Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY

Transcript

1 Štátny pedgogický ústv Pluhová Brtislv CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Brtislv 008

2 ÚVOD Cieľové požidvky z mtemtiky sú rozdelené vo väčšine kpitol n čsti Obsh Požidvky n vedomosti zručnosti Príkldy. Tet v jednotlivých čstich vytlčený obyčjnou kurzívou predstvuje odvolávky vysvetlivky komentáre. V kždej kpitole sú v odseku Obsh (rozdelenom sprvidl n menšie čsti s názvmi Pojmy Vlstnosti vzťhy) vymenovné termíny vzťhy (vzorce postupy tvrdeni) ktoré má žik ovládť. Toto ovládnie v prípde pojmov znmená že žik - rozumie zdnim úloh v ktorých s tieto pojmy vyskytujú - vie ich správne použiť pri formuláciách svojich odpovedí - vie ich stručne opísť (definovť). V prípde vlstností vzťhov ovládním rozumieme žikovu schopnosť vybviť si tieto vzťhy v mysli (bez toho by mu bolo potrebné pripomínť konkrétnu podobu uvedeného vzťhu postupu či tvrdeni) použiť ich pri riešení dnej úlohy (pričom spôsob tohto použiti špecifikuje čsť Požidvky n vedomosti zručnosti o ktorej hovoríme nižšie). Kvôli prehľdnosti neuvádzme úplné znenie jednotlivých vzťhov so všetkými predpokldmi podmienkmi le len tkú ich podobu z ktorej je jsné ké tvrdenie máme n mysli. Pokiľ s v zdnich úloh lebo otázok ktoré má žik riešiť lebo zodpovedť vyskytnú pojmy ktoré nie sú uvedené v čsti Obsh bude potrebné ich v tete zdni vysvetliť. Rovnko tk v prípde že zdnie vyžduje použitie postupu lebo vzťhu ktorý nie je zhrnutý do čsti Obsh musí byť žikovi k dispozícii opis poždovného postupu lebo vzťhu (tento opis všk nemusí byť súčsťou zdni môže byť npríkld uvedený vo vzorčekovníku ktorý bude priložený k celému súboru zdní). Výnimku z tohto prvidl predstvuje situáci keď riešením úlohy má byť objvenie lebo odvodenie tkého vzťhu ktorý nebol uvedený v odseku Vlstnosti vzťhy. Čsť Požidvky n vedomosti zručnosti opisuje v kždej kpitole činnosti ktoré má byť žik schopný správne relizovť. V tete používnú formuláciu žik vie... pritom chápeme v zmysle žik má vedieť... ; podobne formuláci... pokiľ (k) žik vie... znmená... k je v týchto cieľových požidvkách uvedené že žik má vedieť.... Ted npríkld tet žik vie nájsť všetky riešeni nerovnice f () pokiľ vie riešiť rovnicu f () = súčsne vie nčrtnúť grf funkcie f (ktorý čitteľ nájde v kpitole 1.4) treb chápť tk že n inom mieste týchto cieľových požidviek je špecifikovné grfy ktorých funkcií f má žik vedieť nčrtnúť pre ktoré funkcie f má žik vedieť riešiť rovnicu f () =. Podobnú úlohu plní odvolávk pozri... ; npríkld v tete žik vie nájsť definičný obor dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) táto odvolávk upozorňuje že stupeň náročnosti n ktorom má žik zvládnuť určovnie definičného oboru funkcie je dný náročnosťou rovníc nerovníc ktoré pri tom musí vyriešiť pričom táto náročnosť je opísná v čsti 1.4. Odvolávk pozri tiež... upozorňuje čitteľ že uvedený pojem lebo činnosť s vyskytuje j n inom mieste tohto tetu. Žik by ml byť schopný riešiť úlohy kompleného chrkteru ted úlohy ktorých riešenie vyžduje spojenie neveľkého počtu činností opísných v týchto cieľových požidvkách (pritom nevylučujeme spájnie činností opísných v rôznych kpitolách); npr. pri riešení klsickej slovnej úlohy by ml žik zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči mtemtiky jeho vyriešenie prístupnými mtemtickými prostriedkmi formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zdni. Jednotlivé činnosti uvedené v čsti Požidvky n vedomosti zručnosti predstvujú ted len kési tehličky či zákldné stvebné kmene pričom riešenie jedného konkrétneho zdni môže vyždovť i použitie spojenie vicerých tkýchto tehličiek. V snhe o ucelenosť jednotlivých kpitol uvádzme tie pojmy zručnosti ktoré súvisi s vicerými kpitolmi v kždej z nich. Z toho istého dôvodu sú do tetu zrdené i niektoré pojmy vzťhy činnosti ktoré sú obshom učiv zákldnej školy. Úlohy uvedené v čsti Príkldy nemjú predstvovť reprezenttívnu zbierku typov foriem úloh s ktorými s bude žik n mturite z mtemtiky stretávť; prvordou funkciou týchto príkldov

3 je dokumentovť tie formulácie u ktorých podľ nášho názoru príkld pomáh objsniť tet lebo špecifikovť stupeň poždovnej náročnosti. Dosttočne bohtú zbierku príkldov úloh s ktorými s žik stretne n eternej čsti mturitnej skúšky z mtemtiky predstvujú úlohy Monitorov z rokov ZÁKLADY MATEMATIKY 1.1 Logik množiny Obsh výrok ióm definíci úsudok hypotéz tvrdenie prvdivostná hodnot logické spojky negáci konjunkci disjunkci implikáci ekvivlenci vyplýv je ekvivlentné kvntifikátor (eistenčný všeobecný spoň njvic práve) primy neprimy dôkz dôkz sporom množin prvky množiny podmnožin ndmnožin prienik zjednotenie rozdiel množín Vennove digrmy disjunktné množiny prázdn množin doplnok množiny konečná nekonečná množin. Vlstnosti vzťhy: / / Implikáci (výrok) A B je ekvivlentná s implikáciou (výrokom) B A (výrok z A vyplýv B pltí práve vtedy keď pltí výrok z negácie B vyplýv negáci A) výroky A B sú ekvivlentné k plti obe implikácie A B B A negáci konjunkcie (disjunkcie) je disjunkci (konjunkci) negácií implikáci A B je neprvdivá práve vtedy keď je prvdivý výrok A neprvdivý výrok B prvdivosť zložených výrokov negácie ( tbuľk prvdivostných hodnôt ) negáci výroku M pltí V() je M pre ktoré nepltí V() negáci výroku M pre ktoré pltí V() je M nepltí V() A= práve vtedy keď súčsne pltí A B B A B pre počty prvkov zjednoteni dvoch množín pltí A B = A+ B A B / /. / / / / ( A B) = A B ( A B) = A B Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: rozlíšiť používnie logických spojok kvntifikátorov vo vyjdrovní s v bežnom živote n jednej strne v rovine zákonov nridení zmlúv návodov mtemtiky n strne druhej zistiť prvdivostnú hodnotu zloženého výroku (vytvoreného pomocou negácie konjunkcie disjunkcie implikácie ekvivlencie) z prvdivostných hodnôt jednotlivých zložiek (ted npísť pre dnú situáciu príslušný ridok tbuľky prvdivostných hodnôt ) v jednoduchých prípdoch rozhodnúť či je výrok negáciou dného výroku vytvoriť negáciu zloženého výroku (nie len pomocou nie je prvd že pozri príkld 1) v jednoduchých prípdoch zpísť určiť množinu vymenovním jej prvkov lebo chrkteristickou vlstnosťou v jednoduchých prípdoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti dnej množiny pozri príkld ) opísť zákldné druhy dôkzov (primy neprimy sporom) dokumentovť ich príkldmi určiť zjednotenie prienik rozdiel množín i doplnok množiny A (k A je podmnožinou B) vzhľdom n množinu B (intervly pozri v 1. Čísl premenné výrzy) použiť vzorec pre počet prvkov zjednoteni dvoch množín pri hľdní počtu prvkov týchto množín resp. ich prieniku lebo zjednoteni pri riešení úloh o množinách použiť ko pomôcku Vennove digrmy (pre 4 množiny). 3

4 Príkldy 1. Sú nsledujúce výroky jeden druhému negáciou? Eistujú spoň dvj speváci populárnej hudby ktorých mjú všetci rdi. Kždého spevák populárnej hudby niekto nemá rád.. Zistite či je množin všetkých dvojíc prirodzených čísel ( y) ktoré sú riešením rovnice 5 + 3y= konečná lebo nekonečná. 3. Koľko štvorciferných čísel je bezo zvyšku deliteľných číslom 4 lebo 19? 1. Čísl premenné výrzy Obsh konštnt premenná výrz obor definície výrzu rovnosť výrzov hodnot výrzu mnohočlen stupeň mnohočlen doplnenie do štvorc (pre kvdrtický mnohočlen) člen mnohočlen vynímnie pred zátvorku úprv n súčin krátenie výrzu prirodzené (N) celé (Z) nezáporné (N 0 ) záporné ( Z ) rcionálne (Q) ircionálne (I) reálne (R) čísl n-ciferné číslo zlomky (čitteľ menovteľ spoločný menovteľ zákldný tvr zlomku zložený zlomok hlvná zlomková čir) destinný rozvoj (konečný nekonečný periodický) číslo π nekonečno číselná os znázorňovnie čísel komuttívny socitívny distributívny zákon odmocnin (druhá) n-tá odmocnin mocnin (s prirodzeným celočíselným eponentom) eponent zákld mocniny zákld logritmu bsolútn hodnot čísl úmer (prim neprim) pomer percento promile zákld (pre počítnie s percentmi) fktoriál kombinčné číslo desitková dvojková sústv dekdický dvojkový zápis intervl (uzvretý otvorený ohrničený neohrničený). Vlstnosti vzťhy: + kde 1 sú y = ( y) ( + y) ± y+ y = ( ± y) b+ c= ( 1) ( ) korene rovnice + b+ c= 0 ( 0) + y m n = = y y 1 = = y ( ) m m n n n m = ( ) ( b) b = c 0 = 1 b 0 c> 0 y Z n = n y = n y pre y 0 m n N je vzdilenosť obrzov čísel n číselnej osi π π α cos α = sinα sin α = cosα sin α = sin cos ( α) = cosα sin ( π α) = sinα cos( π α) = cosα sin + cos α = 1 ( ) α sin α = sinα cosα cosα = cos α sin α sinα tg α = cos α log = b = log = pre > 0 1 > 0 b > 0 b + log y= log ( y) log y log ( ) y log = pre > 0 1 > 0 log log y= log pre > 0 1 y> 0 y 4

5 n! = n pre prirodzené čísl n 0!=1 n n! = pre prirodzené čísl n nezáporné celé čísl k nie väčšie ko n k k!( n k)! práve rcionálne čísl mjú destinný periodický rozvoj R= Q I Q I = { } Z = N Z { 0} N Z Q R. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (čísl) zokrúhľovť čísl uprviť reálne číslo n tvr n ± 10 kde n je celé číslo číslo z intervlu 10) 1 vypočítť bsolútnu hodnotu reálneho čísl zpísť vzdilenosť n číselnej osi pomocou bsolútnej hodnoty znázorňovť čísl n číselnú os porovnávť čísl n číselnej osi odčítť čísl z číselnej osi pre konkrétne n všeobecne zpísť n-ciferné číslo n približný výpočet číselných výrzov hodnôt funkcií (vrátne log ) používť klkulčku pričom vie - uprvovť číselné výrzy n tvr vhodný pre výpočet n klkulčke - zvoliť vhodný postup by mu vyšiel čo njpresnejší výsledok (npr. pri približnom výpočte 0! ) 10! 10! pomocou klkulčky zistiť ostrý uhol ktorý má dnú goniometrickú hodnotu porovnť dve reálne čísl n úrovni presnosti klkulčky vyjdriť zjednotenie prienik rozdiel konečného počtu intervlov pomocou njmenšieho počtu nvzájom disjunktných intervlov jednoprvkových množín prázdnej množiny (výrzy) určiť hodnotu výrzu (dosdiť) ručne lebo pomocou klkulčky určiť obor definície výrzu (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) odstrániť bsolútnu hodnotu rozlišovním vhodných prípdov (t.j. V ( ) = V( ) pre prektoré ( ) 0 V( ) = V( ) pre pre ktoré V( ) 0 V ) doplniť kvdrtický trojčlen do štvorc (pozri tiež. Lineárn kvdrtická funkci ritmetická postupnosť) uprvovť mnohočlen n súčin vynímním pred zátvorku použitím vzťhov pre rozkldy výrzov y ± y+ y + b+ c (pozri príkld 1) použiť pri úprvách výrzov (číselných lebo výrzov s premennými) rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy roznásobovnie vynímnie pred zátvorku krátenie úprvu zloženého zlomku n jednoduchý (pozri príkldy 3) (prác s premennou) používť percentá úmeru (pozri príkld 4) nhrdiť premennú vo výrze novým výrzom (substitúci pozri tiež 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) pri primo závislých veličinách vie vyjdriť jednu pomocou druhej (pozri príkld5 pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti postupnosti) vyjdriť neznámu zo vzorc (pozri.1 Funkci jej vlstnosti postupnosti) zpísť slovný tet lgebricky (mtemtizáci) - zpísť vzťhy (v jednoduchom tete) pomocou premenných čísel rovností nerovností - zpísť vyjdriť bežné závislosti v geometrii 5

6 riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k rovnicim nerovnicim (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni (pozri príkld 7). Príkldy 3 1. Rozložte mnohočlen n súčin lineárnych činiteľov. 3. Vyjdrite log log 1 ko jeden logritmus. 3. Pre ktoré čísl b s výrz rovná výrzu b +? Zpíšte pomocou premenných čísel rovností: ) Peter má o % vic... ko Jno. P = J b) Adm Boris si rozdelili penize v pomere : 3. ( A= B= 3 + R ) 5. Kváder so štvorcovou podstvou má povrch 100 cm. Vyjdrite jeho objem pomocou jeho výšky. 6. Zpíšte pomocou premenných čísel rovností nerovností: 0< A 8 Polovic A má dĺžku njvic 4. ( ) 7. Jno riešil úlohu Súčet A+ B je o 80 % väčší ko rozdiel A B. O koľko % je číslo A väčšie ko číslo B?. Jnovi vyšiel správny vzťh A= 3 5B. Určte vzťh medzi A B pomocou percent! 1.3 Teóri čísel Obsh deliteľ násobok deliteľnosť njväčší spoločný deliteľ (NSD) njmenší spoločný násobok (NSN) prvočíslo zložené číslo nesúdeliteľné čísl zvyšok prvočíselný rozkld prvočiniteľ. Vlstnosti vzťhy: Znky deliteľnosti: - posledná cifr: posledné dve cifry: posledné tri cifry: 8 - súčet všetkých cifier: 3 9. Prvočísel je nekonečne veľ. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zistiť bez deleni či je dné číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znkoch deliteľnosti nájsť NSN NSD dných čísel nájsť celočíselné riešeni úloh v ktorých možno jednoduchou úvhou určiť vhodnú konečnú množinu ktorá hľdné riešeni musí obshovť (riešeni úlohy potom nájde preverením jednotlivých prvkov získnej konečnej množiny pozri príkldy 1 4) 6

7 pri riešení jednoduchých úloh využiť prvidelnosť rozloženi násobkov celých čísel n číselnej osi (pozri príkld 3). Príkldy 1. Pre ktoré čísl pltí ( ) 4 NSN 6 =?. Pre ktoré čísl A B je číslo s dekdickým zápisom 34A 57B deliteľné 1? 3. Koľko štvorciferných čísel je deliteľných 3? (Kždé 3. číslo je deliteľné 3.) 4 4. Nájdite všetky celé čísl y pre ktoré pltí + y = 981. (Absolútn hodnot y nie je väčši ko 5.) 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy Obsh rovnic nerovnic sústv rovníc sústv nerovníc ich riešenie koeficient koreň koreňový činiteľ diskriminnt doplnenie do štvorc úprv n súčin substitúci kontrol (skúšk) riešeni (ekvivlentné neekvivlentné) úprvy rovnice nerovnice. Vlstnosti vzťhy: Diskriminnt kvdrtickej rovnice + b+ c= 0 je D= b 4c b± D riešením kvdrtickej rovnice + b+ c= 0 sú 1 = vzťh medzi diskriminntom počtom (nvzájom rôznych) koreňov kvdrtickej rovnice + b+ c= ( 1) ( ) kde 1 sú korene rovnice + b+ c= 0 0 vzťh medzi znmienkom súčinu dvoch výrzov znmienkom jednotlivých činiteľov. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (rovnice) nájsť všetky riešeni lineárnej rovnice + b= 0 kvdrtickej rovnice + b+ c= 0 pričom pozná vzťh medzi koreňmi kvdrtickej rovnice koreňovými činiteľmi počtom riešení (pozri príkld 1) nájsť všetky riešeni resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I (k s nedá presne tk približne s pomocou klkulčky) rovnice f = kde A R f je funkci ( ) A - b log ( Q b je kldné číslo rôzne od 1) - b - sin cos tg vie určiť koľko riešení má uvedená rovnic (v závislosti od čísl A čísel b c resp. intervlu I pozri príkld ) y= ϕ uprviť rovnicu zpísnú v tvre f ( ϕ ( ) ) = A n tvr f ( y) = A špeciálne vie nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I) rovníc - f ( + b) = A kde f je funkci b log sin cos použitím dnej substitúcie ( ) - f ( + b+ c) = A kde f je funkci b log b nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I) rovníc zpísných v tvre 7 b

8 f ( ) g( ) = 0 pokiľ vie riešiť rovnice f ( ) = 0 ( ) = 0 g (pozri príkld 4) nájsť všetky riešeni (resp. všetky riešeni ležice v dnom intervle I) rovníc ktorých riešenie možno uprviť n niektorý z predchádzjúcich tvrov - použitím úprv jednotlivých strán rovnice využívjúcich úprvy výrzov zákldné vlstnosti funkcií (pozri 1. Čísl premenné výrzy Funkcie) - pripočítním (špeciálne odpočítním) vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán rovnice výrzom umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice - odstránením bsolútnej hodnoty v prípde rovníc s jednou bsolútnou hodnotou (rozlišovním dvoch vhodných prípdov) pričom vie rozhodnúť - či použitá úprv zchová lebo či môže zmeniť množinu riešení dnej rovnice - ktoré z koreňov rovnice ktorá vznikl uvedenými úprvmi sú j koreňmi pôvodnej rovnice resp. - pri použití postupov ktoré mohli množinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých číslch ešte treb zistiť či sú koreňmi pôvodnej rovnice (pozri príkldy 5 6) riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k rovnicim interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni (sústvy rovníc) opísť geometricky interpretovť množinu všetkých riešení jednej dvoch lineárnych rovníc s dvom neznámymi (pozri 3. Anlytická geometri v rovine 4. Súrdnicová sústv v priestore vektory nlytická metód) nájsť množinu všetkých riešení sústvy 1-3 lineárnych rovníc s 1 - neznámymi to j v prípdoch keď táto sústv má nekonečne veľ riešení lebo nemá riešeni nájsť všetky riešeni sústvy rovníc s neznámymi ktorú možno jednoducho uprviť n tvr y = f( ) g( y) = 0 (resp. = f( y) g( y) = 0 ) pokiľ vie riešiť rovnicu ( f( ) ) = 0 g ( f( y) y) = 0 ) g (resp. uprvovť sústvy rovníc použitím - úprv jednotlivých strán rovnice využívjúcich úprvy výrzov zákldné vlstnosti elementárnych funkcií (pozri 1. Čísl premenné výrzy Funkcie) - pripočítni (špeciálne odpočítni) vynásobeni (špeciálne vydeleni) obidvoch strán rovnice výrzom pričom vie rozhodnúť - či použitá úprv zchová lebo či môže zmeniť množinu riešení dnej sústvy - ktoré z riešení sústvy ktorá vznikl uvedenými úprvmi sú j riešenimi pôvodnej sústvy resp. - pri použití postupov ktoré mohli množinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých číslch ešte treb zistiť či sú riešenimi pôvodnej sústvy (nerovnice ich sústvy) nájsť množinu všetkých riešení nerovnice - ( ) L α ( + b) b log f kde L je reálne číslo je jeden zo znkov nerovnosti < > f je niektorá z funkcií b resp. množinu všetkých riešení tejto nerovnice ležicich v dnom intervle f kde f je niektorá z funkcií sin cos tg je prvkom dného ohrničeného intervlu f( ) 0 f ( ) g( ) 0 pokiľ vie riešiť nerovnice f ( ) 0 g ( ) 0 kde je znk nerovnosti g - ( ) L - ( ) (pozri príkldy 7 8 9) pri riešení úprvách nerovníc správne použiť - vynásobenie obidvoch strán nerovnice kldným lebo záporným číslom - pripočítnie výrzu k obidvom strnám nerovnice nájsť všetky riešeni nerovníc ktorých riešenie možno uvedenými postupmi nhrdiť riešením nerovníc uvedených v predchádzjúcej odrážke 8

9 riešiť sústvu nerovníc s jednou neznámou v prípdoch keď vie vyriešiť smosttne kždú z dných nerovníc (pozri prieniky zjednoteni intervlov v 1. Čísl premenné výrzy) v rovine opísť geometricky interpretovť množinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvom neznámymi y ktorú možno zpísť v tvre - y f( ) lebo f( y) (kde je znk nerovnosti) v tých prípdoch kedy vie nčrtnúť grf funkcie y= f( ) resp. = f( y) - + by+ c 0 riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k nerovnicim interpretovť získné riešeni v jzyku pôvodného zdni. Príkldy 1. Pre ktoré číslo p má kvdrtická rovnic y + 4y+ p= 0 s neznámou y jediné riešenie?. Koľko koreňov má rovnic cos = Použitím substitúcie 4. Riešte rovnicu ( ) 0 v intervle ( 6) 1? t= riešte rovnicu 4 = =.. (Návod: uprvte ľvú strnu rovnice n súčin.) 5. Riešte rovnicu cos + cos = Riešte rovnicu =. 7. Riešte nerovnicu Riešte nerovnicu log ( 4 3) > Určte njmenšie n N od ktorého je postupnosť 3n 0 n = rstúc. n 1 + FUNKCIE.1 Funkci jej vlstnosti postupnosti Obsh premenná (veličin) dná premenná je funkciou inej premennej funkci postupnosť rgument funkčná hodnot (n-tý) člen postupnosti definičný obor obor hodnôt funkcie grf funkcie rstúc klesjúc monotónn funkci (postupnosť) mimum (minimum) funkcie (postupnosti) lokálne mimum minimum funkcie zhor (zdol) ohrničená funkci (postupnosť) ohrničená funkci (postupnosť) horné (dolné) ohrničenie; konštntná prostá inverzná zložená periodická funkci; rekurentý vzťh postupnosť dná rekurentne. Vlstnosti vzťhy: Rstúc (klesjúc) funkci je prostá 9

10 k prostej funkcii eistuje inverzná funkci grf inverznej funkcie Požidvky n vedomosti zručnosti 1 f je súmerný s grfom funkcie f podľ primky y=. Žik vie: v jednoduchých prípdoch rozhodnúť či niektorá z dvoch dných premenných veličín je funkciou druhej z nich túto závislosť vyjdriť k je to možné urobiť pomocou predpisov funkcií ktoré pozná (pozri príkld 1) z dného grfu funkcie - určiť približne - jej etrémy - intervly n ktorých rstie (klesá) - zistiť či je zdol (zhor) ohrničená nájsť definičný obor dnej funkcie resp. rozhodnúť či dné číslo ptrí do definičného oboru dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) rozhodnúť či dné číslo ptrí do oboru hodnôt dnej funkcie (pozri 1.4 Rovnice nerovnice) nájsť funkčnú hodnotu funkcie v dnom bode určiť jej priesečníky so súrdnicovými osmi nájsť priesečníky grfov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) v prípde konštntnej funkcie funkcií + b + b+ c + b c+ d tg - určiť n dnom intervle ich obor hodnôt - určiť intervly n ktorých sú tieto funkcie rstúce resp. klesjúce - nčrtnúť ich grfy - nájsť ich njväčšie resp. njmenšie hodnoty n dnom intervle b - rozhodnúť ktoré z nich sú n dnom intervle I - prosté - zhor (zdol) ohrničené nčrtnúť grfy funkcií - + b - + f( ) f ( + ) f( ) f ( ) z grfu funkcie f nčrtnúť grf inverznej funkcie log sin cos k pozná grf funkcie f opísť ko vznikne uvedený grf 1 f k pozná grf prostej funkcie f + b nájsť inverzné funkcie k funkciám + b log c+ d v jednoduchý prípdoch rozhodnúť o eistencii riešeni rovnice f ( ) = 0 (resp. f ( ) = ) pokiľ vie nčrtnúť grf funkcie f grficky znázorniť n číselnej osi množinu riešení nerovnice f( ) kde je jeden zo symbolov < > pokiľ vie nčrtnúť grf funkcie f nájsť všetky riešeni nerovnice f( ) pokiľ vie riešiť rovnicu f ( ) = súčsne vie nčrtnúť grf funkcie f vypočítť hodnotu dného člen postupnosti dnej jednoduchým rekurentným vzťhom. Príkldy 1. Veličiny y sú vyjdrené pomocou premennej t nsledovne: = 3t + 1 y= 7 t. Zistite či veličin je funkciou veličiny y lebo veličin y je funkciou veličiny. 10

11 . Lineárn kvdrtická funkci ritmetická postupnosť Obsh lineárn kvdrtická funkci ritmetická postupnosť smernic primky diferenci ritmetickej postupnosti vrchol prboly. Vlstnosti vzťhy: Grfom lineárnej (kvdrtickej) funkcie je primk (prbol) lineárn (kvdrtická) funkci je jednoznčne určená funkčnými hodnotmi v (3) bodoch vzťh medzi koeficientom pri lineárnom člene rstom resp. klesním lineárnej funkcie vzťh medzi diferenciou ritmetickej postupnosti jej rstom resp. klesním kvdrtická funkci má n R jediný globálny etrém minimum v prípde kldného koeficientu pri kvdrtickom člene mimum v opčnom prípde prbol (t.j. grf kvdrtickej funkcie) je súmerná podľ rovnobežky s osou y prechádzjúcej vrcholom prboly. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) riešiť lineárne kvdrtické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) špeciálne vie nájsť priesečníky grfov lineárnych (resp. kvdrtických) funkcií lebo lineárnej kvdrtickej funkcie nájsť predpis lineárnej (lebo konštntnej) funkcie k pozná - hodnoty v bodoch - hodnotu v 1 bode smernicu grfu tejto funkcie nájsť predpis kvdrtickej funkcie k pozná - jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch - vrchol jej grfu hodnotu v ďlšom bode nájsť intervly n ktorých je dná lineárn lebo kvdrtická funkci rstúc resp. klesjúc nájsť - pokiľ eistuje - njväčšiu njmenšiu hodnotu kvdrtickej lineárnej funkcie n dnom intervle špeciálne vie nájsť vrchol grfu kvdrtickej funkcie k pozná jej predpis určiť hodnotu ľubovoľného člen ritmetickej postupnosti k pozná - jeden jej člen diferenciu - dv rôzne členy pre ritmetickú postupnosť (dnú eplicitne) npísť zodpovedjúci rekurentný vzťh nájsť súčet n (pre konkrétne n) z sebou nsledujúcich členov dnej ritmetickej postupnosti..3 Mnohočleny mocninové funkcie lineárn lomená funkci Obsh mocnin n-tá odmocnin mocnin s prirodzeným celočíselným eponentom polynóm mnohočlen mocninová funkci koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii) eponent lineárn lomená funkci symptoty grfu lineárnej lomenej funkcie. Vlstnosti vzťhy: Polynóm stupň n má njvic n rôznych reálnych koreňov r+ s r s r s rs 1 r r r r = ( ) = = ( y) = y r s Z r m n m m n n n m = ( ) n = n y = n y pre y 0 m n N. 11

12 Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) použiť rovnosti z čsti Vlstnosti vzťhy pri úprvách výrzov (pozri 1. Čísl premenné výrzy) riešiť rovnice nerovnice s polynomickými mocninovými lineárnymi lomenými funkcimi (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) schemticky nčrtnúť porovnť grfy funkcií ( 1 )( 1 0) ( 01 ) ( 1 ) n y = pre rôzne hodnoty n Z n intervloch nájsť rovnice symptot grfu lineárnej lomenej funkcie nájsť intervly n ktorých je lineárn lomená funkci rstúc resp. klesjúc nájsť k nej inverznú funkciu..4 Logritmické eponenciálne funkcie geometrická postupnosť Obsh eponenciáln logritmická funkci zákld eponenciálnej logritmickej funkcie logritmus prirodzený logritmus geometrická postupnosť kvocient geometrickej postupnosti. Vlstnosti vzťhy: s r+ s r s r rs = ( ) = pre > 0 1 r s R 1 = = b = log b pre > 0 1 b> 0 R r log r+ log s= log rs log r log s= log pre > 0 1 r s> 0 s s log ( r ) = slog r pre > 0 1 r> 0 s R log = pre > 0 1 > 0. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) (eponenciáln funkci) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprve výrzov (pozri 1. Čísl premenné výrzy) riešiť eponenciálne rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) rozhodnúť o rste resp. klesní funkcie v závislosti od čísl vie nčrtnúť grf tejto funkcie s vyznčením jeho význčných bodov (t.j. [0 1] [1 ]) rozhodnúť o ohrničenosti zhor resp. zdol funkcie n dnom intervle vyjdriť n-tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne n) pomocou jej prvého (lebo iného než n-tého) člen kvocientu q nájsť súčet n z sebou nsledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne n) rozhodnúť o rste resp. klesní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člen kvocientu (logritmická funkci) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprvách výrzov (pozri 1. Čísl premenné výrzy) riešiť logritmické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) 1

13 rozhodnúť o rste resp. klesní funkcie log v závislosti od čísl vie nčrtnúť grf tejto funkcie s vyznčením jeho význčných bodov (t.j. [1 0] [ 1]) rozhodnúť o ohrničenosti zhor resp. zdol logritmickej funkcie n dnom intervle vyriešiť jednoduché príkldy n výpočet úrokov..5 Goniometrické funkcie Obsh π goniometrická funkci sínus kosínus tngens (njmenši) periód. Vlstnosti vzťhy: π π π π hodnoty goniometrických funkcií pre uhly vzťhy pre sínus kosínus dvojnásobného uhl: sin α = sinα cosα cosα = cos α sin α sinα π π tg α = sin α + cos α = 1 cos α = sinα sin α = cosα cos α sin sin ( α) = sinα cos ( α) = cosα tg( α) = tgα ( π + α) = sinα cos( π + α) = cosα grf funkcie kosínus vznikne posunutím grfu funkcie sínus periodickosť njmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: (pozri tiež.1 Funkci jej vlstnosti) použiť rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy pri úprve goniometrických výrzov (pozri 1. Čísl premenné výrzy) nájsť pomocou klkulčky riešenie rovnice f ( ) = kde f je goniometrická funkci to j v prípde že n klkulčne niektoré goniometrické lebo inverzné goniometrické funkcie nie sú (pozri tiež 1. Čísl premenné výrzy) riešiť goniometrické rovnice nerovnice (pozri 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) vyjdriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly α 0 π ko pomery strán prvouhlého trojuholník použiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov prvouhlého trojuholník (pozri tiež 3.1 Zákldné rovinné útvry) vyjdriť (n záklde znlosti súmerností periodickosti grfov goniometrických funkcií) sin α cosα tg α pre α R ko sínus kosínus lebo tngens vhodného uhl β 0 π nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre dný rgument k pre tento rgument pozná hodnotu spoň jednej z nich π π π π nčrtnúť grfy funkcií sin cos tg určiť hodnoty v bodoch 0 určiť njmenšie periódy týchto grfov určiť podintervly dného ohrničeného intervlu n ktorých sú funkcie sin cos tg rstúce resp. klesjúce rozhodnúť o ohrničenosti funkcie tg n dnom intervle. 13

14 3 PLANIMETRIA 3. 1 Zákldné rovinné útvry Obsh ) Lineárne útvry. bod primk polprimk úsečk stred úsečky delici pomer polrovin rovnobežné rôznobežné primky uhol (ostrý prvý tupý) susedné vrcholové súhlsné striedvé uhly os úsečky os uhl uhol dvoch primok kolmé primky kolmic vzdilenosť (dvoch bodov bodu od primky rovnobežných primok). b) Kružnic kruh. stred polomer (ko číslo i ko úsečk) priemer tetiv kružnicový oblúk dotyčnic sečnic nesečnic obvod kruhu dĺžk kružnicového oblúk kruhový výsek odsek medzikružie obsh kruhu kruhového výseku. c) Trojuholník trojuholník (ostrouhlý prvouhlý tupouhlý rovnormenný rovnostrnný trojuholník) vrchol strn (ko vzdilenosť ko úsečk) výšk (ko vzdilenosť ko úsečk i ko primk) uhol ťžnic ťžisko stredná priečk kružnic trojuholníku opísná kružnic do trojuholník vpísná obvod plošný obsh trojuholník trojuholníková nerovnosť Pytgorov vet sínusová kosínusová vet. d) Štvoruholníky mnohouholníky. vrchol strn (ko vzdilenosť ko úsečk) uhlopriečk uhol konvený štvoruholník rovnobežník kosoštvorec obdĺžnik štvorec lichobežník rovnormenný lichobežník zákldň rmeno lichobežník výšk rovnobežník lichobežník plošný obsh rovnobežník lichobežník konvené nekonvené prvidelné mnohouholníky obsh mnohouholník. Vlstnosti vzťhy: ) Lineárne útvry Súhlsné uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnké striedvé uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnké súčet susedných uhlov je 180 vrcholové uhly sú rovnké. b) Trojuholník Trojuholníková nerovnosť súčet vnútorných uhlov trojuholník oproti väčšej (menšej) strne leží väčší (menší) uhol oproti rovnkým strnám leži rovnké uhly delenie ťžníc ťžiskom priesečník osí strán je stred opísnej kružnice priesečník osí uhlov je stred vpísnej kružnice vyjdrenie obshu trojuholník pomocou - dĺžky strny k nej príslušnej výšky - dĺžky dvoch strán sínusu uhl týmito strnmi zovretého Pytgorov vet goniometri prvouhlého trojuholník (pozri.5. Goniometrické funkcie) vyjdrenie kosínusov uhlov trojuholník pomocou dĺžok strán (kosínusová vet) sinα sinβ b sinα = = = (sínusová vet) sinβ b sinχ c sinχ c zhodné podobné trojuholníky vety o zhodnosti (sss sus usu Ssu) podobnosti (sss sus uu) trojuholníkov vzťh medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov - dĺžkmi odpovedjúcich si úsečiek - veľkosťmi odpovedjúcich si uhlov - ich plošnými obshmi. 14

15 c) Kružnic kruh Kružnic je jednoznčne určená stredom polomerom resp. tromi svojimi bodmi židne tri body kružnice neleži n primke kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kružnice Tálesov vet závislosť vzájomnej polohy kružnice primky n polomere kružnice vzdilenosti jej stredu od primky dotykový bod dvoch kružníc leží n spojnici stredov kružníc závislosť vzájomnej polohy dvoch kružníc od vzdilenosti stredov kružníc ich polomerov vzťhy pre výpočet obvodu obshu kruhu dĺžky kružnicového oblúk obshu kruhového výseku. d) Štvoruholníky mnohouholníky Rovnobežnosť rovnká veľkosť protiľhlých strán rovnobežník rozpoľovnie uhlopriečok v rovnobežníku rovnosť protiľhlých vnútorných uhlov v rovnobežníku súčet susedných uhlov rovnobežník súčet vnútorných uhlov lichobežník priľhlých k jeho rmenu uhlopriečky kosoštvorc sú n seb kolmé rozpoľujú vnútorné uhly zhodnosť uhlopriečok obdĺžnik štvorc rovnobežník je stredovo súmerný obdĺžnik štvorec sú súmerné podľ osí strán kosoštvorec je súmerný podľ uhlopriečok rovnormenný lichobežník je súmerný podľ osi zákldní prvidelnému n-uholníku s dá vpísť opísť kružnic v rovnormennom lichobežníku sú rovnké uhlopriečky rovnké uhly pri zákldni obsh rovnobežník vyjdrený pomocou strny príslušnej výšky resp. pomocou susedných strán uhl medzi nimi obsh lichobežník vyjdrený pomocou výšky veľkosti zákldní. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: približne vypočítť obvod obsh nrysovných trojuholníkov n-uholníkov kruhov ich čstí vypočítť v trojuholníku jednoznčne určenom jeho strnmi resp. strnmi uhlmi zvyšné strny uhly dĺžky ťžníc výšok obvod obsh (pozri príkldy 1 3) rozhodnúť či sú dv trojuholníky zhodné lebo podobné (pozri príkld 4) vlstnosti zhodnosti podobnosti použiť vo výpočtoch (pozri príkld ) vypočítť obvod obsh kruhu kruhového výseku (pozri príkld ) rozhodnúť o vzájomnej polohe - primky kružnice - dvoch kružníc k pozná ich polomery vzdilenosť stredov vypočítť plošný obsh rovnobežník lichobežník resp. rozkldom n trojuholníky j obsh iných mnohouholníkov. Príkldy 1. Šnúr n bielizeň dlhá 3 m je zvesená medzi bodmi A B ktorých vzdilenosť je m ktoré sú m vysoko od zeme. Vo vzdilenostich po jednom metri sú n šnúre pevne prichytené dve závži. O koľko cm klesne jedno závžie k odstránime druhé závžie?. Dve kolesá sú spojené prevodovou reťzou. Polomery kolies sú 10 cm 5 cm vzdilenosť stredov je 60 cm. Vypočítjte dĺžku reťze. Hrúbku reťze znedbjte. 15

16 3. Dĺžky strán konveného štvoruholník sú AB = 0 cm BC = 15 cm CD = 15 cm DA = 0 cm uhlopriečk BD má dĺžku 4 cm. Vypočítjte dĺžku druhej uhlopriečky. 4. Pre ktoré y sú trojuholníky so strnmi 3 5 y 6 15 podobné? 3. Anlytická geometri v rovine Obsh (krteziánsk) súrdnicová sústv n primke (číselná os) v rovine súrdnice bodu všeobecná rovnic primky smernic primky smernicový tvr rovnice primky rovnic kružnice. Vlstnosti vzťhy: Vyjdrenie vzdilenosti dvoch bodov pomocou ich súrdníc vzťh medzi smernicmi dvoch rovnobežných resp. kolmých primok vzťh medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobežných resp. kolmých primok spoň jeden vzťh lebo postup pre výpočet - uhl dvoch primok (npr. pomocou sklárneho súčinu kosínusovej vety lebo smerníc) - vzdilenosti bodu od primky. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zostrojiť (v dnej súrdnicovej sústve) obrzy bodov k pozná ich súrdnice určiť súrdnice dných bodov vypočítť súrdnice stredu úsečky npísť nlytické vyjdrenie primky (pozri tiež 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie 3.4 Zhodné podobné zobrzeni) - prechádzjúcej dvom dnými bodmi - dným bodom rovnobežne s dnou primkou - prechádzjúcej dným bodom kolmo n dnú primku určiť vzájomnú polohu dvoch primok (k sú dné ich rovnice) nájsť súrdnice ich prípdného priesečník vypočítť - vzdilenosť dvoch bodov - vzdilenosť bodu od primky - vzdilenosť dvoch rovnobežných primok - obsh trojuholník určeného jeho vrcholmi - uhol dvoch primok npísť rovnicu kružnice (pozri tiež 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie 3.4 Zhodné podobné zobrzeni) - k pozná jej stred polomer - v tvre + + y + by+ c= 0 k pozná tri body ktorými kružnic prechádz určiť z rovnice kružnice jej stred polomer rozhodnúť o vzájomnej polohe - primky kružnice - dvoch kružníc k pozná ich rovnice. 16

17 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov s konštntnou vzdilenosťou od - bodu - primky - kružnice geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov ktoré mjú rovnkú vzdilenosť od - dvoch bodov - dvoch rovnobežných primok - dvoch rôznobežných primok geometricky opísť nčrtnúť množiny bodov ktoré mjú - od dného bodu vzdilenosť menšiu (väčšiu) ko dné kldné číslo - od dnej primky vzdilenosť menšiu (väčšiu) ko dné kldné číslo - od jedného bodu väčšiu vzdilenosť ko od druhého bodu - od jednej dnej primky väčšiu vzdilenosť ko od druhej dnej primky opísť v jednoduchých prípdoch množinu bodov dných vlstností - pomocou uhlov čstí primky kružnice kruhu (pozri príkldy 1 ) znázorniť množinu bodov [ y] pre ktoré pltí - y f( ) kde je jeden zo znkov < > f je predpis funkcie ktorej grf vie žik znázorniť (pozri.1 Funkci jej vlstnosti) - + by+ c 0 v jednoduchých prípdoch j množinu bodov [ y] ktorá je opísná sústvou dvoch z predchádzjúcich nerovníc (pozri tiež 1.4 Rovnice nerovnice ich sústvy) tieto množiny bodov použiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy). Príkldy 1. Dné sú body A B. Nech bod C je vrcholom ľubovoľného prvouhlého trojuholník s preponou AB. Určte množinu ťžísk týchto trojuholníkov.. Dné sú body A B D ktoré neleži n jednej primke. Nájdite množinu bodov C pre ktoré je štvoruholník ABCD konvený súčsne trojuholníky ABD ABC mjú rovnký obsh. (Riešením je polprimk s krjným bodom D rovnobežná s primkou AB.) 3.4 Zhodné podobné zobrzeni Obsh zhodné zobrzenie osová súmernosť os súmernosti posunutie stredová súmernosť stred súmernosti otočenie stred otočeni orientovný uhol jeho veľkosti uhol otočeni osovo stredovo súmerný útvr; skldnie zobrzení inverzné zobrzenie. Vlstnosti vzťhy: Stredová súmernosť je jednoznčne určená stredom súmernosti resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi osová súmernosť je jednoznčne určená osou súmernosti resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi otočenie je jednoznčne určené stredom uhlom otáčni posunutie je jednoznčne určené vektorom posunuti resp. dvom odpovedjúcimi si bodmi vzťh medzi orientovným uhlom jeho veľkosťmi 17

18 rovnobežník je stredovo súmerný obdĺžnik štvorec sú súmerné podľ osí strán kosoštvorec je súmerný podľ uhlopriečok rovnormenný lichobežník je súmerný podľ osi zákldní nech A B sú dv osovo súmerné body podľ primky p potom AB je kolmá n p stred AB leží n p primk jej obrz v posunutí sú rovnobežné vzťh medzi pomerom podobnosti dvoch útvrov - dĺžkmi zodpovedjúcich si úsečiek - veľkosťmi zodpovedjúcich si uhlov - ich plošnými obshmi. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zobrziť dný útvr v dnom zhodnom zobrzení rozhodnúť či je dný útvr osovo (stredovo) súmerný npísť súrdnice bodu ktorý je obrzom dného bodu - v súmernosti podľ zčitku súrdnej sústvy - v súmernosti podľ niektorej súrdnej osi - v posunutí určiť inverzné zobrzenie k dnému zhodnému zobrzeniu zostrojiť obrz dného útvru v dnom zhodnom zobrzení resp. útvr podobný s dným útvrom pri dnom pomere podobnosti. 3.5 Konštrukčné úlohy Obsh rozbor náčrt konštrukci postup konštrukcie. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zdôvodniť postup konštrukcie t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh pričom vie použiť - nsledujúce zákldné konštrukcie (n ktoré s môže pri opise postupu zložitejších konštrukčných úloh odvolávť bez toho by ich podrobne rozpisovl): - rovnobežku s dnou primkou dným bodom - rovnobežku s dnou primkou v predpísnej vzdilenosti - os úsečky os uhl - primku ktorá prechádz dným bodom zvier s dnou primkou dný uhol b - úsečku dĺžky (pomocou podobnosti) kde b c sú dĺžky nrysovných úsečiek c - rozdeliť úsečku v dnom pomere - trojuholník určený: - tromi strnmi - dvom strnmi uhlom - dvom uhlmi strnou - kružnicu - trojuholníku opísnú - do trojuholník vpísnú - dotyčnicu kružnice - v dnom bode kružnice 18

19 - z dného bodu ležiceho mimo kružnice - rovnobežnú s dnou primkou - obrz dného bodu úsečky primky kružnice jej čstí v dnom zhodnom zobrzení (pozri 3. 4 Zhodné podobné zobrzeni) - množiny bodov dných vlstností uvedené v prvej druhej odrážke v 3.3 Množiny bodov dných vlstností ich nlytické vyjdrenie - množiny bodov dných vlstností pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé možnosti zdni (npr. výšk leží v trojuholníku výšk je mimo trojuholník ) n záklde vykonného (dného) rozboru npísť postup konštrukcie uskutočniť konštrukciu dnú opisom určiť počet riešení v prípde číselne zdných úloh. Príkldy 1. (postupné rysovnie) Zostrojte trojuholník ABC keď je dné c = 6 cm α = 75 t c = 8 cm. (N záklde uvedených údjov je možné skonštruovť trojuholník ASC (S je stred strny AB) v ktorom sú dné strny uhol.). (využitie podobnosti) Zostrojte trojuholník ABC keď je dné α = 75 β = 45 obvod o = 13 cm. (Dá s nrysovť trojuholník podobný s hľdným.) 3. Pre ktorú hodnotu t c (zvyšné zdnie s nemení) bude mť príkld 1 jediné riešenie (nebude mť riešenie)? 4 STEREOMETRIA 4.1 Zákldné spôsoby zobrzovni priestoru do roviny Obsh premietnie (voľné rovnobežné premietnie) priemet priestorového útvru do roviny. Vlstnosti vzťhy: Voľné rovnobežné premietnie zchováv delici pomer rovnobežnosť. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: použiť vlstnosti voľného rovnobežného premietni pri zobrzovní kocky prvidelných hrnolov. 4. Súrdnicová sústv v priestore Obsh (krteziánsk) sústv súrdníc v priestore bod jeho súrdnice vzdilenosť bodov. Vlstnosti vzťhy: Vyjdrenie vzdilenosti dvoch bodov pomocou ich súrdníc. 19

20 Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: zostrojiť (v dnej súrdnicovej sústve) obrzy bodov k pozná ich súrdnice určiť súrdnice dných bodov (pozri tiež 4.3 Lineárne útvry v priestore - polohové úlohy 4.4 Lineárne útvry v priestore metrické úlohy) určiť súrdnice stredu úsečky špeciálne vo vhodne zvolenej súrdnicovej sústve opísť vrcholy dného kvádr. 4.3 Lineárne útvry v priestore - polohové úlohy Obsh bod primk rovin v priestore rovnobežné rôznobežné mimobežné primky rovnobežnosť rôznobežnosť primky roviny rovnobežné rôznobežné roviny priesečnic dvoch rovín rez teles rovinou. Vlstnosti vzťhy: Rovnobežné (rôznobežné) primky leži v jednej rovine mimobežné primky neleži v jednej rovine priesečnice roviny s dvom rovnobežnými rovinmi sú rovnobežné. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: opísť možnosti pre vzájomné polohy ľubovoľných dvoch lineárnych útvrov rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvrov pomocou ich obrzu vo voľnom rovnobežnom premietní (pozri príkld 1) zostrojiť vo voľnom rovnobežnom priemete jednoduchého teles (kocky resp. hrnol) priesečník primky (určenej bodmi ležicimi v rovinách stien kocky resp. hrnol) s rovinou steny dného teles zostrojiť rovinný rez kocky kvádr rovinou určenou tromi bodmi ležicimi v rovinách stien z ktorých spoň dv leži v tej istej stene dného teles. Príkldy 1. Dná je kock ABCDEFGH. Body K L M N O sú po rde stredmi úsečiek AC CG GH AH KM H M G (pozri Obr. 1). Leži body ) H O C b) G O A c) B O H d) N O L e) D O F n jednej primke? E A N D O K B F L C Obr. 1 0

21 4.4 Lineárne útvry v priestore - metrické úlohy Obsh uhol dvoch primok kolmosť primok rovín primk kolmá k rovine uhol dvoch rovín kolmý priemet bodu primky do roviny vzdilenosť dvoch lineárnych útvrov (dvoch bodov bodu od roviny bodu od primky vzdilenosť rovnobežných primok primky roviny s ňou rovnobežnej vzdilenosť rovnobežných rovín) uhol primky s rovinou. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: n zobrzených telesách oznčiť - úsečky ktorých skutočná veľkosť predstvuje vzdilenosť dných lineárnych útvrov - uhly ktorých skutočná veľkosť predstvuje uhol dných lineárnych útvrov. 4.5 Telesá Obsh teleso mnohosten vrchol hrn sten kock sieť kocky hrnol kolmý prvidelný hrnol kváder rovnobežnosten ihln štvorsten prvidelný štvorsten podstv výšky v štvorstene guľ vlec kužeľ objemy povrchy telies. Vlstnosti vzťhy: Vzorce pre výpočty objemov povrchov telies Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: rozhodnúť či dná sieť je sieťou teles dného obrzom vo voľnom rovnobežnom premietní nčrtnúť sieť teles dného obrzom vo voľnom rovnobežnom premietní riešiť úlohy ktorých súčsťou je výpočet objemu resp. povrchu kocky kvádr prvidelného kolmého hrnol prvidelného ihln gule vlc kužeľ vie pri tom nájsť ktívne použiť vzorce pre výpočet objemov povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy. 5 KOMBINATORIKA PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 5.1 Kombintorik prvdepodobnosť Obsh (kombintorické) prvidlo súčtu (kombintorické) prvidlo súčinu permutácie vriácie vriácie s opkovním kombinácie fktoriál kombinčné číslo Psclov trojuholník prvdepodobnosť doplnková prvdepodobnosť náhodný jv nezávislé jvy. Vlstnosti vzťhy: n! = n 0! = 1 1

22 n n! = k k!( n k)! n n = k n k n = k C k ( n) ( n) V k n! = P ( n = n! n k)! pre prvdepodobnosť P udlosti A pltí 0 ( A) 1 P / / P ( A) + P( A ) = 1 kde A je doplnková udlosť k udlosti A prvdepodobnosť istej udlosti je 1 P A B = P A P B k A B sú nezávislé jvy. ( ) ( ) ( ) Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: riešiť jednoduché kombintorické úlohy - vypisovním všetkých možností pričom - vie vytvoriť systém (strom logických možností) n vypisovnie všetkých možností (k s v tomto strome vyskytujú niektoré možnosti vickrát vie určiť násobnosť ich výskytu) - dokáže objviť podsttu dného systému pokrčovť vo vypisovní všetkých možností - n záklde vytvoreného systému vypisovni všetkých možností určiť (pri väčšom počte možností lgebrickým sprcovním) počet všetkých možností - použítím kombintorického prvidl súčtu súčinu - využitím vzorcov pre počet kombinácií vriácií vriácií s opkovním permutácií použiť pri úprve výrzov rovnosti uvedené v čsti Vlstnosti vzťhy (pozri 1.4 Čísl premenné výrzy) rozhodnúť P A B - o závislosti jvov A B k pozná P (A) P(B) ( ) - v jednoduchých prípdoch o správnosti použiti rovnosti P( A B) = P( A) P( B) riešiť úlohy n prvdepodobnosť zložené n - hľdní pomeru všetkých priznivých všetkých možností resp. všetkých nepriznivých všetkých priznivých možností k vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombintorických úloh - doplnkovej prvdepodobnosti. 5. Šttistik Obsh digrm grf (stĺpcový obrázkový kruhový lomený spojitý histogrm) zákldný súbor výberový súbor rozdelenie modus medián ritmetický priemer (j vic ko dvoch čísel) stredná hodnot smerodjná odchýlk rozptyl triedenie. Vlstnosti vzťhy: Vzťh pre výpočet rozptylu. Požidvky n vedomosti zručnosti Žik vie: vypočítť ritmetický priemer dných čísel získvť informácie z rôznych tbuliek (npr. utobusová tbuľk) digrmov sprcovť údje do vhodných digrmov zistiť v dnom súbore modus medián strednú hodnotu priemery rozptyl smerodjnú odchýlku uviesť šttistickú interpretáciu získných výsledkov

23 uviesť príkld súboru s poždovnými podmienkmi n modus medián strednú hodnotu priemery rozptyl smerodjnú odchýlku (pozri príkld 1) znázorniť vyhodnotiť nmerné hodnoty urobiť triedenie znázorniť ho. Príkldy 1. Nvrhnite súbor s 8 hodnotmi tk by v ňom ritmetický priemer bol väčší ko modus. ÚPRAVY CIEĽOVÝCH POŽIADAVIEK Z MATEMATIKY PRE ŽIAKOV SO ZDRAVOTNÝM ZNEVÝHODNENÍM Žici so sluchovým postihnutím Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žici so zrkovým postihnutím Úlohy ktoré vyždujú vizuálnu skúsenosť s uprvujú nhrádzjú slovným opisom lebo vypúšťjú. Žici s telesným postihnutím Konštrukčné úlohy s nhrádzjú slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie (podľ druhu stupň telesného postihnuti). Žici s vývinovými poruchmi učeni lebo správni Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žikom s vývinovou poruchou učeni dysklkúli neodporúčme konť mturitnú skúšku z mtemtiky. Žici s nrušenou komunikčnou schopnosťou Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žici chorí zdrvotne oslbení Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. Žici s pervzívnymi vývinovými poruchmi (s utizmom) Cieľové požidvky z mtemtiky pre túto skupinu žikov sú totožné s cieľovými požidvkmi pre intktných žikov. 3