Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Ενότητα 4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκήσεις για λύση ). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο 0, όταν: i) f ( ), 0 ii) f()=, 0 iii f ). Να βρεθεί η παράγωγος της f στο 0, όταν: i) f()=συν, 0 ii) f()=( ), ) ( ), 0 iv) f()=4 +, 0 0 0 ). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, όπου: i) f()= -, ii) f()= 4, 0 0 4). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις :, - 9, <- i) f ( ) ii)g()= είναι 6, >- 4 6, - παραγωγίσιμες στο 0 =-. 5). Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0, 0 i) f ( ) ii) g()= Να αποδείξετε ότι 0, =0 0, =0 f (0) = g (0) = 0., 0 6). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τις τιμές a, >0 του α, έτσι ώστε: i) η f να είναι συνεχής, ii) η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0. a, < 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τους α, β β, ώστε η f να παραγωγίζεται στο 0 =. 8). Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α( 0,f( 0 )) όταν: i) f ( ), ii)f()=, 0 0 iii) f ( ), iv)f()=-+ημ, 0 0 0, <0 9). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε την εξίσωση, 0 της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(0,f(0)). 0). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α( 0 f( 0 )), όταν: i) f ( ) 5, 5 ii)f()=, 0 0 8

Ενότητα 4 ). Να υπολογίσετε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f ( ) 5 ii g ) ( ) 4 0 0 iii) h( ) 0 0 ). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις:, 0 i) f ( ) ii) f()= e, <0 είναι παραγωγίσιμες 0, =0 συν, 0 στο 0 =0. ). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g με: 4 v e, <0, <0 i) f ( ) ii)g()= 0, =0 όπου ν 5, 0 e, >0 φυσικός με ν >, είναι παραγωγίσιμες στο 0 = 0. 4). Nα βρεθούν οι α, β ώστε η συνάρτηση a 6, < f ( ) να είναι παραγωγίσιμη στο 0 = ( a ),. 5). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και για κάθε ισχύει f ( ) f ( ) f ( ), να αποδείξετε ότι f (0) =. 6). Αν f ( ) για κάθε, να αποδείξετε ότι: i) f (0) ii)f (0) = 7). Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f ( y) f ( ) f ( y), για κάθε, y. Αν η f παραγωγίζεται στο 0 0 με f (0) =, να αποδείξετε ότι παραγωγίζεται σε κάθε α. 8). Αν f ( ) f ( ) για κάθε και η f παραγωγίζεται στο 0 0, να βρείτε την κλίση της f στο 0 0 και την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο α(0,f(0)). 9). Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 =0 και 4 4 5 f ( ) 5 για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) f (0) 0 ii)f (0) = 5 f ( ) 0). Αν η f είναι συνεχής στο και lim 5, να αποδείξετε ότι : i) f () 0 ii)f () = 5 f ( h) ). Αν η f είναι συνεχής στο 0 lim 0, να h0 h αποδείξετε ότι: ι) f() = 0 ii) f () = 0 9

Ενότητα 4 f ( a ) ). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α και lim, να 0 αποδείξετε ότι f (α)=. ). Αν για τις συναρτήσεις f, g : ισχύει f ( ) g( ) για κάθε και g(0) = g (0) = 0, να αποδείξετε ότι f (0) = 0. 4). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0 f( 0) g( 0 ) 0 g ( 0 ) 0, να αποδείξετε ότι f ( ) f '( 0 ) lim. 0 g( ) g ( ) 0 a, < 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), =, όπου α, β, γ, > γ. Να βρείτε τους α, β, γ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο. 6). Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο, να 0 f ( 0 ) 0 f ( ) αποδείξετε ότι lim f ( 0 ) 0 f '( 0 ). 0 0 7). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο α, να αποδείξετε a f ( ) f ( a) i)lim a f '( ) f ( a) a ότι: a f ( ) g( a) f ( a) g( ) ii)lim g( a) f '( a) f ( a) g '( a) a a f ( ) 8). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και lim, να αποδείξετε ότι f ()=5. 9). Να βρεθούν οι α, β, γ ώστε η συνάρτηση f με τύπο a, < f ( ) να είναι παραγωγίσιμη στο 0. γ a, 0). Δίνεται συνάρτηση f : ώστε να ισχύει f ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι f (0) =. ). Μια συνάρτηση f : είναι συνεχής στο και έχει την ιδιότητα f ( ) f ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι f () =. ). Μια συνάρτηση f έχει την ιδιότητα f ( y) f ( ) f ( y) y, για κάθε, y. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α με f (α) = + α, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο και ισχύει f '( ), για κάθε. ). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, f(0) =0 και ισχύει f ( y) f ( ) f ( y) y για κάθε, y, να αποδείξετε ότι f ( ) f '(0), για κάθε. 0

Ενότητα 4 4). Αν f '(0) και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( ) y f ( y) να αποδείξετε ότι f '( ), για κάθε. f ( ) 4 f ( ) 5). Αν f (0) 0 lim 4, να αποδείξετε ότι 0 f (0)= -. 6). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι η f ( ), συνάρτηση g( ) είναι παραγωγίσιμη στο, με f(-), > g () = f (). 7). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f () =, να f ( h) f ( 5 h) βρείτε το όριο A lim. h0 f ( 6 h) f ( h) 8). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( ) f ( y). Να αποδειχθεί ότι η f παραγωγίζεται σε κάθε 0. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; ii) Πώς συμβολίζεται η παράγωγος της f στο 0 ; iii) Ποιοι τύποι μας δίνουν την παράγωγο της f στο 0 ; iv) Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 ; v) Πότε ορίζεται εφαπτομένη στη γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f στο σημείο Μ( 0, f( 0 )) και τι εξίσωση έχει στην κάθε περίπτωση; vi) vii) viii) i) Πότε ορίζεται η κλίση μιας συνάρτησης f στο 0 και με τι ισούται; Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο 0.Ισχύει το αντίστροφο; Μια συνάρτηση f έχει κλίση στο 5 ίση με Αν η C f διέρχεται από το σημείο Α(5, ), ποια εξίσωση έχει η εφαπτομένη της C f στο Α; Πότε ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά και πότε προς τα αριστερά κατά τη χρονική στιγμή t 0;

Ενότητα 4 Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0, τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α( 0, f( 0 )) είναι η. Ο αριθμός f ( 0 ) λέγεται και.. της C f στο Α ή.. της f στο 0. ii) Η f λέγεται παραγωγίσιμη στο 0, αν υπάρχει το.. και είναι πραγματικός αριθμός. iii) Η παράγωγος της f στο 0 εκτός απο f ( 0 ) συμβολίζεται ακόμα και με ή. iv) Η παράγωγος της f στο 0 δίνεται και από τη σχέση f ( 0 ) = v) Αν f ( ), τότε f () = vi) Αν f ( ), τότε f (0) = vii) Αν η f είναι συνεχής στο 0 και f ( ) f ( 0 ) lim ( ), τότε η εφαπτομένη της C f στο 0 0 Α( 0 f( 0 )) είναι η ευθεία (ε): viii) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0, τότε είναι και. στο σημείο αυτό. Το αντίστροφο.. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής.η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο 0, όταν: f ( ) f ( 0 ) A. lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f ( 0 h) f ( 0) B.lim h0 h f ( 0 ). lim 0 0 f ( ) f ( 0) f ( ) f ( 0 ). lim lim E. lim f ( ) f ( ) 0, <0.Αν f ( ), τότε:, 0 Α. f (0) = 0 Β. f (0) = Γ. f (0) = Δ. f (0) = - Ε. δεν υπάρχει η παράγωγος της f στο 0

Ενότητα 4. Κλίση της f στο 0 λέγεται ο αριθμός: Α. f( 0 ) B. f( 0 ) Γ. f ( 0) Δ. f ( 0 ) Ε. τίποτα από τα παραπάνω 4.Αν η f παραγωγίζεται στο 0, τότε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A( 0, f( 0 )) έχει εξίσωση: A. B. y=f( ) 0 0. y f ( ) f ( )( ) Δ. y=f ()-( ) 0 0 0 0 E. y f ( ) f '( )( ) 0 0 0 5. Αν η f είναι συνεχής στο 0, f ( ) f ( 0) f ( ) f ( 0 ) lim lim τότε: + 0 0 0 0 Α. η f παραγωγίζεται στο 0 Β. η κλίση της f στο 0 είναι θετική Γ. η κλίση της f είναι αρνητική Δ. η C f έχει κατακόρυφη εφαπτομένη Ε. δεν ορίζεται εφαπτομένη της C f στο σημείο M( 0, f( 0 )) 6. Αν η f παραγωγίζεται στο και η C f διέρχεται από το σημείο Α (, ), τότε: Α. f () = Β. f() = Γ. η εφαπτομένη της C f στο Α είναι η ευθεία με εξίσωση = Δ. δεν ορίζεται εφαπτομένη της C f στο Α Ε. lim f ( ), 7. Αν η συνάρτηση f ( ) παραγωγίζεται στο α+β, >, τότε: Α. α = και β = Β. α = και β = - Γ. α = και β = - Δ. α = - και β = Ε. α = 5 και β = - 4 f ( h) 8. Αν η f είναι συνεχής στο και lim, τότε: h0 h Α. f () = B. f () = Γ. f() = - Δ. f () = - Ε. η f δεν παραγωγίζεται στο 9. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) στο σημείο Α (0, f(0)) είναι η : Α. y = B. y = 0 Γ. = 0 Δ. y = - + E. δεν ορίζεται εφαπτομένη

Ενότητα 4 Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Αν f ( ), f ()=. f ( ) f () ii) Αν lim, f ()=. f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) iii) Αν lim lim, τότε η f είναι a a a a παραγωγίσιμη στο 0 = α. iv) Η παράγωγος της f στο 0 δίνεται και από τη σχέση f ( 0 h) f ( 0 ) f ( 0 ) = lim. h0 h v) Αν f ( ), τότε f ()=6. f ( h) f () vi) Αν lim 7, τότε f () = - 7. h0 h vii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f, όπου f ( ), στο σημείο Α (, f()) είναι η y = +. viii) Αν f ( ), τότε η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(,f()) την ευθεία (ε) : =. f ( ) f ( 0 ) i) Αν lim (ή - ), τότε υπάρχει 0 0 εφαπτομένη της C f στο σημείο Α( 0, f( 0 )) και έχει εξίσωση = 0. ) Κλίση της f στο 0 λέγεται ο αριθμός f ( 0 ), αν υπάρχει. i) Αν = S(t) είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού, τότε η στιγμιαία ταχύτητα υ(t 0 ) δίνεται από τον τύπο S( t) S( t0) υ ( t0) lim. tt0 t t0 ii) Α ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t 0 S( t) S( t0) ισχύει ότι 0, οπότε υ( t 0 ) 0. Αν όμως t t 0 κινείται προς τα αριστερά, τότε υ( t 0 ) 0. 4

Ενότητα 5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ασκήσεις για λύση 9). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο 0, όταν: i) f ( ), ii) f()=, 4 0 0 iii) f ( ), 0 iv) f()=συν, 0 v) f ( ) ln, 0 vi) f()=e, 0 ln 40). Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: i) f ( ) ii)g()= 4). Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων:, <0, 0 i) f ( ) ii) g( ) 4 συν, 0, >0 4). Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f ( )., < 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i)να βρεθεί η ln, f. ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α(-,f()). 44). Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) e, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(-,0). ln 45). Να βρείτε το όριο lim. e e 46). Να βρείτε το όριο B lim. 6 47). Δίνεται το όριο f ( ). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν εφαπτόμενες της C f, οι οποίες να είναι παράλληλες. Ισχύει το ίδιο για τη 7 γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) ; 48). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της C f, οι οποίες είναι κάθετες με την ευθεία (η): y 0. 49). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και τα σημεία Α(, ), Β(-, 0). Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ εφάπτεται της C f στο Α. 50). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και το σημείο Α(, f()). i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο Α. ii) Να βρείτε το άλλο κοινό σημείο Ν της (ε) με τη C f και να αποδείξετε ότι η κλίση της C f στο Ν είναι τετραπλάσια από την κλίση της C f στο Α. 5

Ενότητα 5 5). Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της 4, <0 συνάρτησης f ( ) στα κοινά της σημεία με την ευθεία, 0 <6 (η): 5y 6 0 είναι κάθετες. a, < 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τους α, β,, γ, έτσι ώστε η C f να έχει στο σημείο Α(, f()) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία (η): 4 y 0. 5). Αν μια συνάρτηση f : είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο (0, ), να αποδειχθεί ότι η C f έχει την ίδια κλίση στα σημεία της με αντίθετες τετμημένες. a 54). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), 0, και ένα μεταβλητό σημείο Μ της C f. Αν η εφαπτομένη της C f στο Μ τέμνει τους άξονες καιy y στα σημεία Α,Β, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν. 55). Δίνεται η παραβολή ( C) : y. Να αποδείξετε ότι: i) από κάθε σημείο Μ(α, β) με β < α διέρχονται δύο ακριβώς εφαπτόμενες της παραβολής, ii) αν το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y, τότε οι εφαπτόμενες της ( C ) που διέρχονται από το Μ είναι κάθετες. 56). Δίνεται η συνάρτηση f : με την ιδιότητα f ( ) f ( ) για κάθε. i) Να βρεθεί ο τύπος της f. ii) Να αποδειχθεί ότι από τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τη γραφική παράσταση της f. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη; ii) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο a, ; iii) Τι λέγεται παράγωγος της f και πως συμβολίζεται; iv) Πώς ορίζεται η νιοστή παράγωγος f (v) της f, όπου v ; v) Να αποδείξετε ότι: ( c ) = 0 = ( v ) = v v-, v 6

Ενότητα 5 ( ), > 0 ( )' ( )' vi) Ποια είναι η παράγωγος των συναρτήσεων f ( ) e g()=ln;, 0 vii) Αν f ( ), ποια είναι η f '( ); -, > 0 viii) Αν f ( ), ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A(-, f(-)); Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Η συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα σημεία του συνόλου Α, στα οποία η συνάρτηση f : A είναι παραγωγίσιμη, με την παράγωγο f (), λέγεται. Ή απλά.. της f. ( v ii) Αν v, τότε f ) ( )... iii) Είναι: ( c ) =.. ( v ) =.., (ημ) =. (e ) =. =., για κάθε (συν) =. (ln) =, > 0 iv) Αν f ( ), τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στη C f στο σημείο Α (π, f(π)) είναι η. v) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ), η οποία είναι παράλληλη προς την ευθεία ( ) : 4 y 7 0 είναι η. vi) Το σημείο Μ, στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) ln διέρχεται από την αρχή των αξόνων, έχει συντεταγμένες Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f ( ) στο σημείο Α( -, f(-)) είναι η: A. y 6 B. y=-4 Γ. y=- Δ. y=--4 E. y=5+ 7

Ενότητα 5 ) Η παράγωγος της συνάρτησης y ln είναι η: A. ln B. e. Δ. 0 Ε. ), <0 Αν f ( ) =f ' (- )+f '(0)+f '(), τότε:, 0 Α. α = Β. α = - Γ. α = - Δ. α = Ε. α = 7 4) 00 Αν f ( ), g()=e, h()= λ=f '(0)+g'(0)+h'(0), τότε: Α. λ = 0 Β. λ = - Γ. λ = Δ. λ = - Ε. λ = 5) Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) ln στο σημείο Α (, f()) είναι η: Α. y = 0 B. = Γ. y = - Δ. y = - E. y = - + 6) Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 f ( ) στο σημείο Α ( -, f(-)) τέμνει τους άξονες στα σημεία Β και Γ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ είναι ίσο με: A. B. 9. 7 Δ. 8. Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) 4 Αν f ( ), τότε f (-) = - 4. ii) Αν f ( ), τότε f π '( ) 0. iii) Αν f() = συν, τότε f '( ). iv) Αν f ( ), τότε f '(4). v) Αν f ( ) e, τότε f '(ln 7) 7. vi) Αν f ( ) ln, τότε f '( ). vii) Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. viii) Δίνεται η συνάρτηση f ( a) a. Τότε f '( a) 0. 8

Ενότητα 5 i) Αν f( 5 ) = 0 και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 5, τότε f (5) = 0. ) Η C f, όπου f ( ), έχει στο σημείο Ο(0, 0) εφαπτομένη με εξίσωση = 0. i) Ο άξονας εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=. ii), 0 Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη. 4, >0 iii) Αν, < f ( ), τότε, f '( ). 4 9

Ενότητα 5 Διαγώνισμα 6 ΘΕΜΑ Α. α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο 0 ; β Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0. Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο Α ( 0, f( 0 )) είναι: A. y= B. y-y f ( )( ) 0 0 0 0. - f '( )( y y ) Δ. y-f( ) = f '( )( ) 0 0 0 0 0 0 (μονάδες ) E. 0 f '( 0 ) y y0 γ) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο 0. (μονάδες 7) Β. α) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) στο σημείο Μ (, f()) είναι: A. y-f()=f ' ()(-) B. y-f ' ()=f()(-) Γ. = Δ. y= Ε. Δεν ορίζεται (μονάδες 6) f ( h) f () ) Αν f ()=, τότε το lim είναι ίσο με: h0 h Α. Β. Γ. 5 Δ. Ε. ( μονάδες 6,5) Θέμα a, < Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τις τιμές γ a, των α, β, γ ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 =. (μονάδες 5) Θέμα Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και ένα σημείο της Μ(ξ,f(ξ)). Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ τέμνει τους άξονες στα Α και Β. Να αποδείξετε ότι: Α) Το Μ είναι μέσο του ΑΒ. (μονάδες 5) Β) Το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν. (μονάδες 0) Θέμα 4 Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει μια οικοδομή, η οποία να έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου. Το δάπεδο της οικοδομής είναι τετράγωνο, ενώ ολόκληρο το οικοδόμημα έχει όγκο 500 m. Η απώλεια θερμότητας από την οροφή είναι τριπλάσια από την απώλεια θερμότητας από τους τοίχους (ανά τετραγωνικό μέτρο). Από το δάπεδο οι απώλειες αμελητέες. Α) Να βρείτε μια συνάρτηση f, η οποία να δίνει τις απώλειες της οικοδομής ως συνάρτηση της πλευράς του δαπέδου. (μονάδες ) Β) Να βρείτε την παράγωγο της f καθώς και το πρόσημο της f. (μονάδες ) 0

Ενότητα 6 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ασκήσεις για λύση 57). Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) ln ii) g( ) 5 iii) h( ) iv) ( ) ( ) ( ), <0 58). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθεί, 0 η f (). 59). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f ( ) ( ) ii) g( ) ( ) iii) h( ) iv) ( ) ( ) ( ), <0 60). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθεί, 0 η f (). 6). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f ( ) ii) g()=( ) ln iii) h( ) ( ) e iv) φ()= ln 6). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 4. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f η οποία: i) είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y 0, ii) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 4y 0, iii) διέρχεται από το σημείο Α(5, -). 6). Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία οι εφαπτόμενες της C f είναι παράλληλες στον άξονα όταν: i) f ( ) ii)f()= 4 iii) f ( ) 8 6 4 64). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i) f ( ) ii)g()=ημ iii)h()=e ln( )

Ενότητα 6 65). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων : i) f ( ) ( e ) ii)g()=ln ( ) 66). Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο. i) Αν η f είναι άρτια, να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. ii) Αν η f είναι περιττή, να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. 67). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) e g()=συν. Να i) f ''( ) f '( ) f ( ) 0 αποδείξετε ότι: ii) g ''( ) g '( ) 4 g( ) 0 68). Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων: 4,, < i) f ( ) ii) g( ) 4 6 8, > 5, 69). Έστω f : παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να βρεθεί η g όταν: i g f ) ( ) ( ) ii)g()=f ( ) iii g f f() ) ( ) ln( ( )) iv)g()=, >0 4 +f ( ) v)g()=e vi)g()=f() συνf() 70). Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y 4 4 εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) g()=. 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να αποδείξετε ότι: i) η εφαπτομένη της C f σε οποιοδήποτε σημείο της M(α, f(α)), α 0, έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο Ν. ii) η κλίση της f στο Ν είναι τετραπλάσια από την κλίση της f στο Μ. 7). Να βρεθούν τα α, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) a g()= a να έχουν κοινό σημείο με κοινή εφαπτομένη. 7). Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) να εφάπτεται στον άξονα των τετμημένων. 74). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), λ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ(, f()) διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ. 75). Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: e ημ i) f ( ), >0 ii)g()=, (0,π) 76). Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) 4, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(, ).

Ενότητα 6-8 77). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( )( ) g()=. Να αποδειχθεί ότι οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα από τα δύο κοινά τους σημεία. 78). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ), λ. Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες της C f στο σημείο Μ(, f()) διέρχονται από σταθερό σημείο για κάθε λ. 79). Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) a ln στο σημείο Μ(, f()) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 80). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) ln g()=α να έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο το οποίο βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση =. 8). Να βρείτε τα α, β, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) a στο σημείο της Α(, ) να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) (4 a ) a. 8). Να αποδειχθεί ότι από τα σημεία της ευθείας (ε) με εξίσωση y = - άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην παραβολή με εξίσωση y. 4 8). Δίνεται η συνάρτηση f :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και περιττή. Να αποδείξετε ότι f (0) = 0. 84). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ), A= -,, και g( ), B=(0,π). Να αποδείξετε ότι : i)( f ) ( ), για καθε (-,) - ii)(g ) '( ), για καθε (-,) 85). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e ( ). Να αποδειχθεί ότι: f ''( ) 4 f '( ) 5 f ( ) 0. 86). Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Α = (0, + ) και για κάθε ισχύει f ( e ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της Μ (, f()). 87). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να αποδείξετε ότι η ν-ιοστή ( v παράγωγος της f δίνεται από τη σχέση ) v f ( ) v για κάθε ν. 88). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( ) f ( y), να βρείτε το f (0).

Ενότητα 6 Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Αν οι f και g παραγωγίζονται στο 0 ποια είναι η παράγωγος της f + g στο 0 ; ii) Να αποδείξετε ότι ( f g)'( 0 ) f '( 0 ) g '( 0), όπου οι f και g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο 0. iii) Να αποδείξετε ότι ( f g) '( 0) f '( 0) g( 0) f ( 0 ) g '( 0), όπου οι f και g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο 0. iv) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων f ( ) g()=e. v) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων του γινομένου f g h, όπου f,g και h παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ; vi) Να βρεθεί η f, όπου f ( ) e. vii) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: c f ( ), οπου c, f ( ), g( ) όπου g( ) 0 f,g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο σύνολο Α. viii) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης π f ( ), 0,. i) Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά ην παράγωγο της fog στο 0, όπου f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο 0. ) Με τον συμβολισμό του Leibniz, να γράψετε τον κανόνα της αλυσίδας για την παράγωγο της συνάρτησης fog. i) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: v ( f ( ))' ii) (ln f ( ) ) ' (ημ f ( ))' (εφ f ( ))' f ( ) ( e )' ( f ( ))' (συν f ( ))' (σφ f ( ))' Αν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, να βρείτε τις παραγώγους: v ( f ( ))' (ln f ( ) ) ' 4

Ενότητα 6 (ημ f ( ))' (εφ f ( ))' f ( ) ( e )' ( f ( )) ' (συν f ( ))' (σφ f ( ))' Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Αν οι f και g είναι συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ, τότε: ( f ( ) g( ))'... ( f ( ) g( ))' = ' f ( )... g( ) ' a... g( ) ( f g h)'... 5 ii) Αν f ( ), τότε f '( )... 5 ln iii) Αν f ( ), τότε f '( )... iv) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε f ( g( )) '... v) Αν y f ( u) u=g(), τότε dy... d (κανόνας της αλυσίδας ) vi) Είναι: ( a ) '... vii) vii) (ln )'... a ( ) '... (log a )'... f. f()=ημ, τότε '( )..., Av g()=συν, τότε g '( )...,. Av h()=ln, τότε h'( )..., >0. Αν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση, τότε: f() f ( ) '..., f()>0 (e ) '... (ln f ( ) )'... (ημf())'=... v (συνf())'=... (f ( )) '... 5

Ενότητα 6 Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής. Αν f ( ), τότε: A. f '()=ημ-συν B. f '()=συν-ημ Γ. f '()=-συν+συν Δ. f '()=συν+ημ E. f '()=0. Αν f ( ) ( ) e, τότε οι ρίζες της f είναι οι αριθμοί: A. - και Β. και Γ. - και Δ. και 4 Ε. -4 και 5. Η παράγωγος της συνάρτησης f h g είναι: f ' f ' - g ' A. B. g ' g f 'g-fg' f 'g+fg'. Δ. g g f ' E. - g 4. Η παράγωγος της συνάρτησης f g h είναι: A. f ' g' h' B. f 'gh'+fgh' Γ. f '+g'+h' Δ. f 'gh+fg'h+fgh' f ' g ' h ' E. g h f 5. Η παράγωγος της συνάρτησης (fog) () είναι: A. f '(g()) B. f '(g()) Γ. f(g'()) Δ. f '(g())+g'(f()) E. f '(g()) g'() 6. Αν f ( ), τότε: A. f '()=-ημ B. f '()=ημ Γ. f '()=συν Δ. f '()=συν E. f '()=-ημ-συν 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) g()=. α) Το κοινό σημείο Μ των C f και C g είναι το: A. (,) B. (,-) Γ. (0,) Δ. (-,) Ε. (0,0) β) Η κοινή εφαπτομένη των C f και C g στο κοινό τους σημείο Μ 6

Ενότητα 6 έχει. y=+ B. y=-+ Γ. y=- Δ. +y-4=0 εξίσωση: E. y=-7 8. Τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) 5, στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία (η): y 9, είναι τα: A. M(,) N(0,) B. M(,7) και Ν(-,) Γ. Μ(-,7) και Ν(,) Δ. Μ(,) και Ν(5,4) Ε. Μ(-,) και Ν(4,-) 9. Αν η C f, όπου f ( ) a, διέρχεται από το σημείο Α(, ) και εφάπτεται της ευθείας με εξίσωση y = στην αρχή των αξόνων, τότε: A. (α,β,γ)=(,,) Β. (α,β,γ)=(,,) Γ. (α,β,γ)=(,,) Δ. (α,β,γ)=(,-,) Ε. τίποτα από τα παραπάνω 0. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 = α και f ( ) af ( a) λ= lim, τότε: a a A. λ= Β. λ=α+f(α) Γ. λ=f(α)+αf '(α) Δ. λ=αf(α)+f '(α) E. λ=f(α)+f '(α) Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i. Αν η f + g είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε ( f g)'( ) f '( ) g '( ). 0 0 0 ' ii. Είναι, για κάθε. iii. Η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () = 0, όπου f ( ) e, είναι η =. iv. Αν f ( ), τότε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(, f()) έχει εξίσωση y = 4. ' v. f ( ) f '( ) g( ) f ( ) g '( ) Είναι, g() 0. g( ) g ( ) vi. Είναι ( f g h)' f ' g ' h'. vii. a ag '( ) Αν f ( ), τότε f '( ), g( ) g ( ) συνάρτηση viii. Αν α > και f() = α, τότε η f παραγωγίζεται στο 0 = 0. i. Αν η f g παραγωγίζεται στο 0, τότε και οι f, g παραγωγίζονται στο 0. 7

Ενότητα 6 Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Ισχύει ότι (εφ σφ) =. ii) Αν οι f και g παραγωγίζονται στο 0, τότε και η fog παραγωγίζεται στο 0. iii) Είναι f g f g g ' ' ', όπου f και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις dy dy du iv) Ισχύει ότι, όπου y f ( u) u=g(). d du d v) Είναι: f ( ) f ( ) e ' e f '( ) ln f vi) Αν f ( ) ' f '( ) f ( ) ' f ( ) f vf f v v ( ) ' ( ) '( ) f ( ) g()=ημ, τότε f '( ) g '( ). vii) Αν f ( ) e, τότε η C f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο M (, f ( )). viii) Η ευθεία (η): y = 5 5 εφάπτεται στη C f,όπου f ( ) 4. 8

Ενότητα 6 Διαγώνισμα 7 Θέμα Α. α) Η πρώτη στήλη περιέχει μια συνάρτηση και η δεύτερη την παράγωγό της. Να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις των δύο στηλών και να συμπληρώσετε τον πίνακα. Στήλη Α Στήλη Β. ημ α) ημ. εφ β) e. γ) 4. συν δ) 5. e ε) 6. ln στ) a ln a 7.σφ ζ) 8. α η) θ) e ι) 4 5 6 7 8 ( μονάδες 4 ) β) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει f g 0 f 0 0 f 0 g 0 '( ) '( )( ) ( ) '( ). ( μονάδες 6 ) γ) Αν u f ( ) είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, να συμπληρώσετε τις προτάσεις: a. ( u )'.... ( u)'.... (ημu)'=... 4. (συνu)'=... u 5. (ln u ) '... 6. (α ) '... 7. (εφu)'=... 8. (σφu)'=... Β. α) Αν e f ( ), τότε οι ρίζες της f είναι: (μονάδες,5) 9

Ενότητα 6 A. = B. =0 = Γ. = Δ. = ' ' E. =- =4 (μονάδες 5) β) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f ( ) e, για κάθε. Η κλίση της f στο 0 = 0 είναι : Α. Β. Γ. e Δ. 0 Ε. - e (μονάδες 7,5) Θέμα Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) (0, ), με την ιδιότητα f ( ) f ', κάθε > 0. Να αποδειχθεί ότι: α) f, για κάθε > 0. (μονάδες 0) f '( ) ' β) f ( ) f 0, για κάθε > 0. (μονάδες 5) για Θέμα 6 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln. α) Να αποδείξετε ότι f '( ), για κάθε A (,0) (0, ). ( ) (μονάδες 5) β) Να βρείτε το πρόσημο της f. (μονάδες 0) Θέμα 4 Ένας άνδρας βρίσκεται στο άκρο Α μιας τετράγωνης πισίνας ΑΒΓΔ με πλευρά α = 0 m, μπορεί να περπατήσει με ταχύτητα 5 km/h και να κολυμπήσει με ταχύτητα km/h. α) Να βρείτε μια συνάρτηση f, η οποία να εκφράζει το χρόνο που χρειάζεται ο άνδρας για να φτάσει στο σημείο Γ. (μονάδες ) β) Να βρείτε την παράγωγο και το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης αυτής. (μονάδες ) 40