ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πηγές Κατανομή χωικής d πυκνότητας φοτίου [/m 3 ] v = dv Κατανομή πιφανιακής d πυκνότητας φοτίου [/m s = ] ds Κατανομή γαμμικής πυκνότητας φοτίου [/m] Φοτία ή κατανομές ακίνητα στο χώο και αμτάβλητα στο χόνο. d = d dv: dq= v dv = ds: dq= s ds = d: dq= d = dq= dv s v = dq = ds = dq = d Σημιακό φοτίο [] N = = ΜΕΓΕΘΗ ΠΕΔΙΟΥ Οισμού df Ηλκτική πδιακή ένταση [/m] E = = φ Δύναμη ανά μονάδα φοτίου dq Διηλκτική μτατόπιση [/m ] D Ηλκτική οή ανά μονάδα πιφανίας, ή Επιφανιακή πυκνότητα δυναμικών γαμμών Διηλκτική σταθά [F/m] Χωητικότητα κύβου στοιχιωδών διαστάσων Παάγωγα Ηλκτοστατικό δυναμικό [] Ηλκτική οή [] d φ(p) Δ φ = Ed :P0 P E P : P 0 Έγο που καταναλώνται για την μταφοά μοναδιαίου φοτίου από το σημίο αναφοάς μέχι το σημίο παατήησης. N= dn= D ds P 0 ds D Ν P - - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΠΕΔΙΟΥ Διαφοικές σχέσις η Εξ. Mxwell E= 0 4 η Εξ. Mxwell D = v Καταστατική ξίσωση D = E (Συντηητικό πδίο) Ολοκληωτικές σχέσις Νόμος αστόβιλου : Η διαφοά δυναμικού ίναι ανξάτητη του δόμου ολοκλήωσης και ξατάται μόνο από τα δυναμικά του αχικού και του τλικού σημίου. Νόμος Guss : Η ηλκτική οή από μία κλιστή πιφάνια ισούται μ το σύνολο των φοτίων που πιέχονται μέσα στην πιφάνια. Ed 0 N = D ds = ΠΕΡ. dq d N E ds Οιακές συνθήκς Οι φαπτομνικές συνιστώσς της ηλκτικής πδιακής έντασης ίναι ίσς. ˆn Ε Ε = 0 () () E E,t E ˆn,t E Οι κάθτς συνιστώσς της διηλκτικής μτατόπισης διαφέουν κατά τα τυχόν πιφανιακά φοτία. ˆn D D = Το δυναμικό ίναι συνχές (και φ μονοσήμαντο). φ = 0 s () () D D,n D,n ˆn D - - Παπαγιαννάκης Αντώνης
Παάσταση πδίου Δυναμικές γαμμές Ισοδυναμικές πιφάνις E = φ E d <0 E d E= λ d >0 καμπύλη, σ κάθ σημίο της οποίας το διάνυσμα της ηλκτικής πδιακής έντασης Ε ίναι φαπτομνικό. πυκνώνουν όπου το πδίο γίνται ισχυότο και ααιώνουν όπου το πδίο γίνται ασθνέστο. ξκινούν από θτικά και καταλήγουν σ ανητικά φοτία. φ(r) = const. πιφάνια, στα σημία της οποίας το δυναμικό έχι παντού την ίδια τιμή. οι δυναμικές γαμμές ίναι καμπύλς οθογώνις πος τις ισοδυναμικές πιφάνις. - 3 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Επαλληλία Αχή της παλληλίας ή υπέθσης Σημιακά φοτία Χωικά φοτία Επιφανιακά φοτία Γαμμικά φοτία Η δάση του συνόλου των φοτίων ισούται μ το σύνολο των δάσων κάθ φοτίου ξχωιστά N N E= E = Rˆ E = = 4πR N N q D= D = R ˆ = = 4πR N N φ = = 4πR φ= = dv E = de = R ˆ v 4πR vdv ˆ 4πR D= dd= R vdv φ = dφ = 4πR sds E = ˆ de = R 4πR sds D= dd Rˆ = 4πR sds φ = dφ = 4πR d E = de Rˆ = 4πR d D= dd= Rˆ 4πR d φ = dφ = 4πR r O R R r r dv : dq= v dv = r O dv : dq= v dv = r O R R d : dq= d R r O r r r P P P E E de de de - 4 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
Διαφοικές ξισώσις σ χώο ισότοπο και ομογνή και μόνον για τις χωικές κατανομές φοτίων σ χώο ισότοπο και ΜΗ ομογνή και μόνον για τις χωικές κατανομές φοτίων E = φ Εξίσωση Posson v φ = D = v E = Εξίσωση Lplce φ = 0 D= 0 E= 0 v φ+ φ (ln ) = v E+ E (ln) = v Θωήματα Θ. μγίστου-λαχίστου Θ. Ernsow Θ. μονοσημάντου Σ ένα Η/Σ Πδίο, το δυναμικό παουσιάζι ακότατα μόνον πάνω σ φοτία. Ηλκτικό φοτίο που υπόκιται μόνον σ Η/Σ δυνάμις δν μποί να πααμίνι σ υσταθή ισοοπία. Ένα Η/Σ πόβλημα (: γωμτία, τλστής, πηγές και οιακές συνθήκς) πιδέχται μία και μόνον μία λύση. - 5 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΥΛΙΚΩΝ για το Ηλκτοστατικό Πδίο. Τέλια διηλκτικά (μονωτές) Δν έχουν λύθα φοτία Δν υπάχι δυνατότητα κίνησης φοτίων στο σωτικό τους (Εκτός από το κνό) Εμφανίζονται ηλκτικά ουδέτα (αφότιστα) σ κανονική κατάσταση Χαακτηίζονται από διηλκτική σταθά ( 0 < + ) ιδική αγωγιμότητα σ = 0 χόνο χαλάωσης τ + Μποούμ να τα ποσδώσουμ φοτίο, που πααμένι όπου τοποθτίται Δν μποούν να αναπτύξουν πιφανιακά φοτία Το δυναμικό στα σωτικά και στα πιφανιακά σημία τους και το ηλκτικό πδίο στα σωτικά σημία τους ίναι μταβλητό Η ηλκτική πδιακή ένταση στα σωτικά σημία μποί, χωίς πόβλημα, να πάι οποιαδήποτ τιμή. Στην πάξη χαακτηίζονται από διηλκτική αντοχή και από τάση διάσπασης Τέλιοι αγωγοί Έχουν λύθα φοτία, πακτικά άπια Επιτέπουν την κίνηση φοτίων στο σωτικό τους (παουσιάζουν αγωγιμότητα) Εμφανίζονται ηλκτικά ουδέτοι (αφότιστοι) σ κανονική κατάσταση Χαακτηίζονται από [διηλκτική σταθά: αδιάφοη] ιδική αγωγιμότητα σ + χόνο χαλάωσης τ = 0 Μποούμ να τους ποσδώσουμ φοτίο, που ανακατανέμται και ισοοπί στην πιφάνια τους σ μηδνικό χόνο (ακαιαία) Μποούν να αναπτύξουν πιφανιακά φοτία Το δυναμικό στα σωτικά και στα πιφανιακά σημία τους ίναι σταθό και το ηλκτικό πδίο στα σωτικά σημία τους ίναι μηδνικό (ισοδυναμικός χώος) Άα: η συμπιφοά τους συνοψίζται στο να ανακατανίμουν το φοτίο έτσι, ώστ να αποκτήσουν κατάλληλη πιφανιακή κατανομή φοτίων που να τους δίνι σταθό δυναμικό και μηδνικό πδίο Σημίωση: Θώηση μη τέλιων αγωγών ( μη τέλιων διηλκτικών παγματικών αγωγών παγματικών διηλκτικών διηλκτικών μ απώλις) σημαίνι ύπαξη ππασμένης αγωγιμότητας, ισχύ του Ν. Om και άα ύμα και κίνηση φοτίων, οπότ φύγουμ πλέον από το πλαίσιο του Ηλκτοστατικού Πδίου. - 6 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
Ροπή διπόλου [ m] p= d Διηλκτική πόλωση [/m dp ] P = dv Δέσμια ή ισοδύναμα φοτία διηλκτικής πόλωσης ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Χωικά [/m 3 ] v = P Επιφανιακά [/m ] s = + P nˆ Διηλκτική μτατόπιση [/m ] D = 0E+ P= E διηλκτική σταθά (για ισότοπα P = μέσα) [F/m] 0 + E σχτική διηλκτική σταθά [ ] P r = + 0 0E διηλκτική (πι)δκτικότητα [ ] P χ r = E 0 ˆn = v s Γ.Ο.Ι.Σ. Γαμμικό Ομογνές Ισότοπο Στάσιμο Χαακτηισμός υλικών Το μέτο του διανύσματος της διηλκτικής πόλωσης P ίναι ανάλογο του μέτου του διανύσματος της ηλκτικής πδιακής έντασης Ε. Οι σχέσις που πιγάφουν τα διανύσματα της διηλκτικής πόλωσης P και της ηλκτικής πδιακής έντασης Ε δν μταβάλλονται μ την θέση. Η σχέση που πιγάφι το διάνυσμα της διηλκτικής πόλωσης P (ή της ηλκτικής πδιακής έντασης Ε) πααμένι η ίδια, ανξάτητα από τον ποσανατολισμό (φοά) του Ε. Σαν συνέπια τα δύο διανύσματα ίναι παάλληλα. Οι (στοχαστικές) ιδιότητς των διανυσμάτων της διηλκτικής πόλωσης P και της ηλκτικής πδιακής έντασης Ε δν μταβάλλονται μ τον χόνο. Ισοδύναμα ποβλήματα P = 0 0 Ένα διηλκτικό μποί να πιγαφί μ έναν από τους τις, αμοιβαία αποκλιόμνους, τόπους Διηλκτική πόλωση στο κνό διηλκτικό = 0 v = 0 0 s Ισοδύναμα φοτία πόλωσης στο κνό = 0 Διηλκτική σταθά Όλα δίνουν το ίδιο (σωστό) Ε παντού Όλα δίνουν το ίδιο (σωστό) D στο κνό, έξω από το διηλκτικό. Κάθ ένα δίνι διαφοτικό D μέσα στο διηλκτικό. - 7 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
Χωητικότητα [F] ΤΕΛΕΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ sds = = = const. > 0 sds 4πR Θώημα Green φ = φ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ηλκτοστατική νέγια Έγο μτακίνησης φοτίων [J] ΔW = qδφ D we = dd E Πυκνότητα νέγιας [J/m 3 ] 0 w e = D E= φ v για ομογνή και ισότοπα W = w dv = D E dv Ενέγια Η/Σ Π. Ενέγια συστήματος αγωγών ή φοτίων [J] [J] W = e πδιου = πηγων φdv φ p j j φφc j j j j = = v Ηλκτοστατικές δυνάμις Δύναμη oulom [N] F= qe Κατανομή πυκνότητας δύναμης df oulom [N/m 3 f = = ] ve = v φ dv F= W Δύναμη σ διηλκτικά F =+ W = const. φ= const. ˆ W = W = = const. ˆ W =+ W =+ φ= const. m e = const. φ= const. dw + dw = 0 υπό = const. Μταβολή νέγιας dwm + dwe = dws dw = dw s e υπό φ = const. - 8 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Σημιακό φοτίο [] > 0 φ(r) =, μ φ = 0 @P 0 : r 4πr r E(r) = ˆ r 4πr Ισοδυναμικές: Σφαιικές πιφάνις ομόκντς r = =const., μ > 0 4π Δυναμικές γαμμές: Ακτίνς Ομοιόμοφα φοτισμένη άπιη γαμμή [/m] > 0 z 0 φ() ln 0 = π, μ φ = 0 @P 0 : = 0 αυθαίτο E() = ˆ π Ισοδυναμικές: Κυλινδικές πιφάνις ομοαξονικές π = 0 exp = const. Δυναμικές γαμμές: Ακτίνς Ομοιόμοφα φοτισμένο άπιο πίπδο s [/m ] s > 0 φ(z) = s z, μ φ = 0 @P 0 : z = 0 z s z E = zˆ z Ισοδυναμικές: Επίπδα παάλληλα z =± =const., μ s < 0 Δυναμικές γαμμές: Ευθίς s - 9 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
Ομοιόμοφα φοτισμένο υθύγαμμο τμήμα r r z z > 0 z m P(,z) =, = (z z ) z = (z + z ) m = + r (z z ) = + r (z z ) z m ( ) z zm + + + z zm + φ(,z) = ln 4π z z + + z z ( ) μ φ = 0 @P 0 : r z z z z E(,z) = ˆ + zˆ 4π r r r r Ισοδυναμικές: Ελλιψοιδή κ πιστοφής ομοστιακά 4π k = exp, μ > 0 k + = k, k = k, =, Δυναμικές γαμμές: Υπβολές ομοστιακές m z, + = Ηλκτικό δίπολο d z + θ M Ροπή διπόλου : M = d r = + z r M M cosθ M z φ(r,θ) = = = 4π r 4π 4π 3 r r φ = 0 @P 0 : r E(r,θ) = ( M ) r M ˆ M = cosθ rˆ+ snθθ = (3z) ˆ+ (z )zˆ 3 5 4πr 4πr Ισοδυναμικές: πολύπλοκς Δυναμικές: πολύπλοκές - 0 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΠΥΚΝΩΤΕΣ Ιδανικός πυκνωτής Οισμός Χωητικότητα [F] (χωίς απώλις) Σύστημα δύο τλίως αγώγιμων σωμάτων μ ίσα και αντίθτα φοτία που ο μταξύ τους χώος πληούται μ τέλιο διηλκτικό. = = const. > 0 Βασικοί τύποι (αμλώντας τα φαινόμνα άκων) Σφαιικός πυκνωτής ακτίνων < = 4π [F] r + Κυλινδικός πυκνωτής Πααλλήλων πλακών ακτίνων < και μήκους π = [F] ln ( ) μβαδού σ απόσταση d = [F] d d z z + + - - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΚΑΤΟΠΤΡΙΣΜΟΣ Φοτίου ως πος αγώγιμη γιωμένη σφαία φοτίο έξω από τη σφαία (=0) φοτίο μέσα στη σφαία (=0) Ισοδύναμο πόβλημα για τον χώο έξω από τη σφαία : Ισοδύναμο πόβλημα για τον χώο μέσα στη σφαία : (φ=0) < 0 = k = > = = k Φοτίου ως πος αγώγιμο πίπδο (=0) Ισοδύναμο πόβλημα για τον χώο πάνω από το πίπδο : (κάτω από το πίπδο το πδίο ίναι μηδέν) (φ=0) = Φοτίου ως πος ημιάπιο διηλκτικό Ισοδύναμο πόβλημα για τον χώο πάνω από το πίπδο : = + Ισοδύναμο πόβλημα για τον χώο κάτω από το πίπδο : = + - - Παπαγιαννάκης Αντώνης