šitv izpitih alog PROCESIRANJE SIGNALOV Datum: 4. auar. aloga Izračuat koficit komplks Fourirv vrst za podai priodiči sigal! Kolikši sta amplituda i frkvca osov harmosk kompot? f(t) - 4 6 t[µs] - šitv: Koficiti komplks Fourirv vrst so dai z izrazom 6 ω t ωt ωt A = f () t dt = ( ) dt + () dt 6 (.) Itgral za izraču koficita razdlimo a tri itrval tako kot sigal v i priodi sstavl iz trh kostatih vrdosti., od katrih a aka ič, zato sta v (.) pisaa l dva itgrala. Zgoro mo prvga ugotovimo a asldi ači: vsak ravi dl v osovi priodi poda fukci zavzma o trtio priod zato koc itrvala da kot + + = = (.) 6 6 Podobo dobimo tudi za pozitivo polovico priod. Z itgracio posta (.) ωt 6 ωt ω ω ω ω A 6 6 = + ω ω = + = ω 6 ω ω ω ω 6 6 π = + + = cos cosπ = (.) π π π = cosπ cos π
4. auar Procsira sigalov /8 Prvi čli komplks Fourirv vrst so: A = A = A = π π A = A = 4π 4π A = A = Amplitudo ralih harmoskih kompot C izračuamo z izrazom (.4) Amplituda prv harmosk kompot tor C = A za i C = A (.5) C = =,955 (.6) π Osovo frkvco določimo iz priod sigala f(t), ki o odčitamo iz podaga grafa. = 4μs f = = 5 khz (.7). aloga pulzi odziv liarga sistma poda z ačbo: t ht () = ut ( ), kr sta = µs i = µs. Narišit graf impulzga odziva h(t). Izračuat frkvči odziv podaga sistma H(ω). Koliko zaša vrdost H(ω) pri frkvci 4 khz. šitv: δ (t) H(ω) h(t) t Slika.: Odziv daga sistma a oti impulz
4. auar Procsira sigalov /8 h (t) / 4 5 6 t [µs] Slika.: Graf odziva h(t) Frkvči odziv Fourirv trasform impulzga odziva. pulzi odziv prprost kspot upad s časovo kostato, ki zakas za = µs. Č v izraz impulzga odziva uvdmo zamavo v = t -, dobimo v ω + ω hv () = uv () H( ) = = + ω Pri gori trasformacii smo dirkto uporabili tablo Fourirvih trasformov. Zakasitv za moramo upoštvati po pravilu: (.) f( t) F( ω) f( t ) F( ω) ω (.) Z upoštvam ačb. i. dobimo ω Do istga rzultata lahko pridmo tudi po dirkti poti H ( ω) = (.) + ω t t ωt ωt ωt ( + ω) t ( + ω) ( + ω ) t H ( ω) = f ( t) dt = dt = dt = dt = ω ω = = = = ( + ω) ( + ω) ( + ω) + ω Naloga zahtva absoluto vrdost prvaal fukci H(ω) pri frkvci 4 khz zato imagiari potci štvila v štvcih izrazov (.) i (.4) ičsar sprmiata sa ua absoluta vrdost vdo. (.4)
4. auar Procsira sigalov 4/8 H ( ω) ω = = = + ω + ω + π ( ) ( f ) = =,7 4 5 + (π 4 s s) (.5). aloga Izračuat DF trasform sigala x()= y() * y(), č y() poda z ačbo: za y ( ) = drugod Nasvt: uporabit pravila za DF trasformacio. šitv: Naloga zahtva izraču časovo diskrtga Fourirvga trasforma (DF) sigala x(), ki ga dobimo s kovolucio sigala y() samga s sbo. o lahko razummo v čisto matmatičm smislu ali pa kot odziv sistma, ki ga vzbuamo z govim lastim impulzim odzivom. Prav zaradi tga am i trba račuati sigala y(), kr lahko v ta am uporabimo osovo lastost trasformaci iz časovga v frkvči prostor. V primru diskrt trasformaci vla: x ( ) X ( ) x ( ) y ( ) X( ) Y ( ) y ( ) y ( ) (.) Zato apr izračuamo l DF sigala y(), ki ga prikazu tudi graf a sliki. y() - 4 6 8 Slika.: Graf sigala y()
4. auar Procsira sigalov 5/8 Y ( ) = y ( ) = = + + + = = = ( ) ( ) 4 = + + + = = = = si si Z upoštvam pravila (.) i rzultatom (.) dobimo kočo ršitv si X( ) = ( Y( )) = si (.) (.) S tm zadaa aloga rša. Za ilustracio si poglmo š sam sigal x() i graf absolut vrdosti fukci X( ). Sigal x() izračuamo z dirkto kovolucio v časovm prostoru. x() - 4 4 6 8 Slika.: Graf sigala x() = y()* y() 5 5 π π Slika.: Graf X( )
4. auar Procsira sigalov 6/8 4. aloga Napišit difrčo ačbo za podao časovo diskrto liaro vz! V z-ravii arišit lgo ičl i polov sistmsk fukci H(z)! Ali sistm stabil? Izračuat kvadrat frkvčga odziva H( ) i ga skicirat! x() z - z - - šitv: y() Gora shma prikazu diskrt sistm, ki ima povratih vzav, zato ima impulzi odziv kočo traa. Difrča ačba podaga sistma y ( ) = x ( ) x ( ) + x ( ) (4.) Ničl i pol sistmsk fukci H(z) določimo z z-trasformacio difrč ačb sistma (4.) Y( z) = X( z) X( z) z + X( z) z = X( z)( z + z ) (4.) Y( z) z z+ H( z) = = z + z = (4.) X( z) z Iz (4.) razvido, da ima H(z) dvoi pol pri z =. Ničl sistmsk fukci H(z) so kori polioma drug stop v imovalcu z, z+ =, ± 44 ± 4 = = = ± = + = > (4.4) Podao časovo diskrto liaro vz stabilo, kr ima koč impulzi odziv, kar vidimo tudi iz lg obh polov, ki sta v izhodišču z-ravi i tako zotra kroga ot z =. Lga ičl i pommba za stabilost vzi. Frkvči odziv dobimo z izračuom vrdosti sistmsk fukci a krogu ot z= H ( ) = Hz ( ) = + (4.5) Močosti frkvči odziv H( ) izračuamo kot produkt Kr so koficiti polioma H(z) rali, vla * H ( ) = H ( ) H ( ) (4.6) * * H( z) = H( z ), (4.7)
4. auar Procsira sigalov 7/8 zato dobimo H ( ) = H ( ) H ( ) = ( + )( + ) = = + + 4 4 + 4 + 4= = 9 6( + ) + ( + ) = = 9 cos + 4cos (4.8) Potk fukci poda z grafom a sliki 4. 5 5 5....4.5.6.7.8.9 π Slika 4.:Močosti frkvči odziv H( ) Potk absolut vrdosti frkvčga odziva lahko za določ vrdosti ormira krož frkvc določimo iz lg polov i ičl v z ravii. z= z- =+ p p z- - =- Slika 4.: Lga ičl i polov sistmsk fukci H(z) daga diskrtga sistma
4. auar Procsira sigalov 8/8 Fukcio H( ) lahko zapišmo tudi v razstavli obliki ( z )( z ) z z= H( ) = = = r r (4.9) ovalc v ačbi (4.9) izgi, kr gova absoluta vrdost za vs aka. Z r i r smo ozačili absoluti vrdosti komplksih štvil (kazalcv) z - i z, katrih produkt odloča o absoluti vrdosti frkvčga odziva. Na sliki 4.4 so prikazai položai omih komplksih štvil iz katrih moč zlahka izračuati dolži ustrzih vktorv s katrimi poazaramo komplksa štvila. r r r - - r - - H( = ) = = H( = π/) = ( + ) = 5 r r - r - mi r r - - H( = π) = ( + ) ( + ) = 5 Slika 4.4: Začil točk za katr lahko ostavo določimo vrdost frkvčga odziva i oca položaa frkvc mi Vrdosti frkvčga odziva izračuaga a podlagi gomtrisko določih dolži kazalcv r i r (slika 4.4) lahko primramo tudi z ksakto izračuaim grafom v sliki 4..