4 Izvodi i diferencijali

Transcript

1 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije f() na odsečku [ 0, 0 + ]. Ovaj izraz se može interpretirati i tako da predstavlja vreme, a y = f() dužinu preženog puta pri pravolinijskom kretanju jedne tačke. Tada () predstavlja količnik preženog puta (f( 0 + ) f( 0 )) u vremenskom intervalu dužine =, odosno srednju brzinu tog kretanja od trenutka = 0 do trenutka = 0 +. Geometrijski posmatrano odnos () predstavlja koeficijent pravca prave (sečice) koja prolazi kroz tačke M 0 ( 0, f( 0 )) i M( 0 +, f( 0 + )). Ako količnik () ima konačnu graničnu vrednost (es) kada 0, kažemo da je funkcija f() diferencijabilna u tački 0 što se označava sa f( 0 + ) f( 0 ) 0 = f ( 0 ) = [f()] = 0. Broj f ( 0 ) se naziva izvod funkcije f() u tački 0. Izvod funkcije u tački je, dakle, granična vrednost količnika priraštaja funkcije u toj tački i priraštaja nezavisno promenljive, ako ova granična vrednost postoji. Potreban uslov da bi funkcija imala izvod u tački = 0 je f( 0 + ) = f( 0 ) 0 što znači da je funkcija u toj tački neprekidna. Primer 6 Potražimo izvod funkcije f() = u tački 0 =. Po definiciji je f () = 0 f( + ) f() = 0 + = 0 ( + ) = 0 + =. Potražimo sada izvod ove iste funkcije u proizvoljnoj tački 0. Po definiciji je f f( 0 + ) f( 0 ) ( 0 ) = = = 0 0

2 4 Izvodi i diferencijali ( 0 + ) = 0 0 ( 0 + ) =. 2 0 Svakoj vrednosti 0 za koju je definisana funkcija f() = izvod funkcije dodeljuje odgovarajuću vrednost f() =, što praktično znači da izvod 2 0 funkcije definiše jednu novu funkciju, pa se kaže da je izvod funkcije f() = funkcija f() = 2. Primer 7 Posmatrajmo sada funkciju f() = i potražimo njen izvod u tački 0 =. f f( + ) f() + () = = = 0 0 ( + )( + + ) 0 ( + + ) 0 ( + + ) = 0 Analognim postupkom, za proizvoljno 0 dobijamo = 0 + ( + + ) = + + = 2. f ( 0 ) = = 0 ( ) = 2 0 odnosno da je izvod funkcije f() = funkcija f () = 2. Ako f() ponovo interpretiramo kao dužinu preženog puta pri pravolinijskom kretanju u vremenskom intervalu, onda f ( 0 ) predstavlja graničnu vrednost srednje brzine kretanja, odnosno brzinu kretanja u trenutku = 0. Sa druge strane, geometrijski posmatrano, f ( 0 ) predstavlja graničnu vrednost koeficijenta pravca sečice kroz tačke ( 0, f( 0 )) i ( 0 +, f( 0 + )), što je zapravo koeficijent pravca tangente krive y = f() u tački ( 0,f( 0 )). Kao što smo videli, da bi funkcija bila diferencijabilna u tački = 0 ona u toj tački mora biti neprekidna. Mežutim, obrnuto ne važi. Neprekidnost funkcije je, dakle, potreban ali ne i dovoljan uslov za njenu diferencijabilnost. Primer 8 Funkcija f() = je neprekidna za = 0. Naime, ova funkcija može da se zada i na sledeći način { 0 f() = < 0

3 4. Pravila za izračunavanje izvoda 20 pa je f(0) = 0. Sa druge strane je i f() = 0 0 jer su leva i desna granična vrednost jednake f() = = f() = ( ) = Funkcija je, prema tome, neprekidna. Mežutim, ova funkcija nije diferencijabilna jer je f(0 + ) f(0) +0 f(0 + ) f(0) 0 = +0 = +0 = = 0 = 0 = što znači da granična vrednost izraza kojim se definiše izvod funkcije f() = ne postoji za = 0. Polazeći od geometrijske interpretacije izvoda po kojoj je izvod funkcije u tački jednak koeficijentu pravca tangente u toj tački dobijamo jednačinu tangente u tački ( 0,f( 0 )) y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ). Dalje, kako je proizvod koeficijenata pravaca dve mežusobno normalne prave jednak, to je je koeficijent pravca normale tački ( 0,f( 0 )) jednak recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente u toj istoj tački, sa obrnutim predznakom, pa je jednačina normale u tački ( 0,f( 0 )) y f( 0 ) = f ( 0 ) ( 0). 4. Pravila za izračunavanje izvoda Ako su funkcije f() i g() diferencijabilne u tački 0 (a, b) tada su i funkcije f() ± g(), f() g() i f() diferencijabilne u tački = g() 0 i važe jednakosti: ) (f() ± g()) = 0 = f ( 0 ) + g ( 0 ) 2) (f() g()) = 0 = f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 )

4 4. Pravila za izračunavanje izvoda 2 3) ( f() g() ) = 0 = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) [g( 0 )] 2 (g( 0 ) 0.) Dokažimo sada gornje jednakosti ) [f( 0+)±g( 0 +)] [f( 0 )±g( 0 )] = f( 0+) f( 0 ) ± g( 0+) g( 0 ) f ( 0 ) ± g ( 0 ) ( 0) 2) f( 0+)g( 0 +) f( 0 )g( 0 ) = f( 0+)g( 0 +) f( 0 )g( 0 +)+f( 0 )g( 0 +) f( 0 )g( 0 ) = [f( 0+) f( 0 )]g( 0 +)+f( 0 )[g( 0 +) g( 0 )] = f( 0+) f( 0 ) g( 0 +)+f( 0 ) g( 0+) g( 0 ) f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ) ( 0) 3) f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) = f( 0+)g( 0 ) f( 0 )g( 0 +) g( 0 +)g( 0 ) = [f( 0+) f( 0 )]g( 0 ) f( 0 )[g( 0 +) g( 0 )] g( 0 +)g( 0 ) f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g( 0 )g( 0 ) ( 0). = f( 0+)g( 0 ) f( 0 )g( 0 )+f( 0 )g( 0 ) f( 0 )g( 0 +) g( 0 +)g( 0 ) = f(0+) f(0) g( 0 ) f( 0 ) g( 0 +) g( 0 ) g( 0 +)g( 0 ) Ako je funkcija f() diferencijabilna u tački = 0 i funkcija g(y) diferencijabilna u intervalu koji sadrži tačku y 0 = f( 0 ), i diferencijabulna u tački y = y 0, tada je složena funkcija () = g(f()) diferencijabilna u tački = 0 i važi ( 0 ) = g (y 0 )f ( 0 ) Naime, ako uvedemo oznaku f( 0 + ) f( 0 ) = q, onda zbog neprekidnosti funkcije f() važi da q 0 kada 0. Kako je sada to je f( 0 + ) = f( 0 ) + q = y 0 + q, g(f( 0 + )) g(f( 0 )) = g(f( 0) + q) g(f( 0 )) = g(y 0 + q) g(y 0 ) q q = g(y 0 + q) g(y 0 ) q f( 0 + ) f( 0 ) g (y 0 ) ( 0 ) ( 0).

5 4.2 Izvod inverzne funkcije Izvod inverzne funkcije Neka je y = f() strogo monotona funkcija u intervalu (a, b) i neka je = g(y) inverzna funkcija ove funkcije definisana u okolini tačke y 0 = f( 0 ), 0 (a, b). Neka je f( 0 ) diferencijabilna u tački = 0 i neka je f ( 0 ) 0. Tada je funkcija g(y) diferencijabilna u tački y = y 0 i važi Naime, kako je g (y 0 ) = f ( 0 ). f( 0 ) = y 0 g(y 0 ) = 0 to ako ponovo uvedemo oznaku f( 0 + ) f( 0 ) = q dobijamo f( 0 + ) = y 0 + q g(y 0 + q) = 0 + odakle je g(y 0 + q) g(y 0 ) q = f( 0 + ) y 0 = Kada prežemo na granične vrednosti dobijamo f( 0 + ) f( 0 ) = f( 0 +) f( 0 ). odnosno g(y 0 + q) g(y 0 ) q 0 q g (y 0 ) = f ( 0 ). = 0 f( 0 +) f( 0 ) 4.3 Osnovna tablica izvoda Ako tačka u kojoj se traži izvod funkcije nije fiksirana, onda ćemo izvod u toj tački označavati sa y ili f (). Tako je y = f f( + ) f() () =. 0 Za osnovne elementarne funkcije važi sledeća tablica izvoda. ) (c) = 0 c = const 2) ( α ) = α α ( > 0, α R), posebno ( ) = 2 ( ) = 2 3) (a ) = a ln a (a > 0, a ), posebno (e ) = e

6 4.3 Osnovna tablica izvoda 23 4) (log a ) = ln a 5) (sin ) = cos (a > 0, a ), posebno (ln ) = 6) (cos ) = sin 7) (tg) = cos 2 8) (ctg) = sin 2 9) (arcsin ) = 2 0) (arccos ) = 2 ) (arctg) = + 2 2) (arcctg) = + 2 Dokažimo sada da važe gornje jednakosti. ) f(+) f() = C C = 0 2) (+)α α = α (+ )α je t 0 (+t) α t = α = α (+ )α α α ( 0), budući da 3) + a = a a a ln a ( 0) 4) log a (+) log a = log + a = log a (+ ) 0), pa je dalje log a e = log e a = ln a 5) sin(+) sin = 2 sin 2 cos(+ 2 ) = sin 2 2 = log a( + ) log a e ( cos( + ) cos ( 0) 2 6) cos(+) cos() = 2 sin 2 sin(+ 2 ) = sin 2 2 sin( + 2 sin ( 0) 7) (tg) = ( sin cos ) = cos cos sin ( sin ) cos 2 = cos2 +sin 2 cos 2 = cos 2 8) (ctg ) = ( cos sin ) = ( sin ) sin cos cos sin 2 9) (arcsin ) = (sin y) = cos y = sin 2 y = 2 = sin2 cos 2 sin 2 = sin 2 0) (arccos ) = (cos y) = sin y = cos 2 y = 2

7 4.4 Logaritamski izvod funkcije 24 ) (arctg ) = (tgy) = cos 2 y = sin 2 y+cos 2 y cos 2 y 2) (arcctg ) = (ctgy) = sin 2 y = sin 2 y+cos 2 y sin 2 y 4.4 Logaritamski izvod funkcije = +tg 2 y = + 2 = +ctg 2 y = + 2 Ako je y = f() diferencijabilna funkcija, onda se izvod složene funkcije ln y po naziva logaritamskim izvodom funkcije y. Prema pravilu za izvod složene funkcije, logaritamski izvod funkcije y biće (ln y) = y y = f () f(). Logaritamski izvod može da nam posluži za nalaženje izvoda funkcije, posebno u situacijama kada se taj izvod ne može naći na jednostavniji način. Primer 9 y = (ln ) ln y = ln(ln ) = ln(ln ) y = ln(ln ) + y ln = ln(ln ) + ln y = y(ln(ln ) + ln ) = (ln ) (ln(ln ) + ln ) 4.5 Izvod funkcije zadate implicitno Ako je funkcija zadata implicitno, u obliku F (, y) = 0 a ako je pri tome y = f() diferencijabilna funkcija onda se y može dobiti diferenciranjem funkcije F (, y) pri čemu se vodi računa o tome da je y funkcija od. Primer 20 e cos y + y ln( + ) + 2 y = 0 e cos y + e ( sin y)y + y ln( + ) + y y = 0 y (ln( + ) e sin y ) = e cos y y 2 + y = e cos y+ y + +2 ln(+) e sin y

8 4.6 Izvod funkcije zadate parametarski Izvod funkcije zadate parametarski Neka je funkcija zadata parametarskim jednačinama pri čemu su funkcije = φ(t) i y = ψ(t) diferencijabilne u intervalu (t, t 2 ). Ako funkcija = φ(t) pri tome ima inverznu funkciju t = φ (), tada funkcije = φ(t) i y = ψ(t) definišu funkciju y = ψ(φ ()). Ako izvode funkcija = φ(t) i y = ψ(t) po t, φ (t) i ψ (t), označimo sa ẋ i ẏ tada je izvod funkcije y po y = ψ (φ ()) [φ ()] = ψ (t) Primer 2 = e t cos t y = e t sin t t = e t cos t e t sin t y t = e t sin t + e t cos t y = y t = e t cos t e t sin t t e t cos t e t sin t 4.7 Diferencijal = sin t cos t sin t+cos t φ (t) = ψ (t) φ (t) = ẏ ẋ Neka je y = f() diferencijabilna funkcija u tački = 0 i neka je = 0 priraštaj funkcije za odreženo. Tada se vrednost f ( 0 ) naziva diferencijalom funkcije y = f() u tački 0 koji odgovara priraštaju nezavisno promenljive. Označava se sa dy( 0 ) ili samo dy. Prema tome je dy = f ( 0 ). Diferencijal je linearna funkcije od. Ako je f() = tada je f () =, pa je dy =, odnosno kako je y = f() =, to je Prema tome, za proizvoljno važi d =. Odavde sledi da je dy = f ()d dy d = f () što predstavlja Lajbnicovu oznaku za izvod.

9 4.8 Viši izvodi 26 Osnovna pravila nalaženja diferencijala proizilaze iz osnovni pravila nalaženja izvoda. ) d(f ± g) = df ± dg 2) d(f g) = g df + f dg 3) d( f g ) = g df f dg g 2 Ako je y = f() i z = g(y) tada je dz = g (y)dy = g (y)f ()d. Primer 22 Ako je y = sin tada je dy = cos 2 d. Naime, ako uvedemo oznake u = i y = sin u onda je du = 2 d a dy = cos udu = cos d( ) = cos 2 d 4.8 Viši izvodi Ako funkcija y = f() ima izvod y = f () na intervalu (a, b) i ako je funkcija f () diferencijabilna na (a, b), tada se izvod ove funkcije (f ()) označava sa y = f () i naziva se drugim izvodom funkcije f(). U skladu sa tim, izvod y = f () se naziva prvim izvodom funkcije y = f(). Sama funkcija se može označiti i sa y = f (0) () ( nulti izvod). Ako je, dalje, f () diferencijabilna funkcija u intervalu (a, b) onda je (f ()) = f () treći izvod funkcije y = f(), i tako redom. Ako sa f (n) označimo n-ti izvod funkcije f() onda važi da ako je (n )-vi izvod funkcije diferencijabilan, tada je Primer 23 ) f() = n f () = n n f () = n(n ) n 2 f () = n(n )(n 2) n 3. f (n) () = (f (n ) ()). f (n) () = n(n )(n 2)... 2 = n! f (n+) () = 0

10 4.8 Viši izvodi 27 2) f() = e f () = e f () = e. f (n) () = e 3) y = sin y = cos y = sin y = cos y IV = sin Ako su funkcije f i g na intervalu (a, b) diferencijabilne n puta, tada je [f() + g()] (n) = f (n) + g (n) [c f()] (n) = c f (n) () f (n) g() + + ( n ( n n [f() g()] (n) = ) ( ) n f (n ) () g () + f (n 2) () g () ) ( ) n f () g (n ) () + f() g (n) () = n n k=0 ( n k ) f (n k) () g (k) () Poslednja jednakost naziva se i Lajbnicovo pravilo a dokazuje se pomoću indukcije. Primer 24 y = 3 e( α ) ( ) ( ) y (n) = α n e α n 3 + α n e α 3 n 2 + α 2 n 2 e α 6+ n α 3 n 3 e α 6 = e α ( 3 α n + 3n 2 α n + 3n(n )α n 2 + n(n )(n 2)α n 3 )

11 4.9 Viši izvodi funkcije zadate implicitno Viši izvodi funkcije zadate implicitno Ako je funkcija zadata implicitno, jednačinom F (, y) = 0, a y = f() je n puta diferencijabilna funkcija, onda se y (n) () može dobiti tako što se funkcija F (, y) diferencira n puta, pri čemu se vodi računa o tome da su y, y,..., y (n ) funkcije od. Primer 25 y = a sin y y = a cos y y ( a cos y)y = y = a cos y y = a sin y y = ( a cos y) 2 a sin y ( a cos y) Viši izvodi funkcije zadate parametarski Ako je funkcija zadata parametarskim jednačinama = φ(t) i y = ψ(t) i ako su funkcije i y su više puta diferencijabilne po t u intervalu (t, t 2 ), a = φ(t) ima inverznu funkciju t = φ (), onda je, kao što smo videli y = dy d = ψ (t) φ (t) = ẏ ẋ Primenjujući pravila za nalaženje izvod odavde dobijamo y = d(y ) d = d( ẋ ẏ ) d y = = d( ẋ) ẏ dt dt d d( ÿẋ ẏẍ ẋ 3 ) d = = ÿẋ ẏẍ ẋ 2 ẋ ÿẋ ẏẍ d( ) ẋ 3 dt dt d Primer 26 = a(t sin t) ẋ = a( cos t) ẍ = a sin t y = a( cos t) ẏ = a sin t ÿ = a cos t y = ẏ ẋ = a sin t = a( cos t) sin t cos t y = a cos t a( cos t) a2 sin 2 t a 3 ( cos t) 3 4. Viši diferencijali = a2 (cos t ) a 3 ( cos t) 3 = a( cos t) 2 = ÿẋ ẏẍ ẋ 3 Ako je funkcija y() diferencijabilna n puta na intervalu (a, b) onda je diferencijal n-tog reda funkcije d n y = d n f() = f (n) ()(d) n.

12 4.2 Lopitalovo pravilo 29 Ako je d konstantan priraštaj, onda je d n y = d(d n y) Preko diferencijala se može izraziti n-ti izvod kao 4.2 Lopitalovo pravilo f (n) () = dn y (d) n. Pri izračunavanju granični vrednosti funkcija mogu se pojaviti neodreženi izrazi, kao što je to, na primer, izraz oblika 0. Naime, ako f() 0 ( a) 0 i g() 0 ( a) onda je je izraz f() u okolini tačke = a neodreženi g() izraz oblika 0. Na analogan način se definišu i drugi neodreženi izrazi, kao 0 što su izrazi, 0,, 00,, 0. Ovi neodreženi izrazi se u nekim slučajevima mogu rešiti Lopitalovim pravilom. Teorema 3 ( Lopitalova teorema) Neka funkcije f() i g() ispunjavaju uslove: ) a f() = a g() = 0 2) f () i g () postoje za svako iz neke okoline tačke a, sem eventualno za = a 3) g () 0 za a iz te okoline f () 4) Postoji a g () = A tada je f() a g() = f () a g () = A. Ako je f () = g () = 0 i ako za funkcije f () i g () važe uslovi a a pretodne teoreme, onda je f () a g () = f () a g (). Lopitalovo pravilo važi i u slučaju da je a =. Zaista, ako se uvede smena nezavisno promenljive sa =, onda ( ) (t 0), pa je t f() g() = f( ) t t 0 g( ) = f ( )( ) t t 2 t 0 g t ( )( ) = f () g t t (). 2

13 4.2 Lopitalovo pravilo 30 Primer 27 6( sin ) 0 3 6( cos ) = sin = 0 6 zbog čega se funkcije 6( sin ) i 3 nazivaju ekvivalentnim beskonačno ma veličinama u okolini tačke = 0. To znači da za vrlo male vrednosti važi da je 6( sin ) 3 odnosno sin 3. 6 Primer 28 Primenom Lopitalovog pravila mogu se lako dokazati osnovne granične vrednosti. 0 sin 0 0 e ln( + ) 0 ( + ) α = cos = 0 e = 0 = = 0 +) = = 0 α( + ) α = = α Teorema 4 Ako funkcije f() i g() ispunjavaju uslove Lopitalove teoreme izuzev uslova, a umesto ovog uslova važi f() = g() =, tada je a a f() a g() = f () a g () = A. Ova teorema važi i kada je a =. Primer 29 n e = n n e = n(n ) n 2 e n! =... e = 0 f () U svim slučajevima važi: ako ne postoji a, to ne znači da ne g () f() postoji a g(). Primer 30 + sin Na izračunavanje, ne može se primeniti Lopitalova teorema + cos jer ne postoji. Mežutim polazna granična vrednost ipak postoji jer je + sin + sin = =.

14 4.2 Lopitalovo pravilo 3 Kada je u pitanju neodreženost oblika 0, odnosno ako za proizvod funkcija f() g() važi f() = 0 i g() = onda proizvod f() g() a a treba napisati u obliku f() ili g() pa se neodreženost 0 svodi na 0 ili. 0 g() f() Kada je u pitanju neodreženost oblika, odnosno ako za razliku funkcija f() g() važi f() g() treba napisati u obliku f()[ g() f() a f() = + i a g() = +, tada izraz f() ] ili u obliku g()[ ] g() f() čime se dobija odrežen izraz izuzev kada je =. U tom slučaju a g() neodreženost se svodi na neodreženost 0. Korišćenjem jednakosti [f()] g() = e g() ln f() za f() > 0 sva tri slučaja neodreženosti, 0 i 0 0 takože se svode na neodreženosti 0. Primer 3 (ctg 0 ) = sin ctg( 0 cos ) = cos sin ctg( ) 0 cos cos sin cos sin cos = = 0 0 = 0 sin sin cos cos + cos sin = 0 2 = 0 sin + cos Primer 32 ( + ) = e ln(+ ) = e ln(+ ) ln( + ) = ln( + ) = + = ( + ) = e = e = + 2 ( 2 )