TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH MATEMATIKA II. Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková

Transcript

1 TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH S T R O J N Í C K A F A K U L T A MATEMATIKA II Dušn Knežo, Mirim Andrejiová, Zuzn Kimáková

2 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buš, CSc. c doc. RNDr. Dušn Knežo, CSc. RNDr. Mirim Andrejiová, PhD. RNDr. Zuzn Kimáková, PhD.

3 Predhovor Predhovor Tento učebný tet je určený poslucháčom prvého ročník bklárskeho štúdi Strojníckej fkulty Technickej univerzity v Košicich temticky je orientovný n predmety Aplikovná mtemtik Mtemtik II. Rovnko dobre všk môže poslúžiť poslucháčom Fkulty bníctv, ekológie, rideni geotechnológií Hutníckej fkulty Technickej univerzity v Košicich. V učebnom tete sú uvedené podsttné teoretické pozntky potrebné ku riešeniu úloh, riešené príkldy úlohy n riešenie týkjúce s integrálneho počtu funkcie jednej reálnej premennej (určitý integrál jeho plikácie), diferenciálneho počtu funkcie vic premenných, diferenciálnych rovníc integrálneho počtu funkcie vic premenných. Obsh je dosttočným zákldom pre štúdium úspešné bsolvovnie spomínných predmetov. Obom recenzentom prof. RNDr. Jozefovi Dobošovi, CSc. RNDr. Jánovi Bušovi, CSc. ďkujeme z dôsledné posúdenie tejto učebnej pomôcky. Ich cenné pripomienky, rdy odporúčni prispeli ku zvýšeniu kvlity tejto publikácie. V Košicich 6.. Autori

4

5 Obsh Určitý integrál 7. Pojem určitého integrálu Vlstnosti určitého integrálu Postčujúce podmienky integrovteľnosti funkcie Newton-Leibnizov vzorec Stredná hodnot funkcie n intervle Integrál ko funkci hornej hrnice Substitučná metód metód per prtes Plošný obsh rovinných útvrov Objem rotčného teles Dĺžk rovinnej krivky Plošný obsh rotčnej plochy Sttický moment ťžisko Hmotná oblsť Hmotný oblúk Nevlstný integrál Integrál n neohrničenom intervle Integrál z neohrničenej funkcie Určitý integrál komplenej funkcie Diferenciálny počet funkcie vic premenných 6. Euklidovský priestor E n Množiny v E n Postupnosť v E n Pojem funkcie vic premenných Limit funkcie vic premenných Spojitosť funkcie vic premenných Prciálne derivácie Dotyková rovin normál ku grfu funkcie dvoch premenných Totálny diferenciál funkcie vic premenných Prciálne derivácie vyšších rádov Diferenciál vyššieho rádu Tylorov vet Deriváci v smere, grdient Lokálne etrémy funkcie vic premenných Vizné etrémy funkcie dvoch premenných Funkci určená implicitne

6 6 Diferenciálne rovnice 8. Úvod Eistenci jednoznčnosť riešeni Cuchyho úlohy Rovnice so seprovnými seprovteľnými premennými Homogénn diferenciáln rovnic. rádu Lineárn diferenciáln rovnic. rádu Bernoulliho diferenciáln rovnic Lineárn diferenciáln rovnic n-tého rádu Homogénne diferenciálne rovnice s konštntnými koeficientmi Metód vriácie konštánt Metód neurčitých koeficientov Zníženie rádu diferenciálnej rovnice. rádu Eulerov diferenciáln rovnic Systémy diferenciálnych rovníc Vylučovci metód Lineárne diferenciálne systémy s konštntnými koeficientmi Integrálny počet funkcie vic premenných. Dvojný integrál Vlstnosti dvojného integrálu Trnsformáci dvojného integrálu Aplikácie dvojného integrálu Trojný integrál Vlstnosti trojného integrálu Trnsformáci trojného integrálu Aplikácie trojného integrálu Riešeni úloh 6 Riešeni úloh kpitoly Riešeni úloh kpitoly Riešeni úloh kpitoly Riešeni úloh kpitoly Litertúr 8

7 Kpitol Určitý integrál. Pojem určitého integrálu Mjme funkciu f intervl, b, ktorý je podmnožinou definičného oboru funkcie f. Nech je funkci f ohrničená n intervle, b. Ak,,,..., n sú čísl, pre ktoré pltí = < < <... < n = b, hovoríme, že je dné delenie D intervlu, b. Delice body rozdeľujú intervl, b n n čistočných intervlov,,,,..., n, n. Oznčme i dĺžku i-tého intervlu, t.j. i = i i, pre i =,,..., n. Zrejme n i = b. Nech ξ, ξ,..., ξ n sú reálne čísl nech ξ,, ξ,,..., ξ n n, n. Číslo i= n S f (D) = f(ξ i ) i i= nzývme integrálnym súčtom funkcie f pre delenie D intervlu, b pre dnú voľbu čísel ξ, ξ,..., ξ n (skrátene pre dnú voľbu čísel ξ) Ak D je delenie intervlu, b, číslo D = y O = ξ ξ ξ ξ =b Obr..: m{,,..., n } nzývme normou deleni D. Ak je pre kždé prirodzené číslo n 7

8 8 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL dné jedno delenie D n intervlu, b, hovoríme o postupnosti delení {D n } n= intervlu, b. Tkúto postupnosť delení {D n } n= intervlu, b nzývme normálnou, k lim D n =. n Definíci. Číslo I nzývme určitým integrálom funkcie f n intervle, b, k pre kždú normálnu postupnosť {D n } n= delení intervlu, b pre kždú voľbu čísel ξ je lim S f (D n ) = I. n Určitý integrál funkcie f n intervle, b oznčujeme f(), kde je dolná hrnic integrálu b je horná hrnic integrálu. V prípde, že n intervle, b je f() >, tk hodnot určitého integrálu funkcie f n intervle, b je rovná obshu krivočireho lichobežník určeného osou o, grfom funkcie y = f() intervlom, b (viď obr.??). y y = f() O b Obr..: Definíci. Hovoríme, že funkci f je integrovteľná n intervle, b, k eistuje určitý integrál funkcie f n intervle, b. Ak tento integrál neeistuje, hovoríme, že funkci f nie je integrovteľná n intervle, b. Ak ted je funkci f integrovteľná n intervle, b, tk jej určitý integrál f() je tké číslo, že pre kždú normálnu postupnosť delení {D n } n= intervlu, b pre kždú voľbu čísel ξ pltí f() = lim n S f (D n ). Uvedená definíci určitého integrálu pochádz od B. Riemnn, preto s zvykne hovoriť o Riemnnovom, príp. Cuchy-Riemnnovom integrále.

9 .. VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU 9. Vlstnosti určitého integrálu Vet. Ak sú funkcie f g integrovteľné n intervle, b, tk j funkci f + g je integrovteľná n, b pltí [f() + g()] = f() + g(). Vet. Ak je funkci f integrovteľná n intervle, b c je konštnt, tk j funkci cf je integrovteľná n, b pltí b b cf() = c f(). Vet. Ak je funkci f integrovteľná n intervle, c n intervle c, b, tk je integrovteľná j n, b pltí b f() = c b f() + c f(). Vet. Nech je funkci f integrovteľná n intervle, b nech n intervle, b je f(). Potom f(). Vet 5. Nech sú funkcie f g integrovteľné n intervle, b nech n intervle, b pltí f() g(). Potom f() g(). Vet 6. Nech je funkci f integrovteľná n intervle, b. Ak n intervle, b pltí m f() M, tk m(b ) b f() M(b ). Vet 7. Ak je funkci f integrovteľná n intervle, b, tk j funkci f je integrovteľná n, b pltí f() f().. Postčujúce podmienky integrovteľnosti funkcie Vet 8. Ak je funkci f spojitá n intervle, b, tk je n tomto intervle integrovteľná. Definíci. Hovoríme, že funkci f je n intervle, b po čistkch spojitá, k

10 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL n intervle, b eistuje ib konečný počet bodov, v ktorých je funkci f nespojitá v kždom bode intervlu (, b) eistuje konečná limit funkcie f zľv i sprv v bode eistuje konečná limit funkcie f sprv v bode b eistuje konečná limit funkcie f zľv Vet 9. Ak je funkci f po čistkch spojitá n intervle, b, tk je n tomto intervle integrovteľná.. Newton-Leibnizov vzorec Nsledujúc vet poskytuje Newton-Leibnizov vzorec, njúčinnejší nástroj n výpočet určitých integrálov. Vet. Nech funkci f je integrovteľná n intervle, b. Nech funkci F je spojitá n intervle, b nech je n intervle (, b) primitívnou funkciou k funkcii f. Potom b Príkld. Vypočítjme integrál (5 8 + ) = f() = [F ()] b = F (b) F (). = ( ) = + 8 =. Príkld. Vypočítjme integrál + = (5 8 + ). [ ] ( ) 5 + = 5 + ( ) 5 ( ) + ( ) = ( + ) = +. [ ( ) + = + [ = + ] = ( ) = 6 + =. Príkld. Vypočítjme integrál ] = [ + Funkci pod integrálom je rýdzorcionáln funkci. Primitívnu funkciu k nej nájdeme rozkldom n prciálne zlomky. ( = 5 ( + )( + ) = + ) = + ] =

11 .. NEWTON-LEIBNIZOV VZOREC [ ] = [ ln + ln + ] = ln + + = ln ln = ln = ln. Príkld. Vypočítjme integrál tg = = ( + ) sin cos = tg. cos cos = = =. ( ) cos = [tg ] = Úlohy V úlohách..5 vypočítjte určitý integrál ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) + ( ) ( + 5) 8 ( t 8t ) dt

12 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL e e e ( + ) ( + ) cos sin sin + 5 sin cos sin ( sin + cos ) cos sin sin cos sin sin cos ϕ dϕ tg sin 5 cos t t dt + 7

13 .5. STREDNÁ HODNOTA FUNKCIE NA INTERVALE ( + ) ( + )( + )..5 Stredná hodnot funkcie n intervle Definíci. Nech funkci f je integrovteľná n, b. Strednou hodnotou funkcie f n intervle, b nzývme číslo b f(). b Vet. Nech je funkci g nezáporná integrovteľná n, b. Nech je funkci f spojitá n, b. Potom eistuje číslo ξ, b tké, že f()g() = f(ξ) g()..6 Integrál ko funkci hornej hrnice Ak je funkci f integrovteľná n, b c je ľubovoľné číslo z intervlu, b, tk môžeme n intervle, b definovť funkciu F tkto: F () = c f(t) dt. Podobne môžeme n intervle, b definovť funkciu G() vzťhom G() = c f(t) dt. Funkciou G() s všk špeciálne zoberť nebudeme, pretože G() = F () pre kždé, b. Vet. Ak je funkci f integrovteľná n, b, tk funkci F je spojitá n, b. Vet. Ak je funkci f spojitá n (, b), tk n intervle (, b) je funkci F diferencovteľná pltí F () = f().

14 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL.7 Substitučná metód metód per prtes Pri výpočte určitých integrálov pomocou Newton-Leibnizovho vzorc potrebujeme nájsť primitívnu funkciu. Tú čsto počítme substitučnou metódou lebo metódou per prtes. Odvodíme si vzorce, ktoré nám umožni počítť primo určité integrály týmito metódmi. Vet. (Substitučná metód) Nech je funkci f spojitá n intervle, b. Nech je funkci ϕ(t) spojitá má spojitú deriváciu ϕ (t) n intervle α, β. Nech pre kždé t α, β je ϕ(t), b. Nech = ϕ(α) b = ϕ(β). Potom b Príkld. Vypočítjme integrál 8 + = f() = 8 + = t = tdt t = + = t = + 8 = Príkld. Vypočítjme integrál cos sin = β α + = t cos = t sin = dt sin = dt t = cos = t = cos = cos sin f [ϕ(t)] ϕ (t) dt. ( t dt = dt = [t] = ). = [ ] t t dt = t dt = = ( ) =. Príkld. Vypočítjme integrál e e = ln (ln + ) = e e ln (ln + ) ln = t = dt t = ln e = t = ln e = ln e = = t t + dt = t + t + ( ) dt = [t ln t + ] t + = ln ( ln ) = + ln. dt =

15 .7. SUBSTITUČNÁ METÓDA A METÓDA PER PARTES 5 Príkld. Vypočítjme integrál ln e = = e = t e = tdt = tdt t + ln t = e = t = e ln = e = t tdt t + = t t + dt = t + t + dt = ( ) ( t dt = [t rctg t] + = ( rctg + rctg ) = ) =. Vet 5. (Metód per prtes) Nech funkcie f g mjú spojité derivácie f () g () n intervle, b. Potom Príkld 5. Vypočítjme integrál 8 cos = = [ sin ] = sin ( b f()g () = [f()g()] b 8 cos f() = 8, g () = cos f () = 8, g() = sin sin = ) ( + cos Príkld 6. Vypočítjme integrál [ sin ( )] cos f ()g(). [ = 8 ] sin 8 sin = = [ sin + cos ] = ) ( + cos ) = + =. ( + ) ln f() = ln, g [( ) () = + ( + ) ln = f () =, g() = + = + ln ( ) [( ) ] + = + ln ( ) [( ) ( )] + = + ln + = ( = ln ( + ) ln ) = ln + + = ln 7. ]

16 6 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL Úlohy V úlohách.5. vhodnou substitúciou vypočítjte určitý integrál R 8 ( ) ( + ) + 6 ρ R ρ dρ ( ) + ( ) ( + ) + 5 +

17 .7. SUBSTITUČNÁ METÓDA A METÓDA PER PARTES e e e e e e e e e e e rcsin e rctg + cos(ln ) ln ln ρ ρ dρ + ln t t dt + ln + ln ln ln ln ln ( + ln ) e + e + e ln 8 ln ln ln 5 e + e e e t t dt e + e + e e e + sin cos (cos + sin cos ) sin cos sin t cos t dt sin t dt tg

18 8 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL cos 7 sin cos cos sin ( cos t + cos t ) sin dt t cos + sin cos ( + sin ) sin sin cos sin + cos + cos + 5 cos sin 6 5 cos + cos. V úlohách..5 metódou per prtes vypočítjte určitý integrál...e. e. 9 e.5.6 ( ) e (5 ) e cos ( ) cos sin t sin t dt

19 .7. SUBSTITUČNÁ METÓDA A METÓDA PER PARTES ln e e e+ ( + ) sin ( ) sin ( ) cos. sin cos e (9 ) e t sin t dt cos ln ln( + ) ln ( ) ln e e e e 6 ln ln ln ln 5 ln rctg rccotg rctg rctg rcsin rcsin + (rcsin ) cos