Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο Δ, για την οποία ισχύει: F' = f, Δ. Θεώρημα Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής F+ c είναι παράγουσες της f στο Δ, c R και αντίστροφα: κάθε παράγουσα G της f θα έχει τη μορφή G = F + c, c R Ορισμός Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f το ονομάζουμε ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗ- ΡΩΜΑ της f στο Δ και το συμβολίζουμε με f d. Η διαδικασία εύρεσης της παράγουσας μιας συνάρτησης ονομάζεται ολοκλήρωση της συνάρτησης. Συνέπεια του ορισμού είναι η ιδιότητα f' d= f + C, c R και ο επόμενος πίνακας Αορίστων ολοκληρωμάτων. Πίνακας Αόριστων Ολοκληρωμάτων 0d = c, c R cd = c + c d = n + c, c R v+ v+ v α d = α + c, c R d = + c, c R συνd = ημ+ c, c R ημd = συν + c, c R = + ed e c,c R d = εφ + c, c R συν d = σφ + c, c R ημ d = + c, c R α nα αd = + c,c R

5. Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης Αναφέρουμε τις ιδιότητες αορίστων ολοκληρωμάτων. * λf d = λf d, λ R,. λf + μg d = λ f d+ μ g d Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Μέθοδος τωνπαραγουσών. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Μέθοδος της αντικατάστασης λ,μ R * Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος Η διαδικασία που ακολουθούμε στην εύρεση της παράγουσας μιας συνεχούς συνάρτησης καθορίζεται από τον τύπο της και ακολουθούμε την Μέθοδο των παραγουσών όταν οι συναρτήσεις μας επιτρέπουν με απλούς συλλογισμούς χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος και τους κανόνες παραγώγισης να καταλήξουμε στην παράγουσα F της f. Η παραγώγιση της F θα επαληθεύσει το αποτέλεσμα. Όσα ακολουθούν είναι εφαρμογή του τύπου f g g' d [ F g ] = d = F g + c, c R όπου F' = f Πίνακας Βασικών Αόριστων Ολοκληρωμάτων α+ α f Α. f f ' d = + c, α, c R α+ 9 8 8 d = d = + c, c R 9 00 00 + 6 + 00 + 6+ 0 + d = + 6+ 0 d + 6+ 0 0 = + c, c R 0 6 5 5 ημ ημ συνd = ημ ημ d = + c, c R 6 n n = nd = n nd = + c, c R + 4 + + + = + d = + c= + + c, c R + 8

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης 5. + v v v v d + d c v = + + = + = + + c, c R v + v + v Β. f' d = n f + c, c R f 5 d = d = n 5 + c, c R 5 5 ημ συν εφd = d = d = n συν + c, c R συν συν 4 4 + 6 + + 4 d = d n c, c R 4 = + + + 4 + + + + f Γ. f e f ' d = e + c, c R e d = e d = e d = e + c, c R Δ. ημf f ' d = συνf + c, c R συνf f ' d = ημf + c, c R ημ + 6 + 6 d = συν + 6 + c, c R συν n d = [ συν n ] n d = ημ n + c, c R f' Ε. d = εφ f + c, c R συν f f' d = σφ f + c, c R ημ f e d = εφ e + c, c R συν e n = σφ n c, c R = + ημ n ημ n [ ], Ζ. f ' g + f g' d = f g + c, c R f ' g f g' f d = + c, c R g g e f + f ' d = e f + c, c R

54. Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης e e e d = d c, c R = = + e e e e + = + = = + e ημ συν d e ημ e ημ d e ημ d e ημ c, c R Η. Ανάλυση σε απλά κλάσματα. Όταν έχουμε να υπολογίσουμε αόριστο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης η οποία δεν μπορεί να πάρει τη μορφή d και των οποίων ο παρονομαστής γίνεται γινόμενο f' f παραγόντων και ο αριθμητής του είναι μικρότερου βαθμού από τον παρανομαστή τότε κάνουμε διάσπαση του κλάσματος όπως φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα + 4 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: d, R {,}. 4+ Λύση Είναι 4 + + 4 + 4 α β α β α α+ β β = = + = = = + = + α β α β α+ β= α β = 4. οπότε πρέπει: α+ β α β= + 4για κάθε R {,} δηλαδή Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: 5 5 7 + β = β = + β =. Έτσι: 4 5 α = 5 α = οπότε 5 7 + 4 5 7 d = + d = d + d = + 5 7 ln + ln + c, c R. Θ. Για να υπολογίσουμε αόριστο ολοκλήρωμα κλάσματος του οποίου ο παρανομαστής γίνεται γινόμενο παραγόντων και ο αριθμητής του είναι βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του βαθμού του παρανομαστή τότε κάνουμε πρώτα διαίρεση και μετά διάσπαση.

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης 55. Παράδειγμα 4+ 5 Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα: d. + Λύση Κάνουμε τη διαίρεση: + 0 4+ 5 + + + 6 + 5 Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουμε: + 9 6 4+ 5= + + + 4+ 5 + + + Είναι d = d = + + + + = d + d = + d d d + + + = + = + n + 5 n + c, c R Το d το υπολογίσαμε όπως στο παράδειγμα με τη μέθοδο της ανάλυσης σε + άθροισμα απλών κλάσματων. Παράδειγμα Να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα: I = συν d, I = ημ d, I = ημ συν d, I = εφ d 4 Λύση + συν Γνωρίζουμε ότι συν = οπότε + συν = = = + = I συν d d d συνd = + ημ + c ημ ' = συν ' = συν 4 συν Επίσης ισχύει ημ = οπότε συν I = ημ d = d = d συνd = ημ + c, c R 4

56. Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης Είναι I = ημ συν d = ημ συν συνd = ημ ημ συνd = ημ συνd 4 = ημ συνd ημ ' = ημ ημ ' = ημ συν 5 4 4 ημ ' = 5ημ ημ ' = 5ημ συν = + 5 5 ημ ημ c, c R ημ συν Είναι I4 = εφ d = d = d d εφ c, c R = = + συν συν συν Κατηγορία Μέθοδος Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Τύπος: f ' g d = f g f g' d Χρησιμοποιείται κυρίως σε ολοκλήρωση γινομένου δύο συναρτήσεων. Ακόμη όμως και για το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f παρατηρούμε ότι: f d = f d = f d Ο τύπος μπορεί να πάρει και τις μορφές f g d = F g F g' d = f G f ' G d όπου F, G παράγουσες των f, g αντίστοιχα. Η επιλογή κατάλληλης παράγουσας γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε το ολοκλήρωμα του ου μέλους της να είναι απλούστερο στον υπολογισμό ή να είναι της μορφής κ Αρχικό. Επισημαίνουμε συνοπτικά κάποιες μορφές και ποια παράγουσα επιλέγουμε α. πολυωνυμική εκθετική με παράγουσα της εκθετικής β. πολυωνυμική τριγωνομετρική με παράγουσα της τριγωνομετρικής γ. πολυωνυμική λογαριθμική με την παράγουσα πολυωνυμικής δ. εκθετική τριγωνομετρική με παράγουσα όποια θέλουμε Διαδοχική εφαρμογή της μεθόδου κάνουμε:. Στα γινόμενα α και β μέχρι να εξαντληθούν οι δυνάμεις του πολυωνύμου. Στο δ μέχρι να προκύψει το ζητούμενο ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος και να το υπολογίσουμε επιλύοντας εξίσωση με άγνωστο ζητούμενο ολοκλήρωμα. Σημείωση: Όταν εφαρμόζεται πολλές φορές η προηγούμενη μέθοδος παίρνουμε κάθε φορά την παράγουσα της ίδιας μορφής δηλαδή ή μόνο της τριγωνομετρικής ή μόνο της εκθετικής εκτός από την περίπτωση γ. που παίρνουμε την παράγουσα της πολυωνυμικής.

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης 57. Παράδειγμα 4 Να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα: Ι = nd, I = n + d Λύση Είναι Ι = nd = ' nd = n d = n + c, c R. Επίσης I = n + d = + n + d = = + n + + n + d = + = + n + n + d = + n + + n + d = = + n + + n + + + d = + = + n + + n + + + c, c R Παράδειγμα 5 Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: I = + e d, I = + + nd, Λύση I e συν d =, I4 = συν d Είναι I = e + d = + e + e d = + e e + d = + e + e + e d = + e + e + e + c, c R Επίσης I = + + n d = + + n + + d = + + n + + d = + + n + c, c R Έχουμε I e ημ = d = e ημ ημe d = e ημ+ e συν e συνd [ ] e ημ + συν οπότε I = e ημ + e συν 4Iή I = + c, c R 5 Είναι I4 = συν d = ημ d = ημ nημ d = [ ] + = + οπότε ημ n συν d ημ n συν nσυνd

58. Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης I = ημ + συν n ni 4 4 Ι4 = ημ+ nσυν + c, c R. n ή Παράδειγμα 6 Αν Ιν Λύση v = εφ d να δείξετε ότι + = με v. v v Iv Iv εφ ν ν ν Iv εφ d εφ εφ d εφ ν ν = = = d = εφ d εφ d συν συν u= εφ ν v = εφ εφ d Iv = u du Iv = v u ν Iv = εφ Iv v v ν ν Για την ολοκλήρωση των εφ, σφ χρησιμοποιούμε τους τύπους: εφ =, σφ = συν ημ και εφαρμόζουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Κατηγορία Μέθοδος Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Θεωρητική στήριξη της μεθόδου αποτελεί ο τύπος: f g g ' d = f u du όπου u = g και du = g ' d με την προϋπόθεση ότι f u du = F u + c = F g + c, c R όπου F μια παράγουσα της f. Εφαρμόζεται από το ο μέλος στο ο σε ολοκληρώματα που έχουν η μπορούν να πάρουν την μορφή f g g' d και ο υπολογισμός του f u du είναι ευκολότερος και από το ο μέλος στο ο όταν ζητούμενο είναι το I= f dκαι υπάρχει κατάλληλη αντικατάσταση = g t οπότε d = g ' t dt που το f g t g' t dt υπολογίζεται εύκολα. Εφαρμογές:. Σε πολυώνυμα I 6 6 7 8 = + + + d = θέτουμε u = + 6+ 7 οπότε du = + 6 d 9 8 u 9 = udu= + c= + 6+ 7 + c,c R. 9 9. Σε κλάσματα n u= n u α. d = n d = n n d = udu = + c = n + c, c R

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης 59. β. y nu d n d u= n = du dy = = = nu du = = n y + c = n n n n n n u nu nu y = n nu + c = n n n + c, c R e e u= e γ. du d = d = = n u + + c = n e + + c = n e + + c, c R e + e + u+ δ. + + 4 + 4+ 5 u= + 4+ 5 du d = d = d = = + 4+ 5 + 4+ 5 + 4+ 5 u. Σε ρίζες u + c = + 4+ 5+ c, c R I = + Θέτουμε την ρίζα + = u οπότε du = d ή d = u du. + Ακόμη + = u + = u = u. Το ολοκλήρωμα γίνεται: 5 4 u u I = u uudu = u u du = + c = 5 5 = + + + c, c R 5 v μ 4. Σε ολοκλήρωση γινομένων της μορφής I = ημ συν d α. Αν υπάρχει περιττός εκθέτης κάνουμε διάσπαση. 4 4 Έτσι I = ημ συν d = ημ συν ημd = u= συν 4 4 = συν συν συν d = u u du 4 6 5 7 5 7 = u y du = u + u + c = συν + συν + c, c R 5 7 5 7 Στην περίπτωση που και οι δύο εκθέτες είναι άρτιοι χρησιμοποιούμε τους τύπους αποτετραγωνισμού: συν =, ημ = + συν συν Έτσι 4 + συν I = συν d = συν d = d = 4 + συν + συν d ημ συν d = + + = 4 4 4

60. Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης + ημ + + συν4 d = + ημ + + ημ4 + c, c R 4 4 8 4 4 8 8 4 Παράδειγμα 7 Να υπολογιστούν τα I = εφd, I = d. ημ Λύση ημ συν du Έχουμε: I = εφd = d = d = = n u + c = n συν + c, c R συν συν u ημ συν u= συν du du A B I = d = d = d du du = = = + ημ ημ συν u u u + u όπου τα Α, Β υπολογίζονται κατά τα γνωστά δηλαδή = A + B u u+ u+ u. Κατηγορία Μέθοδος 4 Εύρεση του τύπου συνάρτησης όταν γνωρίζουμε μια σχέση μεταξύ της συνάρτησης και της παραγώγου της. Βασική επιδίωξη είναι από την δοσμένη σχέση να καταλήξουμε σε ισότητα που η ολοκλήρωση των δύο μελών να μας δίνει εξίσωση που μοναδικός άγνωστος θα είναι η f. Από τα δεδομένα αν υπάρχουν υπολογίζουμε την σταθερά c. Παράδειγμα 8 Α. Να βρεθεί συνάρτηση f με Af = R, f > 0 για κάθε τέτοια ώστε f' + = f της οποίας η εφαπτομένη στο A,f έχει κλίση 8. Β. Να βρεθεί η συνάρτηση f στις παρακάτω περιπτώσεις α. f' + f = 0, f 0, f =. β. f' + f = και το C f περνά από, e γ. f' f = και C f περνά από,. Λύση f' f' + Α. = οπότε d d ή nf d = = ή f + f + + c c nf = n + + c = n + + ne = ne +. Είναι c f = e + και με = προκύπτει f ' = 8 υποθ. c c 8= f f = 8 8= e e = 6 f = 6 +

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης 6. Β.α. f' + f = 0, f 0, f' = d f = = f f = + c f = f + c, c R με = = c = 0, c R, f = + c β. Με τη χρήση της συνάρτησης e. f' + f = πολλαπλασιάζουμε με e και έχουμε: [ ] f' e + f e = e f e = e f e d = e d f e = e + c f = + ce, c R. Με = είναι e = + c e c = e e. Άρα f = + e e e. γ. Ομοίως f ' e f e f f = e e d = = e e e e f = e + c f = + ce, = = + ce c = f = + e, e e c R. Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: + 7 α. d β. d γ. + + ημ δ. e συνe d ε. d στ. + συν e + e d συν e ημ d. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: α. d β. δ. σφ d ε. 5 d 5+ 6 d ημ συν γ. εφ d στ. ημ συν d

6. Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα: α. e ημd β. lnd γ. δ. ln d ε. 4. Να βρείτε την συνάρτηση f:r R e συν d στ. για την οποία ισχύουν: f '' = 6 + 0, f ' =, f 0 = e ημd e d 5. Να βρεθεί η συνάρτηση f :R 0, + όταν για κάθε R ισχύει: και η εφαπτομένη της f + f' = f C στο, f έχει συντελεστή διεύθυνσης 8. 6. Να βρείτε τα α,β, γ R ώστε η συνάρτηση f = α + β + γ να είναι η αρχική της συνάρτησης g = + 4. 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α. συν d, β. ημ + ημ + e e + e + d 8. Να βρείτε την συνάρτηση f αν για κάθε 0, + ισχύει f f' e = και η γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f έχει εφαπτομένη με συντελεστή διεύθυνσης. 9. Να βρείτε την συνάρτηση f για την οποία ισχύει f'' = + και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A, έχει συντελεστή διεύθυνσης. 0. Να υπολογίσετε τα αόριστα ολοκληρώματα: α. d β. ημ ημ+ συν+ ημ ημ+ d 4

Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης 6. Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Ένα δοχείο αρχικά περιέχει ένα λίτρο χημικής ουσίας Χ και 0 λίτρα νερό. Η ουσία Χ αντιδρά με το νερό ώστε να σχηματιστεί αέριο. Τη χρονική στιγμή t sec απομένουν στο δοχείο υ λίτρα της ουσίας Χ ενώ ο όγκος του νερού έχει μειωθεί κατά -υ λίτρα. Ο ρυθμός μείωσης του όγκου της ουσίας Χ είναι κάθε χρονική στιγμή ανάλογος του γινομένου του όγκου της Χ και του όγκου του νερού που υπάρχει στο δοχείο τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. du α. Να δείξετε ότι ku 9 u dt = + όπου k είναι θετική σταθερά. β. Να λύσετε την παραπάνω διαφορική εξίσωση. γ. Αν είναι γνωστό ότι όταν t = 0 είναι u = 0,9 τότε να βρείτε: i. Πόσος χρόνος χρειάστηκε ώστε το της αρχικής ποσότητας της Χ να αντιδράσει με 4 το νερό. ii. Ποιος είναι ο όγκος της Χ που απομένει στο δοχείο μετά τα 5 πρώτα λεπτά. 0 6 Δίνεται: n,, n, 0 5,. 6