se x alaz u brojevom tervalu ( R R) gde je R= lm. Slčo red će bt dvergeta ao se x alaz va tog tervala odoso radjusa overgecje [3]. Prmer.3. Za vele vredost je tešo zračuat! oj tada ma vel broj cfara. Stoga je eada jedostavje orstt čjecu da! uve uzma vredost oja se reće zmeñu sledeće dve [3]: a e <! < e.

19 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 9.. OSNOVNI POJMOVI sledeć ač: Nea je dat terval ( b). a Fucja ( λ ) ) za λ = λ a a za λ = λ b f a ovom tervalu se može formrat a ) do λ uzma vredost z tervala fucja dobja vredost z tervala ( a b). Tao dobjea fucja f ( λ ) azva se račus predstav tervala ( b) ( λ λ ) se azva parametars terval [7 0]. Uolo se sa ozače sledeć zraz α λ λ λ λ = β predstav tervala ( a b) mogla b se uzet blo oja od sledećh fucja: f = α a β b ) ( ) λ m m f = ( a b ) m m N a 0 b 0 ) ( ) λ 3) ( ) λ α α β f = a b. β a a terval λ λ = za račus λ λ Sva račus predstav tervala ( a b) ma osobu da može uzet blo oju vredost u tom tervalu ada se za parametar λ uzme podeso odabraa brojeva vredost z tervala ( λ λ ). Prmer... Iterval (5) maće za svog račusog predstava sa parametarsm tervalom (3) fucju ( ) λ 3 λ f = α 5β gde su α = β = λ odoso: f ( λ ) = 3 λ 5 λ = 6 λ 5λ 5 = 3λ. Na osovu prethodog prmera mogao b se postavt sledeć zahtev (Sla 9.):

20 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 0 Sla 9. Izgled jedog postavljeog zahteva u Moodle-u Sa račusm predstavcma brojevh tervala može se račuat ao sa občm brojevma. Ova čjeca predstavlja jeda od razloga za jhovo uvoñeje. Predstavc brojevh tervala ao što se može vdet z prložeog su šta drugo do fucje defsae a tm tervalma. Kao je leara fucja jeda od prvh sa ojom se srećemo u aredoj glav uvod se pojam learog predstava brojevog tervala.

21 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu.. LINEARNI RAČUNSKI PREDSTAVNICI BROJEVNIH INTERVALA Ao je f ( λ ) leara fucja po paramatru λ obla ( λ ) v vredost ezavse od λ odreñee za dat terval ( a b) oda je: u λ v = a u λ v =. Odavde se zom jedostavh trasformacja: u = a λv a λ = v v λv b ( λ λ ) = b a b f = u vλ gde su u dobja: b a v = = b a λ λ λ λ λ λ λ λ u = a b. λ λ λ λ Izdvojmo sada dva jedostava slučaja u zavsost od vredost oje uzma parametar λ. Slučaj. Nea su λ = = fucja: λ tada je račus predstav brojevog tervala ( a b) ( ) λ f = u vλ gde je: odoso: a = u v b = u v b a b a u = v = a parametars terval je (-).

22 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu Možemo prmett da su rajev tervala ( a b) smetrč u odosu a sredu tog tervala. Uolo b se tražlo da je fucja za λ = za λ = a tervalu Kao je dobl bsmo: a < b v će bt veće od 0 ( v >0). u v = a u v = b. Uolo b se tražlo da je za za a tervalu dobl bsmo: u v = a u v = b. Kao je a < b u ovom slučaju v će bt maje od 0 ( v <0). Slučaj. Nea su λ = 0 =. fucja: gde je λ U ovom slučaju račus predstav tervala ( b ) a je ( ) λ f = u vλ u = a v = b a a parametars terval je (0). Tada je a = u b = u v što am poazuje da su rajev tervala ( a b) esmetrč u odosu a vredost u. Uolo se traž da je za λ = 0 za λ = dobja se: Kao je a < b oda sled da je v > 0. u = a u v = b. Slčo tome uolo se traž da je za = Kao je a < b odavde sled da je v < 0. u v = a u = b. λ f ( λ ) = b za λ = 0 tada se dobja: Iterval oj su oršće u avedem slučajevma odabra su ao ajjedostavj predstavc s jede strae smetrčh tervala tj. tervala obla s druge strae oh esmetrčh a oje se češće alaz. Zbog svoje jedostavost

23 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 3 fucje f ( λ ) dobjee u prethoda dva slučaja azvamo ormalm račusm predstavcma tervala ( a b). Fucju: sa parametarsm tervalom ( ) predstavom a fucju: b a b a f ( λ ) = u vλ u = v = ( ) λ sa parametarsm tervalom ( 0) predstavom tervala ( a b) [5 7]. λ azvamo smetrčm ormalm račusm f = u vλ u = a v = b a λ azvamo asmetrčm ormalm račusm Dalje u testu sa ω ćemo ozačavat broj oj prpada tervalu (-) a sa θ broj oj prpada tervalu (0). Uvoñejem ω predstave tervala ( a b) možemo zapsat a sledeć ač: ) smetrč ormal predstav: b a b a ω = u ωv θ smetrče esmetrče ormale gde čla u predstavlja sredu tervala ( a b) a čla v jegovu poludužu. ) esmetrč ormal predstav: ( b a) = u θv a θ gde čla u predstavlja predj raj tervala ( a b) a čla v jegovu dužu. Prmer... Smetrč ormal predstav tervala ( b) asmetrč ormal predstav stog tervala b bo θ b. Prmer... Smetrč ormal predstav tervala ( a a) ormal predstav stog tervala je ( θ ) a. ω 0 je obla b je ωa a asmetrč a

24 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 4 Prmer..3. Ao je x broj sa p decmala taav da je: gde x = m a aka p m Ζ a a je jegova -ta decmala [6] oda se x se alaz zmeñu brojeva: m a aka 0 < x < m a aka 999K p p Smetrč ormal predstav ovog tervala je: 5 m aak a p 0 ( ω) ω. p 0 Asmetrč ormal predstav gore avedeog terval je: m a θ K a p 0 0 θ. 0 a p Prmer.3.4. Broj 34 predstavlja broj π zapsa sa tr decmale pa možemo reć da se broj π alaz zmeñu brojeva: Normal predstavc ovog tervala su: 34 < π < 34. smetrč: 345 ω asmetrč: 340 θ 000.

25 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 5 Sla 0. Deo lecje Lear račus predstavc brojevh tervala 3. NEKE TRANSFORMACIJE RAČUNSKIH PREDSTAVNIKA BROJEVNIH INTERVALA Nea su λ µ dva promeljva parametra dva račusa predstava jedog stog brojevog tervala ( a b) a ( λ ) ( ) λ µ µ parametars terval. Ptaje oje se prrodo ameće je - da l postoj ea veza zmeñu ovh elemeata? Pošto su fucje f ( λ ) ϕ ( µ ) defsae a sledeć ač: prmetmo da je: f ( λ ) = a ϕ ( µ ) = a f ( λ ) = b ϕ ( µ ) = b f ( λ ) = ϕ( ) ( λ ) = ϕ( ) µ f. µ

26 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 6 Na osovu ovao uspostavljee veze može se odredt terval ( λ λ ) parametra λ uolo je pozat terval ( µ µ ). Naravo važ obruto. Tvrñeje 3.. Nea je dat račus predstav tervala ( a b) u oblu fucje f ( λ ) sa parametarsm tervalom ( λ λ ). Tada je ormal smetrč obl ovog predstava fucja: ϕ ( ω) ( λ ) f ( λ ) f ( λ ) f ( λ ) f = ω ω. Doaz (Sla.): Traže predstav će bt obla: Kao je: ( ω) u ωv ϕ = ω. λ ) = ( ) = u v f ( λ ) = ϕ( ) = u f ( ϕ sabrajem ove dve jedače dobja se: ( λ ) f ( ) u = f λ v a jhovm oduzmajem: u = f ( λ ) f ( λ ) ( λ ) f ( ) v = f λ pa je traže predstav: v = f ( λ ) f ( λ ) ϕ ( ω) ( λ ) f ( λ ) f ( λ ) f ( λ ) f = ω ω.

27 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 7 Sla. Izgled doaza Tvrñeja 3.. u Moodle-u Tvrñeje 3.. Nea je dat račus predstav tervala ( a b) u oblu fucje f ( λ ) sa λ parametarsm tervalom ( λ ). Normal asmetrč obl ovog predstava je fucja: ϕ = [ ] 0 θ. ( λ) f ( λ ) θ f ( λ ) f ( ) λ Doaz: Traže predstav treba da bude obla: Kao je: dobja se da je: ( θ ) u θv ϕ = 0 θ. ( λ ) = ( 0) u f ( λ ) = ϕ( ) = u f = ϕ v u = f ( ) v = f ( λ ) f ( ) λ λ pa je traže ormal asmetrč obl predstava tervala ( a b) fucja obla: ϕ ( θ ) f ( λ ) θ[ f ( λ ) f ( )] = 0 θ. λ

28 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 8 ω = ω ω Tvrñeje 3.3. Nea je dat smetrč ormal predstav f ( ) u v tervala ( a b). Asmetrč ormal obl ove fucje je: Doaz: Tražea fucja će bt obla: Iz: sled da je: odoso: ( θ ) u v θv ϕ = 0 θ. ( θ ) u' θv' ϕ = 0 θ. u' = u v v' = u v ( u v) v ' = v pa je traže asmetrč ormal obl avedee fucje f ( ω) fucja: ( θ ) u v θv ϕ = 0 θ. θ = θ 0 θ Tvrñeje 3.4. Nea je dat asmetrč ormal predstav f ( ) u v tervala ( a b). Smetrč ormal obl gorje fucje je fucja: Doaz: Iz: sled: v v ϕ ( ω) = u ω ω. f ( 0) = ϕ( ) f ( ) = ϕ( ) u = u' v' u v = u' v'.

29 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 9 Sabrajem ovh dveju jedača dobjamo: a oduzmajem sth: pa je traže ormal obl polaze fucje: u v v u' = = u v v ' = v v ϕ ( ω) = u ω ω. θ ' Prmer 3.. Kao je! = π e 0 θ ' može se ać asmetrč ormal predstav za![3]. Uvoñejem da je N= π e! zapsujemo ao θ '! N e =. Nea je: f λ ( λ) N e = 0 λ ( θ ) u θv ϕ = 0 θ. Kao je: ( 0) = ϕ( 0) f tj. N = u ( ) = ϕ( ) f tj. N e = u v dobjamo da je: u = N v = N e. Stoga je traže asmetrč ormal predstav za!:

30 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 30 = e N e N N θ θ 0 θ. 4. FUNKCIJA BROJEVNOG INTERVALA 4.. FUNKCIJA BROJEVNOG INTERVALA

31 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 3 Defcja 4... Nea je z = ( x y) jeda brojev terval. Fucja ( z) f će bt jeda brojev terval obla ( N M ) gde je N ajmaja vredost a M ajveća vredost oju fucja f ( z) dobja ada z uzma vredost od x do y. Navede terval za smetrčog ormalog predstava maće zraz: Z M N M N = f ω ( z) = ω a za asmetrčog ormalog predstava zraz: U slučaju da je ( z) ( z) = N θ ( M N ) 0 Z = f θ. f mootoo rastuća fucja promeljve z u tervalu ( x y) bće: N = f ( x) f ( y) a u slučaju mootoo opadajuće fucje bće: M = N = f ( y) f ( x) M =. Ao f ( z) je mootoo rastuća mootoo opadajuća fucja tj. ao ( z) eo z = ( x y) masmume oj su već od obeju vredost ( x) uzet ajveć od th masmuma. Isto tao ao f ( z) ma za eo z ( x y) su maj od obeju vredost ( x) [8 9]. f ma za f f ( y) oda za M treba = mmume oj f f ( y) oda za N treba uzet ajmaj od th mmuma Prmer 4... Ao je z = u θv 0 θ ormal asmetrč predstav jedog tervala odredt vadrat tog predstava z ( u θv) Iz: sled: = = 0 =. θ f ( 0) = N = u θ f ( ) = N M N = M = ( u v) M N = v uv

32 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 3 z = u θ '( v uv) 0 θ '. Prmer 4... Ao je z = u ωv ω ormal smetrč predstav eog tervala odredt z ( u ωv) Ao je: oda se dobja: =. ω f ( ) = = ( u v) = = M N N = M N ( u v) M N M N ω f ( ) = = ( u v) ( u v) M = M N M N z = ω' = u v uvω' ω '. Prmer Nea je = u θv 0 θ Kao je 0 θ za: dobjamo: pa je: z ać ( ) 3 = θ f ( ) = N = 0 z = θ. 3 u v 3 0 N = u θ f ( ) = N M N = M M = ( u v) M N = 3u v 3uv v 3 ( 3u v 3uv v ) θ ' = 0 θ '. 3 3 z u 3 z Nać z = ( u v). Prmer Nea je = u ωv ω. Kao je ω za: 3 ω 3 3

33 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 33 dobjamo: ω f ( ) = = N N = ( u v) = = M N M N ω f ( ) = M M = ( u v) 3 3 M N u = 3 3u v 3uv v 3 u 3 3u v 3uv v 3 = u 3 3uv M N = 3u v v 3. Koačo je: 3 3 ( u 3uv ) '( v 3u v) = ω ω '. 3 z Prmer Nea je z = u θv 0 θ > 0 v > 0. Za: dalje dobjamo: θ ( z) N = = 0 θ ( z) M u Nać z = log( u θv) f = N = log u f = M = log( u v) log z = logu θ ' ( log( u v) logu) v log z = logu θ ' log 0 θ '. u log. Prmer Nea je z = u θv 0 θ. Nać Za: e z u θv = e. θ ( 0) N = 0 = u f = N = e θ ( ) M u v f = M = e dobja se: e z v ( e )0 '. u u = e θ ' e θ

34 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 34 Na Slc. praza je prethod prmer u Moodle-u: Sla. Prmer Prmer u Moodle-u

35 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu FUNKCIJA VIŠESTRUKIH INTERVALA Defcja 4... Nea su z = ( x ) z = ( x ) dva data tervala. Fucja f ( ) y y z z dveju promeljvh bće jeda terval ( N M ) gde je N ajmaja vredost a M ajveća vredost fucje f ( z z ) ada z uzma vredost z tervala ( ) vredost z ( x y ). Navede terval za asmetrče ormale predstave ma zraz: ( z z ) = N θ( M N )0 Z = f θ. x y a z uzma Ao su terval z z sam dat svojm asmetrčm ormalm predstavom: oda će bt: z u θv = z = u θ θ θ v 0 x = u y = u v x = u y = u v. U slučaju da je f ( z z ) mootoo rastuća fucja promeljvh z z a tervalma ( ) y x ( x ) bće [8 0 7]: y pa je asmetrč predstav tervala: ( x x ) f ( u ) N = f = u ( y y ) = f ( u v u ) M = f v Z ( z z ) = f ( u u ) [ f ( u v u v ) f ( u u )] = f θ. U slučaju da je f ( z z ) mootoo opadajuća fucja promeljvh z z a tervalma ( ) y x ( x ) bće [8 0 7]: y pa je asmetrč predstav tervala: ( y y ) = f ( u v u ) N = f v ( x x ) f ( u ) M = f = u

36 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 36 ( z z ) = f ( u v u v ) [ f ( u u ) f ( u v u v )] Z = f θ. Prmer 4... Nea je z = u θv z = u θ v 0 θ θ. Nać Z = z z. Za: N = u u M = u u v v je: Z = u u θ ( v ) 0 θ '. ' v Prmer 4... Nea je z = u θv z = u θ v 0 θ θ. Nać Z = z z. Za: N = u u M = ( u v )( u v ) dobja se: Z = u u θ ( u v v u v ) ' v 0 θ '. Sla 3. Prmer 4... Prmer 4... u Moodle-u

37 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 37 Prmer Nea je z = u θv z = u θ v 0 θ θ. Za: N = u u Nać Z = z z. dobja se: ( u v ) ( u ) M = v ( u v ) ( u v ) u Z = u u θ ' u 0 θ '. Sla 4. Prmer 4..3 u Moodle-u

38 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu SISTEM FUNKCIJA BROJEVNIH INTERVALA Defcja Nea je dato tervala z ( x y ) z = ( x y ) z = ( x y ). fucje f ( z z K z ) f ( z z Kz ) K f ( z z Kz ) p = K Tada če sstem od p dath fucja th tervala gde svaa od fucja promeljva z varra u svom tervalu ( ) f ma svoj terval x. y Z u om varra do svaa Ozačmo sa N M ajmaju ajveću vredost oju dobja fucja f ada sve promeljve z z Kz varraju u svojm tervalm. Asmetrč ormal predstavc sstema fucja f f K f bće zraz: Z = ( z K z ) = N θ ( M ) f f N Z = ( z K z ) = N θ ( M ) N ( z K z ) = N ( M ) Z = θ 3 f N3... Z p p ( z K z ) = N ( M N ). = f θ p p p p Uolo se zaju rajev x y tervala z bće: z = u θ ' v gde su u v odreñe pomoću y x jedačama: x = u y u v =. Uolo je ea od fucja f mootoo rastuća l opadajuća odgovarajuće vredost N M odreñuju se a već prethodo praza ač.

39 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 39 Sla 5. Izgled lecje Sstem fucja brojevh tervala u Moodle-u

40 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu BROJEVNI INTERVALI U ALGEBRI 5.. TRINOM DRUGOG STEPENA Na tervale ao rešeja eh zadataa alaz se u zadacma u ojma se traže uslov za realost poztvost l egatvost ula datog poloma. Uolo oefcjet poloma sadrže promeljv parametar oda b se ao rešeje ovave algebarse jedače dobo terval u ome se alaz vredost parametra. Prmer 5... Nea je dat polom drugog stepea ax bx c gde su sv a b c z R. Obe ule ovog poloma su reale suprotog zaa ao je b 4ac > 0 ac < 0. Da b to bo slučaj sa tromom: ( α 5) x 4αx α potrebo je dovoljo da se vredost α alaz u tervalu (5) tj. da je: α = 3θ 0 θ. Prmer 5...[] Nea je dat trom: ( 4 α ) x 3x α 4. Potreba dovolja uslov da ovaj trom ma omplese ule je da se α alaz u tervalu tj. da je: 55 α = ω ω.

41 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 4 Nea je potrebo odredt masmum mmum leare fucje ( x y) ax by c gde su pomeljve x y vezae vadratom relacjom: Ax Bxy Cy Dx Ey F = 0. f = Najpre se postavlja sledeća jedača: f ( x y) = α. Elmacjom jede promeljve recmo y dobja se vadrata jedača po epozatoj x : Mx Nx P = 0 gde je P polom drugog stepea po parametru α oefcjet N leara fucja od α a oefcjet M ezavsa od α. Zadata se sada svod a odreñvaje tervala u ome treba da se alaz α da b promeljva x odreñea gorjm jedačama bla reala. Predj raj tog tervala predstavljao b mmum a zadj raj masmum fucje ( x y) Uslov za to je: tj. 4N 4MP > 0 f. N MP > 0. Kao je N MP polom drugog stepea po parametru α zadata se dalje rad slčo ao u prethodom prmeru. Rešavajem ovog uslova dobja se terval čja doja graca predstavlja mmum a gorja masmum date fucje. Prmer 5..3.[4] Nea se traže masmum mmum fucje: f ( x y) = y x gde su promeljve x y vezae relacjom: 36x 6y 9 = 0. Elmacjom promeljve y sa y = α x dobja se vadrata jedača: 36x 6 α x ( ) 9 = 0

42 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 4 Kao je: tj. sled da x 6α 64xα 64x 9 = 0 00 x 64αx 6α 9 = 0. ( 64α ) 4006 ( α 9) > 0 ( 5 4α )( 5 4α ) > 0 α. Mmum fucje ( x y) za ma oju vredost x. f je 5 f ( x y) = ω ω a je masmum. Pa je: 4 4 Sla 6. Izgled Prmera u Moodle-u

43 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 43 Ovaav ač odreñvaja mmuma masmuma fucje oj e zahteva upotrebu zvoda može se prmet šre a e samo a polome prvog drugog stepea. Aalogo prethodom mogu se odredt mmum masmum fucje: f ( x y z... ) u ojoj su promeljve x y z... vezae em datm relacjama čj je broj za jeda maj od broja promeljvh. Nea je dat trom ax bx c gde su a b c z R. Za oje vredost x će ovaj trom uve mat vredost sadržau u datom tervalu (A B)? Traž se da je: tj. da je stovremeo spujeo: Prmer Da b se vredost troma: A < ax bx c < B ax bx c A > 0 ax bx c B < 0. x 4x 50 alazla u tervalu (5 6) potrebo je dovoljo da bude: x 4x 50 5 > 0 x 4x 50 6 < 0 x 4 x 45 > 0 x 4x 4 < 0 ( x 5 )( x 9) > 0 ( )( x ) < 0 x. Odavde dobjamo da x ( 5) ( 9 ) a z druge x ( ) terval u om mora bt sadrža x : ( 5) ( 9 ) x.. Prese ovh tervala daje

44 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 44 Sla 7. Izgled dela strace sa Prmerom u Moodle-u 5.. KOREN REALNOG BROJA Nea za x R važ da je x > 0. Prema Beruljevoj ejedaost [] je: ( x) x gde jedaost važ za x = 0 l za = 0 l za =. h Uolo se zame sa x = dobja se: a odavde važ: h h h za ma avo h. Nea je z blo oj broj već od. Ao se uvede smea h = z dobja se: h Odavde sled: z z. z θ = z θ ( )0.

45 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 45 Ao je z poztva broj maj od uzmu l se u ejedač recproče vredost dobja se: Uolo je:. h h = z < h odoso: dobja se: z z z z z = θ θ ( ) ( )0 z gde z tež jedc ada tež besoačo. Dobje obrasc su od orst za prblžo odreñvaje -tog orea datog broja.

46 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 46

47 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu BROJEVNI INTERVALI I NIZOVI 6.. KOLIČNIK DVA ZBIRA Tvrñeje 6... Nea je b... b b a a... a jeda z realh brojeva ma avog zaa ea su λ λ... λ dva za realh poztvh brojeva. Ozačmo sa N M a a a ajmaj ajveć meñu brojevma.... Tada uve važ: b b b λ a λ b λ a λ b... λ a... λ b = N θ ( M N )0 θ za ma ave člaove za a. Doaz: Kao je da važ: N a b M dalje sled: aλ Nλ b Mλ Nλ b a λ Mλ b. Mejajuć od do dobja se: Nλ b b aλ Mλ... Nλ b a λ Mλ b.

48 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 48 Sabrajem ovao dobjeh ejedaost dobja se: N ( λ b λ b ) a λ... a λ M ( λ b... λ b ).... Deljejem posledje ejedaost zbrom: dobja se: Odavde sled: λ b... λ b aλ... aλ N b λ... b λ M. a λ... a λ b λ... b λ = N θ ( M N )0 θ. Posledca 6... Uolo je λ λ =... = λ tada važ: = = a... a b... b = N θ ( M N )0 θ. Prmer 6... U slučaju dva para brojeva a a b b od ojh je prv ma og zaa važće: a b a b = N θ ( M N )0 θ gde je N maj a M već od brojeva a a b b. Sla 8. Posledce Tvrñeja 7...

49 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 49 Prmer 6... Nea je:... 3 = = = = x x x λ λ λ λ 0 > x. Ao je: ( )... 0 x f x a x a x a a = ( )... 0 x x b x b x b b ϕ = gde su oefcjet a real ma avog zaa a b real poztv oda je: ( ) ( ) ( ) 0 = θ θ ϕ N M N x x f gde N ozačava ajmaj a M ajveć od brojeva: b a b a b a Prmer Na osovu prethodog možemo zaljučt da vredost racoale fucje: x x x x x x uve lež u tervalu

50 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu ODNOS IZMEĐU ZBIRA I PROIZVODA Nea je a a... a jeda z poztvh brojeva. Zbr elemeata ovog za ozačmo sa: S = a... a a a sa P sledeć prozvod: ( a )( a )( a )...( ) P = 3 a. Iz: zaljučuje se da važ sledeća ejedaost: ( a )( a ) = a a a a ( a )( a ) > a a. Možejem ove ejedaost sa a dobja se: 3 ( a )( a )( a3 ) > ( a a )( a3 ) > a a a3. Nastavljajuć postupa dolaz se do ejedaost: Iz: P > S. e x x =! x! 3 x 3!... sled: e x > x. Uolo se umesto x mejaju vredost a a... a : e a > a

51 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 5... a e > a pa se tao dobjee ejedaost zmože dobjamo se sledeća ejedaost: Odavde je: pa se P može zapsat ao: Uolo se uvedu sledeće smee: z jedaost: se dobja: Q = ( a )( a )... ( a ) a... a e > e S > P. S < P < S e S ( e S) 0. P = S θ θ a = b b b... b = T = S b b... b = Q = P s ( S ) θ ( e S )0 P = θ T ( T ) θ ( e T )0 θ čme je ostvarea veza zmeñu zbra prozvoda prozvoljog broja poztvh brojeva. U slučaju da su odos zbra prozvoda: a a... a poztv brojev maj od jedce dobjamo još jeda S = a a... a ( a )( a )...( ) Q = a. Iz:

52 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 5 sled: ( a )( a ) = ( a a ) a a ( a )( a ) > ( a ). a Možejem ove ejedaost sa a dobja se: 3 ( a )( a )( a ) > [ ( a a )]( a ) > ( a a a ). 3 3 Nastavljajuć postupa dolaz se do ejedaost: a ao je Q < dobja se: odoso: Q > S S < Q < ( S ) θs0. Q = θ 3

53 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu ZBIR PROIZVODA Nea su a... a a b b... b dva za realh brojeva ma og zaa ea je: P = a b a b... a b. Iz: = = = ( a b ) = a b P ( a b ) = a b P = = = dobja se da je: P = 4 = = ( a b ) ( a b ) Ao se sa N M ozače ajmaja ajveća apsoluta vredost zbrova: a sa N ' a b a b... a b M ' ajmaja ajveća apsoluta vredost razla: dobjaju se ejedaost [7]: a b a b... a b. 4 ( N M ' ) P 4 ( M N' ) P gde jedaost važ za a b a b = j j = j j a b a b tj. ada su sv brojev a meñu sobom jeda a sto tao sv b. P se sada može zapsat: [ N M ' θ ( M M ' N N' )]0. P = θ 4

54 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 54 Posmatrajuć zraz: ( a b λ) ( a b λ)... ( a b ) λ može se zaljučt da o e može bt jeda ul za avu vredost λ jer su mu sv člaov poztv. To zač da vadrata jedača: gde je: ema realh orea jer je: Cλ Bλ A = 0 A = a a... a C = b b... b Odavde dobjamo Košjevu ejedaost []: B = ab ab... a b = P 4B 4 AC < 0. ( a a a )( b b... b ) P... <. Iz prethode ejedaost ejedaost ( N M ' ) P z tervala: 4 sled da P uve uzma vredost 4 ( N M ' ) AC.

55 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 55 Sla 9. Izgled lecje Zbr prozvoda u Moodle-u

56 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu BROJEVNI INTERVALI I ARITMETIČKA GEOMETRIJSKA I HARMONIJSKA SREDINA 7.. ARITMETIČKA SREDINA Prsetmo se formule z glave 6..: aλ... aλ b λ... b λ = N θ ( M N )0 θ. Ao se uzme da je: λ λ =... = λ b b =... = b = = = = dobja se: a a... a = N θ gde su N M ajmaj ajveć meñu brojevma ( M N )0 θ a... a a. Ovo zač da se artmetča sreda jedog za brojeva uve alaz u tervalu zmeñu ajmajeg ajvećeg člaa tog za. Grace tervala se dostžu u slučaju ada su sv M=N pa se grace stapaju u jedu. Izraz: ( a b) a b za ma ave reale brojeve a b je jeda većem od jh. Ao je a meñusobo jeda. Tada je a > b oda je zraz jeda broju a obrato ao je a < b zraz je jeda broju b. Uolo b važlo a = b tada b se vredost zraza polopla sa oba ova broja.

57 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 57 Ao se sa M obelež ajveć meñu brojevma a a... a oda važ ejedaost: ( a a ) j a a j M za sve sve j. Uolo se des j fsra a za se uzmu redom vedost pa se potom dobjee ejedaost saberu dobja se: ( a a j ) a a j M = = a a j = = a a j M. Ao se sada u posledjoj ejedaost meja des potom se dobjee ejedaost saberu dobja se: redom vredostma... a a a j = j= = j= a a j M. Kada se ovodobjea ejedaost podel sa oda se dobja: a j = j= = j= a a a j M. Ozačmo sa: A = a a... a artmetču sredu brojeva a a sa R sledeć zraz: R = = j= a a j. Sada dobjamo da važ: A R M tj.

58 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 58 A M R. Ovm je añea gorja graca za A. Kao b se dobla doja graca za A treba posmatrat zraz : ( a b) a b za ma oje brojeve a b. Uolo je a < b zraz dobja vredost a obrato uolo je a > b zraz je jeda broju b. Ao se sa N ozač ajmaj meñu brojevma a a... a oda važ sledeća ejedaost: ( a a ) j a a j N za sve j z supa N. Slčo prethodom postupu uolo se fsra des j a redom meja sa vredostma pa se potom dobjee ejedaost saberu dobja se: ( a a j ) a a j N = = a a j = = a a j N. Uolo se sada u posledjoj ejedač meja sa a potom se dobjee ejedaost saberu dobja se: a a j = j= = j= Korsteć ste ozae ao maločas dobja se: tj. čme je dobjea doja graca za A. A R N A N R a a j N.

59 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 59 Nejedaost: A M R A N R as dovode do ovh rezultata. Ozačmo sa sledeć zraz: S = = j= a a j. Možemo zaljučt da artmetča sreda A brojeva a uve prpada tervalu: pa odavde A možemo zrazt formulom: S S N M S S A = N θ 0. M N θ Ao b vredost a ble meñusobo jedae doblo b se da je: S = 0 M = N a terval u om lež A sveo b se a zajedču vredost brojeva a [4].

60 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu ODNOS ARITMETIČKE GEOMETRIJSKE I HARMONIJSKE SREDINE DVA BROJA Nea su a b dva poztva broja ea se sa A G H ozač jhova artmetča: a b A = geometrjsa: G = ab harmojsa sreda: H ab =. a b Iz detteta: se zaljučuje da je: tj. a b ab = a b a b ab G A gde jedaost važ za a=b [5]. Iz drugog detteta: G = AH dobja se: G = AH GH odoso: G H.

61 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 6 Odavde se dobja već pozata ejedaost: H G A a dalje se može zapsat da je: ( A H ) 0 G = H θ θ l ab ( a b) ab θ = 0 θ. a b a b Prethod obrazac se može upotrebt za zračuavaje vadratog orea eog datog broja sa blo ojom tačošću. Stav l se da je: Sla 30. Postupa za zračuavaje vadratog orea dobja se: ab = G = AH = A H = A H =... Iz: ( A H ) 0 G = H θ θ sled: ( A H ) 0 G = H θ θ za ma oje.

62 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 6 Iz detteta: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = H A H A H A H A H A H A H A H A H A vd se da je: < H A H A pa se može zaljučt da čla ( ) H A θ z obrasca ( ) H A H G = θ opada ao des raste. Za dovoljo velo može se uzet da je: H ab =. Prmer 7... Ao se uzme da je a= b= dobja se: Ovm postupom je dobjea prblža vredost broja ( ) = = θ θ H A H a pet decmal []. Sla 3. Postupa za zračuavaje

63 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 63 ZAKLJUČAK Na temelju elaborraog možemo zaljučt da račuaje sa brojevm tervalma pr rešavaju pojedh problema ma predost ad občm račuom. Ova predost se vd u čjec da se z epotpuo odreñeh odosa može doć do potpuo tačh rezultata. U ovom radu: uvede su osov pojmov tervale algebre račus predstavc ovh pojmova prazae su ee od trasformacja oje se mogu vršt ad defsam račusm predstavcma brojevh tervala ao oret prmer u ojma se avedee trasformacje mogu prmet zlože je još jeda ač za proalažeje estremh vredost fucja bez oršćeja zvoda fucje zvede su obrasc za prblžo odreñvaje -tog orea datog broja prazaa je metoda za odreñvaje vredost zadate racoale fucje zvede su odos zbra prozvoda člaova za poztvh brojeva ao odos zbra prozvoda dva za realh brojeva praza je još jeda ač za odreñvaje odosa artmetče geometrjse harmojese srede dva broja zvede je obrazac za zračuavaje vadratog orea eog broja sa blo ojom tačošću. Rad je urañe u softversom paetu Moodle roz uredo zložee lecje. Spomeut paet predstavlja jedo od ovjh oruña za razmeu formacja učeje prošrvaje zaja. Jeda od razloga zbog og je ovaj paet oršće je jegova dostupost otvore od. Tme je omogućeo jegovo modfovaje usavršavaje

64 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 64 prlagoñavaje potrebama orsa a sve to u clju da bar deo aše struče šre zajedce spoza laoću ojom zaje formacje mogu dopret do pojedca. IMENIK Berul Jaob (Jacob Beroull ) je bo švajcars matematčar auč prv z čuvee porodce matematčara profesor Uverzteta u Bazelu. Svojm radovma dopreo je razvoju ftezmalog račua (zmeñu ostalog otro je lemsatu lačacu). Sa bratom Johaom započeo je zgradju varjacoog račua utcao je a razvoj teorje verovatoće jeh prmea. Pozat je Beruljev zao velh brojeva Beruljeva ejedaost oju je doazao za sve prrode brojeve veće l jedae od dva. Kasje je doazao da Beruljeva ejedaost važ za sve reale brojeve veće l jedae od - a daas je pozato da ta ejedaost važ za sve reale brojeve veće l jedae od -. Vrlo je zamljvo stać da je porodca Berul u svojm dvema geeracjam dala ča osam matematčara meñu ojma su ajstautj Jaob Joha Dajel Berul. Dofat z Alesadrje (žveo oo 50. gode ove ere) upros tome što je bo staut grč matematčar vrlo se malo za o jegovom žvotu. Njegov rad je sačuva u šest poglavlja Artmete oja su dospela do as do je ostalh šest poglavlja zgubljeo. Ovo je ajverovatje bo ajstarj sstemats trat o algebr. Dofat se prvestveo teresovao za teorju brojeva rešavaje jedača. Mogo je dopreo apretu algebre upotrebom smbola za velče matematče operacje odose jer su pre toga ove velče ble opsae rečma. Možda je ajpozatj po svom otrću Dofatovh jedača eodreñeh jedača s racoalm oefcjetma za oje se traž racoalo rešeje.

65 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 65 Petrovć Mhalo Alas ( ) bo je jeda od ajstautjh srpsh matematčara profesor Beogradsog uverzteta aadem Sprse raljevse aademje alas. Zahvaljujuć Petrovćevm radovma z oblast dferecjalh jedača srpsa matemata je prv put zašla a meñuarodu sceu. Bavo se drugm oblastma ao što su fucje omplese promeljve tegral raču artmeta ejedaost polom opšta feomeologja. Imao je mogo deja oje je stzao da obrad do detalja. Stoga se proučavajem jegovh rasprava aročto z oblast dferecjalh jedača mogu ać deje za ova stražvaja. Koš Ogste Luj (August Lous Cauchy ) bo je staut fracus matematčar profesor uverzteta u Parzu jeda od tvoraca teorje fucja omplese promeljve. Objavo je radove z razh oblast matemate jeh prmea ao što su teorja brojeva matematča aalza teorja dferecjalh parcjalh jedača teorja poledara teorjsa ebesa mehaa matematča fza td. Taoñe je postavljao rešavao ove probleme uvodo ove pojmove ove metode. Uveo je terme modula argumeta omplesog broja ojugovae omplese brojeve ostale.[6]

66 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 66 LITERATURA [] Free Software Foudato Ic. Bosto decembar 009. [] Ugar Š.: Ne baš tao rata uvod u Tex Odjel za matematu Sveučlšte J.J.Strossmayera u Osjeu Osje 00. [3] LjašoI.I. Borču A.K. Gaj J.G. Golovač G.P.: Zbra zadataa z matematče aalze IBC 98 Beograd 00. [4] Adrć V.: Dofatove jedače Društvo matematčara Srbje Valjevsa gmazja Valjevo 008. [5] Muhammad G.: Iterval arthmetc Uversty of Oxford 975. [6] Raduovć D.: Numerče metode Uverztet u Beogradu Beograd 998. [7] Petrovć M.: Račuaje s brojm razmacma Grañevsa jga Beograd 969. [8] Kosheleva O. & Vroegdewej P.G.: Whe s the product of tervals also terval? Relable Computg Sprger 998. vol. 4 [9] Mller F.P. Vadome A.F. & McBrewster J.: Iterval Arthmetc VDM Publshg House Ltd [0] S Kaddour H.: A ote o the legth of members of a terval algebra Algebra Uversals Brhäuser Basel 000. vol. 44 [] Kadelburg Z. Đuć D. Luć M. Matć I.: Nejedaost Društvo matematčara Srbje Beograd 003. [] Klašja S.: Elemetara matemata algebra Sarajevo 963.

67 Moodle e-urs o predstavcma brojevh tervala u elemetarom algebarsom račuu 67 [3] Березин В.Н. Березина Л.Ю. & Николъская И.Л.: Сборник задач для факулътативных и внеклассных занятий по математике Москва 985. [4] Devde V.: Zbra elemetarh al težh matematčh zadataa Zagreb 97. [5] Tomć I.: Nejedaost Krug Beograd 999. [6] Božć M.: Pregled storje flozofje matemate Zavod za udžbee astava sredstva Beograd 00. [7] Dhompogsa S. Kreovch V. & Nguye H.T. NASA Future Aerospace Scece ad Techology Program USAF decembar 009. [8] Garloff J. Freburg Iterval Lbrary decembar 009. [9] Oxford Study Courses UK/USA jauar 00. [0] Wesste E.W. Wolfram Research Ic. decembar 009. [] Ida Isttute of Techology Kapur decembar 009. [] Suaga T. Институт вычислительных технологий СО РАН decembar 009. [3] Jasso C. The Pesylvaa State Uversty jauar 00. [4] Powu A. The Uversty of Texas at El Paso decembar 009. [5] 00o Drectory of Free Ole Boos ad Free eboos jauar 00.