Fizica fluidelor Cursul 8

Fizica fluidelor Cursul 8 Victor E. Ambruș Universitatea de Vest din Timișoara 25.11.2016

Capitolul V. Curgeri potențiale. V.1. Mișcarea potențială plană. V.2. Exemple de curgeri potențiale plane. V.3. Principiul superpoziției. V.4. Acțiunea hidrodinamică asupra obstacolului.

V.2.7. Soluțiile ecuației curgerii potențiale. Funcția de curent ψ și potențialul vitezelor φ satisfac ecuația Poisson: N Γ N k ψ = Γ i δ(x x i δ(y y i, φ = k j δ(x x j δ(y y j, i=1 unde am luat în considerare existența a N Γ vârtejuri punctiforme de intensitate Γ i și N k surse pozitive sau negative de intensitate k j. Soluția generală a ecuației Poisson se poate scrie după cum urmează: N Γ ψ(x = ψ 0 (x i=1 N Γ φ(x = φ 0 (x + i=1 j=1 Γ i 2π ln x x i + Γ i θ i 2π N k j=1 k θ j 2π, Nk + k j 2π ln x x j, (1 unde θ i = arctan y y i x x i reprezintă unghiul polar θ sub care se vede punctul (x, y față de (x i, y i. Funcțiile ψ 0 (x și φ 0 (x satisfac ecuația Laplace: j=1 ψ 0 (x = 0, φ 0 (x = 0.

V.2.7. Soluțiile ecuației curgerii potențiale. În coordonate cilindrice, soluția generală a ecuației Laplace se poate scrie după cum urmează: φ = n [ cos nθ ( A + n R n + A n R n + sin nθ ( B + n R n + B n R n], unde constantele A ± n și B ± n sunt fixate de condițiile pe frontieră. Dacă sistemul este periodic după θ, n poate lua doar valori întregi. Pentru calcularea vitezei în coordonate cilindrice, sunt utile formulele: u R = R φ = R 1 θ ψ, u θ = R 1 θ φ = R ψ. Aceste relații permit exprimarea lui ψ după cum urmează: ψ = [ ( cos nθ B + n R n + Bn R n + sin nθ ( A + n R n A n R n]. n

V.3. Principiul superpoziției. V.3.1. Condiții pe frontieră. Funcțiile φ și ψ sunt definite unic de distribuția de surse și de condițiile pe frontieră. De regulă, pe frontieră se impun valorile câmpului de viteză, ceea ce înseamnă condiții de tip Neumann pentru φ și ψ. Cele mai des întâlnite condiții pe frontieră sunt: 1. Perete impenetrabil: Componenta perpendiculară a vitezei la suprafața solidă trebuie să se anuleze: n φ = φ n = 0, ψ ds ψ = s = 0, unde n este normala la suprafața frontierei solide iar s parametrizează conturul acesteia; 2. Condiții la infinit: În unele probleme se cere ca viteza să aibă o anumită valoare la intrarea în canal: xφ = y ψ = U, y φ = xψ = 0, (2 unde s-a presupus că fluidul intră în canal pe direcția x. Deoarece ecuația Poisson e liniară, mișcarea datorată mai multor cauze se face ca și cum fiecare cauză ar exista independent. Soluția generală e o superpoziție a unor soluții particulare.

V.3.2. Potențialul dubletului. Să considerăm f (z = f + (z + f (z suma dintre o sursă f + (z = k 2π ln(z z + și un puț f (z = k 2π ln(z z, localizate în z ± = ±εe iα, având intensitățile ±k. Limita când ɛ 0, dar 2εk m duce la: f (z = meiα 2πz. (3 Funcția de mai sus definește dubletul în origine având momentul m și orientarea α. f (z este olomorfă peste tot, mai puțin în z = 0, unde are o singularitate polară (viteza nu este definită în acest punct. Potențialul vitezelor și funcția de curent sunt: φ = m m cos(θ α, ψ = sin(θ α. (4 2πR 2πR Liniile de curent se obțin ca soluții la ecuația cercului: (x + λ sin α 2 + (y λ cos α 2 = λ 2, (5 în timp ce câmpul de viteze este definit de (z = Re iθ : u x = m 2πR 2 cos(2θ α, u y = m sin(2θ α. (6 2πR2

Potențialul dubletului. 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 0.0-0.5-0.5-1.0-1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 m = 1, α = 0 m = 1, α = 0

V.3.3. Mișcarea cu circulație în prezența obstacolului circular. Să considerăm f (z = U (z + a2 z Rezultă următoarele potențiale: φ = xu (1 + a2 R 2 + Γθ 2π, Câmpul de viteze este dat de: u θ = U sin θ (1 + a2 R 2 + Γ 2πR, + Γ ( z 2πi ln. a (1 ψ = yu a2 R 2 Γ 2π ln R a. u R = U cos θ (1 a2 R 2. Pe suprafața cilindrului, u R = 0 și u θ se anulează când: sin θ = Γ 4πaU. În cazul Γ 4πaU avem două puncte de stagnare (unul în caz de egalitate pe suprafață cilindrului. Când Γ > 4πaU, punctul de stagnare se deplasează pe dreapta cos θ = 0 în punctul unde R = Γ ( 2 4πaU 1 + 1. 4πU Γ

Mișcarea cu circulație în prezența obstacolului circular. 2 a = 1, U = 1 2 1 1 0 0-1 -1-2 -2-2 -1 0 1 2 Γ = 3.5πaU -2-1 0 1 2 Γ = 4.5πaU

V.3.4. Metoda imaginilor. O aplicație a principiului superpoziției este că se pot introduce linii de curent eligibile pentru solidificare prin oglindirea funcției de curent: ψ(x, y ψ (x, y = ψ(x, y ψ(x, y. Transformarea de mai sus oferă o linie de curent la y = 0, care poate fi solidificată. Oglindirea lui ψ este echivalentă cu oglindirea sursei ω: unde ω (x, y = ω(x, y ω(x, y. ψ = ω ψ = ω, (7 În cazul potențialului vitezelor generat de o sursă q(x, y, putem introduce un perete plan prin transformarea q(x, y q (x, y = q(x, y + q(x, y, astfel că φ (x, y = φ(x, y + φ(x, y și u y = y φ (x, y se anulează când y = 0.

V.3.5. Sursa în prezența unui perete vertical. Să considerăm curgerea corespunzătoare unei surse de intensitate k localizată în x = x 0 în prezența unui perete la x = 0. Potențialul complex este: f (z = k 2π [ln(z x 0 + ln(z + x 0 ]. Rezultă pentru ψ și φ: ( arctan ψ = k 2π y x x 0 + arctan y 1.0 0.5 0.0-0.5-1.0, x + x 0 φ = k 4π ln { [(x x 0 2 + y 2 ][(x + x 0 2 + y 2 ] }. Rezultă câmpul de viteze: kx(x 2 + y 2 x0 2 u x = π[(x x 0 2 + y 2 ][(x + x 0 2 + y 2 ], ky(x 2 + y 2 + x0 2 u y = π[(x x 0 2 + y 2 ][(x + x 0 2 + y 2 ]. -1.0-0.5 0.0 0.5 1.0

V.4. Acțiunea hidrodinamică asupra obstacolului. V.4.1. Forța asupra obstacolului. Densitatea liniară (în raport cu axa z a forței pe elementul de suprafață al obstacolului este dr = Pnds, unde n este normala exterioară la suprafața corpului iar s parametrizează conturul C al acestuia. Din moment ce obstacolul reprezintă o linie de curent solidificată, avem ψ[x(s, y(s] = const și n = ± ψ/ ψ, unde semnul este ales astfel încât n să aibă sensul înspre exteriorul suprafeței. Din condiția dψ/ds = 0 rezultă: Gradientul lui ψ devine: ψ = ψ y ψ x = dy ψ dx y. ( dy dx i + j, ψ = ψ ds y dx. (8 Rezultă nds = idy jdx iar forța pe C poate fi calculată folosind (z = x iy: R x ir y = i P dz, (9 C

V.4.2. Momentul forței asupra obstacolului. Densitatea liniară a momentului forței este dm = x Pnds. Din moment ce x și n se află în planul xoy, dm = (0, 0, dm iar Folosind n = idy jdx rezultă: dm = P(xn y yn x ds. dm = P(xdx + ydy. Integrând pe conturul C al obstacolului rezultă: { } M = Re Pzdz, (10 C unde s-a folosit Re(zdz = Re(xdx + ydy + iydx ixdy = xdx + ydy.

V.4.3. Formulele lui Blasius și Ciaplâghin. Pentru curgerile irotaționale se aplică teorema lui Bernoulli: 1 dp 2 u2 + ρ + Ω = const. Pentru curgerea incompresibilă în care forțele masice sunt neglijabile: P = 1 2 ρu2 + const. (11 Integrala pe contur închis a lui const e nulă, astfel că: R x ir y = iρ w 2 dz, (12 2 unde w = df /dz, ținând cont că df = df = dφ pe linia de curent. Pentru momentul forței rezultă: M = ρ { } 2 Re w 2 z dz. (13 Ecuațiile (12 și (13 poartă numele de formulele lui Blasius și Ciaplâghin. Teorema lui Cauchy permite evaluarea integralelor pe orice contur C atâta timp cât w 2 și w 2 z nu au singularități între C și C. C

V.4.4. Paradoxul lui d Alembert. Să considerăm obstacolul circular în mișcare cu circulație: f (z = U (z + a2 + Γ ( z z 2πi ln. a Pe contur avem z = Re iθ și dz = izdθ, astfel încât: { 2π R n+1 z n dz = ir n+1 dθ e i(n+1θ = n+1 (e2πi(n+1 1, n 1, 2πi, n = 1. 0 Pentru cazul n Z dar n 1, integrala de contur se anulează. Cu aceste considerente, rezultă: R x = 0, R y = ρuγ. (14 Forța pe direcția x reprezintă forța de rezistență la înaintare (drag și se notează cu D. Forța pe direcția y reprezintă portanța (lift și se notează cu L. Faptul că D = 0 pentru un cilindru care se deplasează într-un mediu fluid poartă numele de paradoxul lui d Alembert. Forțele de rezistență pentru astfel de curgeri sunt induse de caracterul neideal al fluidului, datorită căruia în aval apar vârtejuri care disipează energia cinetică a obstacolului.

IV.4.5. Efectul Magnus. În curgerile reale se impune ca viteza de alunecare între fluid și suprafețele solide să fie nulă. În cazul cilindrului în mișcarea cu circulație Γ 4πaU, viteza la suprafața cilindrului este: u R = 0, u θ Γ 2πa. (15 Această curgere corespunde unui cilindru în rotație cu viteza unghiulară Ω = Γ/2πa 2. Portanța asupra unui astfel de cilindru este: L = ρuγ = 2πa 2 ρωu. (16 Expresia (16 poartă numele de forță Kutta-Jukovski Semnul portanței se poate determina exprimând ec. (16 ca un produs vectorial între Ω = (0, 0, Ω și viteza relativă U R = ( U, 0, 0 a obiectului față de fluidul în repaus: L = 2πa 2 ρω U R, Astfel de forțe apar întotdeauna când un corp în rotație străbate un mediu fluid, deviația traiectoriei indusă de acest tip de forță purtând numele de efect Magnus.

Probleme 1. Teorema lui Bernoulli pentru curgeri staționare, incompresibile și irotaționale. Să se arate că pentru un fluid staționar, incompersibil și irotațional, ecuația Cauchy ρd t u = P se reduce la P + 1 2 ρu2 = const. (se neglijează forțele masice. 2. Folosind teorema lui Cauchy, să se studieze forța Kutta-Jukovski asupra unui corp cilindric în curgere cu circulație în prezența unei surse de intensitate k localizată în centrul cilindrului: f (z = U (z + a2 z + k iγ 2π ln z a. [Răspuns: D = ρuk, L = ρuγ.] 3. Curgerea în prezența unui obstacol cilindric e perturbată prin adăugarea unei viteze verticale mici: ψ = Uy (1 a2 Uγx. a Să se arate că punctele de stagnare se găsesc la R = a/(1 + γ 2 1/4 și θ { 1 arctan γ, π + 1 arctan γ}. 2 2 b Permite această curgere existența unui obstacol închis? R 2

Probleme 4. Considerând b, U, Q și Γ constante reale pozitive, să se găsească liniile de curent și să se calculeze presiunea pe axa x în raport cu o presiune de referință pentru următoarele curgeri: a ψ = b R cos(θ/2 [ cu θ < 180 ; b ψ = Uy + (Γ/2π ln( x 2 + (y b 2 ln( ] x 2 + (y + b 2 ; c φ = n= (k/2π ln( x 2 + (y 2na 2, cu y < a. 5. Să se studieze curgerea potențială staționară obținută prin combinarea unei curgeri uniforme cu viteza U de-a lungul axei x, a unei surse de intensitate k > 0 localizată în ( a, 0 și a unui puț de intensitate k la (a, 0 (cu a > 0. Presiunea pentru x p e constantă. Să se determine: a Potențialul vitezelor și funcția de curent; b Coordonatele punctelor de stagnare; c Presiunea de-a lungul axei y; d Să se găsească ecuația transcendentă care descrie linia de curent închisă.