Uvod. - linearne jednadžbe. - nelinearne jednadžbe

Transcript

1 Uvod - linearne jednadžbe - direktne metode - Gaussova eliminacija - Gauss-Jordanova metoda - iterativne metode - Gauss-Seidlova metoda - Jacobijeva metoda - nelinearne jednadžbe - iterativne metode - Jacobijeva nelinearna iteracija - Wegsteinova metoda - Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - metoda sekante (regula falsi)

2 Uvod - obične diferencijalne jednadžbe - analitičke metode - numeričke metode - Taylorova metoda - Eulerova metoda - Rungeova metoda (drugog, trećeg i četvrtog stupnja) - Runge-Kutta metoda - parcijalne diferencijalne jednadžbe - numeričke metode - metoda konačnih razlika potpuna diskretizacija - metoda linija djelomična diskretizacija - kolokacije

3 LINEARNE JEDNADŽBE

4 Gaussova eliminacija Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku r r Ax = b... n a a a3 a x b a a a3... an x b a3 a3 a33... a 3n x 3 = b an an an3... a nn x n b n A matrica koeficijenata r x vektor nepoznanica r b vektor rješenja (vektor desne strane) Primjer (sustav od tri nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice) x+ y 3 z = 0 3 x 0 x y+ 4 z = 5 4 y = 5 3 x+ y z = 3 z

5 Gaussova eliminacija - kreiranje proširene matrice Ab vektor rješenja se pripisuje kao četvrti stupac matrici koeficijenata a a a3... a n b a a a... a b a a a... a b... a a a... a b 3 n n 3 n n n3 nn n Primjer (sustav od tri nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice)

6 Gaussova eliminacija - na retke proširene matrice primijeniti elementarne transformacije da bi se ispod glavne dijagonale matrice Ab dobile sve nule - elementarne transformacije se ne primjenjuju na stupce, njima je jedino moguće zamijeniti mjesta a a3... a n b 0 a3... an b a3n b b n Primjer - elemente prvog retka prepisati - elemente drugog retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoženog sa - elemente trećeg retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoženih sa :

7 Gaussova eliminacija Primjer - elemente prvog i drugog retka prepisati - elemente trećeg retka umanjiti za elemente drugog retka : prvi redak prepisati - drugi redak podijeliti sa -5 - treći redak podijeliti sa : ,5 *

8 Gaussova eliminacija - iz n-tog reda a nn = b n Primjer - iz trećeg reda matrice z =, ,5 - uvrštavanjem a nn u n- red dobiva se a n-n-. Primjer - uvrštavanjem vrijednosti z =,5 u drugi red matrice y z = - slijedi y = = - uvrštavanjem vrijednosti y = i z =,5 u prvi red matrice x + y 3 z = 0 slijedi x = ,5 = 0,5

9 Gauss-Jordanova metoda - elementarne transformacije provedene kod Gaussove metode eliminacije* proširuju se sve dok se članovi glavne dijagonale matrice nisu jedinice, a ostali elementi ispod i iza dijagonale ne poprime vrijednost nule b b b b n Primjer - treći red pomnožiti sa i dodati drugom redu - treći red pomnožiti sa 3 i dodati prvom redu * ,5 0 : ,5 0 0,5

10 Gauss-Jordanova metoda Primjer - drugi red pomnožiti sa - i dodati prvom redu 0 4, ,5 0 0 : ,5 0 0,5 - kako su elementi glavne dijagonale jedinice, a elementi iznad i ispod dijagonale nule, rješenje je moguće očitati direktno iz matrice - x = 0,5; y =, z =,5

11 Gauss-Seidlova metoda Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku a a a3... a n x b a a a3... an x b a3 a3 a33... a 3n x 3 = b an an an3... a nn x n b n - zapis sustava n-linearnih jednadžbi u eksplicitnom obliku x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x... (... ) n a33 x = b a x a x a x a (..., ) n n n n n n n nn n n n

12 Gauss-Seidlova metoda - pretpostavka za prvi korak, k, x = x = x 3 = = x n = 0 - u idućem koraku, k+ x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k k k x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k+ k k x = b a x a x a x 3 a... ( ) n k+ k+ k+ k 33 x = b a x a x a x n a ( ) n n n... n, n k+ k+ k+ k+ nn - u općenitom obliku n i n k+ k+ k xi = bi aij x a, za,..., j ij x i= n j aii j= j= i+ n n n

13 Gauss-Seidlova metoda Primjer x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ 3 z y = x+ 4 z 5 z = 3 x+ y - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y = z = 0 x = = 0 - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x i z = 0 y = = 5 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x i y z = 30 + ( 5) = 7

14 Gauss-Seidlova metoda - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y i z ( ) ( ) x = = - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x i z ( ) ( ) y = = 55 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x i y ( ) ( ) z = = 90 - za k = 0 k x y z E E E E E E E+09-6.E E+0-4.7E+0-8E+0 OPREZ SUSTAV MORA KONVERGIRATI RJEŠENJU!

15 Gauss-Seidlova metoda x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ z y = x+ z 5 z = x+ y za k = 0 (analitička rješenja, x = 0,5, y =, z =,5) k x y z

16 Jacobijeva metoda (iteracija) Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku a a a3... a n x b a a a3... an x b a3 a3 a33... a 3n x 3 = b an an an3... a nn x n b n - zapis sustava n-linearnih jednadžbi u eksplicitnom obliku x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x (... ) 3 3 n a x = b a x a x a x... (... ) n a33 x = b a x a x a x a (..., ) n n n n n n n nn n n n

17 Jacobijeva metoda (iteracija) - pretpostavka za prvi korak, k, x = x = x 3 = = x n = 0 - u idućem koraku, k+ x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k k k x = b a x a x a x 3 a ( ) 3... n k+ k k k x = b a x a x a x 3 a... ( ) n k+ k k+ k 33 x = b a x a x a x n a ( ) n n n... n, n k+ k k k nn - u općenitom obliku n n k+ k xi = bi aij x, za i=,..., n j aii j i n n n

18 Jacobijeva metoda (iteracija) Primjer x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ 3 z y = x+ 4 z 5 z = 3 x+ y - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y = z = 0 x = = 0 - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x = z = 0 y = = 5 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x = y = 0 z = =

19 Jacobijeva metoda (iteracija) - izračunati vrijednost x pomoću prve jednadžbe za y i z ( ) ( ) x = = 4 - izračunati vrijednost y iz druge jednadžbe pomoću x i z ( ) y = = 3 - izračunati vrijednost z iz druge jednadžbe pomoću x i y ( ) z = = 7 - za k = 0 k x y z OPREZ SUSTAV MORA KONVERGIRATI RJEŠENJU!

20 Jacobijeva metoda (iteracija) x+ y 3 z = 0 x y+ 4 z = 5 3 x+ y z = x= y+ z y = x+ z 5 z = x+ y za k = 0 (analitička rješenja, x = 0,5, y =, z =,5) k x y z

21 NELINEARNE JEDNADŽBE

22 Jacobijeva nelinearna iteracija - zadana nelinearna jednadžba ( ) x e x= 0, f x = 0 - funkciju izraziti eksplicitno po x x= e x - pretpostaviti početnu vrijednost xa i uvrstiti u iterativni oblik funkcije x = k e + x k Primjer x 0 = x e x e... = 0 = = x e x e 0,353 = = = x e x e 0, = = = 0,353 0,8734 0, 475 x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 8 9

23 Jacobijeva nelinearna iteracija - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe

24 Wegsteinova metoda - zadana nelinearna jednadžba ( ) x e x= 0, f x = 0 - funkciju izraziti eksplicitno po x ( ) x x= e, g x = x - pretpostaviti početnu vrijednost xa i uvrstiti u Jacobijev iterativni oblik funkcije x = k + e x k - vrijednost za x odrediti kao presjek pravca y = x i sekante kroz točke (x 0, f(x 0 )) i (x, f(x )) na krivulju koja predstavlja funkcija u eksplicitnom obliku, g(x) ( 0) x = f x x = x + x x x f x 0 ( ) ( ) 0 0 x f x - opći oblik Wegsteinove metode x k+ = x + k xk x x f x k ( k ) ( ) k x f x k k

25 Wegsteinova metoda Primjer x 0 = x e x e... = 0 = = x e x e 0,353 = = = x e x e 0, = = = 0,353 0, 664 0,575 x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 5 6

26 Wegsteinova metoda - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe

27 Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - implicitno zadana funkcija ili naknadno prevedena u implicitni oblik - opći oblik metode x = k+ x k ( ) ( ) x f x = e x f f ( xk ) '( x ) Primjer - zadana nelinearna jednadžba x f ' x = e k - opći iterativni oblik za zadanu nelinearnu jednadžbu x xk e xk = x k e k+ k x

28 Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) Primjer x 0 = x x... x0 e x0 e 0,3576 x0 e e x 0,3576 e x e x e e = x = = 0 0,3576 = x = 0,3576 = 0,5587 0,3576 x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 3 4

29 Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe

30 Metoda sekante (regula falsi) - implicitno zadana funkcija ili naknadno prevedena u implicitni oblik - varijacija Newton-Raphsonove metode u kojem je derivacija funkcije zamijenjena izrazom: f ' ( x) ( +Δ) ( ) f x f x Δ - Δ - korak iteracije - metoda sekante sporije konvergira od Newton-Raphsonove metode - opći oblik metode ( k) ( ) ( k) ( +Δ) ( ) f x f x x = + x = x Δ k k k f ' xk f xk f xk Primjer - zadana nelinearna jednadžba x ( ) f x = e x

31 Metoda sekante (regula falsi) - opći iterativni oblik za zadanu nelinearnu jednadžbu x Primjer x 0 =, Δ = 0,00 x x... e x = Δ ( k ) k e Δ e xk k k+ xk x +Δ x x0 e x e = Δ= Δ= 0,3575 ( x0 ) x0 ( + ) e Δ e e 0,00 e 0 x0 +Δ 0,00 x e x e 0,3575 = Δ= 0,3575 Δ= 0,5587 0,3575 x 0,3575 0,00 0,3575 ( x ) x ( ) +Δ + e Δ e e 0,00 e x = x - rješenje x = x = 0,567 k+ k 3 4

32 Metoda sekante (regula falsi) - grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe

33 OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

34 Analitička metoda obične diferencijalne jednadžbe - red obične diferencijalne jednadžbe, n - obična diferencijalna jednadžba n-tog reda sadrži n konstati n potrebnih rubnih i/ili početnih uvjeta - nemaju sve obične diferencijalne jednadžbe analitička rješenja, ali je sve obične diferencijalne jednadžbe moguće riješiti numeričkim metodama - obična diferencijalna jednadžba. reda i zadani početni uvjet dy = x y y( 0) = dx - opće analitičko rješenje x ( ) y x = C e + x - analitičko rješenje uz uvažavanje početnog uvjeta x ( ) 3 y x = e + x

35 Taylorova metoda razvoj u Taylorov red - Taylorova formula reda n tražene funkcije oko početne točke x 0 = 0 n ( k ) y ( x0 ) y( x0 + h) = h( k) + R * h korak, R n n pogreška aproksimacije k = 0 k! Primjer dy y' = = x y y( 0) = dx k = 0 y x = y 0 = ( 0 ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) k = y' x = y' 0 = x y = x y x = 0 = k = y'' x = y'' 0 = y' = = 3 k = 3 y''' x = y''' 0 = y'' = 3 k = 4 y'''' x = y'''' 0 = y''' = uvrštavanjem u jednadžbu * y x h h h h R ( ) = +,5 + 0,5 0,5 +

36 Taylorova metoda - usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe za različite redove, n, Taylorove formule dy dx ( ) = x y y 0 = y analitièko rješenje Taylorova metoda k= Taylorova metoda k= Taylorova metoda k=3 Taylorova metoda k=4-6 0 x

37 Domaća zadaća Za običnu diferencijalnu jednadžbu dy 3 x y( 0) dx = + = čije je analitičko rješenje y= + 3 x+ x grafički usporediti analitičko i numeričko rješenje primjenom Teylorove metode.,., 3. i 4. reda za korak h = 0, i područje rješenja 0 x.

38 Eulerova metoda - primjena Taylorove formule. reda oko početne točke x 0 = 0 y ''( ) y( x0 + h) = y( x0) + y' ( x0) h+ ξ h za ξ između x0 i x0+ h - kriterij točnosti mali korak, h ( 0 ) '( 0) = ( 0, 0) '( ) = (, ) y x početni uvjet y x f x y y x f x y - Eulerova metoda (, ) y = y + h f x y n n n n x = x + h n n y y 0 h y(x) x 0 x

39 Eulerova metoda Primjer dy y' = = x y y0 = h= 0, dx x = x = 0 y n 0 n 0 ( ) ( ) = + ( ) = + = ( ) ( ) (, ) 0, = y = f x, y = x y = h f x, y = 0, x = x + h= 0+ 0,= 0, y y h f x, y 0, 0,9 f x, y = x y = 0, 0,9 = 0,7 h f x y = 0 0 x = x + h= 0,+ 0, = 0, y y h f x = + ( y ) = + = ( ) ( ) (, ) 0, , 0,9 0,07 0,83 f x, y = x y = 0,4 0,83 = 0,43 h f x y =

40 Eulerova metoda - usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe za različite korake, h, Eulerove metode dy dx ( ) = x y y 0 = y analitièko rješenje Eulerova metoda, h = 0, Eulerova metoda, h = 0, x

41 Rungeova metoda srednje točke - Runge-Kutta metoda drugog stupnja (, ) g = f x y n n h y = y + g h g = f x +, y y = y + h g n / n n n / n n y n- nagib = g y n h/ h/ x n- x n

42 Rungeova metoda srednje točke Primjer dy y' = = x y y0 = h= 0, dx x = x = 0 y n 0 = y = n 0 ( ) ( ) g = f x, y = x y = 0 = h 0, y/ = y0+ g= + = 0,95 h h g = f x0 +, y /= x0 + y / = 0, 05 ( 0,95) = 0,85 y = y + h g = + 0, 0,85 = 0,95 0

43 Rungeova metoda srednje točke - usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe usporedba Eulerove i Rungeove metode srednje točke za isti korak, h = 0, dy = x y y( 0) = dx y analitièko rješenje E ulerova metoda, h=0, Rungeova metoda srednje toèke, h=0, x

44 Rungeova metoda trećeg stupnja - a) - b) g = h f x, y g = h f x y ( ) n n h g g = h f xn +, yn + g = h f x + h y g + g (, ) 3 n n yn = y + g + g + g 6 ( ) n 3 (, ) n n h g g = h f xn +, yn h g g3 = h f xn +, yn yn = yn + ( g+ 3 g3) 4

45 Rungeova metoda četvrtog stupnja - Runge-Kutta IV (, ) g = h f x y n n h g g = h f xn +, yn + h g g3 = h f xn +, yn + g = h f x + h y + g (, ) 4 n n 3 yn = y + g + g + g + g 6 ( ) n 3 4 y n- x n- g g 3 h y n g 4 x n

46 Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Primjer Smanjenje koncentracije otopljenog kisika u rijeci nizvodno od mjesta ispuštanja otpadne vode opterećeno onečišćenjem organskog podrijetla. Mikroorganizmi postupno razgrađuju organsko onečišćenje duž sliva rijeke. Većina mikroorganizama uključenih u razgradnju preferira aerobne uvjete, odnosno njihov učinak ovisan je o koncentraciji otopljenog kisika. Promjena koncentracije organskog onečišćenja i koncentracije otopljenog kisika duž riječnog estuarija može se opisati slijedećim jednadžbama (sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi): d c dt d co dt BPK = q k c BPK ( ) = ka c c kc L O,zas. O BPK BPK biološka potrošnja kisika (mjera koncentracije organskog onečišćenja), O kisik, c koncentracija, c O,zas. koncentracija zasićenja kisikom, t vrijeme, k konstanta brine reakcije, q protok otpadne vode

47 Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Primjer - početni uvjeti ( ) ( ) c t = 0 = c = 7,33 mg dm BPK O O,0 BPK,0 c t = 0 = c = 8,5 mg dm -3 - parametri procesa i procesni uvjeti: k = 0,3 h -, k L a = 0,4 h -, c O,zas. = mg dm -3, q = kg m -3 h -, t MAX = 5 h - Eulerova metoda: h = 0, = + (,, ) c c h f t c c BPK, n BPK, n n BPK, n O, n (,, ) -3 (,, ) c = c + h g t c c O, n O, n n BPK, n O, n f t c c = q k c n BPK, n O, n BPK, n- (,, ) ( ) g t c c = k a c c k c n BPK, n O, n L O,zas. O, n- BPK, n-

48 Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi Primjer 0 c [mg dm -3 ] BPK O t [h]

49 PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

50 Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi - definiraju međusobno ovisnost dvaju ili više procesnih veličina - uobičajeno drugog ili višeg stupnja - primjena - prijenos topline - tok fluida - difuzija tvari - metoda konačnih razlika - metoda linija

51 Metoda konačnih razlika u u = - potpuna diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe x y - ako je funkcija u x i njena derivacija konačna, kontinuirana i funkcija jedne varijable može biti razvijena u Taylorov red u okolišu točke x 3 du h d u h d u u( x+ h) = u( x) + h * 3 dx! dx 3! dx 3 du h d u h d u u( x h) = u( x) h ** 3 dx! dx 3! dx - kombinacijom * i ** aproksimacija u centralnoj točki diferencijalne jednadžbe prvog reda ( + ) ( ) u x u x h u x h + 0 x h ( h )

52 Metoda konačnih razlika - iz * unaprijedna aproksimacija ( + ) ( ) u x u x h u x + x h ( ) ( ) u x u x u x h + x h 0( h) - iz ** povratna aproksimacija 0( h) - h korak - pogreška aproksimacije u centralnoj točki reda veličine h, pogreška unaprijedne i povratne aproksimacije reda veličine h

53 Metoda konačnih razlika δ u x δ x - funkcija u x i njena derivacija konačna, kontinuirana i funkcija jedne varijable - kombinacijom * i ** ( + ) ( ) + ( ) δ u x u x h u x u x h + 0 δ x h ( h )

54 Metoda konačnih razlika Primjer Vremenska promjena temperature u vrućem štapu. Prijenos topline u štapu definiran je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja govori o vremenskoj (t) promjeni temperature (T(x,t)) u točki štapa, x, dužine, L = m, pri čemu je 0 x L i t 0. (κ - termalna difuzivnost, uz pretpostavku da su termalna difuzivnost, gustoća i toplinski kapacitet konstantni) T t T = κ x Početni uvjeti 00 x;0 x< t = 0, f ( x) = 00 ( x) ; x Rubni uvjeti t 0 x= 0; T = 0 x= L; T = 0

55 Metoda konačnih razlika Δ x= h= 0,5 Δ t = k = 0, 06 - iz uvjeta stabilnosti (, ) (, ) (, ) T x t T x t T x t = t k i j i j+ i j (, ) (, ) (, ) (, ) T xi tj T xi+ tj T xi tj + T xi tj - unaprijedna aproksimacija = - centralna aproksimacija x h ( ) k κ T x, ( ) ( ) i tj+ = T x i+, tj + T xi, t j + T( x ) k κ h i, t j h uz k κ = 0,5 ( 0,5 - uvjet stabilnosti) slijedi h (, ) T x t i j+ (, ) + (, ) T x t T x t = i+ j i j

56 Metoda konačnih razlika početni uvjeti rubni uvjeti 0 0 0,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00 T = 0 T = 5 T = 50 T = 75 T = 00 T = 75 T = 50 T = 5 T = 0 x i 0,06 0,4 0,68 0,84 T = 0 T = 0 T = 0 T = 0 T = 5 T = 50 (, ) T x t i j+ = (, ) + (, ) T x t T x t i+ j i j T = 0 T = 0 T = 0 T = 0,030 T = 0 T = 0,36 T = 0 T = 0,44 T = 0 T = 0 T i

57 Metoda konačnih razlika t [h] T [ o C] x [m] t [h]

58 Metoda linija u u = - djelomična diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe x y - metoda konačnih razlika problem uvjet stabilnosti un un+ un + un = + 0 x h ( h ) - rješavanje sustava od n- običnih diferencijalnih jednadžbi

59 Metoda linija Primjer Vremenska promjena temperature u vrućem štapu. Prijenos topline u štapu definiran je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja govori o vremenskoj (t) promjeni temperature (T(x,t)) u točki štapa, x, dužine, L = m, pri čemu je 0 x L i t 0. (κ - termalna difuzivnost, uz pretpostavku da su termalna difuzivnost, gustoća i toplinski kapacitet konstantni) T t T = κ x Početni uvjeti 00 x;0 x< t = 0, f ( x) = 00 ( x) ; x Rubni uvjeti t 0 x= 0; T = 0 x= L; T = 0

60 Metoda linija Δ x= h= 0, T T T + T = t h n 0 n n+ n n T0 = 0 dt T T+ T 0 = d t h dt T3 T + T = d t h... dt9 T0 T9 + T8 = d t h T0 = 0 rješavanje sustava običnih diferencijalnih jednadžbi metodom Runge-Kutta IV

61 Usporedba metode konačnih razlika i metode linija x =,0 m metoda konaènih razlika metoda linija 60 T [ o C] 40 x = 0,5 m t [h]

62 Metoda linija Primjer U spalionici otpada spaljuje se plinoviti otpad koji sadrži benzen. Koncentracija benzena u ulaznoj struji otpadnog plina je mol dm -3. Brzina strujanja otpadnog plina je 5 m s -, a dužina peći je m. Peć je oblika cijevi promjera 0, m. Pretpostaviti da su gustoća reakcijske smjese, brzina strujanja otpadnog plina i temperatura u peći konstantni. Reakcija oksidacije benzena je prvog reda, a u peći je strujanje idealno u aksijalnom smjeru (nema aksijalne disperzije čepoliko strujanje). Zadani su sljedeći parametri procesa: A = 0 s -, E a = 5 kj mol -, T = 00 K. Grafički prikazati vremensku promjenu koncentracije benzena po duljini peći, te u stacionarnom stanju izračunati konverziju benzena na izlazu iz peći. c 0 = mol dm -3 c =? mol dm -3 z = L = m c n- n c n

63 Metoda linija Bilanca tvari diferencijalnog elementa n cijevnog reaktora c n- n c n množina tvari A unijeta u dif. vremenu u dif. volumen reaktora - množina tvari A iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena reaktora ± množina tvari A nastala kemijskom reakcijom u dif. vremenu u dif. volumenu = akumulacija tvari A u dif. vremenu u dif. volumenu d c ΔV = cn qvn cn qvn + rn ΔV* dt Δ V = A Δz c koncentracija, V volumen, q V protok, r brzina reakcije, A površina, z -duljina

64 Metoda linija Uz pretpostavku konstantne gustoće q Vn- = q Vn = q V i dijeljenjem * sa ΔV: d c dt Δ ( cq ) V = + q V ΔV c c = k c** t A z t r = 0, c= mol dm n Uz ΔV = A dz, Δc = dc, r = - k c (reakcija prvog reda) i konstantan protok slijedi: Početni uvjet: Rubni uvjet: d c x= L, = 0 d x -3 k konstanta brzine reakcije

65 Metoda linija Primjenom metode linija uz povratnu aproksimaciju na jednadžbu **: ( c c ) ( c c ) dcn qv n n n n = + k cn = v k c dt A h h Za h = 0, m, i za n 9, te uvažavanjem početnih i rubnih uvjeta slijedi: c 0 d c dt = d c dt ( c c ) 0 = v h ( c c ) = v h ( c c ) k c k c d c9 9 8 = v k c9 dt h c = c h - korak n E a k A e RT = = - 4 s

66 Metoda linija Rješavanjem sustava običnih diferencijalnih jednadžbi metodom Runge-Kutta IV c [mol dm -3 ] x = 0 x = 0, x = 0,4 0. x = 0,6 x = 0,8 x =, t [s]

67 Metoda linija U stacionarnom stanju jednadžba ** postaje: c = 0 t d c A = k c *** d z q V Jednadžba *** rješava se metodom Runge-Kutta IV za početni uvjet c = za z = 0

68 Metoda linija Usporedba koncentracija u stacionarnom stanju za različite položaje u peći dobivenih metodom linija (rješavanjem jednadžbe **) i metodom Runge-Kutta IV (rješavanje jednadžbe ***) c [mol dm -3 ] metoda linija metoda konaènih razlika x [z]