ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εαίρεση ίσως ένα σηµείο στο οποίο, όµως, η f είναι συνεχής. Αν η f () διατηρεί πρόσηµο στο (α, ) (, β), τότε να αποδείετε ότι το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως µονότονη στο (α,β) Μονάδε 7 A. Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Bolzano. Μονάδε 4 A3. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Τι ονοµάζουµε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα τη f στο ; Μονάδε 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τι προτάσει που ακολουθούν, γράφοντα στο τετράδιό σα, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθο, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. a) Η είσωση z z = ρ, ρ> παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Κ(z ) και ακτίνα ρ, όπου z, z µιγαδικοί αριθµοί. (µονάδε ) b) Έστω µια συνάρτηση f που είναι ορισµένη σε ένα σύνολο τη µορφή (α, ) (,β) Ισχύει η ισοδυναµία lm f() = ( lm f() = lm f() = ) + (µονάδε ) c) Αν είναι < α <, τότε lm α =. (µονάδε ) d) Έστω µια συνάρτηση f συνεχή σε ένα διάστηµα και δυο φορέ παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είναι κυρτή στο, τότε υποχρεωτικά f () > για κάθε εσωτερικό σηµείο του. (µονάδε ) f g() g () α µε την προ πόθεση ότι τα χρησιµοποιούµενα σύµβολα έχουν νόηµα. g() e) f(t)dt = ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε του µιγαδικού αριθµού z και w για του οποίου ισχύουν: z w=, z z + w φανταστικό (µονάδε ) Μονάδε B. Να αποδείετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, είναι ο κύκλος µε κέντρο την αρχή των αόνων και ακτίνα ρ=, εκτό από το σηµείο M(, ), του κύκλου
Μονάδε B. Από του παραπάνω µιγαδικού αριθµού z, του ερωτήµατο Β, να βρείτε εκείνου για του οποίου ισχύει w =. Μονάδε 8 B3. Αν είναι z=, τότε να αποδείετε ότι w 4 + w 7 = Μονάδε 7 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση ln f() = e, αν >, αν = Γ. Να εετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο = Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f Μονάδες 7 Γ3. ) Να αποδείετε ότι, για >, ισχύει η ισοδυναµία f() = f(4) 4 = 4 (µονάδες ) ) Nα αποδείετε ότι η είσωση 4 = 4, >, έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις = και =4 (µονάδες 6) Μονάδες 8 Γ4. Να αποδείετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, 4) τέτοιο, ώστε = f () f(t)dt f()( f()) ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f: Α R, Α =(,+ ) µε σύνολο τιµών f (A) = R, τέτοια, ώστε f() e f() f()+3 = Μονάδες 6. Nα αποδείετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται (µονάδες 4) και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f - της f (µονάδες 3) Μονάδες 7 Για τα ερωτήµατα και 3, δίνεται ότι - f () = e +3, R. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f - ως προς την κυρτότητα. (µονάδες 3) Στη συνέχεια, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f -, την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f - στο σηµείο που αυτή τέµνει τον άονα y y, και την ευθεία = (µονάδες 6) Μονάδες 9 - - 3. Για κάθε R θεωρούµε τα σηµεία A, f (), B f (), των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - και f αντίστοιχα.
) Να αποδείετε ότι, για κάθε R, το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτοµένων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - και f στα σηµεία A και B αντίστοιχα, είναι ίσο µε (µονάδες 3) ) Να βρείτε για ποια τιµή του R η απόσταση των σηµείων A, B γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους. (µονάδες 6) Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Α. Θεωρία Α3. Θεωρία Α4. α)σ β)σ γ)λ δ)λ ε)σ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β. Έχουµε, z z w I w= w = z+ z+ z+ z = z z + ( z )( z ) ( z)( z ) + + = z= δηλαδή ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο το (,) και ακτίνα ρ = ½, όµως το σηµείο, ανήκει στον γεωµετρικό τόπο και επειδή είναι περιορισµός, πρέπει να το εαιρέσουµε. Β. Έχουµε z w= = z = z+ z+ Α τρόπος: Η τελευταία σχέση γίνεται,
z = z+ άρα ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του z βρίσκονται στην µεσοκάθετο των σηµείων Γ(, ½) και M(, - ½) που είναι ο άονας δηλαδή η ευθεία y =. Άρα τα κοινά σηµεία τοµής της µεσοκαθέτου και του κύκλου είναι τα ζητούµενα σηµεία (½,) και (-½, ). Β τρόπος: Με πράεις έχουµε, z = z+ z = z+ ( z )( z ) ( z )( z ) = + + z= z Β3. Α τρόπος (έυπνος / σύντοµος): Έχουµε, + w= = = = + + + 4 7 3 4 7 άρα w + w = + = + = + = = Β τρόπος (κλασικός): Έχουµε, ( )( ) ( + )( ) w= = = = = + άρα Γ τρόπος (περίεργος): Έχουµε, w= w w=, οπότε η ζητούµενη σχέση γράφεται ισοδύναµα, 3 4 7 4 7 7 7 w + w = w w + w w = 3 3 3 3 w = 4 7 w w w + w w = w + = w = + =... = + = ( ) + = + που ισχύει
Θέµα Γ u Γ. Έχουµε, lmf( ) lme lme f ln = = = =, αφού + + u ln lm = lm ln = ( )( + ) = + +, άρα η f είναι συνεχής στο σηµείο =. Γ. Για κάθε > έχουµε, Πίνακας µεταβολών ln ln ln ln = e = f e e 4 + f + f < e e e e > όπου f()=, f() e e e ln u f lme lme + + u = και lm άρα το σύνολο τιµών της f είναι, Γ3. ) Έχουµε, = = =, αφού e e e f A =,e,e =,e. ln lm = lm =, + + 4 4 ln f = f 4 e = e ln ln4 = 4 4 ln= ln4 ln = ln4 = 4 ) Αρχικά θα δείουµε ότι: f() = f( 4) = (). Έχουµε, όµως () ln ln4 4 ln4 ln ln ln 4 4 e e e e f() f 4 ln = = = = =, f = e = e = =, οπότε ισχύει η σχέση (). ιακρίνουµε περιπτώσεις: Ι) (,e]
Έχουµε: f( ) = f( 4) ( = ) f f( ) = f µε, (, e] και επειδή η f είναι γνησίως µονότονη στο (, e ] προκύπτει ότι =. Έτσι στο (, e ] η δοθείσα είσωση έχει ακριβώς µια λύση, το =. ΙΙ) ( e, + ) Έχουµε, f( ) = f( 4) µε, 4 ( e, + ) και επειδή η f είναι γνησίως µονότονη στο ( e,+ ) προκύπτει ότι = 4. Εποµένως στο ( e,+ ) η δοθείσα είσωση έχει ακριβώς µια λύση, το = 4. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η είσωση αριθµούς =, = 4. 4 = 4, > έχει ακριβώς δύο λύσεις τους Γ4. Πορεία σκέψης (κινήσεις στο πρόχειρο ) Η είσωση γράφεται, θεωρώντας το µεταβλητή, () ( ) f() t ( ) f () ( ) f' f t dt= f f f' f t dt f f = ( ) f' dt+ f = ( ) () f f t dt f() t dt + ( f( ) ) = ( f ) f() t dt = (τώρα γράφουµε την επίσηµη λύση µας ) Έστω συνάρτηση () h = f f tdt, >, τότε: η h είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) µε h' ( ) = f' ( ) f() t dt f( ) f( )
() () () h = f f tdt= = h( 4) 4 4 ( f 4 ) f () tdt = f () tdt h() = = = άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, 4], οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (,4) τέτοιο ώστε f' f() t dt f( f) () h' = f' f t dt f f = = Σηµείωση: Στο ερώτηµα Γ3 υπάρχει ίδια σκέψη στο διαγώνισµα του Νίκου Ζανταρίδη, δείτε το, ήταν από τα προτεινόµενα θέµατα για τις εετάσεις του 4. Επίσης για να έχουµε µια εποπτική εικόνα της δεδοµένης συνάρτησης, δίνουµε το σχήµα της Θέµα. Α τρόπος (κατασκευαστικός): Για, (, + ) έχουµε, f( ) f( ) ότι =. =, θα δείουµε Έχουµε, = = () f f f f = = + = + () f f f f f 3 f 3 f f f = f e = e 3 αν προσθέσουµε κατά µέλη τις σχέσεις () και () και στη συνέχεια την πολ/µε µε την σχέση (3) έπεται,
δηλαδή η f είναι. ( ) ( ) f f e f f + 3 = e f f + 3 = ( ) f Β τρόπος (µε µονοτονία): Για κάθε >, έχουµε, e f f + 3 =, παραγωγίζουµε ως προς και τα δύο µέλη, f f f e f ( ) f( ) 3 + = e f' ( ) f ( ) f( ) + 3 + e f( ) f' ( ) f' ( ) = f e f' ( ) f ( ) f( ) + 3+ f( ) = ( ) f e f' f + = f' = > f e ( f ( ) + ) η f είναι γνησίως αύουσα άρα είναι και. Εύρεση της αντίστροφης Θέτουµε f( ) = y, άρα η δεδοµένη σχέση γίνεται (αφού η f είναι γνησίως αύουσα, η είσωση f() = y έχει για κάθε y R το πολύ µια λύση. Μια λύση είναι ( ) f( ) e f f + 3 = οπότε η λύση είναι µοναδική ), δηλαδή = f ( y) y y e y y+ 3 = f y = e y y+ 3,y R f = e + 3, R. Σηµείωση: Σε αυτό το σηµείο, ο συνάδελφος Παύλος Σταυρόπουλος σηµειώνει µια πιο πειστική λύση για την εύρεση της αντίστροφης, όπως και την πρόσθεση των κόκκινων γραµµάτων που µας πρότεινε να προσθέσουµε στην υπάρχουσα λύση µας. Θεωρούµε τη συνάρτηση h( ) e ( 3 ), (, ) = + +. Εύκολα αποδεικνύουµε ότι είναι γνησίως αύουσα (δες β τρόπο παραπάνω) άρα και. Εποµένως η σχέση Άρα, έχουµε, + = γράφεται h( f( ) ) για κάθε (, ) f e f f 3 h: ( ) y = +. f = y h f = h y = e y y+ 3, y R, οπότε η αντίστροφη της y συνάρτησης f είναι η f y = e y y+ 3, y R.
. Για κάθε Rέχουµε, ( f ( ) ) = ( e)( + 3) + e ( + 3) = + + e 3 e και = + > e άρα η f είναι κυρτή. ( f ( ) ) = ( e)( + ) + e ( + ) = e ( + ) + e = e ( + + ) = e ( + ) Αρχικά η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άονα y y για =, Η είσωση της εφαπτοµένης της f e 3 3 = + =, δηλαδή στο σηµείο (, 3). f στο σηµείο (, 3) είναι: y 3= ( ) y= + 3 () ε. Επειδή η f είναι κυρτή και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της, καταλαβαίνουµε ότι η C f βρίσκεται πιο ψηλά, εκτός από το σηµείο επαφής, από την ευθεία (ε), οπότε το ζητούµενο εµβαδόν ισούται E= f + 3 d= e e + 3e 3 d= e d e d+ 3 e d 3d e d e e d e = = e e d e [ e ( e )] e = =. e d = e e d = e ( e ) =. 3 e d = 3e 3. d=. 3d= 3.
Εποµένως το εµβαδόν είναι ίσο µε 3. ) Έχουµε, E = e + 3e 3 3= 4e. = = =. f f f f f f f Β τρόπος (µε ορισµό της παραγώγου): Έχουµε, f ( y) f ( y ) ( f ) lm lm ( y) = = = y y y y f f f οπότε παριστάνει το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της f στο y όπου y = f ( ), ( f ) y = ( f ) y f ( ) = άρα f ( ) ) Α τρόπος (αλγεβρικά): Αναζητούµε την απόσταση, ( AB) ( f ( ) ) ( f ( ) ) ( f ( ) ) αφού = + =, f + 3> για κάθε R. Οπότε αναζητούµε το ελάχιστο της συνάρτησης ( ) Έχουµε, k = f = e + 3 k ' = e + k '' = e + γιακάθε R άρα η k είναι γνησίως αύουσα στο R. Για > έχουµε, k' ( ) k' k = f, R. > =, δηλαδή η k είναι γνησίως αύουσα στο, + ) Για < έχουµε, k' ( ) < k' =, δηλαδή η k είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + k' + k > < Άρα για = η απόσταση γίνεται ελάχιστη, µε ελάχιστη τιµή k = 3.
Β τρόπος (γεωµετρικός): Η ιδέα είναι η εής, έρουµε ότι η C f - είναι κυρτή και έχει εφαπτοµένη την ευθεία y = + 3, δηλαδή παράλληλη στην διχοτόµο της γωνίας του πρώτου τεταρτηµορίου την y =. Επίσης λόγω κυρτότητας της C f - η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω, εκτός του σηµείο επαφής, από την εφαπτοµένη, οπότε το πιο κοντινό σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, µε την ευθεία y = είναι το σηµείο (, 3) που απέχει από την y =, απόσταση Κ(,3) + 3 3 3 d( K, ε ) = = =. y= + y= + Λόγω συµµετρικότητας και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f απέχει από την ευθεία y = απόσταση 3, άρα η συνολική απόσταση των δύο γραφικών παραστάσεων είναι 3 + 3 = 3. Σηµείωση: Θα ήταν διδακτικό να δούµε εποπτικά το σχήµα της γραφικής παράστασης της f και της f -