qwφιertyuiopasdghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρghjklzcvbn mqwertyuiopasdghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ 5 : Η έννοια της παραγώγου cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ Κανόνες παραγώγισης Ρυθμός μεταβολής ωυdghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasd ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdghjklzcvbnmqwertyuiopσ
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) Να βρείτε το ( ) Έστω παραγωγίσιμη στο R με () = - και R Να βρείτε το ( ) ( ) 5 για κάθε Δίνεται η συνάρτηση : [,+ ) R για την οποία ισχύει (-)() -ημ για κάθε (,+ ), με ()= Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = 4 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : RR παραγωγίσιμες στο =, για τις οποίες ισχύει () = g() = και () + g() + για κάθε R Να δείξετε ότι () g () = () 5 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ισχύει lim εξίσωση της εφαπτομένης της στο =, να βρείτε την 6 Δίνεται η συνάρτηση : RR, παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει () για κάθε R Να δείξετε ότι : α) () (9) () β) lim 4 () 7 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να υπολογίσετε το όριο ( h) ( h) ( h) ( ) lim h h 8 Δίνεται η συνάρτηση : RR, παραγωγίσιμη στο =, για την οποία ισχύει () () για κάθε R Να βρείτε το () 9 Εστω, g : R R συνεχείς στο και R * Να δείξετε ότι () g () Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με () = α () g () e για κάθε, η γραφική της παράσταση δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει (+y) = ()(y) για κάθε, y R, να δείξετε ότι : α () = β ( ) ( ) για κάθε R Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R και για κάθε,yr ισχύει : (+y)=y()+(y)+()(y)+y--y Αν η είναι παραγωγίσιμη στο με ()= και () για κάθε R να δείξετε ότι : α () =
β η παραγωγίζεται σε κάθε R Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : R * R για την οποία ισχύει g(y) = g() g(y) για κάθε,yr Να δείξετε ότι g () yg (y) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : α ( ) ( ) ( ) 5 β ( ) ( ) 6 γ ( ) 8 4 Να βρείτε πολυώνυμο P() τέτοιο ώστε για κάθε R να ισχύει : P() P () P () 7 8 5 Δίνεται η συνάρτηση () α Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται β Να βρείτε το ( ) 6 Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : RR ισχύει g() για κάθε R, να δείξετε ότι g() > 7 Θεωρούμε τις συναρτήσεις (,+ ) α Να βρείτε το lim () β Να βρείτε το lim g() γ Να βρείτε το lim g() () 6, (,+ ) και g() ( ), δ Να δείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε g ( ), < 8 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) 4, τα κ, λ R ώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο Να προσδιορίσετε 9 Δίνεται η συνάρτηση () Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C της σε τυχαίο σημείο της Μ έχει και άλλο κοινό σημείο με τη C Να βρείτε πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύει lim () 4 και η εφαπτομένη της C στο σημείο Μ(-,4) είναι κάθετη στην ευθεία
δ : + y 5 = Δίνονται οι συναρτήσεις () e και g() Να βρείτε τις τιμές (4) των αριθμών α και β ώστε οι καμπύλες με εξισώσεις y () και y = g() να έχουν κοινό το σημείο Α(,g()) και συγχρόνως κοινή εφαπτομένη σ αυτό Δίνεται η συνάρτηση () 6 α Να δείξετε ότι η είναι β Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C - της της A5, (5) στο σημείο Δίνεται η συνάρτηση () β Να βρείτε τους αριθμούς α,β,γ ώστε η ευθεία y=β+γ να εφάπτεται της C στο σημείο Α(,) 4 Να προσδιορίσετε τον αριθμό λ ώστε η ευθεία y=λ+ να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) Στη συνέχεια να βρείτε τις συντε ταγμένες του σημείου επαφής 5 Δίνεται η συνάρτηση : R R () =, [, ] Να υπολογίσετε το α και μέσω αυτού να ορίσετε την () ώστε η γραφική παράσταση της να δέχεται τον άξονα ως εφαπτόμενη 6 Να βρείτε το θετικό αριθμό α ώστε η διχοτόμος της γωνίας ου και ου τεταρτημορίου του ορθοκανονικού συστήματος και y y να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () α 7 Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y = - 5 + 6 (,y ) (,y = και = 5 και τα σημεία της παραβολής P και P ) με Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη προς τη χορδή P P (Εξετάσεις ΑΣΕΠ 6 Μαθηματικών) 8 Έστω η συνάρτηση () ln(), κ>, > α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(λ,(λ)), λ> β Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο Α(λ,(λ)) διέρχεται από σταθερό σημείο καθώς το κ διατρέχει το διάστημα (,+ ) 9 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο (), λ Να δείξετε ότι : α Η εφαπτομένη της C σε τυχαίο σημείο, σχηματίζει με τους άξονες και y y τρίγωνο με σταθερό εμβαδό β Η εφαπτομένη της C σε τυχαίο σημείο δεν έχει κανένα άλλο κοινό σημείο με 4
τη C Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R,, g για τις οποίες ισχύει g() g (), g συνεχής στο και () για κάθε R Αν το σημείο g() Α(,) είναι κοινό σημείο των C και Cg να βρείτε την εφαπτομένη της C στο Α Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν () e () και () () 9 α) Να δείξετε ότι lim () β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α(,()) γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη Έστω συνάρτηση : R R με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύει ( ) για κάθε, α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της στο σημείο Α(, ()) β Να δείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε ( ) () () γ Να υπολογίσετε το lim Η κορυφή μιας σκάλας μήκους 5m ακουμπάει σε έναν τοίχο και σε σημείο που απέχει 4m από το έδαφος Τη χρονική στιγμή t η σκάλα γλυστράει και ο ρυθμός πτώσης του άνω άκρου είναι, m/sec Να βρείτε τη χρονική στιγμή t : α)το ρυθμό με τον οποίο το άλλο άκρο της σκάλας απομακρύνεται από τον τοίχο β)το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που ορίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος 4 Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οy σχεδιάζουμε την ημιευθεία ε, y=+, Ένα σώμα Α κινείται πάνω στην ε και έστω η Β η προβολή του στον ημιάξονα Ο Τη χρονική στιγμή t οι συντεταγμένες του Α είναι (,4) και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό cm/s Τη χρονική στιγμή t να βρείτε το ρυθμό μεταβολής : α του εμβαδού (ΟΑΒ) β της απόστασης d=(οα) γ της γωνίας ˆ 5
5 Έστω η συνάρτηση με τύπο () για κάθε R 4 α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C της στο σημείο Α(6, (6)) β Ένα σώμα κινείται στη C Τη χρονική στιγμή t το σώμα βρίσκεται στο σημείο Α(6,(6)) και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/s Τη χρονική στιγμή t να βρείτε το ρυθμό μεταβολής : i) της τεταγμένης του σώματος ii) της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της C στο σημείο Α(6, (6)) με τον άξονα 6 Έστω zc με iz i z 5 6i α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(z) β Η εικόνα Μ(z) κινείται στο γεωμετρικό τόπο του α) ερωτήματος και τη χρονική στιγμή t είναι Μ(z) = Α(,4) και το Re(z) αυξάνεται με ρυθμό cm/s Τη χρονική να βρείτε το ρυθμό μεταβολής : i) του Im(z) ii) του z () e με lim α Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 7 Εστω : R R συνεχείς στο () β Αν h(), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C και Ch στα σημεία e Α(,()) και Β(,h()) είναι παράλληλες 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : RR Αν η είναι και () e για κάθε R τότε : α Να λύσετε την εξίσωση () = β Να δείξετε ότι () για κάθε R () e () γ Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο (,()) είναι η ε : y= δ Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο (e,(e)) είναι κάθετη στην ευθεία η : y+(e+) = 6