5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
|
|
- Αθάμας Παπαγεωργίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m U sistemu su x 1, x 2,, x n nepoznate veličine, dok su a ij, 1 i m, 1 j n zadati koeficijenti, a b i, 1 i m zadati slobodni članovi Pri tome broj jednačina m i broj nepoznatih n mogu biti u bilo kom od odnosa m < n, m = n ili m > n Pod rešenjem sistema linearnih jednačina podrazumevamo bilo koji skup od n brojeva α 1, α 2,, α n koji za x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n identički zadovoljavaju sistem Sistem linearnih jednačina ne mora uvek imati rešenje Npr sistem x + y = 1 x + y = 2 nema rešenja jer ne postoje brojevi koji mogu da ga zadovolje Takože, ukoliko sistem ima rešenje, to ne znači da mora imati samo jedno rešenje Tako, npr sistem jednačina x + y = 1 2x + 2y = 2 ima beskonačno mnogo rešenja oblika x = α, y = 1 α gde je α proizvoljan broj Za nepoznatu x se u ovom slučaju kaže da je slobodna a za y da je vezana Uopšte, kada sistem linearnih jednačina ima više od jednog rešenja, onda je barem jedna nepoznata slobodna, što praktično znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja Prema tome da li ima ili nema rešenja, i ukoliko ih ima, da li ima jedno jedino ili više rešenja, sistem linearnih jednačina može biti: 1 odrežen, ako ima samo jedno rešenje, 2 neodrežen, ako ima više od jednog (beskonačno mnogo) rešenja,
2 5 Sistemi linearnih jednačina 48 3 nemoguć (protivrečan) ako nema rešenja Odreženi i neodreženi sistemi se nazivaju jednim imenom saglasnim sistemima Saglasan sistem, dakle, ima bar jedno rešenje Ako su svi slobodni članovi sistema jednaki nuli: b 1 = b 2 = = b n = 0 sistem je homogen, u protivnom je nehomogen saglasan, jer ima bar jedno rešenje: Svaki homogen sistem je x 1 = x 2 = x n = 0 Ovo rešenje se naziva trivijalnim rešenjem Ukoliko je homogen sistem odrežen, on ima samo trivijalno rešenje Neodrežen homogen sistem ima i rešenja koja su netrivijalna Primer 33 Sistem x + y = 0 x y = 0 ima samo trivijalno rešenje, dok sistem x + y = 0 2x + 2y = 0 ima beskonačno mnogo rešenja oblika x = α, y = α Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako je svako rešenje jednog sistema istovremeno i rešenje drugog sistema i obrnuto Transformacije koje sistem linearnih jednačina prevode u njemu ekvivalentan sistem su 1 Zamena mesta dveju jednačina, 2 Množenje svih koeficijenata jedne jednačine konstantom c 0, 3 Dodavanje koeficijenata jedne jednačine odgovarajućim koeficijentima neke druge jednačine Primer 34 Dat je sistem 2x + y z = 2
3 51 Gausov postupak eliminacije 49 x + 2y + 3z = 4 x + y + z = 3 Zamenom mesta prve i treće jednačine dobija se ekvivalentan sistem x + y + z = 3 x + 2y + 3z = 4 2x + y z = 2 Ako se koeficijenti prve jednačine najpre dodaju odgovarajućim koeficijentima druge jednačine, a potom se pomnože sa -2 i dodaju koeficijentima treće jednačine dobija se sistem: x + y + z = 3 3y + 4z = 7 y 3z = 4 Zamenom mesta druge i treće jednačine dobija se: x + y + z = 3 y 3z = 4 3y + 4z = 7 Množenjem koeficijenata druge jednačine sa 3 i njihovim dodavanjem na koeficijente treće jednačine dobija se sistem ekvivalentan polaznom: x + y + z = 3 y 3z = 4 5z = 5 51 Gausov postupak eliminacije Gausov postupak (metoda) eliminacije je postupak kojim se može rešavati bilo koji sistem jednačina m < n, m = n, m > n U Gausovom postupku pretpostavlja se da je 0 Naime, ako u konkretnom sistemu u prvoj jednačini koeficijent uz x 1 ne bi bio različit od nule u sistemu mora postojati bar jedna jednačina u kojoj je koeficijent uz x 1 različit od nule, i onda se ta jednačina i prva jednačina zamene, čime se dobija ekvivalentan sistem u kome je 0
4 51 Gausov postupak eliminacije 50 Ako se sada prva jednačina podeli sa dobije se ekvivalentan sistem x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m Ako se sada prva jednačina ovog sistema pomnoži sa a 21 i doda drugoj jednačini, a zatim pomnoži sa a 31 i doda trećoj jednačini i tako redom, dobija se novi ekvivalentni sistem x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 (a a 12 a 21 )x 2 + (a 23 a 13 a 21 )x (a 2n a 1n a 21 )x n = b 2 b 1 a 21 (a m2 a 12 a m1 )x 2 +(a m3 a 13 a m1 )x 3 + +(a mn a 1n a m1 )x n = b m b 1 a m1 odnosno, ako uvedemo nove oznake a 1j = 1j a ij a 1j a i1 = ij j = 2,, n b 1 = b 1 i = 2,, m j = 2,, n dobijamo sistem b i b 1 a i1 = b i i = 2,, m x x x nx n = b 1 x x nx n = b 2 m2x 2 + m3x mnx n = b m u kome je samo u prvoj jednačini koeficijent uz x 1 različit od nule Drugim rečima, nepoznata x 1 eliminisana je iz svih jednačina počev od druge pa nadalje Mi možemo dalje pretpostaviti da je 0 Ako to ne bi bio slučaj, onda se, kao i u prethodnom koraku, traži jednačina u kojoj je koeficijent uz
5 51 Gausov postupak eliminacije 51 x 2 različit od nule Potom se zamenom mesta te jednačine i druge jednačine postiže da bude 0 Može se, mežutim, desiti i da svi koeficijenti uz x 2 budu jednaki 0, odnosno da važi i2 = 0, i = 2,, m U tom slučaju proverava se da li postoji bar jedan koeficijent ij 0, j {3,, n}, i {2,, m}, odnosno da li postoji koeficijent uz neku promenljivu x j, za j > 2, u nekoj, i-toj jednačini (i 2), koji je različit od 0, u kom slučaju sada promenljive x 2 i x j mogu zameniti mesta tako da opet bude 0 Poslednja mogućnost je da su svi koeficijenti ij, i = 2,, m, j = 2,, n jednaki nuli, odnosno da se sistem sveo na: x x x nx n = b 1 0 = b 2 0 = b m U ovom, poslednjem slučaju Gausov postupak se završava Iz ovako dobijenog sistema jasno je da on može biti saglasan ako i samo ako su svi slobodni koeficijetni b i = 0, i = 2,, m U tom slučaju sistem se praktično svodi na jednu jednačinu sa n nepoznatih, što znači da dobijeni sistem, pa samim tim i njemu ekvivalentan polazni sistem, predstavlja sistem sa beskonačno mnogo rešenja Pri tome je n 1 nepoznatih slobodno, a jedna nepoznata je vezana Ako je, pak, bar jedan od slobodnih koeficijenata b i 0, dobijeni sistem, a time i polazni, je nemoguć Vratimo se sada na pretpostavku da je 0 U tom slučaju deljenjem druge jednačine sa dobija se ekvivalentan sistem x x x nx n = b 1 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a m2x 2 + m3x mnx n = b m Dalje, ako se druga jednačina množi redom sa i2 i dodaje i-toj jednačini i = 3,, m, dobija se ekvivalentan sistem:
6 51 Gausov postupak eliminacije 52 x x x nx n = b 1 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a ( 33 a 23 a 32)x ( 3n a 2n a 32)x n = b 3 b 2 32 ( m3 a 23 a m2)x ( mn a 2n a m2)x n = b 3 b m m2 odnosno ako se uvedu nove oznake 2j = 2j j = 3,, n b 2 = b 2 ij a 2j i2 = ij i = 3,, m j = 3,, n dobija se sistem b i b 2 i2 = b i i = 3,, m x x x nx n = b 1 x x nx n = b 2 33x nx n = b 3 m3x mnx n = b m Ovaj sistem ekvivalentan je sa polaznim sistemom, a u njemu je sada promenljiva x 2 eliminisana iz svih jednačna počev od treće jednačine pa nadalje Daljim sprovoženjem analognog postupka eliminacije nepoznatih x 3, x 4, postupak će se završiti na ekvivalentnom sistemu koji ima oblik x x x kx k + + 1nx n = b 1 x x kx k + + 2nx n = b 2 x kx k + + 3nx n = b 3 x m + + a (m) mn x n = b (m) m
7 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 53 koji je uvek saglasan, ili na sistemu čiji je oblik x x x kx k + + 1nx n = b 1 x x kx k + + 2nx n = b 2 x kx k + + 3nx n = b 3 x k + + a (k) kn x n = b (k) k 0 = b (k) k+1 0 = b (k) m pri čemu je k < m, a koji je saglasan ako i samo ako je b (k) i = 0 za sve vrednosti i = k + 1,, m, dok je u protivnom nemoguć U slučaju kada je ovaj sistem saglasan, on ima praktično isti oblik kao i prethodni, pa ćemo nadalje razmatrati samo ovaj prethodni Ako se radi o saglasnom sistemu i ako je pri tome m = n (odnosno k = n), u kom slučaju se poslednja jednačina svodi na x n = b (n) n onda sistem ima jedinstveno rešenje Vrednosti koje čine ovo rešenje se dobijaju tako što se vrednost za x n dobije iz poslednje jednačine a zatim uvrsti u pretposlednju jednačinu, pa se odatle izračuna vrednost za x n 1 Postupak se nastavlja analogno sve do prve jednačine u kojoj se izračunava x 1 na osnovu već izračunatih vrednosti x n, x n 1,, x 2 Ako je sistem saglasan a pri tome je m < n (odnosno k < n), onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja Sve nepoznate x m+1, x m+2,, x n su slobodne, odnosno mogu imati proizvoljne vrednosti, dok su nepoznate x 1, x 2,, x m vezane, odnosno izražavaju se u funkciji slobodnih nepoznatih Gausovom metodom se, prema tome: 1 utvržuje da li je sistem saglasan ili nemoguć i 2 u slučaju saglasnog sistema dobijaju se rešenja sistema 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti moguće je samo ukoliko je broj jednačina jednak broju nepoznatih, odnosno, ako je m = n
8 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 54 Sistem je u tom slučaju x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Matrica koju formiraju koeficijenti uz nepoznate a ij a 12 a 1n a 21 a a 2n S = a n1 a n2 a nn se naziva matricom sistema a njena determinanta a 12 a 1n a 21 a a 2n D s = a n1 a n2 a nn determinantom sistema Za rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti, pored determinante sistema, koristi se još n determinanti D k, k = 1,, n koje se dobijaju tako što se u determinanti D s, k-ta kolona zameni kolonom slobodnih članova a 12 a 1k 1 b 1 a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 b 2 a 2k+1 a 2n D k = a n1 a n2 a nk 1 b n a nk+1 a nn Primena determinanti za rešavanje sistema linearnih jednačina praktično se zasniva na sledećoj teoremi: Teorema 2 Neka sistem n linearnih jednačina sa n nepoznatih ima bar jedno rešenje Tada, za svako rešenje sistema x 1 = α 1 x 2 = α 2 x n = α n važe jednakosti α k D s = D k k = 1, 2,, n
9 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 55 Dokaz 5 Pomnožimo determinantu D s sa α k i to tako što pomnožimo upravo njenu k-tu kolonu: a 1k a 1n α k a 1k a 1n a 21 a 2k a 2n a 21 α k a 2k a 2n α k D s = α k = a n1 a nk a nn a n1 α k a nk a nn U dobijenoj determinanti pomnožimo prvu kolonu sa α 1, pa je dodamo k-toj koloni, zatim drugu kolonu sa α 2, pa i nju dodamo k-toj koloni, i tako redom do n-te kolone koju pomnožimo sa α n i dodamo takože k-toj koloni, tako da konačno dobijemo a 12 a 1k 1 α 1 + a 12 α a 1n α n a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 a 21 α 1 + a α a 2n α n a 2k+1 a 2n α k D s = a n1 a n2 a nk 1 a n1 α 1 + a n2 α a nn α n a nk+1 a nn Kako je α 1, α 2,, α n rešenje sistema, to je α 1 + a 12 α a 1n α n = b 1 a 21 α 1 + a α a 2n α n = b 2 pa je a n1 α 1 + a n2 α a nn α n = b n a 12 a 1k 1 b 1 a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 b 2 a 2k+1 a 2n α k D s = a n1 a n2 a nk 1 b n a nk+1 a nn = D k što je i trebalo dokazati Ako je, dakle, α 1, α 2, α n rešenje sistema i D s 0, odnosno matrica sistema je regularna, onda je α k = D k D s Za sisteme jednačina u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih važi tzv Kramerovo pravilo: Ako je matrica sistema regularna, odnosno ako
10 53 Matrične jednačine 56 je D s 0, onda je sistem odrežen, odnosno, saglasan je i ima jedinstveno rešenje x k = D k k = 1, 2,, n D s Sa druge strane, ako je matrica sistema singularna, odnosno ako je D s = 0, a bar jedna od determinanti D k 0, k {1, 2,, n}, onda je sistem nemoguć Naime, ako bi sistem imao rešenje pri D s = 0 i D k 0 za neko k, onda bi važilo D k = α k D s = 0 što protivreči uslovu D k 0 Ukoliko je D s = 0 i D k = 0 k = 1, 2,, n onda sistem sigurno nije odrežen, ali preostaju dve druge mogućnosti: da je sistem neodrežen (ima beskonačno mnogo rešenja) ili da je nemoguć (nema rešenja), ali se do rešenja sistema u ovom slučaju ne može doći pomoću determinanti Konačno, ako je u pitanju homogen sistem jednačina, odnosno sistem u kome su slobodni koeficijenti b 1 = b 2 = = b n = 0, onda će uvek biti D 1 = D 2 = = D n = 0 jer svaka od ovih determinanti sadrži jednu kolonu u kojoj se nalaze slobodni koeficijenti, odnosno same nule Kako je, sa druge strane, homogen sistem uvek saglasan, to znači da za D s 0 sistem ima jedinstveno rešenje, a to je trivijalno rešenje, dok je za D s = 0 sistem neodrežen, odnosno ima beskonačno mnogo rešenja 53 Matrične jednačine Sistem linearnih jednačina x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m može se izraziti u obliku matrične jednačine gde je A X = B
11 54 Kroneker-Kapelijeva teorema 57 A = a 12 a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2 a mn matrica sistema, dok su X i B vektori kolone X = x 1 x 2 x n B = b 1 b 2 b m Ako je sistem kvadratan (m = n), a matrica sistema A regularna (deta 0), onda za nju postoji inverzna matrica A 1, pa se rešenje matrične jednačine može dobiti na sledeći način A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A) X = A 1 B I X = A 1 B X = A 1 B 54 Kroneker-Kapelijeva teorema Za sistem lineranih jednačina čija je matrica sistema x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 12 a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2 a mn
12 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 58 može se formirati i sledeća matrica a 12 a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn b m koja se naziva proširenom matricom sistema Teorema 3 (Kroneker-Kapeli) Sistem linearnih jednačina je saglasan ako i samo ako je r = ranga = ranga odnosno ako je rang matrice sistema r jednak rangu proširene matrice sistema Za saglasne sisteme važi: 1 Ako je rang matrice A sistema r = n (pri čemu mora biti n m) onda sistem ima jedinstveno rešenje 2 Ako rang matrice A sistema r < n onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja pri čemu je n r nepoznatih slobodno, a r ih je vezano (zavisno od slobodnih nepoznatih) Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme direktno sledi da je svaki homogeni sistem saglasan jer se matrica sistema proširuje kolonom slobodnih koeficijenata čije su vrednosti same nule pa se ovakvim proširenjem rang matrice ne može povećati, odnosno ranga = ranga 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice Za kvadratne matrice mogu se definisati sopstveni vektori i sopstvene vrednosti Naime, svaka matrica kolona (vektor) X = naziva se sopstveni vektor kvadratne matrice A reda n ako postoji skalar λ takav da je x 1 x 2 x n A X = λx
13 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 59 U tom slučaju se skalar λ naziva sopstvena vrednost matrice A koja odgovara sopstvenom vektoru X Jednačina može da se napiše i kao odnosno Kako je matrica (A λi) = to matričnoj jednačini A X = λx A X λx = 0 (A λi) X = 0 λ a 12 a 1n a 21 a λ a 2n a n1 a n2 a nn λ odgovara homogeni sistem jednačina (A λi) X = 0 Determinanta ovog sistema ( λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + (a λ)x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = b n det(a λi) = λ a 12 a 1n a 21 a λ a 2n a n1 a n2 a nn λ predstavlja polinom po λ i naziva se karakterističnim polinomom matrice A Odgovarajuća algebarska jednačina det(a λi) = 0
14 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 60 naziva se karakterističnom jednačinom matrice A Iz načina formiranja karakterističnog polinoma sledi da rešenja karakteristične jednačine predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A, a zamenom sopstvenih vrednosti u sistem (A λi) X = 0 dobijaju se odgovarajući sopstveni vektori matrice A Primer 35 Za zadatu matricu A = karakteristični polinom se dobija rešavanjem determinante A = odakle sledi karakteristična jednačina 3 λ λ λ λ 3 9λ λ 16 = 0 Rešenja ove jednačine su λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 4 i ona predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A Za sopstvenu vrednost λ 1 = 1 dobija se homogeni sistem 2x + y z = 0 x + 2y + z = 0 x + y + 2z = 0 čija su rešenja oblika (α, α, α) Odavde sa sopstveni vektor za λ 1 = 1 može dobiti izborom proizvoljne vrednosti α 0, recimo α = 1, u kom slučaju je odgovarajući sopstveni vektor X 1 = Za λ 2 = λ 3 = 4 imamo sistem x + y z = 0 x y + z = 0
15 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 61 z + y z = 0 čija su rešenja (α β, α, β), odakle se za α = 1 i β = 0 dobija sopstveni vektor 1 X 2 = 1 0 a za α = 0 i β = 1 sopstveni vektor 1 X 3 = 0 1
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Sistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Determinante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Linearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
UNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010.
UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 00 MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: Doc dr Ivana Kova evi Recenzent: Prof dr Nenad Caki Izdava : UNIVERZITET
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Linearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2017 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 31
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Bulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +
Diferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Vektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Norme vektora i matrica
2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće
Induktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe