Sistm Smnall pot fi supus prlucrarii in scopul obtinrii unor alt smnal, sau al obtinrii unor paramtri ai acstora. Prlucraril s aplica unui smnal intrar x(t) si s obtin un alt smnal, isir, y(t). Moulara/moulara, filtrara tc. http://shannon.tc.upt.ro/taching/ssist/cap.pf 1 amplificator Sistm analogic Au 10000 u Au ; VS u u V S Au 10000 u 5 V ; VS 500 V ; VS 0 V i S i ; Rin Rin 100 k ; 500 V ii 5 na 100 k 1
Sistm igital Mir aluncătoar. Algoritm. 3 Simulara sistmului analogic folosin unul igital qxn x nt s convrtor p 10 biti (104 nivl cuantizar) omniu al tnsiunii intrar 10V 10V q 10mV 104 Eroara absoluta maxima 5mV 4
Molul matmatic S S yt S x t x t y t ; y n S x n x n y n sau sau Sunt molat prin opratori. : xt x' t : xt t x - 5 Sistm liniar 1 1 1 1 S a x t a x t a S x t a S x t S a x n a x n a S x n a S x n 1 1 1 1 Omognitat y(t) as xt S ax t S ax n as x n 6 3
Sistm incrmntal liniar a S xt Sxt Pntru un sistm omogn, 0: 0 0 0 Sistm cu variatii la isir proportional cu variatiil la intrar. S molaza printr-un sistm liniar, la isira caruia s aauga valoara rpaus (zro-input rspons) y 0 7 Aitivitata Răspunsul sistmului liniar la suma a oua smnal intrar st suma răspunsurilor la ficar smnal. 8 4
Sistm invariant la translaţia în timp y t S x t S x t t y t t 0 0 Sistm liniar si invariant in timp = SLIT (linar tim-invariant systm, LTI) 9 S x n y n S x n n y n n 0 0 10 5
Stabilitata folosin o analogi mcanica a) Sistm stabil: impulsul aplicat bili trmina oscilatii al pozitii sal, car s amortizaza bila rvin in pozitia chilibru initial. b) Sistm stabil la limita: impulsul aplicat bili moifica pozitia chilibru. c) Sistm instabil: impulsul aplicat bili uc la pirra chilibrului. 11 BIBO Stabilitata sistmlor BIBO- boun input boun output Dacă smnalul intrar st mărginit şi smnalul işir trbui să fi mărginit. 1 6
Cauzalitata sistmlor Efctul să nu apară înainta cauzi. 13.6. Sistm analogic scris prin cuatii ifrntial si sistm igital scris prin cuatii cu ifrnt finit, cu coficinti constanti Sistm liniar R-C orin unu. Sistm liniar R-L-C orin oi. y t y t y t RC y t x t LC RC y t x t Tma casa: Sa s monstrz liniaritata acstor sistm. 14 7
Forma gnrala a cuatii ifrntial car scri un sistm liniar orin N N k M k y t x t a b, a 0 (macar), a, b const. k k k k N k k k0 k0 Conitiil initial trbui sa fi nul aca sistmul st liniar, aica: y t N 1 y t y t y t... 0 0 N 1 tt0 tt0 tt0 aca momntul aplicar al smnalului intrar st t x t 0 pntru t t 0 0 15 Un sistm igital chivalnt sistmului orin unu y t RC y t xt y t RC y nt x nt yn yn 1 tnt tnt y t y nt y nt T T T RC RC 1y n y n 1 x n T T - Drivata poat fi aproximata: Ecuati cu ifrnt finit, cu coficinti constanti, obtinuta prin aproximara cuatii ifrntial. 16 8
Panta scanti st o aproximar buna pntru panta tangnti aca s consira o valoar mica a pasului santionar T 17 y t Un sistm igital chivalnt sistmului orin oi tnt y t y t LC RC y nt x nt tnt tnt 1 1 y t y t y t tnt tnt T T tnt y n y n y n y n T T T 1 y n y n y n T LC RC LC RC LC 1 y n y n 1 y n x n T T T T T Ecuati cu ifrnt finit, cu coficinti constanti, obtinuta prin aproximara cuatii ifrntial. 18 9
Forma gnrala a cuatii cu ifrnt finit car scri un sistm igital liniar orin N N A y n k B x n k, A 0 (macar) k k N k0 k0 A, B const. k k M 19 Exmpl sistm şi simboluri folosit *Circuit Intgrat Analogic Simbolul folosit pntru sistmul proportional ial Simbolul folosit pntru sistmul ifrntiator ial Simbolul folosit pntru sistmul intgrator ial 0 10
.7. Câtva xmpl sistm i) Sistmul proportional ial yt axt, a, y n ax n a Sistm fara mmori: Valoara curnta a smnalului isir pin oar valoara curnta a smnalului la intrar, nu si valoril sal antrioar. 1 ii) Sistmul ial rivar (analogic) si intarzir (igital) x t 1 yt y n x n x n T s 1 Difrntira finita. Sistm iscrt c implmntaza aproximara rivati in timp continuu 11
y t t x iii) Sistmul intgrator ial yn xk xk xn n 1 n1 k k y n y n x n Timp continuu Timp iscrt: sumator (acumulator) Ex: contorul apa/curnt tc. Sistm cu mmori sau inamic: Difrntira si intgrara (in timp continuu) Difrnta finita si acumulatorul in timp iscrt 3.8. Exmpl i) Analizam liniaritata si invarianta in timp pntru un sistm analogic scris prin cuatia ifrntiala cu coficinti variabili in timp y t y t t t y t x t a) Sistm liniar = aitiv + omogn Sistm aitiv? y 1 t y 1 t x 1 t y1 t t t y1 t x1 t y t y t x t y t t t y t x t y1 t y t t y1 t y t t y1 t y t x1 t x t x1 t x t y1 t y t 4 1
Sistm omogn? y t y t xt y t t t y t xt ay t t ay t t ay t ax t ax t ay t b) Invarianta la plasar in timp y t y t xt y t t t y t xt y3t y3t xt t0 y3 t t t0 t t 0 y3 t x t t0 Daca sistmul ar fi invariant la plasara in timp: y t t0 y t t0 t t y t t 0 x t t0 Dar y t y t t sistmul st liniar ar nu si invariant 3 0 la plasara in timp 5 ii) Analizam importanta conitiilor initial nul asupra liniaritatii unui sistm analogic. Sistm inamic scris prin cuatia ifrntiala orinul unu, cu coficinti constanti y t y t xt K cos 0t, t 0 xt K cos 0tt 0, t 0 cu smnalul intrar: 6 13
Solutia fortata Kcos(ω0t), rgim stationar t y f y f t K cos 0t, t 0 K y f t cos 0t, t 0 4 0 Solutia rgim libr, tranzitori. Est solutia cuatii omogn t ytr ytr t 0 t y t B, t 0 an y t C, t 0 tr t t tr 7 Solutia finala trbui sa fi continua in t=0 ytr t y f t, t 0 yt ytr t, t 0 t K t y0 cos 0 cos, 0 t t yt 4 0 t y0, t 0 t K y t y cos t cos t t t 0 0 4 0 sistm liniar t Pntru K 0 : x t 0 y t y 0 Numai cu coniti initiala nula, y 0 K 0 0 0, sistmul st liniar 8 14
iii) Importanta conitiilor initial nul asupra liniaritatii unui sistm igital Sistm inamic iscrt, scris prin cuatia cu ifrnt finit, orinul unu, cu coficinti constanti, cu smnalul intrar: K cos 0n, n 0 0, n 0 yn 0, 5yn 1 xn xn K cos 0n n Solutia rgim stationar j 0n f 0 y f n 0.5y n 1 K cos n R K, n 0 cos y f n A 0n A Solutia rgim tranzitoriu K 0.5sin j ; arctg 0 1.5 cos 0 1 0.5cos 0 ytr n 0, 5ytr n 1 0, n n n ytr n B 0, 5, n 0 si ytr n C 0, 5, n 0 9 Solutia finala n K B0.5 cos 0n, n 0 yn 1.5 cos 0 n C0.5, n 0 Sistm liniar conitii initial nul: y 1 0 K yn cos0n n 1.5 cos0 Pntru un sistm orin N, conitiil initial sunt: y 1 y... y N 0 Pntru un sistm liniar si invariant in timp (SLIT), conitiil initial sunt nul. 30 15