3 Geometrické transformácie v priestore
|
|
- Σάββας Τοκατλίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 Geomerické rnsformácie v priesore Jedným pilierov počíčovej grfik je počíčová geomeri (compuionl geomer). Počíčová geomeri s oberá riešením geomerických úloh n počíči. Jej ákld vorí nlická geomeri korá použív čísl lgebru n repreenáciu objekov lgorimov. Medi šndrdné geomerické úloh prí npr. určenie vdilenosi dvoch bodov určenie uhl medi úsečkou osou určenie sredu úsečk pod. V grfických ssémoch plikáciách porebujeme čso modifikovť vr polohu objekov ko npr. väčšiť lebo menšiť objek posunúť objek o dný vekor oočiť objek o dný uhol okolo dného bodu pod. ieo modifikácie reliujeme pomocou geomerických rnsformácií korých lgorim sú čso implemenovné primo v hrdvéri počíč (geomerický procesor). Pod geomerickou rnsformáciou roumieme vo všeobecnosi predpis pomocou korého vieme prirdiť bodu P() nejkej množin M práve jeden bod P ( ) množin M. Vo všeobecnosi je rnsformáci určená v. rnsformčným operáorom plí: P (P) rnsformácie môžeme rodeliť n lineárne nelineárne. rnsformáci je lineárn k vťh medi súrdnicmi bodov P P možno vjdriť súsvou lineárnch rovníc. Medi lineárne prí posunuie oočenie men mierk skosenie operácie koré vniknú ich skldním. Medi lineárnmi rnsformácimi micmi je jednončný vťh. Kždej lineárnej rnsformácii vieme prirdiť určiú micu korú poom nývme rnsformčná mic. Ab bolo možné vjdriť všek rnsformácie jednoným spôsobom pomocou násobeni míc používme homogénne súrdnice. Homogénne súrdnice umožňujú repreenovť j bod v nekonečne čo je liminý prípd pre hodnou mierkového fkor h. Pre rnsformácie v priesore používme rnsformčné mice pu 44. S nelineárnmi rnsformácimi s sreávme njmä pri disorii obru (wrping) vorbe rônch dekorčných nápisov podobne. ieo rnsformácie nechovávjú primku. Zvlášnm druhom rnsformácie je premienie. Geomerické rnsformácie sú definovné pre jednolivé bod objekov. Ak chceme rnsformovť nejký objek ko celok poom musíme rnsformáciu plikovť n všek bod objeku. Prkick s le rnsformáci nereliuje bod po bode le len rnsformáci výnmných bodov objeku ko npr. vrcholov polgónu. Obr osných bodov ískme geomerických vlsnosí objeku dného pu rnsformácie. Geomerické rnsformácie môžeme chápť ko:. rnsformáciu objeku (men súrdníc vrcholov objeku) vhľdom n pevný súrdnicový ssém lebo ko 2. rnsformáciu súrdnicového ssému (men súrdnicového ssému poom prepočínie vrcholov objeku vhľdom k omuo novému súrdnicovému ssému) vhľdom n pevný objek. Obidv prísup sú ekvivlenné. rnsformáci súrdnicového ssému je revernou operáciou vhľdom k rnsformácii objeku. V počíčovej grfike s šndrdne používjú rnsformácie objeku.
2 V počíčovej grfike sú vr romer geomerických objekov repreenovné pomocou číslicového opisu jeho výnčných prvkov vhľdom k dnému súrdnicovému ssému (njčsejšie prvouhlému resp. kreiánskemu). Zákldným prvkom 3D modelu je bod - vrchol (poin - vere). Prvouhlá resp. kreiánsk súsv súrdníc je ká súsv súrdníc v korej sú poloh objekov definovné vhľdom n jeden bod - v. čiok súsv O() korý je určený prienikom roch n seb kolmých primok (osí) ončovných. Polohový vekorvekor P B C D 3. Homogénne súrdnice Obr. Repreenáci hrnol pomocou mice Ab memické vťh v micovom vjdrení pre geomerické rnsformácie mli jednonú formu (násobenie mice vekor) používjú s homogénne súrdnice. Homogénne súrdnice boli vedené do geomerie v roku 946 pre vjdrenie v. nevlsnej primk v 6-ch rokoch s čli používť v počíčovej grfike. Usporidnú švoricu čísel ( h) nývme homogénne súrdnice bodu P s kreiánskmi súrdnicmi (X Y Z) v rojromernom priesore k plí: X h Y h Z h Ak je bod P(h) dný v homogénnch súrdnicich poom kreiánske súrdnice oho bodu sú P(/h/h/h). Hodno h s nýv mierkový fkor v PG s rovná. Pri použií homogénnch súrdníc v 3D sú bod repreenovné pomocou mice m 4 kde m je poče vrcholov opisovného objeku. Hrnol obr. poom opíšeme ko: P B C D Všeobecný vr rnsformčnej mice jej použiie pre 3D rnsformáciu bodu v homogénnch súrdnicich (rnsformčná rovnic) má pre ridkový ápis kýo vr: 2
3 Pre sĺpcový ápis má kýo vr: [ ] [ ] GMS L3 rnsformčnú micu dosneme pri omo ápise rnsponovním mice ridkového ápisu. 3.2 Zákldné geomerické rnsformácie Medi ákldné geomerické rnsformácie prí posunuie (rnsláci) oočenie (roáci) men mierk (škálovnie) Posunuie rnsformáci posunuie (rnsláci) reliuje pohb bodu P o vekor posunui do bodu P. Pre polohový vekor plí: p p + čo môžeme memick písť: + + resp. micový ápis: P P+ + Y Y (72) (58) p (58) p () X () X Z Z Obr. 2 Posunuie bodu v priesore Použiím homogénnch súrdníc micového ridkového ápisu dosneme rnsformčnú rovnicu pre posunuie bodu: 3
4 [ ] [ ] rnsformčná mic Ako je rejmé rnsformčnej mice nemá homogeničný fkor posledný sĺpec mice židn vplv preo ich môžeme pri vhodnoení výru ignorovť. Hovoríme poom že ide o finnú rnsformáciu. Ak ončíme rnsformčnú micu posunui ) poom môžeme písť rnsformčnú rovnicu posunui bodu v vre: ( ( ) P P Pre posunuie opčným smerom použijeme invernú micu pre korú plí: ) ( ) ( V odbornej lierúre (njmä nglo-sskej) s čso použív nmieso ridkového ápisu j sĺpcový ápis vekorov. eno ápis predpokldá npr. j grfická plikáci AuoCAD. rnsformčná rovnic má poom vr: rnsformčnú micu ískme rnsponovním pôvodnej mice Oočenie Oáčnie objeku v rojromernom priesore robíme pomocou oáčni okolo jednolivých súrdnicových osí. V 3D môžeme bod lebo objek oáčť okolo roch súrdnicových osí o vžd v ápornom smere (CW) lebo kldnom smere (CCW) lebo okolo ľubovoľnej primk. Celkové oočenie poom dosneme skldním ýcho jednoduchých oočení. Zákldná rnsformáci oočenie (roáci) okolo osi reliuje pohb bodu P okolo osi súrdnicového ssému o uhol do bodu P. Pre odvodenie rnsformčných rovníc použijeme clindrické súrdnice: ( ) ( ) ( ) ( r r r r + ) +.sin cos.cos sin..sin.sin sin.cos cos..cos 4
5 r P P [] resp. [r] P [ ] resp. [r+] P O Obr. 3 Oočenie bodu v priesore okolo osi v kldnom smere Po dosdení rovníc vjdrujúcich vťh medi kréskmi polárnmi súrdnicmi bodu r.cos r.sin dosneme pre kldný smer oáčni:..sin.sin +. Pre rnsformčnú rovnicu v homogénnch súrdnicich v micovom ridkovom ápise poom plí: [ ] [ ] Ak ončíme rnsformčnú micu oočeni okolo osi o uhol φ smbolom môžeme písť rnsformčnú rovnicu oočeni bodu v vre: P P R ( ) R ( ) poom rnsformčná mic pre oočenie obshuje rigonomerické funkcie preo sú výpoč čsovo pomerne náročné. Prejviť s o môže njmä v grfických plikáciách koré vždujú opkovné oáčnie väčšieho poču bodov ko sú npr. nimácie. V ýcho plikáciách kde s reliuje opkovné oáčnie o mlý uhol (do ) môžeme rigonomerické funkcie nhrdiť približnými hodnomi rovná s približne veľkosi hodno uhl v rdiánoch. Vhľdom k omu že mic oočeni je oronormáln plí pre invernú micu: R ( ) R( ) rnsformčné rovnice mice pre oočenie okolo niekorej o súrdnicových osí v kldnom (CCW) ápornom (CW) smere sú uvedené v nsledujúcich buľkách. 5
6 buľk rnsformčné rovnice pre oočenie okolo osi s.s. Oočenie CCW CW Okolo osi Okolo osi Okolo osi.cosφ -.sinφ.sinφ +.cosφ.cosφ +.sinφ -.sinφ +.cosφ.cosφ -.sinφ.sinφ +.cosφ.cosφ +.sinφ -.sinφ +.cosφ.cosφ -.sinφ.sinφ +.cosφ.cosφ +.sinφ -.sinφ +.cosφ buľk 2 rnsformčné mice pre oočenie okolo osi s.s. M CCW CW R ( ) R ( ) R ( ) Oočenie okolo ľubovoľnej primk definovnej v priesore je ložená rnsformáci poosávjúc o sekvencie posunuí oočení. Primku je porebné njprv soožniť s niekorou o súrdnicových osí ž poom uskuočniť poždovnú rnsformáciu Zmen mierk Hodnou súrdníc koncových bodov vekorov môžeme väčšiť lebo menšiť násobením koeficienom men mierk (mierkový fkor) s v smere osi s v smere osi s v smere osi. rnsformáci men mierk je memick určená ýmio rnsformčnými rovnicmi: 6
7 s s. s Micový ápis rnsformčnej rovnice v homogénnch súrdnicich má vr: s [ ] [ ] s Ak ončíme rnsformčnú micu men mierk rnsformčnú rovnicu men mierk bodu v vre: P S( s s s ) P Pre invernú micu men mierk (menšenie) plí: / s S ( s s s ) S( / s / s / s ) / s GMS L3 s S s s s ) poom môžeme písť ( / s Pôvodný sv s 5 Po rnsformácii s s 2 O Obr. 4 Zmen mierk s rônými mierkovými fkormi Zmen mierk je menou veľkosi objeku v smere súrdnicových osí. Pokiľ je bsolún hodno koeficienu men mierk inervlu () dochád k menšovniu rnsformovného objeku. Ak je bsolún hodno koeficienu väčši než jedn poom dôjde k väčšeniu. Ak je nmienko koeficienu áporné dôjde k väčšeniu (menšeniu) v opčnom smere. Ak s s poom budú chovné pôvodné vájomné proporcie. Je porebné si uvedomiť že k s nebude referenčný bod objeku nchádť v čiku súrdnicového ssému poom dôjde ároveň j 7
8 k posunuiu objeku. Ak omu chceme brániť poom musíme úo rnsformáciu dekomponovť n posunuie do čiku súrdnicového ssému menu mierk posunuie nspäť. Ak sú mierkové fkor rône poom dochád k disorii (prevoreniu skresleniu) objeku. 3.3 Špeciálne rnsformácie Súmernosť Súmernosť (rkdlenie smeri) je špeciálnm prípdom men mierk kde bsolún hodno mierkového fkor je rovná jednej. Súmernosť klsifikujeme n súmernosť sredovú súmernosť podľ rovin. Sredová súmernosť podľ čiku súrdnicového ssému je vlsne oočenie o 8 okolo čiku resp. men mierk s hodnoou koeficienov s - s - s -. Súmernosť podľ rovin je preklopenie okolo niekorej o súrdnicových rovín. Objek po rnsformácii Rovin Obr. 5 Súmernosť podľ rovin Súmernosť podľ rovin +b+c+d memick vjdríme ko: + b + c + d b + c + b + c + d 2b b + c + b + c + d 2c b + c Deerminn mice pre prípd súmernosi je áporný. o poom nmená že ieo rnsformácie meni orienáciu. N eno fk je reb dávť poor. Súmernosť je iež lineárn hodná rnsformáci. 8
9 buľk 3 rnsformčné mice súmernosi Klsifikáci M Súmernosť podľ rovin (podľ rovin ) Súmernosť podľ rovin (podľ rovin ) Súmernosť podľ rovin (podľ rovin ) Sredová súmernosť okolo bodu () Súmernosť podľ ľubovoľnej rovin definovnej v priesore je ložená rnsformáci poosávjúc o sekvencie roácií súmernosí. Rovinu je porebné njprv soožniť s niekorou o súrdnicových rovín ž poom uskuočniť poždovnú rnsformáciu Skosenie rnsformáci skosenie spôsobuje deformáciu vru objeku. eno p rnsformácie vvoláv dojem kob s objek po vrsvách posúvli. Roonávme ri ákldné p: skosenie v smere (mení s súrdnic súrdnic osáv nemenená) skosenie v smere (mení s súrdnic súrdnic osáv nemenená). skosenie v smere (mení s súrdnic súrdnic osáv nemenená) rnsformčné mice pre skosenie sú uvedené v nsledujúcej buľke. 9
10 p skoseni M Efek n bod P SH SH SH sh sh [( + sh. ) ( sh. ) ] + sh sh ( + sh. ) ( sh. + ) sh sh [ ] [ ( sh. + ) ( sh ) ]. + Koeficien sh sh sh udávjú mieru skoseni v smere osi resp. resp Skldnie rnsformácii Grfické ssém plikácie vždujú reliovť j komplenejšie rnsformácie než ké sme uviedli v predchádjúcej čsi ko npr. oočenie objeku okolo ľubovoľného bodu menu mierk vhľdom n ľubovoľný bod súmernosť vhľdom k ľubovoľnej primke podobne. Geomerický objek je vo všeobecnosi podrobený posupnosi uvedených elemenárnch rnsformácií. rnsformácie koré sú vihnué k iným bodom ko čiok súrdnicového ssému musíme dekomponovť pomocou ákldných rnsformácií. Posup pre generovnie výslednej v. loženej rnsformčnej mice nývme poom skldnie lebo kompoíci rnsformácií. Po vedení homogénnch súrdníc vieme všek ákldné rnsformácie opísť jednoným posupom ko násobenie bodu príslušnej rnsformčnej mice. Pre výpoče loženej mice použijeme násobenie ákldných rnsformčných míc ouo poom vnásobíme bodovú micu repreenujúcu objek. Násobenie míc je síce sociívn operáci čo nmená že pre ľubovoľné ri mice ABC môžeme ich násobenie čť buď násobením A B lebo B C le násobenie míc nie je komuívne. Výsledok súčinu A.B s vo všeobecnosi nerovná súčinu B.A. Násobenie rnsformčných míc je komuívne len v špeciálnch prípdoch uvedených v buľke 4.
11 buľk 4 Komuívne dvojice rnsformácií Posunuie Zmen mierk Oočenie Zmen mierk (s s s ) 2 Posunuie Zmen mierk Oočenie Oočenie Veľmi čso používná dvojic oočenie - posunuie nie je komuívn. reb si j uvedomiť ký vplv pri skldní výslednej v. loženej rnsformčnej mice má použiie sĺpcových vekorov nmieso ridkových. Pordie operácií vekorov míc je porebné obráiť mice vekor rnsponovť: P P P P 2 2 Aj ká dnlivo jednoduchá rnsformáci kou je men mierk môže pri nesprávnom pochopení plikácii rnsformčnej mice viesť k nesprávnm výsledkom. Ak s referenčný bod objeku nenchád v čiku súrdnicového ssému budeme nň plikovť rnsformčnú micu men mierk poom objek nielenže mení mierku le ároveň s j posunie lebo s prepočíjú j súrdnice referenčného bodu. Pokiľ chceme ískť správn výsup poom musíme úo operáciu dekomponovť n ieo ákldné rnsformácie:. Posunuie objeku do čiku súrdnicového ssému ( - ()). áo rnsformáci je ekvivlenná posunuiu súrdnicového ssému do referenčného bodu objeku. 2. Zmen mierk objeku (S (sss) ). 3. Posunuie objeku do pôvodného referenčného bodu ( () ). áo rnsformáci je ekvivlenná posunuiu súrdnicového ssému do pôvodnej poloh. Zložená rnsformčná mic má poom vr: ( ) S( sss) ( ) Pre výpoče loženej rnsformčnej mice je porebné správne dekomponovť komplenú rnsfomáciu poom reliovť násobenie míc.
Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,
Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
1 Kinematika hmotného bodu
Kinemik hmnéh bdu - kinemik berá určením plôh bd ich mien če (kinemik phb ele piuje, neberá príčinmi phbu) - pri ereickm šúdiu mechnickéh phbu (prce, pri krm mení plh jednéh ele hľdm n iné ele) ád pjem
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V Kužeľosečk kvdrtické ploch Ondrej Šedivý Dušn Vllo Vdné v Nitre 0 Fkultou prírodných vied Univerzit Konštntín Filozof v Nitre
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Príklady a úlohy z krivkových integrálov
Príkldy úlohy z krivkových integrálov Riešené príkldy Príkld Vypočítjme krivkový integrál prvého druhu ds, pričom y = {(, y) R : ; y = e + e }. Riešenie. rivk s dá prmetrizovť npr. nsledujúcim spôsobom
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Súradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
5 DIFERENCIÁLNY POČET FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 5. Oák Dfinj pojm fnkcia prmnných. Dfinj pojm hladinoá krika. Dfinj pojm parciáa driácia. Dfinj pojm úpý difrnciál. Dfinj pojm loká maimm fnkci prmnných.
GENERÁLNA SKÚŠKA NKMS 2004 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A
GENERÁLNA SKÚŠKA NKMS 004 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň B kód testu: 50 NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obshuje 0 úloh. V teste s stretnete s dvom tpmi
GENERÁLNA SKÚŠKA NKMS 2004 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A
GENERÁLNA SKÚŠKA NKMS 004 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň B kód testu: 69 NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! Test obshuje 0 úloh. V teste s stretnete s dvom tpmi
1.1. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR, OBOR HODNÔT
.. POJEM FUNKCIE - DEFINIČNÝ OBOR OBOR HODNÔT De. : Funkciou n množine A s nýv predpis ktorým je kždému prvku množiny A prirdené práve jedno reálne číslo. Množin A s nýv deiničný obor unkcie D(. Je to
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedgogický ústv Pluhová 8 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Brtislv 008 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol n čsti Obsh
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Matematika test M-2. M O N I T O R 2001 pilotné testovanie maturantov. forma A MONITOR EXAM, Bratislava. Realizácia projektu:
M O N I O R 00 pilotné testovnie mturntov MONIOR 00 Mtemtik test M- form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv (00) Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Matematika NPS. Výraz. je pre všetky xy, R splňujúce podmienky. xy 0 rovný: (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) (E) Také čísla neexistujú.
Mtemtik NPS. n + n ( ) Postupnosť = =, n+ = =, n+ n = n je zhodná s postupnosťou:. Výrz + y y =, n+ = =, n+ = n +. n+ =, = n n Dávid hrá kždý všedný deň futbl v sobotu i v nedeľu chodí do posilňovne. Dnes
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte
Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 009 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené n čsti Obsh Požidvky n vedomosti zručnosti. Tet
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
PDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách
PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk
Sférický pohyb. Aplikovaná mechanika, 6. přednáška. Při sférickém pohybu si jeden bod tělesa zachovává svou polohu.
Sfécý pohb Aploná mechn, 6. přednáš Př sfécém pohbu s eden bod ěles choáá sou polohu. Teno bod se nýá sřed sfécého pohbu nebo é cenum sfécého pohbu. ons sřed sfécého pohbu o o 3 ám sfécý pohb se 3 supn
Analytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Zhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B
Štátny pedgogický ústv, Pluhová 8, 830 00 Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY ÚROVEŇ B Brtislv 004 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol
Matematika Test M-1, 1. časť
M O N I T O R pilotné testovnie mturntov MONITOR Mtemtik Test M-,. čsť form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv () Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Vektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
2 Základy vektorového počtu
21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Výpočet. grafický návrh
Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
Predmet fyzika. Úloha fyziky na vysokých školách technického zamerania
Predmet fzik. Pojem fzik ( z gréckeho slov fsis prírod) oznčovl pôvodne náuku, ktorá s zoberl štúdiom živej neživej prírod. Postupne, ko nrstlo množstvo pozntkov o prírode, s oblsť fzikálneho skúmni zužovl.
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Kapitola III. FUNKCIE
Kapiola III. FUNKCIE DEFINÍCIA FUNKCIE Úvahy v omo odseku zanime preskúmaním dvoch známych vzorcov. Príklad. a) s = g b) P = πr Vzorec a) je dobre známy vzah pre voný pád udávajúci závislos prejdenej dráhy
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Matematika Test M-1, 1. časť
M O N I T O R pilotné testovnie mturntov MONITOR Mtemtik Test M-,. čsť form A Odborný grnt projektu: Relizáci projektu: Štátn pedgogický ústv, Brtislv EXAM, Brtislv () Štátn pedgogický ústv EXAM Mtemtik
Hydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)
Hyomechanika II Viskózna kvaaina Povchové naäie Kaiáne javy Donkové maeiáy k enáškam z yziky I e E Dušan PUDIŠ (013 Lamináne vs. Tubuenné úenie Pi úení eánej kvaainy ôsobia mezi voma susenými vsvami i
1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B
. písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c
Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
, ktorú nazveme afinnou súradnicovou sústavou. Pomocou tejto trojice priradíme každému bodu X roviny E 2 jeho polohový vektor
GEMETRICKÉ TRANSFRMÁCIE a TRIEDY SÚRADNICE BDU Základným útvarom gomtri j bod a prto j dôlžité opísať tnto gomtrický útvar pomocou čísl Najskôr sa budm aobrať rovinnou gomtriou a tda budm hovoriť o rovinnj
3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Algebraické výrazy I.
. Kontrolná prác z mtemtik 9. ročník A form Algebrické výrz I.. Zjednodušte zpíšte, ked výrz nemá zmsel : ) ( k ) s b) k k s s. Určte njmenší spoločný násobok výrzov : ) b ; b ; b) ; ; c) ; ;. Vpočítjte
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 2ročník Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Univerzia Komenského Conens I Obyčajné diferenciálne rovnice a sysémy obyčajných diferenciálnych rovníc 2 II Vey o exisencii,
FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
MATURITA 2007 EXTERNÁ ČASŤ
PRÍLOHA C Test matematik - úroveň A MATURITA 007 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň A kód testu: 400 Test obsahuje 0 úloh. NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! V teste
Smernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24
!! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Pri stredovom premietaní je dôležitý stred premietania S : bod, z ktorého premietame do priemetne ε a stred S neleží v priemetni ε
PEMIETANIE Proce vialiácie útvarov U trojromerného prietor v dvojromernej rovine ( výkre, monitor počítača, tlačiareň ) a íka potpnoťo operácií. K obraovani útvarov vyžívame premietanie tredové rovnobežné
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Matematika 2. Lineárna algebra. (ver )
Matematika 2 Lineárna algebra (ver.01.03.2011) 1 Úvod Prehľad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika 2 na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 12 dvojhodinových prednášok
ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
S ohadom na popis vektorov a matíc napr. v kap. 5.1, majú normálne rovnice tvar
6. STREDNÁ ELIPSA CHÝ Na rozdiel od kaitoly 4.4 uebnice itterer L.: Vyrovnávací oet kde ú araetre eliy trednej chyby odvodené alikáciou zákona hroadenia tredných chýb v tejto kaitole odvodíe araetre trednej
Obvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Vn 1: NHC LI MT S KIN TH C LP 10
Vn : NHC LI MT S KIN TH C LP 0 Mc ích ca vn này là nhc li mt s kin thc ã hc lp 0, nhng có liên quan trc tip n vn s hc trng lp. Vì thi gian không nhiu (khng tit) nên chúng ta s không nhc li lý thuyt mà
doc. Ing. František Palčák, PhD., Ústav aplikovanej mechaniky a mechatroniky, Strojnícka fakulta STU v Bratislave,
-550 Technická mechanika I 9. rednáška Kinematika bodu, translačný, rotačný a všeobecný pohyb telesa Ciele v kinematike. remiestňovanie súradnicovej sústavy po priestorovej krivke. riamočiary pohyb bodu.
0,8A. 1,2a. 1,4a. 1,6a F 2 5 2A. 1,6a 1,2A
Sttik určité konštrukie Znie č. : JEDNODUCHÝ ŤH TLK rík : Učte prieeh normáovýh sí, normáovýh npätí posunutí priereov. rieeh uveenýh veičín náornite grfik. Shém poľ. čís kóu 0,8 0,8, 0,5,,6, 0,8, 0,6,8
Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA
I. Vcto không gian Chương : VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯ BA PHA I.. Biể diễn vcto không gian cho các đại lượng ba pha Động cơ không đồng bộ (ĐCKĐB) ba pha có ba (hay bội ố của ba) cộn dây tato bố
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO v Braislave Ekonomická a finančná maemaika DIPLOMOVÁ PRÁCA 2004 Anon Malesich FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
GYMNÁZIUM JÁNA PAPÁNKA, VAZOVOVA 6, BRATISLAVA M A T E M A T I K A
GYMNÁZIUM JÁN PPÁNK, VZOVOV 6, RTISLV M T M T I K Prijímacie skúšky do 1. ročníka NOTVÁRJ, POČKJ N POKYN! PRČÍTJ SI NJPRV INFORMÁI! Milý šuden, víame Ťa na našom gymnáziu, Gymnáziu Jána Papánka navazovovej
Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne