ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (), 008 "Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ" Του ηµητρίου Α Ντρίζου Σχολικού Συµβούλου Μαθηµατικών Τα παρακάτω θέµατα εντάσσονται στο ίδιο ακριβώς πλαίσιο διδακτικών στόχων µε άλλα προηγούµενα υπό τον τίτλο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (), 007 Γι αυτό διατηρήθηκε και η ενιαία αρίθµηση των θεµάτων των δύο εν λόγω κειµένων Τα κριτήρια για την επιλογή των θεµάτων και αυτής της νέας παρουσίασης: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (), 008 σχετίζονται µε το βαθµό της διδακτικής τους συµβολής στην επισήµανση και στον έλεγχο, σ ένα πρώτο στάδιο, της εµπέδωσης των ιδιοτήτων του µέτρου, των συζυγών µιγαδικών αριθµών και της "γεωµετρίας των µιγαδικών αριθµών " ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΜΑ 4 0 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί και ο µιγαδικός αριθµός w= γ + δ Αν οι µιγαδικοί αριθµοί = x+ y ικανοποιούν την εξίσωση α + w+ w+ β = 0, να αποδείξετε ότι στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των ανήκουν: β α) Στην ευθεία µε εξίσωσηγ x δ y+ = 0, αν α = 0 και ww> 0 β) Στον κύκλο µε εξίσωση ww > αβ γ δ γ + δ αβ x+ + y =, αν α 0και α α α ΘΕΜΑ 5 0 Έστω Ακαι Β τα σύνολα των εικόνων των µιγαδικών αριθµών και wαντιστοίχως, για τους οποίους ισχύουν: (( ) ) Re + 6= 0 και w+ 4 = w+ 4 5 α) Να προσδιορίσετε γεωµετρικά τα Ακαι Β β) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του και να προσδιορίσετε τον για τον οποίο το παίρνει την ελάχιστη τιµή γ) Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους: = w Οι Σηµειώσεις του 007 βρίσκονται αναρτηµένες στη ηλεκτρονική διεύθυνση: http://ddetrschgr/ στην επιλογή Σχ Σύµβ Μαθηµατικών Η Αναλυτική Γεωµετρία που "παράγεται" από γεωµετρικούς τόπους εικόνων µιγαδικών αριθµών
Α Ντρίζος - Μιγαδικοί Αριθµοί (), 008 ΘΕΜΑ 6 0 α) Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύουν οι ισότητες: 5 + = = :() β) Αν = και = + είναι οι µιγαδικοί αριθµοί που ικανοποιούν τις (), να αποδείξετε ότι: 008 008 005 + = ΘΕΜΑ 7 0 Αν, είναι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: = 6 και + = 9, τότε να βρείτε: α) Τους και β) Τους πραγµατικούς αριθµούς α και β για τους οποίους η εξίσωση + α + β = 0 έχει ρίζες τους και ΘΕΜΑ 8 0 Έστω και w µιγαδικοί αριθµοί τέτοιοι, ώστε: Να εκφράσετε τους ως συνάρτηση των w w w + = 6 6 + 8 ΘΕΜΑ 9 0 Να βρείτε τον µιγαδικό, µε Re( ) 0 >, για τον οποίο ισχύει: + = 4 6 ΘΕΜΑ 0 0 Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς ισχύει =, να αποδείξετε ότι ισχύει και: w + w w + w =, όπου w και w συγκεκριµένοι µιγαδικοί αριθµοί, οι εικόνες των ο- ποίων δεν ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου ΘΕΜΑ 0 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί που οι εικόνες τους ανήκουν στον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα Α) Να αποδείξετε ότι: α) Και οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών στον ίδιο κύκλο β) w και + a+ a w= + a /6, όπου a R {,}, ανήκουν
Α Ντρίζος - Μιγαδικοί Αριθµοί (), 008 Β) Έστω a= 0 Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ζεύγη (, ) w για καθένα από τα οποία ισχύει: w = ΘΕΜΑ 0 ν α β + γδ Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί = και w= µε την ιδιότητα: «η εικόνα ν β+ α + γ του w ανήκει στον κύκλο του µιγαδικού επιπέδου µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα δ», όπου α, β, γ, δ συγκεκριµένοι πραγµατικοί αριθµοί µε α 0 ή β 0, 0< γ < < δ και ν θετικός ακέραιος Να αποδείξετε ότι: α) Η εικόνα του ανήκει στον κύκλο του µιγαδικού επιπέδου µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) Οι αριθµοί γ και δ είναι αντίστροφοι ΘΕΜΑ 0 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους: + = και οι w= x+ ( x+ 4), όπου x µεταβλητή που διατρέχει το διάστη- µα [ 4,0] των πραγµατικών αριθµών α) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ανήκουν στον κύκλο του µιγαδικού επιπέδου µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης w και να προσδιορίσετε τους και w για τους οποίους η παράσταση w παίρνει την ελάχιστη τιµή ΘΕΜΑ 4 0 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί, v, w τέτοιοι, ώστε = v = w = k, όπου k > 0, και ο v+ vw+ w µιγαδικός = + v+ w Να αποδείξετε ότι: k Αα) = β) Οι εικόνες των,, v, w ανήκουν στον ίδιο κύκλο C του µιγαδικού επιπέδου Βα) Ο αριθµός ( + v)( v+ w)( w+ ) είναι πραγµατικός + v β) Ο αριθµός ( v ) είναι φανταστικός γ) Αν µεταξύ των εικόνων των αριθµών,, v w δεν υπάρχουν δύο οι οποίες να είναι αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου C ή άκρα χορδής του παράλληλης προς τον /6
Α Ντρίζος - Μιγαδικοί Αριθµοί (), 008 άξονα των πραγµατικών αριθµών, τότε οι εικόνες των αριθµών + v + v ( + v)( v+ w)( w+ ), και σχηµατίζουν ισοσκελές τρίγωνο v v Σχόλιo 0 ( ) ( ) Οι τρεις αριθµοί, v, w είναι στοιχεία του συνόλου C των µιγαδικών αριθµών Και τα στοιχεία ενός συνόλου από απαίτηση της αρχικής έννοιας "σύνολο" θεωρούνται διαφορετικά µεταξύ τους Έτσι, στο 4 0 θέµα οι, v, w θεωρούνται διαφορετικοί µεταξύ τους, χωρίς αυτό να τονίζεται ιδιαίτερα [Ο G Cantor περιέγραψε ως εξής την αρχική έννοια του "συνόλου": «Με τη λέξη "σύνολο" εννοούµε µία οποιαδήποτε συνάθροιση σε ολότητα οριστικών και διακεκριµένων στοιχείων της διαίσθησης ή του στοχασµού µας»] Σχόλιo 0 Στο ερώτηµα Ββ) του 4 ου θέµατος µπορεί κανείς να ζητήσει ν αποδειχτεί ότι ακό- µη δύο αριθµοί (:προφανείς συµµετρικές παραστάσεις) είναι φανταστικοί Όσον αφορά δε, στους περιορισµούς γεωµετρικής υφής που τίθενται στο ερώτηµα Βγ), αυτοί εξασφαλίζουν τη δυνατότητα ύπαρξης του τριγώνου που στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι είναι ισοσκελές Συγκεκριµένα, αποκλείουν την δυνατότητα µηδενισµού των τριών αριθµών ( + v)( v+ w)( w+ ), + v ( v), + v ( v ) και συνακόλουθα ότι οι εικόνες τους είναι συνευθειακά σηµεία του µιγαδικού επιπέδου (Οι συλλογισµοί που απαιτούνται για την αναγκαία µετάφραση των εν λόγω γεωµετρικών περιορισµών στην αλγεβρική γλώσσα, προκύπτουν και ερµηνεύονται πιο εύκολα µε τη συµβολή κατάλληλης γεωµετρικής εποπτείας που εστιάζεται σε συµµετρίες ως προς το κέντρο και τους άξονες που ορίζουν το µιγαδικό επίπεδο) ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Και επειδή τα Μαθηµατικά δεν είναι µόνον "κλασσικές" ή "πρωτότυπες" ασκήσεις και, µάλιστα, διατυπωµένες επακριβώς στο πρότυπο της δοµής και του ύφους που "επέβαλαν" οι Πανελλαδικές Εξετάσεις, στις Σηµειώσεις ενδεικτικού διδακτικού υ- λικού, που σχεδιάζουµε κατά διαστήµατα, συµπεριλαµβάνουµε και εισαγωγικού χαρακτήρα σηµειώµατα ειδικών θεµάτων µε αιχµές θεωρητικού, διδακτικού ή ιστορικο- µαθηµατικού ενδιαφέροντος που, συνήθως, έχουν µόνον ενηµερωτικό χαρακτήρα καθώς δεν συµπεριλαµβάνονται στην σχολική ύλη Το κείµενο που ακολουθεί εντάσσεται στα σηµειώµατα αυτού του τύπου Λίγα λόγια για τις συναρτήσεις του Möbs (Moebs) µε αφορµή το 0 θέµα Στο παραπάνω 0 θέµα, ο w είναι µία µιγαδική συνάρτηση µιας µιγαδικής µετα- D= C : = Η συνάρτηση αυ- βλητής, της, η οποία διατρέχει το σύνολο { } a τή, f ( ) = w=, ανήκει σε µία ειδική κατηγορία µιγαδικών συναρτήσεων που + a στην βιβλιογραφία αναφέρονται ως συναρτήσεις (ή µετασχηµατισµοί) του Möbs 4/6
Α Ντρίζος - Μιγαδικοί Αριθµοί (), 008 α + β Ορισµός: Οι συναρτήσεις f : C C µε τύπο µορφής f ( ) = w=, όπου οι γ + δ α, β, γ, δ είναι γενικά δεδοµένοι µιγαδικοί αριθµοί, καλούνται συναρτήσεις (ή µετασχηµατισµοί) του Möbs Παρατηρήσεις: Θα αναζητήσουµε µια συνθήκη µεταξύ των α, β, γ, δ η οποία θα καθιστά, πρώτον, πιο ενδιαφέρουσες γεωµετρικά τις εν λόγω συναρτήσεις (οι εικόνες της f να µην είναι µονοσύνολα) και δεύτερον, να προκύπτει ότι τα διατεταγµένα ζεύγη,,,,,, 0,0 ( γ δ) ( α β) ( α γ ) και ( β δ ) έχουν τιµή διαφορετική της ( ) α + β Από τον τύπο f ( ) = w=, βλέπουµε πως, αν γ = 0, τότε πρέπει υποχρεωτικά γ + δ δ 0 Ενώ, αν γ 0, ο τύπος της f µπορεί να πάρει την επόµενη κοµβική µορφή: α + β α αδ βγ f ( ) = w= = :() γ + δ γ γ γ + δ Από την τελευταία αυτή µορφή του ( ) f βλέπουµε πως, αν αδ βγ = 0, τότε προκύπτει f ( ) = w= α Στην περίπτωση αυτή, οι εικόνες των αντιστοιχίζονται, µέσω γ της f, στο µοναδικό σηµείο (εικόνα) α γ του µιγαδικού επιπέδου Κάτι τέτοιο όµως αποτελεί µία τετριµµένη περίπτωση και προφανώς δεν παρουσιάζει, τουλάχιστον γεωµετρικά, κάποιο ενδιαφέρον Γι αυτό και οι συναρτήσεις του Möbs θεωρούνται µε την υπόθεση αδ βγ 0 Στο σηµείο αυτό παρατηρείστε πως, δεδοµένης της υπόθεσης αδ βγ 0, εξασφαλίζεται ότι τα διατεταγµένα ζεύγη ( γ, δ),( α, β),( α, γ ) και (, ) γ 0 ισχύει η παραπάνω κοµβική µορφή () β δ έχουν τιµή διαφορετική της ( ) 0,0 Και πως µε Ας έλθουµε τώρα πάλι στο α) ερώτηµα του ου θέµατος για να εξετάσουµε τι συµβαίνει όταν το a γίνει ή -, στο πλαίσιο της παραπάνω κοµβικής µορφής (): Με a= προκύπτει w= + (µε : απαίτηση λόγω του παρονοµαστή) και επειδή τότε µηδενίζεται η παράσταση αδ βγ, εφαρµόζοντας την κοµβική µορφή () βρίσκουµε ότι όλοι οι αριθµοί, µε την ιδιότητα =, αντιστοιχίζονται µέσω της f στον w= για τον οποίο ισχύει: w = Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει πως, όταν a=, ο µοναδιαίος κύκλος των εικόνων των (µε εξαίρεση την εικόνα του = ) απεικονίζεται στην εικόνα του w= που ανήκει στον ίδιο κύκλο αδ βγ Στη σχετική βιβλιογραφία οι συναρτήσεις του Möbs µε την υπόθεση 0 αναφέρονται και ως οµογραφικές συναρτήσεις 5/6
Α Ντρίζος - Μιγαδικοί Αριθµοί (), 008 Με a= προκύπτει w= (µε : απαίτηση λόγω του παρονοµαστή) και επειδή τότε µηδενίζεται η παράσταση αδ βγ, εφαρµόζοντας την κοµβική µορφή () βρίσκουµε ότι όλοι οι αριθµοί, µε την ιδιότητα =, αντιστοιχίζονται µέσω της fστον w = για τον οποίο ισχύει: w = Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει πως, όταν a=, ο µοναδιαίος κύκλος των εικόνων των (µε εξαίρεση την εικόνα του = ) απεικονίζεται στην εικόνα του w= που ανήκει στον ίδιο κύκλο Τέλος, έχει ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι, η συνάρτηση Möbs του ου θέµατος γεωµετρικά µετασχηµάτισε κύκλο (:εικόνες των ) σε κύκλο (:εικόνες των w ) του µιγαδικού επιπέδου (Γενικά οι συναρτήσεις του Möbs απεικονίζουν κύκλους ή ευθείες σε κύκλους ή ευθείες) Υπό το πνεύµα (και) της θεωρίας που αναπτύχθηκε στο σηµείωµα αυτό, µπορούµε να δούµε επίσης και τα θέµατα 0 0 και 0 Βιβλιογραφικές πηγές: [] Hans Schwerdtfeger (979) "Geometry of Complex Nmders", New York: Dover Pblcatons, Inc [] Περιοδικό Ευκλείδης Β της ΕΜΕ [] Ανδρεαδάκης Σ, Κατσαργύρης Β, Μέτης Σ, Μπρουχούτας Κ, Παπασταυρίδης Σ, Πολύζος Γ (007) "Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ τάξης Γενικού Λυκείου", Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως ιδακτικών Βιβλίων [4] Προς δηµοσίευση άρθρο του Ντρίζου: "Μιγαδικοί αριθµοί Η Γεωµετρία των Μιγαδικών Αριθµών" 6/6