EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι

EIII.7 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής.κερδοφορί 3.Προσφορά προιόντος.κέρδος μονοπωλίου 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής Θεωρούμε πργωγή ποσότητς σε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού όπου η μονδιί τιμή είνι δοσμένη εξωγενώς: P= Συτή την περίπτωση το έσοδο θ είνι R Π= C(), = κι το κέρδος (rofit): όπου η συνάρτηση κόστους C= C() είνι συνήθως κυρτή, λλά όχι πρίτητ. Ενίοτε είνι ρχικά κοίλη πριν κτλήξει ν γίνει κυρτή. Το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π= C() } Θ πριστάνουμε τις μετβλητές με κεφλί γράμμτ, τις βέλτιστες ποσότητες κι τις πρμέτρους με μικρά. Έτσι η βέλτιστη ποσότητ πργωγής κι το μέγιστο κέρδος θ πριστάνοντι ντίστοιχ με:,π = Π() Μεγιστοποίηση κέρδους ντγωνιστικής πργωγής Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ πργωγής, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η τιμή είνι μη συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι κρόττο στο ριστερό σύνορο: Π () C () Δηλδή η μονδιί τιμή είνι μικρότερη πό το ρχικό ορικό κόστος.. >. Λέμε ότι η τιμή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό κρόττο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π () =, Π () } {= C (), C () } {= (), () } Υπενθυμίζουμε ότι ν η συνάρτηση κόστους είνι κυρτή, τότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ κι οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες ικνοποιείτι δίνει την λύση. Σε κάθε περίπτωση, ν η τιμή είνι συμφέρουσ κι η λύση φργμένη, τότε στη βέλτιστη πργωγή το ορικό κόστος είνι ίσο με την μονδιί τιμή κι υξνόμενο. Δηλδή στη βέλτιστη πργωγή το ορικό κόστος δισχίζει την μονδιί τιμή πό κάτω προς τ πάνω, οπότε είνι μικρότερο πριν κι μεγλύτερο μετά. Ειδικότερ όσον φορά την προσφορά προιόντος, προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν η τιμή είνι μη συμφέρουσ τότε η ποσότητ προσφοράς είνι μηδενική: =. Αν η τιμή είνι συμφέρουσ τότε η ποσότητ προσφοράς > είνι υτή στην οποί το ορικό κόστος συμπίπτει με την μονδιί τιμή: = C () γι > Η πρπάνω σχέση είνι η γνωστή ντίστροφη συνάρτηση προσφοράς (inverse demand function). Διπιστώνουμε ότι συμπίπτει με την συνάρτηση ορικού κόστους, εφόσον η τιμή είνι συμφέρουσ. Μπορεί ν ερμηνευτεί κι ως τιμή προσφοράς. Πρτήρηση. Αν δεν έχουμε στθερό κόστος τότε η συμφέρουσ τιμή είνι κι κερδοφόρος: π= Π() > Π() = Αν όμως έχουμε στθερό κόστος το οποίο υπάρχει κι χωρίς πργωγή, τότε η συμφέρουσ τιμή δεν είνι πρίτητ κερδοφόρος, λλά είνι κλλίτερη πό την ζημιά του στθερού κόστους της μη πργωγής: π= Π() > Π() = C() Πράδειγμ. Θεωρούμε το πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους γι ντγωνιστική πργωγή με συνάρτηση κόστους: C= + + C = + Λύση. Είνι το κλσικό πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους τύπου ΚΠ που εκφράζετι ως διφορά μις κοίλης (γρμμικής) συνάρτηση εσόδου κι μις κυρτής συνάρτησης κόστους, στο θετικό διάστημ: Π= R C, όπου: R() =, C() = + +

Με στθερό ορικό έσοδο κι ύξον ορικό κόστος: R =, C = + όπου: R () =, C () = < Η λύση, θ είνι:. = ν R () C (), μη συμφέρουσ <. > ν R () > C () >, συμφέρουσ. = > > Συτή την περίπτωση η λύση δίνετι πό την σχέση: = C () = + γι {>, > } μη συμφέρουσ συμφέρουσ κερδοφόρος Όπως φίνετι στ σχήμτ πρπάνω είνι το σημείο όπου το ύξον ορικό κόστος κόβει την μονδιί τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Τo μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση της τιμής, είνι: C() = ν π= C() = + ( ) / ν > Θ έχουμε κερδοφορί μόνο ν: π= + ( ) / > >, οπότε > Βρήκμε πρπάνω την τιμή προσφοράς. Αντιστρέφοντς βρίσκουμε κι την ποσότητ προσφοράς: ν = +, {>, > } = ( ) / ν Πρτηρούμε ότι ως συνρτήσεις της τιμής : Η προσφορά προιόντος: = (), είνι ύξουσ. Το μέγιστο κέρδος:π= π(), είνι ύξουσ κυρτή, δηλδή υξάνει με υξνόμενο ρυθμό, οπότε κυμινόμενες τιμές του προιόντος είνι περισσότερο προσοδοφόρες πό στθερές ενδιάμεσες, κτά μέσο όρο.. Κερδοφορί Θ εξετάσουμε τώρ το πρόβλημ κερδοφορίς χρησιμοποιώντς το ορικό κι τ μέσ κόστη. Το συνολικό κόστος C() προκύπτει ως άθροισμ του στθερού κόστους κι του μετβλητού κόστους: C() = FC+ VC() Το κέρδος ντγωνιστικής πργωγής γράφετι: Π= C() = [ AC], όπου: AC= C() / είνι το μέσο κόστος Αν πρλείψουμε το στθερό κόστος τότε βρίσκουμε το μετβλητό ή λειτουργικό κέρδος (variable, oerational rofit): VΠ= VC() = [ AVC], όπου: AVC= VC() / είνι το μέσο μετβλητό κόστος Έτσι το (κθρό) κέρδος προκύπτει φιρώντς το στθερό κόστος πό το λειτουργικό κέρδος: Π= VΠ FC Το κέρδος κι το λειτουργικό κέρδος έχουν μέγιστο στο ίδιο διότι διφέρουν μετξύ τους μόνο κτά μι στθερά. Πρτηρούμε ότι η τιμή είνι: συμφέρουσ το μέγιστο λειτουργικό κέρδος είνι γνήσι θετικό κερδοφόρος το μέγιστο κέρδος είνι γνήσι θετικό, δηλδή το λειτουργικό κέρδος γνήσι μεγλύτερο πό το στθερό κόστος. Διπιστώνουμε ότι:. Σε μι ντγωνιστική πργωγή, η μονδιί τιμή είνι συμφέρουσ είνι γνήσι μεγλύτερη πό το ελάχιστο μέσο μετβλητό κόστος: > > = min{avc}, Συτή την περίπτωση το μέγιστο λειτουργικό κέρδος: vπ= VΠ() > είνι γνήσι θετικό κι δίνετι πό το προσημσμένο εμβδό μετξύ της οριζόντις ευθείς της τιμής κι της κμπύλης ορικού κόστους: vπ = [ C ()]d >. Σε μι ντγωνιστική πργωγή, η μονδιί τιμή είνι κερδοφόρ είνι γνήσι μεγλύτερη πό το ελάχιστο μέσο κόστος: π> > = min{ac} = C () π= π() = ()

Συτή την περίπτωση το μέγιστο λειτουργικό κέρδος όχι μόνο είνι γνήσι θετικό, λλά υπερκλύπτει το στθερό κόστος κι η γνήσι θετική διφορά τους μς δίνει το μέγιστο κέρδος. Πράδειγμ. Θ λύσουμε πάλι το προηγούμενο πράδειγμ χρησιμοποιώντς τώρ το ορικό κι τ μέσ κόστη. Έχουμε: C= + + = +, AC= + +, min{ac} = VC= + AVC= +, min{avc} = Στο πρώτο σχήμ δίνουμε γρφικά το ελάχιστο του μέσου κόστους κι το ελάχιστο του μέσου μετβλητού κόστους στην ντίστοιχη τομή τους με το ορικό, σύμφων με την γνωστή θεωρί: AC= min AC=, AVC= min AVC= Πρτηρούμε ότι το ελάχιστο μέσο μετβλητό κόστος είνι το ρχικό κι συμπίπτει με το ρχικό ορικό κόστος: min AVC= AVC() = () = AC = min AC AVC < < = min AVC = >, vπ> >,π > μη συμφέρουσ συμφέρουσ κερδοφόρος μέγιστο κέρδος ντγωνιστικής πργωγής με C= + + Πρτηρούμε κι τ εξής:. Στο δεύτερο σχήμ η τιμή είνι μη συμφέρουσ διότι είνι μικρότερη πό το min AVC=. Στο τρίτο σχήμ η τιμή είνι συμφέρουσ διότι είνι γνήσι μεγλύτερη πό το min AVC=, λλά είνι μη κερδοφόρ διότι είνι μικρότερη του min AC=. 3. Στο τέτρτο σχήμ η τιμή είνι κι κερδοφόρ διότι είνι γνήσι μεγλύτερη πό το min AC=. Στο δεύτερο κι τρίτο σχήμ η βέλτιστη πργωγή βρίσκετι εκεί όπου το ορικό κόστος κόβει την τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Γρφική Λύση. Δίνουμε πρκάτω κι μι γρφική λύση του πρπάνω προβλήμτος μεγιστοποίησης κέρδους, χρησιμοποιώντς τις ρχικές συνρτήσεις κόστους C= C() κι εσόδου R= με τις πρπάνω τρεις διφορετικές τιμές που δίνοντι πό τις κλίσεις της ευθείς του εσόδου. Σε κάθε περίπτωση το βέλος πριστάνει το μέγιστο κέρδος. Ειδικότερ η τιμή θ είνι: μη συμφέρουσ όπως στο πρώτο σχήμ, ν = min{avc} = συμφέρουσ όπως στο δεύτερο σχήμ, ν > = min{avc} = κερδοφόρος όπως στο τρίτο σχήμ ν > = min{ac} =. C C R π> FC= π< R FC< π = < < μη συμφέρουσ συμφέρουσ μη κερδοφόρος.κερδοφόρος μέγιστο κέρδος ντγωνιστικής πργωγής με C= + + 3 R C

Πράδειγμ. Θ εξετάσουμε κι έν πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους γι ντγωνιστική πργωγή, που δεν είνι ΚΠ. Ειδικότερ η συνάρτηση κόστους δεν είνι κυρτή. Είνι κυβική, ρχικά κοίλη πριν κτλήξει ν είνι κυρτή. Έχουμε οικονομίες κλίμκς: 3 C= 9+ 3 + / 3 = 3 +, AC= 9 / + 3 + / 3, AVC= 3 + / 3. Στο ελάχιστό του, το μέσο μετβλητό κόστος συμπίπτει με το ορικό, οπότε βρίσκουμε: AVC= 3= {=.5, AVC(.5) =.5} { =.5, =.5}. Στο ελάχιστό του, το μέσο κόστος συμπίπτει με το ορικό, οπότε βρίσκουμε: 3 AC= 3 7= = 3, AC(3) = } { = 3, = } Συμπερίνουμε ότι: η ελάχιστη συμφέρουσ τιμή είνι η =.5 με πργωγή =.5 η ελάχιστη κερδοφόρ τιμή είνι = με πργωγή = 3 Στο πρκάτω γράφημ δίνουμε ορισμέν χρκτηριστικά της λύσης. Στο πρώτο σχήμ εντοπίζουμε την συμφέρουσ τιμή κι την κερδοφόρο τιμή. Βρίσκοντι στις τομές του ορικού κόστους με τ ντίστοιχ μέσ κόστη. Στο δεύτερο σχήμ δίνουμε μι συμφέρουσ τιμή κι η λύση βρίσκετι στο σημείο όπου η κμπύλη ορικού κόστους κόβει την τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Το ίδιο στο τρίτο σχήμ όπου η τιμή είνι τώρ κι κερδοφόρος. AC AVC βέλτιστη ντγωνιστική πργωγή με C= 9+ 3 + 3 3 Πρτήρηση. Σε ντίθεση με το προηγούμενο πράδειγμ, τώρ η τιμή μπορεί ν είνι συμφέρουσ πρότι μικρότερη πό το ρχικό ορικό κόστος, διότι ενώ ρχικά έχουμε ζημιά, στη συνέχει έχουμε κερδοφορί διότι το ορικό κόστος είνι ρχικά φθίνον. Κόβει την τιμή σε δύο σημεί, λλά μόνο το δεύτερο σημείο που κόβει πό κάτω προς τ πάνω είνι ποδεκτό. Σε κάθε περίπτωση το λειτουργικό κέρδος δίνετι πό το προσημσμένο εμβδό μετξύ της ευθείς κι της κμπύλης. 3. Προσφορά προιόντος Διπιστώσμε ότι στην ντγωνιστική πργωγή η προσφορά προϊόντος ρχίζει με την ελάχιστη συμφέρουσ τιμή = min AVC κι ντίστοιχη ποσότητ, κι κθορίζετι έτσι ώστε το ορικό κόστος ν συμπίπτει με την τιμή κι ν είνι ύξον. Βρήκμε έτσι τις εξισώσεις προσφοράς: = γι =. C= + + = C () = + γι > 3 = γι =.5. C= 9+ 3 + 3 = C () = 3 + γι {> =.5, > =.5} Δηλδή, γι συμφέρουσες τιμές οι ντίστροφες συνρτήσεις προσφοράς συμπίπτουν με τις συνρτήσεις ορικού κόστους, όπως φίνετι κι στο πρκάτω γράφημ. C () =.5 C () = = = +, = = 3 +, =.5 προσφορά ντγωνιστικής πργωγής: = C (),

Πρτηρούμε ότι στο δεύτερο σχήμ, όπου η συνάρτηση κόστους είνι ρχικά γνήσι κοίλη με φθίνον ορικό κόστος, κθώς η μονδιί τιμή περνάει το κτώφλι του = min AVC κι γίνετι συμφέρουσ, η πργωγή εμφνίζει συνέχει κι πό μηδενική πηγίνει στην ντίστοιχη ποσότητ, πρκάμπτοντς τελείως το ενδιάμεσο τμήμ. Πρτήρηση. Σόλ τ πρπάνω υποθέσμε ότι το στθερό κόστος υπάρχει κι με μηδενική πργωγή: C() = FC Αν υποθέσουμε ότι το στθερό κόστος εμφνίζετι μόνο με την ένρξη της πργωγής, τότε η μηδενική πργωγή θ έχει μηδενικό κόστος: C() = Συτή την περίπτωση έχουμε πάντοτε την επιλογή της μηδενικής πργωγής με μηδενικό κόστος, οπότε η συμφέρουσ θ συμπίπτει με την κερδοφόρο. Η πργωγή θ ρχίσει με τιμή κι ποσότητ. Πρτήρηση. Αν η συνάρτηση κόστους είνι γρμμική: C= C + m τότε η εξίσωση ζήτησης γράφετι: C () = m = C () = m Η προσφορά είνι πλήρως ελστική: ν < m = ν > m. Κέρδος μονοπωλίου Θεωρούμε τώρ κι την περίπτωση μεγιστοποίησης κέρδους σε συνθήκες ελλιπούς ντγωνισμού, ειδικότερ συνθήκες μονοπωλίου (monooly), όπου η μονδιί τιμή δεν είνι δοσμένη λλά συνδέετι με την ποσότητ σύμφων με την εξίσωση ζήτησης του προϊόντος: P= P(), όπου: P() = D () : ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Γι το έσοδο κι το κέρδος, βρίσκουμε: R() = P() Π() = R() C(), όπου: C() : συνάρτηση κόστους Πράδειγμ. Θεωρούμε τη γρμμική συνάρτηση ζήτησης: = P / P= ( ) που δίνει έσοδο: R= P= ( )= 8 Είνι κοίλη συνάρτηση με μέγιστο στο στάσιμο: R () = 8 = = = όπως φίνετι κι στο γράφημ πρπλεύρως. Θεωρούμε τώρ κι μι γρμμική συνάρτηση κόστους: C= F+, όπου: : μονδιίο κόστος Το κέρδος πριστάνετι με την κοίλη συνάρτηση: Π() = R() C() = (8 ) (F+ ) = F + (8 ) Γι την πργωγή μέγιστου κέρδους δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. = ν Π() = 8 8. Το μονδιίο κόστος είνι σχετικά μεγάλο, η πργωγή είνι μη συμφέρουσ, κι το κέρδος θ δίνετι πό την ζημιά του στθερού κόστους: π= Π() = F. > ν Π () = 8 > < 8. Η πργωγή είνι 8 R () = 8 συμφέρουσ κι βρίσκετι στο στάσιμο: VC, < 8 Π () = (8 ) = = / Πρτηρούμε ότι είνι πάντοτε μικρότερη πό την πργωγή = που δίνει μέγιστο έσοδο, όπως φίνετι κι στο γράφημ πρπλεύρως, όπου δείχνουμε μόνο το μετβλητό κόστος που μς δίνει το λειτουργικό κέρδος. 8 P() R() 5

Ειδικότερ γι το μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση του μονδιίου κόστους, βρίσκουμε: π= Π() = F + (8 ) = F + (8 ) = F + (8 ) / 8 Είνι φθίνουσ κυρτή. Η πργωγή είνι κερδοφόρος ότν το = 8 μονδιίο κόστος είνι γνήσι μικρότερο του που δίνετι F πό τη σχέση: π= F + (8 ) / 8= = Θεωρούμε τώρ την γενική περίπτωση μεγιστοποίησης κέρδους όπου η μονδιί τιμή μπορεί ν είνι συνάρτηση της ποσότητς, σύμφων με κάποι εξίσωση ζήτησης: max{π() = R() C() = P() C() }, όπου: P() = D () Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ πργωγής δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Η πργωγή είνι μη συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι κρόττο στο ριστερό σύνορο: Π () R () C () P() C () όπου P() είνι η μέγιστη ποδεκτή τιμή που δέχετι η κτνάλωση.. >. H πργωγή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύουν κι οι γνωστές συνθήκες γι εσωτερικό κρόττο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π () =,Π () } {R () = C (), R () C ()} {ΜR() = (), MR () ()} Πρτήρηση. Από την συνθήκη ης τάξεως συμπερίνουμε, ότι στην βέλτιστη πργωγή η κμπύλη ορικού εσόδου κόβει την κμπύλη ορικού κόστους πό πάνω προς τ κάτω, είνι μεγλύτερη πριν κι μικρότερη μετά. Αλλά σε ντίθεση με την ντγωνιστική πργωγή τώρ στην βέλτιστη πργωγή μφότερ τ ορικά μεγέθη μπορεί ν είνι ύξοντ ή φθίνοντ. Ειδικότερ, γι γρμμική συνάρτηση ζήτησης η συνθήκη δεύτερης τάξης γράφετι: R () C () P C (), όπου: P < 5. Κέρδος με συντελεστή πργωγής Στη συνέχει θ εξετάσουμε μι πργωγική διδικσί όπου η πργωγή κι το κόστος δεν συνδέοντι πευθείς, λλά μέσω ενός συντελεστή πργωγής τον οποίο συμβτικά θ ποκλούμε εργσί (abor). Τώρ η πργωγή θ είνι συνάρτηση της εργσίς: = () συνήθως κοίλη συνάρτηση λλά όχι πρίτητ. Ενίοτε μπορεί ν είνι στην ρχή κυρτή πριν κτλήξει ν είνι κοίλη. Θ υποθέσουμε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού στην γορά του προιόντος κι της εργσίς, οπότε η μονδιί τιμή του προιόντος P, κι το μονδιίο κόστος της εργσίς W θ είνι πράμετροι, δηλδή στθερές κθορισμένες εξωγενώς: P=, W = Το κόστος κι το έσοδο της πργωγής θ είνι: C=, R= () Υποθέτοντς ως συνήθως ότι το στθερό κόστος υπάρχει κι χωρίς πργωγή, το πρλείψμε ν υπάρχει, δεδομένου ότι δεν επηρεάζει την βέλτιστη πργωγή λλά μόνο το επίπεδο του κέρδους κτά μι στθερά. Έτσι, η πρκάτω μελέτη φορά στην πργμτικότητ το λειτουργικό κέρδος. Το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π() = () } Μεγιστοποίηση κέρδους με συντελεστή πργωγής Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ εργσίς l, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. l =. Λέμε ότι οι τιμές {,} είνι μη συμφέρουσες. Θ ισχύσει κι η γνωστή συνθήκη γι μέγιστο στο ριστερό σύνορο: Π () {R () C ()} () π() F+ 8

. l >. Λέμε ότι οι τιμές {,} είνι συμφέρουσες. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό μέγιστο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π () =,Π () } {R () = C (), R () C ()} { () =, () } γι =l Υπενθυμίζουμε ότι ν η συνάρτηση πργωγής () είνι κοίλη, ως συνήθως, τότε κι η συνάρτηση κέρδους Π() θ είνι κοίλη. Θ έχουμε πρόβλημ Κυρτού Προγρμμτισμού (ΚΠ), οπότε η λύση θ δίνετι πό οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες που ικνοποιείτι. Σε κάθε περίπτωση, ν οι τιμές είνι συμφέρουσες, τότε στη βέλτιστη πργωγή το ορικό έσοδο είνι ίσο με το ορικό κόστος, που εδώ συμπίπτει με το μονδιίο κόστος της εργσίς, κι φθίνον. Δηλδή στη βέλτιστη πργωγή το ορικό έσοδο δισχίζει το μονδιίο κόστος της εργσίς πό πάνω προς τ κάτω, οπότε είνι μεγλύτερο πριν κι μικρότερο μετά. Λύνοντς το πρόβλημ βρίσκουμε τη λύση που είνι η βέλτιστη ποσότητ εργσίς, ως συνάρτηση των πρμέτρων {,} : l= l (,), ζήτηση εργσίς (labor demand) Στη συνέχει ντικθιστώντς βρίσκουμε επίσης την βέλτιστη ποσότητ πργωγής, κι το μέγιστο κέρδος επίσης ως συνρτήσεις των πρμέτρων: (,) = ( l ), προσφορά προιόντος (roduct suly) π(,) = Π( l) = ( l) l, μέγιστο κέρδος (maximal rofit) Ειδικότερ όσον φορά την ζήτηση εργσίς, προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν οι τιμές {,} είνι μη συμφέρουσες τότε η ζήτηση εργσίς είνι μηδενική: l =. Αν οι τιμές {, } είνι συμφέρουσες τότε η ζήτηση εργσίς l > είνι υτή στην οποί το ορικό έσοδο συμπίπτει με την μονδιί τιμή της εργσίς: ( l) = ( l ) = / Λύνοντς την εξίσωση ως προς l βρίσκουμε την συνάρτηση ζήτησης (demand function) γι τις συμφέρουσες τιμές.. Πρτηρούμε ότι η λύση του προβλήμτος εξρτάτι μόνο πό τον λόγο των τιμών: / R= Πράδειγμ. = max{π= } Πρόβλημ ΚΠ με στάσιμη λύση, όπως στο γράφημ, όπου το βέλος πριστάνει το μέγιστο κέρδος. = = = = Η λύση βρίσκετι εκεί όπου το φθίνον ορικό έσοδο κόβει το μονδιίο κόστος εργσίς πό πάνω προς τ κάτω. Βρίσκουμε: l =,,π = l = = l = Πράδειγμ. = ln(+ ) max{π= ln(+ ) } Πρόβλημ ΚΠ, με λύση:. Στάσιμη εσωτερική: Π () = = l = ν l > > +. Συνορική μηδενική: l =, ν Π () = R = / Έτσι θ έχουμε πργωγή: l > μόνο ν η μονδιί τιμή του προιόντος είνι γνήσι μεγλύτερη πό το μονδιίο κόστος της εργσίς. π l l C= C = 7

Πρτήρηση. Η λύση μπορεί ν βρεθεί κι γρφικά πρτηρώντς ότι οι συνρτήσεις εσόδου ln(+ ) κι κόστους ρχίζουν πό το (,) με κλίσεις κι ντίστοιχ. Ανάλογ ποι είνι μεγλύτερη, βρίσκουμε το έν πό τ δύο σχήμτ πρπλεύρως. Στο δεξιό το κόστος εργσίς είνι σχετικά υψηλό κι δεν συμφέρει η πργωγή. Στό ριστερό το κόστος εργσίς είνι σχετικά χμηλό, οπότε συμφέρει η πργωγή. Συτή την περίπτωση η ζητούμενη εργσί είνι υτή στην οποί το φθίνον πργόμενο l > l > ορικό έσοδο συνντάει το μονδιίο κόστος της εργσίς. Η λύση πριστάνετι με τον πρκάτω πίνκ. Δίνουμε κι το γράφημ του μέγιστου κέρδους π ως συνάρτησης του κι του. C = R > C R C= l = l = R= = ln(+ } C R συνθήκη l π > / ln( / ) ln( / ) ( ) π= π() π= π() Πρτηρούμε ότι ως συνρτήσεις των πρμέτρων {,} : Η ζήτηση εργσίς l= l (, ) κι η προσφορά προιόντος = (,) εξρτώντι μόνο πό τον λόγο / κι είνι: ύξουσες, φθίνουσες. Το μέγιστο κέρδος π= π(,) είνι ύξουσ κι φθίνουσ, κυρτή ως προς μφότερες. Επομένως κυμινόμενες τιμές {,} είνι περισσότερο προσοδοφόρες πό ενδιάμεσες στθερές, κτά μέσο όρο. Πράδειγμ. {= με < < } max{π= } Έχουμε πρόβλημ ΚΠ, με στάσιμη λύση: 8 = = ( ) Π = = l = =, l, π= l l = Πράδειγμ. = max{π= c}. Έχουμε πάνω περιορισμό στην εργσί. Τώρ η συνάρτηση πργωγής είνι κυρτή ντί ν είνι κοίλη. Το ίδιο ισχύει γι την συνάρτηση κέρδους. Επομένως το μέγιστο κέρδος θ βρίσκετι σέν πό τ δύο π= π() σύνορ: c, όπου είνι μεγλύτερο. Έχουμε: c ν c c > > / c π= max{π() =,Π(c) = c c} = ν c c / c Έτσι θ έχουμε πργωγή, κι μάλιστ την μέγιστη επιτρεπτή, μόνο ν η μονδιί τιμή είνι σχετικά μεγάλη. Η λύση είνι κρί λόγω της κυρτότητς της συνάρτησης πργωγής. Αν δεν υπήρχε ο πάνω περιορισμός η δεύτερη περίπτωση θ έδινε άπειρη λύση. Πρτήρηση. Όπως φίνετι στ γρφήμτ πρπάνω, ισχύουν πάλι οι ιδιότητες μονοτονίς κι κυρτότητς όπως στο προηγούμενο πράδειγμ.. Ζήτηση προιόντος στην κτνάλωση π= π() Αντίστοιχο πρόβλημ βελτιστοποίησης εμφνίζετι στην κτνάλωση. Θεωρούμε ότι η κτνάλωση μις ποσότητς:, ενός γθού έχει κάποι ξί η οποί χρκτηρίζετι πό μι συνάρτηση χρησιμότητς: U(), ενώ συνεπάγετι κι μι δπάνη η οποί χρκτηρίζετι πό μι συνάρτηση κόστους: C(). Συνήθως υποθέτουμε ότι η συνάρτηση χρησιμότητς είνι γνήσι ύξουσ κι κοίλη: U() U () >, U () Δηλδή, η ορική χρησιμότητ της κτνάλωσης θ είνι θετική φθίνουσ. Σε ντίθεση με τις συνρτήσεις πργωγής η συνάρτηση χρησιμότητς δεν έχει πρίτητ θετικές τιμές. Αν θεωρήσουμε ότι / c c

εκφράζει το χρημτικό ποσό που θ ήτν διτεθειμένος ν δώσει ο κτνλωτής γι ν ποκτήσει την συγκεκριμένη ποσότητ, τότε το ρνητικό μέγεθος θ ντιστοιχούσε σε μοιβή του. Υποθέτοντς συνθήκες πλήρους ντγωνισμού στην γορά του προιόντος όπου η μονδιί τιμή του γθού είνι δοσμένη: P=, η δπάνη θ χρκτηρίζετι πό μι γρμμική συνάρτηση κόστους: C= Ως ποτέλεσμ της κτνάλωσης θεωρούμε ότι προκύπτει γι τον κτνλωτή έν όφελος (benefit) στη μορφή κέρδους, που δίνετι πό την διφορά: B() = U(B) C(B) = U(B) Το πρόβλημ βελτιστοποίησης γι τον κτνλωτή διτυπώνετι στη μορφή: max{b() = U() } Το πρόβλημ είνι ίδιο με το προηγούμενο της μεγιστοποίησης κέρδους με συντελεστή πργωγής, όπου η συνάρτηση χρησιμότητς ντικθιστά την συνάρτηση εσόδου, κι ντιμετωπίζετι με τον ίδιο τρόπο. Μεγιστοποίηση οφέλους Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ κτνάλωσης, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η τιμή είνι μη συμφέρουσa. Θ ισχύσει κι η γνωστή συνθήκη γι μέγιστο στο ριστερό σύνορο: B () {U () C ()} U (). >. Λέμε ότι η τιμή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό μέγιστο, εφόσον η λύση είνι φργμένη: {Β () =, B () } {U () = C (), U () C ()} {U () =, U () }, γι = Έτσι, ν η τιμή είνι συμφέρουσ, τότε στη βέλτιστη κτνάλωση η ορική χρησιμότητ είνι ίση με το ορικό κόστος που είνι η μονδιί τιμή του γθού. Δηλδή στη βέλτιστη κτνάλωση η ορική χρησιμότητ δισχίζει την μονδιί τιμή του γθού πό πάνω προς τ κάτω, οπότε είνι μεγλύτερη πριν κι μικρότερη μετά. Λύνοντς το πρόβλημ βρίσκουμε τη λύση που είνι η βέλτιστη ποσότητ κτνάλωσης, ως συνάρτηση της πρμέτρου : = (), συνάρτηση ζήτησης γθού Προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν η τιμή είνι μη συμφέρουσ τότε η ζήτηση είνι μηδενική: =. Αν η τιμή είνι συμφέρουσ τότε η ζήτηση > είνι υτή στην οποί η ορική χρησιμότητ συμπίπτει με την μονδιί τιμή του γθού κόβοντάς την πό πάνω προς τ κάτω: U () = Η πρπάνω σχέση ορίζει την ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης (inverse demand function). Πράδειγμ. U= ln(+ ) max{b= ln(+ ) } C = Είνι πρόβλημ ΚΠ, με λύση:. Στάσιμη εσωτερική: B () = = = +. Συνορική μηδενική: =, ν U () = ν > < Έτσι θ έχουμε κτνάλωση: > μόνο ν η μονδιί τιμή του γθού είνι μικρότερη πό μι κρίσιμη τιμή. Η λύση βρίσκετι κι γρφικά όπως στο ντίστοιχο πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους με συντελεστή. Στ δύο γρφήμτ πρπλεύρως δείχνουμε μι μη συμφέρουσ κι μι συμφέρουσ τιμή. Βρήκμε πρπάνω κι την συνάρτηση ζήτησης στη μορφή: ν = D() = / ν < Δίνουμε το γράφημά της στο σχήμ πρπλεύρως = > U C = R = D() = 9

7. Συνάρτηση μέγιστου κέρδους Θεωρούμε πάλι το ρχικό πρόβλημ μεγιστοποίηση κέρδους στη μορφή: max{π= C() } Η λύση μς δίνει την ζήτηση προιόντος κι το μέγιστο κέρδος ως συνρτήσεις της μονδιίς τιμής: = (),π = π() Οι συνρτήσεις υτές έχουν τις πρκάτω ιδιότητες: Η συνάρτηση ζήτησης είνι φθίνουσ Η συνάρτηση μέγιστου κέρδους είνι ύξουσ κυρτή Τ πρπάνω ισχύουν γι οιδήποτε συνάρτηση κόστους, γι συνορικές κι εσωτερικές λύσεις, κι επληθεύοντι σόλ τ πρδείγμτ που εξετάσμε Απόδειξη. Θ δώσουμε την πόδειξη μόνο γι εσωτερικές λύσεις. Αρχίζουμε με τις συνθήκες που πρέπει ν ισχύουν σε εσωτερική λύση: {Π () =,Π () } {= C (), C () }. H λύση = () ορίζετι πλεγμέν πό την εξίσωση στσιμότητς, οπότε πργωγίζουμε πλεγμέν ως προς, κι βρίσκουμε: = C () = C () () () = C () Επομένως η συνάρτηση ζήτησης είνι ύξουσ διότι έχει θετική πράγωγο.. Στη συνέχει εξετάζουμε την συνάρτηση μέγιστου κέρδους: π(() = C() Πργωγίζοντς ως προς, βρίσκουμε: π() = C() π = + C () = + [ C ()] = >, διότι C () = Η πράγωγος είνι θετική κι ύξουσ, επομένως η συνάρτηση είνι ύξουσ κυρτή Οι ιδιότητες μονοτονίς κι κυρτότητς της συνάρτησης μέγιστου κέρδους μπορούν ν διτυπωθούν κι ως εξής: Το μέγιστο κέρδος υξάνει με ύξοντ ρυθμό ότν υξάνει η τιμή του προϊόντος. Επίσης, μετβλλόμενες τιμές του προιόντος είνι περισσότερο κερδοφόροι πό ντίστοιχες στθερές ενδιάμεσες τιμές, κτά μέσο όρο. Αντίστοιχες ιδιότητες ισχύουν στο πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους με ένν συντελεστή πργωγής, στη μορφή: max{π() = () } Τώρ έχουμε δύο πρμέτρους {,}, κι η λύση μς δίνει τις συνρτήσεις: (,) l : ζήτηση εργσίς (labor demand) (,) = ( l ) : προσφορά προϊόντος (roduct suly) π(, ) = ( l) l : (μέγιστο) κέρδος (rofit) Με τον ίδιο βσικά τρόπο όπως κι προηγουμένως, ποδεικνύετι ότι οι συνρτήσεις υτές έχουν τις πρκάτω ιδιότητες νεξάρτητ της συγκεκριμένης συνάρτησης πργωγής(), ως εξής:. Η συνάρτηση ζήτησης εργσίς l (, ), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κι εξρτάτι μόνο πό τον λόγο /. Η συνάρτηση προσφοράς προϊόντος (,), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κι εξρτάτι μόνο πό τον λόγο / 3. Η συνάρτηση μέγιστου κέρδους π(,), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κυρτή Τ πρπάνω ισχύουν γενικά, είτε η λύση είνι εσωτερική είτε συνορική, κι επληθεύοντι άμεσ στ πρδείγμτ που λύσμε πρπάνω. Οι ιδιότητες της συνάρτησης μέγιστου κέρδους εξετάζοντι στ πλίσι της γενικότερης θεωρίς της περιβάλλουσς.