I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile. Evenimente incompatibile 4 5 Eveniment implicat de alt eveniment 5 6 Operaţii cu evenimente 5 7 Spaţiul de selecţie al unei experienţe 7 8 Frecvenţa 7 9 Evenimente egal posibile 8 0 Probabilitatea unui eveniment 8 Spaţiu de selecţie finit. Eveniment elementar. Eveniment. 0 2 Definiţia axiomaticǎ a probabilitǎţii 0 3 Evenimente independente şi evenimente dependente 4 4 Probabilitate condiţionatǎ 6 5 Variabile aleatoare discrete unidimensionale 20

6 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete unidimensioanle 24 7 Variabile aleatoare discrete bidimensionale (vectori aleatori) 8 Funcţia de repartiţie a vectorului aleator (X, Y ) 30 9 Valoare medie. Dispersie. Momente. (pentru variabile aleatoare discrete unidimensionale) 3 20 Covarianţǎ. Coeficient de corelaţie 35 2 Convergenţa şirurilor de variabile aleatoare 38 22 Legi ale numerelor mari 39 23 Repartiţia binomialǎ 4 24 Repartiţia Poisson ca aproximaţie a repartiţiei binomiale 43 25 Repartiţia multinominalǎ 47 26 Repartiţia geometricǎ. Repartiţia binominalǎ negativǎ 48 Variabile aleatoare continue 49 28 Funcţia de repartiţie pentru variabile aleatoare continue. Densitatea de probabilitate 50 29 Valorile medii şi dispersia unei variabile aleatoare continue 52 30 Repartiţia normalǎ 53 2

Experienţǎ şi evenimente aleatoare Definiţia.. În teoria probabilitǎţilor prin experienţǎ se înţelege un act care, în condiţii date, poate fi repetat nelimitat. Definiţia.2. Acele experimente care în condiţii date au un singur rezultat se numesc deterministe, iar cele care în condiţii date pot avea mai multe rezultate se numesc experienţe aleatoare. Exemplul.. Aruncarea unei monede, aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-o urnǎ, tragerea cu arma într-o ţintǎ sunt exemple de experienţe aleatoare. În urma aruncǎrii unei monede se obţine unul din urmǎtoarele rezultate elementare: (stemǎ), (valoare). Dacǎ notǎm cu () apariţia feţei cu un singur punct, cu (2) apariţia feţei cu douǎ puncte, etc., atunci în urma experienţei care constǎ în aruncarea unui zar se obţine unul din urmǎtoarele rezultate elementare: (), (2), (3), (4), (5), (6). Definiţia.3. Orice rezultat legat de o experienţǎ aleatoare, despre care, dupǎ efectuarea experienţei, putem spune cǎ s-a produs sau nu, poartǎ numele de eveniment aleator asociat experienţei. Evenimentul (stemǎ), în cazul aruncǎrii unei monede, poate sǎ se realizeze sau sǎ nu se realizeze, motiv pentru care acest eveniment este numit eveniment aleator spre deosebire de evenimentul (moneda cade pe pǎmânt) care se realizeazǎ sigur datoritǎ gravitaţiei. Un eveniment aleator depinde de acţiunea unor factori care nu au fost luaţi în consideraţie la fixarea condiţiilor în care se efectueazǎ experienţa. În experienţa aruncǎrii monedei, asemenea factori sunt: felul în care mişcǎm mâna, particularitǎţile monedei, poziţia în care se gǎseşte moneda în momentul aruncǎrii. Referitor la realizarea unui eveniment aleator la efectuarea unei singure experienţe aleatoare nu putem spune nimic, înainte de efectuarea experienţei. Nu putem prevedea dacǎ la o singurǎ aruncare a monedei va apǎrea faţa cu stema. În teoria probabilitǎţilor ne vom ocupa de asemenea experienţe şi evenimente, de evaluarea şansei de realizare a unui eveniment aleator asociat experienţei. 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil Fiecǎrei experienţe aleatoare i se pot ataşa douǎ evenimente cu caracter special: evenimentul sigur şi evenimentul imposibil. Definiţia 2.. Evenimentul sigur (notat cu S) este un eveniment care se realizeazǎ cu certitudine la fiecare efectuare a experienţei aleatoare. 3

Exemplul 2.. (Apariţia unei feţe) în cazul aruncǎrii monedei este un eveniment sigur al experienţei. (Apariţia uneia din feţe) în cazul aruncǎrii zarului este un eveniment sigur al experienţei. Definiţia 2.2. Evenimentul imposibil (notat cu ) este un eveniment care nu se realizeazǎ niciodatǎ la efectuarea experienţei aleatoare. Exemplul 2.2. Apariţia unei bile roşii în cazul experienţei care constǎ în extragerea unei bile dintr-o urnǎ care conţine doar bile albe este un eveniment imposibil. 3 Evenimente contrare Notǎm cu A evenimentul apariţiei uneia din feţele 2, 5 şi cu B apariţia uneia din feţele, 3, 4, 6 la aruncarea unui zar. Se observǎ cǎ dacǎ nu se realizeazǎ evenimentul A (nu apare una din feţele 2 sau 5) atunci se realizeazǎ evenimentul B (obţinem una din feţele, 3, 4, 6) şi viceversa: dacǎ nu se realizeazǎ B atunci se realizeazǎ A. Definiţia 3.. Contrarul unui eveniment A asociat experienţei este un eveniment B asociat aceleaşi experienţe care are proprietatea cǎ, la orice repetare a experienţei aleatoare, dacǎ se realizeazǎ A atunci nu se realizeazǎ B şi dacǎ nu se realizeazǎ A atunci se realizeazǎ B. Dacǎ B este contrariul lui A atunci A este contrariul lui B. Evenimentul contrar unui eveniment A (asociat experienţei) îl vom nota cu Ā sau A. 4 Evenimente compatibile. Evenimente incompatibile Fie A şi B douǎ evenimente asociate unei experienţe aleatoare. Definiţia 4.. Evenimentele A şi B sunt compatibile dacǎ se pot realiza simultan în cazul efectuǎrii experienţei aleatoare. Exemplul 4.. În experienţa aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constǎ în apariţia uneia din feţele cu un numǎr par şi evenimentul B, care constǎ în apariţia uneia din feţele 2 sau 6 sunt compatibile, deoarece dacǎ rezultatul experienţei este apariţia feţei 2 atunci se realizeazǎ atât evenimentul A cât şi evenimentul B. Definiţia 4.2. Evenimentele A şi C asociate unei experienţe aleatoare sunt incompatibile dacǎ aceste evenimente nu se pot realiza simultan în cazul efectuǎrii experienţe. Exemplul 4.2. În experienţa aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constǎ în apariţia uneia din feţele cu un numǎr par şi evenimentul C, care constǎ în apariţia uneia din feţele cu un numǎr impar sunt incompatibile. Aceste evenimente nu se pot realiza simultan. Se remarcǎ în plus cǎ evenimentele A şi C sunt contrare. 4

Exemplul 4.3. În experienţa aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constǎ în apariţia uneia din feţele cu un numǎr par şi evenimentul D, care constǎ în apariţia feţei 5 sunt incompatibile. Aceste evenimente nu sunt însǎ contrare, deoarece nerealizarea evenimentului A într-o experienţǎ nu înseamnǎ realizarea evenimentului D. Definiţia 4.3. Vom spune cǎ evenimentele A, A 2,..., A n asociate unei experienţe aleatoare sunt compatibile dacǎ aceste evenimente se pot realiza simultan în cazul efectuǎrii experienţei. Exemplul 4.4. În experienţa aleatoare de aruncare a zarului, evenimentele: A care constǎ în apariţia uneia din feţele 2, 4 A 2 care constǎ în apariţia uneia din feţele 2, 6 A 3 care constǎ în apariţia uneia din feţele 2, 4, 6 sunt compatibile: realizarea feţei 2 înseamnǎ realizarea tuturor acestor evenimente. 5 Eveniment implicat de alt eveniment Fie A şi B douǎ evenimente asociate unei experienţe aleatoare. Definiţia 5.. Vom spune cǎ evenimentul A implicǎ evenimentul B (sau evenimentul B este implicat de evenimentul A) dacǎ o datǎ cu realizarea evenimentului A se realizeazǎ şi evenimentul B. Exemplul 5.. În experienţa aleatoare de aruncare a zarului, evenimentul A, care constǎ în apariţia uneia din feţele sau 3 implicǎ evenimentul B, care constǎ în apariţia uneia din feţele, 2, 3 sau 5. Orice eveniment asociat unei experienţe aleatoare implicǎ evenimentul sigur asociat experienţei. 6 Operaţii cu evenimente Atunci când în cadrul unei experienţe urmǎrim realizarea unui eveniment, urmǎrim de fapt realizarea unei pǎrţi a mulţimii rezultatelor elementare ale experienţei. Exemplul 6.. La aruncarea zarului, dacǎ urmǎrim realizarea evenimentului A, constând în apariţia uneia din feţele sau 3, urmǎrim de fapt dacǎ obţinem sau nu rezultatul () sau (3) din mulţimea de rezultate elementare (), (2), (3), (4), (5), (6). Evenimentul A este perfect determinat de mulţimea formatǎ din aceste douǎ rezultate elementare şi îl putem identifica cu aceasta: A = {, 3}. Exemplul 6.2. La aruncarea a douǎ zaruri, dacǎ ne intereseazǎ obţinerea sumei 7, urmǎrim dacǎ apare sau nu unul din rezultatele: (, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, ) 5

şi evenimentul A îl vom considera ca fiind mulţimea ale cǎrei elemente sunt perechile de numere: A = {(, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, )}. Evenimentul imposibil, care nu se realieazǎ niciodatǎ la efectuarea experienţei, este mulţimea vidǎ,. Evenimentul sigur este reprezentat de mulţimea tuturor evenimentelor elementare. Într-o asemenea viziune dacǎ A este mulţimea rezultatelor elementare care reprezintǎ un eveniment atunci mulţimea A (complementara lui A) este mulţimea rezultatelor elementare care reprezintǎ evenimentul contrar. Am vǎzut cǎ evenimentul A implicǎ evenimentul B, înseamnǎ cǎ ori de câte ori se realizeazǎ A se realizeazǎ şi B ; rezultǎ cǎ mulţimea A a rezultatelor elementare care reprezintǎ evenimentul A este inclusǎ în mulţimea B a rezultatelor elementare care reprezintǎ evenimentul B, adicǎ A B. Mulţimile care reprezintǎ douǎ evenimente incompatibile sunt disjuncte. Definiţia 6.. Fiind date douǎ evenimente A şi B asociate unei experienţe aleatoare, numim reuniunea lor şi o notǎm cu A B, evenimentul care se realizeazǎ dacǎ cel puţin unul din evenimentele A sau B se realizeazǎ. Rezultǎ cǎ dacǎ A este mulţimea rezultatelor elementare care reprezintǎ evenimentul A şi B este mulţimea rezultatelor elementare care reprezintǎ evenimentul B atunci mulţimea A B reprezintǎ evenimentul A B. Exemplul 6.3. În cazul experienţei de aruncare a zarului, sǎ considerǎm evenimentele reprezentate prin urmǎtoarele mulţimi: A = {, 2, 5}, B = {3, 4, 5}. Evenimentul A se realizeazǎ dacǎ se obţine unul din rezultatele {}, {2} sau {5}, iar B se realizeazǎ dacǎ se obţine unul din rezultatele {3} sau {4} sau {5}. Pentru a realiza cel puţin unul din evenimentele A sau B trebuie sǎ obţinem unul din rezultatele {}, {2}, {3}, {4}, {5} şi deci evenimentele A B este reprezentat de mulţimea: A B = {, 2, 3, 4, 5}. Definiţia 6.2. Intersecţia evenimentelor A şi B asociate unei experienţe aleatoare, notatǎ cu A B, este evenimentul care se realizeazǎ dacǎ se realizeazǎ ambele evenimente. Rezultǎ cǎ dacǎ A, respectiv B sunt mulţimile care reprezintǎ evenimentele A, respectiv B, atunci mulţimea A B reprezintǎ evenimentul A B. Exemplul 6.4. În condiţiile din exemplul precedent A B = {5}. 6

7 Spaţiul de selecţie al unei experienţe Pentru a introduce noţiunea de spaţiu de selecţie al unei experienţe, sǎ considerǎm urmǎtorul exemplu: Exemplul 7.. Experienţa constǎ din aruncarea a douǎ monede. Modurile în care pot apǎrea cele douǎ feţe pe fiecare monedǎ, în urma acestei experienţe, constituie mulţimea: {(B, B), (B, S), (S, B), (S, S)} = A. Prima literǎ corespunde feţei care apare la prima monedǎ, iar a doua literǎ la cea de-a doua monedǎ; (S, S) înseamnǎ cǎ pe ambele monede a apǎrut stema. Dacǎ un rezultat elementar este un mod de apariţie a celor douǎ feţe pe fiecare monedǎ atunci orice rezultat elementar al experienţei este un element al mulţimii A. Dacǎ un rezultat elementar al experienţei înseamnǎ de câte ori a apǎrut banul şi de câte ori a apǎrut stema atunci mulţimea rezultatelor elementare ale experienţei este: {(2, 0), (, ), (0, 2)} = A 2. În acest caz prima cifrǎ aratǎ de câte ori apare banul iar a doua de câte ori apare stema. Şi în acest caz fiecare rezultat elementar al experienţei este un element al mulţimii A 2. Dacǎ un rezultat elementar al experienţei înseamnǎ cǎ cele douǎ simboluri (banul şi stema) sunt aceleaşi sau diferite pe cele douǎ monede, atunci mulţimea rezultatelor elementare ale experienţei este: {aceleaşi, diferite} = A 3. Şi aici fiecare rezultat elementar al experienţei este un element al mulţimii A 3. Fiecare din mulţimile A, A 2, A 3 este un set de rezultate elementare ale acestei experienţe. În fiecare caz în parte conceptul de rezultat elementar al experienţei este specific (înseamnǎ altceva) iar mulţimile A, A 2, A 3 se numesc spaţii de selecţie. Spaţiul de selecţie A oferǎ mai multe informaţii decât spaţiile A 2 şi A 3. Dacǎ cunoaştem ce rezultat al spaţiului A s-a realizat putem indica ce rezultat al spaţiului A 2 sau A 3 s-a realizat. Definiţia 7.. Un spaţiu de selecţie al unei experienţe este o mulţime de rezultate elementare cu proprietatea cǎ orice rezultat elementar al experienţei aparţine mulţimii. 8 Frecvenţa Considerǎm o experienţǎ aleatoare şi un eveniment A asociat acestei experienţe. Repetǎm experienţa de n ori (în condiţii date) şi notǎm cu α numǎrul de realizǎri ale evenimentului A. Numǎrul de realizǎri ale evenimentului Ā va fi n α. Definiţia 8.. Numǎrul f n (A) = α n se numeşte frecvenţa relativǎ a evenimentului A. 7

Numǎrul α, numit frecvenţa absolutǎ a evenimentului A, poate varia de la 0 la n; α = 0 dacǎ în n repetǎri ale experienţei evenimentul A nu se realizeazǎ niciodatǎ; α = n dacǎ evenimentul A se realizeazǎ în toate cele n repetǎri ale experienţei. Prin urmare 0 α n şi 0 f n (A), n N Propoziţia 8. (Poprietǎţile frecvenţei relative).. f n (S) =, unde S este evenimentul sigur; 2. Dacǎ A B = atunci f n (A B) = f n (A) + f n (B). 9 Evenimente egal posibile Exemplul 9.. Considerǎm experienţa care constǎ în aruncarea unei monede. Dupǎ efectuarea acestei experienţe poate sǎ aparǎ fie faţa cu banul, fie faţa cu stema şi nu se poate şti dinainte care va fi rezultatul. Dacǎ nu existǎ nici un motiv sǎ presupunem cǎ realizarea unuia din evenimente este favorizatǎ, spunem cǎ evenimentele sunt egal posibile. Exemplul 9.2. Când se aruncǎ un zar, poate sǎ aparǎ oricare din cele şase feţe ale zarului. Dacǎ nu existǎ nici un motiv sǎ presupunem cǎ apariţia unei feţe este favorizatǎ, spunem cǎ cele şase evenimente (), (2), (3), (4), (5), (6) sunt egal posibile. În cadrul acestei experienţe, evenimentele A = {, 2} şi B = {3, 4} sunt şi ele egal posibile, iar evenimentele C = {, 2, 3} şi D = {3} nu sunt egal posibile. Definiţia 9.. Fie A şi B douǎ evenimente asociate unei experienţe aleatoare. Dacǎ nu existǎ nici un motiv sǎ presupunem cǎ realizarea unuia este favorizatǎ prin raport cu celǎlalt atunci spunem cǎ cele douǎ evenimente sunt egal posibile. Dacǎ o experienţǎ aleatoare se repetǎ de multe ori evenimentele elementare egal posibile au aceeaşi frecvenţǎ. 0 Probabilitatea unui eveniment Exemplul 0.. Considerǎm experienţa care constǎ din aruncarea unei monede şi spaţiul de selecţie asociat A format din cele douǎ rezultate elementare posibile ale acestei experienţe: B= faţa cu banul S= faţa cu stema A = {B, S}. Pentru cǎ cele douǎ evenimente B şi S sunt egal posibile, este natural sǎ evaluǎm (sǎ mǎsurǎm) şansa producerii fiecǎruia cu frecvenţa relativǎ. Întrucât 2α = n rezultǎ α n = 2. Rezultǎ astfel cǎ şansa producerii fiecǎrui eveniment este = inversul numǎrului 2 de evenimente posibile din A. 8

Exemplul 0.2. Considerǎm experienţa care constǎ din aruncarea zarului şi spaţiul de selecţie asociat A = {(), (2), (3), (4), (5), (6)}. Pentru cǎ cele şase evenimente sunt egal posibile, este natural sǎ evaluǎm (mǎsurǎm) şansa fiecǎruia de a se produce cu frecvenţa relativǎ. Întrucât 6α = n rezultǎ α n = 6. Rezultǎ astfel cǎ şansa producerii fiecǎrui eveniment este 6 = inversul numǎrului de evenimente posibile din A. Exemplul 0.3. Considerǎm experienţa care constǎ din aruncarea a douǎ monede şi spaţiul de selecţie asociat A = {(B, B), (B, S), (S, B), (S, S)}. Pentru cǎ cele patru evenimente sunt egal posibile, evaluǎm (mǎsurǎm) şansa fiecǎruia de a se produce frecvenţa relativǎ. Întrucât 4α = n rezultǎ α n =. Rezultǎ astfel cǎ şansa producerii 4 fiecǎrui eveniment este 4 = inversul numǎrului de evenimente posibile din A. Exemplul 0.4. În cazul aruncǎrii a douǎ monede şi a spaţiului de selecţie asociat A = {(acelaşi simbol), (simboluri diferite)}, evenimentele fiind egal posibile, evaluǎm şansa fiecǎruia frecvenţa relativǎ. Întrucât 2α = n rezultǎ α n =. Rezultǎ astfel cǎ 2 şansa producerii fiecǎrui eveniment este 2 din A. = inversul numǎrului de evenimente posibile Definiţia 0.. Dacǎ evenimentele din spaţiul de selecţie A asociat unei experienţe sunt egal posibile, vom spune cǎ sunt egal probabile şi probabilitatea fiecǎruia este egalǎ cu inversul numǎrului de evenimente din spaţiul de selecţie. În continuare vom extinde definiţia probabilitǎţii unui eveniment din spaţiul de selecţie la evenimente care nu mai sunt elemente ale spaţiului de selecţie A asociat experienţei, ci sunt pǎrţi ale lui A, adicǎ aparţin la P(A) (mulţimea pǎrţilor lui A). Începem cu un exemplu. Exemplul 0.5. Considerǎm experienţa de aruncare a zarului şi spaţiul de selecţie asociat A = {(), (2), (3), (4), (5), (6)}. Evenimentul A = {apare o faţǎ având un numǎr par scris pe ea} este de fapt A = {(2), (4), (6)}. Realizarea oricǎruia dintre evenimentele (2), (4), (6), este favorabilǎ pentru realizarea evenimentului A. De aceea evaluǎm şansa de realizare a evenimentului A (probabilitatea evenimentului A) cu de 3 ori şansa de realizare a unui eveniment elementar favorabil pentru realizarea lui A. Raportul 3 6 = 2 reprezintǎ şansa (probabilitatea) de realizare a evenimentului A şi se obţine împǎrţind numǎrul evenimentelor din A favorabile realizǎrii lui A la numǎrul tuturor evenimentelor din A. Definiţia 0.2. Dacǎ spaţiul de selecţie A asociat unei experienţe are n evenimente egal probabile şi A este un eveniment din P(A), atunci probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numǎrul de evenimente egal probabile ce definesc pe A şi numǎrul total de evenimente elementare egal probabile din A. Din aceastǎ definiţie rezultǎ cǎ dacǎ A = atunci P (A) = 0 şi dacǎ A = A atunci P (A) =. În general P (A) [0, ]. 9

Ţinând seama de definiţia evenimentului contrar (complementar), rezultǎ cǎ dacǎ A are n elemente şi A are m n elemente atunci Ā are n m elemente şi avem: P (Ā) = n m n = m n = P (A). Spaţiu de selecţie finit. Eveniment elementar. Eveniment. Definiţia.. Spaţiul de selecţie finit asociat unei experienţe aleatoare este o mulţime finitǎ S = {e, e 2,..., e n } de elemente abstracte. Definiţia.2. Pǎrţile mulţimii S se numesc evenimente aleatoare. Un eveniment se numeşte elementar dacǎ constǎ dintr-un singur punct al lui S. Partea vidǎ a lui S,, se numeşte eveniment imposibil, iar S se numeşte eveniment sigur. Exemplul.. Printre cadrele didactice se face o anchetǎ privind desfǎşurarea procesului de învǎţǎmânt. Fiecare persoanǎ trebuie sǎ rǎspundǎ la douǎ întrebǎri:. Este necesarǎ modernizarea şcolii la care lucreazǎ? 2. Este necesar ca şcoala la care lucreazǎ sǎ aibǎ o salǎ de sport? Rǎspunsul dat de o persoanǎ intervievatǎ poate fi: e = (DA, DA), e 2 = (DA, NU), e 3 = (NU, DA), e 4 = (NU, NU). Mulţimea S = {e, e 2, e 3, e 4 } constituie un spaţiu de selecţie posibil asociat acestei experienţe (anchetǎ) pentru o singurǎ persoanǎ. Submulţimile acestui spaţiu sunt: P(S) = {, {e }, {e 2 }, {e 3 }, {e 4 }, {e, e 2 }, {e, e 3 }, {e, e 4 }, {e 2, e 3 }, {e 2, e 4 }, {e 3, e 4 }, {e, e 2, e 3 }, {e, e 2, e 4 }, {e 2, e 3, e 4 }, {e, e 2, e 3, e 4 }}. Fiecare dintre aceste submulţimi este un eveniment. Submulţimile E = {e }, E 2 = {e 2 }, E 3 = {e 3 }, E 4 = {e 4 } conţin un singur punct şi sunt evenimente elementare. Orice eveniment diferit de evenimentul imposibil este o reuniune de evenimente elementare. 2 Definiţia axiomaticǎ a probabilitǎţii Definiţia 2.. Numim probabilitate pe spaţiul de selecţie S = {e, e 2,..., e n } o funcţie P care asociazǎ fiecǎrui eveniment A P(S) un numǎr P (A), numit probabilitatea lui A, astfel încât sǎ fie satisfǎcute urmǎtoarele condiţii (numite axiome): i) P (A) 0, A P(S); ii) P (S) = ; 0

iii) A B = P (A B) = P (A) + P (B), A, B P(S). Definiţia 2.2. Funcţia P : P(S) R + este numitǎ mǎsurǎ de probabilitate. Definiţia 2.3. Spaţiul de selecţie S înzestrat cu mǎsura probabilistǎ P (perechea (S, P )) este numit spaţiu de probabilitate. Propoziţia 2.. Fie A P(S). Dacǎ A= atunci P (A)=0, iar dacǎ A={e, e 2,..., e k } k atunci P (A) = P ({e i }). Demonstraţie. Deoarece P ( S) = P ( ) + P (S) şi P ( S) = P (S), rezultǎ cǎ P ( ) + P (S) = P (S) şi deci P ( ) = 0. A = {e, e 2,..., e k } deci A = {e, e 2,..., e k } {e k }, iar P (A) = P ({e, e 2,..., e k }) + P ({e k }). Prin urmare avem: De aici se obţine egalitatea P ({e, e 2,..., e k }) = P ({e, e 2,..., e k }) + P ({e k }) P ({e, e 2,..., e k }) = P ({e, e 2,..., e k 2 }) + P ({e k }) P ({e, e 2 }) = P ({e }) + P ({e 2 }) P ({e, e 2,..., e k }) = k P ({e i }). Consecinţa 2.. Dacǎ cele n evenimente elementare e, e 2,..., e n din spaţiul de selecţie S au aceeaşi probabilitate (sunt egal probabile), P ({e i }) = P ({e j }), i, j =, n, atunci P ({e i }) =, i =, n. n Remarca 2.. În multe aplicaţii, evenimentele elementare din spaţiul de selecţie S au probabilitǎţi diferite. Astfel, în Exemplul., este foarte posibil ca numǎrul acelor intervievaţi care dau rǎspunsul e i sǎ fie diferit de numǎrul celor care dau rǎspunsul e j. Sǎ presupunem cǎ 60% din cei intervievaţi dau rǎspunsul e, 20% din cei intervievaţi dau rǎspunsul e 2, 5% din cei intervievaţi dau rǎspunsul e 3 şi 5% din cei intervievaţi dau rǎspunsul e 4. Este firesc ca în asemenea condiţii sǎ atribuim urmǎtoarele probabilitǎţi evenimentelor elementare: P ({e }) = 0.6 P ({e 2 }) = 0.2 P ({e 3 }) = 0.5 P ({e 4 }) = 0.05. Propoziţia 2.2. Pentru orice A P(S) are loc P ( A) = P (A). Demonstraţie. Deoarece A A = şi A A = S, avem P (A) + P ( A) = P (S) =, adicǎ P ( A) = P (A).

Propoziţia 2.3. Dacǎ A, B P(S) şi A B atunci P (A) P (B). Demonstraţie. A B, deci B = A (B A). Întrucât A (B A) =, rezultǎ cǎ P (B) = P (A) + P (B A) şi deoarece P (B A) 0, rezultǎ mai departe P (B) P (A). Propoziţia 2.4. Dacǎ A, A 2,..., A n P(S) şi A i A j =, i j, atunci ( n ) P A i = n P (A i ). Demonstraţie. Pentru n = 2 egalitatea P (A A 2 ) = P (A ) + P (A 2 ) este adevǎratǎ datoritǎ axiomei iii). Pentru n = 3 avem (A A 2 ) A 3 =, deci P ((A A 2 ) A 3 ) = P (A A 2 ) + P (A 3 ) = P (A ) + P (A 2 ) + P (A 3 ). Se ( presupune acum cǎ pentru A, A 2,.., A n cu A i A j =, i j are loc n ) n P A i = P (A i ) şi se considerǎ A, A 2,.., A n, A n+ cu A i A j =, i j, i, j =, n +. Atunci ( n+ ) P A i ( n ) ( n ) = P A i A n+ = P A i + P (A n+ ) = = n n+ P (A i ) + P (A n+ ) = P (A i ) Propoziţia 2.5. Oricare ar fi A, B P(S) are loc egalitatea: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Demonstraţie. Se considerǎ C = A B, D = B A şi se remarcǎ faptul cǎ avem A B = C (A B) D de unde P (A B) = P (C) + P (A B) + P (D). Ţinem seama acum de egalitǎţile P (A) = P (A B) + P (A B) = P (A B) + P (C) şi P (B) = P (A B) + P (B A) = P (A B) + P (D) 2

şi obţinem: P (A B) = P (A) P (A B) + P (A B) + P (B) P (A B) = = P (A) + P (B) P (A B). Propoziţia 2.6. Oricare ar fi A, A 2,.., A n P(S) avem: ( n ) P A i n P (A i ), n N. Demonstraţie. Pentru n = 2 avem P (A A 2 ) = P (A ) + P (A 2 ) P (A A 2 ) P (A ) + P (A 2 ) întrucât P (A A 2 ) 0. Presupunem cǎ pentru A, A 2,.., A n avem ( n ) P A i n P (A i ) şi vrem sǎ aratǎm cǎ: Avem: P ( n+ P ( n+ ) ( n ) A i P A i + P (A n+ ) ) n+ A i P (A i ) n n+ P (A i ) + P (A n+ ) = P (A i ). Propoziţia 2.7. Oricare ar fi A, A 2,.., A n P(S) avem: ( n ) P A i n P ( A i ), n N. Demonstraţie. ( n ) ( ) ( n n ) P A i = P A i = P A i n P ( A i ). Exemplul 2.. Dacǎ probabilitǎţile asociate evenimentelor elementare sunt cele din Remarca 2., sǎ se calculeze probabilitatea ca alegând la întâmplare un cadru didactic acesta sǎ fie pentru: 3

i) modernizarea şcolii; ii) necesitatea unei sǎli de sport; iii) modernizarea şcolii sau necesitatea unei sǎli de sport. Soluţie: i) Alegerea unui cadru didactic care este pentru modernizarea şcolii înseamnǎ realizarea evenimentului {e, e 2 } şi are probabilitatea P ({e, e 2 }) = 0.6 + 0.2 = 0.8. ii) Alegerea unui cadru didactic care este pentru necesitatea unei sǎli de sport înseamnǎ realizarea evenimentului {e, e 3 } şi are probabilitatea P ({e, e 3 }) = 0.6 + 0.5 = 0.75. iii) Alegerea unui cadru didactic care este pentru modernizarea şcolii sau pentru necesitatea unei sǎli de sport înseamnǎ realizarea evenimentului {e, e 2, e 3 } şi are probabilitatea P ({e, e 2, e 3 }) = 0.6 + 0.2 + 0.5 = 0.95. 3 Evenimente independente şi evenimente dependente Definiţia 3.. Evenimentele A şi B din P(S) sunt independente dacǎ P (A B) = P (A) P (B). Teorema 3.. Dacǎ A, B P(S) sunt evenimente independente având probabilitǎţi nenule, atunci A B este o mulţime care conţine cel puţin un punct e i din spaţiul de selecţie S. Adicǎ evenimentele A şi B sunt compatibile. Demonstraţie. Arǎtǎm cǎ A B. Dacǎ prin absurd A B = atunci P (A B) = 0 şi din P (A B) = P (A) P (B) rezultǎ P (A) P (B) = 0. Rezultǎ de aici P (A) = 0 sau P (B) = 0. Aceasta contravine ipotezei din teoremǎ. Urmeazǎ cǎ A B. Definiţia 3.2. Vom spune cǎ evenimentele A, A 2,..., A n sunt independente în totalitatea lor, sau independente, dacǎ pentru orice i < i 2 <... < i s n, avem: P (A i A i2... A is ) = P (A i ) P (A i2 )... P (A is ). Definiţia 3.3. Vom spune cǎ evenimentele A, A 2,..., A n P(S) sunt independente câte k, k n, dacǎ evenimentele din orice familie de k evenimente sunt independente în sensul Definiţiei 3.2. Remarca 3.. Pentru ca evenimentele A, A 2,..., A n sǎ fie independente, trebuie satisfǎcute C 2 n + C 3 n +... + C n n = 2 n n relaţii. Pentru ca evenimentele A, A 2, A 3 sǎ fie independente, trebuie sǎ avem: P (A A 2 ) = P (A ) P (A 2 ) P (A A 3 ) = P (A ) P (A 3 ) P (A 2 A 3 ) = P (A 2 ) P (A 3 ) P (A A 2 A 3 ) = P (A ) P (A 2 ) P (A 3 ) 4

Teorema 3.2. Dacǎ A şi B sunt douǎ evenimente independente, atunci evenimentele A şi B; A şi B; A şi B sunt de asemenea independente. Demonstraţie. Prin ipotezǎ P (A B) = P (A) P (B). Vrem sǎ deducem de aici urmǎtoarele egalitǎţi: P (A B) = P (A) P ( B); P ( A B) = P ( A) P (B); P ( A B) = P ( A) P ( B). Pentru a obţine egalitatea P (A B) = P (A) P ( B) scriem A = (A B) (A B). De aici rezultǎ: sau: P (A) = P (A B) + P (A B) = P (A) P (B) + P (A B) P (A) [ P (B)] = P (A B). Întrucât P (B) = P ( B), se obţine cǎ P (A) P ( B) = P (A B). Celelalte egalitǎţi rezultǎ analog. Definiţia 3.4. Spunem cǎ evenimentele B, B 2,..., B k P(S) realizeazǎ o partiţie a spaţiului de selecţie S dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii: i) B i B j = pentru i j; ii) k B i = S; iii) P (B i ) > 0, i =, 2,..., k. Definiţia 3.5. Fie A, A 2,..., A n, B, B 2,..., B k douǎ partiţii ale spaţiului de selecţie S. Spunem cǎ aceste partiţii sunt independente dacǎ P (A i B j ) = P (A i ) P (B j ) pentru orice i, j, i =, 2,..., n, j =, 2,..., k. Exemplul 3.. Dacǎ A este un eveniment al spaţiului de selecţie S, atunci A şi S sunt independente. Soluţie: A = A S, de unde rezultǎ P (A) = P (A S) = P (A) P (S), deoarece P (S) =. Exemplul 3.2. Se aruncǎ douǎ monede. Evenimentele A = stema pe prima monedǎ şi B = valoarea pe a doua monedǎ sunt independente. Soluţie: Un spaţiu de selecţie S al acestei experienţe este Evenimentele A şi B sunt S ={e =(s, s), e 2 =(s, v), e 3 =(v, s), e 4 =(v, v)}. A = {e, e 2 }, B = {e 2, e 4 }. Evenimentele e, e 2, e 3, e 4 sunt egal probabile şi P (e i ) =, i =, 2, 3, 4. Rezultǎ 4 P (A) = 2, P (B) = 2. Evenimentul A B este A B = {e 2} şi are probabilitatea P (A B) =. Rezultǎ P (A B) = P (A) P (B). 4 5

Exemplul 3.3. În cazul aruncǎrii a douǎ monede se considerǎ evenimentele: A = stema pe prima monedǎ, A 2 = valoarea pe a doua monedǎ, A 3 = apare şi stema şi valoarea. Evenimentele A, A 2, A 3 nu sunt independente câte 3. Soluţie: Un spaţiu de selecţie asociat acestei experienţe este S ={e =(s, s), e 2 =(s, v), e 3 =(v, s), e 4 =(v, v)}. Evenimentele A, A 2, A 3 sunt A = {e, e 2 }, A 2 = {e 2, e 4 }, A 3 = {e 2, e 3 }. Avem: A A 2 = {e 2 } P (A A 2 ) = 4 = P (A ) P (A 2 ) A A 3 = {e 2 } P (A A 3 ) = 4 = P (A ) P (A 3 ) A 2 A 3 = {e 2 } P (A 2 A 3 ) = 4 = P (A 2) P (A 3 ) A A 2 A 3 = {e 2 } P (A A 2 A 3 ) = 4 8 = P (A ) P (A 2 ) P (A 3 ). Exemplul 3.4. În cazul aruncǎrii a douǎ monede se considerǎ evenimentele: A = stema pe prima monedǎ ; A 2 = valoare pe prima monedǎ ; A 3 = stema pe a doua monedǎ ; A 4 = valoare pe a doua monedǎ. Evenimentele A, A 2, A 3, A 4 nu sunt independente în totalitate. Exemplul 3.5. Dacǎ S = {e, e 2, e 3, e 4 } este spaţiul de selecţie asociat experienţei din Exemplul 3.2, atunci evenimentele {e }, {e 2 }, {e 3 }, {e 4 } realizeazǎ o partiţie a spaţiului de selecţie S. Exemplul 3.6. Douǎ partiţii independente sunt urmǎtoarele partiţii: {{e }, {e 2 }} şi {{e 3 }, {e 4 }}. 4 Probabilitate condiţionatǎ Vom introduce noţiunea de probabilitate condiţionatǎ pornind de la exemplul urmǎtor. Exemplul 4.. Considerǎm experienţa care constǎ în aruncarea a douǎ zaruri. Notǎm cu a numǎrul care apare pe primul zar şi cu b numǎrul care apare pe al doilea zar. Ne întrebǎm care este probabilitatea ca b = 3, ştiind cǎ a + b > 8? 6

Soluţie: Spaţiul de selecţie asociat acestei experienţe este mulţimea S de perechi din urmǎtorul tabel: (, ) (, 2) (, 3) (, 4) (, 5) (, 6) (2, ) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, ) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, ) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, ) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, ) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Toate aceste evenimente sunt egal probabile şi prin urmare P ((i, j)) =, pentru orice 36 i =, 6, j =, 6. Dintre cele 36 evenimente elementare din spaţiul de selecţie S, doar în cazul evenimentelor (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6) se realizeazǎ condiţia a+b > 8. Considerǎm mulţimea S formatǎ doar din aceste evenimente: S = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}. Mulţimea S este un spaţiu de selecţie mai restrâns asociat aceleiaşi experienţe. Aici au fost luate în considerare doar acele evenimente elementare pentru care a + b > 8. Cele 0 elemente din S sunt egal probabile şi de aceea probabilitatea fiecǎrui eveniment din S este 0. Existǎ un singur eveniment în S pentru care b = 3: (6, 3). De aceea în spaţiul de selecţie redus, probabilitatea evenimentului b = 3 este. Acest rezultat va fi numit 0 probabilitatea evenimentului b = 3 condiţionat de a + b > 8. Putem judeca însǎ şi în felul urmǎtor: determinǎm la început în spaţiul de selecţie S probabilitatea ca evenimentul A = a + b > 8 sǎ se producǎ. Aceasta este P (A) = 0 36. Apoi determinǎm tot în S probabilitatea ca evenimentul B = b = 3 sǎ se producǎ. Aceasta este P (B) = 6. Probabilitatea în S de producere a ambelor evenimente A şi B 36 este P (A B) = P ((6, 3)) = 36. Dacǎ notǎm cu P (B A) probabilitatea evenimentului B în condiţia în care A s-a produs, atunci avem: P (B A) = 0, P (A) = 0 36, P (A B) = 36, de unde P (B A) = P (B A) P (A) = P (A B). P (A) Definiţia 4.. Probabilitatea evenimentului A condiţionatǎ de B se noteazǎ P (A B) sau P B (A) şi este definitǎ prin P (A B) = P (A B) P (B) dacǎ P (B) 0. Spaţiul de selecţie micşorat este B (evenimentul de condiţionare). 7

Remarca 4.. Probabilitatea introdusǎ axiomatic prin Definiţia 2. este şi ea una condiţionatǎ de evenimentul sigur, care este un spaţiu de selecţie S, cu P (S) =. Propoziţia 4.. Pentru B P(S) fixat, cu P (B) 0, oricare ar fi A, A 2 din P(S), avem: A) 0 P (A B) ; A2) P (S B) = ; A3) A, A 2 - incompatibile P ((A A 2 ) B) = P (A B) + P (A 2 B). Demonstraţie. Din P (A B) = P (A B) rezultǎ P (A B) 0 şi din P (A B) P (B) P (B) rezultǎ P (A B). P (S B) = P (S B) P (B) = P (B) P (B) =. P ((A A 2 ) B)= P ((A A 2 ) B) P (B) = P (A B) + P (A 2 B) =P (A B)+P (A 2 B). P (B) P (B) Teorema 4.. Dacǎ A şi B sunt evenimente independente având probabilitǎţile nenule, atunci: P (A B) = P (A) şi P (B A) = P (B). Demonstraţie. Deoarece A şi B sunt independente şi A B = B A, avem Rezultǎ: P (A B) = P (B A) = P (A) P (B). P (A B) P (A) P (B) P (A B) = = = P (A) P (B) P (B) P (B A) P (B) P (A) P (B A) = = = P (B). P (A) P (A) Teorema 4.2. Dacǎ A, A 2,..., A n sunt evenimente astfel încât P (A A 2... A n ) 0 (ele se pot realiza simultan), atunci P (A A 2... A n ) = P (A ) P (A 2 A ) P (A 3 (A A 2 ))... P (A n (A... A n )). Demonstraţie. P (A ) P (A 2 A ) P (A 3 (A A 2 ))... P (A n (A... A n )) = = P (A ) P (A A 2 ) P (A ) = P (A A 2 ) P (A A 2 A 3 ) P (A A 2 )......... P (A 3 (A A 2 ))... P (A n (A... A n )) = = P (A... A n ) P (A... A n A n ) P (A... A n )... P (A n (A... A n )) = = P (A... A n ). 8

Consecinţa 4.. Dacǎ A, A 2,..., A n sunt evenimente independente, atunci P (A A 2... A n ) = P (A ) P (A 2 )... P (A n ). Exemplul 4.2. O urnǎ conţine 3 bile albe şi 5 bile negre. Din urnǎ se extrag douǎ bile, una dupǎ alta (fǎrǎ întoarcere). Sǎ se scrie un spaţiu de selecţie pentru aceastǎ experienţǎ şi probabilitǎţile asociate evenimentelor din acest spaţiu. Soluţie: Dacǎ a este evenimentul extragerii unei bile albe şi n este evenimentul extragerii unei bile negre, atunci un spaţiu de selecţie asociat experienţei este: S = {(a, a), (a, n), (n, a), (n, n)}. (n, a) aratǎ cǎ prima bilǎ extrasǎ este neagrǎ iar a doua bilǎ extrasǎ este albǎ. Deoarece bilele sunt extrase la întâmplare, toate bilele din urnǎ, la orice extracţie, au aceeaşi probabilitate de extracţie: P (a, a) = 3 8 2 7 = 6 56, P (a, n) = 3 8 5 7 = 5 56, P (n, a) = 5 8 3 7 = 5 56, P (n, n) = 5 8 4 7 = 20 56. Teorema 4.3 (formula probabilitǎţii totale). Dacǎ evenimentele A, A 2,..., A n constituie o partiţie a spaţiului de selecţie S şi X P(S), atunci: P (X) = n P (A i ) P (X A i ). Demonstraţie. Scriem X sub forma: n X = (X A i ). Deoarece (X A i ) (X A j ) = pentru i j, obţinem: P (X) = n P (X A i ). Dar P (X A i ) = P (A i ) P (X A i ), şi înlocuind se obţine egalitata din enunţ. Exemplul 4.3. Trei urne au urmǎtoarea structurǎ: urna i conţine a i bile albe şi b i bile negre, i =, 2, 3. Evenimentul A i constǎ în alegerea urnei i. Se ştie cǎ P (A i ) = p i şi p + p 2 + p 3 =. Se alege la întâmplare o urnǎ şi se extrage o bilǎ. Sǎ se gǎseascǎ probabilitatea ca bila extrasǎ sǎ fie neagrǎ. Soluţie: Fie X evenimentul bila extrasǎ este neagrǎ. Probabilitatea de a extrage o bilǎ neagrǎ condiţionatǎ de faptul cǎ s-a ales urna i este: P (X A i ) = Probabilitatea de a extrage o bilǎ neagrǎ este: b i a i + b i. P (X) = P (A ) P (X A ) + P (A 2 ) P (X A 2 ) + P (A 3 ) P (X A 3 ) = = p b a + b + p 2 b 2 a 2 + b 2 + p 3 b 3 a 3 + b 3. 9

Teorema 4.4 (formula lui Bayes). Dacǎ evenimentele A, A 2,..., A n constituie o partiţie a spaţiului de selecţie S şi sunt cauza producerii unui eveniment X, atunci: P (A k X) = P (A k) P (X A k ). n P (A i ) P (X A i ) Demonstraţie. Se ţine seama de egalitǎţile şi de formula probabilitǎţii totale. P (A i ) P (X A i ) = P (X) P (A i X) Definiţia 4.2. Probabilitǎţile P (A i ), P (X A i ), i =, n se numesc probabilitǎţi apriori şi P (A i X) se numesc probabilitǎţi aposteriori. Formula lui Bayes modificǎ probabilitǎţile apriorice prin incorporarea informaţiei furnizate de realizarea evenimentului X. Exemplul 4.4. Se considerǎ douǎ urne. Prima conţine 2 bile albe şi 3 bile negre, iar cea de-a doua conţine 7 bile albe şi 5 bile negre. Evenimentul A constǎ în faptul cǎ se alege la întâmplare prima urnǎ, iar evenimentul A 2 constǎ în faptul cǎ se alege la întâmplare a doua urnǎ. Probabilitatea evenimentului A este P (A ) = 0.4, iar probabilitatea evenimentului A 2 este P (A 2 ) = 0.6. Se alege la întâmplare o urnǎ şi se extrage o bilǎ neagrǎ. Care este probabilitatea ca aceasta sǎ fie din cea de-a doua urnǎ? Soluţie: Fie X evenimentul a fost extrasǎ o bilǎ neagrǎ. Din formula lui Bayes avem: P (A X) = P (A 2 X) = P (A ) P (X A ) P (A ) P (X A ) + P (A 2 ) P (X A 2 ) = 0.4 3 5 0.4 3 + 0.6 5 0.49; 5 2 P (A 2 ) P (X A 2 ) P (A ) P (X A ) + P (A 2 ) P (X A 2 ) = 0.6 5 2 0.4 3 + 0.6 5 0.5. 5 2 5 Variabile aleatoare discrete unidimensionale Pentru a introduce noţiunile de variabilǎ aleatoare discretǎ şi repartiţia ei considerǎm urmǎtorul exemplu: Exemplul 5.. Dintr-o urnǎ care conţine acelaşi numǎr de bile albe şi negre, se extrag 3 bile, dupǎ fiecare extragere bila punându-se înapoi în urnǎ. Câte bile albe pot sǎ aparǎ? Soluţie: Rǎspunsul la aceastǎ întrebare îl vom da indicând posibilitǎţile şi probabilitǎţile asociate. 20

Spaţiul de selecţie Nr. bile albe Probabilitatea AAA 3 = 2 2 2 8 AAN 2 = 2 2 2 8 ANA 2 = 2 2 2 8 NAA 2 = 2 2 2 8 ANN = 2 2 2 8 NAN = 2 2 2 8 NNA = 2 2 2 8 NNN 0 = 2 2 2 8 Informaţia relativǎ la numǎrul de bile albe şi la probabilitǎţile lor este datǎ în tabelul urmǎtor: Nr. bile albe 0 2 3 3 3 Probabilitatea 8 8 8 8 Dacǎ variabila X reprezintǎ numǎrul de bile albe care pot sǎ aparǎ, aunci tabelul aratǎ valorile pe care poate sǎ le ia X şi probabilitǎţile cu care ia aceste valori. Mulţimea de perechi ordonate, fiecare de forma (numǎrul de bile albe, probabilitatea acestui numǎr de bile albe) defineşte repartiţia variabilei X. Deoarece valorile lui X sunt determinate de evenimentele rezultate în urma unui experiment aleator, X este numitǎ variabilǎ aleatoare. Funcţia f definitǎ de f(x) = P (X = x) se numeşte funcţie de frecvenţe sau funcţie de probabilitate. În cazul de faţǎ f(0)=f(x =0)= 8 ; f()=f(x =)= 3 8 ; f(2)=f(x =2)= 3 8 ; f(3)=f(x =3)= 8. Observǎm cǎ f(x) 0 f(x) = P (X = x) = C x 3 şi 3 f(x) = i=0 ( ) 3, x = 0,, 2, 3; 2 3 C3 x i=0 ( ) 3 = 2 3 2 ( ) 3 =. 2 Definiţia 5.. O variabilǎ a cǎrei valoare este un numǎr determinat de evenimentul rezultat în urma unei experienţe este numitǎ variabilǎ aleatoare. Definiţia 5.2. Dacǎ X este o variabilǎ aleatoare care poate lua valorile x, x 2,..., x n cu probabilitǎţile f(x ), f(x 2 ),..., f(x n ) atunci mulţimea de perechi ordonate (x i, f(x i )), i =, n se numeşte repartiţia variabilei aleatoare X. În cazul exemplului considerat anterior, repartiţia este: sau: X : 0 2 3 8 3 8 2 3 8 8. ( 0, ) (,, 3 ) (, 2, 3 ) (, 3, ) 8 8 8 8

Exemplul 5.2. Trei bile, a, b, c, se repartizeazǎ în trei urne la întâmplare. determine repartiţia variabilei aleatoare X = numǎrul urnelor ocupate. Sǎ se Soluţie: X : 2 3 3 8 Remarca 5.. In abordarea Kolmogorov, variabila aleatoare X este o funcţie definitǎ pe un spaţiu de selecţie asociat experienţei, adicǎ funcţie de punct. Astfel, dacǎ în exemplul precedent se considerǎ evenimentele: 6. e = {abc 0 0} e 0 = {c ab 0} e 9 = {0 b ac} e 2 = {0 abc 0} e = {0 ab c} e 20 = {a 0 bc} e 3 = {0 0 abc} e 2 = {b ac 0} e 2 = {0 a bc} e 4 = {ab c 0} e 3 = {0 ac b} e 22 = {a b c} e 5 = {ab 0 c} e 4 = {a bc 0} e 23 = {a c b} e 6 = {ac b 0} e 5 = {0 bc a} e 24 = {b c a} e 7 = {ac 0 b} e 6 = {c 0 ab} e 25 = {b a c} e 8 = {bc a 0} e 7 = {0 c ab} e 26 = {c a b} e 9 = {bc 0 a} e 8 = {b 0 ac} e = {c b a} şi spaţiul de selecţie S = {e,..., e }, putem considera funcţia X : S {, 2, 3}, definitǎ astfel: X(e k ) = numǎrul de urne ocupate în cazul realizǎrii evenimentului e k. Este clar cǎ X(e k ) = dacǎ k =, 2, 3; X(e k ) = 2 dacǎ k = 4, 5,...2; şi X(e k ) = 3 dacǎ k = 22, 23, 24, 25, 26,. Dacǎ variabila aleatoare este datǎ în acest fel, atunci se cunosc valorile variabilei în cazul fiecǎrui eveniment e k S şi P (e k ). De aici se determinǎ valorile posibile ale variabilei şi probabilitǎţile asociate acestor valori. În acest fel se obţine repartiţia variabilei aleatoare X. Exemplul 5.3. În cazul experienţei din Exemplul 5.2, sǎ notǎm cu Y variabila aleatoare ale cǎrei valori sunt numǎrul de bile din prima urnǎ. Deoarece în prima urnǎ putem avea 0,,2 sau 3 bile urmeazǎ cǎ variabila aleatoare Y poate lua valorile 0,,2 sau 3. Y ia valoarea 0 atunci când se realizeazǎ unul din urmǎtoarele evenimente din spaţiul de selecţie S: e 2, e 3, e, e 3, e 5, e 7, e 9, e 2, adicǎ Rezultǎ (Y = 0) = (e 2 sau e 3 sau e sau e 3 sau e 5 sau e 7 sau e 9 sau e 2 ). P (Y = 0) =P ({e 2 }) + P ({e 3 }) + P ({e }) + P ({e 3 }) + P ({e 5 }) + P ({e 7 })+ + P ({e 9 }) + P ({e 2 }) = 8. 22

Y ia valoarea dacǎ se realizeazǎ unul din evenimentele: e 0, e 2, e 4, e 6, e 8, e 20, e 22 e ; valoarea 2, dacǎ se realizeazǎ unul din evenimentele e 4 e 9 şi valoarea 3 dacǎ se realizeazǎ evenimentul e. Urmeazǎ cǎ repartiţia variabilei aleatoare Y este: Y : 0 2 3 8 2 Remarca 5.2. Onicescu considera variabila aleatoare ca funcţie de eveniment. O valoare posibilǎ a variabilei aleatoare poate sǎ corespundǎ unui eveniment elementar din spaţiul de selecţie (valoarea 3 a variabilei aleatoare Y din Exemplul 5.3 corespunde evenimentului elementar e ) sau la o submulţime de evenimente elementare care determinǎ un eveniment (evenimentul Y = 2 este determinat de o mulţime de evenimente elementare, şi anume e 4 e 9 ). Remarca 5.3. O variabilǎ aleatoare care ia valorile distincte x, x 2,..., x n determinǎ o partiţie A, A 2,..., A n a spaţiului de selecţie S. Evenimentul A i este definit prin e k A i X(e k ) = x i. În Exemplul 5.3 variabila aleatoare Y realizeazǎ urmǎtoarea partiţie a spaţiului de selecţie S: 6. A : A 2 : A 3 : A 4 : În prima urnǎ nu este nici o bilǎ. În prima urnǎ este o bilǎ. În prima urnǎ sunt douǎ bile. În prima urnǎ sunt trei bile. Avem: A A 2 A 3 A 4 = S A i A j = pentru i j ceea ce dovedeşte afirmaţia fǎcutǎ. P (A ) = P (Y = 0) = 8, P (A 2) = P (Y = ) = 2, P (A 3 ) = P (Y = 2) = 6, P (A 4) = P (Y = 3) =, Definiţia 5.3. O variabilǎ aleatoare având o mulţime cel mult numǎrabilǎ de valori posibile se numeşte variabilǎ aleatoare discretǎ. Definiţia 5.4. Vom spune cǎ variabila aleatoare X este simetricǎ faţǎ de punctul c dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii: i) dacǎ c + a este o valoare a variabilei aleatoare X, atunci şi c a este o valoare a variabilei X; ii) P (X = c + a) = P (X = c a). 23

Condiţia ii) se mai scrie uneori sub forma P (X c = a) = P (c X = a) care aratǎ cǎ X este simetricǎ faţǎ de punctul c. X c şi c X au aceeaşi repartiţie. În particular, simetria faţǎ de zero aratǎ ca X şi X au aceeaşi repartiţie. Exemplul 5.4. Dacǎ P (X = i) =, i =, 2,..., n atunci X este repartizatǎ simetric n faţǎ de n +, care este punctul de mijloc al celor douǎ valori extreme posibile: şi n. 2 Remarca 5.4. Dacǎ variabilele aleatoare X, Y sunt privite ca funcţii definite pe spaţiul de selecţie S, atunci putem defini suma X +Y, produsul X Y, şi înmulţirea cu o constantǎ k X a varibilelor aleatoare. Sensul acestor operaţii este cel al operaţiilor corespunzǎtoare cu funcţii. De asemenea dacǎ k este o funcţie realǎ definitǎ pe mulţimea valorilor variabilei X, k : X(S) R, atunci putem face compunerea k X şi obţinem tot o variabilǎ aleatoare, ale cǎrei valori constituie mulţimea k(s(x)). 6 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete unidimensioanle Câteva întrebǎri: Dacǎ se aruncǎ douǎ zaruri, care este probabilitatea ca suma obţinutǎ sǎ fie un numǎr mai mic decât 7? Dacǎ trei bile se repartizeazǎ la întâmplare în trei urne, care este probabilitatea ca sǎ fie ocupate cel mult douǎ urne? Dacǎ trei bile se repartizeazǎ la întâmplare în trei urne, care este probabilitatea ca în prima urnǎ sǎ fie cel mult douǎ bile? În general: Care este probabilitatea ca o variabilǎ aleatoare X sǎ ia valori mai mici decât o valoare datǎ? Nevoia de a rǎspunde la asemenea întrebǎri a condus la urmǎtoarea definiţie: Definiţia 6.. Fie X o variabilǎ aleatoare şi x un numǎr real. Funcţia F definitǎ astfel: F (x) este probabilitatea ca X sǎ ia valori mai mici ca x, sau F (x) = P (X < x) se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X. 24

Propoziţia 6.. Dacǎ X este o variabilǎ aleatoare discretǎ având repartiţia ( ) x x X : 2... x n f(x ) f(x 2 )... f(x n ) atunci F (x) = x i <x f(x i ) adicǎ valoarea funcţiei de repartiţie în x este datǎ de suma probabilitǎţilor valorilor din stânga lui x. Demonstraţie. Imediatǎ. Propoziţia 6.2. Au loc urmǎtoarele egalitǎţi: i) lim x xi x>x i F (x) = F (x i + 0) = ii) lim x xi x<x i F (x) = F (x i 0) = i f(x j ); j= i f(x j ) = F (x i ). j= Demonstraţie. i) Pentru x (x i, x i+ ) avem: F (x) = i f(x j ). j= Rezultǎ cǎ F (x i + 0) = i f(x j ). j= ii) Pentru x (x i, x i ) avem: i F (x) = f(x j ). Rezultǎ cǎ i F (x i 0) = f(x j ) = F (x i ). j= j= Propoziţia 6.3. Au loc urmǎtoarele inegalitǎţi: i) 0 F (x), x R ; ii) x < y F (x) F (y). 25

Demonstraţie. i) Deoarece F (x)=p (X <x) şi P (X <x) [0, ], rezultǎ cǎ F (x) [0, ]. ii) x < y. Dacǎ x i < x, atunci x i < y, şi deci f(x i ) + adicǎ F (x) F (y). x i <y f(x i ) = x i <x x x i <y f(x i ), Propoziţia 6.4. Dacǎ x < y, atunci F (y) F (x) = P (x X < y). Demonstraţie. Dacǎ x < y, avem: F (y) = x i <y f(x i ) = x i <x f(x i ) + x x i <y de unde rezultǎ cǎ F (y) F (x) = P (x X < y). f(x i ) = F (x) + P (x X < y) Remarca 6.. Dacǎ X este o variabilǎ aleatoare discretǎ, atunci funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este o funcţie în trepte continuǎ la stânga. Avem o discontinuitate (un salt) în fieare punct x care este valoare pentru variabila aleatoare X(x = x i ), iar înǎlţimea saltului este f(x i ). Definiţia 6.2. Se numeşte cuantilǎ de ordinul α numǎrul x α cu proprietatea F (x α ) = P (X < x α ) = α. Dacǎ X este o variabilǎ aleatoare discretǎ, nu este sigur cǎ pentru orice α [0, ] existǎ cuantilǎ de ordinul α. Dacǎ însǎ existǎ o cuantilǎ de ordin α, atunci existǎ o infinitate (intervalul ce separǎ douǎ valori posibile). Cuantila de ordin /2 se numeşte medianǎ şi se noteazǎ cu Me; astfel F (Me) = /2. Cuantilele de ordin /4 respectiv 3/4 se numesc cuantila inferioarǎ Q, respectiv cuantila superioarǎ Q 2 ; astfel F (Q ) = /4 şi F (Q 2 ) = 3/4. Definiţia 6.3. Se numeşte modul valoarea x i cu proprietatea cǎ f(x i ) este maximǎ. O repartiţie poate avea mai multe module. La aruncarea unui zar, cele 6 feţe ale sale au aceeaşi probabilitate de apariţie; în acest caz, toate valorile sunt module. Exemplul 6.. Reluǎm exemplul de repartizare la întâmplare a trei bile a, b, c în trei urne, ţinând seamǎ de repartiţia variabilelor aleatoare X (Exemplul 5.2) şi Y (Exemplul 5.3) X : 2 3 3 8 6 şi Y : 0 2 3 8 2 6. 26

Avem: F (x) = 0, x 3 2, < x 2, 2 < x 3 =, 3 < x şi F (y) = 0, y 0 8 20 26, 0 < y, < y 2, 2 < y 3 =, 3 < y. Remarca 6.2. Variabilele aleatoare X şi Y nu au mediane şi cuantile. F (x) = 3 are ca soluţie < x 2. F (y) = 26 Modulul lui X este 2, iar modulul lui Y este. are ca soluţie < x 3. 7 Variabile aleatoare discrete bidimensionale (vectori aleatori) Adesea este necesar sǎ considerǎm simultan douǎ sau mai multe variabile aleatoare definite pe acelaşi spaţiu de selecţie. Vom prezenta cazul a douǎ variabile aleatoare, trecerea la trei sau mai multe variabile fǎcându-se fǎrǎ dificultate. Exemplul 7.. Considerǎm experienţa care constǎ în repartizarea la întâmplare a trei bile a, b, c în trei urne. Acestei experienţe îi corespunde urmǎtorul spaţiu de selecţie: S = {e, e 2,..., e }, unde e i sunt date de: e = {abc 0 0} e 0 = {c ab 0} e 9 = {0 b ac} e 2 = {0 abc 0} e = {0 ab c} e 20 = {a 0 bc} e 3 = {0 0 abc} e 2 = {b ac 0} e 2 = {0 a bc} e 4 = {ab c 0} e 3 = {0 ac b} e 22 = {a b c} e 5 = {ab 0 c} e 4 = {a bc 0} e 23 = {a c b} e 6 = {ac b 0} e 5 = {0 bc a} e 24 = {b c a} e 7 = {ac 0 b} e 6 = {c 0 ab} e 25 = {b a c} e 8 = {bc a 0} e 7 = {0 c ab} e 26 = {c a b} e 9 = {bc 0 a} e 8 = {b 0 ac} e = {c b a}. Cele evenimente sunt egal probabile şi de aceea evenimentele e i au aceeaşi probabilitate de realizare:. Fie X variabila aleatoare care asociazǎ evenimentului elementar e i S numǎrul urnelor ocupate. Avem X(e i ) = pentru i =, 2, 3, X(e i ) = 2 pentru i = 4, 2, X(e i ) = 3

pentru i = 22,. Prin urmare: P (X = ) = 3 8 6, P (X = 2) =, P (X = 3) = şi repartiţia variabilei aleatoare este: X : 2 3. 3 8 Fie acum Y variabila aleatoare care asociazǎ evcenimentului elementar e i S numǎrul de bile din prima urnǎ. Avem: Y (e ) = 3, Y (e i ) = 2, pentru i = 4 9, Y (e i ) = pentru i = 0, 2, 4, 6, 8, 20, 22, Y (e i ) = 0 pentru i = 2, 3,, 3, 5, 7, 9, 2. Rezultǎ cǎ P (Y = 0) = 8 2 6, P (Y = ) =, P (Y = 2) =, P (Y = 3) = şi deci repartiţia variabilei aleatoare Y este: Y : 6 0 2 3 8 2 Considerǎm acum variabila aleatoare Z care asociazǎ evenimentului elementar e i S perechea de numere (numǎrul de urne ocupate, numǎrul de bile din prima urnǎ). Penrtu cǎ valorile lui Z sunt vectori bidimensionali (perechi de numere) variabila aleatoarte Z se numeşte variabilǎ aleatoare bidimensionalǎ. Avem: Z(e ) = (, 3); Z(e 2 ) = (, 0); Z(e 3 ) = (, 0); Z(e i ) = (2, 2), i = 4, 9; Z(e i ) = (2, ), i = 0, 2, 4, 6, 8, 20; Z(e i ) = (2, 0),, 3, 5, 7, 9, 2; Z(e i )=(3, ), i=22,. Prin urmare valorile acestei variabile aleatoare sunt vectorii (, 3); (, 0); (2, 2); (2, ); (2, 0); (3, ). Probabilitǎţile corespunzǎtoare sunt: P (X =, Y = 3) = 2 6 ; P (X =, Y = 0) = ; P (X = 2, Y = 2) = ; P (X = 2, Y = ) = 6 6 6 ; P (X = 2, Y = 0) = ; P (X = 3, Y = ) =. Repartiţia variabilei aleatoare bidimensionale Z este Z : 6. (, 3) (, 0) (2, 2) (2, ) (2, 0) (3, ) 2 6 Fie acum în general douǎ variabile aleatoare X, Y definite pe acelaşi spaţiu de selecţie S = {e, e 2,..., e n }. Fie x, x 2,..., x k valorile variabilei X şi y, y 2,..., y l valorile variabilei Y. Definiţia 7.. Cu variabilele X, Y putem construi variabila aleatoare vectorialǎ bidimensionalǎ Z = (X, Y ), a cǎrei valori sunt perechile ordonate de numere (x i, y j ) (vectori bidimensionali), pe care le ia cu probabilitatea 6 6 6. r ij = P (X = x i şi Y = y j ), i k, j l. 28

Repartiţia variabilei Z este deci: X Y y y 2 y 3... y j... y l P (X = x i ) x r r 2 r 3... r j... r l p x 2 r 2 r 22 r 23... r 2j... r 2l p 2 x 3 r 3 r 32 r 33... r 3j... r 3l p 3....... x i r i r i2 r i3... r ij... r il p i....... x k r k r k2 r k3... r kj... r kl p k P (Y = y j ) q q 2 q 3... q j... q k Întrucât evenimentele (X = x i ; Y = y j ) realizeazǎ o partiţie a spaţiului de selecţie, suma probabilitǎţilor din tabel este unu: k l r ij =. j= Dacǎ se cunoaşte repartiţia vectorului aleator discret Z = (X, Y ), se poate determina repartiţia fiecǎrei componente. Într-adevǎr, deoarece evenimentele (X = x i, Y = y ), (X = x i, Y = y 2 ),..., (X = x i, Y = y l ), i k sunt incompatibile douǎ câte douǎ şi deoarece (X = x i ) = (X = x i, Y = y ) (X = x i, Y = y 2 )... (X = x i, Y = y l ), avem: p i = P (X = x i ) = r i + r i2 +... + r ik = Analog obţinem: q j = P (Y = y j ) = r j + r 2j +... + r kj = l r ij, i k. j= k r ij, j l. Urmeazǎ cǎ pentru a obţine probabilitatea ca X (Y ) sǎ ia valoarea x i (y j ), vom face suma probabilitǎţilor din linia (coloana) lui x i (y j ). Deci variabila aleatoare X (Y ) are ca tablou al probabilitǎţilor coloana (linia) marginalǎ a tabloului. Din acest motiv, prima coloanǎ (linie) împreunǎ cu ultima coloanǎ (linie) a tabloului constituie repartiţia marginalǎ a variabilei X (Y ). Definiţia 7.2. Variabila X condiţionatǎ de Y = y j are repartiţia: ( x x 2... x i... x k ) P (x y j ) P (x 2 y j )... P (x i y j )... P (x k y j ) unde P (x i y j ) = P (X = x i Y = y j ) = P (X = x i, Y = y j ) P (Y = y j ) 29 = r ij q j, j l.