1. Uvod. 2. Procesne jadnadžbe. 3. Metoda Runge-Kutta 4. Reda

Transcript

1 . Uvod Cilj ove vježbe je uspostava numeričkog modela dinamike ekosustava prezentiranog sa dva člana. Prvi član predstavlja plijen-fitoplankton (prva proesna varijabla A ) a drugi član predstavlja predator-zooplankton (druga proesna varijabla Z ). Postavljene su dvije međusobno vezane (ovisne) obične diferenijalne jednadžbe temeljem koji se prati dinamika rasta i odumiranja kroz nekoliko karakteristični vremenski iklusa. Za rješavanje sustava sačinjenog od dvije diferenijalne jednadžbe korištena je u teničkoj praksi vrlo često primjenjivana metoda Runge-Kutta. reda.. Proesne jadnadžbe Početno stanje sustava je definirano s 0 jedinki fitoplanktona koji imaju konstantu produkije (rasta),5 te ratu razgradnje,5. Razgradnjom je obuvaćeno prirodno odumiranje fitoplanktona i smanjenje broja jedinki uslijed aktivnosti predatora kojeg predstavlja zooplankton. Početni broj jedinki zooplanktona je usvojen s. Budući da zooplankton nije primarni produent (ne može stvoriti živu tvar iz anorganske tvari kroz proes fotosinteze) njegov rast ovisan je o raspoloživom plijenu odnosno konentraiji fitoplanktona. Brzina rasta populaije zooplanktona definirana je koefiijentom konzumaije fitoplanktona 0,0. Brzina razgradnje zooplanktona definirana je koefiijentom -, a kojim je obuvaćen i proes prirodnog odumiranja zooplanktona i njegova podložnost da postane plijen viši predatora. Time je definiran sustav od dvije proesne varijable sa međuodnosima koji se u matematičkoj formulaiji mogu izraziti s dvije obične diferenijalne jednadžbe: da, 5 A, 5 Z A dt dz Z 0, 0 A Z dt (.) (.) Početni uvjeti izraženi su jednakostima A(0)=0 i Z(0)=.. Metoda Runge-Kutta. Reda Diferenijalne jednadžbe dijelimo na obične diferenijalne jednadžbe (ODJ) i parijalne diferenijalne jednadžbe (PDJ) ovisno o tome da li se radi o funkiji jedne ili više varijabli. U ovom slučaju se bavimo samo rješavanjem obični diferenijalni jednadžbi. Rješenje diferenijalne jednadžbe je funkija koja zadovoljava diferenijalnu jednadžbu uz određene početne i/ili rubne uvjete. Pri analitičkom rješavanju diferenijalni jednadžbi

2 obično se pronalaze općenita rješenja koja sadrže proizvoljne konstante koje se zatim izračunavaju na osnovu početni uvjeta. Za rješenje diferenijalne jednadžbe n-tog reda mora biti poznato n nezavisni uvjeta. Analitičke metode su ograničene samo na linearne jednadžbe prvog reda, te linearne jednadžbe s konstantnim koefiijentima ako je red jednadžbe veći od jedan. Numeričke metode nemaju takvi ograničenja. Rješenja diferenijalni jednadžbi numeričkim metodama se dobivaju u obliku tablie vrijednosti funkije za različite vrijednosti jedne ili više nezavisni varijabli, ali ne kao funkijska ovisnost. Ako se promjene početni uvjeti potrebno je nanovo računati vrijednosti u toj tablii. Obična diferenijalna jednadžba prvog reda većinom je zadana o obliku: dy = f x,y y x 0 = y 0 dx (.) Diferenijalnu jednadžbu definiranu s: dy = f x,y y x 0 = y 0 dx na intervalu x x 0, n podintervala, označivši: možemo rješavati tako da podijelimo interval x 0, x n na n jednaki x - x n n 0 =, x i = x 0 + i, i = 0,,...,n. Sada y i+, aproksimaiju rješenja u točki x i+, računamo iz y i korištenjem aproksimaije oblika y x +» y x + Φ x, y x,, f te dobivamo rekurziju: y» y + Φ x, y,, f i = 0,,..., n - (.) i+ i i i Funkiju Φ nazivamo funkija prirasta, a različit izbor te funkije definira različite metode. Uočimo da je funkija f iz diferenijalne jednadžbe parametar od Φ (tj. Φ zavisi o f). Metode oblika (.) zovemo jednokoračne metode (jer za aproksimaiju yi+ koristimo samo vrijednost y i u pretodnoj točki x i, tj. u jednom koraku dobijemo y i+ iz y i ). Da bismo

3 pojednostavili zapis, ubuduće ćemo f izostaviti kao argument funkije Φ. O odabiru funkije Φ ovisi i točnost metode. Najpoznatije jednokoračne metode su Runge Kutta metode. Kod nji je funkija Φ oblika r j j j= Φ x, y, = ω k x, y, (.) a k j su zadani s: r kj x, y, = f x + j, y + ajlkl x, y,, j =,,..., r l= (.) Broj r zovemo redom Runge - Kutta (RK) metode i on označava koliko puta moramo računati funkiju f u svakom koraku. Različit izbor koefiijenata j, j i a jl definira različite RK metode. Ovi koefiijenti se najčešće biraju tako da red metode bude što je moguće veći. Ako je j>l, tada metoda postaje ekspliitna, odnosno k j možemo računati preko k i. yk j-. Primjer odabira koefiijenata prikazuje se na RK metodi drugog reda: x, y, = f x, y x, y, = f x, y k Φ x, y, = ω k x, y, + ω k x, y, k k Razvojem k u Taylorov red te sređivanjem zapisa dobije se: k x, y, = f + f a + f af + f a + f a f + f a f + R x y xx xy yy gdje su: f x i f y prve parijalne derivaije funkije f=f(x,y) po x, odnosno y, a f xx, f xy i f yy odgovarajuće druge parijalne derivaije. Razvoj rješenja diferenijalne jednadžbe y(x) ima oblik: y x + = y x + f + f + f f + f + f f + f f + f f + f f + R 6 x y xx xy yy y x y Ovdje je iskorišteno da je y(x) rješenje diferenijalne jednadžbe: yx = f x, y = f te su korištena pravila za deriviranje:

4 y x = f x, y = f = f + f f x xx xy yy y x y y x = f x, y = f = f + f f + f f + f f + f f y Sada je pogreška odsijeanja diskretizaije jednaka: y x + - y x y x + - y x - Φx, y x, = - ωk x, y, + ωk x, y, = - ω - ω f + f x + fy f - ωa + ωa fxx + fxy f + fyy f - + fy f x + fy f + R Da bi metoda bila. reda koefiijente treba odabrati tako da se poništi prvi član u gornjem razvoju, odnosno da vrijedi: -ω- ω = 0 Ukoliko je zadovoljeno i - ω a = 0 metoda će biti. reda. Uvođenjem slobodnog koefiijenta t rješenje ove dvije jednadžbe možemo napisati u obliku: ω = t 0, ω = - t, a = t Može se uočiti da se t ne može odabrati tako da se poništi i član uz tako da metoda bude. reda. Ukoliko je ω = 0, radi se o metodi. reda, i to upravo o Eulerovoj metodi. Za t = / dobiva se poboljšana Eulerova, odnosno Heunova metoda: Φ = k = f k = f k + k x, y x +, y + k Najraširenije su metode četvrtog reda. Odgovarajuće jednadžbe koje moraju zadovoljavati koefiijenti RK metoda su:

5 ω + ω + ω + ω = ω + ω = ω + ω = ωa + ω a + a = 6 ω + ω = (.5-.) ωa + ω a + a = ωa + ω a + a = 8 ωaa = gdje je: = 0 Uvjet.5 treba biti zadovoljen da bi metoda bila reda, uvjet.6 za red, uvjeti.7 i.8 za red, dok za red trebaju biti ispunjeni uvjeti.9-.. Ukupno ima 0 koefiijenata i 8 jednadžbi ukoliko je metoda reda. Za metodu reda uvrštavanjem članova = ω = 0 dobiva se 9 koefiijenata i 7 jednadžbi. Metoda reda može postići najviše red točnosti, tj. ne mogu se dva stupnja slobode iz sustava jednadžbi iskoristiti da se red točnosti metode podigne na 5. Općenito, za metode reda jedan, dva, tri i četiri, najveći mogući red točnosti odgovara redu metode. Za metode reda 5, 6 i 7 red točnosti metode je, 5 i 6, dok je za metode reda 8 i više najveći mogući red točnosti za barem dva manji od reda metode. To je razlog što su metode reda najpopularnije. Red točnosti je, a da bi se povećao na 5, mora se povećati red metode za barem što povećava složenost metode. Najpopularnija RK metoda je klasična Runge-Kutta metoda: 5

6 Φ = k + k + k + k 6 k = f x, y ; k = f x +, y + k k = f x +, y + k ; k = f x +, y + k Pomoću jednadžbi. i. definiraju se koefiijenti:,,,,,,,, a, a, a, a, a. U klasičnoj Runge-Kutta metodi navedeni koefiijenti imaju vrijednosti: ω =, ω =, ω =, ω = a =, a = 0, a =, a = 0, a = 0, a = gdje je pretodno definirano: = 0 = = = Uvrštavanjem vrijednosti koefiijenata u jednadžbe.5-. zadovoljeni su navedeni uvjeti. ω + ω + ω + ω = = ω + ω = + + = = ω + ω = + + = = ωa + ω a + a = = = ω + ω = + + = = ωa + ω a + a = = = 6 6 ωa + ω a + a = = = ωaa = = 6 (.5-.) 6

7 . Rezultati provedeni analiza Rezultati rješavanja sustava jednadžbi. i. sa postavljenim početnim uvjetima prikazani su na slikama.. (vremenske serije za obje proesne varijable A i Z ) i. (dijagram međuovisnosti). Slika. Dinamike populaije fitoplanktona i zooplanktona temeljem rješavanja sustava diferenijalni jednadžbi s metodom Runge-Kutta. Reda (prikazano je 7 irklusa) Slika. Dijagram međuovisnosti proesni varijabli A (fitoplankton) i Z (zooplankton) 7