Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau, mai simplu, şir. Fiid dat u şir f : N R, se vor umi termei ai şirului umerele f (0), f (), f (2),..., otate de obicei cu ajutorul uui idice sub forma f (0) = x 0, f () = x, f (2) = x 2,..., f () = x,..., x umidu-se termeul geeral al şirului, sau termeul de rag. U şir cu termeul geeral x se va ota şi (x ) 0. Dacă primii k termei x 0, x,..., x k u sut defiiţi (ceea ce corespude uei fucţii f : {k, k +,...} R), vom ota şirul sub forma (x ) k. 2.. Moduri de defiire a uui şir U şir poate fi defiit precizâd formula termeului geeral, pri itermediul uei recureţe sau î mod descriptiv. Exemple. Şiruri defiite pri formula termeului geeral: (x ) 0 : x = 3 + ; x 0 =, x = 4, x 2 = 7,..., dacă par (x ) 0 : x = 0, dacă impar ; x 0 =, x = 0, x 2 =,.... Şiruri defiite pri itermediul uei recureţe 30
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 3 Dacă petru u şir (x ) 0 se cuosc primii k termei x 0, x,..., x k, fiid dată de asemeea o relaţie pri care termeul geeral x se exprimă î fucţie de x, x 2,..., x k petru orice k, se spue că (x ) 0 este defiit pritr-o recureţă de ordiul k. Şiruri defiite î mod descriptiv. Şirul (x ), x =aproximarea pri lipsa cu zecimale exacte a lui 2 este defiit î mod descriptiv. Se obţie că x =.4, x 2 =.4, x 3 =.44, ş.a.m.d. Progresii aritmetice Şirul (x ) 0 defiit pri recureţa de ordiul îtâi dată de x 0 = a şi x + = x + r, 0, a şi r R fiid date, se umeşte progresie aritmetică, r umidu-se raţia progresiei (di orice terme al şirului se obţie termeul care-l succede pri adăugirea raţiei). Se obţie că formula termeului geeral este x = a + r, 0, iar x m = x + (m )r, m, 0. De asemeea, suma primilor + termei este S = x 0 + x +... + x = a + (a + r) +... + (a + r) = ( + )a + (r + 2r +... + r) = ( + )a + Di cele de mai sus, se observă şi că Progresii geometrice ( + ) r. 2 S = (a 0 + a ). 2 Şirul (x ) 0 defiit pri recureţa de ordiul îtâi dată de x 0 = b şi x + = x q, 0, b şi q R fiid date, se umeşte progresie geometrică, q umidu-se raţia progresiei (di orice terme al şirului se obţie termeul care-l succede pri îmulţirea cu
32 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) raţia). Se obţie că formula termeului geeral este x = bq, 0, iar x m = x q m, m, 0. De asemeea, suma primilor + termei este S = x 0 + x +... + x = b + bq +... bq = b( + q +... + q ) = b q+, dacă q =, q î vreme ce dacă q =, atuci S = ( + )b. Exerciţiu. Determiaţi termeul geeral al şirului (x ) 0 dat pri ) x + = 2x, 0, x 0 = 2; 2) x + = 3x, 0, x 0 =. Soluţie. ) Relaţia de recureţă este asemăătoare celei care defieşte o progresie geometrică, difereţa fiid dată de prezeţa termeului liber. Acest terme liber va fi eiat pri scăderea a două relaţii de recureţă scrise petru idici succesivi. Puâd = 0 î relaţia de recureţă se obţie că x = 3. Scriid relaţia de recureţă petru = k +, respectiv = k, şi scăzâd cele două relaţii obţiute se deduce că x k+2 x k+ = 2(x k+ x k ). Notâd y = x + x, observăm că y k+ = 2y k, deci (y k ) k 0 este o progresie geometrică cu raţie 2. Deoarece y 0 = x x 0 =, se deduce că y = y 0 2 = 2. Cum y k = x k+ x k, urmează că x k+ x k = 2 k. Puâd succesiv k = 0, k =,..., k = şi sumâd relaţiile obţiute deducem că deci x = x 0 + 2 = 2 +. x x 0 = + 2 +... + 2 = 2 2 = 2, Similar, putem determia c R astfel ca (x + c) 0 să fie progresie geometrică. Î acest scop, aduâm mai îtâi c î ambii membri ai relaţiei de recureţă. Obţiem că x + + c = 2x + c = 2(x + c 2 ). Î cocluzie, petru c = c 2, adică petru c =, urmează că (x + c) 0 este progresie geometrică de raţie 2. De aici, x = 2 (x 0 ) = 2,
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 33 de ude x = 2 +. 2) Puâd = 0 î relaţia de recureţă se obţie că x = 3. Pri logaritmarea relaţiei de recureţă se obţie că l x + = 2 l 3 + 2 l x +. Cu otaţia z = l x, se obţie că z + = 2 z + 2 l 3, z = l x = 2 l 3, z 0 = l x 0 = 0. Scriid relaţia de recureţă petru = k +, respectiv = k, şi scăzâd cele două relaţii obţiute se deduce că z k+2 z k+ = 2 (z k+ z k ). Notâd y = z + z, observăm că y k+ = 2 y k, deci (y k ) k 0 este o progresie geometrică cu raţie 2. Deoarece y 0 = z z 0 = 2 l 3, se deduce că y = y 0 2 = l 3. 2 + Cum y k = z k+ z k, urmează că z k+ z k = l 3. Puâd succesiv k = 2 k+ 0, k =,..., k = şi sumâd relaţiile obţiute deducem că z z 0 = 2 l 3 + 2 2 l 3 +... + 2 l 3 = 2 l 3 + 2 +... + å = 2 l 3 2 2 = 2 å l 3. deci z = z 0 + Ä 2 ä Ä ä l 3 = 2 l 3. Cum z = l x, urmează că x = e z = e ( 2 ) l 3 = e l 3( 2 ) = 3 2. 2 2..2 Subşiruri ale uui şir dat Numim subşir al şirului (x ) 0 u şir (x k ) 0 ai cărui termei sut elemete ale mulţimii termeilor şirului (x ) 0, A = {x 0, x,..., x,...}, cu k 0 < k < k 2 <... < k.... Cum u subşir (x k ) 0 u coţie eapărat toţi termeii şirului iiţial (x ) 0, urmează că k petru orice N. Exemple. Fie şirul (x ) 0. Atuci subşirul (x 2 ) 0 : x 0, x 2, x 4,..., x 2,... se umeşte subşirul termeilor de rag par ai şirului. Subşirul (x 2+ ) 0 : x, x 3, x 5,..., x 2+,... se umeşte subşirul termeilor de rag impar ai şirului. U alt subşir este (x +3 ) 0 : x 3, x 4, x 5,..., obţiut pri eiarea primilor trei termei ai şirului. Cum petru orice k N putem costrui şirul (x k ) 0 : x 0, x k, x 2k,..., x k,...
34 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) al termeilor de rag divizibil cu k, urmează că orice şir are o ifiitate de subşiruri. 2..3 Şiruri mărgiite Fie u şir (x ) 0 de umere reale şi A = {x 0, x,..., x,...} mulţimea termeilor săi. Vom spue că (x ) 0 se umeşte mărgiit dacă A este mărgiită, respectiv că (x ) 0 este mărgiit superior (respectiv mărgiit iferior) dacă A este majorată (respectiv miorată). U şir care u este mărgiit (respectiv u este mărgiit superior sau u este mărgiit iferior) se umeşte emărgiit (respectiv emărgiit superior sau emărgiit iferior). Coform caracterizării mulţimilor mărgiite, aplicată mulţimii A a termeilor şirului, se obţi următoarele proprietăţi. Teorema 2.. Fie şirul de umere reale (x ) 0.. (x ) 0 este mărgiit superior dacă şi umai dacă există b R astfel ca x b petru orice N. 2. (x ) 0 este mărgiit iferior dacă şi umai dacă există a R astfel ca a x petru orice N. 3. (x ) 0 este mărgiit dacă şi umai dacă există a, b R astfel ca a x b petru orice 0, ceea ce este echivalet cu faptul că există M > 0 astfel ca x M petru orice N. Exemple.. (x ) 0, x = si π 3 este mărgiit, deoarece x petru orice N. 2. (x ) 0, x = 2 + ( ) + este mărgiit, deoarece x 3 petru orice N. 3. (x ) 0, x = 3 este mărgiit, deoarece coform iegalităţii lui Beroulli, 3 = ( + 2) + 2, deci 3 < 2. Se obţie că 0 x 2 petru orice N. 4. (x ) 0, x = ( ) u este mărgiit, efiid ici mărgiit iferior,
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 35 ici mărgiit superior. Aplicâd operatorul de egaţie logică afirmaţiilor di teorema de mai sus obţiem următoarea teoremă de caracterizare a şirurilor emărgiite. Teorema 2.2. Fie şirul de umere reale (x ) 0.. (x ) 0 este emărgiit superior dacă şi umai dacă petru orice b R există u rag b N astfel ca x b > b. 2. (x ) 0 este emărgiit iferior dacă şi umai dacă petru orice a R există u rag a N astfel ca x a < a. 2..4 Şiruri mootoe Fie u şir de umere reale (x ) 0. Spuem că (x ) 0 este crescător (respectiv strict crescător) dacă x x + petru orice 0 (respectiv x < x + petru orice 0), adică orice terme al şirului este mai mic (respectiv strict mai mic) decât termeul care-i succede. De asemeea, spuem că (x ) 0 este descrescător (respectiv strict descrescător) dacă x x + petru orice 0 (respectiv x > x + petru orice 0), adică orice terme al şirului este mai mare (respectiv strict mai mare) decât termeul care-i succede. U şir (x ) 0 crescător sau descrescător se va umi şir mooto, iar u şir (x ) 0 strict crescător sau strict descrescător se va umi şir strict mooto. Desigur, orice şir strict mooto este şi mooto; u şi reciproc. Petru a preciza mootoia uui şir (x ) 0 se pot folosi următoarele metode. Studierea semului difereţei x + x. Dacă x + x 0 petru orice 0, atuci (x ) 0 este crescător. Dacă x + x 0 petru orice 0, atuci (x ) 0 este descrescător. Compararea raportului x + x cu, dacă (x ) 0 este u şir cu termei strict pozitivi. Dacă x + x Dacă x + x petru orice 0, atuci (x ) 0 este crescător. petru orice 0, atuci (x ) 0 este descrescător.
36 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Folosid iegalităţi stricte î locul iegalităţilor estricte se obţi criteriile corespuzătoare de mootoie strictă. Legătura ître mootoia şi mărgiirea uui şir Dacă (x ) 0 este u şir crescător, atuci x 0 x x 2... x..., deci x 0 x petru orice N, iar (x ) 0 este mărgiit iferior de primul terme x 0. Similar, dacă (x ) 0 este u şir descrescător, atuci x 0 x x 2... x..., deci x 0 x petru orice N, iar (x ) 0 este mărgiit superior de primul terme x 0. Au loc atuci următoarele proprietăţi. Teorema 2.3. Fie (x ) 0 u şir.. Dacă (x ) 0 este crescător, atuci el este mărgiit iferior. 2. Dacă (x ) 0 este descrescător, atuci el este mărgiit superior. 2.2 Şiruri cu ită Noţiuea de ită a uui şir este uul ditre cele mai importate cocepte ale aalizei matematice, precizâd tediţa termeilor uui şir de a se apropia de u aumit umăr (cazul şirurilor cu ită fiită), sau de a devei oricât de mari, respectiv oricât de mici (cazul şirurilor cu ită ifiită). Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Spuem că (x ) 0 are ita l R dacă orice veciătate V V(l) lasă î afara ei cel mult u umăr fiit de termei ai şirului, adică există u rag V N astfel ca x V petru orice V (altfel spus, veciătatea V coţie toţi termeii şirului de la ragul V îcolo). Î acest caz, vom ota x l petru sau x = l, spuâdu-se şi că şirul (x ) 0 (sau termeul său geeral x ) tide la l. Se poate observa că adăugarea sau eiarea uui umăr fiit de termei ai şirului u-i schimbă acestuia atura de a avea sau u ită şi ici ita, dacă
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 37 aceasta există, putâdu-se modifica doar ragul îcepâd cu care termeii şirului aparţi uei veciătăţi date. Exemple.. U şir costat (x ) 0 : x = c, c R, este coverget la c, îtrucât orice veciătate V V(c) coţie toţi termeii şirului. 2. Şirul (x ) 0 : x = are ita +. Petru a demostra acest lucru, observăm că orice veciătate V V(+ ) coţie u iterval de forma (M V, + ]. Fie V = [M V ] +. Atuci V > M, deci x V (M, + ] V. Aalog, x V petru orice > V, deci (x ) 0 are ita +. 3. Î mod asemăător se poate demostra că şirul (x ) 0 : x = are ita. Uicitatea itei uui şir uică. Î cele ce urmează, se va observa mai îtâi că ita uui şir, dacă există, este Teorema 2.4. Fie (x ) 0 u şir. Dacă x = l R şi x = l 2 R, atuci l = l 2. Subşiruri ale uui şir cu ită Este uşor de observat că proprietăţile de mootoie şi mărgiire se trasmit de la u şir către subşirurile sale. Astfel, dacă u şir este mooto, orice subşir al său este de asemeea mooto, cu acelaşi ses de mootoie, iar dacă u şir este mărgiit, orice subşir al său este de asemeea mărgiit, mulţimea termeilor subşirului fiid iclusă î mulţimea (mărgiită) a termeilor şirului. Pe aceeaşi liie de gâdire, proprietatea uui şir de a avea ită se trasmite de asemeea către subşirurile sale. Teorema 2.5. Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Dacă x = l R, atuci orice subşir (x k ) 0 al său are aceeaşi ită. Codiţie suficietă ca u şir să u aibă ită Coform teoremei de mai sus, se observă că dacă u şir (x ) 0 are două subşiruri care tid la ite diferite, atuci el u are ită, deoarece dacă (x ) 0 ar avea ita l, atuci şi cele două subşiruri ar avea aceeaşi ită l.
38 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Exemplu. Şirul (x ) 0 : x = ( ) u are ită, deoarece subşirul termeilor de rag par (x 2 ) 0 : x 2 = şi subşirul termeilor de rag impar (x 2+ ) 0 : x 2+ = au itele diferite l =, respectiv l 2 =. 2.2. Şiruri covergete U şir (x ) 0 cu ită fiită l se umeşte şir coverget, spuâdu-se şi că (x ) 0 este coverget către l. Orice şir care u este coverget se umeşte diverget. Î acest ses, şirurile divergete pot fi deci şiruri cu ită ifiită sau şiruri fără ită. Î plus, orice subşir al uui şir coverget este coverget la aceeaşi ită ca şi şirul iiţial, coform Teoremei 2.5. De aici, dacă u şir (x ) 0 coţie u subşir cu ită ifiită, sau două subşiruri cu ite diferite, atuci el este diverget. Exemplu. Şirul (x ) 0 : x = +( ) 2 este diverget, deoarece subşirul termeilor de rag par (x 2 ) 0 : x 2 = 2 are ita +. Caracterizarea aalitică a itei uui şir Defiiţia cu veciătăţi a itei uui şir, deşi utilă teoretic, este greu de verificat sau folosit î aplicaţii. Vom prezeta î cele ce urmează câteva caracterizări echivalete cu u prouţat aspect umeric, utile petru demostrarea uor proprietăţi verificabile practic. Mai îtâi, este abordată situaţia şirurilor covergete. Teorema 2.6. Fie (x ) 0 u şir de umere reale şi l R. Atuci (x ) 0 este coverget către l dacă şi umai dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât x l < ε petru orice ε. De fapt, proprietatea di euţul Teoremei 2.6 este echivaletă cu proprietatea de defiiţie a şirurilor covergete, putâd fi folosită î locul acesteia petru defiirea oţiuii de şir coverget. Exerciţiu. Fie (x ) 0 : x = 2+5 +2. Arătaţi că x = 2. Soluţie. Fie ε > 0 arbitrar. Au loc relaţiile x 2 = + 2 < ε
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 39 cu codiţia ca Atuci + 2 < ε + 2 > ε > ε 2. ε = [ ε 2] + = [ ε ], iar petru ε, x 2 < ε, de ude x = 2. Exerciţiu. Fie (x ) 0 u şir coverget de umere îtregi. Arătaţi că (x ) 0 este costat de la u rag îcolo. Soluţie. Fie x = l R. Petru ε = 4, există ε N astfel ca x l < 4 petru orice ε, deci x (l 4, l + 4 ) petru orice ε. Cum itervalul (l 4, l + 4 ) are lugime 2, el u poate coţie decât u sigur umăr îtreg, deci (x ) 0 este costat îcepâd cu ragul ε, termeii săi fiid egali cu umărul îtreg respectiv. Şiruri cu ită ifiită () Î cotiuare, este abordată situaţia şirurilor cu ită ifiită, observâdu-se că şirurile cu ita + au termei oricât de mari" de la u rag îcolo, respectiv şirurile cu ita au termei oricât de mici" de la u rag îcolo. Teorema 2.7. Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Atuci. (x ) 0 are ita + dacă şi umai dacă petru orice M > 0 există u rag M N astfel ca x > M petru orice M. 2. (x ) 0 are ita dacă şi umai dacă petru orice M > 0 există u rag M N astfel ca x < M petru orice M. Exerciţiu. Fie (x ) 0 : x = 2 +2+3 +. Arătaţi că x = +. Soluţie. Fie M > 0 arbitrar. Au loc relaţiile x = + + 2 + > M cu codiţia ca + > M > M.
40 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Atuci M = [M ] + = [M], iar petru M, x > M, de ude x = +. Şiruri cu ita 0 Î aceste codiţii, studiul şirurilor covergete cărora le este cuoscută ita poate fi redus la studiul uor şiruri covergete la 0, observâdu-se că u şir (x ) 0 are ita l R dacă şi umai dacă difereţa ditre şir şi ita sa tide la 0; acesta este doar u alt fel de a spue că termeii uui şir coverget devi apropiaţi" de ita şirului de la u rag îcolo. Teorema 2.8. Fie (x ) 0 u şir de umere reale şi l R. Atuci x = l dacă şi umai dacă (x l) = 0. Demostraţie. Coform teoremei de caracterizare a şirurilor covergete (Teorema 2.6), x = l ε > 0 ε astfel îcât x l < ε ε ε > 0 ε astfel îcât (x l) 0 < ε ε (x l) = 0. Proprietatea de păstrare a semului Se poate observa că termeii uui şir cu ită au, cu excepţia evetuală a uui umăr fiit ditre ei, acelaşi sem cu ita şirului. Teorema 2.9. Fie (x ) 0 u şir de umere reale cu ita l R.. Dacă l > 0, atuci toţi termeii şirului sut strict pozitivi de la u rag îcolo. 2. Dacă l < 0, atuci toţi termeii şirului sut strict egativi de la u rag îcolo. 3. Dacă l = 0, atuci toţi termeii şirului sut euli de la u rag îcolo.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 4 Şiruri cu ită ifiită (2) Teorema 2.0. Fie (x ) 0 u şir de umere reale.. Dacă x = + (respectiv x = ), atuci x = 0. 2. Dacă x = 0, iar x > 0 (respectiv x < 0) de la u rag îcolo, atuci x = + (respectiv x = ). Rezulatele teoremei de mai sus pot fi prezetate sub forma prescurtată + = 0, = 0, 0+ = +, 0 =. Cu ajutorul Teoremei 2.6, se poate acum obţie următorul rezultat frecvet folosit î aplicaţii. Teorema 2.. Fie (x ) 0 u şir mooto crescător de umere reale care este emărgiit superior. Atuci x = +, = 0. x Cu u raţioamet asemăător, se poate demostra şi următoarea teoremă complemetară celei de mai sus. Teorema 2.2. Fie (x ) 0 u şir mooto descrescător de umere reale care este emărgiit iferior. Atuci x =, = 0. x Exemple. Petru k (0, ), k =, = 0. De exemplu, k, = 0. 2 = Petru q >, q =, = 0. De exemplu, q 5 =, 2 = 0.
42 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Petru q (0, ), q = 0 (deoarece p = q 0). >, iar p (= q ) = 2 + + = +, = 0. 2 ++ Criterii de majorare-miorare Coform teoremei aterioare, petru a arăta că ita uui şir (x ) 0 este l R, poate fi studiată difereţa ditre termeii şirului şi ita acestuia. Teorema următoare afirmă faptul că dacă această difereţă poate fi estimată potrivit, cu valori di ce î ce mai mici (α de mai jos poate fi îţeles ca o eroare de aproximare), atuci îtr-adevăr şirul (x ) 0 are ita l. Teorema 2.3. Fie (x ) 0 u şir de umere reale şi l R. Dacă există u şir (α ) 0 de umere reale pozitive şi u rag oarecare 0 N astfel ca atuci x = l. x l α petru orice 0, iar α = 0 Demostraţie. Fie ε > 0 arbitrar. Cum (α ) 0 este coverget la 0, urmează că există ε N astfel ca α 0 < ε petru orice ε. De aici, x l α < ε petru orice max( 0, ε ), iar x = l. Exerciţiu. Fie şirul (x ) 0 : x = 2+3 +. Arătaţi că x = 2. Soluţie. Are loc relaţia x 2 =, iar + + = 0, deoarece (y ) 0 : y = + este u şir crescător şi emărgiit superior. De aici, x = 2. Exerciţiu. Fie şirul (x ) : x = si. Demostraţi că x = 0. Soluţie. Au loc relaţiile deci x = 0. si 0, iar = 0
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 43 Se va observa acum că dacă termeii uui şir (x ) 0 pot fi mioraţi cu termei oricât de mari" ai uui şir (a ) 0 (i.e. (a ) 0 are ita + ), atuci ei sut de asemeea oricât de mari" (i.e. (x ) 0 are tot ita + ). De asemeea, dacă termeii uui şir (x ) 0 pot fi majoraţi cu termei oricât de mici" ai uui şir (b ) 0 (i.e. (b ) 0 are ita ), atuci ei sut de asemeea oricât de mici" (i.e. (x ) 0 are tot ita ). Teorema 2.4. Fie (x ) 0 u şir de umere reale.. Dacă există u şir de umere reale (a ) 0 cu proprietatea că a = + şi u rag a N astfel ca a x petru orice a, atuci x = +. 2. Dacă există u şir de umere reale (b ) 0 cu proprietatea că b = şi u rag b N astfel ca x b petru orice b, atuci x =. Demostraţie.. Fie (a ) 0 cu proprietatea că a = + şi fie M > 0 arbitrar. Există atuci u rag M astfel ca a > M petru orice M. De aici, x a > M petru orice max( a, M ), de ude x = +. Demostraţia celei de-a două proprietăţi este asemăătoare. Exerciţiu. Fie şirul (x ) 0 : x = + ( ). Demostraţi că x =. Soluţie. Are loc iegalitatea x petru orice 0, iar ( ) =, de ude cocluzia. Exerciţiu. Fie şirul (x ) 0 : x = + 2 +... +. Demostraţi că x =. Soluţie. Mai îtâi, să observăm că k > 2 k + k + = 2( k + k) petru orice k, deci, pri sumare după k de la la, x > 2( + ) petru orice, iar cum 2( + ) =, urmează cocluzia.
44 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Şiruri coţiâd fucţia modul Prezetăm î cotiuare câteva coseciţe ale Teoremei 2.3, exprimâd faptul că fucţia modul păstrează covergeţa şirurilor. Teorema 2.5. Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Atuci. Dacă x = l, iar l R, atuci x = l. 2. Dacă x = 0, atuci x = 0. 3. Dacă x = 0, atuci x = 0. Se va observa că reciproca primei afirmaţii u este adevărată. Î acest ses, fie (x ) 0 : x = ( ). Atuci x petru, dar (x ) 0 u are ită. Î plus, afirmaţiile 2. şi 3. pot fi cumulate sub forma x = 0 x = 0. De asemeea, dacă (x ) 0 este u şir de umere reale astfel ca x =, atuci x = +, cu u raţioamet asemăător celui de mai sus. Limita şirului (q ) 0 Di cele de mai sus, se obţie că q = 0 petru q (, ). Acest lucru a fost observat deja petru q (0, ), coform Teoremei 2.. Petru q (, 0), q = q, iar q (0, ), deci q = 0, de ude q = 0, coform celei de-a treia proprietăţi de mai sus. Î fie, proprietatea este evidetă petru q = 0. Fie acum q (, ). Cum q 2 iar q 2+, urmează că u există q. Se observă î mod aalog ca u există q ici petru q =. Discuţia de mai sus poate fi sistematizată sub următoarea formă prescurtată u există, dacă q q = 0, dacă q (, )., dacă q = +, dacă q >
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 45 2.2.2 Proprietăţi ale şirurilor cu ită Teorema ce urmează, umită şi teorema de trecere la ită î iegalităţi exprimă faptul că iegalităţile (estricte) ditre termeii a două şiruri se păstrează pri trecere la ită. Teorema 2.6. Fie două şiruri (x ) 0 şi (y ) 0 cu proprietăţile. Există u rag 0 astfel ca x y petru 0. 2. x = x R, y = y R. Atuci x y. Iegalităţile estricte ditre termeii a două şiruri u se păstrează eapărat pri trecere la ită. Aceasta se poate observa cosiderâd şirurile (x ) 0 : x = +2 şi (y ) 0 : y = +, petru care x < y petru orice 0, dar x = y = 0. Teorema de mai jos, umită şi teorema cleştelui, e permite să calculăm ita uui şir care poate fi îcadrat ître alte două şiruri avâd aceeaşi ită. Teorema 2.7. Fie trei şiruri de umere reale (a ) 0, (x ) 0, (b ) 0 cu proprietăţile. Există u rag 0 astfel ca a x b petru 0. 2. a = b = l R. Atuci există x, iar x = l. Exerciţiu. Fie şirul (x ) : x = 2 + + 2 +2 +... +. Arătaţi că 2 + x = 0. Soluţie. Observăm că ditre cei termei coţiuţi î suma care defieşte x, 2 + este cel mai mic, iar 2 + este cel mai mare. Urmează că 2 + x 2 +, deci + x 2 + <,
46 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) iar deoarece = 0, urmează că de asemeea x = 0, (x ) + = fiid îcadrat ître şirurile ( + ), ( ) cu ita 0. 2.2.3 Relaţii ître covergeţă, mootoie şi mărgiire Î cele ce urmează, vom studia relaţiile ditre proprietăţile de mootoie, mărgiire şi covergeţă. Teorema 2.8. Orice şir coverget este mărgiit. Demostraţie. Fie (x ) 0 astfel ca x = l R. Puâd ε = î Teorema 2.6, obţiem că există N astfel îcât x l < petru orice, sau l < x < l + petru orice. Petru a obţie iegalităţi valabile şi petru x 0, x,..., x, observăm că, petru orice 0, mi(x 0, x,..., x, l ) x max(x 0, x,..., x, l + ) deci (x ) 0 este mărgiit. Teorema 2.9. Orice şir emărgiit este diverget. Demostraţie. Se aplică operatorul de egaţie logică propoziţiei de mai sus. Exemple.. Nu orice şir mărgiit este coverget. Şirul (x ) 0 : x = ( ) u este coverget, deoarece subşirul termeilor de rag par (x 2 ) 0 : x 2 = şi subşirul termeilor de rag impar (x 2+ ) 0 : x 2+ = au itele diferite l =, respectiv l 2 =. Î schimb, (x ) 0 este mărgiit, deoarece x petru orice 0. 2. Nu orice şir coverget este mooto. Şirul (x ) 0 : x = ( ) este coverget la 0, deoarece x =, iar = 0, dar u este mooto, luâd alterativ atât valori pozitive, cât şi egative. 3. Nu orice şir mooto este mărgiit. Şirul (x ) 0 : x = 2 + este mooto, dar u este mărgiit, fiid emărgiit superior.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 47 4. Nu orice şir mărgiit este mooto. Şirul (x ) 0 : x = ( ) este mărgiit, dar u este mooto, luâd alterativ atât valori pozitive, cât şi egative. Teorema 2.20. Orice şir mooto şi mărgiit este coverget. Di cele de mai sus, se observă de asemeea că toţi termeii uui şir mooto crescător şi mărgiit superior (x ) 0 sut mai mici sau egali cu valoarea l a itei şirului. Similar, toţi termeii uui şir mooto descrescător şi mărgiit iferior (x ) 0 sut mai mari sau egali cu valoarea itei şirului. Exerciţiu. Fie şirul (x ) : x = 2 + 2 2 +... + 2. Arătaţi că (x ) este coverget. Soluţie. Vom arăta că (x ) este mooto şi mărgiit. Î acest scop, să observăm că, deoarece x + x = > 0, şirul (x (+) 2 ) este strict crescător, deci şi mărgiit iferior. De asemeea, < 2 ( ) = petru orice 2, deci x < 2 + 2 å + 2 å +... + 3 å < 2 + = 2, iar (x ) este şi mărgiit superior. Fiid mooto şi mărgiit, (x ) este coverget. Combiâd Teorema 2., Teorema 2.2 şi Teorema 2.20, obţiem următorul rezultat, care precizează existeţa itei uui şir mooto. Teorema 2.2. Orice şir mooto (x ) 0 are ită, fiită sau u. 2.2.4 Operaţii cu şiruri covergete Î cele ce urmează, se va observa că proprietatea uor şiruri de a fi covergete se păstrează după efectuarea operaţiilor uzuale de sumă, difereţă, produs cu o costată, produs terme cu terme, iar î aumite codiţii se păstrează şi după efectuarea iverselor sau a raportului terme cu terme.
48 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Teorema 2.22. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri covergete de umere reale astfel ca x = x, y = y. Atuci şirul sumă (x + y ) 0, şirul produs cu o costată (cx ) 0, c R, şi şirul produs (x y ) 0 sut covergete, iar dacă x = 0 şi x = 0 petru orice 0, atuci şi şirul iverselor ( x ) 0 este coverget. Î plus, au loc relaţiile. (x + y ) = x + y = x + y (ita sumei este egală cu suma itelor). 2. (cx ) = c x = cx (operaţia de îmulţire cu o costată comută cu operaţia de calculare a itei). 3. (x y ) = x y = xy (ita produsului este egală cu produsul itelor). = x, dacă x = 0 (ita iverselor este egală cu iversa itei). 4. x = x Exerciţiu. Fie şirul (x ) 0 defiit pri x + = 2 x, 0, x 0 =. Demostraţi că (x ) 0 este coverget. Soluţie. Mai îtâi, se observă că x = 2 < x 0. Î plus, deci x + x = 2 x 2 x + = 2 (x x ), sg(x + x ) = sg (x x ) =... = sg(x x 0 ). Cum x < x 0, urmează că şirul (x ) 0 este strict descrescător, deci şi mărgiit superior de x 0 =. Deoarece x + < x, urmează că x > 2 x, deci x > 2, iar (x ) 0 este şi mărgiit iferior. Cum (x ) 0 este mooto şi mărgiit, el este coverget. Fie l ita sa; atuci şirul ( 2 x ) 0 are ita 2 l, iar şirul (x +) 0 are tot ita l. Trecâd la ită î relaţia de recureţă, obţiem că l = 2l, deci l = 2. Proprietăţile de mai sus se pot extide î mod asemăător la operaţii cu u umăr mai mare (dar costat) de şiruri. De exemplu, dacă (x ) 0, (x 2 ) 0,...,
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 49 (x k ) 0 sut şiruri covergete, cu itele respectiv l, l 2,..., l k, atuci şirul sumă (x + x 2 +... + x k ) 0 este coverget, iar ( x + x 2 +... + x k ) = x + x 2 +... + x k. Cazul operaţiilor cu u umăr variabil de şiruri trebuie tratat cu ateţie, aşa cum se observă di următorul exemplu = + +... + å = + +... + = 0, difereţa proveid di faptul că parateza Ä + +... ä coţie u umăr de şiruri, fiid variabil. Teorema 2.23. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri covergete de umere reale astfel ca x = x, y = y. Atuci şirul difereţă (x y ) 0 este coverget, iar dacă y = 0 şi y = 0 petru orice 0, atuci şi şirul raport ( x y ) 0 este coverget. Î plus, au loc relaţiile. (x y ) = x y = x y (ita difereţei este egală cu difereţa itelor). x 2. y = x y = y x, dacă y = 0 (ita raportului este egală cu raportul itelor). Demostraţie.. Deoarece x y = x + ( )y, iar (( )y ) 0 este coverget cu ita y (di Teorema 2.22), urmează că (x y ) = x + (( )y ) = x y. 2. Ca mai sus, şirul ( ) x y este bie defiit, cu excepţia evetuală a uui umăr fiit de termei. Deoarece ( y ) 0 este coverget cu ita y, urmează că x = x y = x y = y Se poate demostra de asemeea următorul rezultat. x y.
50 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Teorema 2.24. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri covergete de umere reale astfel ca x = x > 0, x > 0 petru orice 0, y = y. Atuci şirul putere (x y ) 0 este coverget. Î plus, are loc relaţia Å ã (xy ) = x y (ita puterii se distribuie atât bazei şi expoetului). Alegâd şirurile costate (y ) 0 : y = k, k N, respectiv (y ) 0 : y = p, p N, p 2, se obţie următoarea coseciţă a teoremei de mai sus. Corolar 2.24.. Fie (x ) 0 u şir coverget de umere reale astfel ca x = x > 0, x > 0 petru orice 0, k N, p N, p 2. Atuci Å ã k. x k = x = x k (ita puterii este egală cu puterea itei). 2. p x = p x = p x (ita radicalului este egală cu radicalul itei). Aalizăm acum cazul î care (x ) 0 are ita 0. Teorema 2.25. Fie (x ) 0 u şir coverget de umere reale strict pozitive astfel ca x = 0 şi fie (y ) 0 u şir coverget de umere reale astfel ca y = y = 0. Atuci. Dacă y > 0, atuci (x y ) = 0. 2. Dacă y < 0, atuci (x y ) = +. Cosideraţii asemăătoare se pot formula î cazul î care (x ) 0 este u şir coverget de umere reale strict egative cu ita 0, sau măcar coţie termei egativi, cu rezerva ca (x y ) 0 trebuie mai îtâi sa fie bie defiit. De exemplu, petru x = şi y = 2, xy = 2 u este defiit petru icio valoare a lui. Totuşi, dacă (x ) 0 şi (y ) 0 au ambele ita 0, u se poate afirma imic despre covergeţa sau divergeţa şirului (x y ) 0, spuâdu-se că 0 0 este u caz de edetermiare. Acest lucru se poate observa di următoarele exemple. Dacă x = 2, y =,, atuci xy = 2 2.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 5 Dacă x =, y = 2 2,, atuci xy = 2 +. Dacă x = 2, y = ( ),, atuci x y ită. = 2 ( ) ici măcar u are 2.2.5 Operaţii cu şiruri cu ită ifiită Teorema 2.26. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri de umere reale.. Dacă x = + şi y = y R\ { }, atuci (x + y ) = +. 2. Dacă x = şi y = y R\ {+ }, atuci (x + y ) =. Rezutatul Teoremei 2.26 poate fi prezetat şi sub forma prescurtată + c =, + =, + c =, + ( ) =, c R. Teorema 2.27. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri de umere reale.. Dacă x = + şi y = y R, y > 0, atuci x y = +. 2. Dacă x = + şi y = y R, y < 0, atuci x y =. 3. Dacă x = şi y = y R, y > 0, atuci x y =. 4. Dacă x = şi y = y R, y < 0, atuci x y = +. Rezutatul Teoremei 2.27 poate fi prezetat şi sub forma prescurtată c.p. + = +, c.p. =, c.. + =, c.. = +, ude pri c.p. şi c.p. îţelegem costată reală strict pozitivă" şi respectiv costată reală strict egativă".
52 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Teorema 2.28. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri de umere reale. x. Dacă x = + şi y = y R, y > 0, atuci y x 2. Dacă x = + şi y = y R, y < 0, atuci y x 3. Dacă x = şi y = y R, y > 0, atuci y x 4. Dacă x = şi y = y R, y < 0, atuci y = +. =. =. = +. Rezutatul Teoremei 2.28 poate fi prezetat şi sub forma prescurtată c.p. =, c.p. =, c.. =, c.. =. Teorema 2.29. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri de umere reale. x Dacă x = x R şi y = y {, + }, atuci y = 0. Rezutatul Teoremei 2.29 poate fi prezetat şi sub forma prescurtată c = 0, c = 0, c R. Teorema 2.30. Fie (x ) 0 şi (y ) 0 două şiruri de umere reale.. Dacă x = + şi y = y R, y > 0, atuci x y = +. 2. Dacă x = + şi y = y R, y < 0, atuci x y = 0. Rezutatul Teoremei 2.30 poate fi prezetat şi sub forma prescurtată c.p. =, c.. = 0. Dacă (x ) 0 are ita iar (y ) 0 are ita 0, u se poate afirma imic despre covergeţa sau divergeţa şirului (x y ) 0, spuâdu-se că 0 este u caz de edetermiare. Acest lucru se poate observa di următoarele exemple.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 53 Dacă x = 2, y =,, atuci xy = 2 2. Dacă x = 2 2, y =,, atuci xy = 2 +. Dacă x = 2, y = ( ),, atuci x y = 2 ( ) ici măcar u are ită. Î geeral, u se poate afirma imic despre covergeţa sau divergeţa produsului ditre u şir coverget şi u alt şir care u are eapărat ită. Totuşi, sub ipoteze adiţioale, are loc următorul rezultat. Teorema 2.3. Produsul ditre u şir mărgiit (x ) 0 şi u şir (y ) 0 coverget la 0 este u şir coverget la 0. Demostraţie. Fie ε > 0 arbitrar. Cum (x ) 0 este mărgiit, există M > 0 astfel că x M petru orice N. Deoarece (y ) 0 este u şir coverget la 0, există u rag ε N astfel ca y 0 < ε M petru orice ε. Atuci x y 0 = x y < M ε M = ε petru orice ε. Cum ε era arbitrar, urmează că (x y ) 0 este coverget la 0. Exemplu. Dacă (y ) 0 este coverget la 0, atuci (( ) y ) 0 este de asemeea coverget la 0. Demostraţie. Este suficiet să alegem (x ) 0 : x = ( ), care este mărgiit. 2.2.6 Calculul uor ite fudametale Limitele fucţiilor poliomiale Fie P o fucţie poliomială de grad k, P : R R, P(x) = a k x k + a k x k +... + a x + a 0, a k = 0.
54 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Cosiderăm şirul (x ) 0, x = P(). Petru calculul itei şirului (x ) 0 se va scoate factor comu forţat k (k = grad P). Se obţie că x = a k k + a k k +... + a + a 0 å a k + a k +... + a k + a 0 k +, dacă a k > 0 = a k =, dacă a k < 0. = k Să observăm că ita termeului de grad maxim al lui P este de asemeea a k k = a k = x, de ude se poate remarca faptul că ita lui P() este egală cu ita termeului de grad maxim al lui P. Ä Exemple.. 3 2 2 + ä = +, deoarece coeficietul termeului de grad maxim 3 este pozitiv. 2. ( 4 + 3 3 2 + 5) =, deoarece coeficietul termeului de grad maxim 4 este egativ Limitele fucţiilor raţioale Fie P, Q două fucţii poliomiale de grad k, respectiv l, ude k, l, P : R R, P(x) = a k x k + a k x k +... + a x + a 0, a k = 0, Q : R R, Q(x) = b l x l + b l x l +... + b x + b 0, b l = 0. Cosiderăm şirul (x ) 0, x = P() Q(), presupuâd că Q() = 0 petru orice 0. Petru calculul itei şirului (x ) 0 se va scoate factor comu forţat k de la umărător (k = grad P), respectiv l de la umitor (l = grad Q). Se obţie că x a = k k + a k k +... + a + a 0 b l l + b l l +... + b + b 0 k Ä ä ak + a k = +... + a + a k 0 k l Ä ä b l + b l +... + b + b l 0 l
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 55 = k l a k b l = 0, dacă k < l a k b, dacă k l = l. + a k b, dacă k l > l Să observăm că ita raportului termeilor de grad maxim este de asemeea a k k b l l = k l a k b l, de ude se poate remarca faptul că ita lui P() Q() termeilor de grad maxim ai lui P şi Q. P() De asemeea, dacă grad P < grad Q, atuci Q() este egală cu ita raportului = 0, deci dacă gradul umitorului este mai mare decât gradul umărătorului, atuci ita lui P() Q() este 0. P() Dacă grad P = grad Q, atuci Q() = a k b, deci dacă gradul umitorului este l egal cu gradul umărătorului, atuci ita lui P() Q() este raportul coeficieţilor termeilor domiaţi. P() Dacă grad P > grad Q, atuci Q() = + a k b, deci dacă gradul umărătorului este mai mare decât gradul umitorului, atuci ita lui P() Q() l este + dacă coeficieţii termeilor domiaţi au acelaşi sem, respectiv dacă coeficieţii termeilor domiaţi au seme opuse. Exemple.. 2. 2 2 3 + 5 3 + 4 2 + 2 2 2 3 + 7 3 2 + 6 = 2 (2 3 + 5 2 ) 2 (3 + 6 2 ) = 2 3. = 3 ( + 4 2 + 2 3 ) 2 (2 3 + 7 2 ) = + 2 = +. 3. 5 2 + 3 6 3 + 4 + = 2 (5 + 3 6 ) 2 3 ( + 4 + ) = 0 5 = 0. 2 3 Subşiruri ale şirurilor mărgiite şi emărgiite A fost deja observat că u orice şir mooto este coverget. Totuşi, cu ajutorul teoremei de covergeţă a şirurilor mootoe, putem arăta că di orice şir
56 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) mărgiit se poate extrage u subşir coverget, acest lucru reprezetâd obiectul următorului rezultat, umit şi Lema lui Césaro. Teorema 2.32. Orice şir mărgiit (x ) 0 coţie u subşir coverget. Î mod asemăător, putem observa că şirurile emărgiite coţi subşiruri cu ită ifiită. Teorema 2.33. Fie (x ) 0 u şir.. Dacă (x ) 0 este emărgiit superior, atuci el coţie u subşir cu ita +. 2. Dacă (x ) 0 este emărgiit iferior, atuci el coţie u subşir cu ita. 2.2.7 Pucte ită ale uui şir Fie (x ) 0 u şir dat. Vom umi mulţimea puctelor ită ale şirului (x ) 0, otată LIM x, mulţimea tuturor itelor de subşiruri ale lui (x ) 0. Mai îtâi se observă că mulţimea puctelor ită ale uui şir (x ) 0 dat este totdeaua evidă. Mai precis, dacă şirul este mărgiit, atuci el coţie u subşir coverget (Teorema 2.32), cu o ită oarecare l, iar î această situaţie l LIM x. Dacă şirul este emărgiit superior (respectiv superior), atuci + LIM x (respectiv LIM x ), coform Teoremei 2.33. Exemplu. Fie (x ) 0 : x = ( ). Atuci LIM x = {, }. Î acest scop, se observă că orice subşir cu ită (care este î mod ecesar fiită, deoarece (x ) 0 este mărgiit) (x k ) 0 al lui (x ) 0 este costat de la u rag îcolo, fiid u şir coverget de umere îtregi. Fiid costat de la u rag îcolo, termeii săi sut toţi egali cu sau îcepâd cu acel rag, iar (x k ) 0 poate avea fie ita, fie ita. Coform defiiţiei, se pot observa următoarele proprietăţi.. Dacă o ifiitate de termei ai uui şir (x ) 0 sut egali cu u acelaşi umăr real x, atuci putem costrui u subşir coverget la x cu termeii î cauză, deci x LIM x.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 57 2. Dacă u şir (x ) 0 are ita l, fiită sau u, atuci l LIM x, pe post de subşir coverget la l putâd lua chiar şirul (x ) 0. 3. Există şiruri care au o ifiitate de pucte ită. De exemplu, petru (x ) 0 :,, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,...,, 2, 3,...,..., orice umăr atural este puct ită, îtrucât (x ) 0 coţie toate umerele aturale, repetate de o ifiitate de ori. 4. Dacă l LIM x, atuci orice veciătate V a lui l coţie o ifiitate de termei ai şirului (x ) 0, deoarece există u subşir (x k ) 0 al lui (x ) 0 care este coverget la l şi deci V coţie toţi termeii subşirului (x k ) 0 de la u rag îcolo. Teorema 2.34. Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Atuci (x ) 0 are ită dacă şi umai dacă LIM x se reduce la u sigur elemet. Limita superioară şi ita iferioară a uui şir Fie (x ) 0 u şir de umere reale şi fie şirurile (a ) 0 şi (b ) 0 defiite pri a = if k x k = if {x, x +,...} b = sup x k = sup {x, x +,...}. k Cum {x +,...} {x, x +,...}, urmează că a a + şi b b + petru orice 0, deci (a ) 0 este mooto crescător, iar (b ) 0 este mooto descrescător. Cum (a ) 0 şi (b ) 0 sut mootoe, ele admit ite. De asemeea, se observă că a b petru orice 0. Vom umi atuci ită superioară a şirului (x ) 0, otată supx sau x, ita şirului (b ) 0. Similar, vom umi ită iferioară a şirului (x ) 0, otată if x sau x, ita şirului (a ) 0. Deoarece a b petru orice 0, urmează că if x supx.
58 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Exemplu. Fie (x ) 0 : x = 2 si π 3 + ( ). Petru = 6k, k 0, urmează că x 6k = si(2kπ) + =. Similar, x 6k+ = 3 2, x 6k+2 = 3 2 +, x 6k+3 =, x 6k+4 = 3 2 +, x 6k+5 = 3 2. Cum fiecare ditre aceste subşiruri este coverget, fiid costat, urmează că 3 3 if x =, supx = 2 2 +. Dacă (x ) 0 este mărgiit superior, există M R astfel ca x M petru orice 0. Urmează că de asemeea b M petru orice 0, deci supx (= b ) este fiită. Similar, dacă (x ) 0 este mărgiit iferior, atuci if x este fiită. De asemeea, coform Teoremei 2.33, dacă (x ) 0 este emărgiit superior, atuci supx = +, iar dacă (x ) 0 este emărgiit iferior, atuci if x =. Fie acum l LIM x. Există atuci u subşir (x k ) 0 astfel ca x k = l. Cum urmează că if l k x l x k sup l k x l petru orice k 0, a k x k b k petru orice k 0, iar trecâd la ită î aceste iegalităţi obţiem că if x l supx. Mai mult, se poate demostra că supx LIM x şi supx este cel mai mare puct ită al şirului (x ) 0. Similar, if x LIM x şi if x este cel mai mic puct ită al şirului (x ) 0. Î plus, deoarece a = if k x k if k 0 x k, b = sup k x k sup x k, k 0 urmează că if x k if x k 0 supx sup x k, deci LIM x este cuprisă ître margiea iferioară şi margiea superioară a termeilor şirului. Teorema 2.34 se poate reformula atuci sub forma următoare. k 0
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 59 Teorema 2.35. Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Atuci (x ) 0 are ită dacă şi umai dacă if x = supx. Î această situaţie, x = if x = supx. Exemplul următor idică faptul că, dat fiid u şir (x ) 0, u trebuie cofudată supx cu supx şi ici if x cu if x. Acest lucru este dealtfel 0 0 evidet di faptul că supx şi if x, fiid pucte ită, u sut iflueţate de valorile primilor termei ai şirului (x ) 0, pe câd supx şi if x sut. 0 0 Exemplu. Fie (x ) 0 : x = ( ) + +2. Atuci x 2 = 2+2 2+, care este strict descrescător cu ita, iar x 2+ = 2+4 2+3, care este strict crescător, cu ita. Atuci supx =, if x =, supx = x 0 = 2, 0 if x = x = 3 0 2. Totuşi, supx şi if x reţi uele proprietăţi de mărgiire caracteristice supx şi if x, chiar dacă îtr-o formă mai slabă. Aceste proprietăţi sut cuprise 0 0 î următorul rezultat. Reamitim că x supx petru orice 0, 0 x if 0 x petru orice 0. Teorema 2.36. Fie (x ) 0 u şir mărgiit şi fie ε > 0. Atuci. Există ε N astfel că x < supx + ε petru orice ε. 2. Există 2 ε N astfel că x > if x ε petru orice 2 ε. Cu u raţioamet asemăător, folosid teoremele de caracterizare aalitică a margiii superioare şi margiii iferioare a uei mulţimi, se poate demostra că margiea superioară şi margiea iferioară a uei mulţimi mărgiite se pot obţie ca ite de şiruri cu elemete di acea mulţime.
60 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Teorema 2.37. Fie A R o mulţime mărgiită. Există atuci două şiruri (x ) 0 şi (y ) 0 de elemete di A astfel ca x = sup A, y = if A. 2.2.8 Şiruri fudametale (Cauchy) Î cazurile î care ita uui şir este dificit de ituit sau determiat umeric, poate fi util u criteriu de covergeţă care să u facă apel la determiarea itei şirului. Cosideraţiile de mai jos permit demostrarea covergeţei uui şir fără determiarea itei acestuia. Fie (x ) 0 u şir. Spuem că (x ) 0 este şir fudametal, sau şir Cauchy, dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât x x m ε petru orice m, ε. Echivalet, (x ) 0 este şir Cauchy dacă petru orice ε > 0 există u rag ε N astfel îcât x x +p ε petru orice ε şi orice p 0. Ituitiv, îtru şir Cauchy toţi termeii sut apropiaţi uul de celălalt de la u rag îcolo. Teorema 2.38. Fie (x ) 0 u şir Cauchy. Atuci (x ) 0 este mărgiit. Î particular, fiid mărgiit, orice şir Cauchy (x ) 0 admite u subşir coverget. Teorema 2.39. Fie (x ) 0 u şir de umere reale. Atuci (x ) 0 este şir Cauchy dacă şi umai dacă este coverget. Exerciţiu. Fie (x ) : x = + 2 + 3 +... +. Demostraţi că (x ) u este coverget. Soluţie. Vom arăta că (x ) u este şir Cauchy. Să presupuem pri reducere la absurd că (x ) este şir Cauchy. Coform defiiţiei şirului Cauchy, aplicată petru ε = 3, există u rag N astfel ca x x m 3 petru orice m,. Î particular, petru m = 2, urmează că x x 2 3 petru orice.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 6 De asemeea, x x 2 = + + + 2 +... + 2 2 = 2, cotradicţie. Urmează că (x ) u este şir Cauchy, deci u este ici coverget. Exerciţiu. Fie (x ) : x = cos x este coverget. 2 + cos 2x cos x +... + 2 2 2. Demostraţi că (x ) Soluţie. Vom arăta că (x ) este şir Cauchy. Mai îtâi, observăm că au loc iegalităţile cos( + )x cos( + 2)x cos( + p)x x +p x = 2 + + 2 +2 +... + 2 +p cos( + )x 2 + + cos( + 2)x 2 +2 +... + cos( + p)x 2 +p 2 + + 2 +2 +... + 2 +p = 2 + + 2 +... + å 2 p = 2 p 2 + 2 < 2 + 2 = 2. Fie ε > 0. Deoarece 2 = 0, există u rag ε N astfel ca 2 < ε petru ε. De aici, x +p x < ε petru orice ε şi orice p 0. Urmează că (x ) este şir Cauchy, deci este coverget. 2.2.9 Criterii de covergeţă utilizâd raportul x + x Prezetăm mai îtâi o iegalitate ître itele uor şiruri de radicali, respectiv rapoarte, asociate uui şir cu termei strict pozitivi. Teorema 2.40. Fie (x ) 0 u şir cu termei strict pozitivi. Are loc iegalitatea x if + x if x sup x x sup +. x
62 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Coform Teoremei 2.35, di rezultatul de mai sus se poate deduce imediat următorul criteriu de existeţă a itei radicalului de ordi al uui şir dat. Î acest mod se poate reduce calculul uor ite care coţi radicali de ordi la calculul uor ite de rapoarte, care pot fi mai simple decât cele ditâi. x Teorema 2.4. Fie (x ) 0 u şir cu termei strict pozitivi. Dacă există + x = l R, atuci există şi x = l. Exerciţiu. Demostraţi că. a =, ude a > 0. 2. =. Soluţie.. Fie (x ) 2 : x = a. Atuci x = a =. 2. Fie (x ) 2 : x =. Atuci x = =. x + x x + x = a a =, deci de asemeea + = =, deci de asemeea Covergeţa şi divergeţa şirului (a ) 0 : a = l, petru care raportul a + a are valoarea costată l [0, ), a fost discutată aterior. Î cele ce urmează, vom observa că u şir cu termei strict pozitivi (x ) 0 petru care raportul x + x are ita l, fără a fi eapărat costat, are aceeaşi covergeţă sau divergeţă cu (a ) 0, cu excepţia evetuală a cazului î care l =. x Teorema 2.42. Fie (x ) 0 u şir cu termei strict pozitivi. Dacă există + x = l R, atuci. Dacă l [0, ), atuci x = 0. 2. Dacă l (, ], atuci x = +. 3. Dacă l =, atuci x u poate fi precizată a priori cu ajutorul itei raportului (spuem că este u caz de dubiu).
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 63 Exerciţiu. Demostraţi că a.! = 0, ude a > 0. 2. k a = 0, ude a >, k > 0. Soluţie.. Fie (x ) 0 : x = a!. Atuci x + x = deci de asemeea x = 0. 2. Fie (x ) 0 : x = k a. Atuci deci x = 0. x + x (+) k = a + k a a + (+)! a! a = + = 0, + = a = a (0, ), Cea de-a doua proprietate poate fi exprimată prescurtat pri faptul că fucţia expoeţială creşte mai rapid către + decât fucţia putere. Exerciţiu. Determiaţi 2 4 6... (2 + 2) 4 7... (3 + ). Soluţie. Fie (x ) 0 : x = 2 4 6... (2+2) 4 7... (3+). Atuci x + x deci x = 0. = 2 4 6... (2+2) (2+4) 4 7... (3+) (3+4) 2 4 6... (2+2) 4 7... (3+) 2.2.0 Teoremele Stolz-Césaro = 2 + 4 3 + 4 = 2 3 (0, ), Teoremele următoare, umite şi Teoremele Stolz-Césaro, sut aplicabile itelor de a rapoarte de şiruri de forma b, care pot fi reduse la calculul uor ite de rapoarte de şiruri de forma + a a b + b, posibil mai simple, mai ales dacă (a ) 0
64 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) şi (b ) 0 sut defiite cu ajutorul uor sume. Ele sut deumite respectiv Teorema Stolz-Césaro petru cazul de edetermiare 0 0 şi Teorema Stolz-Césaro petru cazul de edetermiare petru a idica situaţiile uzuale de aplicabilitate, deşi petru cazul de edetermiare umai ita umitorului este cerută î mod explicit a fi +. Teorema Stolz-Césaro petru cazul de edetermiare Teorema 2.43. Fie (a ) 0 şi (b ) 0 două şiruri de umere reale astfel îcât. (b ) 0 este strict crescător şi b = +. 2. Există a + a b + b = l R. a Atuci există şi b = l. Exerciţiu. Determiaţi Soluţie. Fie + 2 + 3 3 +... + + 2 + 3 +... +. (a ) 0 : a = + 2 + 3 3 +... + (b ) 0 : b = + 2 + 3 +... + Deoarece b + b = > 0, urmează că (b ) 0 este strict crescător. Cum = +, urmează că b = +. Î plus, a + a b + b = + + + = 0, deoarece =. Urmează că de asemeea di euţ este 0. a b Exerciţiu. Fie q (0, ). Demostraţi că q = 0. Soluţie. Mai îtâi, se observă că q = ( q ). = 0, deci valoarea itei
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 65 Fie (a ) 0 : a =, (b ) 0 : b = ( ). q Deoarece q > iar b + b = ( ) q ( q ) ( ) > 0, urmează că (b ) 0 este strict crescător. Cum q = +, urmează că b = +. Î plus, a + a = ( ) b + b q ( q ) = 0. a Urmează că de asemeea b = 0, deci valoarea itei di euţ este 0. Teorema Stolz-Césaro petru cazul de edetermiare 0 0 Teorema 2.44. Fie (a ) 0 şi (b ) 0 două şiruri de umere reale astfel îcât. a = 0. 2. (b ) 0 este strict descrescător şi b = 0. 3. Există a + a b + b = l R. a Atuci există şi b = l. 2.2. Şiruri cu ita umărul e Vom cosidera î cotiuare şirul (x ) 0 : x = Ä + ä, căruia îi vom demostra covergeţa. Teorema 2.45. Fie (x ) 0 : x = Ä + ä. Atuci (x ) 0 este strict crescător şi mărgiit. Demostraţie. Mootoie Folosid formula biomială, observăm că x = + å = = + = + k= k= C k k=0 å k = + ( )... ( (k )) k! å 2 å... C k k= k k å k å k!
66 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Cu acelaşi raţioamet, x + = + + k= Comparâd factor cu factor, obţiem că å 2 å... k å < å 2 å... + + + k + å k!. å 2 å... + petru orice k, deci x < x +, iar (x ) 0 este strict crescător. Mărgiire Observăm că iar cum obţiem că x = + x + + k= å 2 å... k å k! + 2... k 2... 2 = 2 k petru k 2, k=2 = + 2 2 k! + + < 3. k=2 k= k + k!, 2 k = + + 2 + 2 2 +... + å 2 Cum (x ) 0 este mooto crescător, x x = 2 petru orice. Î cocluzie deci (x ) 0 este mărgiit. 2 x < 3 petru orice, Fiid mooto şi mărgiit, (x ) 0 este coverget. Pri coveţie, se otează cu e ita sa, ude e = 2.7828... Di teorema de mai sus se obţie următoarea egalitate importată + å = e. De asemeea, se observă că å = Ä Å ä = ã = [ + å ] å,
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 67 = e, deci å = e. Teorema 2.46. Şirul (y ) 0 : y = Ä + ä + este strict descrescător şi coverget la e. Demostraţie. Mootoie Petru a demostra că (y ) 0 este strict descrescător, observăm că + å + å +2 å + + > > + + + ( + 2) + 2 > ( + ) 2 å + + + + 2 + 2 + å +2 > ( + 2) ( + ) 2. Aplicâd iegalitatea ditre media geometrică şi media armoică umerelor,,...,, + +2, obţiem că +... + + 2 > + ( + )2 + +... + + +2 = + 2 + 2 + 2. Rămâe deci să demostrăm că ceea ce este imediat, deoarece ( + ) 2 2 + 2 + 2 ( + 2) ( + ) 2, ( 2 + 2 + 2)( + 2) = [( + ) 2 + ][( + ) 2 ] = ( + ) 4 < ( + ) 4. Deoarece (y ) este strict descrescător, el este mărgiit superior de y. Coform iegalităţii lui Beroulli, + å + + ( + ) > 2, deci (y ) este şi mărgiit iferior. Cum (y ) este mooto şi mărgiit, el este coverget. Î plus deci y = e. + å + = + å + å = e,
68 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Cum termeii uui şir strict crescător sut strict mai mici decât valoarea itei, respectiv termeii uui şir strict descrescător sut strict mai mari decât valoarea itei, obţiem di cele de mai sus că + å < e < + å +, de ude, pri logaritmare + < l + å <. Câteva coseciţe importate ale covergeţei şirurilor de mai sus, motivate de egalităţile deja obţiute, sut idicate î cele ce urmează. Teorema 2.47. Au loc următoarele proprietăţi.. Fie (p ) 0 u şir de umere reale strict pozitive cu p = +. Atuci ( ) + p p = e. 2. Fie (m ) 0 u şir de umere reale strict egative cu m =. Atuci ( ) + m m = e. 3. Fie (z ) 0 u şir de umere reale eule cu z = 0. Atuci ( + z ) e. z = Exemple. Aici, å 2 + + = 2 + 2 å + = 2 = + 2 2 (z ) : z = 2 2 å 2 2 2+2 2 + 2 2 = e. 0 petru. å 2 2 2 2 (+)
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 69 Aici, ( 2 2 ) +2 + 2 2 = + + = = = e = e. å 2 +2 2 2 + + 2 2 2 + + 2 2 2 + + å 2 2 ++ 2 å 2 2 ++ 2 2 2 2 (+2) ++ 2 2 4 2 2 ++ 2 (z ) : z = 2 2 0 petru. + + Di Teorema 2.47 se pot deduce de asemeea şi următoarele proprietăţi. Teorema 2.48. Fie (x ) 0 u şir de umere reale eule cu x = 0. Atuci. l ( + x ) x =. 2. a x x = l a petru orice a > 0. 3. ( + x ) k x = k petru orice k R. Exerciţiu. Demostraţi că l k = 0, k > 0. Soluţie. Deoarece k > 0, şirul (b ) 0, b = k, este strict crescător cu ita +. Aplicâd atuci Teorema 2.43 obţiem l k l( + ) l l = ( + ) k k = l = Ä + ä Ä + ä Ä + ä k k (+ ) k = k k 0 = 0.
70 Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE (rezumat) Proprietatea poate fi exprimată prescurtat pri faptul că fucţia putere creşte mai rapid către + decât fucţia logaritmică. Exemple.. ( 2 2 ) = = l 2. 2. = ( 2 + 3 ( 2 + ) = ( 2 + 3 2 2 + 2 + 3 2 ) 2 2+ 3 2 2 ) 2+ 3 2 2 ( = = e Å + 2 3 + 2 + 3 2 2 ã 2 ) 2 2+ 3 2 ( 2 )+( 3 ) 2 = e (l 2+l 3) 2 = e l 2 3 = 6. U alt şir cu ita e Fie acum şirul (e ) defiit pri e = +! + 2! +... +!. Teorema 2.49. Şirul (e ) 0 este coverget cu ita e. Demostraţie. Cum e + e = (+)!, (e ) 0 este strict crescător, deci e e = 2 petru orice, iar coform iegalităţilor obţiute î Teorema 2.45, e < 3 petru orice. Î cocluzie, (e ) 0 este mărgiit. Fiid şi mooto, (e ) 0 este coverget; să otăm cu e ita sa. Să otăm de asemeea (x ) : x = Ä + ä. Deoarece x < e, obţiem pri trecere la ită petru că e e.
Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL DIFERENŢIAL 7 Fie acum m < fixat. Atuci x = + < + k= m k= å 2 å... å 2 å... k k å k! å k!. Trecâd la ită petru î relaţia de mai sus, obţiem că e + adică e e m. Cum această egalitate este valabilă î fapt petru orice m (restricţia m < se eiă pri alegerea de la îceput a uui suficiet de mare), pri trecere la ită se obţie că e e. Cum şi e e, urmează că e = e, iar (e ) 0 este coverget tot la e. m k= k!, Di cele de mai sus, se obţie următoarea egalitate Iraţioalitatea lui e Teorema 2.50. Numărul e este iraţioal. Costata lui Euler Fie acum şirul (c ) defiit pri +! + 2! +... + å = e.! c = + 2 + 3 +... + l. Teorema 2.5. Şirul (c ) 0 este coverget. Demostraţie. Vom demostra că (c ) 0 este mooto şi mărgiit. Mootoie Observăm că c + c = l( + ) + l = + + l + å < 0,