2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ

Transcript

1 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Εισαγωγή Στο παόν κφάλαιο θα παουσιάσουµ αιθµητικές µθόδους για την πίλυση µη γαµµικών αλγβικών ξισώσων, ξισώσων δηλαδή της µοφής 0. όπου η συνάτηση ίναι µη γαµµική ως πος, πιέχι δηλαδή όους ως πος βαθµού διάφοου του πώτου. Πααδίγµατα τέτοιων ξισώσων ίναι: si 0 5..α..β..γ Μποί να αποδιχθί ότι και οι τις πααπάνω ξισώσις έχουν τουλάχιστον µία παγµατική ίζα. Η απόδιξη βασίζται στο γνωστό θώηµατουbolzao: Θώηµα.: Εστω συνάτηση συνχής στο κλιστό διάστηµα [α,β]. Αν α.b<0, τότ υπάχι τουλάχιστον ένας παγµατικός a,b τέτοιος ώστ 0. Εφαµόζοντας το ποηγούµνο θώηµα στη συνάτηση..α, µ α-, b βίσκουµ --, 3, ποµένως -.<0. Τούτο σηµαίνι ότι η ξίσωση..α έχι µία παγµατική ίζα στο ανοικτό διάστηµα -,. Οµοίως, φαµόζοντας το θώηµα στησυνάτηση..β µ α0, b, βίσκουµ 0, > 0, ποµένως 0 < 0. Τούτο σηµαίνι ότι η ξίσωση..β έχι µία παγµατική ίζα στο ανοικτό διάστηµα 0,. Τέλος, φαµόζοντας το θώηµα στη συνάτηση..γ µ a π, b, βίσκουµ: π π > 0, < 0, 5 5 ποµένως π < 0. Τούτο σηµαίνι ότι η ξίσωση..γ έχι µία παγµατική ίζα στο ανοικτό διάστηµα -π,. Εντούτοις, παά το ότι γνωίζουµ την ύπαξη ιζών στις πααπάνω ξισώσις, και µάλιστα έχουµ ντοπίσι ένα διάστηµα τιµών στο οποίο ανήκι µία ίζα κάθ

2 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ξίσωσης, ο αναλυτικός ποσδιοισµός της ίζας ίναι ίτ ανέφικτος ίτ ιδιαίτα δύσκολος. Για το σκοπό αυτό, πινοούµαιθµητικές µθόδους που θα µας πιτέψουν να ποσδιοίσουµ τηίζαµ µγάλη ακίβια.. "Φιλοσοφία" των µθόδων: διαδοχικές δοκιµές Πιν αναπτύξουµ την πώτη από τις µθόδους ύσης ιζών, ας αναλογιστούµ την πιο απλή ποσέγγιση του ποβλήµατος. την οποία πιθανόν θα ακολουθούσαµ αν δν γνωίζαµ καµµία συστηµατική µέθοδο ύσης ιζών. Στην υποθτική µας αυτή ποσέγγιση θα δώσουµ τοόνοµα "µέθοδος των διαδοχικών δοκιµών". Συνίσταται στο να δοκιµάζουµ τιµές µ µία "λογική" σιά, µέχι να φτάσουµ στην πιθυµητή τιµή µ κάποιαακίβια. Ας δούµ πώςγίνταιαυτόµ το παάδιγµα της ξίσωσης για την οποία, φαµόζοντας το θώηµα Bolzao, βίσκουµ ότι έχι µία παγµατική ίζα στο ανοικτό διάστηµα -,. Η ξίσωση.3 πιλύται και µ αναλυτικές µθόδους, ποµένως µποί να χησιµοποιηθί ως "δοκιµή" της πίδοσης των αιθµητικών µθόδων ύσης ιζών. Μ µια γήγοη µατιά, φαίνται αµέσως ότι η ίζα της ξίσωσης.3 ίναι ανητική, φόσον, για θτικά ησυνάτησηµας δίνι το άθοισµα τιών θτικών όων, το οποίο δν µποί να ίναι µηδέν. Ας δοκιµάσουµ λοιπόν µία ανητική τιµή, π.χ Βίσκουµ τότ > 0 δοµένου ότι 0,5 > 0, ίναι σαφές ότι η ζητούµνη ίζα θα βίσκται πιο αιστά στον άξονα των παγµατικών αιθµών από την τιµή οκιµάζουµ λοιπόν την τιµή Για την τιµή αυτήβίσκουµ < 0 Τώα πήαµ µία ανητική τιµή της συνάτησης, ποµένωςηίζαθαβίσκταιπιο δξιά της τιµής Πάντως, ητιµή βίσκται πολύ πιο κοντά στο µηδέν από την τιµή Εποµένως, ητίτηµας δοκιµή θαίναιπολύ πιο κοντά στο 0. 7, απ' ότι στο Πάγµατι, δοκιµάζοντας βίσκουµ

3 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ που ίναι ακόµη πλησιέστα στο µηδέν. Είναι φανό ότι δοκιµάζοντας τιµές µ µικότς και µικότς διακυµάνσις, µποούµ τλικά να ποσγγίσουµ τηίζα µ ακτάψηφία. Είναι φανό ότι η πααπάνω "µέθοδος", στην παγµατικότητα βασίζται στη διαίσθησή µας να µαντέψουµ σωστά τις διαδοχικές δοκιµές οι οποίς ποσγγίζουν όλο και πισσότο την πιθυµητή ίζα. Οι αιθµητικές µέθοδοι τις οποίς θα δίξουµ τώα αποσκοπούν ακιβώς στο να µας παάσχουν ένα συστηµατικό - µθοδικό τόπο να πιλέγουµ τις διαδοχικές δοκιµές, έτσι ώστ η ακολουθία των πααγόµνων δοκιµών να συγκλίνι όσο το δυνατόν ταχύτα πος την πιθυµητή ίζα. Αναζητούµ δηλαδή"κανόνς" της µοφής g.4 οι οποίοι µας πιτέπουν να ποσδιοίσουµ µ συστηµατικό τόπο την ποσέγγιση της ίζας στο -οστό βήµα, αν ίναι γνωστή η ποσέγγιση της ίζας στο -οστό βήµα. Επιπλέον, πιθυµούµ η ακολουθία των ποσγγίσων,,,... να συγκλίνι πος τη ίζα, να έχουµ δηλαδή lim.5.3 Μέθοδος της ιχοτόµησης Η µέθοδος της διχοτόµησης έχι ιστοική αξία και αποτλί απυθίας φαµογή του θωήµατος του Bolzao. Ηιδέατηςµθόδου φαίνται στο ακόλουθο σχήµα.: Σχήµα.: Μέθοδος της διχοτόµησης

4 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 Εστω η συνάτηση µ a < 0 και b > 0. Τότ ισχύι το κιτήιο του Bolzao και υπάχι µία παγµατική ίζα στο a, b. Η ίζα θα αντιστοιχί στο σηµίο τοµής της γαφικής παάστασης της συνάτησης µτον-άξονα. Κατασκυάζουµτις διαδοχικές ποσγγίσις,,... µ τον ξής τόπο: Παίνουµ ως, 3 το µέσο του διαστήµατος [ a, b], δηλ: a b.6 Αν 0 τότ ο ίναι η ζητούµνη ίζα. Αυτή η πίπτωση σπάνια συµβαίνι στην πάξη. 3 Αν 0 τότ λέγχουµ τοπόσηµο τηςτιµής της συνάτησης σηµίο. στο Αν το πόσηµο της συµφωνί µ τοπόσηµοτης b, τότ καταγούµ το παλαιό b και θέτουµ b.αλλιώς, αν δηλαδή το πόσηµο της συµφωνί µ το πόσηµοτης a, τότ καταγούµ το παλαιό α και θέτουµ a. Κατά τη διάκια της κτέλσης του τίτου βήµατος, ένα µόνοαπόταδύοάκα, α ή b θα παναποσδιοιστί, και θα µταφθί στο µέσο του παλαιού διαστήµατος [α,b]. Στην πίπτωση της συνάτησης του σχήµατος, παατηούµ ότι το συµφωνί µ τοπόσηµο της b. Εποµένως, µτά την κτέλση του βήµατος 3, το άκο b θα µταφθί στη θέση του σηµίου. Το άλλο άκο, α, πααµένι στη θέση του. 4 Επιστέφουµ στοβήµα, και παναλαµβάνουµ ταβήµατα ως 4 µ τονέο διάστηµα [ a, b] και τη νέα ποσέγγιση, στηθέσητης, όπου η θα δίνται ξανά από τη σχέση a b.7 που ίναι ίδια µ τησχέση.6 για το, µτηµόνη διαφοά ότι στη σχέση.7 ένα από τα α ή b έχι τώα παναποσδιοιστί. Παατηούµ ότι στην πίπτωση του σηµίου, οέλγχοςτουβήµατος 3 θα δώσι ότι το πόσηµοτης συµφωνί µ τοπόσηµοτης a. Εποµένως, τώα θα καταγηθί το παλαιό α και θα τθί a, νώ το b θα πααµίνι ως έχι. Ο κανόνας 3 για τα πόσηµα έχι σκοπό σ κάθ βήµα του αλγόιθµου να ξακολουθί να ισχύι το κιτήιο του Bolzao. Στο νέο δηλαδή κλιστό διάστηµα

5 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 4 [ a, b] που ποκύπτι µτά την υλοποίηση του βήµατος 3, ητιµές της συνάτησης στα δύο άκα του διαστήµατος έχουν αντίθτο πόσηµο. Σ κάθ πανάληψη των βηµάτων ως 4, το ύος του αχικού διαστήµατος διαιίται δια δύο, µιακαιτοένααπόταδύοάκατουνέουδιαστήµατος µταφέται ακιβώς στο µέσο του παλαιού διαστήµατος. Ετσι, µτά από παναλήψις των βηµάτων ως 4, το αχικό ύος M b 0 a, έχι υποδιαιθί κατά τον παάγοντα. Εποµένως, 0 το ύος του διαστήµατος M µτά από παναλήψις θα ίναι: b a0 M.8 0 Μια και τα διαδοχικά διαστήµατα όλο και µικότου ύους ζώνουν τη ίζα από δξιά και αιστά, µποούµ νατµατίσουµ την παναληπτική διαδικασία όταν το ύος M γίνι µικότο από µία πιθυµητή θτική παάµτο ακίβιας. Θέτοντας M b0 a0 <.9 καιλύνονταςτηνανίσωσηωςποςτοπλήθοςτωνπαναλήψωνβίσκουµ l b a0 l > l 0.0 Στηνπάξηηδιαδικασίασταµατάι µτά από l b [ 0 a0 l ] l. βήµατα ο συµβολισµός [ ] σηµαίνι το ακέαιο µέος του αιθµού µέσα στις αγκύλς. Θωούµ τοτωςαιθµητική ποσέγγιση της ίζας την τιµή. όπου το παίνι την τιµή που δίνται από τη σχέση.. Στο παάδιγµα της ξίσωσης.3, ξκινώντας από το διάστηµα ύους, µ άκα 0 a και b, και θέτοντας ως παάµτο πιθυµητής ακίβιας 0, βίσκουµ από την ξίσωση. 5. Μτά από 5 παναλήψις βίσκουµ την ποσγγιστική ίζα Οι πώτς 5 παναλήψις δίνουν:

6 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 αλλαγή οίου b b a b a Πααθέτουµ τώα µία µοφή του αλγόιθµου σ τυπική γλώσσα που υλοποιί τη µέθοδο της διχοτόµησης. Αλγόιθµος ιχοτόµησης begi variables: double: a,b,,err it:,i a -.0 b.0 err.e-0 itlogb-a-logerr/log.0 i a*b<0 the or i to step ab/ i *b<0 a else b edi edor prit "the root is", else prit "criterio ot valid" edi ed. double uctio double begi retur ** ed.4 Μέθοδος Regula alsi Η µέθοδος Regula Falsi βασίζται και πάλι στον ποσδιοισµό διαδοχικών διαστηµάτων ολοένα και µικότου ύους, της µοφής [α,β], στα οποία ικανοποιίται το το κιτήιο του Bolzao α<0 και b<0. Τότ υπάχι µία παγµατική ίζα στο α,b. Κατασκυάζουµ τις διαδοχικές ποσγγίσις,,... µ τον ξής τόπο:, 3

7 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 6 Παίνουµ ως το σηµίο στο οποίο η χοδή που διέχται από τα σηµία a, a και b, b τέµνι τον -άξονα σχήµα.. Σχήµα.: Μέθοδος Regula Falsi Το σηµίο ποκύπτι από την αντικατάσταση y0 στην ξίσωση της χοδής y b a a a b a.3 και ίναι a a b a b a.4 Τα υπόλοιπα βήµατα ίναι όπως στη µέθοδο Boltzao. Εχουµ δηλαδή: Αν 0 τότ ο ίναι η ζητούµνη ίζα. 3 Αν 0 τότ λέγχουµ το πόσηµο τηςτιµής της συνάτησης Αν το πόσηµο της συµφωνί µ τοπόσηµοτης b, τότ καταγούµ το παλαιό b και θέτουµ b. Αλλιώς, αν δηλαδή το πόσηµο της συµφωνί µ τοπόσηµοτης a, τότ καταγούµ το παλαιό a και θέτουµ a.

8 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 Κατά τη διάκια της κτέλσης του τίτου βήµατος, ένα µόνοαπόταδύοάκα, α ή b θα παναποσδιοιστί, και θα µταφθί στο σωτικό του παλαιού διαστήµατος [α,b]. Στην πίπτωση της συνάτησης του σχήµατος, παατηούµ ότι το συµφωνί µ τοπόσηµοτηςb. Εποµένως, µτά την κτέλση του βήµατος 3, το άκο b θα µταφθί στη θέση του σηµίου. Το άλλο άκο, α, πααµένι στη θέση του. 4 Επιστέφουµ στοβήµα, και παναλαµβάνουµ ταβήµατα ως 4 µ τονέο διάστηµα [α,b] και τη νέα ποσέγγιση, στη θέση της, όπου η θα δίνται ξανά από τη σχέση a a b a b a.5 που ίναι ίδια µ τη σχέση.4 για το, µ τηµόνη διαφοά ότι στη σχέση.5 ένα από τα α ή b έχι τώα παναποσδιοιστί. Η µέθοδος regula alsi ίναι ταχύτη από τη µέθοδο του Bolzao διότι η πιλογή της κάθ πόµνης ποσέγγισης γίνται ν γένι πλησιέστα πος τη ίζα απ' ότι µ τη µέθοδο του Bolzao. Επίσης, όπως ακιβώς και η µέθοδος του Bolzao, έτσι η µέθοδος regula alsi συγκλίνι γγυηµένα πος τη ίζα, µια και σ κάθ υποδιαίση του διαστήµατος [α,b] τα νέα άκα πιλέγονται έτσι ώστ να ικανοποιίται το κιτήιο του Bolzao..5 Επαναληπτικές Μέθοδοι. Μέθοδος Newto - Raphso, τέµνουσας και γνική παναληπτική Μέχι τώα µλτήσαµ µθόδους στις οποίς αξιοποιούσαµ το κιτήιο του Bolzao, παγµατοποιώντας διαδοχικές υποδιαιέσις του διαστήµατος [α,b] στο οποίοτοκιτήιογγυόταντηνύπαξηίζας. Τώα θα γκαταλίψουµ τησιγουιάτωνµθόδων των διαδοχικών υποδιαιέσων, µ τις οποίς ίχαµ ξασφαλισµένη σύγκλιση πος τη ίζα, και θα γνωίσουµ άλλς µθόδους οι οποίς δν συγκλίνουν πάντα πος τη ίζα, όταν συγκλίνουν όµως, συγκλίνουν πολύ ταχύτα από τις ποηγούµνς µθόδους. Οι µέθοδοι αυτές ίναι γνωστές µ τον τίτλο "γνικές παναληπτικές µέθοδοι" και βασίζονται στην έκτίµηση µιας αχικής τιµής 0 iitial guess την οποία "µαντύουµ" ως τιµή πλησίοντης ίζας. Τότ, η γνική παναληπτική µέθοδος µας δίνι έναν απλό κανόνα σ µοφή συνάτηση που γκαθιδύι µία αναδοµική σχέση απικόνισης µταξύ της ν-οστής και της ν-οστήςποσέγγισηςτηςίζαςτηςµοφής: g.5

9 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 8 η οποία λπίζουµ ότι θα συγκλίνι πος τη ίζα. Μέσω του κανόνα.5 υπολογίζονται οι διαδοχικές ποσγγίσις,,...,. Στις µθόδους αυτές η απόκλιση από την ίζα σ κάθ βήµα δν ίναι γνωστή µ τηνακίβιαπουθαθέλαµ ώστ να µποούµ να αποφασίσουµ πόσς παναλήψις απαιτούνται, ώστ το σφάλµα να γίνι µικότο από µία ποκαθοισµένη πιθυµητή παάµτο, όπως κάναµπ.χ. στην πίπτωση της µθόδου του Bolzao µ τη χήση της σχέσης.. Εντούτοις, θα δίξουµ στην παάγαφο 6 ότι µποούµναέχουµ κτίµηση του σφάλµατος που ίναι ασυµπτωτικά σωστή, µ βάση οισµένα αναπτύγµατα σ σιά Taylor. Θα δώσουµ πίσηςαιθµητικά πααδίγµατα που δίχνουν ότι οι θωητικές αυτές κτιµήσις όντως ισχύουν στην πάξη. Πάντως, δδοµένου ότι δν γνωίζουµ κτων ποτέων πόσς παναλήψις απαιτούνται ώστ το σφάλµα ναγίνι µικότο από την ποκαθοισµένη παάµτο, σ όλους τους αλγόιθµους των γνικών παναληπτικών µθόδων χησιµοποιούµ ωςκτίµηση της σύγκλισης την απόσταση µταξύ δύο διαδοχικών κτιµήσων,, και θωούµ ότιηµέθοδος συνέκλιν ότανηαπόστασηαυτήγίνιµικότη από την παάµτο : <.6 Αν ισχύι η άνηση της συνθήκης.6, τότ συµπαίνουµ ότι δν έχουµ ακόµη σύγκλιση. Στην πίπτωση αυτή θα πέπι να έχουµ µία ακόµη πανάληψη του βήµατος της σχέσης.5. Aλγοιθµικά, χησιµοποιούµ τηνντολήwhile: whileabs-0>eps do... µία ακόµη πανάληψη... eddo όπου οι µταβλητές, 0 και eps δηλώνουν το νέο δηλαδή το, το παλαιο δηλαδή το και την παάµτο αντίστοιχα..5. Μέθοδος Newto - Raphso Ποξάχουσα θέση στις παναληπτικές µθόδους έχι η µέθοδος Newto - Raphso. Η µέθοδος αυτή βασίζται στην ξής απλή παατήηση. Αν µία ποσέγγιση ίναι ακτά κοντά στη ίζα µιας συνάτησης µ 0, τότ η συνάτηση µποί να αναπτυχθί σ σιά Taylor γύω από την τιµή. Μέχι όους πώτης τάξης έχουµ τότ....7 και δδοµένου ότι 0, βίσκουµ για τη ίζα, πιλύοντας την.7, την έκφαση....8

10 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9 Η ιδέα της µθόδου ίναι να αξιοποιηθί η σχέση.8, αντικαθιστώντας στη θέση του τυχαίου τη ν-οστή ποσέγγιση, και στη θέση της ίζας που υπολογίζται ποσγγιστικά από τη σχέση.8 την πόµνη ποσέγγιση, πααλίποντας τους όουςανώτηςτάξηςτηςσχέσης.8. Εχουµ τόττηναναδοµική σχέση της µθόδου Newto-Raphso:.9 Η γωµτική µηνία της µθόδου γίνται σαφής µ τη βοήθια του πόµνου σχήµατος.3. Εστω η ποσέγγιση της ίζας στην πώτη πανάληψη. Η ξίσωση της φαπτοµένης της στο σηµίο ίναι: y.0 Η υθία της φαπτοµένης.0 τέµνι τον άξονα σ ένα σηµίο το οποίο βίσκται ύκολα αν θέσουµ για y0 στην ξίσωση.0. Εχουµ τότ. Που ίναι ακιβώς ο τύπος.9 για. Σχήµα.3: Μέθοδος Newto - Raphso Εποµένως διαπιστώνουµ ότιηκάθπόµνη διαδοχική ποσέγγιση ίναι το σηµίο τοµής µ τον άξονα της φαπτόµνηςτηςγαφικήςπαάστασηςτηςστο σηµίο,.

11 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 Τίθται τώα το ώτηµα ανµποούµ ναξασφαλίσουµ ότιηδιαδικασίααυτή συγκλίνι. Στο σχήµα 3 βλέπουµ ότι όντως οι τιµές,, 3 πλησιάζουν πισσότο πος τη ίζα σηµίο τοµήςτηςγαφικήςπαάστασηςµ τον άξονα. Εντούτοις, ησύγκλισητης µθόδου δν ίναι ξασφαλισµένη. Πάγµατι, αν ίχαµ ξκινήσι µ λίγο διαφοτικό, µακύτα κάπως από τη ίζα, τότ τα διαδοχικά,, 3 αποµακύνονται όλο και πισσότο από τη ίζα, όπως δίχνι το σχήµα.4. Υπάχι κάποιο κιτήιο για τη σύγκλιση της µθόδου; Θα δούµ στην παάγαφο 5 ότι υπάχουν θωήµατα που µποούν να χησιµοποιηθούν ως κιτήια σύγκλισης των παναληπτικών µθόδων. Πάντως, το ποηγούµνο παάδιγµαδίχνιότιστην πάξη χιάζται µγάλη ποσοχή, διότι ίναι πιθανόν µία αχική τιµή του να οδηγήσι σ απόκλιση, έστω και αν η τιµή αυτήανήκισδιάστηµα [ a, b] στο οποίο το κιτήιο του Bolzao γγυάται την ύπαξη ίζας. Ωστόσο, αν η µέθοδος συγκλίνι, τότ συγκλίνι ιδιαίτα γήγοα. Θα δούµ στην παάγαφο.6 ότι η µέθοδος έχι "τταγωνική" τάξη σύγκλισης. Αν οίσουµ ως σφάλµα τηςν-οστής ποσέγγισης την απόλυτη διαφοά της ποσέγγισης από την παγµατική τιµή τηςίζας. τότ το σφάλµα µιώνται σύµφωνα µ την αναδοµική σχέση.3 Σχήµα.4: µή σύγκλισητηςnewto - Raphso Τούτο σηµαίνι ότι σ κάθ πανάληψη βίσκουµ πίπου το διπλάσιο πλήθος σηµαντικώνψηφίωναπ' ότι στην ποηγούµνη πανάληψη. Π.χ. Αν µ τηνπώτη πανάληψη ποσγγίσουµ τηίζα µ ακίβια δύο δκαδικών ψηφίων σφάλµα 0.0, τότ τα διαδοχικά σφάλµατα ίναι , , κ.λ.π.. 3

12 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Στο παάδιγµα αυτό, ήδη µτά από 3 παναλήψις φτάνουµ στηνακίβιατων αιθµών κινητής υποδιαστολής απλής ακίβιας. Τούτο σηµαίνι ότι η µέθοδος Newto-Raphso, όταν συγκλίνι, χιάζται µικό πλήθος παναλήψων συνήθως <0 για να δώσι το αποτέλσµα µ όσα σηµαντικά ψηφία µας πιτέπι η αναπαάσταση δκαδικού του υπολογιστή. Χάη στη ταχύτατη αυτή σύγκλιση, η µέθοδος ίναι ιδιαίτα δηµοφιλής. Για να πιοιστί η πιθανότητα µη σύγκλισης, χησιµοποιούµ, αχικά, µία µέθοδο, όπως π.χ. τη µέθοδο Bolzao, ποκιµένου να βούµ µ δύο-τις διχοτοµήσις µια ακτά καλή πώτη ποσέγγιση της ίζας. Στη συνέχια, µ τηµέθοδο Newto-Raphso πιταχύνουµ τησύγκλισηποςτηίζα. Ενα µιονέκτηµα της µθόδου Newto-Raphso ίναι ότι η υλοποίησή της απαιτί τη γνώση όχι µόνο της συνάτησης της οποίας ζητίται µια ίζα, αλλά και της πώτης πααγώγου της συνάτησης. Σ οισµένς πιπτώσις ίναι δύσκολος ή και αλγοιθµικά µη συµφέων ο αναλυτικός υπολογισµός της πώτης πααγώγου, δδοµένου ότι πιθανόν να µη διαθέτουµ ένα απλό αναλυτικό τύπο για την αχική συνάτηση. Στις πιπτώσις αυτές µποούµ να καταφύγουµ σ αιθµητική πααγώγηση. Ωστόσο η αιθµητική πααγώγιση κοστίζι υπολογιστικά και ποµένως πιβαδύνι τη σύγκλιση της µθόδου. Ηπόµνη µέθοδος της τέµνουσας έχι παόµοια φιλοσοφία µ τη µέθοδο Newto-Raphso, αλλά αποφύγι τον υπολογισµό της πώτης πααγώγου..5. Μέθοδος της τέµνουσας secat method Η µέθοδος της τέµνουσας χησιµοποιί τις δύο ποηγούµνς ποσγγίσις, - µιας ίζας ποκιµένου να υπολογίσι την πόµνη ποσέγγιση. Η µέθοδος µποί να ποκύψι από τη µέθοδο Newto-Raphso, αν θωήσουµ την ποσέγγιση.3 που ισχύι όταν οι διαδοχικές ποσγγίσις, - ίναι γιτονικές. Η αντικατάσταση της.3 στη.9 δίνι τότ το γνικό αναδοµικό τύπο της µθόδου της τέµνουσας..4 Η µέθοδος µποί να ποκύψι και από τον τύπο.4 ή.5 της µθόδου regula alsi, αν τα άκα α,b, αντικατασταθούν µ τιςτιµές, -. Εύκολα ποκύπτι ότι το σηµίο ίναι το σηµίο στο οποίο τέµνι τον άξονα η υθία που οίζται από τα σηµία, και -, - τηςγαφικήςπαάστασης της σχήµα.5. Ηαπόδιξηαφήνταιώςάσκηση.

13 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σχήµα.5: η µέθοδος της τέµνουσας Η µέθοδος έχι λαφά βαδύτη σύγκλιση από την µέθοδο Newto - Raphso. Θα δούµ στην παάγαφο.6 ότι το σφάλµα στον-οστό βήµα δίνται ως συνάτηση του σφάλµατος στα δύο ποηγούµνα βήµατα:.5 το οποίο οδηγί στην ασυµπτωτική συµπιφοά λ.6 µ λ Γνική παναληπτική Μέθοδος Ξαναγάφοντας το γνικό αναδοµικό τύπο της µθόδου Newto - Raphso.7 παατηούµ ότι το δξιό µέλος ίναι µία συνάτηση της µταβλητής, g.8 ηοποία, αν 0, έχι την ιδιότητα η ίζα να αποτλί ένα σταθό σηµίο της απικόνισης.7. Η έννοια του σταθού σηµίου δίνται από τον ακόλουθο οισµό: Οισµός.: Εστω µία απικόνιση της µοφής g.9

14 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 Το σηµίο του πδίου οισµού της συνάτησης g ονοµάζται σταθό σηµίο της απικόνισης αν και µόνο αν ισχύι g.30 Εύκολα διαπιστώνουµ ότι η συνάτηση g, όπως οίζται από τη σχέση.8, έχι σταθό σηµίο τη ίζα της συνάτησης, µια και 0. Η ιδέα της γνικής παναληπτικής µθόδου ίναι να αναζητήσουµ και άλλς συνατήσις g, οι οποίς έχουν τη ίζα της ξίσωσης 0 ως σταθό σηµίο. Ως πώτο παάδιγµα, δδοµένου ότι 0, ύκολα βίσκουµ ότι οποιαδήποτ συνάτηση της µοφής gλ.3 όπου λ µια σταθά, θα έχι την ιδιότητα το σηµίο να αποτλί σταθό σηµίο της απικόνισης g. Μια δύτη χήσιµη γνίκυση της.3 ίναι η συνάτηση g που οίζται από τη σχέση g h.3 όπου h µία άλλη, κατάλληλα πιλγµένη συνάτηση, µ h 0. Ησυνάτησηg που οίζται από τη σχέση.3 έχι πίσης το σταθό σηµίο. Η µέθοδος Newto - Raphso ίναι ιδική πίπτωση της µθόδου.3, όπου h. Στην πίπτωση της µθόδου Newto - Raphso, ίδαµ ότιανξκινήσουµ την απικόνιση g όπου η συνάτηση g δίνται, όπως ίπαµ, από τη σχέση.8 από ένα σηµίο γιτονικό πος τη ίζα, τότ οι διαδοχικές παναλήψις της απικόνισης συγκλίνουν πος τη ίζα, συγκλίνουν δηλαδή πος το σταθό σηµίο της απικόνισης. Η ιδιότητα αυτή των σταθών σηµίων µιας απικόνισης ίναι πολύ γνική και ίναι γνωστή µ τον όο υστάθια νός σταθού σηµίου. Ενα σταθό σηµίο µιας απικόνισης ίναι δυνατόν να ίναι υσταθές ή ασταθές. Στην πώτη πίπτωση, υπάχι ένα διάστηµα γύω από το υσταθές σηµίο τέτοιο οι άπις διαδοχικές ικόνς κάθ αχικής συνθήκης που δίνται ντός του διαστήµατος πααµένουν ντός του διαστήµατος, και µάλιστα κατά κανόνα συγκλίνουν πος το υσταθές σηµίο. Αντίθτα, άν ένα σταθό σηµίο ίναι ασταθές, τότ αχικές συνθήκς σ οσοδήποτ µικό διάστηµα γύωαπότοσταθόσηµίο οδηγούν σ απόκλιση από το σταθό σηµίο. Για να γίνουν τα πααπάνω κατανοητά, µία χήσιµη µέθοδος ίναι η γαφική µέθοδος ηοποία µας πιτέπι να ντοπίζουµ γαφικά τις διαδοχικές ικόνς µιας αχικής συνθήκης 0, κάτω από µία γνική απικόνιση της µοφής g, αν ίναι

15 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 4 γνωστή η γαφική παάσταση της g. Εξηγούµ τώα τη µέθοδο αυτή µ τη βοήθια των ακόλουθων σχηµάτων 6 και 7. Σχήµα.6: γαφικός υπολογισµός διαδοχικών σηµίων απικόνισης Εστω η γαφική παάσταση της συνάτησης g. Σχδιάζουµ στους ίδιους άξονς και την υθία δ µ ξίσωση y. Ξκινώντας από ένα αχικό σηµίο 0 θα βούµ την πώτη ικόνα του ως ξής: βίσκουµ πώτα στον άξονα y το σηµίο g 0. Στη συνέχια, λόγω της ισότητας g 0, πκτίνουµ την οιζόντια διακκοµµένη γαµµή απότοσηµίο g 0 του άξονα y µέχι να τµήσι την υθία δ µ ξίσωση y. Ηττµηµένη του σηµίου τοµής µ την υθία δ δίνι το νέο σηµίο. Ηδιαδικασίαπαναλαµβάνται πανοµοιότυπα για τα διαδοχικά σηµία, 3,... Στο σχήµα 6 έχουµ καιτασηµία,, 3 στα οποία η γαφική παάσταση της g τέµνι την υθία δ. Τα σηµία τοµής της γαφικής παάστασης της g µ τηνδ οίζουν τα σταθά σηµία της απικόνισης g, µια και σ καθένα από τα σηµίααυτάικανοποιίταιηισότηταg i i. Παατηώντας το σχήµα 6, διαπιστώνουµ ότι νώ η αχική συνθήκη 0 ήταν πλησιέστα πος το σταθό σηµίο, µτά από δύο µόνο απικονίσις έχι αποµακυνθί από το σταθό σηµίο και έχι πλησιάσι κατά πολύ το σταθό σηµίο. Αυτό συµβαίνι διότι το σηµίο ίναι ασταθές, νώ το σηµίο ίναι υσταθές σηµίο της απικόνισης. Η ύση των διαδοχικών ικόνων νός αχικού σηµίου µποί να διυκολυνθί ακόµη πισσότο παατηώντας ότι το τµήµα των διαδοχικών διακκοµένων οιζόντιων και κάθτων γαµµών µταξύ της γαφικής παάστασης της g και της διαγωνίου δ απικονίζι όλη την πληοφοία που δίχνι τη θέση των διαδοχικών

16 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 5 ικόνων στον άξονα. Ετσι, η γαφική µέθοδος του σχήµατος 6 απλοποιίται, σχδιάζοντας διαδοχικά ένα κάθτο και ένα οιζόντιο υθύγαµµο τµήµα µταξύ της καµπύλης της γαφικής παάστασης της g και της διαγωνίου δ. Η απλοποιηµένη αυτή γαφική µέθοδος φαίνται στο σχήµα 7, όπου γίνται σαφής η σύγκλιση πος το σταθό σηµίο,;έστω και αν το αχικό µας σηµίο ήταν πλησιέστα στο. Σχήµα.7: απλοποιηµένη γαφική µέθοδος υπολογισµού των ικόνων µιας απικόνισης Υπάχι τόπος να γνωίζουµ κ των ποτέων αν ένα σταθό σηµίο ίναι υσταθές η ασταθές; Την απάντηση στο ώτηµα αυτό µας δίνι το ακόλουθο θώηµα: Θώηµα.3: Εστω ένα σταθό σηµίο της απικόνισης g και έστω η g πααγωγίσιµη σέναδιάστηµα γύωαπότοσηµίο. Αν ισχύι η συνθήκη g <.33 τότ υπάχι ένα διάστηµα :-, γύω από τη ίζα µ >0 τέτοιο ώστ κάθ αχική συνθήκη 0 να δηµιουγί µία ακολουθία ικόνων,,... που συγκλίνι στο σταθό σηµίο. Το θώηµα. διυνά πότ έχουµ σύγκλιση πος οισµένη ίζα, αλλά στην πάξη έχουµ ακτές δυσκολίς στην φαµογή του, διότι η τιµήτηςίζας µας ίναι άγνωστη άλλωστ µ τη γνική παναληπτική µέθοδο αυτό ακιβώς πιχιούµ: να βούµ την άγνωστη ίζα, και ποµένως δν γνωίζουµ ποια τιµή να αντικαταστήσουµ στην παάγωγο της σχέσης.33!

17 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 6 Πάντως, αν ίναι γνωστό ένα διάστηµα στο οποίο ανήκι η ίζα, τότ το κιτήιο.33 µποί να αξιοποιηθί ποκιµένου να δοθούν ένα άνω και ένα κάτω όιο στις τιµές πααµέτων που µφανίζονται στην ανισότητα.33, έτσι ώστ η σύγκλιση να ίναι ξασφαλισµένη. Παάδιγµα Εστω η συνάτηση 3.34 µ ποφανή ίζα Θα δοκιµάσουµ ναβούµ τηίζααιθµητικά, µ την παναληπτική µέθοδο K 3 K.35 όπου Κ>0. Το ώτηµα ίναιγιαποιέςτιµές της σταθάς Κ έχουµ σύγκλισηστη ίζα. Ησυνάτησηg έχι τύπο 3 g.36 K και ποµένως το κιτήιο.33 δίνι g 3 K 3 < < K 3 < > K > 0.37 Η δξιά ανισότητα ισχύι για κάθ τιµή Κ>0, νώ η αιστή ανίσωση ως πος Κ δίνι 3 K >.38 Παότι δν γνωίζουµ ακιβώςτηίζα, µποούµ τώαναβούµ από τη σχέση.38 ένα "όιο ασφαλίας" για την παάµτο K. Πάγµατι, δδοµένου ότι > 0 7 έχουµ <4/3. Εποµένως, ένα όιο ασφαλίας και την Κ παέχται από την ανισότητα 3 K > 4 K >

18 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 7 που ίναι λίγο πάνω από το παγµατικό όιο Κ>.38.. Ασκηση: δίξτ ότι ένα "όιο ασφαλίας" για την παάµτο Κ στη γνική παναληπτική µέθοδο K ώστ να έχουµ σύγκλισηστηίζα της ξίσωσης 3 0 ίναι το όιο Κ>....6 Τάξη Συγκλισης των Επαναληπτικών Μθόδων Αναφέαµ στην παάγαφο 4 ότι η µέθοδος Newto - Raphso έχι "τταγωνική" τάξη σύγκλισης, δηλαδή οι διαφοές δύο διαδοχικών ποσγγίσων από τη ίζα συνδέονται µταξύ τους µ νόµοτταγώνου.40 νώ η µέθοδος της τέµνουσας έχι λίγο βαδύτη σύγκλιση Στην παούσα παάγαφο ξτάζουµ τον τόπο µ τον οποίο καταλήγουµ στις σχέσις.40 ή.4 που µας δίνουν την τάξη σύγκλισης µιας παναληπτικής µθόδου της µοφής g.4 Η µέθοδος που ακολουθίται ίναι απλή και µποί να αναλυθί στα ξής βήµατα Θέτουµ.4 Αντικαθιστούµ τις σχέσις.4 στην ξίσωση.4 της γνικής παναληπτικής µθόδου και αναπτύσουµ σ σιά Taylor µέχι όους ης τάξης ως πος τις διαφοές, και :

19 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 8 g g.43 g g O και δδοµένης της ισότητας g, λαµβάνουµ g O.44 Ησχέση.44 δίχνι ανάγλυφα για ποιό λόγο ισχύι το θώηµα. που αναπτύξαµ στην ποηγούµνη παάγαφο. Παατηούµ ότι µέχι όους πώτης τάξης, η ακολουθία ίναι γωµτική πόοδος µ παάγοντα g'. Εποµένως, αν g' <, τότ η ακολουθία τωνδιαφοώντίνιστοµηδέν και µάλιστα τόσο ταχύτα, όσο µικότη ίναι η απόλυτη τιµή τηςg'. Αντίθτα, αν g' > ηακολουθία τίνι στο άπιο που σηµαίνι ότι οι διαδοχικές ποσγγίσις απόµακύνονται από τη ίζα, και µάλιστα µ γωµτικό υθµό. Αν τώα 0< g' < λέµ ότι η µέθοδος συγκλίνι µ τάξη πώτη, ή συγκλίνι γαµµικά. Γνικά, η τάξη σύγκλισης οίζται από τον κθέτη p στη σχέση p.45 µ p. 3 Αν g' 0, τότ ξτάζουµ τουςόουςης τάξης του αναπτύγµατος Taylor της σχέσης.43. Αν και αυτοί οι όοι δώσουν µηδνικό συντλστή, ποχωούµ στην πόµνητάξηκ.ο.κ.. Παάδιγµα Να µλτηθί η τάξη σύγκλισης των κάτωθι µθόδων α K γνική παναληπτική β Newto - Raphso γ µέθοδος της τέµνουσας στην ύση µιας απλής ίζας της ξίσωσης 0.

20 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9 α Γνική παναληπτική µέθοδος. Απότοανάπτυγµα Taylor της g K βίσκουµ g g Κ K Αν ισχύι 0 < < Κ τότ η µέθοδος συγκλίνι γαµµικά. Στην ιδική πίπτωση που Κ' έχουµ τταγωνική σύγκλιση αν 0. Συµπασµατικά, η γνική παναληπτική µέθοδος έχι κατά κανόνα γαµµική τάξη σύγκλισης, κτός από πολύ ιδικές πιλογές των πααµέτων, οι οποίς όµως δν ίναι κ των ποτέων γνωστές µια και η ίζα ίναι άγνωστη. β Μέθοδος Newto - Raphso Στην πίπτωση αυτή έχουµ g και λαµβάνοντας υπόψιν την ισότητα 0, το ανάπτυγµα Taylor µέχι όους δύτης τάξης δίνι g g... Εποµένως η µέθοδος έχι σύγκλιση τταγωνική. γ Μέθοδος της τέµνουσας Η µέθοδος αυτή παουσιάζι µία ιδιοµοφία: στο δξιο µέλος τα αναπτύγµατα θα πέπι να γίνουν ταυτόχονα ως πος δύο µικές πααµέτους, τις και -. Τούτο πιτυγχάνται λαµβάνοντας υπόψη το ανάπτυγµα:....46

21 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 30 το οποίο αντιστοιχί "πιγαφική" σχέση..... τητς ποσ ς µικ τητς ποσ ς µικ ό έ ό έ Εχουµ από το ανάπτυγµα Taylor στη σχέση τους κάτωθι όους ] [ ] [ ] [ ] [ ] ][ [ ] [ ] [ 3 O Καταλήγουµ ποµένως στη σχέση

22 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 Τίθται τώα το ώτηµα αν υπάχι κάποιος κθέτης p που να δίνι την ασυµπτωτική ταχύτητα σύγκλισης στην ποηγούµνη σχέση. Αν υπάχι τέτοιος κθέτης θα ισχύι p p p p Ενώ ισχύι ταυτόχονα p p Εξισώνονταςτουςδύοκθέτςβίσκουµ p p Η δυτοβάθµια ξίσωση έχι τη θτική λύση p Εποµένως η τάξη σύγκλισης ίναι καλύτη από γαµµική, αλλά χιότη από την τάξη της µθόδου Newto - Raphso.