naliza ima auomakog upravljanja u prooru anja..ponašanj anja i odziva ima Poznao j da mamaički modl u prooru anja ima n pokazuj amo dinamičku zavino izmđu ulaznih i izlaznih vličina, ngo da adrži i informacij o zavinoi ponašanja ima od počnih ulova. Zao ponašanj anja i odziva (izlaza) ima aoji u opšm lučaju od dv komponn: lobodn i prinudn. Slobodna komponna pokazuj zavino ponašanja anja i odziva ima od počnih ulova (počnog anja). Počno anj prdavlja akumuliranu nrgiju u imu od momna pomaranja. Prinudna komponna pokazuj zavino ponašanja anja i izlaza ima uld dlovanja upravljačkih ignala. U nardnom ku ć bii razmarano ponašanj linarnih vrmnki npromnljivih ima. Nka j da mamaički modl acionarnog ima u prooru anja a nhomognom jdnačinom anja oblika: x &( ) x() Bu() (..) y ( ) Cx() Du() (..) Izvršimo Laplaovu ranformaciju jdnačin (..), uz uvažavanj počnih ulova: X () x() X() BU() ( I ) X() x() BU() X( ) (I ) x() (I ) BU() (..) ko zna da važi: ( ) I I -, ada invrzna Laplaova ranformacija ovog izraza ima ldći oblik: { L (I - ) } I!! Kada jdnačinu (..) pomoću invrzn Laplaov ranformacij vraimo u vrmnki domn, dobijamo ldć jdnačin (..4) i (..5): x() x() ( τ) b u( τ)dτ (..4) x () Φ( ) x() Φ( τ) Bu ( τ)dτ (..5) Jdnačin (..4) i/ili (..5) u ršnja nhomogn jdnačin anja i prdavljaju jdnačin kranja ima u prooru anja. U poldnjoj jdnačini figuriš marica Φ( ) koja prdavlja fundamnalnu maricu ima (vidi poglavlj.). Jdnačina kranja ima aoji od dv komponn: Φ( ) x() - kranj ima pod djvom počnih ulova; Φ( τ)bu( τ)dτ - kranj ima pod djvom poljn pobud.
ko u jdnačini (..) zamnimo x() a ršnjm iz jdnačin (..5) dobijamo ponašanj izlaza ima (..6): y () CΦ()x( ) C Φ( τ)bu( τ)dτ Du() (..6) u j: CΦ()x( ) - ponašanj izlaza ima uld djva počnih ulova; C Φ( τ)bu( τ)dτ Du() - ponašanj izlaza ima uld djva poljn pobud. U lučajvima kada jdnačina anja ima homognu formu x & x (nma poljnih uicaja), ponašanj anja ima j opiano amo prvim članom jdnačina (..4) ili (..5), j. ršnj j: x ( ) x() Φ() x() (..7) Do ršnja ima (..) mož doći i popuno analiičkim pum na ldći način. Jdnačina anja (..) piš u formi: x &() x() Bu(), Pomnoži a ob ran a -, odakl j: d - (x& () x()) ( - x()) - Bu() (..8) d Ingraljnjm prhodnog izraza u granicama od do dobija: - x() x() -τ Bu( τ) dτ x() x() (τ) B u( τ)dτ (..9) Jdnačina (..9) j, dakl, ia a jdnačinom (..4), odnono (..5)... Fundamnalna marica ima U izrazima (..5) i (..6) figuriš kvadrana marica () čija j dimnzija jdnaka rdu ima, j. n n. Ona prdavlja maricu prlaza anja ima, i zov fundamnalna marica. Fundamnalna marica zadovoljava ldću jdnačinu dφ() Φ()(), (..) d bz obzira da li j im acionaran ili n. Dokaz ov oobin fundamnaln maric j jdnoavan. rba difrncirai izraz (..7), j.: x &() x() Bu() Na onovu izvođnja u poglavlju., ada mož piai izraz za fundamnalnu maricu: Φ() L - {(I-) - } Fundamnalna marica noi v informacij o lobodi kranja ima x &() x (). Naim, iz ršnja ov jdnačin x( ) Φ ( ) x() vidi da ršnj homogn jdnačin anja u rnuku prdavlja ranformaciju počnog anja ima.
Za fundamnalnu maricu acionarnog ima važ ldć oobin:. Φ( ) I ;. Φ () ( ) Φ( ), ili Φ () Φ( ) ;. [ Φ( ) ] n Φ(n) ; 4. Φ( ( ) ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) ( ) ; 5. Φ ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ). Načini na koj mož odrdii fundamnalna marica u ldći: I.) Razvojm u kponncijalni rd. Nka j im da a x& ( ) x(), uz zadao x o x(). Pošo j im kauzalan, ršnj ovog ima moć raćii poupkom ukcivnih aprokimacija ldć ingraln jdnačin: x ( ) x() x( τ) dτ (..) Najproij ršnj j xo()x(). U prvoj aprokimaciji dobija: x() x() x ( τ)dτ x x() ( I ) x() (..) Druga aprokimacija j: () x x() x ( τ)dτ (I ) x() (..4) Konačno, naavljajući iim poupkom dalj, dobija konačan oblik ršnja i x() i x(), odnono: i! i i i I Φ() (..5)!! i! i o j izraz za fundamnalnu maricu ima. II.) Dirknom primnom Laplaov ranformacij. Na jdnačin koj čin mamaički modl ima u prooru anja primnjuj Laplaova ranformacija (uz uvažavanj počnih ulova). Dobija im jdnačina na onovu koga formira fundamnalna marica u komplknom domnu čiji u lmni racionaln funkcij od komplkn promnljiv. Primnom invrzn Laplaov ranformacij na prhodno formiranu maricu odrđuj fundamnalna marica u vrmnkom domnu. Mamaički ovaj poupak mož opiai na ldći način. Zada j mamaički modl auonomnog ima x&( ) x(), uz zada počn ulov x x(). Primnom Laplaov ranformacij bić: X() x( ) X() X() ( I ) x( ) x( ) L I x( ) Φ( ) x( ) {[ ] } (..6)
Dakl, fundamnalna marica j: () {(SI ) } rzolvnna marica. Φ L. Marica [ I ] naziva III.) Primnom Jordan-ov kanoničn form. ko j marica anja ima zadaa u obliku dijagonaln kanoničn form (lučaj kada u v karakriičn vrdnoi ima raln i različi): α α... diag{ λi} αn, onda fundamnalna marica mož dirkno izrazii u obliku: α Φ ) α. ( i.. α diag{ λ }. n U lučaju ima a ralnim i višrukim karakriičnim vrdnoima, čija marica anja u Jordan-ovoj formi ima oblik: J Â J k ( λ ) J k ( λ i i ) J J k ( n n ) λ Podmaric u: λ λ J, λi gd J adrži amo raln i pro karakriičn vrdnoi; 4
λi λi J ki( λi ) ;..., λi λi i gd λ i prdavlja karakriičnu vrdno k i -višrukoi, ršnj prdavii u formi: xˆ () J xˆ(), gd j fundamnalna marica J daa a: J J λ k ( ) J Pri om u pojdin maric oblika: Jk ( λi) i J ( λ ) kn n xˆ () moć (..7) a) podmarica koja odgovara ralnim i proim karakriičnim vrdnoima, λ J λ, i λ i b) forma podmarica koj odgovaraju višrukim karakriičnim vrdnoima: J k i λi λi λi λi λi (ki ) λi (ki )! i ) λi (ki )! λi (ki ) λi (k i )! (ki ) λi (k i )! λ i λ i IV.) Ningularnom ranformacijom. ko marica anja nij dijagonalna, a v njn karakriičn vrdnoi u raln i pro, mož izvršii ldća ranformacija. Nka j mamaički modl ima da ldćim jdnačinama: x &() x() Bu() y () Cx() Du() Uvodi ningularna ranformacija promnljivih vličina anja: x P x (..8) (..9) (..) 5
Cilj ov ranformacij j dijagonalizacija maric anja. ako j P nka ningularna kvadrana marica, a $x novi vkor anja. x P x x P x P x P Bu x P P x P Bu y CP x Du (..) Sada mož piai: x x Bu y C x Du, (..) gd u ˆ P - P (dijagonalna Jordan-ova forma maric anja), B ˆ P - B, C ˆ CP. (..) Pri izračunavanju kranja ima u proora anja dobić ršnja za novi ˆ vkor anja $x, a n za x, j.: xˆ xˆ(o ). ranformacija počnih ulova j: x() P x(). Bz obzira da li u promnljiv anja xˆ () ili x(), odziv ima y() oaj ii za npromnjno u(), šo ldi iz činjnic da radi o vkoru varnih, mrnih vličina. ko u v karakriičn vrdnoi ima raln i pro, mož uvojii izgld maric $ u ldćoj formi: α α... αn (..4) ko ako formirana marica  uključi u jdnačinu: P P P P, (..5) dobić n jdnačina oblika pi λipi, i,,,n, odnono, ( λi I) pi i,,,n (..6) 6
Ršavanjm ovog ima jdnačina dobija marica ranformacij P [ p p pn]. U prhodnim jdnačinama j a pi označn vkor kolon maric ranformacij P... Konrolabilno ima Za zadai im kažmo da j popuno konrolabilan ako j za njga uvk moguć naći akvu ragiju upravljanja kojom ć im iz proizvoljnog počnog anja x() prći u nko drugo proizvoljno zadao anj x( ) u konačnom vrmnkom inrvalu. U fizičkom milu oobina popun konrolabilnoi važi u imima kod kojih j moguć uicai na vaku promnljivu anja a nkom (ili nkim) od ulaznih vličina, odnono, znači da promna vkora upravljanja u uič na promnu vrdnoi vkora promnljivih anja x(). ko ulazni vkor vdmo na kalarnu promnljivu, jdnačina anja ima glai ( x & x Bu ) i prpoavimo da krajnj proizvoljno anj u rnuku nalazi u koordinanom počku hiprproora n-og rda, onda j ršnj ima u počnom anju, x() (za ), dao a: x( ) x() (τ) B u( τ)dτ, (..) U krajnjm položaju j: x( (τ) ) x() B u( τ)dτ Nakon kraćivanja ldi izraz: x( ) τ B u( τ)dτ. (..) (..) Na onovu Cayly-Hamilon-ov orm kojom vaka marična funkcija nk kvadran, rgularn maric n-og rda mož prdavii u obliku maričnog polinoma (n- )-rda oblika: ada j: n αk () k k n n x() k B α τ τ τ k k ( ) u( )d B r k k k (..4) B B B r r n B r r n, (..5) rk αk ( τ) u( τ)dτ gd j. (k,,,, n-) (..6) 7
Da bi ovo važilo, u lučaju da pooji odgovarajuć upravljanj u(), vkori B, B, B,, n- B iz izraza (..5) moraju bii linarno nzavini. Za lučaj ima a viš ulaznih vličina važi ldća dfinicija: Za im opian jdnačinom x &( ) x() Bu() kaž da j popuno konrolabilan ako i amo ako u vkori B,B,, n- B linarno nzavini, odnono, ako za maricu B B n B dimnzij nxnr važi: B B n B rang n (..7) Za maric i B koj ipunjavaju ulov (..7) kaž: par [,B] j popuno konrolabilan. Uvojno j da j dimnzija vkora anja n, a vkora ulaza r. Za im za koj žli odrdii opimalno upravljanj ovaj ulov rba bii ipunjn. Oobina koja pokazuj nivo uicaja upravljanja u() na izlazn promnljiv y() naziva konrolabilno izlaza. ko j jdnačina izlaza ima daa a y()cx(), gd j izlazni vkor y() dimnzij m, konrolabilno izlaza dobija iim poupkom koji j primnjn pri izvođnju izraza za konrolabilno anja ima, izuzv šo a dn ran jdnačina ada figuriš i marica izlaza C. Prma om, ulov konrolabilnoi izlaza ima formu: CB CB C n B rang m (..8) Dakl, za nki im kaž da ima popuno konolabiln izlaz ako i amo ako rang CB CB C n B maric dimnzij mxnr j rda m..4. Obrvabilno ima Da bi u fizičkom milu oobina popun obrvabilnoi ili omorivoi ima važila, mora izlaz ima bii pod uicajm vak promnljiv anja x. Ova oobina mož provrii na ldći način. ko j jdnačina izlaza ima daa a y( ) C x(), onda pri daom počnom anju x() vkor izlaza j: y( ) C x(). U kladu a Cayly-Hamilon-ovom ormom (vidi..4) jdnačina izlaza ima mož piai: n y( ) k () () n k() C x() () Cx () Cx n () C α α α α x() k (.4.) Sada mož rći ldć: im j popuno obrvabilan ako j na onovu mrnja izlaza ima u dovoljno dugom vrmnkom inrvalu moguć rkonruiai proizvoljno počno anj ima. Da bi ova oobina važila, iz prhodn jdnačin ldi da j porbno i dovoljno da važi ldći ulov: 8
C C rang C n M n C C C ( ) C ( ) n C, ili, rang n (.4.) Prma om, da bi im opian jdnačinama anja i izlaza x &( ) x() Bu() y ( ) Cx() Du(), (.4.) bio popuno obrvabilan, porban i dovoljan ulov j da marica C C ( ) C ( ) n C rda nxnm zadovoljava ldću jdnačinu: C C ( ) C ( ) n C rang n (.4.4) U om lučaju kaž da j par [,C] popuno obrvabilan. Uvojno j da j dimnzija vkora anja n, a vkora izlaza m. Primr. Odrdii fundamnalnu maricu za im auomakog upravljanja čiji j marični modl u prooru anja: x& x Zadaak uradii pomoću: a) rzolvnn maric, b) razvijanjm u rd, c) dirknom primnom Laplaov ranformacij. Ršnj: a) Fundamnalna marica odrđuj pomoću rzolvnn maric na ldći način: adj(i ) Φ () (I ) d(i ) d I ( )( )( [ I ] adj [ ] ) [ I ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9
Φ ) )( ( ) )( )( ( ) )( ( () Da bi dobila fundamnalna marica odrđuj invrzna Laplaova ranformacija od Φ(): () φ () φ () φ () φ 4 () φ 4 () φ () φ () φ () φ () φ () φ () φ Sada j fundamnalna marica daa a: Φ ) ( 4 ) ( b) Fundamnalna marica odrđuj razvijanjm kponncijaln funkcij u rd, na ldći način:! a! a! a a!! I Dakl, u maričnom obliku fundamnalna marica j: Φ 4 5 9 ()
Φ() 9 5 4 Φ() 4 ( ) c) Fundamnalna marica mož odrdii i dirknom primnom Laplaov ranformacij. Polazi od maričnog modla ima auomakog upravljanja: x & x; x() x Na onovu maričnog modla ima mogu napiai ldć jdnačin: x & x x x & x x x & x Kada izvrši Laplaova ranformacija ovih jdnačina uzimajući pri om u obzir počn ulov, dobija ldći im jdnačina: X ( ) X X X ( ) X X X ( ) X ranformianjm prhodnog ima jdnačina dobija ldći im, na onovu koga formira fundamnalna marica: X X X X ( )( ) ( )( )( ) X X X ( )( ) X X Fundamnalna marica u komplknom domnu ima ldći oblik: ( )( ) ( )( )( ) Φ( ) ( )( )
Nakon primn invrzn Laplaov ranformacij dobija fundamnalna marica u vrmnkom domnu: Φ( ) 4 ( ) Primr. Da j mamaički modl ima auomakog upravljanja: x & x x x & x 5u y x a) Odrdii kranj promnljivih anja x () i x (). b) Odrdii ponašanj izlaza y(). c) Izvršii ningularnu ranformaciju xpx$, i vi maricu anja na dijagonalnu formu. d) Odrdii izraz za ponašanj promnljivih anja x$. ) Korići rzula odrđn pod d), odrdii ponašanj izlaza y(). Rfrnni ulaz j u()h(), a počni ulovi u: x () i x (). Ršnj. a) Kranj promnljivih anja odrđuj na onovu izraza (): x( ) Φ() x() Φ( τ) Bu( τ)dτ Na izraz () mož primnii princip uprpozicij. Prvi abirak a dn ran prdavlja kranj promnljivih anja uld djva počnih ulova (u daljm ku ć bii označn a x ()). Drugi abirak a dn ran prdavlja kranj promnljivih anja uld djva poljn pobud (u daljm ku x ()). Komponna x () odrđuj na ldći način: x' ( ) Φ() x() Φ() L I gd j: Fundamnalna marica odrđuj na onovu izraza: [ ] () { } [ I ] Rzolvnna marica j: Φ( ) [ I ] Nakon primn invrzn Laplaov ranformacij na rzolvnnu maricu dobija fundamnalna marica: Φ( ) Izraz za kranj promnljivih anja uld djva počnih ulova j:
x'( ) Φ() x() Druga komponna x () odrđuj primnom oobin da j Laplaova ranformacija konvolucij dva ignala jdnaka proizvodu njihovih Laplaovih ranformacija. x' '( ) Φ ( τ) Bu( τ)dτ X'' () Φ() BU() 5 5 5 5 ( ) ( ) X''() 5 5 5 ( ) 5 5 5 X'' ( ) 6 5 5 Izraz za kranj promnljivih anja uld djva poljn pobud j: 5 5 5 x' '() 6 5 5 Konačan izraz koji opiuj kranj promnljivih anja ima j: 5 x ( ) x' () x' '() 6 5 b) y() Cx () 5 6 c) d[i-] ()() -, -. $ - - P $ p p - - P p p - - p p p p Nakon maričnog množnja dobija -p -p -p p -p p -p -p -p -p Na onovu prhodn jdnačin mož piai ldći im jdnačina p -p p Dv jdnačin a čiri npozna, znači im j nodrđn. Ršnja za dv promnljiv uvajaju, i o mogu bii p i p. Proala dva ršnja u p - i p, ako da j
P - P - Napomna. Pri odrđivanju ršnja nodrđnog ima jdnačina porbno j vodii računa o činjnici da marica P mora bii rgularna. Sada j $ P - P - - ; B$ P - B 5 5 ; C$ CP [ - ]; x $ () P - x() dx $ - d - x$ 5 5 u; y [ - ] x $. d) x $ Φ()x $ () Φ(-τ)B $ - $ $ u(τ)dτ; Φ() $ - ; 5-5 x $ () Φ()x$ $ () - - ; X $ () Φ()B$ $ U() 5-5 - x $ () 5-5 ; x $ () x $ - () x$ () 5 ) y() [ - ] x $ () 5 6 - - - 5 - - - -. 5 5 5-5 Zadaak. Da j mamaički modl ima auomakog upravljanja: x& x x x& x 5u y x a) Ipiai da li j im popuno konrolabilan. b) Ipiai da li j im popuno obrvabilan. Ršnj: a) Ulov popun konrolabilnoi j da rang maric Qc rba bii jdnak dimnziji 5 ima (u konkrnom lučaju ). Qc [ B B] rang Q c 5 5 Zaključuj da j im popuno konrolabilan. b) Ulov popun obrvabilnoi j da rang maric Qo rba bii jdnak dimnziji C ima (u konkrnom primru ). Q Q C rang Zaključuj da j im popuno obrvabilan. ; 4
Zadaak. Da j mamaički modl ima auomakog upravljanja u prooru &x x anja: x& x (), u y [ / / ] x. x& x Odrdii kranj promnljivih anja ima x() i ponašanj izlaza ima y(). Vkor počnih ulova j zada a x()[ - ], a ulaz j u()h(). Ršnj: Kranj promnljivih anja odrđuj na onovu izraza (): x() Φ() x( ) Φ( τ) Bu( τ) dτ Fundamnalna marica j: Φ( ) Izraz za kranj promnljivih anja uld djva počnih ulova j: () x' () () x( ) φ Izraz za kranj promnljivih anja uld djva poljn pobud j: X''( ) ( ) ( ) odnono: x''( ) ( ) Konačan izraz koji opiuj kranj promnljivih anja ima j: x() x' () x'' () Izraz koji opiuj ponašanj izlaza ima j: y () () [ / / ] Cx. 5
Zadaak. Mamaički modl ima auomakog upravljanja u prooru anja j: &x a x c b u ; y [ x ] u a) Za koj vrdnoi paramara a,b,c j im popuno konrolabilan? b) Za koj vrdnoi paramara a,b,c j im popuno obrvabilan? Y () c) Odrdii funkciju prnoa ima G(). U () Napomna: paramri a,b,c u ralni brojvi. Ršnj: a) Sim ć bii popuno konrolabilan ukoliko j rang maric Qc jdnak, odnono ako u vr (kolon) ov maric linarno nzavin. Marica Qc dobija kao: Qc c ac [ B B] bc Sim ć bii popuno konrolabilan ako u ipunjni ulovi: b ; c ; a R. b) Sim ć bii popuno obrvabilan ukoliko j rang maric Qo jdnak, odnono ako u vr (kolon) ov maric linarno nzavin. Marica Qo dobija kao: C Q C a b Sim ć bii popuno obrvabilan ako j zadovoljn ulov: a b ; c R. c) Funkcija prnoa ima dobija primnom Fadv ranformacij na maric koj prdavljaju mamaički modl ima u prooru anja. Fadva ranformacija j daa izrazom (): [ ] G () C I B D Izraz za funkciju prnoa ima j: ( c a) b( c ) G () a b Zadaak. Mamaički modl ima auomakog upravljanja u prooru anja j: 7 6 &x x u; y x Ipiai da li j im: a) popuno konrolabilan, b) popuno obrvabilan. () 6
Ršnj: a) Ulov popun konrolabilnoi j da rang maric konrolabilnoi Qc bud jdnak rdu ima (u ovom lučaju ). Marica Qc j daa ldćim izrazom: 5 9 5 QC [ B B B] 5 9 5 ; rang Q c 9 Pošo j rang Q < zaključuj da im nij popuno konrolabilan. c b) Ulov popun obrvabilnoi ima j da rang maric obrvabilnoi Qo bud jdnak rdu ima (u ovom lučaju ). Marica Qo j daa ldćim izrazom: C Q C, rang Q C 9 9 9 Pošo j rang Q < zaključuj da im nij popuno obrvabilan. Zadaak. Ipiai da li j im prikazan na lici 5. popuno konrolabilan, popuno obrvabilan i abilan. (Napomna: / - ingraor). Slika 5. Ršnj: ko za promnljiv anja uvoj izlazi iz ingraora, kako j na lici 5.. prikazano, mož formirai ldći im jdnačina: y u x x y x& uy x y u 4y x x& y x y y x Nakon rđivanja prhodnog ima jdnačina ldi: 7
y x& x u x x x u x u x& x U maričnom obliku prhodni im jdnačina mož napiai na ldći način: x& x u x& x ; y x u x Za ipiivanj abilnoi ima porbno j prvo izračunai karakriičn vrdnoi ima. λ d[ λi ] λ Korni karakriičn jdnačin u λ 7 5 λ λ 5 i λ. Sim j abilan. 4 Za ipiivanj konrolabilnoi formira ldća marica: 5 rangqc rang[ B B] rang rang 5 5 4 Pošo j rang maric Q c različi od rda ima (u ovom lučaju ), zaključuj da im nij popuno konrolabilan. U cilju ipiivanja popun obrvabilnoi formira ldća marica: C rangq o rang rang rang C 5 5 4 4 Pošo j rang maric Q o različi od rda ima ldi zaključak da im nij popuno obrvabilan. Zadaak. Mamaički modl ima auomakog upravljanja u prooru anja j: &z z v; c [ ] z a) Ipiai da li j im popuno konrolabilan. b) Ipiai da li j im popuno obrvabilan. Ršnj: 8
a) Ipiivanj popun konrolabilnoi: QC B B B Q C 4 Sim j popuno konrolabilan. [ ] ; ; rangq C b) Ipiivanj popun obrvabilnoi: C QO C ; Q ; O C Sim j popuno obrvabilan. rangq O 9