Ελεύθερη οµάδα. Κεφάλαιο Κατασκευή ελεύθερης οµάδας

Κεφάλαιο 9 Ελεύθερη οµάδα Σύνοψη. Εισάγεται η έννοια της ελεύθερης οµάδας. Κατασκευάζεται η ελεύθερη οµάδα και δίνονται οι ϐασικές ιδιότητές της. Εισάγεται η έννοια της παράστασης οµάδας µε τη ϐοήθεια της ελεύθερης οµάδας. Προαπαιτούµενη γνώση. Η σχέση ισοδυναµίας σε σύνολο, το σύνολο πηλίκο και το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών. 9.1 Κατασκευή ελεύθερης οµάδας Σε οποιαδήποτε οµάδα G οι σχέσεις aa 1 = 1 G = a 1 a και a 1 G = a = 1 G a για όλα τα a G ονοµάζονται τετριµµένες. Η ιδέα της έννοιας της ελεύθερης οµάδας είναι ότι δεν υπάρχουν µη τετριµµένες σχέσεις µεταξύ των στοιχείων της οµάδας. Λέµε ότι η οµάδα F παράγεται ελεύθερα από ένα υποσύνολό της S (ή είναι ελεύθερη πάνω στο S) αν για κάθε οµάδα G και για κάθε απεικόνιση φ : S G υπάρχει µοναδικός οµοµορφισµός φ : F G τέτοιος, ώστε φ(x) = φ(x) για όλα τα x S. Με άλλα λόγια, η φ επεκτείνει την φ σε οµοµορφισµό οµάδων. Στη ϑεωρία των διανυσµατικών χώρων υπάρχει µία ανάλογη έννοια. Πράγµατι, έστω B µία ϐάση ενός πεπερασµένης διάστασης διανυσµατικού χώρου V και ϑ : B W µία οποιαδήποτε απεικόνιση σε ένα διανυσµατικό χώρο W. Τότε, υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση από το V στο W που επεκτείνει την ϑ. Βέβαια, η ύπαρξη και η µοναδικότητα της επέκτασης της ϑ έπονται από τις ιδιότητες που έχει η ϐάση (δηλαδή, τα στοιχεία της B είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο). Μία ανάλογη έννοια έχουµε δει και στις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Πιο συγκεκριµένα, στις ελεύθερες αβελιανές οµάδες πεπερασµένης ϐαθµίδας. Να σηµειώσουµε εδώ ότι οι έννοιες ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας n και διανυσµατικός χώρος διάστασης n είναι πάρα πολύ κοντά. Στην περίπτωση των αβελιανών οµάδων δουλεύουµε πάνω από τους ακέραιους αριθµούς Z, ενώ στους διανυσµατικούς χώρους πάνω από σώµα K. Η απόδειξη του παρακάτω αποτελέσµατος είναι απλή και ϐασίζεται στους ο- ϱισµούς. Λήµµα 9.1 Εστω F, G οµάδες και S F. Εστω Hom(F, G) το σύνολο των οµοµορφισµών από την F στην G και Map(S, G) το σύνολο των απεικονίσεων από το S στην G. Εστω ρ : Hom(F, G) Map(S, G) µε ρ( φ) = φ, όπου φ ο 201

202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α περιορισµός της φ στο S. Τότε, η F παράγεται ελεύθερα από το S αν και µόνο αν η ρ είναι 1 1 και επί. Μία ενδιαφέρουσα εφαρµογή του Λήµµατος 9.1 είναι το ακόλουθο αποτέλεσµα. Πόρισµα 9.1 Αν η οµάδα F i παράγεται ελεύθερα από το πεπερασµένο σύνολο S i (i = 1, 2) και F 1 = F2, τότε S 1 = S 2. Απόδειξη. Εφαρµόζουµε το Λήµµα 9.1 για G = C 2. Επειδή Map(S i, C 2 ) = 2 S i και F 1 = F2, έχουµε ότι S 1 = S 2. Λήµµα 9.2 Αν η οµάδα F παράγεται ελεύθερα από το σύνολο S, τότε η F παράγεται από το S. Απόδειξη. Εστω G = S. Η απεικόνιση θ από το S στην G, που στέλνει το s στον εαυτόν του για κάθε s S, επεκτείνεται µοναδικά σε οµοµορφισµό θ : F G. Θεωρούµε τον οµοµορφισµό i : G F µε i(g) = g για όλα τα g G. Τότε, η iθ είναι οµοµορφισµός από την F στην F, που επεκτείνει την iθ = Id S. Επειδή η Id F επεκτείνει την iθ, έχουµε, λόγω µοναδικότητας, ότι iθ = Id F. Ετσι, F = ImId F = Imiθ = Imθ G. Με άλλα λόγια, η F παράγεται από το S. Μία απλή συνέπεια της έννοιας «παράγεται ελεύθερα» και του Λήµµατος 9.2 είναι το επόµενο αποτέλεσµα. Πόρισµα 9.2 Εστω ότι η οµάδα F παράγεται ελεύθερα από ένα µη κενό σύνολο S. Τότε, s n 1 F για κάθε s S και n N. Απόδειξη. Εστω ότι υπάρχουν s S και n N έτσι, ώστε s n = 1 F. Θεωρούµε την απεικόνιση θ : S (Z, +) µε θ(s) Z \ {0} και θ(x) = 0 για x S \ {s}. Τότε, η θ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό θ : F (Z, +). Επειδή η F παράγεται από το S, θ(s n ) = nθ(s) = 0. Άρα, θ(s) = 0, που είναι άτοπο, και έτσι, έχουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Λήµµα 9.3 Αν η F i παράγεται ελεύθερα από το S i (i = 1, 2) και S 1 = S 2, τότε F 1 = F2. Απόδειξη. Επειδή S 1 = S 2, υπάρχει 1 1 και επί απεικόνιση φ από το S 1 στο S 2. Εστω θ = φ 1 : S 2 S 1. Οι φ και θ επεκτείνονται µοναδικά στους οµοµορφισµούς φ : F 1 F 2 και θ : F 2 F 1, αντίστοιχα. Τότε, η θ φ είναι οµοµορφισµός από την F 1 στην F 1 που επεκτείνει τη θφ = Id S1. Επειδή η Id F1 επεκτείνει την θφ, έχουµε, λόγω µοναδικότητας, ότι θ φ = Id F1. Οµοια

9.1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΟΜΑ ΑΣ 203 αποδεικνύεται ότι φ θ : F 2 F 2 είναι η ταυτοτική απεικόνιση Id F2. Ετσι, η φ είναι ισοµορφισµός και άρα, F 1 = F2. Αν S = n <, συµβολίζουµε την F ως F n. Η οµάδα F n ονοµάζεται ελεύθερη οµάδα ϐαθµίδας n. Από το Λήµµα 9.3, έπεται ότι η F n είναι µοναδική µέχρι ισοµορφίας. Στο παρακάτω αποτέλεσµα ϑα δώσουµε µία κατασκευή ελεύθερης οµάδας F (X) από τυχαίο σύνολο X. Από το Λήµµα 9.3 έπεται ότι η F (X) είναι µοναδική µέχρι ισοµορφίας. Θεώρηµα 9.1 Για κάθε σύνολο X υπάρχει οµάδα F (X) ελεύθερα παραγόµενη από το X. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα σε τρία ϐήµατα. 1. Κατασκευή του συνόλου F (X). Θεωρούµε ένα αντίγραφο του X, X = {x : x X} (αργότερα τα στοιχεία του X ϑα τα ονοµάσουµε αντίστροφα των στοιχείων του X) και έστω X ± = X X. Προφανώς, X X =. Σχηµατίζουµε το ελεύθερο µονοειδές W πάνω από το X ±, δηλαδή, το σύνολο των «λέξεων» από το X ± εφοδιασµένο µε τη πράξη της παράθεσης. Εστω W n = X ±... X ± }{{} n παράγοντες το σύνολο των «λέξεων» µήκους n 0 µε στοιχεία από το X ±. Ετσι, W 0 αποτελείται από το ( ), η κενή λέξη που γράφεται µε e, W 1 = {(x) : x X ± }, W 2 = {(x, y) : x, y X ± },.... Κατά την διάρκεια της παρούσας παραγράφου οποιαδήποτε «λέξη» (x 1,..., x n ) ϑα συµβολίζεται µε x 1... x n, όπου x 1,..., x n X ±. Ετσι, αν u = x 1... x n W n και v = y 1... y m W m, τότε ορίζουµε uv να είναι η x 1... x n y 1... y m. Για κάθε u, w W, ϑα γράφουµε u w αν και µόνο αν υπάρχουν α, β W έτσι, ώστε u = αxxβ και w = αβ για κάποιο x X ή u = αxxβ και w = αβ για κάποιο x X. Για κάθε ϑετικό ακέραιο κ, ϑα γράφουµε u κ w αν και µόνο αν υπάρχουν u 1,..., u κ W έτσι, ώστε u u 1... u κ w. Με τον συµβολισµό u w ϑα εννοούµε ότι είτε u = w είτε υπάρχει ϑετικός ακέραιος κ έτσι, ώστε u κ w. Μία λέξη u W τη λέµε ανηγµένη (reduced) αν δεν περιέχει παράγοντα της µορφής xx ή της µορφής xx µε x X. Στο W ορίζουµε µία σχέση R ως εξής : Εστω u, v W. Θα γράφουµε u v (mod R) αν και µόνο αν υπάρχει w W έτσι, ώστε u w και v w. Ισχυριζόµαστε ότι R είναι σχέση ισοδυναµίας. Η R εξ ορισµού είναι ανακλαστική και συµµετρική. Για να δείξουµε ότι η R είναι µεταβατική χρειαζόµαστε το παρακάτω ϐοηθητικό αποτέλεσµα. Λήµµα 9.4 Εστω u, u, u W. Αν u u και u u, τότε υπάρχει w W τέτοιο, ώστε u w και u w. Προς στιγµήν, υποθέτουµε ότι ισχύει το Λήµµα 9.4. Εστω u v (mod R) και v w (mod R). Τότε, υπάρχει v W και w W έτσι, ώστε

204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α u v, v v και v w, w w. Από το Λήµµα 9.4, υπάρχει w W έτσι, ώστε v w, w w. Άρα, u v w και w w w. Συνεπώς, u w (mod R). Απόδειξη του Λήµµατος 9.4. Από τον ορισµό της σχέσης, αρκεί να δείξου- µε ότι : αν u u 1 και u u 2, τότε υπάρχει w W τέτοιο, ώστε u 1 w και u 2 w. Επειδή u u 1, έχουµε ότι u = αxxβ και u 1 = αβ ή u = αxxβ και u 1 = αβ µε x X. Υποθέτουµε ότι ισχύει η πρώτη αναγωγή. Τότε, η αναγωγή u u 2 ϑα γίνεται είτε στο αx είτε στο xβ. Αν η αναγωγή u u 2 γίνεται στο αx, τότε δύο τινά ϑα συµβαίνουν είτε η αναγωγή ϑα γίνεται στο α είτε α = α x. Αν η αναγωγή γίνεται στο α, τότε ϑα έχουµε ότι α = α 1 yyα 2 ή α = α 1 yyα 2 και u 2 = α 1 α 2 xxβ. Θέτοντας w = α 1 α 2 β, τότε α 1 yyα 2 β w, u 1 = αβ, α 1 yyα 2 β και u 2 = α 1 α 2 xxα 2 β α 1 α 2 β = w. Ας υποθέσουµε ότι α = α x και ότι η αναγωγή u u 2 είναι η u = α (xx)xβ a xβ = u 2, τότε u 1 = u 2 και δεν έχουµε παρά να πάρουµε w = u 1 = u 2. ουλεύουµε ακριβώς ανάλογα, αν η αναγωγή u u 2 γίνεται στη λέξη xβ καθώς επίσης και στην περίπτωση u = αxxβ, u 1 = αβ. Ετσι, η σχέση R είναι σχέση ισοδυναµίας πάνω στο σύνολο W. Παρατη- ϱούµε ότι αν u v, τότε u v (mod R) (επειδή η R είναι ανακλαστική). Εστω v W µία ανηγµένη λέξη. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν u v (mod R), τότε u v. Ετσι, κάθε κλάση ισοδυναµίας περιέχει τουλάχιστον µία ανηγµένη λέξη. Ας υποθέσουµε ότι u 1, u 2 είναι ανηγµένες λέξεις και ανήκουν στην ίδια κλάση. Τότε, u 1 u 2 (mod R) και έτσι, u 1 u 2. Συνεπώς, u 1 = u 2. Άρα, η ανηγµένη λέξη σε κάθε κλάση συζυγίας είναι µοναδική. Συµβολίζουµε µε W n το σύνολο των ανηγµένων λέξεων µήκους n και ορίζουµε F (X) = W / = n 0 W n. (Ουσιαστικά τα σύνολα F (X) και n 0 W n έχουν τον ίδιο πληθικό αριθµό. Επειδή όµως ϑα δουλέψουµε µε ανηγµένες λέξεις καταχρηστικά δεχόµαστε ότι τα σύνολα είναι ίσα.) 2. Το σύνολο πηλίκο F (X) δοµείται σε οµάδα. Ο «πολλαπλασιασµός» που ορίζεται στο F (X) είναι ένας συνδυασµός της «παράθεσης» και της «αναγραφής». Εστω a = x 1... x λ W λ και b = y 1... y m W m. Γράφουµε µε A a,b το σύνολο των κ N έτσι, ώστε οι x λ y 1,..., x λ κ+1 y κ δεν είναι ανηγµένες λέξεις. ( ηλαδή, για κάθε i = 0,..., κ 1, x λ i y i+1 είναι της µορφής xx ή xx για κάποιο x X.) Αν A a,b =, τότε ορίζουµε ab = x 1... x λ y 1... y m. Υποθέτουµε ότι A a,b και έστω r = min A a,b. Τότε, ϑέτουµε ab = x 1... x λ r y r+1... y m. Προφανώς, ab W λ+m 2r και r min{λ, m}. Η κενή λέξη e είναι το ουδέτερο στοιχείο του «πολλαπλασιασµού». Για κάθε ανηγµένη λέξη a = x 1... x m, ορίζουµε a 1 = x m... x 1 και x = x, όταν x X. Εστω a, b, ab, όπως προηγουµένως, και έστω c = z 1... z n W n, bc = y 1... y m s z s+1... z n W m+n 2s. Ισχυριζόµαστε ότι (ab)c = a(bc). Αν κάποιο από τα a, b ή c είναι ίσο µε e, τότε η προσεταριστική ιδιότητα ισχύει. Ετσι, υποθέτουµε ότι οι λέξεις είναι διαφο- ϱετικές από την κενή λέξη, δηλαδή, λ, m, n 1. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις :

9.1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΟΜΑ ΑΣ 205 (αʹ) r + s < m. Στην περίπτωση αυτή, έχουµε ότι (ab)c = a(bc) = x 1... x λ r y r+1... y m s z s+1... z n W m+n 2s. (ϐʹ) r + s = m. Στην περίπτωση αυτή, (ab)c = a(bc) = x 1... x λ r z s+1... z n. Σηµειώστε ότι η παραπάνω λέξη δεν είναι απαραίτητα ανηγµένη (για παράδειγµα, y r+1 z s = xx, z s+1 = x και x λ r = x). (γʹ) r + s > m. Θέτουµε β = y 1... y m s, γ = y m s+1... y r, δ = y r+1... y m, α = x 1... x λ r, ε = z s+1... z n. Σηµειώστε ότι το µήκος της γ είναι 1. Τότε, b = βγδ (λόγω της περίπτωσης r + s < m), a = αγ 1 β 1 και c = δ 1 γ 1 ɛ. Άρα, (ab)c = (αδ)(δ 1 γ 1 ε) = α(γ 1 ε), και a(bc) = (αγ 1 β 1 )(βε) = (αγ 1 )ε. Επειδή οι α και γ 1 είναι γειτονικές λέξεις της ανηγµένης λέξης a, δεν υπάρχουν διαγραφές σχηµατίζοντας το γινόµενο τους. Οµοια, για τις λέξεις γ 1 και ε στο γινόµενο της c. Εποµένως, α(γ 1 ε) = (αγ 1 )ε (από την περίπτωση r + s < m). 3. Η F (X) παράγεται ελεύθερα από το X. Ταυτίζουµε το W 1 = W 1 = X ±. Τότε, x = x 1 µε x X και έτσι, x 1 xy = y και (xy) 1 = y 1 x 1 για όλα τα x, y X. Ορίζουµε την έννοια του µήκους µιας λέξης. Ετσι, για w W n, η w έχει µήκος n και γράφουµε q(w) = n. Η έννοια του µήκους είναι καλά ορισµένη, λόγω της µοναδικότητας της ανηγµένης λέξης. Παρατηρούµε ότι X F (X) και η οµάδα που παράγεται από το X περιέχει το X 1 = {x 1 : x X}. Συνεπώς, W n X για όλα τα n και άρα, το X παράγει την F (X). Μένει να δείξουµε την καθολική ιδιότητα. Εστω G µία οµάδα και θ : X G. Ορίζουµε θ ως εξής : θ (e) = e, θ (x) = θ(x), θ (x 1 ) = θ(x) 1 για όλα τα x X και θ (x 1... x λ ) = θ (x 1 )... θ (x λ ) για x 1... x λ W λ. Προφανώς, η θ επεκτείνει την θ. Επειδή το X παράγει την F (X), υπάρχει το πολύ ένας οµοµορφισµός µε αυτή την ιδιότητα. Ι- σχυριζόµαστε ότι θ (ab) = θ (a)θ (b) για όλα τα a, b F (X). Αρκεί να ϑεωρήσουµε τα a, b και ab όπως στο ϐήµα 2. Για κάθε i {1,..., r}, η λέξη x λ i+1 y i δεν είναι ανηγµένη (προκύπτει από τον ορισµό του ab). Συνεπώς, y i = x 1 λ i+1 και θ (y i ) = θ(x λ i+1 ) 1 για όλα τα i (από τον ορισµό του θ στις λέξεις µήκους 1). Από τον ορισµό της θ πάνω στις λέξεις µε µήκος µεγαλύτερο του 1, έχουµε ότι θ (a) 1 θ (ab)θ (b) 1 = θ (x λ ) 1... θ (x λ r+1 ) 1 θ (y r ) 1... θ (y 1 ) 1 = θ (y 1 )... θ (y r )θ (y r ) 1... θ (y 1 ) 1 = e.

206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α Ως συνέπειες της απόδειξης του Θεωρήµατος 9.1 είναι τα παρακάτω αποτελέσµατα. Πόρισµα 9.3 Εστω F µία οµάδα και X ένα υποσύνολο της F. προτάσεις είναι ισοδύναµες. Οι παρακάτω 1. Η οµάδα F είναι ελεύθερη πάνω από το σύνολο X. 2. Για την οµάδα F ισχύουν (αʹ) το X παράγει την F και (ϐʹ) κάθε ανηγµένη λέξη µε ϑετικό µήκος είναι διαφορετική από την e. Με άλλα λόγια, αν w είναι µία λέξη πάνω από το X και w = e, τότε η w περιέχει xx 1 ή x 1 x για κάποιο x X. Εστω F µία ελεύθερη οµάδα µε σύνολο ελεύθερων γεννητόρων X µε X 2. Τότε, από το Πόρισµα 9.3, κάθε µη τετριµµένο στοιχείο της F γράφεται µοναδικά x µ 1 i 1... x µκ i κ, µε x i1,..., x iκ X, i λ i λ+1 για λ = 1,..., κ 1 και τα µ 1,..., µ λ είναι µη µηδενικοί ακέραιοι αριθµοί. Πόρισµα 9.4 Εστω F ελεύθερη οµάδα µε σύνολο ελεύθερων γεννητόρων X. Τότε, κάθε απεικόνιση ϑ : X F επεκτείνεται σε οµοµορφισµό της F. Η επόµενη πρόταση µάς δίνει τη σχέση που συνδέει µια οµάδα G µε µία ελεύθερη οµάδα. Πρόταση 9.1 Κάθε οµάδα είναι ισόµορφη µε µία οµάδα πηλίκο κάποιας ελεύθε- ϱης οµάδας. Απόδειξη. Εστω G µία οµάδα και X ένα σύνολο γεννητόρων της. Θεωρούµε την ελεύθερη οµάδα F πάνω από το σύνολο X και έστω θ : F G η επέκταση της θ : X G µε θ(x) = x για κάθε x X. Επειδή η G παράγεται από το X, η θ είναι επιµορφισµός. Αν N = Kerθ, τότε, από το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών, G = F/N. Παρατήρηση 9.1 Εστω F η ελεύθερη οµάδα µε σύνολο ελεύθερων γεννητόρων X και έστω π Sym(X). Θεωρούµε π : X F. Από το Πόρισµα 9.4, η π επεκτείνεται σε ενδοµορφισµό της F. Τότε, η π είναι αυτοµορφισµός της F (γιατί ;). 9.2 Ιδιότητες της ελεύθερης οµάδας Θυµίζουµε ότι µία οµάδα G ονοµάζεται ελεύθερη στρέψης (torsion-free) αν το µόνο στοιχείο της που έχει πεπερασµένη τάξη είναι το ουδέτερο. Εστω X ένα σύνολο και F (X) η ελεύθερη οµάδα πάνω από το X. Μία ανηγµένη λέξη a = x 1... x κ, x i X ±, 1 i κ, ονοµάζεται κυκλικά ανηγµένη αν x κ x 1 1. Επειδή X X =, κάθε λέξη µήκους 1 είναι κυκλικά ανηγµένη.

9.2. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΟΜΑ ΑΣ 207 Λήµµα 9.5 Για κάθε ανηγµένη λέξη a F (X) µήκους q(a) 1, ισχύει q(a n ) > q(a n 1 ) για κάθε ϑετικό ακέραιο n. Απόδειξη. Εστω a = x 1... x ν µία ανηγµένη λέξη µήκους q(a) = ν 1. Αν q(a) = 1, τότε a = x 1 X ±. Τότε, από το Πόρισµα 9.2 (για S = X ή S = X), q(a n ) > q(a n 1 ). Συνεπώς, υποθέτουµε ότι q(a) = ν 2. Εστω a 2 = aa = x 1... x ν r x r+1... x ν και έτσι, q(a 2 ) = 2q(a) 2r. Πόσο µεγάλο µπορεί να είναι το r ; Προφανώς, r = 0 αν και µόνο αν η a είναι κυκλικά ανηγµένη. Υποθέτουµε ότι η a δεν είναι κυκλικά ανηγµένη και έτσι, r 1. ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : 1. Εστω q(a) = ν = 2k +1. Τότε, r k, γιατί διαφορετικά (r k +1), έχουµε ότι x k+1 = x 1 k+1 (ή ισοδύναµα x2 k+1 = e), που είναι αδύνατο (επειδή η a είναι ανηγµένη ή από το Πόρισµα 9.3 ή επειδή X X = ). 2. Εστω q(a) = ν = 2k. Τότε, πρέπει να ισχύει r < k, γιατί διαφορετικά (r k), έχουµε ότι x k = x 1 k+1 (ή ισοδύναµα, x k+1x k = e), που είναι άτοπο (επειδή η a είναι ανηγµένη ή επειδή X X = ). Άρα, 1 r [ q(a) 2 ] < q(a) και έτσι, a2 e. Εχοντας υπόψη τα διαγραφέντα στοιχεία στην έκφραση του a 2, η a γράφεται u 1 âu, όπου u 1 = x 1... x r και â = x r+1... x ν r, µε â e και x r+1 x 1 ν r. Επειδή x r+1 x 1 ν r, η â είναι κυκλικά ανηγµένη. Για n N, a n = u 1 ( â ) n u, και αφού ( â ) n είναι κυκλικά ανηγµένη (προκύπτει εύκολα από τον ορισµό της â) έπεται ότι q(a n ) = nq( â ) + 2r > (n 1)q( â ) + 2r = q(a n 1 ). Παρατήρηση 9.2 Από την απόδειξη του παραπάνω Λήµµατος έπεται ότι κάθε ανηγµένη λέξη a µε µήκος q(a) 2 γράφεται ως u 1 âu, όπου u F (X) και â κυκλικά ανηγµένη λέξη µε q( â ) 1. Να σηµειώσουµε ότι κάθε ανηγµένη λέξη a µε ϑετικό µήκος γράφεται στην παραπάνω µορφή. Αν a X ±, τότε τετριµµένα a = e 1 ae. Πόρισµα 9.5 Η F (X) είναι ελεύθερη στρέψης. Απόδειξη. Από το Λήµµα 9.5 έπεται ότι κάθε στοιχείο της F (X) \ {e} έχει µη πεπερασµένη τάξη. Με άλλα λόγια, η F (X) είναι ελεύθερη στρέψης. Πρόταση 9.2 Εστω F (X) ελεύθερη οµάδα πάνω από το µη κενό σύνολο X. 1. Εστω a, b F (X) µε ab = ba. Τότε, υπάρχει c F (X) έτσι, ώστε a = c k και b = c h για κάποια k, h Z. 2. Αν a, b F (X) και a n = b n για κάποιο n, τότε a = b. 3. Εστω w F (X). Τότε, το σύνολο των a F (X) έτσι, ώστε a n = w για κάποιο n N είναι πεπερασµένο. 4. Αν a h b k = b k a h για a, b F (X) και h, k Z\{0}, τότε a και b είναι δυνάµεις ενός κοινού στοιχείου.

208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α 5. Για κάθε a F (X) \ {e}, ο κεντροποιητής του a στην F (X), Απόδειξη. είναι άπειρη κυκλική οµάδα. C F (X) (a) = {w F (X) : aw = wa}, 1. Χρησιµοποιούµε επαγωγή πάνω στο q(a) + q(b). Αν q(a) + q(b) = 1, τότε ή a = e ή b = e και το αποτέλεσµα είναι προφανές. Αν q(a) + q(b) > 1 και είτε a = e και b = e, τότε το αποτέλεσµα πάλι ισχύει. Ετσι, µπορούµε να υποθέσουµε ότι a e b. Γράφουµε a = x 1... x κ και b = y 1... y m και λόγω συµµετρίας του επιχειρήµατος υποθέτουµε ότι q(a) = κ q(b) = m. Θεωρούµε ab και ba σε ανηγµένη µορφή και επειδή ab = ba, έχουµε ότι x 1... x κ r y r+1... y m = y 1... y m s x s+1... x κ, όπου 0 r, s min{κ, m} = κ. Να παρατηρήσουµε ότι q(ab) = κ r + m r και q(ba) = κ s + m s. Επειδή q(ab) = q(ba), έχουµε ότι r = s. Ετσι, x 1... x κ r y r+1... y m = y 1... y m r x r+1... x κ, όπου 0 r min{κ, m} = κ. (αʹ) Εστω r = 0. Τότε, είναι εύκολο να δειχθεί ότι x i = y i, 1 i κ. Ετσι, b = au µε q(u) = m κ < m και q(a) + q(u) < q(a) + q(b). Αλλά, au = b = a 1 ab = a 1 ba = a 1 aua = ua. Από την επαγωγική µας υπόθεση, έχουµε ότι a και u είναι δυνάµεις κάποιου c F (X). Το ίδιο συµβαίνει και για το b. (ϐʹ) Υποθέτουµε ότι r = κ. Τότε, y i = x 1 κ i+1, i = 1,..., κ και b = a 1 u µε q(u) = m κ < m. Οπως στην περίπτωση r = 0, a 1 u = ua 1. Πράγµατι, a 1 u = b = baa 1 = aba 1 = a(a 1 u)a 1 = ua 1. Ετσι, από την επαγωγική υπόθεση, a 1 και u είναι δυνάµεις κάποιου c F (X). Το ίδιο συµβαίνει και για το b. (γʹ) Τέλος, έστω 0 < r < κ. Στην περίπτωση αυτή, x 1 = y 1, x κ = y m, x κ = y1 1 και y m = x 1 1. Οπότε, a = x 1a x 1 1 και b = x 1 b x 1 1 µε q(a ) = κ 2 και q(b ) = m 2. Ετσι, η ab = ba δίνει ότι a b = b a. Από την επαγωγική µας υπόθεση, τα a, b είναι δυνάµεις κάποιου c και εποµένως, τα a, b είναι δυνάµεις του c = x 1 c x 1 1.

9.2. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΟΜΑ ΑΣ 209 2. Γράφουµε a = u 1 âu, b = v 1 bv όπου â και b είναι κυκλικά ανηγµένες λέξεις και q(u) = r, q(v) = s (από την Παρατήρηση 9.2). Επειδή q(a n ) = nq( â ) + 2r και έχουµε ότι q(b n ) = nq( b ) + 2s, nq( â ) + 2r = nq( b ) + 2s. Επειδή a n = b n, έχουµε ότι και a 2n = b 2n. Εποµένως, 2nq( â ) + 2r = 2nq( b ) + 2s. Λόγω του ότι nq( â ) + 2r = nq( b ) + 2s, έχουµε ότι q( â ) = q( b ) και r = s. Αφού στην εξίσωση u 1 ( â ) n u = v 1 ( b ) n v δεν υπάρχουν διαγραφές έπεται ότι u = v και â = b. Εποµένως, a = b. 3. Εστω w F (X) και έστω A w = {a F (X) : a n = w για κάποιο n N}. Εστω a A w και n N έτσι, ώστε a n = w. Αν w = e, τότε a = e (από το Πόρισµα 9.5). Εποµένως, υποθέτουµε ότι w e. Γράφουµε a = u 1 âu, όπου â είναι κυκλικά ανηγµένη (δες Παρατήρηση 9.2). Αφού w e και a n = w, έχουµε ότι a e και â e. Επειδή q(a n ) = nq( â ) + 2r = q(w), έχουµε ότι n q(w). Επειδή το w είναι σταθερό στοιχείο του F (X) \ {e}, όλες οι επιλογές του n ϕράσσονται από το q(w). Επίσης, για κάθε επιλογή τέτοιου n, το w είναι n-οστή δύναµη το πολύ ενός στοιχείου του F (X) (από την Πρόταση 9.2(2) ). Άρα, το σύνολο A w είναι πεπερασµένο. 4. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, µπορούµε να υποθέσουµε ότι h, k είναι ϑετικοί ακέραιοι. Τότε, a h = b k a h b k = (b k ab k ) h και έτσι, a = b k ab k (από την Πρόταση 9.2(2) ). Ετσι, b k = ab k a 1 = (aba 1 ) k και εποµένως, b = aba 1 (από την Πρόταση 9.2(2) ). Άρα, ab = ba και το αποτέλεσµα προκύπτει από την Πρόταση 9.2(1). 5. Πρώτα από όλα, ϑα αποδείξουµε ότι ο κεντροποιητής είναι αβελιανή οµάδα. ηλαδή, πρέπει να δείξουµε ότι αν u, v C F (X) (a), µε a F (X)\{e}, τότε uv = vu. Για να αποφύγουµε τις τετριµµένες περιπτώσεις, υποθέτουµε ότι ua = au, va = av και ότι u e v. Από την Πρόταση 9.2(1), υπάρχουν b, d F (X) και p, q, r, s Z έτσι, ώστε u = b p, a = b q, a = d r και v = d s. Αλλά, b q και d r µετατίθενται (επειδή a 2 = b q d r = d r b q ). Από την Πρόταση 9.2(4) έπεται ότι υπάρχει c F (X) και h, k Z έτσι, ώστε b = c h και d = c k. Άρα, u = c hp και v = c ks. Συνεπώς, uv = vu και έτσι, η C F (X) (a) είναι αβελιανή.

210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α Στη συνέχεια, ϑα δείξουµε ότι η C F (X) (a) είναι κυκλική. Επειδή e a C F (X) (a), από το Λήµµα 9.5 (ή από το Πόρισµα 9.5), έχουµε ότι C F (X) (a) δεν είναι πεπερασµένο σύνολο. Εστω d C F (X) (a) \ {e} µε το µικρότερο σµήκος q(d) και έστω v C F (X) (a). Ισχυριζόµαστε ότι v είναι δύναµη του d. Αφού τα d και v µετατίθενται, υπάρχει w F (X) έτσι, ώστε d = w h και v = w k µε h, k Z. Επειδή va = av, έχουµε ότι w k µετατίθεται µε το a. Από την απόδειξη της Πρότασης 9.2(4), w C F (X) (a). Γράφουµε w = x 1 x 2... x m, x i X ±, 1 i m. Οπως στην απόδειξη του Λήµµατος 9.5, w 2 = x 1... x m r x r+1... x m µε 0 r [ m 2 ]. Επίσης, προκύπτει ότι w = u 1 ŵu, όπου u 1 = x 1 x 2... x r και ŵ = x r+1... x m r µε ŵ e και x r+1 x 1 m r. ηλαδή, η ŵ είναι κυκλικά ανηγµένη. Παρατηρούµε ότι q(w) = q( ŵ ) + 2r. Αλλά, q(d) = q(w h ) = h q( ŵ ) + 2r = h q( ŵ ) + q(w) q( ŵ ) = ( h 1)q( ŵ ) + q(w), όπου h 0, καθώς d e. Αφού w C F (X) (a) και λόγω του ότι q(d) είναι το µικρότερο µήκος, έπεται ότι h = 1 και έτσι, v = d ±k. Θυµίζουµε ότι αν a = x 1... x λ F (X), µε x i X ±, i = 1,..., λ, τότε η a µπορεί να γραφεί (µοναδικά) ως x ε 1 i 1... x εm i m µε ε j = ±1, j = 1,..., m, όπου ή i k i k+1 ή i k = i k+1 και ε k = ε k+1. Ετσι, το x ±1 i j µπορεί να εµφανισθεί στο γινόµενο του a περισσότερο από µία ϕορά. Από εδώ και στο εξής, ϑεωρούµε ότι το σύνολο X έχει πεπερασµένο πληθικό αριθµό n. Ετσι, ϑα γράφουµε F n αντί F (X). Με άλλα λόγια, ϑα συµβολίζουµε µε F n την ελεύθερη οµάδα µε ϐαθµίδα n, ελεύθερα παραγόµενη από το σύνολο X = {x 1,..., x n }. Για j {1,..., n}, συµβολίζουµε µε d j (a) το άθροισµα των εκθετών του x j που εµφανίζονται στη λέξη a. Στην περίπτωση που x j δεν εµφανίζεται στην a, ορίζουµε d j (a) = 0. Να παρατηρήσουµε ότι ο ορισµός του d j δεν αλλάζει για όλα τα στοιχεία που ανήκουν στη κλάση του a. Η παρακάτω πρόταση µάς δίνει ικανή και αναγκαία συνθήκη για το πότε µία λέξη ανήκει στην οµάδα µεταθέτη F n της F n. Πρόταση 9.3 Εστω w F n. Τότε, w F n αν και µόνο αν d j(w) = 0 για όλα τα j = 1,..., n. Απόδειξη. Εστω w F n. Θα δείξουµε ότι d j(w) = 0 για όλα τα j = 1,..., n. Παρατηρούµε ότι αν w = (w 1, w 2 ) = w1 1 w 1 2 w 1w 2, τότε d j (w) = 0 για όλα

9.2. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΟΜΑ ΑΣ 211 τα j = 1,..., n. Επειδή η F n παράγεται από όλους τους µεταθέτες (u, v) µε u, v F n, έχουµε ότι d j (w) = 0 για όλα τα j = 1,..., n. Αντίστροφα, έστω w = x α 1 i 1... x αm i m F n µε i κ i κ+1, κ = 1,..., m 1, α j Z, j = 1,..., m και d i (w) = 0 για όλα τα i = 1,..., n. ουλεύοντας modulo F n, έχουµε ότι wf n = x β 1 1... xβn n F n. Επειδή d i(w) = 0 για όλα τα i, έχουµε ότι wf n = F n και έτσι, w F n. Πόρισµα 9.6 Η F n /F n είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας n. Απόδειξη. Η F n είναι ελεύθερη οµάδα ϐαθµίδας n, ελεύθερα παραγόµενη από το σύνολο X = {x 1,..., x n }. Για κάθε i {1,..., n}, έστω C i = a i µία άπειρη κυκλική οµάδα παραγόµενη από το a i. Θεωρούµε το ευθύ γινόµενο A = n C i. i=1 Η οµάδα A είναι ελεύθερη αβελιανή ϐαθµίδας n. Ισχυριζόµαστε ότι οι οµάδες F n /F n και A είναι ισόµορφες. Πράγµατι, έστω φ : X G µε φ(x i) = a i, i = 1,..., n. Επειδή η F n είναι ελεύθερη στο X, η φ επεκτείνεται µοναδικά σε οµοµορφισµό φ : F n A. Επειδή το σύνολο {a 1,..., a n } παράγει την A, η φ είναι επιµορφισµός. Από το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών, έχουµε ότι F n /Ker φ = A. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι F n Ker φ. Εστω w Ker φ και γράφουµε w = x t 1 i1... x tm i m µε i κ i κ+1, κ = 1,..., m 1, t j Z, j = 1,..., m. Τότε, φ(w) = 0 και άρα, t i1 a i1 +... + t m a im = β 1 a 1 +... + β n a n = 0. Λόγω του ότι η A είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας n, έχουµε ότι β 1 =... = β n = 0. Με άλλα λόγια, d j (w) = 0 για όλα τα j {1,..., n}. Εποµένως, από την Πρόταση 9.3, έχουµε ότι w F n. Ενα από τα σηµαντικά αποτελέσµατα στις ελεύθερες οµάδες είναι το Θεώρηµα των Nielsen-Schreier. Σιωπηρά δεχόµαστε το αποτέλεσµα αυτό χωρίς απόδειξη. Για µια ολοκληρωµένη απόδειξή του, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο ([8, Chapter 2] ή στο [12, Chapter 6]). Θεώρηµα 9.2 ( Nielsen-Schreier) Εστω F ελεύθερη οµάδα και H υποοµάδα της F. Τότε, η H είναι ελεύθερη. Επιπλέον, αν F : H = m < και η ϐαθµίδα της F είναι πεπερασµένη n, τότε η ϐαθµίδα της H είναι ίση µε (n 1)m + 1. Αν H F, µε F : H =, και η H περιέχει µία µη τετριµµένη κανονική υποοµάδα, τότε η ϐαθµίδα της H είναι άπειρη. Μία οµάδα G λέµε ότι είναι n-παραγόµενη αν η G παράγεται από ένα σύνολο µε n στοιχεία. Εστω G µία n-παραγόµενη οµάδα και H µία υποοµάδα της G µε πεπερασµένο δείκτη m. Από το αποτέλεσµα των Nielsen-Schreier έπεται ότι η H είναι µια ((n 1)m + 1)-παραγόµενη οµάδα. Πράγµατι, από τη Πρόταση 9.1, υπάρχει επιµορφισµός ϑ n από την F n επί της G και έτσι, F n /Kerϑ n = G. Εστω H G µε G : H = m. Προφανώς, µπορούµε να υποθέσουµε ότι m 2.

212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α Εστω N < F n τέτοια, ώστε Kerϑ n N και N/Kerϑ n = H. Επειδή G : H = m, G = F n /Kerϑ n και H = N/Kerϑ n, έχουµε ότι F n : N = m. Πράγµατι, F n /Kerθ n = m g i (N/Kerθ n ), i=1 όπου g 1 = Kerθ n, g j = g j Kerθ n, g j / N, j = 2,..., m. Σχηµατίζουµε την ένωση m i=1 g in µε g 1 = 1. Επειδή g κ (N/Kerθ n ) g λ (N/Kerθ n ) = για κ λ, έχουµε ότι g κ N g λ N = για κ λ. Με άλλα λόγια, η ένωση m i=1 g in είναι ξένη. Θέτουµε K τη ξένη ένωση m i=1 g in και έστω f F n. Τότε, υπάρχει (µοναδικό) i {1,..., m}, h N και v Kerθ n έτσι, ώστε f = g i hv. Επειδή Kerθ n N, έχουµε ότι f g i N και έτσι, F n K. Με άλλα λόγια, F n : N = m. Από το αποτέλεσµα των Nielsen-Schreier, έχουµε ότι η N είναι ελεύθερη οµάδα µε ϐαθµίδα (n 1)m + 1 και εποµένως, η οµάδα πηλίκο H παράγεται από (n 1)m + 1 στοιχεία. Ετσι, έχουµε το παρακάτω αποτέλεσµα. Πόρισµα 9.7 Εστω G µία n-παραγόµενη οµάδα και H µία υποοµάδα της G µε G : H = m. Τότε, η H είναι ((n 1)m + 1)-παραγόµενη οµάδα. Μία οµάδα G ονοµάζεται Hopfian αν για κάθε γνήσια κανονική υποοµάδα N της G, η G δεν είναι ισόµορφη µε την οµάδα πηλίκο G/N. Ετσι, κάθε πεπερασµένη οµάδα είναι Hopfian. Εστω P µία ιδιότητα των οµάδων, παραδείγµατος χάρη, πεπερασµένη, ελεύθερη, αβελιανή, µηδενοδύναµη οµάδα. Μία οµάδα G ονοµάζεται παραµένουσα-p αν για κάθε g G \ {1 G }, υπάρχει οµάδα H µε την ιδιότητα P και ένας επιµορφισµός φ : G H έτσι, ώστε g / Kerφ. Στην επόµενη πρόταση ϑα διατυπώσουµε µερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες των ελεύθερων οµάδων. Για τις αποδείξεις τους παραπέµπουµε τον αναγνώστη στα [8, 12]. Πρόταση 9.4 Εστω F n η ελεύθερη οµάδα πεπερασµένης ϐαθµίδας n, µε n 2. 1. Η F n δεν µπορεί να παράγεται από λιγότερα από n στοιχεία. 2. Αν η F n παράγεται από ένα σύνολο X µε n στοιχεία, τότε το X είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της. 3. Η F n είναι Hopfian. 4. Η Aut(F n ) είναι πεπερασµένα παραγόµενη. 5. Εστω F n = H 1 > H 2 >... > H m >... µία γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία υποοµάδων της F n έτσι, ώστε H i είναι χαρακτηριστική υποοµάδα της H i 1 για κάθε i > 1. Τότε, m 1 H m = {1 Fn }. Συγκεκριµένα, η F n είναι παρα- µένουσα µηδενοδύναµη. 6. Η F n είναι παραµένουσα πεπερασµένη 2-οµάδα.

9.3. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ 213 9.3 Παράσταση οµάδων Εστω G µία οµάδα και G = {g α : α I} ένα σύνολο γεννητόρων της G, όπου I ένα σύνολο δεικτών. Εστω X ένα σύνολο µε X = G. Μπορούµε να πάρουµε ως X το σύνολο των συµβόλων x α, α I. Να σηµειώσουµε ότι στην απόδειξη της Πρότασης 9.1, ϑεωρήσαµε ως X το σύνολο G. Θεωρούµε την ελεύθερη οµάδα F = F (X) πάνω στο X και την απεικόνιση θ : X G µε θ(x α ) = g α για όλα τα α I. Επειδή η F είναι ελεύθερη επί του X, η θ επεκτείνεται σε έναν οµοµορφισµό θ : F G. Επειδή η G = G, η θ είναι επιµορφισµός. Θέτουµε N = Kerθ και έστω r N. Τότε, r = x ε 1 α 1... x εκ α κ, όπου α 1,..., α κ I και ε j = ±1, j = 1,..., κ, και θ (r) = g ε 1 α 1... g εκ α κ = 1 G. ( ) Η εξίσωση ( ) είναι µία σχέση µεταξύ των στοιχείων του G στην G. Ετσι, για κάθε στοιχείο της N ϑα έχουµε µία εξίσωση της µορφής ( ). Να παρατηρήσουµε ότι αν έχουµε µία εξίσωση της µορφής ( ) µεταξύ των γεννητόρων της G, τότε το στοιχείο x ε 1 α 1... x εκ α κ της F ανήκει στην υποοµάδα N, αφού θ (x ε 1 α 1... x εκ α κ ) = 1 G. Συνεπώς, το σύνολο των εξισώσεων της µορφής ( ) προσδιορίζει την υποοµάδα N και εποµένως, την οµάδα πηλίκο F/N, που είναι ισόµορφη µε την G. Εστω R ένα υποσύνολο της N που παράγει την N ως κανονική υποοµάδα της F. Με άλλα λόγια, N = R F = R = f 1 rf : r R, f F, η κανονική ϑήκη του R στην F. ηλαδή, η N = R είναι η µικρότερη κανονική υποοµάδα της F που περιέχει το R. Αν θ (r) = 1 G για κάθε r R, τότε θ (w) = 1 G για όλα τα w N. Η G είναι πλήρως καθορισµένη από το G και το R, αφού ϑέτοντας N = R F, έχουµε ότι G = F/N. Οι εξισώσεις θ (r) = 1 G για r R ονοµάζονται ορίζουσες σχέσεις της G ως προς το σύνολο γεννητόρων G, ενώ τα r R, για τα οποία θ (r) = 1 G, ονοµάζονται σχετιστές της G ως προς το σύνολο γεννητόρων G. Αν έχουµε ένα άλλο σύνολο γεννητόρων G 1 της G, τότε ϑα έχουµε ένα άλλο σύνολο οριζουσών σχέσεων και άλλο σύνολο σχετιστών. Η οµάδα G παριστάνεται ως G = X θ (r) = 1 G, r R ή, ταυτίζοντας τα στοιχεία του G µε τα αντίστοιχα στοιχεία του X, G = X r = 1 G, r R ή, ακόµη πιο απλά, G = X R. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν X είναι ένα µη κενό σύνολο, F = F (X), η ελεύθερη οµάδα πάνω στο X, R υποσύνολο της F και N = R, η κανονική ϑήκη του R στην F, τότε πάντα υπάρχει οµάδα G τέτοια, ώστε G = X R. Προφανώς, η οµάδα αυτή είναι η οµάδα πηλίκο F/N. Εστω G µία οµάδα που είναι ισόµορφη µε την οµάδα πηλίκο F/N. Με τον παραπάνω συµβολισµό, ϑα γράφουµε G = X R και την παράσταση αυτή της G την ονοµάζουµε ελεύθερη

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α παράσταση της G ή, απλά, παράσταση της G. Αυτή η γραφή αποδίδει ακριβώς τις εκφράσεις τα στοιχεία του X παράγουν την G, τα στοιχεία του R είναι ίσα µε το 1 G στην G και ότι η G είναι η «µεγαλύτερη» οµάδα µε αυτές τις ιδιότητες. Να σηµειώσουµε την κατάχρηση του συµβολισµού x( X) και r( R) ως στοιχεία της G. Στο κείµενο ϑα είναι ξεκάθαρο σε ποια οµάδα (F (X) ή G) δουλεύουµε. Τα στοιχεία του X ονοµάζονται γεννήτορες της G και τα στοιχεία του R ονοµάζονται ορίζουσες σχέσεις της G. Αν η οµάδα G είναι πεπερασµένα παραγόµενη, µπορού- µε να ϑεωρήσουµε ότι η F (X) έχει πεπερασµένη ϐαθµίδα. Ετσι, η G καλείται πεπερασµένα παραγόµενη αν έχει µία παράσταση όπου το X είναι πεπερασµένο, ενώ ονοµάζεται πεπερασµένα παριστώµενη αν έχει µία παράσταση όπου το X και το R είναι πεπερασµένα σύνολα. Παράδειγµα 9.1 Εστω G µία κυκλική οµάδα τάξης n. Αν g είναι ένας γεννήτορας της G, τότε G = g g n = 1 G. Πράγµατι, έστω F η ελεύθερη οµάδα πάνω από το σύνολο X = {x} και θ : X G µε θ(x) = g. Επειδή η F είναι ελεύθερη πάνω στο X, η θ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό θ : F G. Ετσι, θ (x κ ) = (θ (x)) κ = (θ(x)) κ = g κ για όλα τα κ Z. Εστω N = Kerθ. Τότε, N = x n και F/N = G. Το επόµενο αποτέλεσµα µάς δίνει µία αναγκαία συνθήκη για να κατασκευάζουµε οµοµορφισµό οµάδων. Λήµµα 9.6 Εστω F, G, H οµάδες και µ : F G, α : F H οµοµορφισµοί οµάδων τέτοιοι, ώστε 1. Imµ = G και 2. Kerµ Kerα. Τότε, υπάρχει οµοµορφισµός α : G H έτσι, ώστε α µ = α. ηλαδή, το παρακάτω διάγραµµα είναι µεταθετικό. F µ α G α H Απόδειξη. Για g G, διαλέγουµε f F τέτοιο, ώστε µ(f) = g. Τέτοιο f πάντα υπάρχει, διότι Imµ = G. Ορίζουµε α (g) = α(f). Η απεικόνιση α είναι καλά ορισµένη λόγω της ιδιότητας (2). Πράγµατι, µ(f ) = µ(f) αν και µόνο αν f 1 f Kerµ. Άρα, f 1 f Kerα λόγω της (2). Εποµένως, α(f ) = α(f). Ετσι, η τιµή α(f) είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του f µ 1 (g). Εστω g, g G και f, f F έτσι, ώστε µ(f) = g, µ(f ) = g. Αφού µ είναι οµοµορφισµός µ(ff ) = gg και, από τον ορισµό του α, α (gg ) = α(ff ). Επειδή α είναι οµοµορφισµός, έχουµε ότι α (gg ) = α(f)α(f ) = α (g)α (g ). Συνεπώς, α είναι οµοµορφισµός. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι α µ = α.

9.3. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ 215 Παρατηρήσεις 9.1 1. Εστω G = F (X)/N, όπου N είναι η κανονική ϑήκη του R F (X) και έστω ψ : X H µία απεικόνιση από το X σε µια οµάδα H. Τότε, η ψ «επεκτείνεται» σε οµοµορφισµό ψ : G H αν και µόνο αν r Ker ψ για κάθε r R, όπου ψ είναι ο οµοµορφισµός από την F (X) στην H που επεκτείνει την ψ. Εστω π : F (X) G ο κανονικός επιµορφισµός από την F (X) στην G. Αν r Ker ψ για κάθε r R, τότε N Ker ψ. Από το Λήµµα 9.6, έχουµε ότι υπάρχει ψ : G H έτσι, ώστε ψ π = ψ. Συνεπώς, ψ (xn) = ψ(x) = ψ(x) για όλα τα x X. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι ψ : G H είναι οµοµορφισµός που «επεκτείνει» την ψ και έστω g N. Επειδή ψ (N) = ψ (gn) = 1 H = ψ(g), έχουµε ότι g Ker ψ. 2. Εστω G = X R ( = F (X)/N) µία πεπερασµένα παριστώµενη οµάδα. Αν X = {x 1,..., x n } και R = {r 1,..., r m }, τότε γράφουµε και G = x 1,..., x n r 1 = 1 G,..., r m = 1 G. Αν r = 1 G είναι µία εξίσωση µεταξύ των γεννητόρων της οµάδας G και r = r1 1 r 2 (ως στοιχεία της F (X)), τότε αντί να γράφουµε r = 1 G µπορούµε να γράφουµε r 1 = r 2. Παραδείγµατα 9.1 1. Εστω G = a, b ababa = 1 G και έστω C = t η άπειρη κυκλική οµάδα µε γεννήτορα t. Θεωρούµε την απεικόνιση ψ : {a, b} C µε ψ(a) = t 2 και ψ(b) = t 3. Εστω F 2 η ελεύθερη οµάδα µε ελεύθερο σύνολο γεννητόρων {a, b} και έστω ψ ο οµοµορφισµός από την F 2 στην C µε ψ(a) = ψ(a) και ψ(b) = ψ(b). Τότε, ψ(ababa) = 1 C. Άρα, η ψ, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 9.1(1), «επεκτείνεται» σε οµοµορφισµό ψ από την G στην C. Εστω φ : {t} G η απεικόνιση µε φ(t) = ab. Επειδή η C είναι ελεύθερη πάνω στο σύνολο {t}, η φ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό φ : C G. Τότε, και Άρα, C = G ως οµάδες. (ψ φ )(t) = ψ (ab) = ψ (a)ψ (b) = ψ(a)ψ(b) = t 2 t 3 = t (φ ψ )(a) = φ (ψ(a)) = φ (t 2 ) = (ab) 2 = a (φ ψ )(b) = φ (ψ(b)) = φ (t 3 ) = (ab) 3 = b. 2. Θεωρούµε την οµάδα G = a, t t 1 at = a 2 και έστω ψ : {a, t} G µε ψ(a) = a 2 και ψ(t) = t. «Επεκτείνεται» η ψ σε ενδοµορφισµό της G; Εστω F 2 η ελεύθερη οµάδα µε ελεύθερο σύνολο γεννητόρων {a, b} και έστω ψ ο οµοµορφισµός από την F 2 στην G µε ψ(a) = ψ(a) και ψ(t) = t. Τότε, ψ(t 1 at) = (ψ(t)) 1 ψ(a)ψ(t) = t 1 a 2 t = (t 1 at) 2 = (a 2 ) 2 = ψ(a 2 ).

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α Συνεπώς, t 1 a 1 ta 2 Ker ψ. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση 9.1(1), η ψ «επεκτείνεται» σε ενδοµορφισµό της G. Το παρακάτω αποτέλεσµα µάς δίνει µια πληροφορία σχετικά µε την παράσταση της οµάδας πηλίκο. Πρόταση 9.5 (von Dyck) Αν G = X R και H = X S, όπου R S F (X), τότε υπάρχει επιµορφισµός φ : G H που σταθεροποιεί κάθε στοιχείο του X. Επιπλέον, η υποοµάδα Kerφ είναι ισόµορφη µε την οµάδα πηλίκο S/R. Κάθε οµάδα πηλίκο της G = X R έχει παράσταση X S µε R S. Απόδειξη. Θέτουµε G = F (X)/R και H = F (X)/S. Εστω µ : F (X) G και α : F (X) H οι κανονικοί επιµορφισµοί της F (X) πάνω στις οµάδες πηλίκο G και H, αντίστοιχα. Εφαρµόζουµε το Λήµµα 9.6 µε F = F (X), G = F (X)/R και H = F (X)/S. Αφού η µ είναι επί και Kerµ = R S = Kerα, υπάρχει οµοµορφισµός φ : G H έτσι, ώστε φµ = α. Ουσιαστικά, φ(fr) = fs για όλα τα f F (X). Προφανώς, η φ είναι επί και σταθεροποιεί κάθε στοιχείο του X. Ισχυριζόµαστε ότι Kerφ = µ(kerα)(= µ(s)). Πράγµατι, έστω fr Kerφ µε f F (X). Τότε, fs = S, δηλαδή, f S = Kerα. Αλλά, µ(f) = fr µ(kerα). Συνεπώς, Kerφ µ(kerα). Αντίστροφα, έστω f Kerα. Τότε, fs = S και έτσι, φ(fr) = S. Με άλλα λόγια, fr Kerφ. Λόγω του ότι µ(f) = fr Kerφ, έχουµε ότι µ(kerα) Kerφ. Συνεπώς, Kerφ = µ(kerα). Εστω ψ ο κανονικός επιµορφισµός από την F/Kerµ στην F/Kerα, δηλαδή ψ(fkerµ) = fkerα για κάθε f F. Από το 3ο Θεώρηµα ισοµορφισµών, έχουµε ότι Kerψ = Kerα/Kerµ. Ισχυριζόµαστε ότι Kerψ = Kerφ. Επειδή Kerφ = µ(kerα), ορίζουµε µία απεικόνιση ξ από το Kerφ στο Kerψ ως εξής : ξ(µ(f)) = fkerµ για όλα τα f Kerα. Πρώτα από όλα, ϑα δείξουµε ότι η ξ είνα καλά ορισµένη. Εστω µ(f 1 ) = µ(f 2 ). Τότε, f1 1 f 2 Kerµ και έτσι, f 1 Kerµ = f 2 Kerµ. Προφανώς, η ξ είναι ισοµορφισµός οµάδων. Εποµένως, Kerφ = µ(s) = S/R. Εστω ότι η H = G/N και έστω χ η σύνθεση των κανονικών οµοµορφισµών F (X) G H. Τότε, R Kerχ και H = X Kerχ. Ετσι, η παράσταση της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας G προκύπτει από την παράσταση της οµάδας «προσθέτοντας» σχέσεις. Παράδειγµα 9.2 Εστω G = a, b a 3 = 1 G, b 2 = 1 G, (ab) 2 = 1 G. Θα δείξουµε ότι η G είναι ισόµορφη µε τη συµµετρική οµάδα S 3. Εστω F 2 η ελεύθερη οµάδα ϐαθµίδας 2 µε σύνολο ελεύθερων γεννητόρων {a, b}. Τότε, G = F 2 /R µε R = {a 3, b 2, (ab) 2 }. Εστω ψ : {a, b} S 3 η απεικόνιση από το {a, b} στην S 3 µε ψ(a) = (123) και ψ(b) = (12). Θέτουµε σ = (123) και π = (12). Είναι γνωστό (και εύκολο να δειχθεί) ότι η S 3 παράγεται από το σύνολο {σ, π}. Επειδή η F 2 είναι ελεύθερη πάνω από το {a, b}, η ψ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό ψ : F 2 S 3. Επειδή S 3 = σ, π, έχουµε ότι F 2 /Kerψ = S 3. Λόγω του ότι S 3 = 6, έχουµε ότι F 2 : Kerψ = 6. Παρατηρούµε ότι a 3, b 2, (ab) 2 Kerψ. Από την Παρατήρηση 9.1(1), η ψ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό ψ : G S 3. Επειδή S 3 = σ, π, η ψ είναι επιµορφισµός. Από την Πρόταση 9.5, η S 3 είναι µία οµάδα πηλίκο της G. Συνεπώς, η παράσταση της S 3 = a, b R 1, όπου R R 1. Από τις ορίζουσες σχέσεις της G, έχουµε ότι ab = (ab) 1 = b 1 a 1, a 1 = a 2, b 1 = b. Ετσι,

9.3. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ 217 ba = a 2 b από όπου προκύπτει ότι τα στοιχεία της G έχουν τη µορφή a κ b λ, όπου κ {0, 1, 2} και λ {0, 1}. Άρα, F 2 : R = 6. Επειδή F 2 /Kerψ = S 3, έχουµε ότι F 2 : Kerψ = 6. Λόγω του ότι F 2 : R = F 2 : Kerψ Kerψ : R, έχουµε ότι Kerψ : R = 1 και έτσι, Kerψ = R. Εποµένως, G = S 3. Το επόµενο αποτέλεσµα µάς δίνει έναν τρόπο για να αποδεικνύουµε ότι µία οµάδα είναι πεπερασµένα παριστώµενη. Πρόταση 9.6 Εστω G οµάδα και N κανονική υποοµάδα της G. Υποθέτουµε ότι N και G/N είναι πεπερασµένα παριστώµενες οµάδες. Τότε, η G είναι πεπερασµένα παριστώµενη οµάδα. Απόδειξη. Εστω ότι η N έχει γεννήτορες x 1,..., x m και σχέσεις r 1 = r 2 =... = r k = 1 G και έστω ότι η G/N έχει γεννήτορες y 1 N,..., y n N και σχέσεις s 1 =... = s t = 1 G/N. Προφανώς, η G παράγεται από τα x 1,..., x m, y 1,..., y n. Επιπλέον, υπάρχουν οι εξής σχέσεις στους παραπάνω γεννήτορες : r i (x) = 1 G, s j (y) = t j (x) (i = 1,..., k, j = 1,..., λ) y 1 x i y j = u ij (x), y j x i y 1 j = v ij (x) (i = 1,..., m, j = 1,..., n). Τα δύο τελευταία σύνολα σχέσεων εκφράζουν την κανονικότητα της N στην G. Εστω G η οµάδα µε γεννήτορες x 1,..., x m, y 1,..., y n και τις παραπάνω σχέσεις ως προς x i και y j. Από την Παρατήρηση 9.1 (ή από την Πρόταση 9.5) υπάρχει επιµορφισµός α : G G τέτοια, ώστε α(x i ) = x i και α(y j ) = y j. Εστω K = Kerα. Επειδή όλες οι σχέσεις µε x 1,..., x m είναι συνέπειες από τις σχέσεις r j (x) = 1 G, ο περιορισµός της α στην N = x 1,..., x m είναι ισοµορφισµός. Συνεπώς, K N = {1 G }. Αφού (y j ) 1 x i (y j ) και (y j )x i (y j ) 1 ανήκουν στην N, η N είναι κανονική στην G. Τώρα, ο α επάγει έναν επιµορφισµό α από την G/N στην G/N έτσι, ώστε α(y i /N) = y i N. Επειδή όλες οι σχέσεις ως προς y 1 N,..., y n N είναι συνέπεια των s j (yn) = 1 G/N, έχουµε ότι η α είναι ισοµορφισµός. Ετσι, K = {1 G } και G = G. ηλαδή, η G είναι πεπερασµένα παριστώµενη οµάδα. Μία πολύ ενδιαφέρουσα εφαρµογή της Πρότασης 9.6 είναι : αν η G έχει µία κανονική σειρά {1 G } = G 0 G 1... G i G i+1... G n = G έτσι, ώστε G i+1 /G i είναι κυκλική, τότε η G είναι πεπερασµένα παριστώµενη οµάδα. Ετσι, κάθε πολυ-κυκλική είναι µία πεπερασµένα παριστώµενη οµάδα. Το παρακάτω κριτήριο αντικατάστασης, ουσιαστικά, έχει διατυπωθεί και αποδειχθεί στην Παρατήρηση 9.1(1), «ϐλέποντας» την οµάδα G ως πηλίκο ελεύθερης οµάδας. Πρόταση 9.7 (Κριτήριο αντικατάστασης) Εστω G = X R, H µία οµάδα και θ : X H µία απεικόνιση. Τότε, η θ επεκτείνεται σε οµοµορφισµό θ : G H αν και µόνο αν, για όλα τα x X και όλα τα r R, το αποτέλεσµα της αντικατάστασης του x µε θ(x) στην r δίνει το ουδέτερο στοιχείο της H.

218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α Απόδειξη. Εστω F = F (X) = X. Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε εδώ ότι ϐλέπουµε τα X και R ως υποσύνολα της F. Υποθέτουµε ότι ισχύει η συνθήκη αντικατάστασης. Αφού η F είναι ελεύθερη στο X, η θ επεκτείνεται µοναδικά σε οµοµορφισµό θ : F H. Ετσι, θ (x) = θ(x) για όλα τα x X. Συνεπώς, η συνθήκη αντικατάστασης µπορεί να διατυπωθεί ως: R Kerθ. Εστω µ ο κανονικός επιµορφισµός από την F στην G. Να σηµειώσουµε ότι µ(x) = x για όλα τα x X. Τότε, R = Kerµ και η συνθήκη είναι ισοδύναµη µε : Kerµ Kerθ. Από το Λήµµα 9.6, υπάρχει οµοµορφισµός θ από την G στην H τέτοιος, ώστε θ µ = θ. Αντίστροφα, η ύπαρξη ενός τέτοιου οµοµορφισµού θ συνεπάγεται ότι: R R = Kerµ Ker(θ µ) = Kerθ. Πράγµατι, αν f Kerµ, τότε µ(f) = 1 G. Εποµένως, θ (µ(f)) = 1 H και έτσι, f Ker(θ µ). Να σηµειώσουµε εδώ ότι όταν ο θ υπάρχει, ο θ είναι µοναδικός, αφού το X παράγει την G. Επιπλέον, θ είναι επιµορφισµός αν και µόνο αν η H παράγεται από το θ(x). Η παρακάτω πρόταση µάς παρέχει µία µέθοδο για να «περνάµε» από µία δοθείσα παράσταση οµάδας G σε µία άλλη παράσταση της ίδιας οµάδας G. Πρόταση 9.8 (Μετασχηµατισµοί Tietze) Εστω F = X, G = X R και υποθέτουµε ότι w, r F µε r R \ R. Αν y είναι ένα σύµβολο που δεν ανήκει στο X, τότε οι απεικονίσεις χ 1 : X X R, r, µε χ 1 (x) = x για όλα τα x X, και χ 2 : X X, y R, y 1 w, µε χ 2 (x) = x για όλα τα x X, επεκτείνονται σε αυτοµορφισµοί της G. Απόδειξη. Θέτουµε G 1 = X R, r και G 2 = X, y R, y 1 w, όπου y / X και w F. Επειδή R = R {r}, έχουµε ότι G 1 = G. Για να δείξουµε ότι G 2 = G, αρκεί να δείξουµε ότι F (X)/R = F (X {y})/r y 1 w, που τετριµµένα ισχύει. Εστω χ 1 : X X R, r, µε χ 1 (x) = x για όλα τα x X, και χ 2 : X X, y R, y 1 w, µε χ 2 (x) = x για όλα τα x X. Από την Πρόταση 9.7 έπεται ότι οι απεικονίσεις χ 1 και χ 2 επεκτείνονται σε ενδοµορφισµοί της G. Για να δείξουµε ότι υπάρχουν οι αντίστροφες απεικονίσεις παρατηρούµε ότι οι απεικονίσεις ψ 1 : X X R, µε ψ 1 (x) = x για όλα τα x X, και ψ 2 : X {y} X R, µε ψ 2 (x) = x για όλα τα x X και ψ 2 (y) = w, επεκτείνονται σε ενδοµορφισµοί της G. Παρατηρώντας ότι ψ 1 χ 1 = χ 1 ψ 1 = Id G και ψ 2 χ 2 = χ 2 ψ 2 = Id G, όπου Id G είναι η ταυτοτική απεικόνιση στην G, έχουµε ότι οι χ 1 και χ 2 είναι αυτοµορφισµοί της G. Οι δύο αυτοµορφισµοί της Πρότασης 9.8 µαζί µε τους αντιστρόφους τους µάς δίνουν τέσσερις τρόπους αλλαγής µιας δοθείσης παράστασης της οµάδας G σε µια άλλη παράσταση της G ως εξής : 1. R+ : προσθέτοντας σχέση: X = X, R = R {r}, όπου r R \ R. 2. R : αφαιρώντας σχέση: X = X, R = R \ {r}, όπου r R R \ {r}. 3. X+ : προσθέτοντας γεννήτορα: X = X {y}, R = R {y 1 w}, όπου y / X και w F.

9.3. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ 219 4. X : αφαιρώντας γεννήτορα: X = X \{y}, R = R\{y 1 w}, όπου y X, w X \ {y} και y 1 w είναι το µόνο στοιχείο του R που έχει y. Παραδείγµατα 9.2 Συνήθως στην πράξη είναι δύσκολο να πάρουµε πληροφο- ϱίες για την οµάδα αν µάς δοθεί µία παράστασή της. Γενικά, δεν υπάρχει µια διαδικασία µε την οποία να µπορούµε να αποφασίζουµε αν η G έχει τάξη 1. Εστω G = X R και έστω w G. Το να αποφασίσουµε κατά πόσο το στοιχείο w είναι ίσο ή όχι µε το ουδέτερο στοιχείο 1 G της G (ή ισοδύναµα κατά πόσο δύο στοιχεία w 1 και w 2 της G είναι ίσα ή όχι) είναι ένα από τα τρία ϑεµελιώδη προβλήµατα της ϑεωρίας παραστάσεων οµάδων που διατυπώθηκαν από τον Max Dehn το 1911. Εστω G = X R µία παράσταση της οµάδας G. 1. (Λέξη) Εστω w G εκφρασµένο ως προς τους γεννήτορες X της G. Απο- ϕασίστε σε πεπερασµένο πλήθος ϐηµάτων κατά πόσο το w είναι το ουδέτερο στοιχείο της G ή όχι. 2. (Συζυγία) Εστω w 1, w 2 G εκφρασµένα ως προς τους γεννήτορες X της G. Αποφασίστε σε πεπερασµένο πλήθος ϐηµάτων κατά πόσο τα w 1 και w 2 είναι συζυγή ή όχι. 3. (Ισοµορφισµός) Εστω G 1 = X 1 R 1 µία οµάδα. Αποφασίστε σε πεπερασµένο πλήθος ϐηµάτων κατά πόσο η G είναι ισόµορφη µε την G 1 ή όχι. Στη συ- Και τα τρία παραπάνω προβλήµατα είναι άλυτα στη γενικότητά τους. νέχεια, δίνουµε κάποια παραδείγµατα. 1. Εστω G = x, y x 2 = y 2 = 1 G. Η οµάδα αυτή ονοµάζεται άπειρη διεδρική οµάδα D. Θέτουµε a = xy. Τότε, η G παράγεται από το {x, a} και x 1 ax = yx = a 1. Αντίστροφα, οι αρχικές σχέσεις x 2 = y 2 = 1 G είναι συνέπειες των σχέσεων x 2 = 1 G και x 1 ax = a 1. Πράγµατι, έστω x 2 = 1 G και x 1 axa = 1 G. Τότε, Ετσι, η G έχει την παράσταση y 2 = (x 1 a) 2 = x 1 ax 1 a = x 1 axa = 1 G. G = x, a x 2 = 1 G, x 1 ax = a 1. Από την παραπάνω παράσταση της G, µπορούµε να δείξουµε ότι η G = G = A X, όπου A = a είναι άπειρη κυκλική οµάδα, X = x τάξης 2 και η X δρα στην A ως (x) 1 a x = (a) 1. 2. Θεωρούµε την οµάδα von Dyck: D(λ, m, n) = x, y x λ = 1 D, y m = 1 D, (xy) n = 1 D, όπου λ, m, n είναι ϑετικοί ακέραιοι. Θα αποδείξουµε ότι D(λ, m, n) = D(n, m, λ).

220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α Εισάγουµε τον γεννήτορα a = xy και έτσι, a n = 1 D, x = ay 1 m(ay 1 ) λ = 1 D και η παράσταση γίνεται a, y a n = (ay 1 ) λ y m = 1 D. Αντικαθιστώντας το y 1 µε το b, έχουµε ότι a, b a n = (ab) λ = b m = 1 D. 3. (Η οµάδα Heisenberg) Η οµάδα Heisenberg G έχει την εξής παράσταση : G = a, b (a, b, a) = 1 G, (a, b, b) = 1 G. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι είναι µηδενοδύναµη κλάσης 2 και κάθε στοιχείο της γράφεται µε µοναδικό τρόπο a κ b λ (a, b) m, όπου κ, λ, m Z. Η παραπάνω οµάδα είναι ισόµορφη µε την οµάδα των άνω τριγωνικών 3 3 πινάκων µε ακέραια στοιχεία που στην κύρια διαγώνιο έχουν 1. Στο Κεφάλαιο 6, έχουµε δει την ταξινόµηση των πεπερασµένων παραγόµενων αβελιανών οµάδων µε την ϐοήθεια πινάκων µε ακέραιους συντελεστές, χωρίς να γίνει αναφορά στην παράσταση οµάδας. Στο τέλος της παρούσας ενότητας, ϑα δούµε την παράσταση αβελιανής οµάδας και ϑα την συνδέσουµε µε το Κεφάλαιο 6. Το επόµενο αποτέλεσµα αποδείχθηκε στο [Κεφάλαιο 6, Θεώρηµα 6.3]. Θεώρηµα 9.3 Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη αβελιανή οµάδα. Τότε, υπάρχουν µη αρνητικοί ακέραιοι κ, n και d i µε 1 i κ έτσι, ώστε d 1 d 2... d κ και G = C d1... C dκ C... C }{{. } n παράγοντες Επιπλέον, κ, n και d 1,..., d κ καθορίζονται πλήρως από την G. Για κάθε οµάδα G, γράφουµε G την οµάδα µεταθετών και G ab = G/G. Εστω X = {x 1,..., x r }, C = {(x i, x j ) : 1 i < j r}, r N, όπου το C µπορεί να ϑεωρηθεί ως υποσύνολο οποιασδήποτε οµάδας που παράγεται από το X. Η επόµενη πρόταση µάς δίνει µία παράσταση της G ab. Πρόταση 9.9 Αν G = X R, τότε G ab = X R, C. Απόδειξη. Η G ab είναι αβελιανή και µάλιστα πηλίκο της G. Από την Πρόταση 9.5, η G ab ϑα έχει παράσταση της µορφής X R, S για κάποιο R S. Αρκεί να δείξουµε ότι η κανονική ϑήκη C του C στην G είναι ίση µε την G. Αφού G/C είναι αβελιανή (γιατί (x i C, x j C) = C για όλα τα i, j), έχουµε ότι G C. Από την άλλη πλευρά, η G είναι κανονική υποοοµάδα της G, που περιέχει το C, και έτσι, C G. Εποµένως, G = C και άρα, G ab = X R, C. Στο παρακάτω αποτέλεσµα δίνουµε µία διαφορετική απόδειξη του γεγονότος ότι η F r /F r είνα ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας r µε τη ϐοήθεια της πα- ϱάστασής της. Πρόταση 9.10 Εστω F r µία ελεύθερη οµάδα ϐαθµίδας r. Τότε, 1. Η F r /F r έχει παράσταση x 1,..., x r C.

9.3. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ 221 2. Η F r /F r είναι ισόµορφη µε το ευθύ άθροισµα r αντιγράφων της προσθετικής οµάδας (Z, +) των ακέραιων αριθµών. Συνεπώς, η F r /F r είναι ελεύθερη αβελιανή ϐαθµίδας r. Απόδειξη. Η Πρόταση 9.10(1) προκύπτει από την Πρόταση 9.9 για R =. Για να δείξουµε ότι η F r /F r είναι ισόµορφη µε την Z }. {{.. Z, αρκεί να δείξουµε } r παράγοντες ότι η Z }. {{.. Z έχει παράσταση } X C. Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή r παράγοντες στο r. Για r = 1, η C είναι τετριµµένη. Υποθέτουµε ότι r > 1 και Z (r 1) = x 1,..., x r 1 C r 1. Χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι Z r = Z (r 1) Z και γράφοντας Z = x r, έχουµε την Ϲητούµενη παράσταση της Z r. Θεωρούµε την Fr ab = F r /F r ως το εσωτερικό ευθύ γινόµενο των άπειρων κυκλικών οµάδων που παράγονται από τα x 1,..., x r. Χρησιµοποιώντας την προσθετική γραφή, κάθε στοιχείο της Fr ab γράφεται µοναδικά ως Z-γραµµικός συνδυασµός των x 1,..., x r. Εστω (G, +) µια τυχαία αβελιανή οµάδα και θ : X G µία απεικόνιση. Ο- ϱίζουµε θ : Fr ab G ως εξής : Εστω x = r i=1 κ ix i, µε κ i Z, i = 1,..., r. Τότε, θ(x) = r i=1 κ iθ(x i ). Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η θ είναι οµοµορ- ϕισµός οµάδων και ότι είναι µοναδικός. Λόγω του ότι η ελεύθερη αβελιανή οµάδα πάνω στο σύνολο X είναι µοναδική µέχρι ισοµορφίας, ϑα την συµβολίζουµε µε A = A(X). Τα στοιχεία της είναι πεπερασµένοι Z-γραµµικοί συνδυασµοί στοιχείων του X. Εστω G µία αβελιανή οµάδα και X ένα σύνολο γεννητόρων της. Τότε, η G = X R, C και εποµένως, η G είναι ισόµορφη µε την οµάδα πηλίκο A(X)/R. Το επόµενο αποτέλεσµα ϑυµίζει το Θεώρηµα διάστασης στους διανυσµατικούς χώρους και έχει αποδειχθεί στο [Κεφάλαιο 6, Θεώρηµα 6.1]. Πρόταση 9.11 Αν A = A(X) είναι ελεύθερη αβελιανή ϐαθµίδας r και B είναι υποοµάδα της A, τότε B είναι ελεύθερη αβελιανή µε ϐαθµίδα s r. Παρατήρηση 9.3 Εστω A µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας r µε σύνολο ελεύθερων γεννητόρων {x 1,..., x r }. Εστω U = {u 1,..., u r } ένα άλλο σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A. Τότε, έχουµε τις σχέσεις : και x i = u j = n p ij u j, 1 i r j=1 r q jκ x κ, 1 j r, κ=1 όπου οι p ij, q jκ είναι ακέραιοι. Αντικαθιστώντας τα u j στις εκφράσεις των x i, έχουµε ότι r p ij q jκ = δ ij, 1 i, κ r, j=1 όπου δ ij συµβολίζει το δέλτα του Kronecker. ηλαδή, οι πίνακες P = (p ij ), Q = (q jκ ) έχουν την ιδιότητα ότι P Q = I r. Επειδή το σύνολο U είναι ελεύθερο,

222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΟΜΑ Α έχουµε ότι QP = I r. Συνεπώς, Q = P 1. Άρα, κάθε Q = (q jκ ) GL r (Z) δίνει ένα καινούριο σύνολο γεννητόρων της A. Εστω A = A(X) µία ελεύθερη αβελιανή οµάδα ϐαθµίδας r και B µία υποοµάδα της A. Τότε, από την Πρόταση 9.11, η B είναι ελεύθερη αβελιανή οµάδα µε ϐαθµίδα s r. Εστω Y = {y 1,..., y s } ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της B. Τότε, y κ = r m κi x i 1 κ s, ( ) i=1 όπου m κi Z. Η B προσδιορίζεται από τον s r πίνακα Π = (m κj ) ως προς τα σύνολα Y και X. Ο πίνακας Π ονοµάζεται ο πίνακας συντελεστών της ( ). Στο Κεφάλαιο 6 είδαµε τη χρησιµότητα του πίνακα Π για τον προσδιορισµό του τύπου της πεπερασµένα παραγόµενης αβελιανής οµάδας A/B. 9.4 Πλήρως αναλλοίωτες υποοµάδες Εστω G µία οµάδα και H µία υποοµάδα της. Θυµίζουµε ότι η H είναι πλήρως αναλλοίωτη αν για κάθε ενδοµορφισµό φ της G, έχουµε ότι φ(h) H. Εστω R µια πλήρως αναλλοίωτη υποοµάδα της F n και θ ένας ενδοµορφισµός της F n. Τότε, η απεικόνιση θ : F n /R F n /R µε θ(fr) = θ(f)r είναι ένας ενδοµορφισµός της F n /R. Ο ενδοµορφισµός αυτός ονοµάζεται επαγόµενος από τον θ. Αν θ είναι αυτοµορφισµός της F n, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι ο επαγόµενος ενδο- µορφισµός θ είναι αυτοµορφισµός της F n /R. Το επόµενο αποτέλεσµα µάς δίνει ένα σύνολο γεννητόρων της. Για την απόδειξή του, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στις ερευνητικές εργασίες [9] και [11]. Θεώρηµα 9.4 Αν η F n παράγεται ελεύθερα από το F = {x 1,..., x n }, τότε η Aut(F n ) παράγεται από τους εξής στοιχειώδεις αυτοµορφισµούς : 1. Μεταθέσεις του F. 2. x 1 x 1 1, x i x i, i 2. 3. x 1 x 1 x 2, x i x i, i 2. Μία συνέπεια του Θεωρήµατος 9.4 και της περιγραφής της οµάδας GL n (Z) είναι το παρακάτω ενδιαφέρον αποτέλεσµα. Για µία ολοκληρωµένη απόδειξή του, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [6] και στην ερευνητική εργασία [1]. Πόρισµα 9.8 Κάθε αυτοµορφισµός της F n επάγει έναν αυτοµορφισµό της ελεύθε- ϱης αβελιανής οµάδας F n /F n και, αντίστροφα. Να παρατηρήσουµε εδώ ότι ούτε το Θεώρηµα 9.4 αλλά, ούτε το Πόρισµα 9.8 ισχύουν αν αντικαταστήσουµε την F n µε F n /R, όπου R είναι µία πλήρως αναλλοίωτη υποοµάδα της F n. Για περισσότερες λεπτοµέρειες παραπέµπουµε τον αναγνώστη στις ερευνητικές εργασίες [2], [3], [4], [5] και [7].