Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή OM x y y M(x,y) Πχ 5 i 5( ) 69 3 Ο x Όταν ο μιγαδικός είναι πραγματικός, τότε x 0i x IR, και x 0 x Δηλαδή το μέτρο ενός πραγματικού αριθμού είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του Ιδιότητες Αν,, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 3 4 5 6 (τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΜ Μ) y M ( ) M( + ) + M ( ) Ο - x N( ) M 3 ( ) Μέτρο διαφοράς μιγαδικών Στο παραπάνω σχήμα ισχύει MM MM ON = - -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου Επομένως το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους Έτσι η εξίσωση o, ρ > 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο () και ακτίνα ρ o Πχ η εξίσωση 3i 5 3i 5 παριστάνει κύκλο με κέντρο το Κ(, -3) και ακτίνα ρ = 5 y Ο K( o ) x H εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A() και B() B( ) y A( ) Πχ η εξίσωση 3i 5i 3i 5i παριστάνει τη μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ που έχει άκρα τα Α(, 3) και Β(-, 5) Ο x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Όταν δίνεται μια ισότητα μέτρων w ή μια ανισότητα w, τότε συνήθως υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και συνεχίζουμε ως εξής: w w ww Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει,,, τότε θέτουμε = x + yi, x, y IR, οπότε x yi και x y 3 Αν δύο μιγαδικοί είναι ίσοι, τότε έχουν και ίσα μέτρα Το αντίστροφο δεν ισχύει Αυτή την παρατήρηση τη χρησιμοποιούμε συνήθως όταν έχουμε ισότητα μεγάλων δυνάμεων μιγαδικών αριθμών Πχ w w w w 4 Όταν δίνεται ότι, τότε θέτουμε κι επομένως προκύπτει ότι,,,, από όπου και,,, 5 Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των διαφορετικών μιγαδικών αριθμών,, 3, τότε - -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 3 - Γ Λυκείου (ΑΒ) =, (ΒΓ) = 3 και (ΓΑ) = 3 και έτσι: α) για να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, αρκεί να δείξουμε ότι = 3 = 3, β) για να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, αρκεί να δείξουμε ότι = 3 ή 3 = 3 ή = 3 γ) για να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α, αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει (ΒΓ) = (ΑΒ) + (ΓΑ) 3 = + 3 6 Επειδή η εξίσωση o, ρ > 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο () o και ακτίνα ρ, η ανίσωση o παριστάνει τον κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο () και ακτίνα ρ Επίσης η εξίσωση o o παριστάνει τα εξωτερικά σημεία του παραπάνω κύκλου Πχ η ανίσωση (3 i) παριστάνει τον κυκλικό δίσκο με κέντρο Κ(3, ) και ακτίνα ρ = 7 Επειδή η εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A() και B(), η ανίσωση παριστάνει το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την παραπάνω μεσοκάθετο και το σημείο A() Πχ η ανίσωση (4 i) ( 4i) παριστάνει το ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(4, -), Β(, 4)και το σημείο Α 8 Η εξίσωση, με α > 0 και, παριστάνει έλλειψη με εστίες τα σημεία A(), B() και σταθερό άθροισμα α 9 Η εξίσωση, με α > 0 και, παριστάνει υπερβολή με εστίες τα σημεία A(), B() και σταθερή διαφορά α Οι δύο κλάδοι της παραπάνω έλλειψης έχουν εξισώσεις και - 3 -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 4 - Γ Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ( i) Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών αριθμών = i( i 3) i 3 3 =,, = 3 i i, i Στο μιγαδικό επίπεδο να παραστήσετε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: α) β) + 4i = 4 γ) 3i δ) < + 3i < 3 3 Να λυθεί η εξίσωση i 4 Να λυθεί η εξίσωση 0 5 Έστω οι μιγαδικοί, + i, 0, και Α, Β αντίστοιχα οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων 6 Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει 3 9 7 Αν είναι = 3,, να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο γράφει κύκλο 8 Αν ισχύει ότι = 3 3, να αποδείξετε ότι = 3 και να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών 9 α) Αν = 3 και, να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο β) Να βρεθεί ο α IR, ώστε η εικόνα του = (α 5)+(α )i να ανήκει στον παραπάνω κύκλο 0 Δίνεται ο μιγαδικός = (x 3) + (y )i με x, yir Αν ισχύει 3i 3 να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) είναι κύκλος Αν ( )( ), N, να αποδείξετε ότι ο είναι φανταστικός αριθμός - 4 -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 5 - Γ Λυκείου Αν ν και C με ( + i) = ( i), να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός 3 Αν C και 6 4, να αποδείξετε ότι 4 i( ) 4 Αν, είναι διαφορετικοί μιγαδικοί και ο αριθμός w = πραγματικός, να αποδείξετε ότι = και αντιστρόφως είναι 5 Έστω μιγαδικός αριθμός και πραγματικός αριθμός α 0 με αi Για τον αριθμό w = i, να αποδείξετε ότι: i α) ο w είναι φανταστικός, αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός β) είναι w =, αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός 6 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα και η διαφορά δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών έχουν το ίδιο μέτρο, αν και μόνο αν το πηλίκο τους είναι φανταστικός αριθμός 7 Για κάθε, C, να αποδείξετε ότι + = 4Re( ) 8 Αν ο είναι μη μηδενικός μιγαδικός και ο w = + αποδείξετε ότι IR ή = είναι πραγματικός, να 9 α) Αν με = =, να αποδείξετε ότι β) Αν για τους, C, με 0, ισχύει, να δείξετε ότι I και αντιστρόφως 0 Έστω οι μιγαδικοί και με = = και IR, + 0 Να βρεθεί ο λ IR, ώστε ο μιγαδικός w = να είναι πραγματικός Αν, C με και, να δείξετε ότι α) ο μιγαδικός είναι φανταστικός, β) ο μιγαδικός είναι πραγματικός Αν, είναι διαφορετικοί μιγαδικοί, με εικόνες Α, Β αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ο αριθμός = είναι φανταστικός, αν και μόνο αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές ή τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά = - 5 -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 6 - Γ Λυκείου u 3 Έστω w, u, C, u IR w με Im(u) 0, u Να αποδείξετε ότι 4 Αν και i w, i i, να αποδείξετε ότι w 5 Αν w, να αποδείξετε ότι w IR w, όπου w 0 6 Αν w, C και w, να δείξετε ότι: α) w 0, β) οι αριθμοί w, w i, w είναι πραγματικοί w w w 7 Έστω, C και Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των, αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι: M OM ˆ = 90 ο, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων, α) β) 8 Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα και, να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας, τότε το Μ κινείται σε μια έλλειψη 9 Αν, με C, να αποδείξετε ότι Re() και αντίστροφα 30 Αν 4 7i και 6, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του 3 Αν w, C και w και η εικόνα του κινείται στον κύκλο 3 4i 5, να αποδειχθεί ότι η εικόνα του w κινείται σε μια ευθεία 3 Αν η εικόνα του μιγαδικού διαγράφει στο μιγαδικό επίπεδο τον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού w = + διαγράφει έλλειψη 33 Αν η εξίσωση αποδείξετε ότι w i w i, N, έχει πραγματική ρίζα, να - 6 -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 7 - Γ Λυκείου 34 Αν οι μιγαδικοί,, 3, έχουν εικόνες Α, Α, Α 3, Ρ αντίστοιχα και 3, 3, 3 0, να αποδειχθεί ότι PA PA PA 30 3 i i 35 Έστω w, C, και w α) Αν w, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του β) Αν, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w 36 Να δειχθεί ότι η εξίσωση i 37 Αν και 0, τότε: α) να αποδειχθεί ότι 0, β) να βρεθούν οι, 38 Αν 3 (ρ > 0), τότε να δείξετε ότι 3 3 3 007 006 i δεν έχει πραγματική ρίζα 006i 39 Αν,, 3 C και 3 0, 3, να δείξετε ότι: α) 3 3 0 β) 0 3 40 α) Αν = =, να αποδείξετε ότι είναι ισοδύναμες οι ισότητες: + = και + + = β) Να βρείτε τους μιγαδικούς, για τους οποίους είναι = = και + + = 0 4 Έστω οι μιγαδικοί, w με = w = και πραγματικός αριθμός α Αν θέσουμε = + w + w + α και = + w + αw +, να αποδείξετε ότι: α) = w και β) = 4 Αν, C και 0, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των αριθμών w = +, w =, w 3 = + i 3 στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου 43 α) Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει i = = β) Να βρείτε το περίκεντρο του τριγώνου με κορυφές τα σημεία Α(0, ), Β(, 0), Γ(, 0) 44 α) Αν C, ώστε να ισχύει + + = 0, να δείξετε ότι - 7 -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 8 - Γ Λυκείου β) Βρείτε το μιγαδικό για τον οποίο ισχύει 45 Αν C με + + = 8, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ() είναι μια έλλειψη 46 Να βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: + 5 = 6 + 5 47 Έστω ο αριθμός u = i, όπου = x + yi, x, y IR 5 α) Να γραφεί ο αριθμός u στη μορφή α + βi, με α, β IR β) Αν ο αριθμός u είναι πραγματικός, να αποδειχθεί ότι η εικόνα του Μ κινείται πάνω σε ευθεία ε της οποίας να βρείτε την εξίσωση Μπορεί το σημείο Μ να πάρει οποιαδήποτε θέση πάνω στην ε; γ) Αν ο αριθμός u είναι πραγματικός, να βρεθεί ο μιγαδικός που έχει το μικρότερο μέτρο δ) Αν ο u είναι φανταστικός να βρείτε την εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποία κινείται το Μ 48 Δίνεται η συνάρτηση f() = α) f = f() β) Αν =, τότε f() IR ( ), Να αποδείξετε ότι: 49 Αν οι εικόνες των μιγαδικών, στο μιγαδικό επίπεδο είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου C: x + y =, να αποδείξετε ότι: < 50 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών που επαληθεύουν την ισότητα 4 i i β) Αν, C και 4 i i, 4 i i, να αποδειχθεί ότι 5 Να βρείτε που βρίσκονται στο μιγαδικό επίπεδο οι μιγαδικοί αριθμοί που επαληθεύουν τη σχέση, C 5 Αν λ > 0, να αποδειχθεί ότι () (),, C 53 Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι για κάθε x IR φ(x) = x x + ( + )( + ) 0 ισχύει 54 α) Δείξτε ότι i Im() 0 i - 8 -
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 9 - Γ Λυκείου i i k i k i β) Αν ισχύει, να δείξετε ότι i i i i k k i i i 55 Αν,, να αποδειχθεί ότι ένας το πολύ από i i i τους μιγαδικούς,,, μπορεί να είναι πραγματικός 56 Δύο μικρές μύγες Α και Β κινούνται πάνω στο μιγαδικό επίπεδο και είναι 4 3i εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα, ώστε να ισχύει συνεχώς 5 Να αποδειχθεί ότι: α) οι δύο μύγες Α και Β ισαπέχουν συνεχώς από την αρχή των αξόνων β) αν η μύγα Α κινείται πάνω στον κύκλο με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα ρ =, τότε και η μύγα Β κινείται πάνω σε έναν ορισμένο κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα 57 Ένα κινητό κινείται στο μιγαδικό επίπεδο, ώστε την τυχαία χρονική στιγμή t 0 να βρίσκεται στο σημείο που είναι εικόνα του μιγαδικού = t + (t 3)i α) Να αποδείξετε ότι το κινητό κινείται πάνω σε μια ορισμένη ευθεία β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το κινητό απέχει από την αρχή των αξόνων τη μικρότερη απόσταση - 9 -