Uvod - modeliranje preuzima vodeću ulogu u razvoju procesa - modelima pokušavamo razumjeti, mijenjati, projektirati i voditi realne procese - pri razvoju modela moramo sagledati cjelovitost problema zajedno sa svim ograničenjima i utjecajima koje procesu nameće njegova okolina - metodološki pristup izgradnji matematičkih modela - osnovni koncept modeliranja, opis elemenata i postupaka sustavnog pristupa modeliranju zlatna pravila modeliranja
Što je matematičko modeliranje? MATEMATIČKO MODELIRANJE JE OPISIVANJE OPAŽENIH POJAVA NEMATEMATIČKIH SUSTAVA/ PROCESA/PROIZVODA MATEMATIČKIM JEZIKOM!!!
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem q V, 0, c A,0 V, c A, r A q V, c A - idealno miješanje - ρ = konst. (ρ UL = ρ IZ ) - q V volumni protok - c A molarna koncentracija - V- volumen - 0 početni uvjeti - r A brzina reakcije Ukupna bilanca tvari: d V q q V,0 dt = ( ρ V ) V d = ρ ( qv,0 qv) dt dv qv,0 = qv = konst. = 0 V = konst. dt
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem - τ - vrijeme zadržavanja V τ = q V - kemijska reakcija A B (reakcija prvog reda) ra = ka ca - c A (u reaktoru) = c A (u izlaznom toku) iz pretpostavke o idealnom miješanju Bilanca tvari reaktanta A: d( V ca ) = q ca,0 q ca V ka ca : q dt d ca τ = ca,0 ca τ ka ca (: τ) dt d c dt A c c A,0 A = ka τ c A ** ( ) V V V
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bilanca tvari za reaktant A izvedena na temelju - općeg pristupa bilanca tvari (zakon o očuvanju mase) - dodatnih podataka o procesu (kinetika reakcije) - pretpostavki (idealno miješanje, konstantna gustoća, jednakost ulaznih i izlaznih protoka) - analitičko rješenje (*) ( ) ( (( 1/ τ ) + k ) ) A t 1 e (( τ ) k ) c c t c e A,0 1/ + A t A = + A,0 1+ ka τ - numeričke metode uobičajeniji pristup rješavanju matematičkih modela procesa jer rezultirajuće diferencijalne jednadžbe uobičajeno nemaju analitičko rješenje
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Usporedba analitičkog* i numeričkog rješenja jednadžbe** - c A,0 = 1 mol dm -3, q V = 0,2 dm 3 min -1, V = 1 dm 3, T = 130 C (403,15 K) - k A preuzeta iz literature za reakciju hidrolize anhidrida octene kiseline (Arrhenius) 4,9510 6 RT 1 ka = 1,15 10 e ( min ) k A = 0,444 min -1 4 1.2 0.9 analitièko rješenje numerièko rješenje **// Primjer 1. IndVars: t DepVars: ca, ka Params: A, B //Arrheniusov izraz ka=a*exp(-b/(r*t1)) //Vrijeme zadržavanja tao=v/qv //Model procesa ca'=(ca0-ca)/tao-ka*ca //Početni uvjeti t=0 ca0=1 ca=1 V=1 qv=0.2 T1=403.15 R=8.314 A=1150000 b=49500 *** c [mol dm -3 ] 0.6 0.3 0.0 0 5 10 15 20 25 t [min]
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Parametarska analiza - analiza utjecaja parametara procesa na ponašanje procesa - analiza utjecaja promjene temperature na konverziju, ravnotežnu koncentraciju i konstantu brzine reakcije T / K X / - c A / mol dm -3 k A / min -1 273,15 0,0004 0,998 1,19 10-3 293,15 0,0084 0,991 1,74 10-3 313,15 0,0303 0,970 6,36 10-3 333,15 0,0895 0,911 1,99 10-2 353,15 0,2138 0,786 5,48 10-2 373,15 0,4030 0,597 1,35 10-1 393,15 0,6037 0,396 3,04 10-1 413,15 0,7602 0,240 6,34 10-1 433,15 0,8605 0,140 1,23 453,15 0,9189 0,081 2,26
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bezdimenzijski model procesa - pojednostavljeni i transparentniji prikaz matematičkog modela procesa** - c A,v = c A,0 karakteristična (referentna) ulazna koncentracija procesa - u bezdimenzijska koncentracija - θ - bezdimenzijsko vrijeme u = c c A A,0 du 1 u = k A u dt τ du τ = 1 u τ ka u dt t θ = τ τ = d t dθ du dt du du τ = = dt dθ dt dθ du d τ A θ = 1 u k u***
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bezdimenzijski model procesa - Da Damköhlerov broj Da = τ k A - u S bezdimenzijska koncentracija u stacionarnom stanju - u stacionarnom stanju u S 1 = 1 + Da - analitičko rješenje bezdimenzijskog matematičkog modela procesa*** u ( θ ) = ( ) ( 1 + Da θ 1 ( 0) ( 0) ) (1 + Da) θ e + e + u + Da u 1+ Da
Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bezdimenzijski model procesa - simulacija procesa - Da = 2; u(0) = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 i 1,0 1.00 u [-] 0.75 0.50 u = 0 u = 0,2 u = 0,4 u = 0,6 u = 0,8 u = 1,0 0.25 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 θ [-]
Pravila modeliranja - povezivanje eksperimenta i modela učinkovito rješavanje realnih problema na laboratorijskom, pilotnom i industrijskom nivou - analiza procesa svrha modeliranja u procesnom inženjerstvu - analiza procesa primjena znanstvenih metoda u definiranju problema i razvoj postupaka njihovog rješavanja - sustavni pristup modeliranju sedam koraka postupka modeliranja 1 2 3 Skupljanje 4 Opis Definiranje informacija o problema mehanizama sustavu Postavljanje modela 7 Ocjena valjanosti modela 6 Provjera rješenja 5 Rješavanje modela
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem q V, 0, c A,0 1. Opis problema 1.a) Procesni sustav - idealni protočni kotlasti reaktor (PKR) - egzotermna reakcija prvog reda A B V, c A, r A q V, c A - konstantan protok, q V,0 = q V - konstanta gustoća, ρ 0 = ρ - adijabatski sustav, Q = 0 1.b) Svrha modela - predvidjeti promjenu koncentracije reaktanta A i temperature u reaktoru i izlaznom toku, ako u trenutku t značajno promijenimo ulaznu koncentraciju reaktanta A
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 2. Mehanizam procesa - kemijska reakcija, kinetika 1. reda 3. Skupljanje informacija o sustavu - procesni podatci potrebni za rješavanje problema: - kinetički podatci, reakcijska entalpija - fizikalno kemijska svojstva tvari (primjerice specifična toplinski kapacitet reaktanta) - procesni uvjeti (ulazna koncentracija reaktanta, protok, početna temperatura, gustoća, ) - literaturni i/ili eksperimentalni podatci, procijenjeni pomoću korelacijskih jednadžbi
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 4. Postavljanje modela 4.a) Pretpostavke modela - idealno miješanje - konstantna fizikalno-kemijska svojstva tvari - nema gubitaka tvari i energije u okolinu 4.b) Određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata - idealno miješanje omogućuje razvoj modela sa usredotočenim parametrima - bilance tvari i energije za prostorni bilančni element volumen reakcijske smjese ( V R ) 4.c) Definiranje karakterističnih promjenjivih veličina - zavisne promjenjive veličine: koncentracija reaktanta A, c A, i temperatura, T - nezavisne promjenjive veličine: vrijeme, t
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 4.d) Zapis bilanci - bilanca tvari reaktanta A d n dt A = q q r V 0 A * - bilanca energije d H = q V,0 ρ Δ H m,ul q H H r V V ρ Δ m,iz Δ r A dt **
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 4.d) Zapis mehanističkih i konstitutivnih veza n = c V A A ra = ka ca A 0 E A RT k k e = q = q c 0 V A,0 P ( ref ) ( UL ref ) ( IZ ref ) Δ H = V ρ c T T Δ H = c T T UL Δ H = c T T IZ q= q c V P A P
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem - iz bilance tvari reaktanta A* dc dt ( A ) A RT V = q ca,0 c k0 e ca V - iz bilanca energije** E A dt V ρ cp = qv ρ cp ( TUL TIZ ) ΔHr ra V dt - početni uvjeti: c A (t = 0) = c A,0 T(t = 0) = T 0
Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 5. Rješavanje modela - sustav dvaju diferencijalnih jednadžbi prvoga reda - definirani početni uvjeti - primjena numeričkih metoda 6. 7. Provjera rješenja i ocjena valjanosti modela - rezultate simulacije modela usporediti sa eksperimentalnim rezultatima realnog procesa - primjena modela za predviđanje promjene koncentracije reaktanta A i temperature u reaktoru i izlaznom toku, ako u trenutku t značajno promijenimo ulaznu koncentraciju reaktanta A
Pravila modeliranja Opis problema - definiranje procesnog sustava i svrhe modeliranja Procesni sustav je dio stvarnog svijeta s definiranim fizikalnim granicama. Svrha modeliranja označuje predviđenu primjenu modela. Potrebno opisati: - ulazne i izlazne veličine - vrstu prostorne ovisnosti (distribuirani ili usredotočeni parametri/ stanja procesa) - vremenske ovisnosti u pretpostavljenom modela (statički ili dinamički)
Pravila modeliranja Procesni sustav - sustav u kojemu se odvijaju fizikalno-kemijski i/ili biokemijski procesi - u modeliranju cjelovit tehnološki proces, dio procesa, procesna jedinica ili dio neke aparature - definiranje granica sustava - definiranje procesa koji se odvijaju unutar promatranog sustava - dijagram toka procesa ili shema procesnih tokova grafički prikaz realnog procesnog problema sa pojednostavljenom shemom sustava
Pravila modeliranja Procesni sustav - povezuje se sa okolinom preko ulaza i izlaza - ulazi dolaze iz okoline i nisu direktno povezani sa događajima u sustavu - izlazi su odziv odnosno odgovor sustava okolini ULAZ r x sustav ur y IZLAZ
Pravila modeliranja Procesni parametri Procesni parametri su veličine koje se ne mijenjaju tijekom provedbe procesa, a označavaju (karakteriziraju) proces. Procesni parametri se procijenju na temelju mjernih podataka. Ne mjere se direktno (npr, konstanta brzine kemijske reakcije k, energija aktivacije E a ).
Pravila modeliranja Procesne varijable su veličine koje se mijenjaju i mjere tijekom provedbe procesa, a označavaju (karakteriziraju) proces. - zavisne - nezavisne
Pravila modeliranja Procesne varijable MASA TVARI - m VRIJEME - t PROCESNE VARIJABLE, KOJE OZNAČAVAJU KEMIJSKI SASTAV TVARI : množina tvari-n, molarni udio x ili y, maseni udio-ω, volumni udio-ϕ i koncentracija c,γ. PROCESNE VARIJABLE KOJE SE IZVODE IZ MASE I VOLUMENA: gustoća- ρ, relativna gustoća-d i specifični volumen-v. PROCESNE VARIJABLE KOJE OZNAČAVAJU TOK TVARI: maseni protok-q, volumni protok- q v i molarni protok-q m PROCESNE VARIJABLE KOJE OZNAČAVAJU STANJE PROCESA: temperatura T i tlak - p
Pravila modeliranja Svrha modeliranja - definira složenost modela procesa i matematički opis razvijenog modela - dinamička simulacija - stacionarna simulacija - projektiranje procesa - vođenje procesa
Svrha modeliranja Dinamička simulacija - svi sustavi se mijenjaju s vremenom, ako je ta promjena značajna zovemo ih dinamičnim sustavima - u dinamičnim sustavima izlazne veličine ovisne o dinamičkoj promjeni ulaznih veličina, a ne samo o trenutnoj vrijednosti ulaznih veličina - model dinamičnog sustava daje vremensku promjenu izlaznih veličina za dane vrijednosti ulaznih veličina, uz pretpostavljenu strukturu modela i parametre procesa
Svrha modeliranja Stacionarna simulacija - svi sustavi se mijenjaju s vremenom, ako ta promjena ne utječe na odziv procesa govorimo o stacionarnom stanju sustava - model stacionarnog procesa daje ovisnost izlaznih veličina za dane specifične ulazne veličina, uz pretpostavljenu strukturu modela i parametre procesa
Svrha modeliranja Projektiranje procesa - primjena modela u svrhu procjene vrijednosti bitnih parametara procesa na temelju poznatih ulaznih veličina, poznatih i željenih izlaznih veličina i za prethodno definirane strukture modela - rješenje pomoću primjene različitih optimizacijskih tehnika, koji generiraju takve vrijednosti parametara procesa, da je odstupanje između poznatih i/ili željenih izlaznih veličina i izlaznih veličina koje generira model minimalno
Svrha modeliranja Vođenje procesa - primjena dinamičkih ili stacionarnih modela zajedno sa mjerenim vrijednostima ulaznih i/ili izlaznih veličina u svrhu: - izračuna vrijednosti ulaznih veličina za koje se dobivaju primjereni odzivi procesa - promišljeno pronalaženje odgovarajuće strukture modela zajedno s pripadajućim parametrima temeljeno na poznavanju ulaznih i izlaznih veličina procesa - procjena stanja i parametara modela definirane strukture koji nisu mjerljivi - prepoznavanje i otklanjanje pogrešaka u sustavu vođenja procesa
Pravila modeliranja Definiranje mehanizama - definiranje fizikalno-kemijskih i biokemijskih procesa i pojava koji se odvijaju u promatranom sustavu - ovisno o svrsi modeliranja definiramo mehanizme procesa na molekularnoj, mikroskopskoj ili makroskopskoj razini - ovisno o svrsi i početnim uvjetima definiramo smislene pretpostavke i pojednostavljenja procesa - uobičajeni mehanizmi u modeliranju procesa: - reakcijska kinetika, prijenos topline, prijenos topline konvekcijom, radijacija, difuzija tvari, konventivni prijenos tvari, prijenos tvari i topline kroz granični sloj, promjena agregatnog stanja, rast i odumiranje živih organizama, metabolički putovi i sl. - mehanizmi predstavljaju parcijalne modele cjelokupnoga procesnog modela
Pravila modeliranja Skupljanje informacija o (realnom) sustavu - kombinirani matematički modeli (gray box models) - direktno mjerenje vrijednosti parametara modela ili procjena parametara temeljem korelacijskih jednadžbi - prikaz procesnih podataka i parametara modela zajedno sa intervalom pouzdanosti - točnost mjerenja u industrijskim procesima ±10 % ±30 %; pogreška procjene parametara modela dobijenih u laboratorijskim ili pilotnim pokusima ±5 % ±20 %; točnost podataka reakcijske kinetike > ± 10 % - nedovoljno literaturnih podataka i/ili rezultata pokusa potrebnih za izračun parametara procesa potrebna dodatna pojednostavljenja u koracima 1 i 2
Pravila modeliranja Postavljanje modela - izvedba ovoga koraka u razvoju modela daje modelu matematički značaj i opravdava njegovo ime matematički model - jednadžbe opisa promjena u nekom sustavu: - algebarske - diferencijalne - diferencijalne jednadžbe bilance tvari i energije - algebarske jednadžbe mehanističke jednadžbe - koraci u postavljanju modela: - pretpostavke modela - određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata - definiranje karakterističnih promjenjivih veličina - zapis bilanci (tvari, energije, količine gibanja) - zapis mehanističkih jednadžbi i konstitutivnih veza
Pravila modeliranja Rješavanje modela - izbor tehnike rješavanja matematičkog modela procesa - analitičko rješenje - numeričke metode - analitička rješenja kompleksnih matematičkih modela procesa ne postoje ili je njihovo određivanje vremenski zahtjevno - numeričke metode omogućuju rješavanje najkompleksnijih matematičkih modela procesa (kratkoročna vremenska prognoza rješavanje sustava od 10 5 10 6 parcijalnih diferencijalnih jednadžbi) - razvoj numeričkih metoda povezan sa razvojem računala - malo poboljšanje numeričkih algoritama utječe na vrijeme računanja, kapacitet računala, točnost, pouzdanost i stabilnost rješenja - Taylor, Euler, Runge-Kutta (diferencijalne jednadžbe), Laplace, metoda razlika, metoda linija, kolokacije, (parcijalne diferencijalne jednadžbe), Simpson, trapez (integrali),
Pravila modeliranja Provjera rješenja - da li se model ponaša korektno? (T MODEL = -15 K) - da li model daje očekivane odgovore? - Provjera rješenja Ocjena valjanosti modela
Pravila modeliranja Ocjena valjanosti modela - primjena modela moguća tek nakon ocjene ili potvrde njegove valjanosti - usporedba rezultata simulacije modela sa nezavisnim opažanjima (mjerenjima) ili pretpostavkama - ovisna o procesnom sustavu, svrsi modeliranja i mogućnosti pridobivanje nezavisnih opažanja za njegovu potvrdu - mogući postupci u ocjeni valjanosti modela: - eksperimentalna provjera pojednostavljenja i pretpostavki modela - usporedba ponašanja modela i ponašanja realnoga sustava - razvoj analitičkih modela za pojednostavljene primjere - usporedba s drugim modelima, razvijenim za slične realne probleme - usporedba rezultata simulacije modela direktno sa procesnim podatcima (mjerenjima) - najuobičajenije!!!!
Pravila modeliranja Ocjena valjanosti modela - svojstva modela koja omogućuju ocjenu njihove valjanosti - točnost model je točan ako su njegovi odzivi zadovoljavajuće blizu odzivima realnog sustava - realnost opisa sustava model se temelji na pretpostavkama o mehanizmima djelovanja sustava koji su slični onima u realnom sustavu - preciznost jednoznačnost rješenja (primjerice odziv procesa je krivulja, a ne skup krivulja) - robusnost relativna neosjetljivost modela na šumove prisutne u ulaznim podacima - općenitost mogućnost opisivanja širokog područja problema - ne smije se provoditi sa podatcima korištenim u njegovu razvoju - parametarska analiza analiza osjetljivosti procijenjenih parametara procesa - tumačenje rezultata simulacije modela - dokumentacija
Pravila modeliranja Pretpostavke modela - utječu na rezultate simulacije modela - povezane sa jednadžbama modela i pripadajućim početnim i rubnim uvjetima - najuobičajenije pretpostavke: - vremenske karakteristike (stacionaran ili nestacionaran proces) - prostorne karakteristike (jedno-, dvo- ili tro-dimenzionalan problem) - vrste protoka (laminarno strujanje, čepoliko strujanje, povratno miješanje ) - mehanizme (primjerice, brzina reakcije je zanemariva u odnosu s brzinom prijenosa tvari) - svojstva tvari (postojanje ili nepostojanje temperaturnih ili koncentracijskih ovisnosti fizikalno-kemijskih svojstava tvari) - tražena točnost procijenjenih parametara, izlaznih veličina i sl. - geometrija sustava (zrno katalizatora opisujemo pravilnim sferičnim oblikom, )
Pravila modeliranja Određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata - prostorni bilančni element (volumen reakcijske smjese u Primjeru 1.) - realni sustavi kompleksni za zadovoljavajuće opisivanje potrebno njihovo dijeljenje na podsustave (faze u višefaznim sustavima, katalizatori i punila u kolonama, ugrađeni grijači)
Pravila modeliranja Definiranje karakterističnih promjenjivih veličina - povezane sa ulaznim i izlaznim veličinama sustava, kao i sa stanjem unutar sustava - uobičajene promjenjive ulazne i izlazne veličine: - tokovi tvari u masenim, množinskim i prostornim koncentracijama - temperatura (bilance energije) - tlak -
Pravila modeliranja Zapis bilanci - tvari, energije, količine gibanja - za definirani prostorni bilančni element - za sustav i sve podsustave
Pravila modeliranja Zapis mehanističkih jednadžbi i konstitutivnih veza - jednadžbe koje definiraju: - brzinu reakcije - brzinu prijenosa tvari, topline, količine gibanja - ravnotežna stanja - termodinamičke jednadžbe stanja i sl.