BRVCI MTÓD RVNBŽNÉH PRMITNI Výhodou Mongovho obrni určni pôdorsu nársu, ktoré s použív njmä n tchnických výkrsoch j jdnoduchosť mrni romrov útvrov. Nvýhodou tjto obrovcj mtód j, ž ískné primt sú málo náorné, t.j. strác s pristorová informáci o útvr. Práv týchto dôvodov, k potrbujm ískť vic pristorových informácií o útvr, j vhodné voliť k obrovniu útvru mtódu onomtri, ktorá ponúk náorné obrni útvru, všk n úkor mrni. onomtri Princíp obrovcj mtód snttický prístup Nch j v pristor 3 prvouhlý trojhrn, ktorého hrn,, určujú tri rovin rovin π =, ν = µ = tv. stn trojhrnu. s µ ϕ s ν π ε Určím:. rovinu ε, ktorá ninciduj s bodom, prtín hrn trojhrnu v bodoch = ε, = ε, = ε stn trojhrnu v primkch = π ε, = ν ε, = µ ε. Rovin ε s nýv onomtrická primtň trojuholník onomtrický trojuholník. smr prmitni {s}, ktorý j rônobžný s onomtrickou primtňou ε s rovinmi π, ν, µ. nčím odchýlku ϕ = s, ε, uhol ϕ j ostrý lbo 90. 3. rovnobžný primt bodu do primtn ε : s ε, s { s} =, ktorý nývm onomtrický primt bodu ončím indom. Bod j vnútorným bodom onomtrického trojuholník 4. rovnobžný primt hrán,,, sú primk,,, ktoré incidujú s onomtrickým primtom bodu vrcholmi onomtrického trojuholník. Útvr v primtni ε nývm onomtrický osový kríž.
s s ε s Nch bod 3, π, ν, µ, ε, bod j kolmý primt bodu do rovin π = (pôdors bodu). Určím onomtrické primt bodov: = s ε, s s, obrni : { } : s ε s { s} =. Pltí :, 3 φ : ε ε, ktoré bodu primtni ε tk, ž, j bijkci.. 3 prirdí usporidnú dvojicu bodov (, ) v obrni φ nývm mtód onomtri v primtni ε. obrovciu mtódu onomtri nývm mtódou prvouhlj ( kolmj ) onomtri k smr prmitni {s} j kolmý n primtňu t.j. ϕ = 90, ink hovorím o mtód kosouhlj ( šikmj ) onomtri t.j. ϕ j ostrý uhol. onomtrická súrdnicová sústv Nch j rovnká jdnotk mrni n hrnách,, t.j. bod,, s bodom vtvori štvorstn = = =, kd. Prvouhlý trojhrn s vnčnými bodmi,,, j krtiánskou súrdnicovou sústvou pristor 3. s ε
Určím rovnobžný primt štvorstn do primtn ε : j to útvr, ktorý nvm onomtrická súrdnicová sústv dĺžk =, =, = - nvm onomtrické jdnotk polprimk =, =, = nvm - onomtrické osi. V primtni ε j určná krtiánsk súrdnicová sústv P, ktorú v nákrsni štndrtn obrujm: P onomtrickú súrdnicovú sústvu v nákrsni P umistnim tkto:, = = = J to štndrtné umistnni pr prvotočivú báu. nčím uhl pri vrchol : ξ =, η =, ζ =. Čsto s dáv onomtrický osový kríž práv pomocou týchto uhlov. Nch v nákrsni P j dný onomtrický osový kríž. hľdisk istnci onomtri j vhodné vsvtliť možno onomtrickú súrdnicovú sústvu v nákrsni voliť ľubovoln ξ ko súvisí voľb onomtrických jdnotik,, so smrom prmitni {s}. K vsvtlniu prvj čsti uvdim Pohlkho vtu, ktorj rôn formuláci sú uvdné v litrtúr [Skl.,Kr]. Pr ďlši nltické vjdrni j vhodná formuláci vt: Vt Pohlkho: Úsčk,, v rovin, ktoré lži n troch rônch primkch,, so spoločným bodom možno povžovť rovnobžné primt troch hodných, kolmých úsčik,,. nmná to, ž k ni sú vslovné ďlši požidvk ( npr. ϕ = 90 ) môžm podľ Pohlkho vt v primtni voliť onomtrické jdnotk =, =, = ľubovoľn. Vžd istuj v pristor krtiánsk sústv s tkou jdnotkou η ζ
= = =, ž dná onomtrická sústv primtom. j jj rovnobžným Pr vsvtlni druhj čsti potrbujm určiť uhol ϕ. Tn j s jdnotkmi,,, viný prdpisom + + = + cot g ϕ () Čísl u =, v =, w = nývm koficint mn (skrátni lbo prdĺžni) n onomtrických osich. Td uhol ϕ ávisí od voľbonomtrickj súrdnicovj sústv prostrdníctvom koficintov mn. k pr koficint mn pltí: tri koficint mn sú rovnké, j onomtri iomtriou: u:v:w = :: práv dv koficint mn sú rovnké, j onomtri dimtriou: u:v:w = ::w, u:v:w = :v:, u:v:w = u:: nijké dv koficint mn sú rovnké, j onomtri trimtriou. Pri výbr polohonomtrickj primtn ε vhľdom n prvouhlý trojhrn sm prdpokldli, ž rovin ε prtn hrn trojhrnu v bodoch, ktoré vtvori onomtrický trojuholník. Tkúto onomtriu nývm jdnoduchá onomtri. V tchnickj pri ( njmä n stvbných výkrsoch) l j pdgogickom procs (voľné rovnobžné prmitni ) j výhodné stotožniť onomtrickú primtňu s niktorou o stin π =, ν = µ = trojhrnu. V tomto prípd onomtrický trojuholník s dgnruj onomtriu nývm dgnrovná onomtri. Dgnrovné onomtri Vojnská onomtri onomtrická primtň ε j totožná s rovinou π = prvouhlého trojhrnu odchýlk ϕ = s, ε = 45. π = ε = = = = = = Pltí: onomtrické primt, hrán, sú kolmé pr onomtrické jdnotk = = = k., k>0, t.j. u:v:w = :: V primtni ε stotožnnj s nákrsňou so súrdnicovou sústvou P j umistnni onomtrickj sústv pr vojnskú onomtriu:
= ζ =90, ξ <35,65 >. Výbr uhl ξ uvdného intrvlu ponúk vic možností ískni onomtrického primtu útvru. ončujú polohu bodov,, n onomtrických primtoch hrán,, Vojnská onomtri j vhodná njmä n tchnických výkrsoch urbnistického rišni sídlisk, intriérov btov objktov s komplikovným pôdorsom. nltické vjdrni : prmtr otoční: θ = 80 +, η = 90 +, 5,60 θ = 0 prmtr prmitni: ϕ = 45 ( výbr tvoricj primk j určný v otoční R (θ )) V nákrsni so súrdnicovou sústvou P, k ξ = 35, η = 35, tk pr bod (,, ) vpočítm: = = Ponámk: komplnjši vjdrni bud v nltickom vjdrní onomtri
Šikmé obrni onomtrická primtň ε j totožná s rovinou ν = prvouhlého trojhrnu odchýlk ϕ = s, ε, j určná pr uhol ϕ < 45,90 ). = s ν = ε = = = = Pltí: onomtrické primt, hrán, sú kolmé pr onomtrické jdnotk = = k., k>0, =. cotgϕ (cot g ϕ = v) = = t.j. u:v:w = :v:. Td npríkld k ϕ = 60, tk v = 3 3 u:v:w = : 3/3: ϕ = 63,4, tk v = / u:v:w = :/: ϕ = 45, tk v = u:v:w = :: V primtni ε stotožnnj s nákrsňou so súrdnicovou sústvou P j umistnni onomtrickj sústv pr šikmé obrni: = = η =90, ξ = 90 +ω, njčstjši ω = 45, ω =35. Výbr uhl ξ uvdného intrvlu ponúk vic možností ískni onomtrického primtu útvru. ončujú polohu bodov,, n onomtrických primtoch hrán,,. k uhol ω = 45 nývm primt útvru v šikmom obrní ndhľd ľv, k uhol ω = 35 ískný primt útvru nývm ndhľd sprv. Pri výbr smru prmitni {s}k:
odchýlk ϕ = s, ε = 45 uhol ω = 45 rsp. ω = 35 nývm šikmé obrni kvlirn onomtri. = odchýlk ϕ = s, ε = 63.4 potom j koficint mn v = cotg 63.4 = / pr uhol ω = 45 rsp. ω = 35 j ískný primt útvru obrný ko vo voľnom rovnobžnom prmitní to v ndhľd ľv rsp. sprv. N tomto mist j vhodné upoorniť n skutočnosť ko s ískv rovnobžný primt kock používný v stromtrii. = = obrovci mtód šikmé obrni s vužív njmä pri obrovní stvbných objktov s komplikovným nársom. Primo nársu možno vtihnuť onomtriu objktu. nltické vjdrni : prmtr otoční: θ = 80 θ = 90 prmtr prmitni: ϕ 45,90 ), výbr tvoricj primk ndhľd ľv, ndhľd sprv V nákrsni so súrdnicovou sústvou P, k ξ = 35, η = 90, tk pr bod (,, ) vpočítm pr rôn hodnot uhl ϕ 45,90 ) súrdnic šikmého primtu bodu: = cot gϕ.
= cot gϕ. Ponámk: komplnjši vjdrni bud v nltickom vjdrní onomtri Dgnrovné onomtri mjú výhodu rýchlj konštrukci onomtri útvru buď dného pôdorsu ( vojnská onomtri ) lbo nársu ( šikmé obrni ). Rdukci jdnotk njvic v jdnom smr ( súrdnicová os ) mnni polohonomtrickj súrdnicovj sústv j dosť ohrničné. Vhnúť s tomuto obmdniu možno ln v jdnoduchj onomtrii.
Jdnoduché onomtri Nch onomtrická primtň ε ni j totožná so židnou o stin prvouhlého trojhrnu. Potom primtň prtín hrn trojhrnu v bodoch,,, ktoré vtvárjú v primtni onomtrický trojuholník (ostrouhlý). Po urční primtn potrbujm pr rovnobžné prmitni dť smr prmitni, npríkld pomocou odchýlk ϕ = s, ε, k uhol ϕ j ostrý budm prcovť so obrovcou mtódou kosouhlá ( šikmá ) onomtri. k uhol ϕ j prvý, tk obrovci mtód bud prvouhlá ( kolmá ) onomtri. Kosouhlá ( šikmá ) onomtri Vstupnými prvkmi tjto obrovcj mtód j prvouhlý trojhrn, primtň ε incidujúc bodmi,,. Smr prmitni {s} primtň vtvárjú ostrý uhol ϕ = s, ε. Pohlkho vt nám umožňuj v nákrsni, ktorá j totožná s primtňou ε voliť onomtrickú súrdnicovú sústvu ľubovoľn ískť informáciu o vľkosti uhl ϕ j možné pomocou vťhu + + = + cot g ϕ. Pr používtľ, ktorý nmá skúsnosti s touto obrovcou mtódou j výhodné ponúknuť konkrétn dni, ktoré sú odskúšné ovrné v pri pri krslní onomtrických primtov objktov. Nsldovná ponuk bud rodlná n kosouhlú iomtriu, dimtriu trimtriu t.j. podľ pomru koficintov skrátni u, v, w rsp.onomtrických jdnotik,, n jdnotlivých onomtrických súrdnicových osich. Nch =, potom = u, = v, = w. Primt bodov,, n onomtrických primtoch hrán,, sú n ilustrčných obrákoch ončné. Ponuk intrvlov nmná výbr rônch tvoricich primok k dnému smru prmitni {s}. Kosouhlá iomtri : u:v:w = :: V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ξ = 0, η = 35, = = =. =
Kosouhlá dimtri : u:v:w = :3/4: V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ( 0,5 ), η ( 0,0 ) ξ, = =, = 3/ 4 = u:v:w = :/3: V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ( 0,35 ), η ( 95,05 ) ξ, = =, = / 3 = Kosouhlá trimtri : u:v:w = 9: 5:0 V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ξ 0,35, η 95,05, = 9 /0, = /, = ( ) ( ) = u:v:w = 5/7: 4/7:6/7 V nákrsni P j určná onomtrickým osovým krížom : ξ = 30, η = 0, = 5 / 7, = 4 / 7, = 6 / 7 =
Prvouhlá ( kolmá ) onomtri Vstupnými prvkmi j prvouhlý trojhrn, primtň ε, ktorá prtn hrn,, v bodoch,,. K ískniu onomtri útvru s dobrou náornosťou j výhodné voliť smr prmitni kolmý n primtňu ε t.j. odchýlk ϕ = s, ε = 90. Mtód onomtri pr túto voľbu uhl s nýv prvouhlá (kolmá,ortogonáln) onomtri. Pr niktorých používtľov nmusí bť dôlžité ponť dni tjto obrovcj mtód v nákrsni, l potrbuj n ákld určitých požidvik umistniť túto primtňu ε vhľdom n prvouhlý trojhrn potom násldn rliovť kolmé prmitni. týchto dôvodov uvdim vic prístupov k jdnončnému určniu kolmj onomtri. Jdnotlivé prístup sú podrobn sprcovné v [Kr,Kl], v tomto tt j urobný prhľd uvdné sú numrické vjdrni, s ktorými s násldn prcuj.. Voľb primtn nčm δ, δ, δ uhl primtn ε s hrnmi,, prvouhlého trojhrnu. δ ε δ V prvouhlj onomtrii primtň ε vtvár s osmi trojhrnu ostré uhl δ, δ, δ práv vtd kď: cos δ + cos δ + cos δ = () Pr prktické plikáci j výhodné o vťhu () určiť, ž pr prvouhlú onomtriu j dosttočná podmink, k súčt ľubovoľnj dvojic uhlov j ostrý uhol: δ + δ < 90, δ + δ < 90, δ + δ < 90 () To nmná, ž pri konkrétnom návrhu poloh primtn ε dávjú s ln dv uhl pri splnní podmink (). prktických skúsností k vtvárniu rlistických primtov útvrov odporúč s výbr uhl δ < 0 [Kl]. Prmtr otoční: určujú s pomocou uhlov imut, lváci (náv krtogrfi). δ
sinδ Ndvänosť n uhl δ, δ, δ možno písť : = δ, cos = cosδ Potom pr otočni: θ = 80 +, θ = 90 δ. ε. Určni v primtni Pr onomtrické jdnotk pltí: =.cos δ, =.cos δ, =.cosδ. δ ε δ Potom pr koficint skrátni u = cos δ, v = cos δ, w = cosδ v prvouhlj onomtrii pltí: u + v + w = rsp. u + v > w, u + w > v, v + w > u, ktoré povžujm trojuholníkové nrovnosti. Kždý trojuholník, ktorý j podobný trojuholníku so strnmi dĺžok u, v, w nývm trojuholník skrátni prvouhlj onomtri. Vužitím trojuholník skrátni ( podrobný postup [Kl]) vim určiť koficint skrátni u, v, w pomocou uhlov mdi onomtrickými súrdnicovými osmi: ξ =, η =, ζ = cosξ cosη cosς u =, v =, w = sinη sinς sinξ sinς sinξ sinη δ
nminko - v čittli j kvôli tupým uhlom ξ, η,ζ pri voľb = dostnm = u, = v, = w. Nch ponám onomtrický trojuholník, potom jho výšk sú onomtrické súrdnicové osi,, jho vnútorné uhl λ, λ, λ pri vrcholoch,, vpočítm pomocou kosínovj vt. λ λ λ Uhl ξ, η ζ mdi onomtrickými súrdnicovými osmi,,,, určím: ξ = 80 λ, η = 80 λ, ζ = 360 ξ η. Príkld: Ilustráci uvdných súvislostí mdi jdnotlivými dnimi prvouhlj onomtri. Primtň ε vtvár hodné uhl s hrnmi trojhrnu potom :. δ = δ = δ = δ = 35 5'47'' = 35 5'47'', = 45. = = = 0.86 0.8 ( u: v : w = ::) ξ = η = ζ = 0 rovnostrnný onomtrický trojuholník. Pri snttickom prístup k tjto obrovcj mtód j väčšinou prvouhlá onomtri určná v primtni pomocou onomtrického trojuholník lbo onomtrickým osovým krížom. V prvouhlj onomtrii nmôžm voliť onomtrické jdnotk ľubovoľn. J nutné ich včísliť. k používtľ s chc vhnúť tomuto včísľovniu môž použiť tito odporúčné hodnot pr prvouhlú onomtriu to iomtriu, dimtriu trimtriu:
Prvouhlá iomtri ξ η = 0 = 0 = 0.8 = 0.8 = 0.8 = Prvouhlá dimtri ξ = 97 0' η = 3 5' = 0.47 = 0.94 = 0.94 = ξ = 6 50' η = 06 0' = 0.88 = 0.66 = 0.88 = Prvouhlá trimtri ξ = 0 η = 95 = 0.9 = 0.47 = 0.98 = ξ = 0 η = 05 = 0.86 = 0.65 = 0.9 =
obrovci mtód : onomtri -nltické vjdrni. V nákrsni so súrdnicovou sústvou P sm kždú onomtriu rprntovli onomtrickou súrdnicovou sústvou t.j. uhlmi ξ, η onomtrickými jdnotkmi,,. = Nch bod 3 má súrdnic (,, ) jho pôdors (,,0). V onomtrii 3 φ : ε ε j obrom bodov, usporidná dvojic bodov (, ), pr ktorú. Vhľdom n onomtrickú súrdnicovú sústvu súrdnic (,,0), (,, ). mjú bod, Včíslim súrdnic bodu (, ) vhľdom n súrdnicovú sústvu nákrsn P. Pltí: = cos( ξ 90 ) cos( η 90 ) = sin( η 90 ) sin( ξ 90 ) Potom ápis v homogénnch súrdnicich pomocou mtíc: cos( η 90 ) sin( η 90 ) 0 0 cos( ξ 90 ) sin( ξ 90 ) 0 0 ( 3 W ) = ( ) 0 0 0 0 0 0 kd ončni konkrétnho bodu j vnchné osttné prmtr dáv používtľ podľ výbru onomtri. Litrtúr [Kl] Klpk, J.: Dskriptivní gomtri,vtn,prh 95 [Kr] Krmr,.: obrovcí mtod, SPN Prh 99