CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2018 ETAPA JUDEȚEANĂ profilul tehnic Clasa a IX-a 1. Suma a trei numere este 100. Știind că primul număr este egal cu 40% din al doilea, iar al treilea număr este egal cu 150% din primul număr, determinați cele trei numere. 2. a) Fie D mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC. Să se demonstreze că #» AD = 1 2 ( #» AB + #» AC). b) Folosind, eventual, punctul anterior, să se demonstreze că #» GA+ #» GB+ #» GC = #» 0, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC. 3. Pe dreapta (d) se iau în ordine punctele M, M 0, M 1,..., M n, astfel încât MM 0 = 1 cm, M 0 M 1 = 3 cm, M 1 M 2 = 3 2 cm,..., M n 1 M n = 3 n cm. Să se determine lungimea segmentului MM 2018. 4. Fie a n = 2 1 2 + 3 2 6 + 4 3 12 + + n+1 n n(n+1), n N. Demonstrați că: a) a 8 = 2 3. b) a n > 1 1 n, pentru orice n N. c) Determinați n 15 astfel încât a n Q. 1
Clasa a X-a 1. a) Verificați egalitatea z z = z 2, z C. b) Determinați k > 0 astfel încât z 1 z 2 2 + z 1 +z 2 2 = k( z 1 2 + z 2 2 ), z 1, z 2 C. c) Dacă z 1, z 2 C astfel încât z 1 = 1, z 2 = 1 și z 1 +z 2 = 3, să se determine z 1 z 2. 2. Pentru x > 1, notăm cu S n (x) = x 1 +x 2 + +x n, n N. a) Calculați (1 x)s n (x). b) Deduceți că S n (x) = xn 1 x n (x 1), x > 1. c) Folosind, eventual, punctul anterior, să se demonstreze că 3 4 3 8 3... 2n 3 < 3, n 1. 3. Avem la dispoziție un număr nelimitat de jetoane pe care sunt scrise numerele 5, 7 sau 11. Un număr n N se numește norocos dacă găsim un număr de jetoane astfel încât suma numerelor scrise pe ele să fie egal cu n. Demonstrați că: a) Numărul 13 nu este norocos. b) Numerele 14, 15, 16 și 18 sunt norocoase. c) Orice număr natural n 14 este norocos. 4. La un concurs de atletism participă liceele A, B, C, fiecare liceu cu câte 3 elevi. Punctajul final al fiecărui liceu se calculează adunând punctele obținute de elevii liceului respectiv. Elevul sosit pe locul k (k = 1, 9) i se acordă 10 puncte. Juriul concursului a constatat că următoarele condiții sunt îndeplinite simultan: k (i) Oricare doi elevi nu au sosit în același timp. (ii) Primele trei locuri au fost ocupate de către elevi de la licee diferite. (iii) Elevii liceului C au sosit unul după altul. (iv) Fiecare elev de la liceul B avea chiar în fața sa un elev de la liceul A. Care este clasamentul final al celor trei licee în funcție de punctajul obținut de fiecare dintre ele? 2
Clasa a XI-a ( x 2 ) x +2x+9 1. a) Calculați l = lim x x 2. +5x+3 b) Determinați m, n R astfel încât lim x ( ) 2 3 2. Fie A = M 2 (R). 4 6 ( 2x2 +x+3 3x +x+5 mx n) 2 = 0. a) Calculați A 2 și det(a). ( ) a b b) Dacă X = M 2 (R) și det(x) = 0, demonstrați că X 2 = (a+d)x. c d c) Rezolvați ecuația X 2018 = A. x 2 x 4 16 3. Să se rezolve ecuația x 2 +1 x 4 +1 17 = 0. x 2 +x x 4 +x 2 20 4. Doi prieteni, Cristian și Andrei, măsoară fiecare distanța de acasă până la școală. Distanța măsurată de Cristian este egală cu x km, iar cea măsurată de Andrei este egală cu y km. Știind că există a, b, x+2y = 4 c {1, 2, 3}, nu neapărat distincte, astfel încât să fie verificat sistemul ax+ y = 5, determinați a, cx+3y = b+6 b, c și distanțele x și y. 3
Clasa a XII-a x 2 +ax+1, x 1 1. Determinați a, b R, astfel încât F : R R, F(x) = x 3 +x 2 4x+b, x > 1 o funcție f : R R, apoi determinați funcția f. să fie o primitivă pentru x e arcsinx 2. Calculați I(x) = dx, x ( 1, 1). 1 x 2 1 0 0 3. Considerăm mulțimea G = A(x) M 3(R) A(x) = 2x 1 0. Demonstrați că: 2x 2 +3x 2x 1 a) A(x) A(y) = A(x+y), x, y R. b) (G, ) este grup abelian. c) Grupul (R, +) este izomorf cu grupul (G, ) și calculați (A(x)) 2018. 4. Fie M o mulțime nevidă și o lege de compoziție pe M. Spunem că elementul d M este destroyer pentru operația dacă d x = x d = d, x, y M. Pentru numerele naturale a, b 2 fixate, definim pe R operația prin x y = bxy +abx+aby+a 2 b a, x, y R. a) Arătați că operația este asociativă și admite element destroyer. b) Demonstrați că E = ( 2018a) ( 2017a)... ( a) 0 a... (2017a) (2018a) < 0. 4
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2018 ETAPA JUDEȚEANĂ profilul real, specializarea științele naturii Clasa a IX-a 1. Calculați 1 + 2 + 3 + + 2018. 2. Fie funcția f : R R, f(x) = x 2 +ax 3a, unde a R. a) Demonstrați că dacă x, y R și xy = 3(x+y), atunci (x 3)(y 3) = 9. b) Știind că rădăcinile ecuației f(x) = 0 sunt două numere întregi distincte, determinați valorile lui a. 3. În paralelogramul ABCD se consideră F [AB], M mijlocul segmentului [AD], N mijlocul segmentului [BC], G mijlocul segmentului [BM], iar AF = 2FB. a) Demonstrați că punctele D, G, F sunt coliniare. b) Demonstrați că DG #» = 3 #» DF. 4 4. La ora 6 : 00, din același depozit A, pleacă doi curieri către alte două depozite B și C, unde distanța de la A la B este egală cu distanța de la B la C și egală cu distanța de la A la C. Primul curier merge mai întâi la depozitul B, cu o viteză constantă x km/h, iar de la depozitul B la depozitul C merge cu o viteză de 3 ori mai mare. Al doilea curier merge mai întâi la depozitul C, cu o viteză constantă de 30 km/h, iar de la depozitul C la depozitul B merge cu o viteză constantă de x+42 km/h. Știind că niciunul nu face pauză, iar ambii ajung la destinație la ora 9 : 00, determinați ora aproximativă la care s-au întâlnit cei doi curieri pe traseu. 5
Clasa a X-a 1. Studiind virusul gripal tip B, un cercetător a stabilit că acesta se răspândește după legea f(t) = 1 e 0,5t, unde f(t) reprezintă procentul din populație care a venit în contact cu boala, iar t este numărul de săptămâni trecute de la semnalarea primului caz. În a câta săptămână va fi infectată trei sferturi din populație? 2. Fie numărul a = 3 54+30 3+ 3 54 30 3. a) Verificați relația a 3 = 18a+108. b) Arătați că a Q. 3. Fie x i [10, 100], i = 1, 10. Să se arate că: 4. Se dă funcția f : N C, f(n) = (lgx 1 +lgx 2 + +lgx 10 )(log x1 10+log x2 10+ +log x10 10) 112,5. a) Arătați că funcția f este periodică. ( 1+i ) n 3. 2 b) Calculați (1 f(1)) (1+f(2)) (1 f(3))... (1+f(2018)). 6
Clasa a XI-a x 2 +2x+a, x 1 1. Se consideră funcția f : R [ 1, + ), f(x) =. x+2, x > 1 a) Demonstrați că a 0. b) Pentru a = 0, trasați graficul funcției. c) Arătați că funcția f este continuă dacă și numai dacă este surjectivă. ( ) 1 1 2. Se consideră matricea A = M 2 (C). 1 1 a) Determinați matricele X M 2 (C) cu proprietatea că XA = AX. b) Rezolvați în M 2 (C) ecuația X 3 = A. 3. Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției f : R R, f(x) = ex 1 x2 +1. 0 1 1 4. Matricea A = 1 0 1 are determinantul egal cu 1. 1 1 1 a) Schimbând între ele două dintre elementele lui A, putem obține o matrice B al cărei determinant să fie egal cu 0? b) Schimbând între ele două dintre elementele lui A, putem obține o matrice C al cărei determinant să fie egal cu 1? c) Schimbând între ele două dintre elementele lui A, putem obține o matrice D al cărei determinant să aibă o altă valoare decât 0, 1 sau 1? 7
Clasa a XII-a 1. Pe mulțimea Z construim legile de compoziție și definite prin: x y = x+y 3 și x y = xy 3x 3y +12, x, y Z. a) Justificați că (Z,, ) este inel comutativ. b) Rezolvați în Z ecuația } x x... x {{} = 2 2018 +3. de 2018 ori x c) Să se afle a, b Z astfel încât între inelele (Z,, ) și (Z, +, ) să existe un izomorfism de forma f : Z Z, f(x) = ax+b. 2. Fie M mulțimea secvențelor de 8 litere majuscule din alfabetul latin (care are 26 de litere: A, B, C,..., Z). Definim pe M legea de compoziție # astfel: dacă x = λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 λ 6 λ 7 λ 8 M și y = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 γ 5 γ 6 γ 7 γ 8 M, atunci x#y = λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 γ 6 γ 7 γ 8. a) Aflați cardinalul mulțimii M. b) Calculați (P ARAGU AY#COLU M BIA)#BRAZILIA. c) Cercetați dacă legea # este comutativă și dacă admite element neutru. e 2x 3. a) Arătați că: 1+e 4x dx = 1 2 arctg(e2x )+C. b) Aflați primitivele funcției f : R R, f(x) = (1+ex ) 4 1+e 4x. 4. Fie f : R R o funcție și F : R R o primitivă a sa. Dacă F(x) f(x) = x, x R și F(0) = 1, atunci determinați funcția f. 8
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2018 ETAPA JUDEȚEANĂ filiera tehnologică: profilul servicii, resurse naturale și protecția mediului Clasa a IX-a 1. Considerăm progresia aritmetică (a n ) n 1, a n = 2n 1, n N și progresia geometrică (b n ) n 1, b n = 2 2n 1, n N. a) Determinați n N pentru care a 1 +a 2 + +a n = 2018 2. b) Demonstrați că rezultatul calculului b n+1 3(b 1 +b 2 + +b n ) nu depinde de n. c) Demonstrați că pentru orice n N are loc inegalitatea b n 1+a n. 2. Spunem că perechea de numere naturale nenule (m, n) este interesantă dacă 0,(3) < m n < 0,34. a) Stabiliți dacă perechea (330; 1000) este interesantă. b) Determinați valorile posibile ale lui n astfel încât perechea (330; n) să fie interesantă. c) Aflați câte perechi de numere interesante de forma (m; 1000) sunt. d) Determinați m și n astfel încât perechea (m; n) să fie interesantă și m să aibă valoare minimă. 3. Un atlet aleargă în jurul unui teren de formă dreptunghiulară ABCD cu lungimea de 150 m și lățimea de 50 m, pe traseul A B C D A B... și fără a-și schimba sensul de alergat. El pleacă din A cu zero puncte și de fiecare dată când ajunge într-unul din vârfurile B, C, D, A, B, C,... primește puncte după următoarea regulă: câte 1 punct în B, câte 2 puncte în C, câte 3 puncte în D, câte 4 puncte în A. a) Aflați în ce punct s-a aflat atletul în momentul în care a înregistrat 53 de puncte. b) Determinați câți kilometri a parcurs atletul de la momentul plecării până când a înregistrat 53 de puncte. c) Aflați dacă atletul poate obține exact 2018 puncte. 4. Considerăm paralelogramul ABCD și punctele M (DC), N (BM) astfel încât DM = 3MC și BN = 4NM. a) Verificați că MC #» = 1 #» AB. 4 b) Demonstrați că BM #» = 1 #» AB + AD. #» 4 c) Exprimați vectorul AN #» în funcție de vectorii AB #» și AD. #» d) Arătați că punctele A, N, C sunt coliniare și calculați valoarea raportului AN NC. 9
Clasa a X-a 1. Pentru fiecare x (0, ), considerăm numerele a n (x) = ( x) 21 n ( 3 x) n, n N. a) Demonstrați că există n N astfel încât a n (x) nu depinde de x. b) Determinați n N în cazul în care a n (3) = 27. c) Determinați x (0, ) în cazul în care a 45 (x) = 3. d) Demonstrați că pentru o infinitate de valorix (0, ), șirula n (x) are toți termenii numere raționale. 2. Pentru fiecare număr real a definim numărul z a = a+i 1+ai, unde i2 = 1. a) Demonstrați că z a = 1, pentru orice a R. b) Demonstrați că z a i, pentru orice a R. c) Determinați numerele reale a pentru care partea imaginară a numărului z a este egală cu 4 5. d) Calculați produsul p = z 1 z 1 2 z 1 3... z 1 2018 z 1 z 2 z 3... z 2018. 3. Fie numărul a = 3 4+2 2+ 3 4 2 2. a) Verificați că a 3 6a 8 = 0. b) Demonstrați că a ( 6, 3). c) Demonstrați că numărul x = log 2 (a 2 6)+log a ( 8 a +6 )+log 1 2 1 este natural. a 4. Un program de calculator simulează o traiectorie curbă închisă, de lungime 15 cm și pe care două mobile pornesc din același punct dar în sensuri opuse, respectiv cu legile de deplasare date de funcțiile f(x) = x+2 x 1 și g(x) = x+log 2 (x+1), unde variabila x 0 reprezintă momentul măsurat în secunde iar f(x) și g(x) reprezintă distanța parcursă de cele două mobile de la momentul zero al deplasării până la momentul x 0, măsurată în centimetri. Vom nota cu M mulțimea momentelor de întâlnire ale celor două mobile. a) Demonstrați că x M dacă și numai dacă există n N astfel încât f(x)+g(x) = 15n. b) Determinați momentul primei întâlniri a celor două mobile. c) Demonstrați că x = 2 68 1 M. 10
Clasa a XI-a 1 0 0 a 1 1 1. Fie matricea unitate I 3 = 0 1 0 și matricea A = 1 a 1, unde a R. a) Calculați B = A ai 3. 0 0 1 1 1 a b) Verificați dacă B 2 = B +2I 3 și A 2 = (2a+1)A (a 2 +a 2)I 3. c) Demonstrați că A este inversabilă pentru orice a R\{ 2; 1} și determinați A 1. a a 2 1 2. Fie a, b, c R și determinantul D(a, b, c) = b b 2 1. În sistemul cartezian de coordonate xoy c c 2 1 considerăm punctele A n (n, n 2 ), unde n Z. a) Demonstrați că D(a, b, c) = (b a)(c a)(c b). b) Demonstrați că pentru orice trei numere întregi distincte m, n, k, punctele A m (m, m 2 ), A n (n, n 2 ), A k (k, k 2 ) sunt necoliniare și aria triunghiului A m A n A k este număr natural. c) Demonstrați că aria triunghiului A n 2018 A n A n+2018 nu depinde de n. d) Demonstrați că niciunul dintre triunghiurile A m A n A k, cu m, n, k Z, nu are aria egală cu 2. 3. Două funcții f, g le numim a-înrudite, a R, dacă există și este finită limita lim x 1 [f(x) ag(x)]. a) Demonstrați că funcțiile f(x) = x3 x 2 2x 2 x 2 1 b) Determinați a R astfel încât f(x) = și g(x) = x 2 sunt 2-înrudite. x 1 4x+5 x 2 x și g(x) = 1 (x 1) x să fie a-înrudite. c) Dacă alegem trei funcții f, g, h astfel încât f și g să fie a-înrudite, iar g și h să fie b-înrudite, atunci demonstrați că funcțiile f și h sunt ab-înrudite. 4. Fie a, b, c R încât funcția f(x) = x 2 +ax+b+cx are domeniul maxim de definiție R și lim f(x) = 1. x a) Demonstrați că a = 2, b [1, ) și c = 1. b) Demonstrați că toate funcțiile cu această proprietate au aceleași asimptote. c) Arătați că niciuna dintre funcțiile obținute nu este funcție rațională. 11
Clasa a XII-a 1. Considerăm structura algebrică (R, ) cu legea de compoziție x y = 3xy 2x+y 1, x, y R. a) Demonstrați că (R, ) este o structură neasociativă. b) Stabiliți dacă (R, ) admite element neutru. (x 1) y = 9 c) Rezolvați în (R, ) sistemul. (x+1) (y 1) = 13 2. Fie matricele X(a) = aa + I 2, cu a R, A = G = {X(a) a > 1}. ( ) 2 1 6 3 și I 2 = ( ) 1 0. Considerăm mulțimea 0 1 a) Demonstrați că pentru orice a, b R se verifică X(a) X(b) = X(a+b+ab). b) Demonstrați că G împreună cu operația de înmulțire a matricelor este grup comutativ. ( c) Calculați produsul X 1 ) ( X 2 ) (... X 2017 ) X(1) X(2)... X(2018). 2 3 2018 3. Considerăm funcția f : (0, ) R, f(x) = lnx x. a) Calculați f(x)dx. b) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f verifică relația F(2) < F(3). c) Demonstrați că funcția g : (0, ) R, g(x) = f(x), admite primitive și determinați, din mulțimea primitivelor ei, acea primitivă G care verifică relația G(1) = 0. 4. Rata de descreștere a unei populații de bacterii de pe o plantă, dupătzile de la administrarea de insecticid, este dată de formula B (t) = 3000 (1+0,2t) 2, t 0. Dacă numărul inițial al bacteriilor a fost de 8000, aflați după câte zile numărul bacteriilor va fi cel mult egal cu 500. 12
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2018 ETAPA JUDEȚEANĂ profilul filologie / științe sociale Clasa a IX-a 1. Se dă funcția f : R R, f(x) = (m+1)x 2 2(m+2)x+m+2, m 1. Să se determine parametrul real m astfel încât: a) x 2 1 +x 2 2 = x 1 x 2, unde x 1, x 2 sunt rădăcinile ecuației f(x) = 0. b) Graficul funcției f să nu intersecteze axa absciselor. c) Funcția f să aibă valoarea minimă negativă. 2. Fie ABCDEF un hexagon regulat având latura de lungime l > 0. Determinați lungimea vectorului #» AB + AC #» + AD #» + AE #» + AF #» în funcție de l. 3. Pe laturileab, BC, DA șidc ale patrulaterului convexabcd, se consideră punctele M, N, P, respectiv Q astfel încât: #» AM = 2 MB, #» BN #» = 2 NC, #» DQ #» = 2 QC, #» AP #» = 2 PD. #» Să se demonstreze că dacă 3( #» PN + #» MQ) = 2( #» DC + #» BC)+ #» AC, atunci ABCD este paralelogram. 4. Două corpuri aflate la o distanță de 153 de metri se deplasează unul către celălalt. Primul corp parcurge 10 m/s, iar al doilea parcurge în prima secundă 3 m și în fiecare secundă următoare cu 5 m mai mult decât în secunda precedentă. După câte secunde se întâlnesc cele două corpuri? 13
Clasa a X-a 1. a) Să se rezolve în R ecuația x+2+2 x+1+ x+2 2 x+1 = 2. ( )6 5x 2 5x+2 25 b) Să se rezolve în R inecuația 5 4. 2. a) Calculați A = 1 log a x + 1 log a 2 x + + 1 log a n x, unde a, x (0, )\{1}, n N. b) Notăm t = log 2 3. Dacă u = log 12 18 și v = log 24 54, atunci să se demonstreze că uv +5(u v) = 1. 3. Fie a (0, )\{1}, b (0, ) și c [0, ) astfel încât log a (bx+c) = blog a x+c, x (0, ). a) Să se demonstreze că log a (ab+c) = b+c. b) Să se demonstreze că log a ( b a +c ) = c b. c) Să se determine numerele a, b, c care satisfac egalitatea din enunț, pentru orice x (0, ). 4. Unui angajat al unei firme de vânzări autoturisme i se acordă, pe lângă salariul de bază de 400 RON/lună și un comision din vânzări după cum urmează: dacă reușește să vândă cel puțin 20 de mașini în acea lună, i se dă un comision de 300 RON pentru fiecare mașină vândută, iar pentru ceea ce depășește 20 de mașini vândute i se dă un comision de 400 RON pentru fiecare mașină vândută. a) Determinați funcția pe baza căreia i se calculează salariul vânzătorului. b) Cât primește el într-o lună pentru 10 mașini vândute? c) Câte mașini trebuie să vândă într-o lună pentru a câștiga 10000 RON în acea lună? 14
Clasa a XI-a 1. În factura pe care o primește o familie de la S.C. Apavital Iași se află următoarele informații: Servicii Cantitatea (m 3 ) Preț (lei/m 3 ) Cota T.V.A. Apă rece potabilă 17 3,40 9% Canalizare apă 17 2, 53 19% a) Ce sumă îi revine Societății Comerciale Apavital Iași pentru serviciile furnizate? b) Ce sumă pleacă la bugetul de stat? c) Ce procent reprezintă suma ce pleacă la bugetul de stat din suma totală plătită de familie? 2. În tabelul de mai jos este prezentată distribuția elevilor dintr-o școală generală după înălțime: Înălțimea (cm) [150, 154) [154, 158) [158, 162) [162, 166) [166, 170) [170, 174] Număr de elevi 38 65 175 190 111 62 a) Demonstrați că M o M e < 0,3 cm, unde M o reprezintă dominanta, iar M e reprezintă mediana. b) Care dintre caracteristicilem o, M e este reprezentativă pentru populația statistică din această școală? c) Câți elevi au înălțimea cuprinsă în intervalul [ X + X M e ; X + X M o ], (X reprezintă înălțimea medie)? 3. a) Fie G un graf cu n vârfuri (n 3) și n2 3n+4 muchii. Să se demonstreze că G nu are vârfuri 2 izolate. b) Un grup format din 15 elevi joacă 92 partide de șah. Știind că orice pereche de elevi joacă cel mult o partidă, să se demonstreze că fiecare elev joacă cel puțin o partidă de șah. 4. Este cunoscut următorul rezultat: Pentru orice graf planar conex G = (X, U) cu mai mult de 3 vârfuri are loc inegalitatea: U 3 X 6. Să se demonstreze că orice graf complet cu X 5 nu este planar. 15
Clasa a XII-a a b c 0 1 0 1. Fie matricele A = c a b și B = 0 0 1, unde a, b, c R. b c a 1 0 0 a) Calculați B 2 și B 3. b) Calculați B 2018. c) Demonstrați că A = ai 3 +bb +cb 2. 2. Fie punctele A(1, 3), B(2, 1), C( 2, 2), D(a, 3a 2), unde a este un număr real. a) Calculați aria triunghiului ABC. b) Pentru ce valori ale numărului real a, punctele A, B, D sunt coliniare? ( ) x+1 x 2 1 3. Fie x un număr real și matricea A(x) =. 1 x 1 a) Demonstrați că (A(x)) 2 = 2x A(x), x R. b) Aflați numărul real x astfel încât (A(x)) 4 +(A(x)) 2 = O 2. c) Demonstrați că nu există matrice X de ordinul 2 cu elementele numere reale astfel încât X 2 = A(0). 4. Numim cod o matrice A de ordinul 3 care are trei elemente egale cu 1, iar restul egale cu 0. Dacă, în plus, det(a) 0, codul se numește supercod. a) Dați exemplu de un cod și un exemplu de supercod. b) Dacă A este un supercod, arătați că pe fiecare linie și pe fiecare coloană există un singur 1. c) Care este numărul codurilor pe care le putem forma? 16