Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f ( )). Μονάδες 4 Α.. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8,5 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο β. Αν η f είναι συνεχής στο, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η f είναι συνεχής στο Μονάδες 4,5 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο. Στήλη Α Στήλη Β συναρτήσεις εφαπτόμενες 3 α. f() =, =. y = -+π β. f() = ημ, =. y = + 4 γ. f() = 3, = 3. y = 9-6 δ. f (), = 4 4. y = -9+5 5. δεν υπάρχει Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο : z i Δίνεται η συνάρτηση f (z), zc με z-i, όπου z ο συζυγής του z. z i α. Να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών : f (9 5i) w w f (9 5i) 4 3 w β. Θεωρούμε τον πίνακα M όπου w το μέτρο του μιγαδικού 3 w αριθμού w του ερωτήματος α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση. Ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ με πίνακα Μ είναι :

Α. στροφή με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ= 4 Β. συμμετρία ως προς τον άξονα Γ. συμμετρία ως προς τον άξονα y y Δ. συμμετρία ως προς την ευθεία y= Ε. ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ= 3 Μονάδες 5 γ. Αν Μ ο πίνακας του ερωτήματος β., τότε να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει : ΜΧ = Κ όπου Κ είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γραμμικό μετασχηματισμό στροφής με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία θ=. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο : Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [,] και ισχύει f () για κάθε (,). Αν f()= και f()=4, να δείξετε ότι : α. η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,). Μονάδες 7 f (/ 5) f (/5) f (3/ 5) f (4/5) β. υπάρχει (,), τέτοιο ώστε : f () 4 Μονάδες γ. υπάρχει (,) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M(,f ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y=+. ΘΕΜΑ 4ο : Τη χρονική στιγμή t= χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του t φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση f (t), t t όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. α. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β. Μονάδες 5 β. Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. Μονάδες

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α. α) Πότε ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός ονομάζεται γραμμικός ; Μονάδες,5 β) Αν Μ(,y) σημείο του επιπέδου, u (, ) δεδομένο διάνυσμα και Μ (,y ) η εικόνα του Μ στην παράλληλη μεταφορά κατά το διάνυσμα u, να βρείτε τα, y συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου Μ και του διανύσματος u. Μονάδες 5 γ) Είναι η παράλληλη μεταφορά γραμμικός μετασχηματισμός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το μετασχηματισμό της στήλης Ι και δίπλα τον αριθμό της στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στον πίνακα του μετασχηματισμού. Στήλη Ι Στήλη ΙΙ Τ : συμμετρία ως προς τον άξονα. Τ : στρoφή κατά γωνία. 3. Μονάδες 3 Β.. Θεωρούμε το γραμμικό μετασχηματισμό Τ με πίνακα, όπου, οι πίνακες των μετασχηματισμών, αντιστοίχως του ερωτήματος Β.. α) Να δείξετε ότι ο Τ είναι κανονικός μετασχηματισμός. Μονάδες 4,5 β) Να βρείτε την εικόνα της ευθείας ε : -y+5 = μέσω του μετασχηματισμού Τ. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο : 5 i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z. 3i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi, α,β R. Μονάδες 4 β) Να γράψετε τον z στην τριγωνομετρική του μορφή. Μονάδες 5 γ) Αν θ=αrgz, τότε ο μιγαδικός αριθμός iz έχει όρισμα : Α. Β. Γ. 4 Δ. Μονάδες 3 4 δ) Το z είναι ισο με : Α. 4 Β. 4i Γ. 4i Δ. -4 Μονάδες 3

B. Nα βρεθούν τα σημεία του επιπέδου, που είναι εικόνες των μιγαδικών z, για τους z οποίους ισχύει :. Μονάδες z i ΘΕΜΑ 3ο : 8 6, 5 Δίνεται η συνάρτηση f με f () 5 ( )ln( 5 e) ( )e, 5 Α. Να βρεθούν τα lim f (), lim f (). 5 5 Β. Να βρεθούν τα α,β R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 5. Μονάδες Γ. Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος Β, να βρείτε το lim f () Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο : Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Εστω f(t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου t. Αν ο ρυθμός μεταβολής της f(t) είναι 8 t α) Να βρείτε τη συνάρτηση f(t) β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη ; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t=8 υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν από τη χρονική στιγμή t= η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln,4) Μονάδες 3

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ ο : A.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z. Να αποδείξετε ότι : z z z z. Μονάδες 7,5 A.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει : α. z zz β. z z γ. z z δ. z z ε. iz z Μονάδες 5 Β.. Αν z 3 4i και z 3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει η ισότητα. Στήλη Α Στήλη Β. z z α. 4. z β. 3. z γ. 5 4. - z δ. 5 5. iz ε. - στ. 5 ζ. Β.. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z, να δείξετε ότι Μονάδες 7,5 z. Μονάδες 5 z ΘΕΜΑ ο : Εστω f μία πραγματική συνάρτηση με τύπο :, () e 3 f 3, 3. 3

α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α= 9. Μονάδες 9 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α(4,f(4)). Μονάδες 7 γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο : Για μία συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθ- 3 3 μών R, ισχύει ότι : f () f () f () 6 για κάθε R, όπου β,γ πραγματικοί αριθμοί με 3. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. Μονάδες β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 8 γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f()= στο ανοικτό διάστημα (,). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο : Εστω μία πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις : i) f() για κάθε R ii) f () tf (t)dt, για κάθε R. Εστω ακόμη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο g() f (), για κάθε R. α. Να δείξετε ότι ισχύει f () f () Μονάδες β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. Μονάδες 4 γ. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι : f (). Μονάδες 4 δ. Να βρείτε το όριο lim (f () ) Μονάδες 7

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ ο : A. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο [α,β], τότε να δείξετε ότι : f (t)dt G( ) G( ) Μονάδες Β.. Έστω η συνάρτηση f()=ημ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f () Μονάδες 8 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή. β. Κάθε συνάρτηση που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f (), τότε lim f (). δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε f ()d f () f () d ε. Αν lim f (), τότε f() > κοντά στο. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο : Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός και f ( ) i z, ν N *. α. Nα δείξετε ότι f(3)+f(8)+f(3)+f(8) =. Μονάδες 7 β. Αν z και Arg(z)=θ, να δείξετε ότι f (3) i. Μονάδες 8 γ. Αν z και Arg(z)=, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα ση- 3 μεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, z και f(3). Μονάδες ΘΕΜΑ 3ο : Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R. Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f g είναι -. α) Να δείξετε ότι η g είναι -. Μονάδες 7 3 β) Να δείξετε ότι η εξίσωση : g(f () ) g(f () ) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο : α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g στο [α,β]. Να αποδείξετε ότι αν h()>g() για κάθε

[α,β], τότε και h ()d g() d. Μονάδες β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις : f () f () e, R και f()=. i) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. Μονάδες 5 ii) Να δείξετε ότι f () f (), για κάθε >. Μονάδες iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα, να δείξετε ότι E f (). 4

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 3 ΘΕΜΑ ο : A. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8 Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ; Μονάδες 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z. Μονάδες β. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η η f είναι κυρτή στο Δ. Μονάδες γ. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει f ()d f () c, c R. Μονάδες δ. Αν μία συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Μονάδες ε. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( ), τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο. Μονάδες ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi, όπου α,β R. και w 3z iz 4, όπου z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α-β+4 και Im(w)=3β-α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=-, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=-. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z,οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=-, έχει το ελάχιστο μέτρο. Μονάδες ΘΕΜΑ 3ο : 5 3 Έστω η συνάρτηση f (). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β) Να αποδείξετε ότι f (e ) f ( ) για κάθε R. γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f Μονάδες 5 δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά- σταση της f, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση =3. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 4ο : Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β). Αν ισχύει f(α)=f(β)= και υπάρχουν αριθμοί γ(α,β), δ(α,β), έτσι ώστε f(γ)f(δ) <, να αποδείξετε ότι : α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f()= στο διάστημα (α,β) Μονάδες 8 β. Υπάρχουν σημεία, (α,β) τέτοια ώστε f ( ) και f ( ) Μονάδες 9 γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f Μονάδες 8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Η συνάρτηση f() = 3 6 5-3 - 6 5 - αν αν αν - - - ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θέματος 4γ, αλλά όχι και το συμπέρασμά της.

ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΙΟΥΛΙΟΥ 3) A.Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F() c, c ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G() = F() c, c ΙR Μονάδες Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τε- τράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z z z. Μονάδες z β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ()> στο (α, ) και f ()< στο (, β), τότε το f() είναι τοπικό ελάχιστο της f Μονάδες γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε f() = f() Μονάδες δ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε f() g () d f() g() f () g() d. Μονάδες ισχύει: Γ. Πότε μία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ; Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: z και Ιm(z). Μονάδες β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού

4 w z κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται z στον άξονα. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f(). α.να αποδείξετε ότι lim f(). Μονάδες 5 β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν το τείνει στο. γ. Να αποδείξετε ότι f () f() δ. Να αποδείξετε ότι d ln. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f() = f( ) και f () για κάθε IR. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Μονάδες 8 β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα Μονάδες 8 γ. Έστω η συνάρτηση f() g() f (). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο. Μονάδες 9

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 4 ΘΕΜΑ ο : A. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f ( ). Μονάδες Β. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Μονάδες β. lim f () l, αν και μόνο αν lim f () lim f () l Μονάδες γ. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση fg είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : f g ( ) f ( ) g ( ) Μονάδες δ. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. Μονάδες ε. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο [α,β], τότε f (t)dt G( ) G( ) Μονάδες ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα. Μονάδες β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση g() e f (), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R και 3 f () f. 3 α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο, τέτοιο ώστε f ( ) f( ). Μονάδες 8 β. Εάν f () 3, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I ( ) g()d, αr Μονάδες 8

γ. Να βρείτε το όριο lim I( ) Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε f()=. Αν για κάθε R, ισχύει 3 g () z f (t)dt 3z ( ), όπου z=α+βi C, με α,β R *, τότε : z α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τη g. Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι z z Μονάδες 8 z γ. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β να αποδείξετε ότι Re( z ) δ. Αν επιπλέον f() = α >, f(3) = β και α > β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (,3) τέτοιο ώστε f( ) =.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΙΟΥΛΙΟΥ 4) ΘΕΜΑ ο : Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Μονάδες β. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. Μονάδες γ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το R και ορίζονται οι συνθέσεις f g και g f, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες. Μονάδες δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Οy και Οy. Μονάδες ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε lim k f () k lim f () εφόσον f () κοντά στο, με k Ν και k. Μονάδες Γ. Να ορίσετε πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R με f () m 4 5, όπου m R, m >. α. Να βρείτε τον m ώστε f() για κάθε R. Μονάδες 3 β. Αν m=, να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. Μονάδες ΘΕΜΑ 3 ο : Δίνεται μία συνάρτηση f : [α,β] R συνεχής στο διάστημα [α,β] με f() για κάθε [α,β] και μιγαδικός αριθμός z με Re(z), Im(z) και Re( z) Im(z). Αν z f ( ) και z f ( ), να αποδείξετε ότι : z z α. z Μονάδες β. f ( ) f ( ) Μονάδες 5 γ. η εξίσωση 3 f ( ) f ( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (-,). Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4 ο : Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [,+ ) R τέτοια, ώστε f () f (t)dt.

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ). Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι f () e ( ). Μονάδες 8 γ. Να αποδείξετε ότι η f () έχει μοναδική ρίζα στο [,+ ) Μονάδες 5 δ. Να βρείτε τα όρια lim f () και lim f ().

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 5 ΘΕΜΑ ο : A. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α,β) τέτοιος, ώστε f( )=η. Μονάδες 9 Α.. Πότε η ευθεία y = λ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] με f(α) < και υπάρχει ξ (α,β) ώστε f(ξ)=, τότε κατ ανάγκη f(β) >. Μονάδες lim f () g(), τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα lim f () και β. Αν υπάρχει το lim g() Μονάδες γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f. Μονάδες δ. Αν lim f () και f()> κοντά στο, τότε lim f (). Μονάδες ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει f (t)dt f () f ( ) για κάθε Δ. Μονάδες στ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. Μονάδες ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z 3 με z z z3 3. 9 α. Δείξετε ότι : z. Μονάδες 7 z β. Δείξτε ότι ο αριθμός z z είναι πραγματικός. Μονάδες 9 z z γ. Δείξτε ότι : z z z3 z z z z3 z3 z Μονάδες 9 3 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () e, λ>. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 3

β. Δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y=λe. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. Μονάδες 7 γ. Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και τον άξονα e y y, είναι ( ). Μονάδες 8 ( ) δ. Υπολογίστε το lim. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο : Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση f () f () e για κάθε R και f() =. e α. Να δειχτεί ότι f () ln β. Να βρεθεί το lim. f ( t)dt. γ. Δίδονται οι συναρτήσεις : 7 5 h () t f (t)dt και g(). Δείξτε ότι 7 h()=g() για κάθε R. Μονάδες 7 5 δ. Δείξτε ότι η εξίσωση t f (t)dt 8 έχει ακριβώς μία λύση στο (,).

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΙΟΥΛΙΟΥ 5) ΘΕΜΑ ο : Α. Έστω η συνάρτηση f με f (). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει f (). Μονάδες 9 Α. Πότε μία συνάρτηση f : A R λέγεται «-» ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. Μονάδες β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως σε ένα σημείο του. Αν η f είναι κυρτή στο (α, ) και κοίλη στο (,β), ή αντιστρόφως, τότε το σημείο Α(,f( )) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. Μονάδες γ. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. Μονάδες δ. Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι f g και g f, τότε είναι υποχρεωτικά f g g f Μονάδες ε. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών z, z είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα. Μονάδες στ. Αν η συνάρτηση f έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ και λ R, τότε ισχύει : f ()d f () d. Μονάδες ΘΕΜΑ ο : α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει z z 4 4i και z z 5 5i, να βρείτε τους z, z. Μονάδες β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν z 3i και w 3 i : i. Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι, ώστε z = w και Μονάδες ii. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z w. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3 ο : Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με f () για κάθε R. α. Να δείξετε ότι η f είναι «-». Μονάδες 7 β. Αν η γραφική παράσταση C f της f διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(-,), να λύσετε την εξίσωση f 4 f ( 8). Μονάδες 9 γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της C f, στο οποίο η

εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : y 5. Μονάδες 9 668 ΘΕΜΑ 4 ο : f () Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύει lim 5. α. Να δείξετε ότι : i) f() = Μονάδες 4 ii) f () Μονάδες 4 f () β. Να βρείτε το λ R έτσι, ώστε : lim f () 3. Μονάδες 7 γ. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο R και f () f() για κάθε R, να δείξετε ότι : i. f() > για κάθε. ii. f ()d f (). Μονάδες 4

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 6 ΘΕΜΑ ο : A. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι : Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. Μονάδες Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ ; Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει β. Αν υπάρχει το lim f () z z., τότε f() > κοντά στο. γ. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. 3 3, για κάθε R. δ. Ισχύει ο τύπος ε. Ισχύει η σχέση ()g ()d f ()g() f f ()g() d όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β]. Μονάδες ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τη συνάρτηση f () ( ) με. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f της f και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 8 γ. i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f με την ευθεία y =. Μονάδες 4 ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z 3 με z z z 3 και z z z 3. α. Να αποδείξετε ότι : i. z z z3 z z z3. Μονάδες 9 ii. z z 4 και Rezz. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z 3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f () ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Μονάδες 8 β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 5 γ. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() = ln στο σημείο Α(α,lnα) με α> και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h() e στο σημείο Β(β, e ) με βr ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης f()=. Μονάδες 9 δ. Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες.

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 6 (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ) ΘΕΜΑ ο : Α. Να αποδείξετε ότι :, R. Μονάδες Α. Έστω f μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ; Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει : z z z z. Μονάδες β. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ), τότε η συf νάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : g f f ( )g( ) f ( )g( ) ( ) g g( ) Μονάδες γ. Για κάθε ισχύει ln Μονάδες δ. Μία συνάρτηση f : A R είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f() = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. Μονάδες ε. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο [α,β] τότε f (t)dt G( ) G( ). Μονάδες ΘΕΜΑ ο : e Δίνεται η συνάρτηση f (), R. e α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο R. Μονάδες 9 β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d. f () Μονάδες 9 γ. Για κάθε < να αποδείξετε ότι : f (5 ) f (7 ) f (6 ) f (8 ) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, που ικανοποιούν την ισότητα 4 z z και η συνάρτηση f με τύπο f (), α R. α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία =. Μονάδες 7 β. Αν η εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο τομής της με την ευθεία = τέμνει τον άξονα y y στο y 3, τότε i. να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε). Μονάδες 9

ii. να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, της εφαπτομένης (ε), τον άξονα και της 3 ευθείας. Μονάδες 9 5 ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f() = ln(+) - (+)ln με >. α. i. Να αποδείξετε ότι : ln( ) ln, >. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Μονάδες β. Να υπολογίσετε το lim ln( ). Μονάδες 5, τέτοιος ώστε γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α. Μονάδες 8

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 7 ΘΕΜΑ ο : A. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: z z = z z Μονάδες 8 Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε [α, β] ισχύει f() τότε f ()d >. β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του. γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο. δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και α είναι ένα σημείο του g(), τότε f (t)dt f (g()) g() με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιού- μενα σύμβολα έχουν νόημα. ε. Αν α > τότε lim. Μονάδες ΘΕΜΑ ο : i Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z. i α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 9 i β. Έστω z, z οι μιγαδικοί αριθμοί που προκύπτουν από τον τύπο z για i α= και α= αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, και z. Μονάδες 8 ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: (z) ν = (- z) ν για κάθε φυσικό αριθμό ν. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3ο : ίνεται η συνάρτηση: f() = 3-3 - ημ θ όπου θr μια σταθερά με θ κπ +, κ Z. α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. Μονάδες 7 β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. Μονάδες 8 γ. Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και 3 η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f()), B(, f()) και Γ(3,f(3)) βρίσκονται στην ευθεία y = - -ημ θ. Μονάδες 3 δ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y = - -ημ θ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο : Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ]. Ορίζουμε τις συναρτήσεις: F() = f (t)g(t)dt, [, ], G() = g (t)dt, [, ]. α. Να δειχθεί ότι F() > για κάθε στο διάστημα (, ]. Μονάδες 8 β. Nα αποδειχθεί ότι: f() G() > F() για κάθε στο διάστημα (, ]. F() F() γ. Nα αποδειχθεί ότι ισχύει : για κάθε στο διάστημα (, ]. Μονάδες 4 G() G() δ. Να βρεθεί το όριο : lim o f (t)g(t)dt t dt 5 g(t)dt Μονάδες 7

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 7 (Επαναληπτικές εξετάσεις) ΘΕΜΑ ο : A.. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f, είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες Α.. Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες β. Αν f, g, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] τότε f ()g ()d f ()d g () d Μονάδες γ. Αν η f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει f (t)dt f () για κάθε Δ. Μονάδες δ. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β) όπου Α= lim f () και Β= lim f (). Μονάδες ε. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f () g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει f()=g() για κάθε Δ. Μονάδες ΘΕΜΑ ο : 3, Δίνεται η συνάρτηση f() =, α. Να αποδειχτεί ότι lim f () 3. Μονάδες 8 β. Αν f και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο, να αποδειχτεί ότι α=β=3. Μονάδες 9 γ. Αν α=β=3, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ()d Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f () e eln, >. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,+ ). Μονάδες β. Να αποδειχτεί ότι ισχύει f() e για κάθε >. Μονάδες 7

γ. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f (t)dt f (t)dt 3 f (t)dt έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (,+ ). Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 ο : Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z i και z z 4, όπου α,β R με β. z Δίνεται επίσης ότι z z R. α. Να αποδειχτεί ότι z z. Μονάδες 9 β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Αν ο αριθμός z είναι φανταστικός και αβ >, να υπολογιστεί ο z και να δειχτεί ότι z i z i. Μονάδες

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 8 ΘΕΜΑ ο : A.. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() = ln, R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει : (ln ) = Μονάδες Α.. Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] ; Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν μία συνάρτηση f : RR είναι -, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f - ισχύει : f - (f()) =, A και f(f - (y)) = y, y f(a) Μονάδες β. Mία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες γ. Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αz + βz + γ = με α,β,γ R και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών. Μονάδες δ. Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f () > για κάθε πραγματικό αριθμό. Μονάδες ε. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β,γ Δ τότε ισχύει ΘΕΜΑ ο : f ()d f ()d f () d Μονάδες Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν ( + ) z = 6 i και w - (- i) = w - (3-3i) τότε να βρείτε : α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z. β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. Μονάδες 7 γ. την ελάχιστη τιμή του w. δ. την ελάχιστη τιμή του z - w. ΘΕΜΑ 3ο : ln, Δίνεται η συνάρτηση f ()., α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Μονάδες 3 β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 9

α γ. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών της εξίσωσης = e για όλες τις πραγματικές τιμές του α. δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει f ( +) > f( +) - f(), για κάθε >. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο : Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει f () = 3 ( ) + 3 f (t)dt - 45 3 α. Να αποδείξετε ότι f () = + 6-45 Μονάδες 8 β. Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να αποδείξετε ότι g() g( h) g () lim h h Μονάδες 4 γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος g( h) g() g( h) (β) ισχύει lim f () 45και g() = g () =, τότε : h h 5 3 i. να αποδείξετε ότι g() = + + + Μονάδες ii. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι - Μονάδες 3

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 8 (Επαναληπτικές εξετάσεις) ΘΕΜΑ ο : A. Έστωμία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μία παράγουσα της f β στο [α,β], τότε να αποδείξετε ότι f(t)dt G( ) - G( ) Μονάδες α Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι -, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. β. Αν μία συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. γ. Το ολοκλήρωμα f ( ) d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα. δ. Αν α,β πραγματικοί αριθμοί, τότε : α + βi = α = ή β =. ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α,)(,β) και l ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία : lim f () = l lim(f () - l) = Μονάδες ΘΕΜΑ ο : + i 3 Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός z = είναι ρίζα της εξίσωσης + βz + γ = όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί. α. Να αποδείξετε ότι β = - και γ = Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι z 3 = - Μονάδες 8 γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον z, οποίο ισχύει : w = z - z Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f()= ln, >. α. Να αποδείξετε ότι ισχύει : f() για κάθε >. β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. ln, γ. Έστω η συνάρτηση g ( ) f ( ). k,

i. Να βρείτε την τιμή του k έτσι ώστε η g να είναι συνεχής. ii. Αν k = -, τότε να αποδείξετε ότι η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (,e). Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο : Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,+) για την οποία ισχύει f() > για κάθε. Ορίζουμε τις συναρτήσεις : F() F () f (t)dt, [,+), h (), tf(t)dt (,+). α. Να αποδείξετε ότι t f (t) F(t) e - dt F() β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,+). Μονάδες 8 γ. Αν h() =, τότε : i. Να αποδείξετε ότι f (t)dt tf(t)dt ii. Να αποδείξετε ότι F (t)dt F() Μονάδες 5

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ 9 ΘΕΜΑ ο : Α. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν η f είναι συνεχής στο και για κάθε εσωτερικό σημείο του ισχύει f() =, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα. Μονάδες Β. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει z z = z z β) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, όταν f() f() για κάθε A - γ) lim l δ) Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ε) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f()< για κάθε [α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =α, =β και τον άξονα είναι β E ( ) f ()d. Μονάδες α ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = (λ+) + (λ ) i, λ R. Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ R. Μονάδες 9 β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός z = i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Μονάδες 8 B. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w + w - = z όπου z ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγού- μενο ερώτημα. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f () = α - ln( + ), > -, όπου α> και α. A. Αν ισχύει f() για κάθε >-, να αποδείξετε ότι α=e. Μονάδες 8 Β. Για α =e, α. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. Μονάδες 5 β. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,+ ).

f (β) - f (γ) - γ. αν β, γ (-, )(, + ), να αποδείξετε ότι η εξίσωση + = έχει - - τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ). ΘΕΜΑ 4ο : Έστω f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [,] για την οποία ισχύει (t - )f(t)dt. Ορίζουμε τις συναρτήσεις H () tf(t)dt, [,], H() - f(t)dt 3, (,] G() - - t 6lim, t t α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι συνεχής στο διάστημα [, ]. Μονάδες 5 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) και ότι H() ισχύει G () - γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθμός α (, ) τέτοιος ώστε να ισχύει Η(α)=. Μονάδες 7 δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας αριθμός ξ (, α) τέτοιος ώστε να ισχύει tf(t)dt ξ α f(t)dt Μονάδες 7

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΙΟΥΛΙΟΥ 9) ΘΕΜΑ ο : Α. Έστω η συνάρτηση f (). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει f (). Μονάδες 9 Β. Έστω μία συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f θα είναι συνεχής στο ; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει z z Μονάδες β. Η συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. Μονάδες γ. Αν lim f () και f()< κοντά στο τότε lim Μονάδες f () δ. Έστω η συνάρτηση f()=εφ. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R=R- {/συν=} και ισχύει f () Μονάδες ε. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει f ()d f () c, Δ όπου c είναι μία πραγματική σταθερά Μονάδες ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει : (-i)z+(+i) z - 8=. α. Να βρείτε τoν γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z=+yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες β. Να βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό z και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό z οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 8 γ. Για τους αριθμούς z και z που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξε- τε ότι z z z z 4. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f () ln (λ ) ln( ), > -, όπου λ ένας πραγματικός αριθμός με λ -. A. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο lim f () και να είναι πραγματικός αριθμός. Μονάδες 5 Β. Έστω ότι λ = - α. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() + α = έχει μοναδική λύση για κάθε πραγματικό αριθμό α με α. Μονάδες 4

ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται μία συνάρτηση f : [,] R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες f () 4f () 4f () ke,, f () f(), 4 f () f () e, f () e όπου k είναι πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () f () g() 3, e ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [,]. Μονάδες 4 β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε να ισχύει f ( ) 4f ( ) 6e 4f (ξ) γ. Να αποδείξετε ότι k=6 και ότι ισχύει g() = για κάθε [,]. δ. Να αποδείξετε ότι f ( ) 3 e, Μονάδες 5 ε. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f () d Μονάδες 4

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F() c, c R είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G()= F() c, cr Α. Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Α3. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ ; Μονάδες 5 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ. γ) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β) όπου Α= lim f () και Β= lim f (). δ) (συν) = ημ, R ε) Αν lim f (), τότε f() < κοντά στο. Μονάδες ΘΕΜΑ B Δίνεται η εξίσωση z όπου z C με z. z B. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι z z Β3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w 4 3i z - z τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w, στο μιγαδικό επίπεδο Μονάδες 7 Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι 3 w 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f () ln( ), R. Γ. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. Μονάδες 5 (3 ) Γ. Να λύσετε την εξίσωση : ( 3 ) ln. 4 Μονάδες 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτόμενες της γραφι-

κής παράστασης της f στα σημεία καμπής της τέμνονται σε σημείο του άξονα y y. Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f ()d. Μονάδες 7 - ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τις t σχέσεις : f(), f () 3 dt. f (t) t f () Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f (), f () R Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f () f (), R, είναι σταθερή. Μονάδες 7 Δ3. Να αποδείξετε ότι f () 9, R Δ4. Να αποδείξετε ότι f(t)dt f(t)dt, για κάθε R Μονάδες 7

Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ημ, R, είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει (ημ) = συν Μονάδες 8 Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f(); Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f() = α -, α >, τότε ισχύει. β) Αν ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f, τότε πάντοτε ισχύει f g = g f γ) Αν lim f () ή, τότε lim f () δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και ισχύει f() για κάθε [α,β], τότε f()d ε) Για κάθε z C ισχύει z z Μονάδες z ΘΕΜΑ B Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί z, z είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν z z και z z 5 B. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z, z Μονάδες 5 Β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w z w z z z, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με εξίσωση ( ) y 4 Μονάδες 8 Β3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β, να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει Re(w) Im(w) Β4. Αν w, w είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β με την ιδιότητα w w 4, να αποδείξετε ότι w w ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln 3, >. Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Μονάδες 5 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,+ ) Μονάδες 5 Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες Γ4. Αν, είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ (, ) τέτοιος ώστε f (ξ)- f(ξ) και ότι η

εφαπτομένη της συνάρτησης f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)), διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο R με f()= και f () = Δ. Να αποδείξετε ότι f() για κάθε R Μονάδες 4 3 f(t)dt Δ. Να αποδείξετε ότι lim 3 ημ Αν επιπλέον δίνεται ότι f () (f () ), R, τότε : Δ3. Να αποδείξετε ότι f () e, R Μονάδες 8 Δ4. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h() f(t)dt, και 3 να λύσετε την ανίσωση f(t)dt f(t)dt Μονάδες 7 6 4

Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α A.Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f ( ). Μονάδες Α.Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R. Πότε η ευθεία y = λ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 Α3.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z. β) Μία συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή : αν, τότε f() f() γ) Για κάθε R=R - {/συν=} ισχύει ( ) δ) Ισχύει ότι : lim ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Οy και Οy. Μονάδες ΘΕΜΑ B Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : z 3i z 3i και w z 3i. z 3i B. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι z 3i Μονάδες 4 z 3i Β3. Να αποδείξετε ότι o w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w Μονάδες 8 Β4. Να αποδείξετε ότι : z w z ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : RR, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f () = f() =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση : e (f () f () ) f () f (), για κάθε R. Γ. Να αποδείξετε ότι f () ln(e ), R Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 3 Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Μονάδες 7

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e ) έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα,. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R R η οποίες για κάθε R ικανοποιούν τις σχέσεις : i) f()> και g()> ii) t f () e dt e g( t) iii) t g() e dt e f ( t) Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και ότι f()=g() για κάθε R Μονάδες 9 Δ. Να αποδείξετε ότι : f () e, R Μονάδες 4 lnf () Δ3. Να υπολογίσετε το όριο : lim, R Μονάδες 5 f ( ) Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F () f(t )dt, τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση = Μονάδες 7

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α A.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f()=συν είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει (συν) = ημ Μονάδες A. Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα. Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της f στο. Μονάδες 5 Α3.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, α,β R ισχύει z z β) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο το f(), όταν f () f () για κάθε A γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα, τότε είναι και στο διάστημα αυτό. δ) Αν lim f () και f() > κοντά στο τότε lim f () ε) Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Μονάδες ΘΕΜΑ B ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: z i Im(z) () w(w 3i) i(3w i) () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η παραβολή με εξίσωση y Μονάδες 7 4 B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(,3) και ακτίνα ρ =. Μονάδες 7 B3. Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w με z =w. Μονάδες 5 B4. Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και, στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο. ΘΕΜΑ Γ Ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y,. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στη θέση Π(,) ενός συστήματος συντεταγμένων Οy και παρατηρεί το κινητό από την αρχή Ο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του κινητού για κάθε χρονική στιγμή t, t είναι (t)= 6 m/min