Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( )
Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος. Τυχαίο Πείραμα (Random Eperiment) Ω 3 n Πολυμεταβλητές ή Τυχαίο διάνυσμα Παράδειγμα: Πειραματική διαδικασία: Επιλογή ατόμου από μία αίθουσα Μας ενδιαφέρουν οι εξής τυχαίες μεταβλητές: Ηλικία () Βάρος () Ύψος (3). Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( )
Πολυδιάστατες μεταβλητές Υπάρχει ανάγκη να προσδιορίσουμε Την από κοινού συμπεριφορά όλων των μεταβλητών (χαρακτηριστικών) ως μία οντότητα δηλ. ως σημεία ενός πολυδιάστατου χώρου Την συμπεριφορά μεμονωμένων κάποιας ή κάποιων μεταβλητών (χαρακτηριστικών) Τυχόν αλληλεξαρτήσεις μεταξύ των χαρακτηριστικών ώστε να έχουμε τη δυνατότητα να προβλέψουμε ορισμένα χαρακτηριστικά όταν γνωρίζουμε τα άλλα. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 )
Πολυδιάστατες μεταβλητές Επεκτείνουμε τη βασική θεωρία για μία μεταβλητή ορίζοντας Από-κοινού κατανομή (oint distribution): κατανομή του συνόλου των n μεταβλητών Περιθώρια κατανομή (marginal distribution): κατανομή υποσυνόλου μεταβλητών Δεσμευμένη κατανομή (conditional distribution): κατανομή υποσυνόλου μεταβλητών όταν οι υπόλοιπες έχουν σταθερή τιμή Επικεντρωνόμαστε στις δύο διαστάσεις (ΧΥ) και γενικεύουμε για την περίπτωση πολλών διαστάσεων =( n ). Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 4 )
Διακριτές δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Έστω -διάστατο διάνυσμα (ΧΥ) με τιμές σε ένα αριθμήσιμο σύνολο: n n Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 5 )
Από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας Η από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας (ή μάζας) πιθανότητας (oint densit) των () εκφράζει τις πιθανότητες όλων των δυνατών ζευγών τιμών ( ): Ισχύει ότι: n n Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 6 )
Ένα ενδεχόμενο Α περιλαμβάνει ζεύγη τιμών ( ) των μεταβλητών Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α εκφράζεται ως το άθροισμα πιθανοτήτων όλων των ζευγών τιμών που ανήκουν στο Α δηλ. A A A ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 7 ) Υπολογισμός πιθανότητας ενδεχομένων
Περιθώρια κατανομή (marginal distribution) Ενώ η από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας μας δίνει πληροφορίες για την από-κοινού συμπεριφορά των μεταβλητών Χ καιυ πολλές φορές μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά κάθε μιας από τις μεταβλητές ξεχωριστά. Έτσι ορίζεται η περιθώρια κατανομή (marginal distribution) μιας μεταβλητής ή κατ επέκταση ενός υποσυνόλου των n τυχαίων μεταβλητών. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 8 )
Περιθώρια κατανομή (marginal distribution) περιθώρια κατανομή της μεταβλητής Φυσικά ισχύει ότι: n n ή ' ' n Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 9 ) n n n
Αντίστοιχα η περιθώρια κατανομή της μεταβλητής ορίζεται ως: Ισχύει ότι: n n ή ' ' Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 0 ) n n
Δεσμευμένη κατανομή (conditional distribution) Θέλουμε να βρούμε την κατανομή μιας μεταβλητής () όταν η τιμή της άλλης είναι σταθερή (=). Έστω τυχαίες μεταβλητές με από-κοινού σ.π.π. και περιθώριες Ορίζεται έτσι η δεσμευμένη κατανομή Χ Υ= Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( )
Δεσμευμένη κατανομή (conditional distribution) Δεσμευμένη κατανομή Χ Υ= με συνάρτηση πυκνότητας: Αντίστοιχα η δεσμευμένη σ.π.π. του = Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Δεσμευμένη = πηλίκο της από-κοινού προς την περιθώρια της δέσμευσης
Έτσι προκύπτει ότι: ή Η από-κοινού είναι το γινόμενο της δεσμευμένης με την περιθώρια Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 )
Συνεχείς δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Δύο τυχαίες μεταβλητές είναι από-κοινού συνεχείς όταν υπάρχει μία μη-αρνητική συνάρτηση που ονομάζεται από-κοινού 0 συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την οποία ισχύει ότι: dd Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 4 )
Υπολογισμός ενδεχομένων στο συνεχή χώρο Τα ενδεχόμενα ορίζονται ως περιοχές του επιπέδου. Παραδείγματα: 5 5 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 5 )
Τότε η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου που ορίζεται στο ( ) επίπεδο υπολογίζεται από το διπλό ολοκλήρωμα της από-κοινού συνάρτησης πυκνότητας των μεταβλητών: A A dd Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 6 )
Συνεχείς δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές (συν.) Παράδειγμα: Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 7 )
Συνεχείς δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές (συν.) Παράδειγμα: Α Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 8 )
Συνεχείς δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές (συν.) Παράδειγμα: Α Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 9 )
Συνεχείς δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές (συν.) Παράδειγμα: Α Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 0 )
Περιθώρια κατανομή (marginal distribution) Η περιθώρια κατανομή μιας συνεχής τυχαίας μεταβλητής (π.χ. ) προκύπτει ολοκληρώνοντας την από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας ως προς την άλλη μεταβλητή (π.χ.): και ' ' d' d' Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( )
Δεσμευμένη κατανομή (conditional distribution) Έστω τ.μ. με από-κοινού σ.π.π. Ορίζεται η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας εκ των μεταβλητών θεωρώντας ότι η άλλη έχει σταθερή τιμή (Δεσμευμένη = πηλίκο της από-κοινού προς την περιθώρια) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( )
Έτσι προκύπτει ότι: ή Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 )
Η από-κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας για δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές ' ' ' ' ' ' d' d' διακριτές συνεχείς Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 4 )
Η από-κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας για δυσδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 5 )
Ιδιότητες της από-κοινού αθροιστικής συνάρτησης κατανομής (α) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 6 )
Ιδιότητες της από-κοινού αθροιστικής συνάρτησης κατανομής (α) 0 (β) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 7 )
Ιδιότητες της από-κοινού αθροιστικής συνάρτησης κατανομής (α) 0 (β) 0 (γ) δηλ. μη-φθίνουσα συναρτηση Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 8 )
(δ) Περιθώριες συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 9 )
(δ) Περιθώριες συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας (ε) Συνεχής από δεξιά: Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 30 ) h h lim 0 h h lim 0
(στ) Υπολογισμός της πιθανότητας ενός ορθογώνιου ενδεχομένου A Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 )
(στ) Υπολογισμός της πιθανότητας ενός ορθογώνιου ενδεχομένου Απόδειξη B A B A B A B A () Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 ) A
(στ) Υπολογισμός της πιθανότητας ενός ορθογώνιου ενδεχομένου Απόδειξη παρόμοια βρίσκουμε ότι: Έτσι συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο. B A B A B A B A B B B B () () Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 33 ) A
Η από-κοινού συνάρτηση κατανομής πιθανότητας στο συνεχή χώρο είναι παντού συνεχής Ισχύει: a b dd b a b a dd d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 34 )
Παραδείγματα Δίνεται η από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας διακριτών τυχαίων μεταβλητών \ / 8 / 4 / 8 / α) Να βρεθούν οι περιθώριες κατανομές των δύο μεταβλητών και β) Να υπολογίσετε τις μέσες τιμές και τις διακυμάνσεις τους Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 35 )
Σε ένα μήνυμα ο αριθμός των btes (N) ακολουθεί την Γεωμετρική κατανομή με παράμετρο ρ N~G(ρ). Για την μετάδοση του το μήνυμα σπάει σε πακέτα των M btes. Έστω Q το πλήθος των πακέτων στο μήνυμα και R το πλήθος των btes που δεν μεταδίδονται τελικά. (α) Να βρεθεί η από-κοινού κατανομή των Q R και στη συνέχεια οι περιθώριες κατανομές τους. (β) και στη συνέχεια οι μέσες τιμές τους. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 36 )
Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ Υ έχουν από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας: e 0 0 Να βρεθεί η από-κοινού συνάρτηση κατανομής () και οι περιθώριες κατανομές των Χ και Υ. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 37 )
Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ Υ έχουν από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας: 5 0 (α) Να βρεθούν οι περιθώριες κατανομές των μεταβλητών και και (β) οι μέσες τιμές τους. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 38 )