Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι άρρητος, ορίζουµε lim ρν, ρητών µε lim ρ. Επιπλέον ορίζουµε, ν ν η δύνµη, µε < κι άρρητο. v όπου ρνκολουθί γι κάθε >, ενώ δεν ορίζετι Έτσι το σύµβολο, εφόσον το πίρνει κι άρρητες τιµές ορίζετι µόνο γι. III. Αν, β R κι, Rτότε ( β a ( β β β (. ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ >, Ορίζουµε εκθετική συνάρτηση µε βάση τον > κι : f : µε R R f (, >. Εάν τότε έχουµε τη στθερή συνάρτηση f ( ηλδή η εκθετική συνάρτηση, > έχει πεδίο ορισµού το R ηλδή η εκθετική συνάρτηση, > έχει πεδίο τιµών το (, Γενικά ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση κάθε συνάρτηση που περιέχει µετβλητή έστω σε εκθέτη. R

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Πράδειγµ Η f µε Η g µε f ( είνι εκθετική. g ( είνι εκθετική Ενώ η f µε f ( δεν είνι εκθετική.. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ < < > Η f ( γν. φθίνουσ στο R,δηλ. γι Η f ( γν. ύξουσ στο R, δηλ. γι < f ( > f ( > < f ( < f ( < Η γρφική πράστση έχει σύµπτωτο τον άξον (, lim f ( lim f ( O κι τέµνει τον ' στο Η γρφική πράστση έχει σύµπτωτο τον άξον (, lim f ( lim f ( O ' κι τέµνει τον ' στο Αν η f µε f ( είνι στθερή

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Πράδειγµ Θεωρούµε τη συνάρτηση f(,. Ν βρείτε γι ποιες τιµές του i. ορίζετι η συνάρτηση στο R ii. είνι εκθετική iii. είνι στθερή iv. είνι γνησίως µονότονη v. είνι - vi. Ν κάνετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης γι τις διάφορες τιµές του i. Η συνάρτηση ορίζετι γι κάθε > > R, εφόσον είνι : ( > ( < ή > ii. Εφόσον ορίζετι, η συνάρτηση είνι εκθετική ν ισχύει :. Αρά η συνάρτηση είνι εκθετική γι < ή < < ή > iii. Η συνάρτηση είνι στθερή ν iv. Εφόσον δε µς ενδιφέρει το είδος µονοτονίς, η συνάρτηση θ είνι γνησίως µονότονη, γι τις τιµές του που είνι εκθετική, δηλδή ότν < ή < < ή >. v. Γι τις ίδιες τιµές θ είνι κι -, διότι η εκθετική είνι -. vi. Εδώ θ πρέπει ν εξετάσουµε το είδος της µονοτονίς, γι ν µς βοηθήσει στη γρφική πράστση της συνάρτησης.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Αν > > > > > ( > ( < Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ ή >. Αν < < < <, η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ Αν, η συνάρτηση είνι στθερή, µε τιµή f ( Ανκεφλιώνοντς έχουµε : εν ορίζετι Γνησίως ύξουσ Γν. φθίνουσ Γνησίως ύξουσ στθερή Ν προσέξουµε: Ο πρπάνω πίνκς φορά τις τιµές του κι όχι του.η συνάρτηση, εφόσον είνι µονότονη, δεν λλάζει είδος µονοτονίς σε όλο το R. Έτσι έχουµε την κόλουθη γρφική πράστση. < ή > < <

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (, ΟΠΟΥ lim(, 7 ν ν. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ f ( f ( ± κ (πάνω ( ή κάτω (- κτά κ µονάδες f ( f ( ± κ (δεξιά (- ή ριστερά ( κτά κ µονάδες Πράδειγµ Ν κάνετε τις γρφικές πρστάσεις των πρκάτω συνρτήσεων στο ίδιο σύστηµ ξόνων: i. f ( ii. g ( iii. h ( Σχεδιάζουµε πρώτ τη γρφική πράστση της συνάρτησης. i. Η γρφική πράστση της f προκύπτει πό τη γρφική πράστση της ii. Η ν τη µεττοπίσουµε δυο µονάδες δεξιά. C g θ προκύπτει πάλι πό την, µεττοπίζοντς την µι µονάδ κάτω (άρ η C έχει οριζόντι σύµπτωτη την. g

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. iii. Τέλος, η κάτω ή πό την δεξιά. Η C h προκύπτει πό τη µεττόπιση της C fκτά µι µονάδ προς τ κτά µι µονάδ κάτω κι στη συνέχει δυο µονάδες C h έχει την ίδι σύµπτωτη µε την C g. C g C f C h. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ( & f g ( ( ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ' Είνι: g( ( f ( (

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. 7. Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΙΝΑΙ «-» Αν κι µε πγωγή σε άτοπο ποδεικνύετι ότι ν κι ισοδύνµ. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ονοµάζουµε κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο ή συνάρτηση του γνώστου σε εκθέτη. Πράδειγµ: i. Η εξίσωση ii. Η εξίσωση 7 είνι εκθετική είνι εκθετική iii. Ενώ η εξίσωση δεν είνι εκθετική... 9. ΚΥΡΙΟΤΕΡΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΥΣΕΩΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ η f ( µορφή: β ή β δηλδή έχουµε έν µόνο µονώνυµο στο µέλος κι έν µόνο µονώνυµο στο β µέλος, κθώς κι ενώ β R Γι ν επιλύσουµε υτήν την εκθετική εξίσωση δικρίνουµε δυο περιπτώσεις: Αν έχουµε ή µπορούµε ν δηµιουργήσουµε δυνάµεις της ίδις βάσης λύνουµε την εξίσωση µε χρήση της µ ν ( µ ν Προσοχή!!! Εάν > τότε > γι κάθε R. (π. χ. δύντη 7

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Πρδείγµτ Ν λυθούν οι εξισώσεις i. 79 ii. i. 79 iii. ii. ( iii. ± Εάν f ( β κι ο β δεν µπορεί ν γρφεί σν δύνµη του τότε η εξίσωση λύνετι µε λογρίθµιση... Πράδειγµ: Ν λυθούν οι εξισώσεις: i. ii. i. ( ii. δύντη φού >, γι κάθε IR Προσοχή!!! Το µπορεί ν γρφεί σν δύνµη οπουδήποτε ριθµού,. Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση: ± Άσκηση : Ν λυθούν οι εξισώσεις

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. i. ii. 7 iii. iv. v. vi. 7 7 i. ± ± ii. 7 7 ( 7 7 ή iii. iv. δύντη ± v. vi. 7 7δύντη η µορφή: f ( ηµιουργούµε (ν είνι δυντόν δυνάµεις µε την ίδι βάση κι τον ίδιο εκθέτη κι στη συνέχει λύνουµε την άσκηση µε βοηθητικό άγνωστο. Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση : 9 9 9 ( ( ( θέτω 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ή Γι έχουµε Γι έχουµε δύντη φού > η µορφή : f ( g( β Ότν δεν µπορούµε ν δηµιουργήσουµε δυνάµεις µε την ίδι βάση τότε προσπθούµε ν λύσουµε την άσκηση δηµιουργώντς δυνάµεις µε τον ίδιο εκθέτη, «µζεύουµε», στη συνέχει χωρίζουµε στ µέλη της εξίσωσης τις δυνάµεις µε όµοιες βάσεις, κάνουµε νγωγές οµοίων όρων, χωρίζουµε γνωστούς πό άγνωστους κ.τ.λ. ο Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση: 7 7 7 ( ( ( ο Πράδειγµ 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Ν λυθεί η εξίσωση: 9 9 ( 9 9 9 7 9 9 7 9 ( 7 ( ( η g ( µορφή: [ f ( ] Οι εξισώσεις υτές έχουν λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων: f ( ή g ( κι f ( > ή f ( κι g ( άρτιος ο Πράδειγµ: Ν λυθεί η εξίσωση: ( 7 Η εξίσωση έχει λύσεις: 7 ή Προσοχή!!! Εάν f ( > λύνοντι κι µε λογρίθµιση. 7> γι κάθεχ < 7> ή ο Πράδειγµ : Ν λυθεί η εξίσωση: ( 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. η f ( µορφή: [ f ( ], f ( >, > Η εξίσωση έχει λύση τη λύση της f ( Πράδειγµ: 7 Ν λυθεί η εξίσωση : ( 7 7 7 > γι κάθε Rφού < Έχουµε: ( 7 7 7 7 ή Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση: ( η µορφή.. η µορφή: Σε µερικές περιπτώσεις γι ν λύσουµε εκθετική εξίσωση (που δεν µπορούµε ν τη λύσουµε µε τις προηγούµενες µεθόδους διιρούµε τ µέλη της εξίσωσης µε µι πό τις υπάρχουσες δυνάµεις µε άγνωστο εκθέτη, συνήθως µε τη δύνµη που έχει τη µεγλύτερη βάση ή µε τη δύνµη που έχει τη µικρότερη βάση. ο Πράδειγµ 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Ν λυθεί η εξίσωση: ( ( ( ( ( Γι έχουµε Γι έχουµε δύντη φού > γι κάθε R. Σηµείωση: Η προηγούµενη άσκηση λυνότν κι ως εξής: ( ( ( ο Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση : 9 9 9 διιρούµεµε 9 ( ( 9 9 9 9 [( ] ( [θέτω ( ] 9 9 ( ( [( ] ( Γι έχουµε ( ( ( Γι έχουµε ( ( (. ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. 9 Λύνοντι µε πρόµοιες µεθόδους που χρησιµοποιούµε γι τη λύση εκθετικών εξισώσεων. Εφρµόζουµε τις ιδιότητες δυνάµεων κι προσπθούµε ν το φέρουµε σε πλή µορφή συστήµτος χωρίς εκθετικές εξισώσεις. Πράδειγµ Ν λύσετε τ συστήµτ. 9.. 9. 9. 9 ( ( ( ( ( (,, (. ή (,, ( ή (,, (

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. 9. 9 ( (,, (. 9 9 ( Θέτουµε κι β τότε πό ( έχουµε: ( 9 β β 9 β β 9 9 β 9 ή β (9,, ( ή πορρίπτετι (,, ( β β Οπότε, β 9 (,, (

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Γι ν λύσουµε εκθετικές νισώσεις χρησιµοποιούµε τη µονοτονί της εκθετικής συνάρτησης. Η Η f f ( εάν < ( εάν > < είνι γνησίως φθίνουσ άρ > < είνι γνησίως ύξουσ άρ > > Πράδειγµ: Ν λυθούν οι νισώσεις 7. <. <. <. (. <. 7. < γν.ύξουσ 7 < f ( < (,. < < < γν. φθινουσ f ( ( (, (, > >. (. <. (. <. γν.φθίνουσ > f ( (. < (,. < ( < (θέτω < (, < < < γν. ύξουσ f ( < < < 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η εκθετική συνάρτηση Q ct ( t Q o εκφράζει έν φυσικό µέγεθος που µετβάλλετι µε το χρόνο t, όπου Q είνι η ρχική τιµή του Q γι t κι c µι στθερά που εξρτάτι κάθε φορά πό τη συγκεκριµένη εφρµογή. Η συνάρτηση υτή λέγετι νόµος της εκθετικής µετβολής. Ειδικότερ : Αν c > εκθετική ύξηση Αν c< εκθετική ή πόσβεση Πράδειγµ Αν η ηµιζωή µις ρδιενεργού ουσίς είνι έτη ν δείξετε ότι : Q( t [Ηµιζωή ή χρόνος υποδιπλσισµού µις ρδιενεργού ουσίς λέγετι ο χρόνος που χρειάζετι γι ν δισπστεί ή ν εξφνιστεί η µισή ποσότητ της ρδιενεργού ουσίς.] Q o t 97

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Αφού η ηµιζωή έτη σηµίνει ότι σε χρόνι η ποσότητ της ρδιενεργού ουσίς που δισπάτι είνι Qo Q δηλδή ( o Q. Άρ, Q ct ( t Q o γι t : Q( Q o c Q o Q ( Q o c Qo c c c ( c. Άρ, t Q( t Q o t ή Q( t. Q o ος τρόπος Q( Q o c Q o c Qo c ln ln c ln c ln ln c c ln. Οπότε, Q t Q o ct ( ln t ( Q ( t Q o Q ( t Q ( ln t o t ( t Q o ( Q t Q( t Q o 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός: Έστω οι πργµτικοί ριθµοί κι θ έτσι ώστε < κι θ >. Λογάριθµο του θ ως προς βάση, όπου < είνι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουµε τον γι ν βρούµε το θ. θ θ Περιορισµοί: < κι θ > Πρδείγµτ. γιτί. 9 γιτί 9. γιτί Χρκτηριστικοί λογάριθµοι εκδικοί λογάριθµοι Είνι οι λογάριθµοι µε βάση το (δηλ.. Συµβολίζουµε θ. ηλδή θ θ Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθµοι ν Είνι οι λογάριθµοι που έχουν βάση το lim(, 7 (δηλδή ν ν. Συµβολίζουµε ln θ. ηλδή ln θ θ. Συνέπειες ορισµού a θ θ θ θ ln lnθ θ ln ln 99

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ, > Ισχύουν εφόσον < κι θ θ κι θ >. ( θ θ θ θ θ. ( θ θ θ κ. θ κ θ ν ν. θ θ θ, ν Ν ν. Τύπος λλγής βάσης: θ βθ, β θ lnθ θ όπου, β > µε, β, θ > ln Αποδείξεις. Έστω ότι είνι θ κι θ ( Τότε έχουµε θ κι θ οπότε θ θ δηλδή θ θ Από τον ορισµό του λογρίθµου η τελευτί ισότητ είνι ισοδύνµη µε την ( θ θ πό την οποί λόγω των ( έχουµε τελικά: θ θ ( θ θ. Έστω ότι είνι θ κι θ ( Τότε έχουµε θ κι θ οπότε θ θ θ δηλδή θ Από τον ορισµό του λογρίθµου η τελευτί ισότητ είνι ισοδύνµη µε την θ ( πό την οποί λόγω των ( έχουµε τελικά: θ

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. θ ( θ θ θ. Έστω ότι είνι θ (. Τότε έχουµε κ κ θ οπότε θ. Από τον ορισµό όµως του λογρίθµου, η τελευτί ισότητ είνι ισοδύνµη µε την θ κ κ κ πό την οποί λόγω της ( προκύπτει ότι θ κ θ.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισµός: Την ντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης f : µε R R f (, < την ονοµάζουµε λογριθµική συνάρτηση µε βάση κι τη συµβολίζουµε f (. ηλδή ορίζετι f : R Rµε f (, < Ισχύουν τ εξής: ΕΚΘΕΤΙΚΗ Πεδίο ορισµού Α R Πεδίο ορισµού ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ Α R Σύνολο τιµών f (Α Σύνολο τιµών (Α R R f Οι γρφικές τους πρστάσεις είνι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο της γωνίς O : ηλδή ν Μ ( κ, λ νήκει στην γρφική πράστση της Ν ( λ, κ νήκει στην γρφική πράστση της τότε το Αν > τότε η είνι γνησίως ύξουσ Αν < < τότε η είνι γνησίως φθίνουσ Οι γρφικές τους πρστάσεις έχουν το ίδιο είδος µονοτονίς. Η λογριθµική συνάρτηση είνι - ηλ. ν οπότε εάν ηλ.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ : f ( Πεδίο ορισµού : ΑR (, Σύνολο τιµών: f (Α R Γνησίως ύξουσ δηλ. ν < < Έχει γρφική πράστση που τέµνει τον σύµπτωτο τον ' στο (, κι O. Αν < < τότε < Αν > τότε > ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ : f ( ln Πεδίο ορισµού : ΑR (, Σύνολο τιµών: f (Α R Γνησίως ύξουσ δηλ. ν < < ln ln Έχει γρφική πράστση που τέµνει τον ' στο (, κι σύµπτωτο τον O. ln Αν < < τότε ln < Αν > τότε ln >

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Πράδειγµ Θεωρούµε την συνάρτηση f ( ln i. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της ii. Ν εξετάσετε ν είνι άρτι ή περιττή. iii. Ν ποδείξετε ότι είνι -. i. Θ πρέπει : > ( ( > < < Άρ το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είνι το σύνολο D (, ii. Λόγω της συµµετρικότητς του πεδίου ορισµού της, ν f D f τότε κι D f εποµένως ορίζετι το f (. Συγκρίνουµε το f ( µε το f (. Έχουµε: ( f ( ln ln ln( ln( κι ( f ( ln ln( ln( Άρ είνι f ( f ( γι κάθε, D f, εποµένως η συνάρτηση είνι περιττή. iii. Έστω, D µε f f f ( ( ln ln (επειδή η g( ln είνι - ( ( ( ( άρ -.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ η πρτήρηση Συχνά χρειάζετι ενώ έχουµε ένν ριθµό χωρίς ν δηµιουργήσουµε οπότε ν κάνουµε χρήση της ν. Π. χ. ή η πρτήρηση Συχνά χρήσιµο είνι σε σκήσεις λογρίθµων «ν κάνουµε τ πολλά ν γίνουν έν µόνο» πράγµ που συνήθως γίνετι µε την πορεί: ηµιουργούµε όπου δεν υπάρχει µε χρήση της: ν ιώχνουµε τυχόν υπάρχοντες συντελεστές µε χρήση της : ν Στη συνέχει κάνουµε τ πολλά έν µόνο µε χρήση των : θ θ ( θ θ θ θ θ ( θ ν ν Πράδειγµ Ν δείξετε ότι:

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. η πρτήρηση Συχνά ότν σε σκήσεις µε «µπλέκουµε» η γρφή κι η νλυτική χρήση της συνέπεις ορισµού των δηλδή < > µς «ξεµπλέκει» Πράδειγµ Αν ν βρεθεί ο ( ( <... Πράδειγµ Αν ν βρεθεί ο ± ( <,, πορρίπτετι δεκτή η πρτήρηση Συχνά χρειάζετι σε σκήσεις που έχουµε ως προς διφορετικές βάσεις ν του τρέπουµε σε προς την ίδι βάση. Συχνά διλέγουµε σν κοινή βάση το ή το ή τη συχνότερ εµφνιζόµενη. Τύπος: β β Πράδειγµ Ν δείξετε ότι: 7 7 Είνι: 7 7 7 7

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ορισµός: Ονοµάζουµε λογριθµική εξίσωση κάθε εξίσωση που περιέχει λογάριθµο του γνώστου, έστω. Πράδειγµ Η ( είνι λογριθµική εξίσωση ενώ η ( 7 δεν είνι λογριθµική. η µορφή Χρκτηριστικές µορφές λογριθµικών εξισώσεων Εφρµόζοντς ιδιότητες λογρίθµων νγόµστε σε εξίσωση της µορφής: f ( g( f < ( > g ( > f ( g(. Οπότε λύνουµε εξίσωση χωρίς. Προσοχή!!! Κτά τη λύση λογριθµικής εξίσωσης πρέπει. Ή ν κάνουµε τους περιορισµούς : f ( < f ( > πρέπει Κι εν συνεχεί οι λύσεις που βρίσκουµε είνι δεκτές ν δεν πγορεύοντι πό τους περιορισµούς.. Ή Ελέγχουµε τις λύσεις που βρίσκουµε τις τοποθετούµε στην ρχικά δοσµένη εξίσωση κι ν δηµιουργηθούν ή (ρνητικός τότε πορρίπτοντι. ο Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση: ( > > Περιορισµοί: πρέπει > τότε > > ( ( ( 7

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ( [( ] ( ( ( δεκτή πορρίπτετι ο Πράδειγµ Ν λύσετε τις εξισώσεις. ln(. (. Η εξίσωση ln( ορίζετι ότν > > Γι κάθε > η ( ln( ln( που είνι δεκτή.... Η εξίσωση ( ορίζετι ότν > ( Είνι ± άρ η ( ορίζετι (, (, (εκτός των ριζών Είνι ( ± που είνι δεκτές κι οι δυο...

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. η µορφή Λογριθµικές εξισώσεις στις οποίες έχουµε εκθέτη που «δεν κτεβίνει κάτω». ηλδή : ( ( Γενικά: ν ( ν Συχνά γι ν λύσουµε την εξίσωση (φού ν χρειστεί δηµιουργήσουµε την ίδι άγνωστη ποσότητ ΘΕΤΟΥΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΑΓΝΩΣΤΟ. ο Πράδειγµ: Ν λυθεί η εξίσωση: ( 9 ( 9 < ( 9 ( 9 ( 9 (θέτω 9 Αν ( Αν (... 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ο Πράδειγµ ln Ν λύσετε την εξίσωση: ln ( ln Η εξίσωση ορίζετι ν > > > ln ln Θέτουµε ln ( κι η ( γράφετι : Γι η ( γίνετι ln ή δεκτή Γι η ( γίνετι ln δεκτή.. η µορφή Μικτές εξισώσεις δηλδή εξισώσεις που περιέχουν κι εκθετικό κι λογριθµικό τµήµ. Γι ν λύσουµε µικτές εξισώσεις προσπθούµε ν κάνουµε χρήση των µεθόδων των εκθετικών εξισώσεων ή ν κάνουµε χρήση των µεθόδων των λογριθµικών εξισώσεων. ο Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση: ( 7 ( Περιορισµοί: 7> που ισχύει φού > γι κάθε > που ισχύει φού > Άρ, δεν υπάρχει περιορισµός γι το. γι κάθε R R ( 7 ( ( 7 ( ( 7 [ ( 7 ( ]

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. 7 ( ( (θέτω Αν τότε : Αν τότε :.. ο Πράδειγµ Ν λύσετε τις εξισώσεις i. ii. iii. ln( ln i. ii. ln ln ( ln ln ln ( ln ln ln ln iii. ln( ln ln( ln ln ln( ln( ln ln ln ln ln ln ln ln (ln ln ln..

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΥΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ: ln κι β Πράδειγµ i. Ν δείξετε ότι : ln ln ln ln ii. Ν λύσετε την εξίσωση : i. Γι κάθε > µε λογρίθµιση κι των δυο µελών έχουµε ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln που ισχύει ii. Η εξίσωση ορίζετι ότν > Γι κάθε > έχουµε ln ln ln ln ln ln ( ( [λόγω του ] Θέτουµε ln ( τότε η ( γράφετι ή Γι πό ( είνι: ln ln ln Γι πό ( είνι: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ( ln ln. ln Οι ρίζες ln ln κι είνι δεκτές...

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση i. Ν ποδείξετε ότι : µε, > ii. Ν λύσετε το σύστηµ : iii. Αν οι λύσεις του (ii είνι οι ρίζες της εξίσωσης : (( θ ν βρείτε το θ R. i. Είνι ισχύει που ii. Πρέπει > κι >. Έχουµε: (i ( (, (, δεκτές. iii. Γι η δεδοµένη εξίσωση γίνετι : (( θ (( θ (( θ ( θ θ θ θ θ.. Άσκηση Ν λύσετε τ συστήµτ: i. ii. [: (, (, ή (, (, ] [: (, (, ή (, (, ]

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Άσκηση Ν λύσετε τ συστήµτ: i. ln( ln( [: (, (, ή (, (, ] ii. ln ln ln ln 7 [: (ln,ln (, ή (ln,ln (, ].. Άσκηση i. ln ln ln ln ln ln ii. ln( (. iii. iv. Υποδείξεις i. Ν χρησιµοποιήσετε βοηθητικούς γνώστους. Θ βρείτε (, (, ή (, ή (, ή (,. ii. Θ πρέπει > κι. Η πρώτη εξίσωση δίνει: ln ln κι η δεύτερη ln ln. Βρίσκουµε (, (,. iii. Η πρώτη εξίσωση δίνει κι η δεύτερη. Βρίσκουµε κι. iv. Είνι. Η πρώτη δίνει κι η δεύτερη. Βρίσκουµε (, (,...

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Γι ν συγκρίνουµε λογάριθµους στηριζόµστε στη µονοτονί της λογριθµικής συνάρτησης. Γι την ισχύουν : o Εάν > τότε είνι γνησίως ύξουσ o Εάν < < τότε είνι γνησίως φθίνουσ Πράδειγµ Ν συγκριθούν οι ριθµοί: i. κι ii.. κι. 7 iii. ( κι i. < < (βάση ο άρ η λογριθµική συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ δηλδή: < < ii. < 7. >. 7 (γν. φθίνουσ δηλ. < > iii. Η βάση είνι το > άρ η f ( είνι γνησίως ύξουσ. Έχουµε : ( ( ληθές.. Χρήσιµη νισότητ: ν > ( > ( Βάση της ιδιότητς προκύπτει η κόλουθη διάτξη: > > 7> 7..

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Πρδείγµτ. Ν λύσετε τις νισώσεις i. ln( > ln ii. ln < > < i. Η νίσωση ορίζετι ότν (, ( > > Γι κάθε (, έχουµε ln( > ln ln( > ln ln ln( > ln( > > ( < < ( ii. Η νίσωση ορίζετι ότν > Γι κάθε > έχουµε ln < ln < ln < ln < ln < < ( Οι ( κι ( συνληθεύουν ότν (,... Ν λύσετε τις νισώσεις i. ( > ii. i. Έχουµε, ( > ln( > ln ln( > ln ln ln < γιτί < ] < ln ln ln < ln ln < [ ln

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ii. Έχουµε, ln ln ( ln (ln ( ln ln ln ln (ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln... Ν λύσετε την νίσωση : ln ln > Η νίσωση ορίζετι ότν > Γι κάθε > έχουµε ln ln > ln ln > ( Θέτουµε ln ( οπότε η ( γίνετι > ( Είνι: > ή Οπότε η ( < ή > ln < ή ln > ln < ln ή ln > ln < ή > < ή >.. 7

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις Α. Β. Γ. 7. Ε. Στ. Ζ. 7 Η. Θ. 9 7 Ι. Ι. ( 7 Ιβ.. Ν λύσετε τις εξισώσεις Α. Β. Γ.. 7 Ε. Στ. 9 Ζ. Η. Θ. ( Ι. 7 Ι. 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. 9. Ν λύσετε τις νισώσεις Α. 7 7 Β. 7 ( ( > Γ. 7 ( 7 (. Ε. 7 Στ. ( < Ζ. < Η. 9 < Θ. ( ( < Ι. Ι. > Ιβ. >. Ν λύσετε τ συστήµτ Α. Β. 7 Γ.. Ε.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Στ. Ζ. 9 7 Η. 9 9 Θ. Ι. :. Ν υπολογίσετε το ν ισχύει : Α. Β. Γ. ln. ln. Ν ποδείξετε ότι: Α. Β. Γ. ln ln ln. Ε. ΣΤ. ln9 ln ln ln ln 7 7. Ν ποδείξετε ότι: Α. ln

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Β. Γ. ln ln 9. Ε. ΣΤ. ln ln. Αν Α lnεφ lnεφ... lnεφ9 κι δείξετε ότι Α Β. Β lnεφ lnεφ... lnεφ9 ν ν 9. Έστω η κολουθί ln. ν Α. Ν δείξετε ότι η κολουθί ( ν είνι ριθµητική πρόοδος. Β. Ν δείξετε ότι το άθροισµ των ν πρώτων όρων της είνι S ν ν ( ν ln. Ν βρείτε το θετικό ριθµό ώστε ν ισχύει: 7 ln ln ln... ln. Ν βρεθεί το πεδίο ορισµού των συνρτήσεων Α. f ( ln( Β. f ( ( Γ.. f ( ln f ( ln( Ε. f ( ln( ΣΤ. f ( ln( Ζ. f ( ln

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Η. f ( ln. Ν λύσετε τις εξισώσεις Α. ( ( Β. ( ( 7 Γ. ln ln( ln. ( 9 Ε. (. Ν λύσετε τις εξισώσεις Α. ln ln Β. ln ln Γ. ln ln. ln ln. Ν λύσετε τ συστήµτ Α. Β. ln ln ln. Ν λύσετε το σύστηµ ln. Ν λύσετε το σύστηµ 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις ln ln Α. ln ln ln ln

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. Β. 9 Γ.. (. Ν λύσετε τις εξισώσεις Α. ln( Β. ln( ln Γ. ( 9. Ν λύσετε την εξίσωση: ln ln ln ln. Α. Ν υπολογίσετε τον ριθµό Β. Ν λύσετε την εξίσωση: ln ln. Α. Ν δείξετε ότι: ln ln Β. ln ln Ν λύσετε την εξίσωση: 9 ln ln. Ν λύσετε την εξίσωση:. ηµ ηµ ηµ Ν λύσετε την εξίσωση:. Α. π Ν δείξετε ότι: ηµ συν ηµ ( Β. ln Ν λύσετε την εξίσωση: συν π (,. Αν οι ριθµοί, συν, συν µε τη σειρά που δίνοντι είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου ν βρείτε το.. Ν λύσετε την εξίσωση: ln π συν συν ln στο διάστηµ (,

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. 7. Ν λύσετε τις νισώσεις: Α. ( > ( Β. ln > ln( π. Αν θ (, ν λύσετε την νίσωση : ( ηµθ < ( ηµθ ln ln 9. Έστω η συνάρτηση f ( ln( Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f Β. Ν βρείτε τ κοινά σηµεί της C f µε τους άξονες Γ. Ν λύσετε την νίσωση f ( >. Έστω η συνάρτηση f ( ln ln( Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f Β. Ν βρείτε τ κοινά σηµεί της C f µε τον άξον Γ. Ν λύσετε την νίσωση f ( <. Έστω η συνάρτηση f ( (ln Α. Ν βρείτε γι ποιες τιµές του η συνάρτηση f ορίζετι σε όλο το R. Β. Ν βρείτε το ώστε η f ν είνι γνησίως ύξουσ. Γ. Ν βρείτε το ώστε η C fν έχει σύµπτωτο τον θετικό ηµιάξον O.. Έστω η συνάρτηση f ( ( lnθ ln θ, θ > Α. Ν βρείτε το θ ώστε η C f ν εφάπτετι στον άξον '. Β. Ν βρείτε το θ ώστε η f ν προυσιάζει ελάχιστο στο. Γ. Ν βρείτε το θ ώστε η f ν έχει ελάχιστη τιµή το.. π Αν η κολουθί ( ν είνι ριθµητική πρόοδος µε lnηµ, (,, ω ln κι ln ν βρείτε το.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. π Αν θ (, κι οι ριθµοί ln( συν θ, ln ηµθ, ln είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου ν βρείτε το θ.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f ( [ ( ] Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της f Β. Ν βρείτε τ σηµεί τοµής της γρφικής πράστσης της fµε τους άξονες.. ίνοντι οι ριθµοί κι β ln Α. Ν βρείτε τις τιµές των κι β Β. Ν λύσετε την εξίσωση : 9 β 7. ίνοντι οι συνρτήσεις f ( ln( κι g ( ln ln( Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισµού των f κι g Β. Ν λύσετε την εξίσωση f ( g( Γ. Ν λύσετε την νίσωση f ( > g(. ίνετι η επόµενη συνάρτηση : f ( ( ( ( γι την οποί ισχύει f ( Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της fκι την τιµή του R Β. Ν λύσετε την εξίσωση f ( 9. ίνετι η συνάρτηση f ( ln Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της f ( Β. Ν λύσετε την εξίσωση f ( ln Γ. Ν λύσετε την νίσωση f ( >

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Α. Ν βρείτε την τιµή του Rγι την οποί ισχύει: ln( ln( ln Β. Γι την τιµή του που βρήκτε ν λύσετε την εξίσωση: ln. Οι ριθµοί ln(, ln( προόδου. Α. Ν βρείτε την τιµή του R Β. Ν λύσετε το σύστηµ:, ln είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής ln. Η γρφική πράστση της συνάρτησης f ( [( ] διέρχετι πό το σηµείο Μ (, Α. Ν βρείτε την τιµή του R Β. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της f Γ. Ν λύσετε την νίσωση f ( <. f ( Ν λύσετε την εξίσωση:. ίνετι η συνάρτηση f ( ln Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της f Β. Ν ποδείξετε ότι η f είνι περιττή Γ. Ν συγκρίνετε τους ριθµούς f ( κι f (. Ν λύσετε την εξίσωση : f ( f ( φού δείξετε ότι είνι " " 7

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Α. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, > ισχύει: Β. Ν λύσετε το σύστηµ : Γ. Αν ο ριθµός που βρήκτε στο ερώτηµ Β είνι λύση της εξίσωσης [( θ ] ν βρείτε την τιµή του θ, όπου θ θετικός πργµτικός ριθµός.. Ο τρίτος όρος µις ριθµητικής προόδου ( ν είνι ίσος µε η διφορά της είνι ίση µε ω Α. Ν ποδείξετε ότι ο πρώτος όρος της προόδου είνι ίσος µε τη διφορά ω. Β. Ν υπολογίσετε το άθροισµ: Α... 9 Γ. Έστω ( β ν µι γεωµετρική πρόοδος µε β κι β όπου κι ο πρώτος κι ο δεύτερος όρος της προηγούµενης ριθµητικής προόδου ντίστοιχ. Ν υπολογίσετε το άθροισµ Β β β β... β999 β κι a. Το πολυώνυµο P( ( έχει πράγοντ το. Α. Ν βρείτε την τιµή του R Β. Γι την τιµή του που βρήκτε, ν λύσετε την νίσωση ( > ( ( ( ( 7. Το πολυώνυµο P ( λ λ έχει πράγοντ το ln 9. Α. Ν βρείτε την τιµή του λ R Β. Ν βρείτε το πηλίκο π ( της διίρεσης του P ( µε το Γ. ίνοντι οι ριθµοί, β > γι τους οποίους ισχύει ln(ln β ln(ln ln. Ν ποδείξετε ότι β ln 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Αν ισχύει π (ln ν ποδείξετε ότι β. ίνετι η συνάρτηση f ( ln 9 Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της f Β. Ν βρείτε το Rώστε οι ριθµοί : ln, f (, ln ν είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Γ. Γι την τιµή του που βρήκτε, ν λύσετε την νίσωση ( ( > 9

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9. Έστω η συνάρτηση f a ( ( ( ( Α. Αν f ( τότε ν δείξετε ότι Β. Γι I. ν ποδείξετε ότι f ( ( II. ν λυθεί η εξίσωση f (. Έστω οι συνρτήσεις f g ( ln(, ( ln ln( Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισµού των f, g Β. ν λυθεί η εξίσωση f ( g( Γ. ν λυθεί η νίσωση f ( > g(. Έστω η συνάρτηση f ( (. Ν βρείτε: Α. το πεδίο ορισµού της f Β. το σηµείο στο οποίο η γρφική πράστση της f τέµνει τους άξονες ' κι '. Γ. Το R, ώστε το σηµείο (, ν νήκει στη C f.. Ν λυθεί η νίσωση (. Ν λυθεί η νίσωση >. Ν λυθεί το σύστηµ

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Ν προσδιορισθούν οι τιµές του ώστε οι ριθµοί, (, ( ν ποτελούν διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου.. Έστω η συνάρτηση f ( (( 9. Ν βρείτε: Α. Το πεδίο ορισµού της f Β. Ν βρείτε έν σηµείο τοµής των γρφικών πρστάσεων της f κι της g όπου g(. 7. Έστω η συνάρτηση f ( ((. Ν βρείτε: Α. το πεδίο ορισµού της f Β. Ν βρείτε το σηµείο στο οποίο η C f τέµνει τον άξον '. Γ. Ν βρείτε το διάστηµ στο οποίο πρέπει ν νήκει ο, ώστε η C f ν είνι πάνω πό τον άξον '.. Έστω η συνάρτηση f ( ln(. Ν βρείτε: Α. το πεδίο ορισµού. της f Β. Ν βρείτε το διάστηµ στο οποίο πρέπει ν νήκει ο, ώστε η C f ν είνι πάνω πό τον άξον '. Γ. Ν συγκρίνετε τους ριθµούς f (ln, f (.. Ν λυθεί η εξίσωση f ( f ( f ( 9. Έστω η συνάρτηση f ( (ln a. Α. Ν βρείτε τις τιµές του R, γι τις οποίες η f ορίζετι σε όλο το R. Β. Ν βρείτε τις τιµές του R, γι τις οποίες η f είνι γνησίως Γ. ύξουσ. Αν ν βρείτε το θ ώστε f ( συν θ f ( συν θ.

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. ίνοντι τ πολυώνυµ: P( ( a ln ( β ln κι a Q( ( ln β ( ln. Αν τ πολυώνυµ P(, Q( είνι ίσ: Α. Ν βρείτε τ a, β Β. Ν ποδείξετε ότι P( >.. Έστω το πολυώνυµο lnβ P( ln a ( ln a a έχει θετικούς κέριους συντελεστές κι ρνητική κέρι ρίζ: Α. Ν βρείτε τ a, β Β. Γι a, β ν βρείτε το διάστηµ στο οποίο πρέπει ν νήκει ο, ώστε η γρφική πράστση της συνάρτησης f ( P( ν είνι πάνω πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης g(.. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης διέρχετι πό την ρχή των ξόνων: f ( 7 ln a ln a Α. Ν βρείτε τη τιµή του Β. Αν ν βρείτε το διάστηµ στο οποίο πρέπει ν νήκει ο, ώστε η C f ν είνι πάνω πό τον άξον.. Έστω η συνάρτηση f ( ln, >. Α. Ν δείξετε ότι γι κάθε µε < <, f ( < Β. Ν λύσετε την εξίσωση Γ. Ν λύσετε την νίσωση f ( ln, f ( >,. π Ν δείξετε ότι γι κάθε θ µε θ (,, ηµθ < ln ηµθ

Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.. Έστω η συνάρτηση f ( (. Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της Β. Ν ποδείξετε ότι η f είνι - ( δηλ., ν f ( f ( τοτε. Έστω η συνάρτηση ln f ( ln. Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού της Β. Ν λύσετε την νίσωση f ( <, Γ. Ν λύσετε την εξίσωση f ( f (. Έστω η συνάρτηση f ( ln(. Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισµού. της το Α Β. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι περιττή Γ. β Ν ποδείξετε ότι γι κάθε a, β Α τοτε κι Α β. β Ν δείξετε ότι f ( f ( a f ( β. β