ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ



Σχετικά έγγραφα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

ν ν = α 0 α β = ( ) β α = α ( α β)( α β)

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

Η έννοια του διανύσματος

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

για την εισαγωγή στο Λύκειο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

Σελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ύο θεµελιώδεις ισοδυναµίες. 2. Ιδιότητες αναλογιών. 3. Πρόβληµα Σηµείο Μ διαιρεί εσωτερικά τµήµα ΑΒ = α σε λόγο λ. Να υπολογιστούν τα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Παρουσίασα τις αποδείξεις κάπως αναλυτικά ώστε να γίνουν πιο κατανοητές.εσείς μπορείτε να τις παρουσιάσετε πιο λιτά.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

10.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Transcript:

«Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ λέγετι τυτότητ. Ν γνωρίζουν τις σικές τυτότητες κι ν µπορούν ν τις ποδεικνύουν κι ν τις εφρµόζουν. Ν µπορούν ν τις διτυπώνουν (µετφράζουν) τις λγερικές ισότητες στην κθοµιλουµένη γλώσσ κι ντίστροφ. Ν εξσκηθούν στην ποδεικτική διδικσί. 1 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η : Ν συµπληρώσετε την ισότητ (+) =... Τους φήνουµε λεπτά κι είνι σχεδόν έιο ότι πολλοί µθητές θ την συµπληρώσουν σωστά (ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ) κθώς επίσης ότι πολλοί µθητές θ την συµπληρώσουν ως εξής: (+) = + κι ότι πολλοί µθητές δεν θ την συµπληρώσουν. εν σχολιάζουµε τις πντήσεις λλά προχωράµε σε ριθµητικά πρδείγµτ δηλδή ζητάµε πό τους µθητές ν υπολογίσουν τ πρκάτω: Ν γίνουν οι πράξεις: (+3) =(..) =.. +3 =..+..=.. Η ισότητ (+3) = +3 είνι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ (κυκλώστε) κι άρ γενικά η ισότητ (+) = + είνι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ (κυκλώστε)!!! ΑΡΑ ΜΕ ΤΙ ΙΣΟΥΤΑΙ ΤΟ (+) =.; Χωρίς ν δώσουµε πάντηση προχωράµε στην γεωµετρική πόδειξη ως εξής : 1

ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ η : Γεωµετρική πόδειξη - Ορισµός τυτότητς Tο εµδό του ορθογωνίου του διπλνού σχήµτος που έχει πλευρές, είνι Ε=. Tο εµδό του τετργώνου του διπλνού σχήµτος που έχει πλευρά είνι Ε= =... = Tο εµδό του µεγάλου τετργώνου που ρίσκετι ριστερά της ισότητς κι που έχει πλευρά +, είνι: Ε=(+) (+) =(+) (1) Όµως το εµδό του τετργώνου που έχει πλευρά +, ισούτι κι µε το άθροισµ των εµδών των σχηµάτων που ρίσκοντι δεξιά της ισότητς κι που είνι το τετράγωνο µε πλευρά µε εµδό, δυο ίσ ορθογώνι µε πλευρές, που έχουν εµδό κι τ δυο µζί += κι του τετργώνου µε πλευρά µε εµδό. ηλδή είνι: Ε= +..+ () Από τις σχέσεις (1), () προκύπτει ότι: (+) = +.. + (3) Αν τώρ ντικτστήσουµε στην (3) το µε το δηλδή γι = κι το µε το 3 δηλδή γι =3 τότε: (+) = (+3) =. =. κι ++ = + 3 + 3 =.+. +. =. Ν άλετε στην θέση των µετλητών, δυο οποιoσδήποτε δικούς σς ριθµούς (κλύτερ µικρούς κι θετικούς) δηλδή: γι =.. κι = τότε: (+) = (.+. ) =. =. κι ++ =. +.. +. =.+. +. =.

Υποθέτουµε οτι η ισότητ (+) = ++ τιµές των µετλητών,. θ πρέπει µάλλον ν ισχύει γι όλες τις Θυµηθείτε ότι η εξίσωση 0 x = 0 που έχει λύσεις όλες τις τιµές του x λέγετι., άρ κι µι ισότητ σν την (+) = ++ που θ ισχύει γι όλες τις τιµές των µετλητών, θ λέγετι κι υτή...!!! ΟΡΙΣΜΟΣ: Τυτότητ λέγετι κάθε ισότητ που περιέχει κι ληθεύει γι τις τιµές των µετλητών της. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 η : Αλγερική πόδειξη της τυτότητς (+) = ++ Πρτηρήστε ότι η πόδειξη που κάνµε µε τ εµδά είνι χρονοόρ κι σε µερικές τυτότητες είνι πολύ δύσκολ τ σχήµτ κι ότι προφνώς δεν µπορούµε ν δοκιµάζουµε συνεχώς την λήθει της τυτότητς µε τυχίους ριθµούς, οπότε θ την ποδείξουµε κι µε ένν άλλο τρόπο πιο γενικό κι πιο σύντοµο. Πρώτ όµως θ θυµηθούµε την επιµεριστική ιδιότητ κι κάποιες πράξεις µε µονώνυµ. (προπιτούµεν) Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες της επιµεριστικής ιδιότητς: (+γ)=, (+) (γ+δ)=.. Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: + =., =., ++ =., =., +=.., + =.. Στη συνέχει προχωράµε σε λγερική πόδειξη ως εξής: Ν ποδείξετε ότι: (+) = ++. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού =, Τότε (+) =(+) (+) ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος κι επιµεριστική ιδιότητ) = +++ (νγωγές οµοίων όρων) = ++. Κάνοντς την πόδειξη λγερικά (δηλδή µε πράξεις) κτλήγουµε στο ίδιο συµπέρσµ που είχµε κτλήξει κάνοντς την πόδειξη γεωµετρικά (µε σχήµτ). Όµως η λγερική πόδειξη είνι προτιµότερη σν πιο σύντοµη κι πιο γενική κι έτσι στη συνέχει θ κάνουµε τις ποδείξεις γι τις άλλες τυτότητες µόνο µε την λγερική πόδειξη. 3

ΤΙ ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΟΜΩΣ ΓΕΝΙΚΑ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΟΤΙ ΚΑΝΟΥΜΕ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Η έννοι της «πόδειξης» Όπως είδµε προηγουµένως γι ν ποδείξουµε µι τυτότητ π.χ την (+) = ++ που είνι της µορφής Α=Β, όπου Α=(+) κι Β= ++ εργζόµστε ως εξής: Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς που ρίσκετι ριστερά της, δηλδή το Α κι κάνοντς πράξεις κτλήγουµε στο ο µέλος της ισότητς που ρίσκετι δεξιά της δηλδή το Β. ή Ξεκινάµε πό το ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε στο 1ο µέλος. ( Συνήθως ξεκινάµε πό το πιο πολύπλοκο µέλος) Η διδικσί υτή λέγετι: «ευθεί πόδειξη» Πράδειγµ: Ν ποδείξετε ότι: (++γ) = + +γ ++γ+γ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού =, Τότε (++γ) =(++γ) (++γ) (Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος κι επιµεριστική ιδιότητ) = ++γ ++ + γ +γ + γ +γ o o (νγωγές οµοίων όρων) = + +γ ++γ+γ. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (+) = ++. Προπιτούµεν: υνάµεις- πράξεις µε µονώνυµ 1) Ν συµπληρώσετε τ πρκάτω: () = =., (3 ) =.., (5x y) (3xy 3 ) =.., ( ) 3 =. ΟΡΙΣΜΟΣ: Το ++ λέγετι νάπτυγµ του (+) ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (3x+4y). ( 3x+4y) = ( 3x) + 3x 4y+ ( 4y) ( + ) = + + =... +... +... 4

3) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( +3). ( +3) =( ) +..+(..) =.+.+. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. i), ii) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ), γ), θ), ι). 4. ) 5

ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) = Έχουµε ποδείξει ότι (+) = +..+, µπορείτε ν µντέψετε το νάπτυγµ της τυτότητς (-) = ; Προπιτούµεν: Κνόνες πρoσήµων στον πολλπλσισµό κι επιµεριστική ιδιότητ Ν συµπληρώσετε τ πρκάτω: (+)(+) =.., (-)(-) =.., (+)(-) =.., (-)(+) =.. (-γ) =.., (-) (γ-δ) =.. Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (-) Αφού =, Τότε (-) =(-) (-) (Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος κι επιµεριστική ιδιότητ) = -- (νγωγές οµοίων όρων) = - +. Άρ τελικά (-) = -+ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6 η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (-) = -+. Το -+ λέγετι. του (-) 1) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (κ-3λ). ( κ 3λ) = ( κ) κ 3λ+ ( 3λ) ( ) = + =...... +... 6

) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( 3-3 ). ( 3-3 ) =( 3 ) - +(..) =.-..+ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7 η : Απόδειξη της τυτότητς (+) 3 = 3 +3 +3 + 3. Ν ποδείξετε ότι: (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού 3 =, Τότε (+) 3 =(+) (+) ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος) =( +..+ ) (+) [ νάπτυγµ του (+) κι επιµεριστική ιδιότητ ] = 3 + + +.. + +.. (νγωγές οµοίων όρων) = 3 +.+...+ 3. Το 3 +3 +3 + 3 λέγετι νάπτυγµ του (+) 3 1) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (x+3y) 3 ( x+3y) = ( x) +3 ( x) y+3 ( x) ( 3y) + ( 3y) 3 3 3 3 ( + ) = 3 + 3 + 3 + 3 3=... +3...... +3...... +... = ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( +) 3. ( +) 3 =( ) 3 + 3 (..) + 3.. ( ) + (..) 3 =. = 7

ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) 3 = 3-3 +3-3. Ν ποδείξετε ότι: (-) 3 = 3-3 +3-3 ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αφού 3 =, Τότε (-) 3 =(-) (-) =( -.+ )(-) ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος) [ νάπτυγµ του (-) κι επιµεριστική ιδιότητ] = 3 - -..+ +.- 3 (νγωγές οµοίων όρων) = 3 -..+..- 3. Το 3-3 +3-3 λέγετι νάπτυγµ του (-) 3 Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του (x -3y) 3 3 3 x 3y = x 3 x 3y+3 3 ( x) ( 3y) ( 3y) ( ) = 3 3 + 3 3 3=... 3...... +3......... = ) Ν υπολογιστεί το νάπτυγµ του ( -3 ) 3. ( -3 ) 3 =( ) 3-3 (..) + 3.. ( ) - (..) 3 =. =. 8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1) ΣΕΛΙ Α 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. iii) ) ΣΕΛΙ Α 48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 4. i), ii) 3) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 5. στ), ι) 4) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 11. ε) 9

3 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 9 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) (+)= -. ΑΠΟ ΕΙΞΗ (-) (+) = +.-.-. ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος, κάνουµε την = - επιµεριστική ιδιότητ κι νγωγές οµοίων όρων) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 10 η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (-)(+)= -. 1) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (3x+4y)(3x-4y) Μπορούµε ν κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητ) λλά µπορούµε ν εφρµόσουµε κι την τυτότητ (-) (+)= - ως εξής: ( 3x+ 4y) ( 3x 4y) = ( 3x) ( 4y) ( + ) ( - ) = =...... ) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (x 3-5 ) (x 3 +5 ) (x 3-5 ) (x 3 +5 ) = ( ) - ( ) = - 3) Ν γίνει γινόµενο η πράστση x - 9 Την τυτότητ (-) (+)= -, µπορούµε ν την δούµε κι ως εξής: - =(-) (+) x 9= x 3 = = ( x+ 3) ( x 3) ( + ) ( ) 4) Ν γίνει γινόµενο η πράστση - 4y -4y =(.) -(.) =(.+.) (.+.) 10

ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 11 η : Απόδειξη της τυτότητς (-) ( ++ )= 3-3 ΑΠΟ ΕΙΞΗ (-) ( ++ ) = 3 +.+ -..- - 3 ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος, κάνουµε την = 3 -.. επιµεριστική ιδιότητ κι νγωγές οµοίων όρων) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η :ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (-) ( ++ )= 3-3 1) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (x-3)(x +3x+9) Μπορούµε ν κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητ) λλά µπορούµε ν εφρµόσουµε κι την τυτότητ (-)( ++ )= 3-3 ως εξής: ( x 3) x +3x+9 = ( x 3) ( ) x +3x +3 + + = 3 3 ) Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 3-8 x3 3 3 = =... Την τυτότητ (-) ( ++ ) = 3-3, µπορούµε ν την δούµε κι ως εξής: 3-3 =(-)( ++ ) x 3 8= x 3 3 = 3 3 = ( ) x x + x + = (...) (...) ( ) + 3) Ν γίνει γινόµενο η πράστση 3 3-7 + 3 3-7=(.) 3 -(.) 3 =( -...)[(..) +... +. ] =( -...)( +...+..) 11

ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 13 η : Απόδειξη της τυτότητς (+) ( -+ )= 3 + 3 ΑΠΟ ΕΙΞΗ (+) ( -+ ) = 3 -.+ +..- + 3 ( Ξεκινάµε πό το πρώτο µέλος, κάνουµε την = 3 +.. επιµεριστική ιδιότητ κι νγωγές οµοίων όρων) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 14 η :ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (+) ( -+ )= 3 + 3 1) Ν υπολογιστεί το γινόµενο (x+1) (4x -x+1) Μπορούµε ν κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητ) λλά µπορούµε ν εφρµόσουµε κι την τυτότητ (+)( -+ )= 3 + 3 ως εξής: ( x+ 1) 4x x+ 1 = ( x+ 1) ( x) ( x) 1+ 1 = ( x) + = 3 + 3 ( + ) ) Ν γίνει γινόµενο η πράστση y 3 + 1 3+ 1 3 =... +... Την τυτότητ (+)( -+ )= 3 + 3, µπορούµε ν την δούµε κι ως εξής: 3 + 3 =(+)( -+ ) y3 +1= y3 +1 3= 3 + 3 = ( y+1) y y 1+1 = (...)(...) ( + ) + 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1) ΣΕΛΙ Α 48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. i), ii), iii), iv), v) ) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 6. η), θ) 3) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 9. ), γ) 3) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 11. στ) 13

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 15 η : Η ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΓΕΝΙΚΑ ΘΑ ΑΠΟ ΕΙΞΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 ε) ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 50 Μάθµε ότι στην «ευθεί πόδειξη» γι ν ποδείξουµε µι ισότητ Α=Β, µπορούµε ν εργστούµε ως εξής: Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε στο ο µέλος ή Ξεκινάµε πό το ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε στο 1ο µέλος. ( Συνήθως ξεκινάµε πό το πιο πολύπλοκο ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς το οποίο γράφετι: (-4) + (-3) = - 4+4 +() - 3+3 = -.+16+. -1+9 = -0+ Πρτηρούµε ότι δεν κτλήξµε στο ο µέλος της ισότητς. Ξεκινάµε πό το ο µέλος της τυτότητς το οποίο γράφετι: + (-5) = +() - 5+5 = +4 -.+5 = 5 -..+5 Πρτηρούµε ότι δεν κτλήξµε στο 1ο µέλος της ισότητς. Όµως πρτηρούµε ότι πό όποιο µέλος κι ν ξεκινήσουµε κτλήγουµε στο ίδιο ποτέλεσµ Η έννοι της «έµµεσης πόδειξης» Γι ν ποδείξουµε µι ισότητ Α=Β, µπορούµε ν εργστούµε κι ως εξής: Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε σε µι ισότητ Α=Γ. Ξεκινάµε πό το ο µέλος της ισότητς κι κτλήγουµε σε µι ισότητ Β=Γ. Αφού Α=Γ κι Β=Γ συµπερίνουµε ότι Α=Β Η διδικσί υτή λέγετι: «έµµεση πόδειξη» Στην προκειµένη περίπτωση συµπερίνουµε ότι: (-4) + (-3) = + (-5) 14

) Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλνού σχήµτος είνι: ΑΒ = 4x, AΓ = 4x 1, BΓ = 4x + 1 Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. (ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΣΕΛΙ Α 30) ΑΠΟ ΕΙΞΗ B 4x 4x +1 A 4x -1 Γ Γι ν ποδείξουµε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο ρκεί ν δείξουµε ότι ισχύει το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήµτος δηλδή ότι: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΒΓ =(4x +1) =.. ΑΒ + ΑΓ =(4x) +(4x -1) =.. 3) Ν ποδείξετε ότι (x + y) (y x)(y + x) + (x y) = 9x + 4y (ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΣΕΛΙ Α 30) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ξεκινάµε πό το 1ο µέλος (πολύπλοκο) το οποίο γράφετι: (x + y) (y x)(y + x) + (x y) = =... 15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ 1) ΣΕΛΙ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 7 ) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 1. στ) 3) ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 15 16

5 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ] Τ µθηµτικά µπορούµε ν τ δούµε κι σν την εκµάθηση µις γλώσσς, δηλδή πρέπει ν κάνουµε µετάφρση πό την κθοµιλουµένη γλώσσ στην γλώσσ των µθηµτικών που έχει µθηµτικά σύµολ κι ντίστροφ ν µετφράζουµε τ µθηµτικά σύµολ στην κθοµιλουµένη γλώσσ Λεκτική διτύπωση των τυτοτήτων - επνάληψη ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 16 η : ΛΕΚΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ Γι δυο οποιοσδήποτε ριθµούς, ν επιλέξετε σύµολ γι τις πρκάτω φράσεις: 1.Το άθροισµ τους είνι: Α. +. Β. -. Γ... :. Η διφορά τους είνι: Α. +. Β. -. Γ... - 3. Το διπλάσιο γινόµενο τους είνι: Α. (). Β. (-). Γ... : 4. Το άθροισµ των τετργώνων τους είνι: Α.. Β. +. Γ. (+ )... 5. Το τετράγωνο του θροίσµτος τους είνι: Α. +. Β. (). Γ. (+ )... 6. Το άθροισµ των κύων τους είνι: Α. +. Β. () 3 Γ. (+ ) 3.. 3 + 3. 7. Ο κύος του θροίσµτος τους είνι: Α. 3 +. Β. (-) 3 Γ. (+ ) 3.. 3 + 3. 8. Η διφορά των κύων τους είνι: Α. 3 + 3. Β. (-) 3 Γ. (+ ) 3.. 3-3. 9. Ο κύος της διφοράς τους είνι: Α. 3-3. Β. (-) 3 Γ. (+ ) 3.. 3 + 3. 10. Η τυτότητ (+) = ++ µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το τετράγωνο του. δυο ριθµών ισούτι µε το άθροισµ των. των δυο ριθµών συν το γινόµενο τους. Tην τυτότητ (+) = ++ την ονοµάζουµε: τετράγωνο του θροίσµτος 11. Η τυτότητ (-) = -+ µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το τετράγωνο της. δυο ριθµών ισούτι µε το άθροισµ των.. των δυο ριθµών µείον το.. γινόµενο τους. Tην τυτότητ (-) = -+ την ονοµάζουµε: τετράγωνο της διφοράς 17

1. Η τυτότητ (-)(+) = - µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το γινόµενο του. δυο ριθµών επί τη τους ισούτι µε το τετράγωνο του µειωτέου µείον το.του φιρετέου. Tην τυτότητ (-) (+)= - την ονοµάζουµε: γινόµενο θροίσµτος επί διφορά 13. Η τυτότητ (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: O Κύος του.. δυο ριθµών ισούτι µε το άθροισµ των.. των δυο ριθµών συν το τριπλάσιο γινόµενο του κθενός πό υτούς µε το τετράγωνο του άλλου. Tην τυτότητ (+) 3 = 3 +3 +3 + 3 την ονοµάζουµε: κύος του θροίσµτος 14. Η τυτότητ (-) 3 = 3-3 +3-3 µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: O Κύος της. δυο ριθµών ισούτι µε την διφορά των.. των δυο ριθµών µείον το τριπλάσιο γινόµενο του τετργώνου του πρώτου µε τον δεύτερο συν το τριπλάσιο γινόµενο του πρώτου µε το τετράγωνο του δεύτερου. Tην τυτότητ (-) 3 = 3-3 +3-3 την ονοµάζουµε: κύος της διφοράς 15. Η τυτότητ (-)( ++ )= 3-3 µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το γινόµενο της. δυο ριθµών επί το άθροισµ των τετργώνων τους συν το διπλάσιο.. τους ισούτι µε την των κύων τους. Tην τυτότητ (-) ( ++ )= 3-3 την ονοµάζουµε: διφορά κύων 16. Η τυτότητ (+)( -+ )= 3 + 3 µπορεί ν διτυπωθεί λεκτικά ως εξής: Το γινόµενο του. δυο ριθµών επί το άθροισµ των τετργώνων τους µείον το διπλάσιο.. τους ισούτι µε το των κύων τους. Tην τυτότητ (+) ( -+ )= 3 + 3 την ονοµάζουµε: άθροισµ κύων ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 16 18

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ Α 50 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13, 14, 17 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Οι ισότητες που περιέχουν µετλητές κι οι οποίες ληθεύουν γι όλες τις τιµές των µετλητών τους ονοµάζοντι. ΟΙ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΕΙΝΑΙ: τετράγωνο θροίσµτος: τετράγωνο διφοράς : κύος του θροίσµτος: κύος της διφοράς: (+) =. (-) =.. (+) 3 =. (-) 3 =.. γινόµενο θροίσµτος επί διφορά: (-) (+)=. άθροισµ κύων: διφορά κύων: (+) ( -+ )= (-) ( ++ )=.. «Όσοι το χάλκεον χέρι ρύ του φόου ισθάνοντι ζυγό δουλείς ς έχωσι, θέλει ρετή κι τόλµη η ελευθερί» (Α. Κάλος) 19

ΣΧΕ ΙΟ ΚΡΙΤΗΡΙOY ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:. Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (νκεφλιωτικό) ιάρκει: 1 διδκτική ώρ Θέµτ: 5 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ 1 µονάδ 1 µονάδ 1 µονάδ 1 µονάδ 1 µονάδ ΘΕΜΑΤΑ 1 ο. Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες ώστε ν προκύψουν τυτότητες: ) (+) =.. ) (+) 3 =.. γ) (+) ( -+ )= ο. ) Τυτότητ λέγετι κάθε ισότητ που περιέχει µετλητές κι ληθεύει µόνο γι κάποιες πό τις τιµές των µετλητών της. Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ) Tην τυτότητ: (-) 3 = 3-3 +3-3 την ονοµάζουµε: διφορά κύων Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) 5 µονάδες 3 ο. Ν ποδείξετε την τυτότητ: (-) 3 = 3-3 +3-3 5 µονάδες 4 ο. (πό το σχολικό ιλίο άσκηση 11 η) σελίδ 50) Ν κάνετε τις πράξεις : (4-1) 3 -(8+1)(8-1) 5 µονάδες 5 ο. Ν ποδείξετε ότι έν τρίγωνο ΑΒΓ που έχει πλευρές = µ +ν, =µ -ν, γ=µν (µ,ν θετικοί κέριοι ριθµοί µε µ>ν) είνι ορθογώνιο µε υποτείνουσ την. 0

ΓΕΝΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ: ΕΠΕΙ Η ΤΩΡΑ ΠΛΕΟΝ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 5ΜΕΛΗ, ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΧΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΑΞΗ ΣΕ ΟΜΑ ΕΣ ΤΩΝ 3 Ή 4 ΑΤΟΜΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΘΑ ΟΥΛΕΥΟΥΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ, ΤΑ ΤΕΛΙΚΑ ΟΜΩΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΝΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΟΜΑ ΕΣ ΚΑΙ ΝΑ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΕΚΤΑ ΑΠΟ ΟΛΟΥΣ. ΓΙΑ ΜΗΝ ΧΑΝΟΥΜΕ ΧΡΟΝΟ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΑΛΛΕΙΜΑ ΜΑΖΙ ΜΕ ΤΟΥΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΕΣ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΑΣΕΙ ΤΑ ΘΡΑΝΙΑ ΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΑΝΑ ΥΟ ΜΑΖΙ (ΚΟΛΛΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΡΙΣΤΑ) ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΑΡΕΚΛΕΣ ΓΥΡΩ-ΓΥΡΩ. ΕΠΙΣΗΣ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΘΑ ΤΑ ΜΟΙΡΑΖΟΥΜΕ ΑΜΕΣΩΣ ΣΤΙΣ ΟΜΑ ΕΣ H ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΟΥ ΘΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΕΙ, ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΝΑ ΑΣΧΟΛΟΥΜΑΣΤΕ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΘΕ ΟΜΑ Α ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 5 ΛΕΠΤΑ ΤΗΣ ΩΡΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΟΜΕΝΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΙΣ ΟΜΑ ΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΝΤΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΒΟΗΘΩΝΤΑΣ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ. ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΗΣ ΟΜΑ ΑΣ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΚΑΙΡΟΥΣ ΝΑ ΑΛΛΑΖΕΙ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ ΕΙ ΙΚΑ ΑΝ ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ. ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΑΚΟΜΗ ΝΑ ΖΗΤΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΟΠΟΙΟΥΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΜΕ ΕΝΑ ΦΛΑΣΑΚΙ ΝΑ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑ 3 Ή 4 ΜΑΘΗΤΕΣ ΝΑ ΟΥΛΕΥΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΕΝΩ ΕΜΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑ ΒΙΝΤΕΟΠΡΟΒΟΛΕΑ (ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΤΑ ΣΧΟΛΕΙΑ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΑΛΕΙ ΣΤΟ ΠΙΝΑΚΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΙΚΟ ΜΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΝΑ ΕΙΧΝΟΥΜΕ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΘΕΛΟΥΜΕ ΜΕ ΕΝΑ ΑΠΛΟ ΛΕΙΖΕΡ. 1