ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α<<β Εάν για κάθε [ a, ] ισχύει : Lim[ f ( ) ( a) ] και a a f ( ) [ f ( a) f ( )], τότε : α) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς f(α) και f(β) (Υπόδ:Από την ανισότητα και το ΟΡΙΟ) f ( ) f ( ) f '( ) f '( ) β) νδο υπάρχουν ξ, ξ στο (α,β) τω (Υπόδ: απαλοιφή παρανομαστών + Roll στα [α,] και [,β] για την f()) γ) Εάν επιπλέον η f'' είναι ΣΥΝΕΧΗΣ και για κάθε συνάρτηση g: R R (με ΣΥΝΕΧΗ g'') και [ g(α)=g(β) ] ΙΣΧΥΕΙ η ισότητα : f ( ) g''( ) d, τότε νδο f=c για κάθε στο [α,β] (Υπόδ: όπου g βάζω την f) a Θ) Έστω η συνάρτηση f:r R η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη στο R Εάν R f ( ) [ f '( )], τότε : ισχύει α) νδο η συνάρτηση f '' = c (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση φορές) β) Εάν επιπλέον f ' () = 3, τότε νδο : f() = +, R γ) Εάν g: [-, ] R, g ΣΥΝΕΧΗΣ, και g[-,]=[ -5/, -3/ ], τότε νδο υπάρχει ξ στο (-,) τω f ( ) g( ) (Υπόδ: Μελέτη της f στο [-,] και Bolzano για την f()-g()- στο [-,]) Lim δ) Να υπολογισθεί το dt f ( t) (Υπόδ: <<t<+, και χτίζω την συνάρτηση που είναι μέσα στο ολοκλήρωμα, και κριτήριο παρεμβολής)
Θ3) α) νδο η ΕΞΙΣΩΣΗ ln διάστημα (,) έχει μοναδική θετική ρίζα η οποία περιέχεται στο β) Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) (ln ) και g( ) β) νδο υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός τωη εφαπτομένη ευθεία της C f στο Α(,f( )), να είναι ΚΑΘΕΤΗ στην εφαπτομένη ευθεία της C g στο σημείο Β(,g( )) (Υποδ: f '() g '()= - & (α)) β) Να εξετασθεί η συνάρτηση f ως προς την ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ β3) Να βρείτε όλους τους θετικούς αριθμούς α,β για τους οποίους ισχύει (Υποδ: μελέτη της f ' για μονοτονία και ακρότατα) ln β4) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I d (Υποδ: σπάω την συνάρτηση και χρησιμοποιούμε την f ' & g ') 3 ln a ln a Θ4) Έστω f R R : μία παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει : f ( ) f ( y) y ( y) f ( ) y, y R, y () α) νδο f '( ) f ( ) (Υποδ: Ορισμός Παραγώγου και ()) β) Εάν f ( ), νδο γ) Εάν g ) (Υποδ:g()= ' g()) f ( ) h και '( )?? f ( ) (Υποδ: ( ) ( f ( t) dt τότε να υπολογισθεί το I g( ) d δ) νδο f ( ) d ( f ( )) d h )
(Υποδ: αντικαθιστώ την f και μελετάμε την εσωτ,συνάρτηση σε μονοτονία και ακρότατα) Lim g( ε) Να υπολογισθεί το ) (Υποδ: ΘΜΤ της g στο [,] και g()= ) Θ5) Έστω f R R : μία συνάρτηση ΚΥΡΤΗ στο R Εάν f()=f()=, τότε νδο : α) Υπάρχει μοναδικό ) (, τω '( ) o f ( Υποδ: Roll & μονοτονία f ') β) Η συνάρτηση f παρουσιάζει ΕΛΑΧΙΣΤΟ στο o (Υποδ: Από (α)) γ) Για κάθε (,) ισχύει f ( ) (Υποδ: Από (β)) δ) f ( a) f ( ) a f ( ) f (8) 4 f (3) (Υποδ: f ΚΥΡΤΗ σε [α,β] f,( όjensen ) ) ε) () Lim f (Υποδ: Για α> o, τύπος της εφαπτομένης ευθείας (ε) στο (α,f(α)) και f ( ) ύ ( ) : y και εφαρμόζω ΟΡΙΑ) Θ6) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει i z z, () α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z που ικανοποιούν την σχέση () (Υποδ: ιδιότητες ΣΥΖΥΓΟΥΣ και ΜΕΤΡΟΥ) t a β) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ) dt, a, () και τον μιγαδικό αριθμό Nα αποδείξετε ότι: z f ) i, R (, (3) ο οποίος ικανοποιεί την σχέση () β) Η f αντιστρέφεται, (Υποδ: μονοτονία της f) β) Οι εικόνες των μιγαδικών z που δίνονται από την (3) βρίσκονται πάνω στο γράφημα της f -- (Υποδ: Συμμετρία των f & f - και μορφή του z) β3) R( z) Im( z), R (Υποδ: αντικαθιστώ τον z στην ()) β4) a, (Υποδ: από ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ προκύπτουν ΙΣΟΤΗΤΕΣ και ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ με Frmat)
β5) f () f () (Υποδ: ΘΜΤ στο [,] και μονοτονία της f ') β6) Να βρεθεί το ΠΡΟΣΗΜΟ της f, (Υποδ: f()= και μονοτονία της f) β7) f ( ) f ( ), R, (Υποδ: Χρήση της () και u= -) 4 β8) f ( ) d f () ln ( ) (Υποδ: ' ) Θ7) νδο : z w z w z w z, wc, (Υποδ: ή με ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ σε ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ή με z z w w ) Θ8) Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι ΟΡΙΣΜΕΝΗ και ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο [,] με f '()> για κάθε στο [,], και f ( ) d 4 () Να αποδείξετε ότι η ΕΞΙΣΩΣΗ f ( ) 3 3 έχει μία μόνο λύση στο (,) (Υποδ: Θεωρώ h ( ) f ( ) 3 3, και εάν δεν εφαρμόζεται Bolzano, τότε ελέγχουμε Roll στην Παράγουσα της h, H ( ) h( t) dt και μονοτονία της h) Θ9) Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν: f '()= και f ( ) f ( y) f ( y),, y R y α) νδο f '( ) f ( ) (Υποδ: Υπολογισμός f '() με τον ο τύπο και υπολογισμός του f())
β) νδο ο τύπος της f είναι : f ( ) (Υποδ: από το (α) παρατηρώ κάποια παραγώγιση ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ) γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας σε κάποιο σημείο καμπής της C f (Υποδ: Μελέτη ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ και ΣΚ ) δ) νδο 4, [,] (Υποδ: Από το (γ) χρησιμοποιούμε την σχέση που έχει η εφαπτομένη ευθεία σε ΚΟΙΛΗ ή ΚΥΡΤΗ καμπύλη) Θ) Έστω συνάρτηση f (,) R ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο, ) α) νδο f ( ), : με f ( ), () η οποία είναι f '( ) f f ( ) () (, με f()= και ln ( ) (Υποδ: από την () προκύπτει ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ γινομένου) β), : ( ) f ( ) f ( ) (Υποδ: ΘΜΤ για την f στο [,] και ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ της f ') γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της ΕΞΙΣΩΣΗΣ: f ( ) στο, ) (Υποδ: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ κατάλληλης συνάρτησης και ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ της) f ( ) 3 δ) νδο: d (3 ) (Υποδ: Χρησιμοποιώντας το (β) ερώτημα, ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΩ κατά μέλη και αντικαθιστώ την f() με f ( ) τον τύπο της κρατώντας όμως την ποσότητα d ) ( Θ) Έστω f μία ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ συνάρτηση στο, ) ( με f ( ) a (, ), για την οποία συνάρτηση ισχύει: ( f '( ) )( f ( ) ln ) a () α) νδο: [ f ( ) ln ] a (Υποδ: από την () προκύπτει ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ)
β) νδο: f ( ) a ln (Υποδ: Από το (α) προκύπτει σχετική ισότητα, μελετώ το πρόσημο κάθε μέλους ή ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ, ή με ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ μέσω ΠΡΟΣΗΜΟΥ συναρτησης, ριζών,συνέχειας,μονοτονίας,κλπ) γ) Να μελετηθεί η f ως προς ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ και ΑΚΡΟΤΑΤΑ δ) Εάν f ( ), τότε να βρεθεί η ΕΛΑΧΙΣΤΗ τιμή του α ln( ) ε) Για την ελάχιστη τιμή του α που βρήκατε, νδο: (Υποδ: ΘΜΤ της f σε κατάλληλο διάστημα, και ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ της f ')