5. POLUVODIČI lektronika je grana elektrotehnike koja se bavi gibanjem električki polariziranih naboja kroz vakuum, plinove i poluvodiče, kao i izradom i proučavanjem elemenata i uređaja koji se tim gibanjem mogu iskoristiti u praktične svrhe. Obzirom na razvoj tehnike i tehnologije, elektronika se danas najviše bavi proučavanjem poluvodiča i drugih materijala koji imaju određeno značenje i primjenu u elektronici. Obzirom na kompleksnost predmeta proučavanja elektronike, prema složenosti građe elektronika posebno proučava elektroničke elemente, elektroničke sklopove i elektroničke sustave. U okviru ovog kolegija proučavati će se elektronički elementi sačinjeni iz poluvodiča. Poluvodiči su materijali koji imaju električnu vodljivost manju od vodiča, a veću od izolatora. 5.1. Potencijalna barijera Pretpostavimo postojanje homogenog električnog polja i elektrona izvan električnog polja kao na slici 127. + + + e - v 0 + + d - - - - - - Slika 127. Ubacujemo li potom elektron u polje brzinom v 0, on će imati energiju m = v 2 0 0 Ako je polaritet električnog polja kao na slici 127 ono ga koči, budući je + pol polja na mjestu ulaska elektrona. Sila kojom električno polje djeluje na elektron odnosno na električni naboj q iznosi F r = q r, gdje je F r vektor sile, a r vektor jakosti električnog polja. d x 2. -U ϕ W pot k k p K x Slika 128. 71
Dijagram na slici 128 pokazuje promjenu potencijala za homogeno polje pločastog kondenzatora, uz uvjet uzemljene pozitivne ploče. Potencijalna energija električnog polja je W pot =Q. U, pa će potencijalna energija jednog elektrona u električnom polju biti W pot =q. 0 U. Zbroj kinetičke i potencijalne energije uvijek je konstantan ili: k + pot = k. Promatra li se energija elektrona u točki K dijagrama na slici 128, vidi se da je kinetička energija jednaka nuli, dok je potencijalna energija maksimalna. U toj točci dolazi do refleksije elektrona, tj elektron se počinje vraćati prema + ploči kondenzatora. Veličina energije u toj točci je zapravo visina ili razina energetskog zida kojeg bi elektron trebao preskočiti kako bi došao na drugu ploču kondenzatora, odnosno kako bi probio potencijalnu barijeru ili energetski zid. U atomskoj fizici prikladna jedinica za energiju elektrona je ev, a označava promjenu energije elektrona kada prođe određenu razliku potencijala. Tako će za promjenu energije za 1 ev značiti da elektron promijeni energiju kada prođe razliku potencijala od 1V ili: 1eV=Q. U=1.6. 10-19 As. 1V=1,6. 10-19 J. U kristalu čistog germanija ili silicija na temperaturi apsolutne nule 0 K (-273 0 C) nema slobodnih elektrona, te je tada kristal dobar izolator. Dovodi li se kristalu toplina, atomi počinju titrati, a prosječna energija prosječne čestice na nekoj temperaturi T definirana je Bolzmannovom konstantom k, odnosno kt. Za prosječnu energiju definiranu s kt tada vrijedi: kt=q 0 U T, gdje je: k=1,38. 10-23 JK -1 i q 0 =1,602. 10-19 As. k T T Iz toga slijedi da je U T = = [ V ], gdje je U T temperaturni napon ili q0 11605 naponski ekvivalent temperature emitera elektrona. To bi značilo da bi kod sobne temperature (300 K), temperaturni napon iznosio oko 26 mv, a to znači da bi svaka prosječna čestica imala toliku energiju da može savladati potencijalnu barijeru s razlikom potencijala od 26 mv. U takvom stanju periferni elektroni nekih atoma iskaču u međuatomski prostor, a gubitkom elektrona u atomu nastaje tzv. šupljina ili rupa, tako da atom tada postaje električki pozitivan. On međutim, tada može privući lutajući slobodan elektron i ponovo postati neutralan. Pri konstantnoj temperaturi broj slobodnih elektrona je konstantan, jer se neprestano oslobađa isti broj elektrona koji se spajaju (rekombiniraju) s istim brojem šupljina. Kristal ima zbog takvog toplinskog oslobađanja elektrona i stvaranja šupljina određenu vodljivost. Iako postoji čitav niz poluvodičkih elemanata i spojeva (selen, bakarni oksid, kadmijev sulfid), danas su isključivo u primjeni elementi: silicij i germanij. Atomi slilicija imaju 14, a germanija 32 elektrona koji kruže oko jezgre na različitim putanjama ili stazama (slika 129). Oba atoma imaju po četiri slobodna elektrona u zadnoj stazi, koja se naziva i valentna staza ili ljuska, a određuje kemijska i električna svojstva elementa. 72
8 4 2 4 18 8 2 Si 14 (2+8+4) Ge 32 (2+8+18+4) Slika 129 Atomska struktura silicija i germanija Svaka staza ima svoju potencijalnu energiju koja je točno određena, tako da su i putanje elektrona strogo određene. Prema kvantnoj teoriji atoma, elektroni u jednom izoliranom atomu mogu imati samo određene diskretne količine energije, odnosno mogu zauzimati samo konačan broj među sobom odvojenih energetskih razina. Izolatori i poluvodiči imaju atome koji na temperaturi apsolutne nule imaju popunjene ljuske, čiji elektroni tada ispunjavaju određen broj nižih dozvoljenih eva, ostavljajući sve više dozvoljene eve praznima. Najviši zauzeti dozvoljeni naziva se valencijski, a prvi dozvoljeni iznad njega naziva se vodljivi ili vodljivosti. Između ta dva a kod poluvoduča i izolatora nalazi se tzv. zabranjeni, u koji elektroni pri apsolutnoj nuli ne mogu ući, jer u valencijskom u nema nezauzetih energetskih razina na koje bi ih primljena energija mogla dići. U tom slučaju električno polje nije dovoljno jako, da bi njegova energija prebacila elektrone preko zabranjenog a u vodljivi. Za razliku od izolatora i poluvodiča, u metalima najviši zauzeti dozvoljeni nije zauzet u potunosti elektronima, pa na temperaturi apsolutne nule oni imaju energetske razine u koje ih električno polje može dignuti, pa su metali i na tim temperaturama električki vodljivi. U vodičima, dakle, ima puno nevezanih elektrona koji se slobodno gibaju unutar kristalne rešetke, u poluvodičima se mogu samo pojedini elektroni toplinskim gibanjem istrgnuti iz atomske strukture i postati slobodno pokretljivi, što dovodi do ionizacije, dok su u izolatorima elektroni tako čvrsto vezani, da je ionizacija vrlo mala ili gotovo nemoguća. Raspodjela elektrona po energetskim razinama određena je Fermi-Diracovom raspodjelom, po kojoj se određuje vjerojatnost da će energetska razina biti zaposjednuta elektronom. Ta vjerojatnost prikazana je funkcijom distribucije, a izražena je jednadžbom: 1 F ν= 1 + e kt gdje je k Bolzmannova konstanta, T apsolutna temperatura, a F Fermijeva energija ili Fermijeva energetska razina. Fermijeva energetska razina je ona razina za koju je vjerojatnost da će je zauzeti elektron, jednaka 50 %, a određena je raspodjelom energetskih razina i ukupnim brojem elektrona. Ova razina se nalazi između vodljivog i valentnog a, a različita je za izolatore, vodiče i poluvodiče, kako je to prikazano slikom 130. 73
W izolatori poluvodiči vodiči vodljivi vodljivi vodljivi zabranjeni valentni valentni valentni Slika 130. Raspored energetskih razina Razmak između zadnjeg valentnog a i idućeg vodljivog a iznosi oko 3 ev. Za izolatore je ta vrijednost veća od 3 ev, a za poluvodiče manja od te vrijednosti, dok je za vodiče zabranjeni vrlo mali. Za široke zabranjene e je očita vrlo mala vjerojatnost da će elektron dobiti dovoljno energije veću od vrha idućeg vodljivog a, koja je potrebna kako bi elektron postao slobodan. Razmak zabranjenog a je za poluvodiče oko 1 ev, tako da je na primjer za silicij oko 1,1 ev ili za germanij 0,7 ev. Fermijeva se razina, dakle, kod vodiča nalazi u valentnom u, a kod poluvodiča u zabranjenom u. 5.2. Čisti i onečišćeni poluvodiči Neki poluvodiči su tvari koje pokazuju takva svojstva u savršeno čistom stanju. Takve čiste poluvodiče nazivamo i intrinsičnima zbog savršenstva po svojoj unutarnjoj građi. Po pravilu, to su kristalizirani četverovalentni elemetni (silicij, germanij, sivi kositar), koji imaju četiri elektrona u najvišim energetskim razinama (slika 129). U kristalima tih elemenata, valencijski elektroni potpuno su angažirani u ostvarenju kovalentne veze između atoma i zato su dosta čvrsto vezani. Zabranjeni trebao bi biti srazmjerno uzak, da bi se takvi elektroni termičkom energijom mogli prebaciti preko njega. Kada elektron iz potpuno zauzetog valencijskog a pređe preko zabranjenog a u vodljivi, poluvodič postaje električki vodljiv, pa se u električnom polju uspostavlja struja uslijed gibanja slobodnih elektrona. Na mjestu gdje je bio elektron u valencijskom u, pojavljuje se nezauzeta energetska razina, odnosno pojavljuje se tzv. šupljina, u koju može zbog djelovanja električnog polja uskočiti elektron sa nižih razina valencijskog a. Tamo gdje je bio taj elektron nastaje šupljina, u koju može opet uskočiti elektron iz niže razine i tako redom. Tako elektroni kao nositelji negativnog naboja i unutar valencijskog a putuju iz šupljine u šupljinu, suprotno od smjera polja, a šupljine putuju u suprotnom smjeru ili u smjeru u kojem bi putovao pozitivan električni naboj. lektroni koji su oslobođeni iz atoma ubrzavaju se električnim poljem, ali im brzina ne raste neograničeno, već se oni usporavaju sudarajući se s drugim elektronima, dok se na kraju, nakon određenog razdoblja od njihova izlaska iz atoma koje se naziva trajanje života, ne vežu na neki ionizirani atom. Ovo popunjavanje šupljina elektronima naziva se rekombinacija. Koncentracija slobodnih iona u rešetci 74
poluvodiča rezultat je ravnoteže između ionizacije i rekombinacije, a prividna srednja brzina kretanja elekrona kroz rešetku je na određenoj temperaturi konstantna i linearno ovisna o jakosti polja. Čimbenik proporcionalnosti između srednje brzine kretanja elektrona i jakosti polja naziva se pokretljivost elektrona. Broj slobodnih elektrona eksponencijalno raste s temperaturom. Šupljine se, dakle, ponašaju kao pozitivni naboji, pa se može pokazati da se struja u poluvodiču vodi elektronima i šupljinama. Specijalno se u čistim poluvodičima struja vodi jednako i jednim i drugim nositeljima naboja. Svakim preskokom elektrona preko zabranjenog a stvara se jedan par elektron-šupljina, tako da u čistom poluvodiču ima jednak broj elektrona i šupljina. Intrinsična ili vlastita vodljivost čistih poluvodiča u jednakoj je mjeri N-vodljivost (vodljivost nagativnim nabojima - elektronima) i P-vodljivost (vodljivost pozitivnim nabojima - šupljinama). Ako se čistom poluvodiču poveća koncentracija bilo slobodnih elektrona, bilo šupljina, dobiva se poluvodič s vodljivošću većom od čistih i u kojima prevladava N- vodljivost odnosno P-vodljivost. To se postiže tako što se čistom kristalu četverovalentnih elemenata doda neznatna količina (1/10 5 do 1/10 7 ) nekih drugih elemenata, koje tada zovemo primjesama ili nečistoćama. Postupak onečišćenja ili dodavanja primjesa naziva se dopiranje čistog poluvodiča. Kristalna rešetka čistog poluvodiča prikazana je slikom 131. Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Slika 131 Kristalna rešetka čistog silicija Dodaju li se četverovalentnom čistom siliciju male količine peterovalentnih elemenata (antimona, fosfora, bizmuta, arsena), četiri od pet njegovih slobodnih valencijskih elektrona angažiraju se s četiri valencijska elektrona silicija, te su oni s primjesnim elementom čvrsto kovalentno vezani kao i valencijski elektroni samog silicija. Peti valencijski elektron primjesnog elementa ostaje slobodan, a on unosi u zabranjeni silicija jednu lokalnu visoku energetsku razinu, s koje elektron, lako može preskočiti u vodljivi i time prouzročiti vodljivost. Prikaz peterovalentnog oničešćenja kristalne rešetke silicija dat je slikom 132. Taj slobodni elektron ne stvara šupljinu kao svoj par u valencijskom u, tako da vodljivost ovako onečišćenog poluvodiča predstavlja N-vodljivost. Dodaju li se pak male količine trovalentnih elemenata (galija, indija, bizmuta, aluminija), tri njegova slobodna valencijska elektrona angažiraju se s tri valencijska elektrona silicija, te su oni s primjesnim elementom čvrsto kovalentno vezani kao i valencijski elektroni samog silicija. 75
Si Si Si Si Si P Si Si Si Si Si Si Slika 132 Kristalna rešetka dopiranog silicija peterovalentnim primjesama Četvrti valencijski elektron silicija ostaje slobodan, a on unosi u zabranjeni silicija jednu lokalnu nezauzetu visoku energetsku razinu, na koju elektron, lako može preskočiti iz valencijskog a i time ostaviti za sobom šupljinu koja će prouzročiti vodljivost. Kako u vodljivom u takvog primjesnog elementa nema elektrona, koji bi bio par šupljini u valencijskom u, takva vodljivost je P-vodljivost. Prikaz trovalentnog oničešćenja kristalne rešetke silicija dat je slikom 133. Trovalentni primjesni element zove se stoga primalac ili akceptor, jer njegov atom prima elektrone iz susjednog četverovalentnog atoma pretvarajući se u negativan ion. Peterovalentni primjesni element zove se davalac ili donor, jer njegov atom daje elektron u kristalnu rešetku pretvarajući se u pozitivni ion. Si Si Si Si Si Al Si Si Si Si Si Si Slika 133 Kristalna rešetka dopiranog silicija trovalentnim primjesama Ovisno o količini nosilaca naboja u kristalnoj rešetci dopiranih poluvodiča, može se raditi o većinskim ili manjinskim nosiocima naboja Poluvodiči koji imaju elektrone kao većinske nosioce zovu se tipa N ili N-tip poluvodiča, odnosno oni koji imaju šupljine kao većinske nosioce zovu se tipa P ili P- tip poluvodiča. 76
Slično djelovanju primjesa može se efekt dopiranja pojaviti i u čistim poluvodičima ukoliko imaju deformaciju kristalne rešetke. U intrinsičnom poluvodiču razina Fermijeve energija sa nalazi u sredini zabranjenog a, kako je to prikazano slikom 134. W vodljivi zabranjeni F valentni Slika 134. Fermijeva razina čistih poluvodiča nergetski promatrano, slabo vezan peti elektron u N tipu poluvodiča ima energetsku razinu koja leži neposredno ispod vodljivog a i nalazi se za 0,054 ev ispod vodljivog a kako je to prikazano slikom 135. W F vodljivi valentni Slika 135. nergetske razine poluvodiča N tipa Fermijeva razina, u P tipu poluvodiča nalazi se između gornje granice valentnog a i akceptorske razine. Kako je potrebna vrlo mala energija da elektron napusti valentni i zauzme akceptorsku energetsku razinu, tada šupljine, generirane u valentnom u ovim elektronima, čine većinski broj nosilaca u poluvodičkom materijalu, kako je to prikazano slikom 136. W F vodljivi zabranjeni valentni Slika 136. nergetske razine poluvodiča P tipa Donorska energetska D razina zabranjeni Akceptorska energetska A razina Kod poluvodiča N tipa postoji razlika između količine atoma i količine donora, tako da je na primjer kod silicija koncentracija atoma u volumenu N Si =5. 10 22 atoma/cm 3, a koncentracija donora N D 10 13 10 19 atoma/cm 3. Iz ovoga je vidljivo da je primjesa za oko milion puta manje od temeljnih atoma intrisičnih poluvodiča. Kod intrisičnih poluvodiča, kvadrat koncentracije slobodnih elektrona n i 2 jednak je kvadratu koncentracije šupljina p i 2 ili: 77
2 2 3 i i n = p = C T e T G, gdje je: G - širina energetskog procjepa u ovisnosti o temperaturi, T - temperaturni napon, T - temperatura u K, a C - konstanta koja za silicij iznosi 1,5. 10 33 K -3, a za germanij 3,1. 10 32 K -3. 5.2.1. Zakon termodinamičke ravnoteže Produkt koncentracije slobodnih elektrona u vodljivom u i šupljina u valentnom u jednak je kvadratu intrisične koncentracije: n. p=n 2 2 i =p i Ovaj izraz vrijedi i za intrisične i dopirane poluvodiče, jer se broj generacija (stvaranje para elektron-šupljina radi rekombinacije) jednak broju rekombinacija, a taj je jako ovisan o temperaturi. Produkt koncentracija je dakle kao što je prije navedeno jednak: 5.2.2. Zakon neutralnosti 2 2 3 i i T n = p = C T e = n p Kako bi poluvodič bio električki neutralan, zbroj svih negativnih električkih naboja mora po apsolutnom iznosu biti jednak zbroju svih nosilaca pozitivnog naboja. Ako poluvodič ima N D donorskih atoma i N A akceptorskih, tada se zakon električke neutralnosti može numerički izraziti u obliku: p+n D =n+n A Ovako formulirani zakon vrijedi kod temperatura na kojima su svi donorski i svi akceptorski atomi ionizirani. Za slučaj N tipa poluvodiča N A =0 i n N >>p N, pa je tada p N +N D =n N, gdje su šupljine manjinski nosioci pa je tada n N N D. To znači da je kod poluvodiča N tipa koncentracija slobodnih elektrona jednaka koncentraciji donorskih atoma, što nadalje znači da se koncentracija slobodnih elektrona u takvom tipu poluvodiča može kontrolirati. Tu nastaje bitna razlika prema ponašanju čistog poluvodiča kod kojih koncentracija nosilaca naboja jako ovisi o temperaturi i ne može se kontrolirati. Primijeni li se zakon termodinamičke ravnoteže za poluvodič N tipa dobije se: n. N p N =n 2 i ili p N =n 2 i /N D. Na sličan način mogu se postaviti odnosi za poluvodiče P tipa: p P N A, pa je n. P p P =n 2 i, što daje n P =n 2 i /N A. G 5.3. lektrična struja u poluvodičima Poluvodiči, čisti ili s primjesama, N ili P tipa, imaju vodljivost jednaku u oba smjera ukoliko se priključe na napon, kao je to prikazano slikom 137. 78
i(a) u(v) Slika 137. Krivulja vodljivosti poluvodiča Kao i kod metalnih vodiča otpor materijala prolazu električne struje promatra se na određenoj duljini l uz određen presjek S. Kada struja teče kroz poluvodič ili metal, većina slobodnih elektrona kreće se u smjeru struje brzinom manjom u odnosu na kaotično gibanje naboja u materijalu. Tada se zapravo radi o pomicanju oblaka elektrona, te se onda brzina pomicanja elektrona naziva driftna (drift eng. - posmak) brzina. Ako u poluvodiču postoji električno polje r tada između brzine elektrona i električnog polja postoji linearna ovisnost: r r v= µ n Isto tako vrijedi analogna relacija za šupljine: r v r = µ p Predznak minus je posljedica negativnog naboja elektrona u smjeru suprotnom smjeru električnog polja, a veličina µ predstavlja pokretljivost elektrona odnosno šupljine. Pokretljivost nije konstantna veličina i ovisi o vrsti poluvodiča, temperaturi, tipu i razini onečišćenja. Kod intrisičnog silicija na temperaturi od 300 K vrijednosti su sljedeće: µ n =1350 cm 2 /Vcm i µ p =480 cm 2 /Vcm. Linearna veza između brzine i jakosti električnog polja odnosi se na polja manja od 10 3 V/cm. Ako je koncentraciji slobodnih elektrona n, tada se struja koja teče kroz definiranu duljinu l materijala s presjekom S može prikazati izrazom: I= n ve q0 S Ukoliko sada zamijenimo driftnu brzinu izrazom v e =µ n, dobiva se izraz: I = n µ n q0 S i ako zamijenimo s U/l, nakon sređivanja se dobije: U 1 l = I n q0 µ n S Izraz u zagradi očito predstavlja fizikalni oblik specifičnog otpora ρ, jer je cijeli izraz fizikalni oblik Ohmovog zakona, a recipročna vrijednost specifičnog otpora 1/ρ=σ je specifična vodljivost. Kao što je poznato gustoća struje je I=I/S, pa se uvrštavanjem izraza za Ohmov zakon dobiva: I 1 U 1 l 1 I = = = = = σ S S R S l ρ ρ S Ovdje se postavlja pitanje što je to električna vodljivost materijala koji sadrži i elektrone i šupljine, pa se koristi drugi izraz za gustoću struje: I 1 Q 1 q0 p V 1 q0 p S l I = = = = = q0 p vd = q0 p µ p S S t S t S t 79
Gustoća struje i elektrona i šupljina je tada dana izrazom: ( ) I = q0 p µ p + q0 n µ n = q0 p µ p + q0 n µ n Usporedi li se ovaj izraz s prethodnik gdje je I=σ. vidi se da je izraz u zagradi specifična vodljivost: σ = q0 p µ p + q0 n µ n Iz tog izraza je vidljivo da je specifična vodljivost ovisna o koncentraciji p čestica (šupljina), njihovoj pokretljivosti µ P, te o istim takvim parametrima n čestica (elektrona). Za specifičnu vodljivost P tipa poluvodiča vrijedi da je σ P q. 0 p. µ p, a za N tip σ N q. 0 n. µ N. Doda li se poluvodiču jednak broj trovalentnih i peterovalentnih primjesa dobiva se kvaziintrisičan poluvodič. Doda li se više trovalentnih od peterovalentnih primjesa, prevladati će trovalentne primjese, a to se radi vrlo često kada se želi iz N tipa poluvodiča dobiti P tip. Kod nehomogenih poluvodiča koji nije jednako dopiran po cijeloj površini dolazi do pojave difuzne struje, kada šupljine prelaze iz područja veće koncentracije u područje manje koncentracije, kako je to za P tip poluvodiča prikazano slikom 138. Slika 138. Utjecaj električnog polja na nehomogeni P poluvodič U promatranom poluvodiču na mjestu x 1 je veća koncentracija šupljina nego na mjestu x 2, pa dolazi do difuzije. Zbog difuzije dolazi do pomicanja šupljina tako da se stvara razlika potencijala, a time i električno polje koje se tome protivi. Tako nastaje struja zbog razlike koncentracija i struja uslijed električnog polja. Postojanje 80
gradijenta koncentracije slobodnih nosilaca elektriciteta izaziva difuziju nosilaca u smjeru manje koncentracije uslijed čega struja protječe kroz poluvodič. Gustoća struja šupljina tada je jednaka: I P = q p P + q D dp 0 µ 0 P, dx gdje je izraz u zagradi gustoća diofuzione struje I DIF, a u njemu D P difuziona konstanta za p čestice koja ovisi o materijalu i q 0 naboj elektrona. dp dx je promjena (gradijent) koncentracije šupljina po x osi. Iz izraza za I DIF je vidljivo da će difuziona struja rasti što se više mijenja koncentracija. Stoga će kod ostvarivanja PN spoja uslijed vrlo velikih koncentracija na malom području poteći vrlo velike difuzione struje. Ukoliko se potencijalom izbalansira difuzija, tada je gustoća struja šupljina jednaka nuli pa se nakon sređivanja izraza za difuznu struju dobije: D P dp = dx, gdje vrijedi D = U µ T, tako da je = p p µ U dp T dx. p Ovaj izraz treba integrirati u području od x 1 do x 2 te se dobije: x 2 p -UT ln dx U p + = = 21. x1 Potencijal U 21 je potencijal koji sprečava difuzne struje i naziva se kontaktni potencijal U K. Odnos kontaktnog napona i temperaturnog može se prikazati izrazom: U U K T + + p = ln ili p p p = e U U K T ZADATAK 1: Polazeći od izraza za funkciju raspodjele slobodnih elektrona u vodljivom u izračunajte koncentraciju elektrona u vodljivom u. Isto ponovite za šupljine u valentnom u. Za koncentracije elektrona i šupljina u poluvodičima vrijedi Maxwel-Boltzmanova statistika : dn()=8 2π m h 3 vodljivom u d(p)=8 2π m h 3 u gdje je : 32 / ( F ) e T g e d 32 / ( F ) p e T d m e =0.33m 0 efektivna masa elektrona m p =0.55m 0 efektivna masa šupljina k=1.381 10-23 J/K Bolzmanova konstanta h=6.626 10-34 Js Planckova konstanta 81 - razdioba koncentracije elektrona u - razdioba koncentracije šupljina u valentnom Koncentracija elektrona po energijama dobiva se kao integral dn() od g do beskonačnosti iz razloga što elektroni zauzimaju energetska stanja od dna vodljivog a, dok se koncentracija šupljina dobiva kao integral dp() u valentnom u s granicama integracije od minus beskonačno do nula (slika 139). Nakon što se provede operacija integriranja dobiva se:
F g T T n=n c e p= N p e gdje je N c =N p =7.2. 10 15 T 3/2 cm -3 ukoliko pretpostavimo m p =m e. F vodljivi - raspodjela koncentracije elektrona po energijama Slika 139. Koncentracija nosilaca po energijama ZADATAK 2: Izračunajte koncentraciju slobodnih nosilaca u intrinsičnom siliciju na temperaturi 300K. Za silicij na temperaturi 300K je g (300)=1.12eV. Obzirom da je silicij intrinsičan vrijedi da je Fermijeva razina na polovici zabranjenog područja ( F =0.5 g ) te vrijedi slijedeća formula za koncentraciju: 3 g 0 ( T) g zabranjeni valentni T n = p= ni = ct 2 2 e gdje je c=7.2. 10 15 K -3/2 cm -3 Nakon uvrštavanja slijedi: n=p=n i =1.45. 10 10 cm -3 ZADATAK 3: Siliciju je dodana koncentracija akceptorskih primjesa N A =1.45. 10 15 cm -3 i donorskih N D =1.5. 10 15 cm -3. Treba izračunati koncentraciju slobodnih nosilaca na temperaturama: a) 273K b)300k c)423k Obzirom da je N D >N A poluvodič je n-tipa N D -N A =5. 10 13 cm -3 Upotrebom formule zakona termodinamičke ravnoteže n. 2 p=n i i formule zakona neutralnosti p+n D =n+n A slijedi za n-tip poluvodiča ND NA + ( ND NA) + n 2 4 i ni n = p = 2 n a) T=273K g =1.128eV n i =1.256. 10 9 cm -3 N D -N A >>n i 4n 2 i <<(N D -N A ) 2 n=n D -N A =5. 10 13 cm -3 p=n 2 i /n=3.16. 10 4 cm -3 b) T=300K g =1.12eV n i =1.45. 10 10 cm -3 N D -N A >>n i 4n 2 i <<(N D -N A ) 2 n=n D -N A =5. 10 13 cm -3 p=n 2 i /n=4.21. 10 6 cm -3 c) T=423K g =1.082eV n i =2.2. 10 13 cm -3 N D -N A =n i n=5.83. 10 13 cm -3 p=n 2 i /n=8.3. 10 12 cm -3 - raspodjela koncentracije šupljinana po energijama 82
n,p n i n 100 kstrinsično temperaturno područje, koncentracija n=n D. 300 500 Slika 140 Temperaturna ovisnost koncentracije nosilaca Za područje temperatura do 100 K koncentracija većinskih nosilaca (u našem slučaju elektroni) raste dok se svi donori ne ioniziraju, koncentracija manjinskih nosilaca je zanemariva. U području temperatura od 100-500 K koncentracija elektrona je praktički konstantna, dok je koncentracija manjinskih nosilaca i dalje zanemariva. To područje se naziva ekstrinsično područje i u tom području poluvodič ima željena svojstva. Za temperature veće od 500 K poluvodič koji je do sada bio n-tipa teži intrinsičnom, tj. koncentracija elektrona i šupljina teži koncentraciji n i koja također ovisi o temperaturi. Poluvodič u tom području nazivamo kvaziintrinsičnim. ZADATAK 4: Izračunajte energiju Fermijeve razine silicija na 300K koji je: a) intrinsičan b) onečišćen s N D =5. 10 15 cm -3 c) onečišćen s N A =5. 10 15 cm -3 d) onečišćen s N A =N D =5. 10 15 cm -3 ( g F ) a) n=p=n i =1.45. 10 10 cm -3 T T N ce = N pe F = g /2 + T /2. ln(n p /N c ) F = g /2=0.56eV b) N D =5. 10 15 cm -3 n=n D =N. c exp(-( g - F )/ T ) F = g -. T ln(n c /N D ) F =0.89eV c) N A =5. 10 15 cm -3 p=n A =N. p exp(- F / T ) F =. T ln(n p /N A ) F =0.23eV d) N A =N D n+n A =p+n D n=p=n i Poluvodič se kompenzira, nazivamo ga kvaziintrinsičan poluvodič za koji vrijedi F = g /2=0.56eV, a razlika u odnosu na intrinsičan je ta što ima manju pokretljivost elektrona i šupljina. F p T (K) g n-tip Fi = g /2 p-tip 0 Slika 141. Fermijeva razina u ovisnosti o koncentraciji 83
ZADATAK 5: Odrediti tip silicija i koncentraciju donora ako je na temperaturi 300K Fermijeva razina udaljena 0.3eV od vrha valentnog a (slika 142), a poznata je koncentracija akceptora N A =4. 10 14 cm -3. Za T=300K širina zabranjenog područja iznosi g =1.12eV. g Fi = g /2=0.56eV 0 Slika 142. F =0.3eV< g /2 p-tip poluvodiča p=n. p exp(- F / T )=3.41. 10 14 cm -3 N A =4. 10 14 cm -3 >p,u poluvodiču postoje i donori N D. p=n A -N D N D =p-n A =5.88. 10 13 cm -3 0.3eV 84