Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Euler Η προηγούμενη μέθοδος αν και δεν έχει κανένα περιορισμό για το είδος συνάρτησης του μη ογενούς όρου, μπορεί να οδηγήσει σε πολύπλοκες ολοκληρώσεις, πολλές φορές ιδιαίτερα δύσκολες γι αυτό και συχνά χρησιμοποιείται η μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών που είναι πολύ απλούστερη στην οποία όμως ο μη ογενής όρος f(x) πρέπει να είναι της ακόλουθης μορφής f(x) ce P(x)cosbx ή f(x) ce P(x)sinbx όπου P(x) είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο του x βαθμού m και a,b Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις Εκθετική συνάρτηση Έστω f(x) ce,c Α) Αν το a δεν είναι ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς τότε αναζητούμε λύση της μορφής Ae Β) Αν το a είναι απλή ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς τότε αναζητούμε λύση της μορφής Axe Γ) Αν το a είναι διπλή ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς τότε αναζητούμε λύση της μορφής Ax e Πολυωνυμική συνάρτηση Έστω f(x) P(x), βαθμού m, κλπ Α) Αν καμία από τις ιδιοτιμές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής είναι το μηδέν τότε αναζητούμε λύση της μορφής y A A x A x A x m μερ 0 m Παρατήρηση Αν τώρα κάνουμε «λάθος» και δοκιμάσουμε πολυώνυμο βαθμού n>m τότε οι συντελεστές A m,a m,,an θα βρεθούν ίσοι με το μηδέν Β) Αν το μηδέν είναι μια απλή ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής τότε αναζητούμε λύση της μορφής y x A A x A x A x m μερ 0 m Γ) Αν το a είναι διπλή ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς τότε αναζητούμε λύση της μορφής y x A A x A x A x, κλπ m μερ 0 m Εκθετική-Πολυωνυμική-Τριγωνετρική Έστω f(x) ce P(x)cosbx ή f(x) ce P(x)sinbx όπου P(x) είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο του x βαθμού m και a,b Τότε διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις Α) αν το a ib δεν είναι ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής τότε αναζητούμε λύση της μορφής y e A A x A x A x cos bx e A A x A x A x sin bx m m μερ 0 m 0 m Β) αν το a ib είναι ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής τότε αναζητούμε λύση της μορφής y xe ( A A x A x A x cosbx A A x A x A x sin bx) m m μερ 0 m 0 m
Γ) αν το a ib είναι διπλή ιδιοτιμή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής τότε αναζητούμε λύση της μορφής y xe ( A A x A x A x cosbx A A x A x A x sin bx) m m μερ 0 m 0 m y'' y e x () λ 0 λ λ 0 λ y c e c e περίπτωση α ) καθώς η λδεν αποτελεί ιδιοτιμή της αντίστοιχης ογενούς και επένως έχουμε Ae Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην () παίρνοντας x 4Ae Ae e A A x x y(x) y ce ce e y'' y e x () λ 0 λ λ 0 λ y c e c e περίπτωση β ) καθώς η λ αποτελεί ιδιοτιμή της αντίστοιχης ογενούς και επένως έχουμε Axe Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην () παίρνοντας x Ae Axe Axe e A y(x) y y c e c e e x μερ y'' y xe x () λ 0 λ λ 0 λ y c e c e περίπτωση συνδυασμού πολυωνύμου με εκθετική f(x) P(x) e, όπου το Ρ(x) είναι πολυώνυμο ου βαθμού Βλέπουμε επίσης ότι η λ αποτελεί ιδιοτιμή
της αντίστοιχης ογενούς και επένως έχουμε y x(ax B)e x μερ Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην () παίρνοντας Ae (Ax B)e (Ax Bx)e (Ax Bx)e xe x A (Ax B) x 4A A A B 0 A B x x y(x) y ce ce (Ax B)e y''' y' x (4) λ λ 0 λ λ 0 λ 0,λ,λ y c c e c e περίπτωση συνδυασμού πολυωνύμου με εκθετική Ρ(x) είναι πολυώνυμο ου f(x) 0x (x)e επένως έχουμε f(x) P(x) e, όπου το βαθμού Εδώ βλέπουμε ότι το a=0 δηλαδή ότι y x(ax B)e 0x μερ καθώς έχουμε πολλαπλότητα Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην (4) παίρνοντας (Ax B) (x ) A B y(x) y c ce ce (x ) y'' y cosx (5) λ 0 λ i y c cosx c sin x περίπτωση α μηδενικού βαθμού και λ 0 i επένως έχουμε f(x) P(x)e cosb x, όπου το Ρ(x) είναι πολυώνυμο 0x e (Acosx Bsin x) Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην (5) παίρνοντας 9A cosx 9Bsin x cosx A 9 B 0
y(x) y c cos x c sin x cosx 9 y'' y cosx (6) λ 0 λ i y c cosx c sin x περίπτωση B f(x) P(x)e cosb x, όπου το Ρ(x) είναι πολυώνυμο μηδενικού βαθμού και λ 0 i που είναι απλή ιδιοτιμή καθώς εμφανίζεται και στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης Επένως έχουμε 0x e x(acos x Bsin x) Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην (6) παίρνοντας ( Asin x Bcos x) x(acosx Bsinx) x(acosx Bsinx) cos x A 0 B y(x) y c cosx c sin x xcosx y'' y (x )sin x (7) λ 0 λ i y c cosx c sin x περίπτωση B f(x) P(x)e sinb x, όπου το Ρ(x) είναι πολυώνυμο ου βαθμού και λ 0 i που δεν είναι ιδιοτιμή της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής εξίσωσης Επένως έχουμε 0x e ((Ax Bx Γ) cos x (Δ x Ε x Ζ)sin x) Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην (7) παίρνοντας Acosx 4(Ax B)sin x 4(Ax Bx Γ)cosx Δsin x 4(Δx E)cosx 4(Δ x E x Ζ)sin x (Ax Bx Γ)cosx (Δ x Ε x Ζ)sin x (x )sin x Δ A E Γ 0 7 Z 7 8 B 9 8 7 9 7 y(x) y c cosx c sin cosx ( x )sin x
y'' 4 y (8x )sin x (8x )cosx (8) λ 4 0 λ i y c cosx c sin x περίπτωση B f(x) P(x)e sinb x, όπου το Ρ(x) είναι πολυώνυμο ου βαθμού και λ 0 i που είναι ιδιοτιμή της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής εξίσωσης Επένως έχουμε 0x e x((ax B) cos x (Γx Δ)sin x) Παραγωγίζουμε την λύση αυτή και την αντικαθιστούμε στην (8) παίρνοντας ( 8Γ x A Δ)sin x (8Ax B Γ)cosx (8x )sin x (8 x )cosx B Δ0 Γ A y(x) y c cosx c sin (sinx cosx)