Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x = x*x = e (x simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, x,y G grupul este comutativ (sau abelia). Exemple 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) grupuri comutative; 2. (R, ) grupul resturilor modulo, comutativ; 3. (M (Z),+) grupul matricilor pãtrate de ordi cu elemete di Z; 4. (K, o) grupul lui Klei (al simetriilor fańã de sistemul de coordoate), comutativ; 5. (σ, o) grupul simetric de grad (al permutãrilor de elemete) u este comutativ; DefiiŃia 1. Fie (G,*) grup, H G, H este subgrup dacã x,y H x*y H şi x H x H (x este simetricul lui x î raport cu operańia *); Fie grupurile (G 1, ), (G 2, ): DefiiŃia 2. f:g 1 G 2 se umeşte morfism de grupuri dacã f(x y)=f(x) f(y), x,y G 1. DefiiŃia 3. f:g 1 G 2 se umeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(x y)=f(x) f(y), x,y G 1. DefiiŃia 4. f:g 1 G 2 se umeşte automorfism (edomorfism) al grupului G 1, dacã f este u izomorfism (morfism). 1
Caz geeral Fie pe R operańia xby=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y0r. Se cere: 1. Să se arate că, x,y0r xby=a(x-b)(y-b)+b; 2. Să se arate că f :R R, f(t)=a(t-b), este fucńie bijectivă care verifică totodată f(xby)=f(x)af(y), x,y0r; 3. Î cazul alegerii a > 0 cosiderâd H = (b;+ 4), respectiv î cazul alegerii a< 0 cosiderâd H =(-4 ;b), să se arate că, x,y0h, are loc xby0h; 4. Î cazul alegerii a > 0 cosiderâd H = (b;+ 4), respectiv î cazul alegerii a< 0 cosiderâd H =(-4 ;b), să se arate că f :H R + *, f(t)=a(t-b), este izomorfism de la (H;B) la (R + * ; A) ; 5. Să se arate că, x,y0r, are loc x B y = y B x ; 6. Să se arate că x,y0q\ Z îcât xby0z; 7. Să se arate că x,y0r\ Q îcât xby0z; 8. Să se arate că x,y,z0r, are loc ( x B y ) B z = x B ( y B z ) ; 9. Să se arate că e0r îcât, x 0R, verifică x B e = e B x = x ; 10. Să se arate că, x 0R\{ b }, x'0r\{ b } îcât xb x'= x'bx= 1 a + b; 11. Î cazul alegerii a > 0, cosiderâd H = (b;+ 4), respectiv î cazul alegerii a<0, cosiderâd H=(-4 ;b), să se determie ce fel de structură este (H, B ); 1 12. Să se rezolve ecuańia x + b x = a A B + C, x0(0,+4), ude A="a"-b-c, a B="a"-b+c, C=ac 2 +b, c0z; 13. Să se arate că θ0r îcât x0r verifică x B θ = θ B x = θ; 14. Să se determie valoarea expresiei E=(-"a")B(-"a"+1) B... B (-2) B (-1) B 0 B 1 B 2 B... B ("a"-1) B ("a"); 15. Să se arate că, x,y,z0r, xbybz=a 2 (x-b)(y-b)(z-b)+b; 16. Să se rezolve î R ecuańia ("a"x 2 -x+b)b(x 2 -"a"x+b)=b; 17. Să se rezolve î R ecuańia (b- b +d x )B(log d x)b(b-1+c x a )=b, d0n, d 2; 1 18. Să se arate că... ( ) de ori A A A = a A b + b, 0N, A fiid u umăr real liber ales, spre exemplu A = a ; 19. Să se determie cel mai mic umăr 0N* cu proprietatea (b+1)b(b+2)b(b+3)b...b "a"; 20. Să se rezolve î R ecuańia xbxbxbxbx=a 4 AA 5 +b, A fiid u umăr real liber ales, spre exemplu A = a. Rezolvare 1. Se verifică imediat, pri calcul direct: xby=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1) 2. Justificarea bijectivităńii fucńiei f :R R, f(t)=a(t-b), este imediată, ca fucńie de gradul îtâi. Coform cu xby=a(x-b)(y-b)+b xby-b=a(x-b)(y-b) Aa a(xby-b)=a(x-b)aa(y-b) 2
este chiar cerińa, respectiv f(xby)=f(x)af(y). 3. Fie x0h (x-b) 0 şi y0h (y-b) 0 şi atuci (x-b)(y-b) 0, dar cum a este costată eulă şi de sem prestabilit, aparteeńa a(x-b)(y-b)+b=xby0h este justificată. 4. VariaŃia fucńiei f :R R, f(t)=a(t-b), studiată aterior, arată imediat că restricńia f :H R * + este bijectivă. Tot di datele aterioare, este evidet că H este parte stabilă a structurii (R;B) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismul fiid astfel demostrat. 5. Comutativitatea este imediată 6. Luâd xby=a(x-b)(y-b)+b şi alegâd x-b= 2 3 şi y-b= 3, deoarece b0z, evidet x,y0q\z şi 2 xby=a+b0z. 7. Pe aceeaşi idee, alegâd x-b= 2-1 şi y-b= 2 +1, se va obńie x,y0r\q şi xby=a+b0z. Se observă că alegerea u este uică, admińâd chiar o ifiitate de posibilităńi. 8. Asociativitatea se demostrează pri calcul 1 9. Di xby=a(x-b)(y-b)+b şi xbe=x coduce la a(x-b)(e-b)+b=x di care se obńie e = + b a 10. Dubla egalitate xbx'=x'b x= 1 b a + se reduce de fapt la xb x'= 1 + b care se exprimă î forma a a(x-b)(x'-b)+b= 1 b a +, obńiâd 1 x' = b + care este î mod evidet di R\{b}, 2 a ( x b) justificâd afirmańia di item 10. 11. Structura (H;B) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăńilor fiid asigurată de cocluzii aterioare. 1 1 12. Cum e = + b, x + b x = a A B + C devie xbx=aaaab+c, adică a(xb) 2 +b=aa("a"-b-c) ("a"-b+c)+ac 2 +b. Observâd difereńa de pătrate, di a(x- a a b) 2 =aa[("a"-b) 2 -c 2 ]+ac 2 se obńie (x-b) 2 =("a"-b) 2 şi î fial x="a", î codińia alegerii evidete 2b-"a"<0<"a"-b. 13. Di xby=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea meńioată, xbθ=θbx=θ. 14. Cum θ=b se regăseşte pritre factorii ce compu expresia E, răspusul la este E=θ=b. 15. Se obńie pri calcul folosid xby=a(x-b)(y-b)+b. 16. EcuaŃia ("a"x 2 -x+b)b(x 2 -"a"x+b)=b devie ("a"x 2 -x)(x 2 -"a"x)=0 şi răspusul va fi 1 x 0;"a"; "a". 17. EcuaŃia devie (d x - b )(log d x-b )( C x "a" 1) =0, deci x { log ; b d b d ;0;"a"}. 1 18. Izomorfismul coduce imediat la... ( ) ( ) 1 A A... A = a A b + b de ori 1 2 x x x = a x b + b şi astfel idetitatea este evidetă. 19. (b+1)b(b+2)b(b + 3)B...B=a -b-1 A(-b)!+b şi astfel se determiă imediat răspusul. 20. xbxbxbxbx=a 4 A(x-b) 5 +b şi a 4 A(x-b) 5 +b =a 4 AA 5 +b soluńia x=a+b. k = 1 k 3
Probleme rezolvate 1. Pe mulńimea umerelor reale defiim operańia x y = xy + 4x + 4y +12. a) Să se verifice că x y = (x + 4)( y + 4) 4 petru orice x, y0r. b) Să se calculeze x ( 4), ude x este umăr real. c) Ştiid că operańia este asociativă, să se calculeze ( 2009) ( 2008)... 2008 2009. R. a) Se verifică pri calcul direct: (x + 4)( y + 4) 4 = xy+4x + 4y + 16-12= xy + 4x + 4y +12= x y. b) x ( 4) = (x+4)( 4 + 4) 4= (x+4)a0 4 = 4, x0r. c) ( 2009) ( 2008)... 2008 2009= =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2008... 5 4 3... 2008 2009 = 4 = 4 di puctul b) = 4. 2. Pe mulńimea umerelor reale defiim operańia x y = 2xy 6x 6y + 21. a) Să se arate că x y = 2(x 3)( y 3) + 3, petru orice x, y0r. b) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x =11. c) Ştiid că operańia este asociativă, să se calculeze 1 2 3... 2009. R. a) Pri calcul direct obńiem 2(x 3)( y 3) + 3 =2(xy 3x 3y +9)+3= 2xy 6x 6y+9+3=2xy 6x 6y+12= x y. b) x x =11 2(x 3)( x 3) + 3 =11 2(x 3) 2 =8 (x 3) 2 =4 x 3=±2. S={1, 5}. c) Calculăm x 3 = 2(x 3)( 3 3) + 3 = 2(x 3)A0 + 3=3, oricare ar fi x0r. Î termeii compuerii 1 2 3... 2009 există 9 = 3 şi di calculul precedet rezultatul calculului este 3. 3. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y = xy 2(x + y) + 6. a) Să se arate că x y = (x 2)( y 2) + 2, oricare ar fi x, y0r. b) Să se demostreze că x 2 = 2, oricare ar fi x0r. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei E = ( 2009) ( 2008) ( 1) 0 1 2 2009. R. a) Pri calcul direct (x 2)( y 2) + 2 = xy 2x 2y + 4 2 = xy 2x 2y + 2 = x y. b) x 2 = (x 2)( 2 2) + 2 = (x 2)A0 + 2 = 2, oricare ar fi x0r. c) E = ( 2009 ) ( 2008 ) ( 1 ) 0 1 2 2009=2 coform = 2 = 2 puctului b). = 2 4
1 0 0 4. Se cosideră mulńimea G = {A x x0z}, ude matricea Ax = 0 1 0, x Z. x 0 1 a) Să se verifice că A x AA y = A x+y, ude x, y0z. b) Ştiid că mulńimea G împreuă cu operańia de îmulńire a matricelor formează o structură de grup, să se determie elemetul eutru al grupului (G,@). c) Să se arate că fucńia f : Z G, f (x) = A x este morfism ître grupurile (Z,+) şi (G,@). 1 0 0 1 0 0 1 0 0 R. a) Ax Ay = 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = = Ax + y x 0 1 y 0 1 x + y 0 1 b) Elemet eutru este A e, e0z şi A x @A e = A x x + e = x e = 0 şi 1 0 0 Ae = 0 1 0 = I2. 0 0 1 c) O fucńie f : G 1 G 2 este morfism dacă f (x + y) = f (x) + f (y), x,y0g 1. Calculăm puctul a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x + y = A x + y = A x + A y = f x + f y, x,y0z şi f este izomorfism de la Z la G. 5. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y = (x 4)( y 4) + 4. a) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie. b) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x x = x. c) Să se determie două umere a,b0q \ Z astfel îcât a b0n. R. a) Elemetul eutru: există e0r astfel îcât oricare ar fi x0r să avem: x e = e x = x. x e = (x 4)( e 4) + 4 (x 4)( e 4) + 4 = x (x 4)( e 4) = x 4 e 4 = 1 e = 5. b) x x x = (x 4)@(x 4)@(x 4) + 4 = (x 4) 3 + 4 (x 4) 3 + 4 = x (x 4) 3 (x 4) = 0 (x 4)@ [(x 4) 2 1] = 0 x 1 = 0 şi (x 4) 2 1=0 (x 4) 2 = 1 x 4 = ± 1 x 2 = 3 şi x 3 = 5. m p c)a,b0q\z a =, b,cu m,, p, q, 0, p 0, 1, p 1, ( m, ) 1, ( p, q) 1 = q N = = m p m 4 p 4q şi calculăm a b = 4 4 4 4 + = + q. Cum a b0n atuci q m 4 p 4q N q / ( m 4) şi / ( p 4q). Luăm valori petru şi q, =3 şi q q =5, atuci 5 / (m 4@ 3) m = 17 şi 3 / (p 4@ 5) p = 23. ObŃiem 17 23 a = şi b =, iar 3 5 5
17 23 17 12 23 20 5 3 a b = 4 4 + 4 = + 4 = + 4 = 1+ 4 = 5 N. Obs. Se 3 5 3 5 3 5 pot lua şi alte valori petru şi q. 6. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y = a) Să se demostreze că x ( x) = 1, oricare ar fi x real. b) Să se arate că legea de compozińie este asociativă. c) Să se calculeze ( 4) ( 3)... 3 4. x x = x + x = x x = = R. a) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 b) Asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z0r., x0r. Calculăm ( ) ( ) 3 3 3 3 x y 1 +. x y z x y z x y z x y z 3 3 3 3 3 3 3 3 = + 1 = + + 1 1 = 3 + 3 + 3 2 şi ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = + 1 = + 1 + 1 = 3 + 3 1+ 3 1 = x y z x y z x y z x y z 3 3 3 3 = x + y + z 2 cei doi termei sut egali şi legea de compozińie este asociativă. c) ( 4) ( 3)... 3 4 = ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) 0 1 2 3 4 şi di puctul a) obńiem ( 4 ) 4 ( 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 0 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 = = 1 = 1 = 1 = 1 3 3 = 3 = 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 3 3 0 = 3 + 3 1 0 = 7 0 = 7 + 0 1 = 8 = 2. 7. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie x y = xy + 7(x + y) + 42. a) Să se calculeze 2 ( 2). b) Să se verifice că x y = (x + 7)( y + 7) 7, oricare ar fi x, y0r. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă, să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x x = x. R. a) 2 ( 2) =2@ ( 2) + 7(2 2) + 42 = 4+0+42 = 38. b) (x + 7)( y + 7) 7 = xy +7y +7x +49 7 = xy +7y +7x +42 = x y, x,y0r. c) Calculăm x x x = [(x + 7) 2-7] x = [(x + 7) 2 7+7](x + 7) 7=(x + 7) 3 7 şi ecuańia va fi: (x + 7) 3 7 = x (x + 7) 3 (x +7) = 0 (x +7)[ (x + 7) 2 1] = 0 (x +7) =0 şi (x + 7) 2 1= 0, x 1 = 7 şi (x + 7) 2 = 1 x + 7 =1 sau x + 7 = 1 x 2 = 6 şi x 3 = 8., 8. Se cosideră mulńimea M = [k;+ ) d R, k 0R şi operańia x y = xy k(x + y) + k 2 + k, oricare ar fi x, y0r. a) Să se determie k0r astfel îcât 2 3 = 2. b) Petru k = 2 să se rezolve î M ecuańia x x = 6. c) Să se demostreze că petru orice x, y0m, rezultă că x y0m. 6
R. a) 2 3 = 2 @ 3 k(2 + 3) + k 2 + k = 6 5k + k 2 + k = k 2 4k + 6 k 2 4k + 6 = 2 k 2 4k + 4 = 0 (k 2) 2 = 0 k = 2. b) x y = xy 2(x + y) + 6 x 2 4x + 6 = 6 x 2 4x = 0 x(x 4) = 0 x 1 = 0 şi x 2 = 4. c) x k x k 0 x, y M y k y k 0 ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) 2 0 0 x k y k xy k x + y + k + k xy k x + y + k + k k x y M, x, y M. a 0 a M = A a = a R. a 0 a a) Să se verifice dacă A(a) @ A(b) = A(2ab), oricare ar fi umerele reale a şi b. 1 b) Să se arate că A este elemet eutru fańă de operańia de îmulńire a matricelor 2 pe M. c) Să se determie simetricul elemetului A(1)0M î raport cu operańia de îmulńire a matricelor pe mulńimea M. 9. Se cosideră mulńimea ( ) a 0 a b 0 b A a =, a şi A b =, b R şi calculăm A(a) @ A(b): a 0 a b 0 b a 0 a b 0 b ab + ab 0 ab + ab A( a) A( b) = = = a 0 a b 0 b ab ab 0 ab ab + +. 2ab 0 2ab = = A( 2ab) 2ab 0 2ab R. a) ( ) R ( ) puctul a) 1 1 1 b) Calculăm A( a) A = A 2 a = A( a) şi atuci A este elemet 2 2 2 eutru. 1 0 1 c) A( 1) = şi elemetul simetric este iversa matricei A -1 (1) şi trebuie să 1 0 1 avem A(1)@ A -1 1 (1) = A 2. Notăm A-1 (1) = A(e), e0r A(1)@ A(e) = A(2@ 1@ e) = 7
1 A(2e) şi A(2e)= A 2, se obńie 1 1 2e = e =. ObŃiem A -1 1 (1) = A 2 4 4. 10. Pe mulńimea umerelor îtregi se defiesc legile de compozińie x y = x + y 3 şi x y = (x 3)( y 3) + 3. a) Să se rezolve î mulńimea umerelor îtregi ecuańia x x = x x. b) Să se determie umărul îtreg a care are proprietatea că x a=3, oricare ar fi umărul îtreg x. x ( y + 1) = 4 c) Să se rezolve sistemul de ecuańii, ude x, y0z. ( x y) 1= 5 R. a) x x = (x 3) 2 +3 şi x x = 2x 3, obńiem ecuańia: (x 3) 2 +3 = 2x 3 x 2 8x + 15 = 0 care are soluńiile x 1 = 3 şi x 2 = 5, umere îtregi. b) x a=3 (x 3)( a 3) + 3 = 3 (x 3)( a 3) = 0 petru a = 3 şi oricare ar fi x0z. c) x ( y + 1) = 4 x + y + 1 3 = 4 x + y = 6 ( x y) 1 = 5 ( x y 3)( 1 3) + 3 = 5 2x + 2y + 6 + 3 = 5 x + y = 6 x + y = 6 2x + 2y = 4 : 2 x + y = 2 / 2y = 4 y = 2, x = 4 şi soluńia este perechea (4;2). 11. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x y=xy 5(x+y)+30. a) Să se demostreze că x y=(x 5)(y 5)+5, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă, să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x x x=x. R. a) (x 5)(y 5)+5 = xy 5y 5x +25+5= xy 5(x+y) +30 = x y. b) e 0R este elemet eutru dacă x e = x, oricare ar fi x 0R. Atuci (x 5)(e 5)+5=x (x 5)(e 5) (x 5)=0 (x 5)(e 6) = 0 e = 60R. Acelaşi elemet eutru se obńie şi petru e x=x. c) x x x = ( x 5) 2 + 5 x = ( x 5) 2 + 5 5 ( x 5) + 5 = ( x 5) 3 + 5. EcuaŃia va fi: ( x 5) 3 + 5 = x ( x 5) 3 ( x 5) = 0 ( x 5) ( x 5) 2 1 = 0 x 5=0, x 1 = 5 2 2 x 5 1= 0 x 5 = 1 x 5 = ± 1 x = 6, x = 4. SoluŃii {4,5,6}. şi ( ) ( ) 2 3 12. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie 8
( )( ) x y = x 2 y 2 + 2. a) Să se rezolve ecuańia x x=x, ude x 0 R. b) Să se demostreze că legea de compozińie este asociativă. c) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie. R. a) ( )( ) ( ) 2 x x = x 2 x 2 + 2 = x 2 + 2 şi se obńie ecuańia: 2 2 ( x ) x ( x ) ( x ) ( x )( x ) 2 + 2 = 2 2 = 0 2 2 1 = 0 cu soluńiile x1 = 2 şi x2 = 2 + 1. b) Asociativitatea: x (y z)=( x y) z, x,y,z0r. Calculăm fiecare terme: x ( y z) = x ( y 2 )( z 2 ) + 2 = ( x 2 ) ( y 2 )( z 2 ) + 2 2 + ( x )( y )( z ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( x )( y )( z ) + 2 = 2 2 2 + 2 ( x y) z = x 2 y 2 + 2 z = x 2 y 2 + 2 2 z 2 + + 2 = 2 2 2 + 2 Cei doi termei sut egali şi legea de compozińie este asociativă. c) Elemetul eutru: e0r astfel îcât x0r să avem: x e = e x =x. Trebuie determiat e di egalitatea: x e = x, deoarece legea de compozińie este evidet comutativă. ( x )( e ) x ( x )( e ) ( x ) ( x 2 )( e 2 1) 0 e 2 1 0 e 2 1 2 2 + 2 = 2 2 2 = 0 = = = + R este elemet eutru. 13. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie x y=x+y+m, ude m este umăr real. a) Să se arate că legea de compozińie " " este asociativă. b) Să se determie m astfel îcât e = 6 să fie elemetul eutru al legii " ". c) Să se determie m astfel îcât ( ) ( ) 3 2 m 3 = 3 2. R. a) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z 0 R. Calculăm fiecare terme: x (y z) = x (y+z+m) = x+(y+z+m)+m = x+y+z+2m şi (x y) z= (x+y+m) z = (x+y+m )+z +m = x+y+z+2m, cei doi termei sut egali şi asociativitatea este demostrată. b) Elemetul eutru: x e=e x=x, x 0 R. Legea de compozińie este evidet comutativă şi atuci ajuge x e =x x 6 +m=x m=6. 9
3 2 3 = 3 3 2 m == ( 3 + 3 + m) ( ) ( ) m ( ) ( ) c) ( ) ( ) m 2 + m = m 2m 2 = m + 2m 2 + m = 4m 2 şi se obńie: 4m 2 = 3 2 4m = 4 2 şi m = 2. 14. Pe mulńimea umerelor reale, se cosideră legea de compozińie defiită pri x y=xy x y+2. a) Să se arate că legea este asociativă. b) Să se arate că, petru oricare x,y (1,+ ), rezultă că x y (1,+ ). c) Să se determie a R cu proprietatea că x a=a, oricare ar fi x R. R. a) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z 0 R. Calculăm fiecare terme: x (y z) = x (yz y z+2) = x(yz y z+2) x (yz y z+2)+2 = = xyz xy xz+2x x yz+y+z 2+2=xyz xy xz yz+x+y+z. şi (x y) z= (xy x y+2) z = (xy x y+2)z (xy x y+2) z +2= =xyz xz yz+2z xy+x+y 2 z+2= xyz xy xz yz+x+y+z, cei doi termei sut egali şi asociativitatea este demostrată. x > 1 x 1 > 0 b) x, y ( 1, + ) ( x 1)( y 1) > 0 y > 1 y 1 > 0 xy x y + 1 > 0 + 1 xy x y + 2 > 1 x y (1, + ). c) ( ) x a = a xa x a + 2 = a xa 2a = x 2 a x 2 = x 2 a = 1. 15. Pe mulńimea R se cosideră legea de compozińie x y=2xy x y+1. a) Să se arate că x y=xy+(1 x)(1 y), oricare ar fi x,y R. b) Să se arate că legea de compozińie este asociativă. c) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x (1 x)=0. R. a) xy+(1 x)(1 y)=xy+1 x y+xy=2xy x y+1=x y, x,y R b) asociativitatea: x (y z) = (x y) z, x,y,z 0 R. Calculăm fiecare terme: x (y z) =x [2yz y z+1]=2x[2yz y z+1] x [2yz y z+1]+1= =4xyz 2xy 2xz+2x x 2yz+y+z 1+1=4xyz 2(xy+xz+yz)+x+y+z. şi (x y) z=[2xy x y+1] z=2[2xy x y+1]z [2xy x y+1] z+1= =4xyz 2xz 2yz+2z 2xy+x+y 1 z+1=4xyz 2(xz+yz+xy)+x+y+z, cei doi termei sut egali şi asociativitatea este demostrată. c) x (1 x)=0 x(1 x)(1 x)[1 (1 x)]=0 x 2 (1 x) 2 =0 x 1 =0 şi x 2 =1. 16. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie x y= xy+2x+2y 2. a) Să se rezolve î mulńimea umerelor reale ecuańia x 4=10. b) Să se determie a R astfel îcât x a=a x=a, oricare ar fi x R. 10
c) Ştiid că legea este asociativă, să se calculeze 1 2 4018... 2009 2009 2009 R. a) x 4=10 4x+2x+2 4 2=10 2x=4 x= 2. b) x a=a xa+2x+2a 2=a xa+a= 2x+2 a( x+1)=2( x+1) a=2 R. c) 1 2 4018 1 2 4017 4018... =... = 2 coform puctului 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 = 2 = 2 precedet. Probleme propuse 17. Pe mulńimea Z se cosideră legile de compozińie x y=x+y+1, x y=ax+by 1, cu a,b Z şi fucńia f (x)=x+2, f :Z Z, a) Să se demostreze că x ( 1)=( 1) x=x, oricare ar fi x Z. b) Să se determie a,b Z petru care legea de compozińie este asociativă. c) Dacă a=b=1 să se arate că fucńia f este morfism ître grupurile (Z, ) şi (Z, ). 18. Se cosideră mulńimea G={a+b 2 a,b0z, a 2 2b 2 =1}. a) Să se verifice că 3+2 20G. b) Să se demostreze că xay0g, petru x, y0g. c) Să se arate că orice elemet di mulńimea G are ivers î G î raport cu îmulńirea umerelor reale. 19. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie xby= 2 x+y. a) Să se calculeze 2008 B( 2008). b) Să se rezolve î R ecuańia xbx 2 = 64. c) Să se demostreze că u există x,y,z0r petru care (xby)bz= 2 z. = 2 3 20. Pe mulńimea R se defieşte legea de compozińie x y = 3 3 x + y. a) Să se calculeze x*0. b) Să se demostreze că legea * este asociativă. c) Ştiid că x 0 0Q şi x =x 0 *x 1, oricare ar fi 0N*, să se arate că x*0q. 21. Se cosideră mulńimea G=(2, ) şi operańia xby=xy 2(x+y)+6, x,y0g. a) Să se arate că xby=(x 2)(y 2)+2, x,y0g. b) Să se demostreze că x By0G, petru x,y0g. c) Să se afle elemetele simetrizabile ale mulńimii G î raport cu legea "B". 22. Se cosideră mulńimea G=(0, )\{1} şi operańia xby=x 3l y, x,y0g. a) Să se determie mulńimea soluńiilor reale ale ecuańiei xbe = 1, ude e este baza logaritmului atural. b) Să se demostreze că xby0g, petru x,y0g. 11
c) Să se arate că operańia B este asociativă pe mulńimea G. 23. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie x*y=2xy 6x 6y+21, petru orice x,y0r. a) Să se arate că x*y=2(x 3)(y 3)+3 petru orice x,y0r. b) Să se rezolve î R ecuańia 5x*5x=11. c) Să se determie elemetele simetrizabile î raport cu legea "*". 24. Fie mulńimea G={a+b 3 a,b0z, a 2 3b 2 =1}. a) Să se verifice dacă 0 şi 1 aparńi mulńimii G. b) Să se demostreze că petru orice x, y0g avem xay0g. c) Să se arate că dacă x0g, atuci 1 x 0G. 25. Pe R se cosideră legea de compozińie asociativă xby=x+y+1. a) Să se calculeze 2007B2008. b) Să se rezolve î R iecuańia xbx 2 3. c) Fie mulńimea A={0N * 2 şi elemetelor mulńimii A. C C C = + 6}. Să se determie umărul 0 1 2 x + y 26. Se cosideră mulńimea G=( 1,1) şi legea de compozińie x * y =, 1 + xy x, y0g. a) Să se rezolve î G ecuańia x*x= 4 5. b) Să se verifice egalitatea x y = ( x + 1)( y + 1) ( x 1)( y 1) ( x + 1)( y + 1) + ( x 1)( y 1) c) Să se arate că petru oricare x, y0g rezultă că x*y0g., x, y0g. 27. Pe mulńimea umerelor reale defiim legea de compozińie xby=xy+3x+3y+6, x,y0r. a) Să se arate că xby=(x+3)(y+3) 3, x,y0r. b) Să se determie elemetul eutru, ştiid că legea de compozińie B este asociativă şi comutativă. 2 2 c) Să se determie 0N, 2 astfel îcâtc C = 13. 28. Pe mulńimea umerelor îtregi defiim legile de compozińie x*y=x+y 3 şi xby=xy 3(x+y)+12. a) Să se rezolve î Z ecuańia xbx=12. b) Să se arate că 1B(2*3)=(1B2)*(1B 3). ( x 3) y = 2 c) Să se rezolve î mulńimea Z Z sistemul. ( x y) 4 = 10 29. Pe mulńimea umerelor îtregi se defieşte legea de compozińiexby=x+y+11. 12
a) Să se arate că legea de compozińie B este asociativă. b) Să se rezolve ecuańia x x... x = 1. de 6 ori x c) Să se demostreze că (Z,B) este grup comutativ. 30. Pe mulńimea umerelor reale R se cosideră legea de compozińie xby=xy 2(x+y)+6. a) Să se verifice că xby=(x 2)(y 2)+2, x,y0r. b) Să se demostreze că xb2=2 oricare ar fi x0r. c) Ştiid că legea de compozińie B este asociativă, să se calculeze expresia E=( 2008)B( 2007)B B( 1)B0B1B2B B 2008. x + y 31. Pe mulńimea G=( 1,1) se cosideră legea de compozińie x * y =. 1 + xy 1 x Fie fucńia f:(-1,1) (0,4), f ( x) = 1 + x a) Să se calculeze 1 1. 2 2 b) Să se verifice că f(x*y)=f(x)*f(y), x,y0g. c) Să se demostreze că legea "*" este asociativă. 32. Pe mulńimea R se defieşte legea de compozińie xby=xy 10(x+y)+110. a) Să se verifice că xby=(x 10)(y 10)+10, oricare ar fi x,y0r. 1 1 b) Să se calculeze C20 C20 c) Să se rezolve ecuańia xb(x 1)=10, ude x0r. 1 0 0 = Z, ude matricea A x = 0 1 0,x0Z. x 0 1 a) Să se verifice că A x A A y = A x+y, ude x,y0z. b) Să se determie elemetul eutru di grupul (G,A). c) Să se demostreze că fucńia f :Z G, f (x)=a x este morfism de grupuri. 33. Se cosideră mulńimea G { Ax x } 34. Pe mulńimea umerelor reale R se cosideră legea de compozińie defiită astfel x*y=xy x y+2. a) Să se demostreze că x*y=(x 1)(y 1)+1, oricare ar fi x,y0r. b) Să se demostreze că legea * este asociativă. 1 2 2008 c) Să se calculeze * *...*. 2 2 2 35. Se defieşte pe mulńimea umerelor reale legea de compozińie asociativă x*y=xy 6x 6y+42, petru orice x,y0r. a) Să se arate că x*y=(x 6)(y 6)+6, oricare ar fi x,y0r. b) Să se rezolve î R ecuańia x * x * x * x=x. c) Să se calculeze 1* 2 * 3 *... * 2008. 36. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie 13
x*y=xy 2008 (x+y)+2008+ 2008, oricare ar fi x,y0r. a) Să se arate că x*y=(x 2008 )(y 2008 )+ 2008, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie elemetul eutru al legii de compozińie * pe mulńimea R. c) Ştiid că legea de compozińie * este asociativă, să se calculeze ( 2008 ) * ( 2007 ) *...* 0 *...* ( 2007 ) * ( 2008 ). 37. Pe Z se defieşte legea de compozińie asociativă x*y=3xy+7x+7y+14. a) Să se determie elemetul eutru al legii "*". b) Să se rezolve î R iecuańia x*x 7 3. c) Să se determie elemetele simetrizabile î raport cu legea *. 38. Pe R se defieşte legea de compozińie pri xby=3xy+3x+3y+2,oricare ar fi umerele reale x şi y. a) Să se verifice că xby=3(x+1)(y+1) 1, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie perechile (x,y)0r R petru care (x 2 5)B(y 2 10)= 1. c) Să se determie două umere a,b0q Z, astfel îcât abb0n. 39. Pe mulńimea Z se defiesc legile de compozińiex*y=x+y+2 şi respectiv xby=xy+2x+2y+2. a) Să se demostreze că xby=(x+2)(y+2) 2. b) Să se determie elemetele eutre ale fiecăreia ditre cele două legi de compozińie. 2 2 x y = 7 c) Să se rezolve sistemul. 2 2 x y = 16 40. Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie xby=2xy 8x 8y+36. a) Să se demostreze că xby=2(x 4)(y 4)+4, oricare ar fi x,y0r. b) Să se rezolve ecuańia xbx= 36. c) Ştiid că operańia B este asociativă să se calculeze 1 2... 2008. 41. Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie pri x*y=3xy+3x+3y+2. a) Să se demostreze că x*y=3(x+1)(y+1) 1, oricare ar fi x,y0r. b) Să se determie perechile (x,y)0r R petru care (x 2 2)*(y 2 5)= 1. c) Ştiid că legea de compozińie este asociativă să se calculeze ( 2008)*( 2007)*...*( 1)*0*1*...*2007*2008. 42. Pe R defiim legile de compozińie xby=x+y+3 şi x*y=xy 3(x+y)+12. a) Să se verifice că x*y=(x 3)(y 3)+3, oricare ar fi x,y0r. b) Să se rezolve î R ecuańia (xb(x+1))+(x*(x+1))=11. x ( y 1) = 0 c) Să se rezolve sistemul de ecuańii, x,y0r. ( x + 1) y = x ( y + 1) 14