LUCRARE METODICO ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC LUCRARE METODICO ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT COORDONATOR ŞTIINŢIFIC PROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU CANDIDAT PROF. ALMĂJAN CĂTĂLIN ŞCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA JUDEŢUL CARAŞ SEVERIN TIMIŞOARA 9

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC APROXIMAREA FUNCŢIILOR PRIN INTERPOLARE COORDONATOR ŞTIINŢIFIC PROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU CANDIDAT PROF. ALMĂJAN CĂTĂLIN ŞCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA JUDEŢUL CARAŞ SEVERIN TIMIŞOARA 9

CUPRINS INTRODUCERE....pg.4 Cptolul I : Itepole Polomlă... pg.6.. Noţu Itoductve.... pg.6.. Polomul de tepole Lgge.... pg.7.. Itepole cu utoul pogmelo Mple ş Mtlb.. pg.5.4. Itepole tetvă. Metod Ate pg.7.5. Itepole tetvă. Metod Nevlle pg.9.6. Deeţe Dvzte.Polomul Newto de tepole pg..7. Deeţe te. Polomul Newto scedet ş descedet pg..8. Polome Cebâşev pg.7 Cptolul II : Itepole cu utoul ucţlo sple. pg.4.. Fucţ Sple Itoducee pg.4.. Fucţ Sple de gdul I..pg.4.. Fucţ Sple de gdul II.pg.44.4. Fucţ Sple de gdul III pg.46.5. Evlue eo de tepole p ucţ sple. pg.5.6. Utlze Mple ş Mtlb petu tepole p ucţ sple..pg.54 Cptolul III : Aplcţ le tepolă ucţlo. pg.56. Utlze tepolă l deve umecă.pg.56. Utlze tepolă l tegl umecă pg.6 Cptolul VI : Aspecte metodce ş metodologce.. pg.65 4.. Aspecte geele pg.65 4.. Metode de pede îvăţe pg.68 4.. Metode de ezolve poblemelo.. pg.8 4.4. Utlze tepolă î ezolve uo pobleme..pg.85 Bbloge.pg.97

INTRODUCERE Î ezolve uo pobleme pctce de zcă ecoomce socle sutem puş î stuţ de model ucţ ecuoscute c epese ş dete do p vlole lo î umte pucte. De cee este ecesă găse ue ucţ de pome cu o omă ltcă m smplă. Apome m pote utlă ş tuc câd ucţ este cuoscută d e o omă complctă dcl de mpult î clcule. Petu deteme ue ucţ de pome g petu o ucţe tebue mpus u cteu de pome. De egulă ctele de pome se împt î două ctego: Fucţ de pome tebue să tecă p puctele cuoscute: g b Fucţ de pome u tebue să tecă p puctele cuoscute d să pomeze cât m be vlole cuoscute. de e. Metod celo m mc pătte. Î luce de ţă e vom ocup de pmul cz ucţ g umduse ucţe de tepole opeţ de deteme e se umeşte tepole. P tepole se îţelege o metodă de clcul uu ou puct îte două pucte cuoscute. Cuvâtul tepole pove de l : te îte ş pole puct su od dec tepole îsemă o metodă de clcul uu ou puct îte două pucte cuoscute. Eemple : - tepole polomlă : - tepole tgoometcă : cos b s se Foue

- tepole epoeţlă : e. Dte posbltăţle pezette m sus ce m utlztă este ce polomlă dtotă uşuţe cu cu ce se tegeză ş se deveză. Bz teoetcă pomă polomle o costtue teoem Weestss î ce se tă c oce ucţe cotuă pote pomtă cu o pecze ocât de buă pe u tevl dt îcs de u polom P. lu Teoemă : Fe ucţ : b R o ucţe cotuă. Atuc pote pomtă uom de u ş de polome {P } cu o cuteţe pestbltă. Adcă petu o ucţe cotuă estă u ş de polome {P } cu popette că lm P Demostţe Se cosdeă ucţ utătoe F : R Ft t b t Fucţ F îdepleşte codţle d teoem lu Best ce spue că petu oce ucţe cotuă : R ş B u ş de ucţ polomle det stel : B C petu oce Atuc B covege uom l. Dec e B polomele socte ucţe Ft ş P B b sup b P sup B Atuc : b NOTĂ : D păcte teoem lu Weestss u oeă u cteu pctc de le polomulu potvt. 5

Cptolul I INTERPOLAREA POLINOMIALĂ. NOŢIUNI INTRODUCTIVE Fe o ucţe : b R se pue poblem pomă e pt-u polom câd se cuosc vlole ucţe î umte pucte b. Deţe Mulţme de pucte b cu popette : < < <. < b se umeşte dvzue tevlulu b ş o vom ot cu d b. Se pesupue că se cuosc vlole ucţe î puctele ş ume : y dcă :. y y y.. y Se pue poblem detemă uu polom P RX P cu umătoele popetăţ : gd P ;. P y petu oce. U stel de polom potă deume de polom de tepole tşt ucţe. Deţe Petu oce lt puct deeţ dte ucţ ş polomul de tepole P potă deume de est su eoe pe ce o otăm cu. Dec P. 6

7 Dcă estul tuc d. ş. ezultă u sstem de ecuţ le:. Soluţ cestu sstem o costtue c coeceţ polomulu de pome căutt. Detemtul cestu sstem: D este cuoscut c detemtul lu Vdemode. Acest este eul D petu oce. Rezultă dec c sstemul de ecuţ dt. dmte o soluţe ucă petu coeceţ cu lte cuvte polomul de tepole este uc. Petu u umă mc de odu sstemul se pote ezolv eltv uşo d petu u umă m me de odu este eces utlze uu compute. De- lugul tmpulu s-u popus ote multe vte de geee polomulu de tepole.. POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE Teoemă Fe : b R ş ; odu d tevlul b. Atuc estă u polom uc P de gd cel mult ce

tepoleză ucţ î odule P. Acest polom se umeşte polomul de tepole l lu Lgge. Demostţe : Î sptul vectol l polomelo de gd cel mult vom costu o bză l ce se uleză î tote puctele cu ecepţ lu dc l δ dc Deoece l petu ezultă că l dmte ădăcle. Dec l........ -....... Deoece l ezultă că Atuc l Polomul de tepole Lgge se sce sub om : P l l.. l l y l y.. l y. Scs sub omă codestă polomul de tepole Lgge este : P l.4 Evdet polomul.4 îdepleşte codţ P. Polomlele l potă deume de polome Lgge udmetle. Petu demost uctte polomulu P să pesupuem că estă două polome dstcte P Q RX de gd cel mult stel îcât 8

9 P Q. Atuc polomul T P - Q este u polom de gd cel mult ş T P - Q. Dec polomul T e ădăc. Cum gdul lu T este cel mult tuc polomul T este detc ul T P - Q P Q. Acestă metodă este m utlă de deteme polomulu de tepole decât metod. ce ecestă u volum me de clcule. Czu ptcule Fe ucţ : b R. Dcă dcă dvzue tevlulu coţe do două odu < b tuc polomul de tepole Lgge tşt ucţe ş dvzu este: P. Dcă dcă dvzue coţe odu : < < b polomul de tepole Lgge este : P. Dcă 4 < < < b polomul de tepole Lgge este : P Obsevţe Cu cât ceştem umăul de odu le dvzu cu tât epes polomulu de tepole este m complctă.

Eemplu Detemţ polomul de tepole Lgge tst ucţe : 5 Rezolve : Polomele Lgge udmetle sut : l l l 6 Polomul de tepole este : P l l l ; P 6 6 4 6 5 ; P 7...4. Teoemă Opetoul de tepole Lgge P det pe mulţme F { : b R } ş cu vlo î mulţme polomelo de gd cel mult ce ce c ue ucţ d F să- coespudă polomul de tepole Lgge este u opeto l. Demostţe : Fe ucţle ş g d F tuc ucţ bg este de semee d F ude ş b sut două umee ele. Fe P polomul de tepole ucţe bg P g l b l bg l. P b. P g

Ude P ş P g sut polomele Lgge tşte ucţlo ş g dec P este u opeto l...5. Deţe Deeţ P R ude P este polomul de tepole Lgge se umeşte estul de pome ucţe. Fomul P R se umeşte omul de pome lu Lgge...6. Teoemă Restul R d omul de pome Lgge este u opeto l. Demostţe : Fe ucţle ş g d F ş P polomul de tepole ucţe bg ude ş b sut două umee ele. Atuc R bg - l bg l b bg l g P b g b P g R b R g. Dec opetoul R este u opeto l...7. Obsevţe Evdet R...7. Teoemă evlue estulu de tepole Dcă C b tuc petu oce b estă ξ b stel îcât ξ R U! Demostţe : ude U....... R Fe ucţ ulă gt t P t U t U Obsevăm că ucţ g se uleză î pucte :... D teoem lu Rolle ezultă că estă ξ b stel îcât g ξ. g R t t! U. Dec R ξ U!.

..8. Cool Dcă estă M > stel îcât M petu oce b tuc :! U M R b. Demostţe R! U ξ! U M...9. Obsevţe : Î czul î ce dvzue este omtă d odu ecdstte dcă. ude se umeşte psul dvzu tuc polomul de tepole Lgge coespuzăto ceste dvzu este: t t t t t C t P t p.! Demostţe : Cosdeăm scmbe de vblă : t. tuc epes polomulu Lgge este P l ude l. Atuc : t ş!! Rezultă că L tl t. t t t t t t..!! Epes polomulu Lgge este : t t t t t C t p.! Eoe deve! t t t t t ξ Eemplu Să se clculeze vloe pomtvă lu 5 utlzâd u polom de tepole Lgge petu ucţ ş te pucte de tepole covebl lese. Fe ucţ : ; ş odule 9 6 ş 5. Sub omă de tbel ucţ tă stel :

9 6 5 4 5 Polomul de tepole Lgge tst ucţe este : 97 P. 54 54 7 Atuc 5 P 5 8694769. Să evluăm cum eoe î puctul 5 U 5 5 9 5 6 5 5 6. -. - 6 ' 4 5 6 7 ; 5 6 7 " 4. 4 ; 5 Deoece 4 < ezultă că ucţ este descescătoe 54 5 5 8 8 R5 6 54.! Pe de ltă pte cu utoul clcultoulu obţem 5 87984 5 P5 9 cee ce comă mţ de m sus. Obsevţe Dcă Q R u polom de gd cel mult 8 8 5 ; tuc R. Demostţe Deoece este u polom de gd cel mult tuc d teoem..7 că R. Obsevţe Fe o ucţe : b R cosdeăm şul de dvzu d tevlulu b cu popette : < <.. < b ş lm d. odule Notăm cu P polomul lu Lgge ce tepoleză ucţ î. Dcă este me tuc P cocde cu ît-u umă

me de pucte dec e şteptăm c eoe R P să e mcă evetul c lm. R Î ul 9 S. N. Beste ătt că petu ucţ dcă legem odule ecdstte tuc lm dcă {}. P S pute cede că cest lucu se dtoeză ptulu că ucţ modul u este devblă î oge. Eemplu dt de C. Ruge î 9 tă că estă ucţ det devble petu ce {P } u covege l. Fe -5 5. Evdet C -5 5 e odule ecdstte 5. Se pote ăt că lm dcă c ş lm P dcă > c ude c 64. P Î 94 S.N. Beste ătt că petu oce sstem de odu { } d tevlul b dt dte estă o ucţe cotuă : b R stel îcât şul polomelo Lgge {P } ce tepoleză ucţ î ceste odu u covege uom l pe b. Se pue îtebe dcă tepole cu polome Lgge este utlă î pctcă d momet ce ş cum m văzut î geel şul polomelo de tepole { P } u covege l. Răspusul este că tepole Lgge este utlă. Se costtă î pctcă ptul că petu u puct b eoe P scde pâă l u puct pe măsuă ce ceşte ş dec petu eltv mc P pomeză cceptbl vloe. Petu vlo m le lu tepole Lgge u este ecomdtă. 4

.. INTERPOLAREA CU AJUTORUL LIMBAJELOR DE PROGRAMARE MAPLE ŞI MATLAB MAPLE ş Mtlb sut două lmbe de pogme deosebt de utle î dome dvese cum : sttstc mtemtc ge. Aceste pogme sut oloste ş î tepole polomelo. MAPLE dspue de ucţ pedetă tep ce detemă polomul de tepole Lgge coespuzăto ue ucţ tbelte. St : tep y v ude lstă / vecto cu odule de tepole; y lstă / vecto cu vlole ucţe î odule de tepole; v ume vblă Eemplu > Petu deteme vlo polomulu de tepole ît-u puct se pocedeză stel : > Petu tse gculu ucţe ş polomulu de tepole tst ucţe pocedăm stel: - dem ucţ ş detemăm polomul de tepole c m sus; - tsăm gcul celo două ucţ utlzâd comd plot Eemplu > 5

Pogmul Mtlb dspue de m multe ucţ petu tse polomulu de tepole Lgge stel : v INTERPy u ude epeztă vectoul odulo y epeztă vectoul vlolo ucţe pe odu de ceeş dmesue cu. y INTERP y METODĂ Ude epeztă vectoul odulo y epeztă vectoul vlolo ucţe pe odu metod epeztă metod de tepolt eest le etc Eemplu :; y s; :.5:; y tepy; plot y 'o' y tepoleză ucţ s î odule :. ş tseză gcul ucţe tepolte 6

Petu clcul vloe polomulu Lgge ît-u puct tebue m îtâ să scem m îtâ u pogm Mtlb ce clculeză polomul Lgge tşt ue ucţ ş ue dvzu : % POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE L de gdul % e uc? pe tevlul 9;5 %********************************************************* 9. 6. 5.; y sqt; legt; -; s 5.; % vloe * î ce se evluez? uc? cu L % se clculez? vloe polomulu Lgge de odul î *; c > L*: L.; o : p ; o : ~ p p*s-/-; ed ed L L y.*p; ed %?e vlo L*L5 clculte: Ls L % vloe ect? uc?e î *5 este: Pogmul o să e şeze Ls.869.4. INTERPOLAREA ITERATIVĂ. METODA AITKEN Vom ot polomul lu Lgge ce tepoleză ucţ odule cu P ;. Evdet P ;. î.4. Teoemă : Ae loc umătoe elţe de ecueţă : P ;.. P ; P ;.. Demostţe P ;.. Fe Q. P ;.. Obsevăm că petu oce vem:. 7

8 Q ; I Q -.. ; P Q.. ; P Aşd Q este u polom de gdul ce tepoleză ucţ î odule D uctte polomulu de tepole l lu Lgge ezultă că QP. Metod Ate este be lusttă de umătoul tbel: P ; P ; P ; P ; P ; P ; M M M M M M P ; P ; P ; K P ;.4..Eemplu : Detemţ polomul de tepole Lgge tşt ucţe : 5 utlzâd lgotmul lu Ate. P ; P ; P ; 5 P ; P P ; ; P ; P P 5 ; ; 4

9 P ; P P 4 ; ; 7 Polomul de tepole este : P ; 7.4. INTERPOLAREA ITERATIVĂ. METODA NEVILLE Algotmul lu Nevlle este ote semăăto cu lgotmul lu Ate. Vom ot polomul lu Lgge ce tepoleză ucţ î odule cu P ;..5.. Teoemă Dcă este detă î tuc: P ; P P ; ; ; ; P P Demostţe: Notăm Q ; P cu Q ; P ş P Q Q Se obsevă că Q Q petu oce ş P Q Q P Q Q Q Q Alog se tă că P dec d uctte polomulu de tepole ezultă că P P ;. Metod Nevlle este be lusttă de umătoul tbel:

P ; P ; P ; P ; P ; P ; M M M M M P ; - P ; - - P ; - - - K P ;.5.. Eemplu : Detemţ polomul de tepole Lgge tşt tst ucţe : 5 utlzâd lgotmul lu Nevlle. P ; ; P ; ; P ; 5 Atuc P ; ; ; P P P ; 5 ; ; P P Polomul de tepole Lgge este : P; ; ; P P 7..6 DIFERENŢE DIVIZATE. POLINOMUL NEWTON DE INTERPOLARE Dezvtele tepolă Lgge p tuc câd dom să dăugăm su să modcăm odu de tepole petu ce tebuesc eăcute tote clculele ce pvesc polomul. Astel este m geu să cotolăm spectul ue cube olosd tepole Lgge decât dcă m olos lte metode de tepole cum Newto.

DIFERENŢE DIVIZATE Petu costue polomulu Newto de tepole vem evoe de oţue de deeţă dvztă. Fe ucţ : b R ş dvzue < < < b.6.. Deţe: Deeţele dvzte de od p sut dete ecusv după cum umeză : - p ; - p ; ; - petu p. p... p p p ; - petu p.... ;.5.6. Remcă : Notăm cu F mulţme ucţlo dete pe tevlul b F { : b R}. Petu o ucţe F putem cosde deeţele dvzte : ; ;. ;. Aceste deeţe costtue u set de m umee ce pot tşte puctelo < < < - stel : ; ;............................. - - ;

Fucţ ce se obţe î cest el este detă pe mulţme { ; ; ; - } ş v ottă cu D. P ume ucţ D este o ucţe elă detă pe mulţme odulo { < < < - } î elul umăto : D petu... Astel lătu de mulţmle de ucţ F ş F - cosdeăm opetoul D : F F - det p : D cu D..6.. Deţe : Opetoul D : F F - det p D.. se umeşte opeto de deeţă dvztă de odul îtâ..6.4. Popozţe : Opetoul de deeţă dvztă de odul îtâ este u opeto l. Demostţe : Fe g F ş b R. Atuc : D bg bg bg bg bg bg g g b D b D g..6.5. Deţe : Deeţ dvztă de odul l dole ucţe eltv l puctul este umăul : D D D.6 Se oteză.6.6. Popozţe : Ae loc umătoe egltte:.7

Demostţe :.6.7. Popozţe : Petu oce putem de deeţ dvztă de odul ucţe ît-u puct : D D D....6.8. Obsevţe : Se pote ăt că : D....8.6.9. Obsevţe : Dcă se cosdeă ml de ucţ F - { : {. - } R } tuc olosd deeţ dvztă de odul se pote soc ecăe ucţ F o ucte d F - stel : D ude D petu Coespodeţ D se umeste opeto de deeţă dvztă de odul..6.. Popozţe: Opetoul de deeţă dvztă de odul D :F F - este u opeto l..6.. Popozţe: Petu opetoul de deeţă dvztă de odul este det do î ş este dtă de :

4 D....9.6.. Popozţe: D.... V W. ude.. W.. ş.. V.. Demostţe : Detemtul.. V este u detemt de tpul Vdemode dec :.. V.. > Petu clculul detemtulu.. W dezvoltăm după ultm coloă ş obţem:.. W.... m m V V...... m V. Atuc.... V W > > > >......

... D..6.. Obsevţe: Petu oce pemute.. umeelo. vem :..... Cu lte cuvte deeţ dvztă de odul u depde de ode odulo..6.4. Obsevţe: Dcă otăm U...... ş U...... -. tuc. U '...6.5. Popozţe: Dcă este u polom de gd cel mult tuc D. Demostţe : Dcă este u polom de gd cel mult tuc ş ţâd cot de ptul că D este u opeto l obţem D D. D. vem D W.. V.. cu W.. dec D....6.6. Popozţe: Dcă ş g sut două ucţ ele dete pe b tuc:.. g g. Demostţe : Se plcă metod ducţe î pot cu 5

6 - petu vem : g g g g g g g g g g g g g g. - pesupuem devătă elţ :... g g ş să clculăm :...... g g g... g g... g g........ g g }.. {. g g }. {. g.. m g }.. g. { g g... g g..

7 b POLINOMUL LUI NEWTON CU DIFERENŢE DIVIZATE Fe ucţ : b R ş dvzue < < < b.6.7. Deţe : Se umeşte polomul lu Newto cu deeţe dvzte coespuzăto ucţe î odule polomul de gdul :.. P...6.8. Teoemă : Polomul lu Newto cu deeţe dvzte coespuzăto ucţe î odule vecă codţle de tepole dcă P. Demostţe : Fe P polomul lu Lgge.4 coespuzăto odulo. Puem Q ş Q P P -. Este evdet că polomul Q e gdul cel mult ş ădăcle -. Dec Q. - U. D Q P P - P - U ezultă că U P U P U. - - l U. - U.. Atuc epes polomelo Q este dtă de elţ : Q... - Polomul de tepole P Q Q Q.. Q.. O popette mpottă polomulu de tepole Newto cu deeţe dvzte este cee că u depde de ode odulo.

.6.9. Teoemă teoem de mede: Fe o ucţe : b R de - o devblă pe tevlul b ş dvzue : < < < b tuc estă ξ stel îcât : ξ! < ξ < b Demostţe : Cosdeăm ucţ utătoe φ W... V... Fucţ φ e popette că φ petu.. Aplcâd teoem lu Rolle pe subtevlele detemte de ceste pucte ezultă că ϕ e cel puţ u zeo ξ b.!. V. ϕ. Deoece φ ξ ezultă că ξ.! Utlzâd omul geelă petu o ucţe de pome putem sce că : P R. Eoe su estul de pome se detemă după omul : R... Polomele Newto ş Lgge deă do p omă estul d celş petu ceeş eţe de odu. D puct de vedee pctc este m covebl utlze polomulu Newto deoece cest ecestă u umă de clcule m mc decât polomul Lgge. umăto: Î pctcă se ecomdă deteme deeţelo dvzte d tbelul.. 4. 4.. 4 4..... 8

.6.. Eemplu : Detemţ polomul de tepole Newto tşt ucţe : 5 5 Atuc polomul de tepole Newto se sce sub om: P.. 7. Obsevăm că polomul de tepole se obţe mult m uşo decât polomul Lgge de l eecţul... C DIFERENŢE DIVIZATE ŞI POLINOMUL NEWTON ÎN MATLAB Î Mtlb putem ce u cod de pogm petu clculul deeţelo dvzte cât ş vloe polomulu de tepole ît-u puct. ucto p ewto_tepoltoyp % Scpt o Newto's Itepolto. % d y e two Row Mtces d p s pot o tepolto y5 p legt; y; o : - d y - y/ - ; ed o : - o : - d d - - d - / - ; ed ed d o : d -; ed D ; c ; o : Dp - -.* D-; c.* D; ed psumc; 9

Pogmul o să e şeze : d. -.. s -9. ce epeztă deeţele dvzte.;.; -. ş P - 9..7 DIFERENŢE FINITE. POLINOMUL LUI NEWTON ASCENDENT ŞI DESCENDENT Fe o ucţe : b R ş o dvzue tevlulu : < < < b cu odu ecdstte dcă estă o costtă îte puctele dvzu: - su. se umeşte psul dvzu. Deeţe te pogesve.7.. Deţe : Numm deeţă tă îte de odul I î su l dept cttte : ude este psul dvzu.7.. Popozţe : este u opeto l Demostţe : Fe ş g două ucţ dete pe b ş o dvzue de odu ecdstte :. tuc ş g g g g g g g.7.. Obsevţe : Îtucât se pesupue cuoscute vlole ucţe do î odule dvzu vom clcul deeţele te do î ceste odu: petu - Petu smpce clculelo cestă elţe o otăm:.7.4. Deţe : Numm deeţă tă pogesvăsu îte de odul î su l dept cttte :

- - Petu. - -.7.5. Popozţe : Fe o ucţe : b R ş o dvzue de odu ecdstte. tuc e loc egltte :!. Demostţe : Să demostăm p ducţe după Petu vem :! o o Pesupuem elţ devătă petu oce umă ş să ătăm că elţ este devătă ş petu. Dec! ş să demostăm că!.!!. -.!!! dec elţ este devătă ş petu elţ este devătă petu oce umă..7.6. Popozţe : Demostţe :..7.7. Popozţe : Au loc elţle: C

b. C Demostţe : se epmă c o combţe lă vlolo lu î odu.. dcă este de om:. Petu deteme coeceţlo legem ucţ e tuc e e e Dezvoltăm bomul d membul stâg ş obţem : C e e C C Alog se demosteză ş b.7.8. Teoemă : omul lu Lebz Fe două ucţ g : b R ş o dvzue de odu ecdstte cestu tevl:. tuc e loc egltte : g C g Demostţ teoeme se ce p ducţe mtemtcă după..7.9. Teoemă: Polomul Newto cu utoul deeţelo te îte se sce sub om : P!.!!.4 Demostţe : D omul polomulu Newto cu utoul deeţelo dvzte vem că :

.. P Îlocud deeţele dvzte cu deeţe te d omul. obţem elţ.4..7.. Deţe : Polomul.4 potă deume de Polomul lu Newto de pm speţă. Este ecomdt utlze lu câd se pomeză vlole lu câd este popt de. Petu tscee lu ît-o omă m compctă se toduce pmetul stel îcât. ude. Atuc :!...!! P P.7.. Eemplu : Detemţ polomul de tepole Newto de pm speţă tşt ucţe : 4 - - - 5- - 7-4 6-8- 5 - -5 7 8 8 - -8 Itoducem pmetul :. 4 Atuc polomul de tepole este : P! 4 4 4 8 6 4 8 6 4 4 4! 4 4 4.5

4 b Deeţe te egesve.7.. Deţe : Numm deeţă tă egesvă su îpo de odul I î su l stâg opetoul : Dcă tuc - ş.7.. Obsevţe: Dcă otăm : tuc petu.7.4. Popozţe: este u opeto l Demostţ este l el c l popozţ.7..7.5. Deţe : Numm deeţă tă egesvăsu îpo de odul î su l dept cttte : Petu..7.6. Popozţe : Demostţe : se demosteză p ducţe dup Petu vem :. Pesupuem elţ devătă petu oce umă p ş să ătăm că este edevătă ş petu p ; Dec p p p să clculăm tuc : p p p p p p p p p p Dec elţ este devătă ş petu p tuc elţ este devătă petu oce umă.

5.7.7. Popozţe : Demostţe : - -..7.8. Popozţe : m m m m C Se demosteză p ducţe după..7.9. Teoemă: Polomul Newto cu utoul deetelo te îpo se sce sub om : P!.!! Demostţe : Petu scee polomulu de tepole cu utoul deetelo te îpo cosdeăm odule dvzu scse î ode vesă : -. Atuc d scee polomulu de tepole cu utoul deeţelo dvzte vem :.. P!.!! D popozţ.7.6 vem : ; ; ;.;. Dec polomul de tepole deve : P!.!!.6

.7.. Deţe : Polomul.6 potă deume de Polomul lu Newto de speţ dou. Este ecomdt utlze lu câd se pomeză vlole lu câd este popt de. Petu tscee lu ît-o omă m compctă se toduce pmetul stel îcât. ude. Atuc : P P...!!!.7.7.. Eemplu : Se dă ucţ p umătoul tbel : 4-4 9 64 Să se deteme polomul ewto de speţ II- tşt odulo ş ucţe. Costum tbelul deeţelo te îpo : Obsevăm că psul 4-4 -4 5 9 9 5 4 9 9 9 9 9 4 64 4 4 64-9 5 5-9 6 Polomul Newto de speţ II- este : 4 4 46 4 4 6-6 4 4 6

P!!.! 4 4 4 4 4 4 4!!! 6 6 64 4 5 4 4 6 5 4..8 POLINOAME CEBÂŞEV Pâă cum e-m pus poblem detemă uu polom ce tepoleză o ucţe î odule ue dvzu tevlulu de deţe. Ne puem poblem lege ue dvzu tevlulu petu c eoe de tepole să e cât m mcă. Petu cest toducem polomele Cebâşev..8.. Deţe : Polomele Cebîşev sut dete pe tevlul p elţ: T cos ccos.8.. Teoemă : Fucţ detă pe tevlul p elţ: T cos ccos epeztă u polom umt polom Cebâşev de gd. Demostţe : Petu otăm c cos. Cu omul lu Move vem : cos s cos s Dezvoltâd ş eglâd păţle obţem : cos cos C cos s C Cum cos s găsm : 4 cos 4 s 4 T C C. 4 4.. Dec T este u polom de gd coecetul lu este 4 C C... 7

Ecuţ T scsă sub om cos ccos duce l ccos dec cos vâd soluţ dstcte. Ecuţ e tote ădăcle ele î tevlul. Deoece T T cosccos cosccoscos ccos ezultă umătoe elţe de ecueţă: T T T Cum T ş T ezultă T T 4 T 4 8 4 8 T 5 6 5 5 etc..8.. Popozţe : Puctele de etem locl le polomulu Cebâşev T cos ccos sut y cos. Demostţe: Devt polomulu T este : Dcă T tuc y. T s ccos ' ccos. ş dec cos sut zeoule devte.. Se obsevă că ădăcle devte T sepă ădăcle polomulu T. Ît-devă : < < ş dec cos > y cos > cos. De semee T y cos ccos cos cos. Cum T ; ezultă că y cos sut pucte de etem locl petu T. Pe de ltă pte vem T -- ş T dec 8

T e pucte de etem locl ş îş scmbă semul de o pe tevlul -;..8.4. Teoemă : Fe cos zeoule polomulu Cebâşev T. Atuc oce pucte temede z z d tevlul - ; vem : sup. sup z z z z. z z ; ; Demostţe: Deoece T. ezultă că tebue să ătăm că sup T sup. z z z z z z ; ; Pesupuem p bsud că estă z ; z; z;..; z ; stel îcât sup z z. z < sup T * ; ; Notăm cu q z z. z ş T q ;. Evdet este u polom de gd cel mult. Obsevăm că e celş sem cu T î cele pucte de etem le polomulu T. Ît-devă e y u semee puct. Pesupuem că T y. Dcă y tuc q y * y cotdcţe cu Dcă T y - ş pesupuem Dcă y > tuc - q y y > cotdcţe cu *. Aşd îş scmbă semul de o dec e ădăc. Acest lucu este posbl do dcă tuc ezultă că T q ; cotdcţe cu * Dec pesupuee ăcută este lsă dec u estă z z ; z ;..; ; ; z stel îcât sup z z. z < sup T ; ; 9

.8.5. Popozţe : Fe odu î ş C. Dcă P este polomul lu Lgge ce tepoleză ucţ î odule tuc eoe R P este mmă dcă odule cos Demostţe : R P ξ! dec P sup P sup ;! ; şd eoe P v mmă dcă sup ; este mmă. Pe de ltă pte d teoem.8.4 ezultă că cest lucu se îtâmplă dcă legem odule cos. dcă sut zeoule polomulu lu Cebâşev..8.6. Obsevţe : Dcă ucţ u este detă pe - c pe tevlul b tuc cosdeăm o tsome lă ş obţem odule : 4

Cptolul II INTERPOLAREA CU AJUTORUL FUNCŢIILOR SPLINE Î obsevţ.. m ătt că tepole polomlă e dezvtul că petu u umă me de odu le dvzu uu tevl eoe de tepole este destul de me dec tepole polomlă globlă pe îteg tevlul de deţe u este coveblă. Petu emedee ceste stuţ vom lege polome de tepole de gd mc pe subtevlele - detemte de odule. le dvzu... FUNCŢII SPLINE - INTRODUCERE Fe o ucţe : b R ş o dvzue lu b: < < < - < b... Deţe : Fucţ s : b R se umeşte ucţe sple de odul dcă sut îdeplte umătoele codţ: epes ucţe s pe ece subtevl este u polom de gd cel mult ; b ucţ s este de - o devblă pe b dec s C b Cuvâtul sple pove d lmb egleză ş îsemă u stumet de tse ue cube etede ce tece p pucte P dt-u pl. Temeul de ucţe sple ost utlzt petu pm dtă de mtemtceul omâ Isc Jcob Scoebeg ăscut l ple 9 Glţ decedt l Febue 99 petu desem o ucţe omtă d polome pe subtevle dcete ş ce se codu î odu împeuă cu u umt umă de devte le sle. 4

m multe omţ despe I.J. Scoebeg se găsesc pe teet l des ttp://e.wped.og/w/isc_jcob_scoebeg.. FUNCŢII SPLINE DE GRADUL I Fe tevlul b ş o dvzue lu b : < < < - < b. Fe o ucţe : b R pesupuem cuoscute vlole lu î odule y... Deţe : Fucţ sple de gdul odul I tştă ucţe ş dvzu este ucţ detemtă de - polome de gdul I S stel: S S b petu. Coeceţ ş b se detemă puâd codţle: - ucţ sple să tecă p ece puct dcă S b y - ucţ sple este cotuă pe b dcă S S. Impuâd ceste codţ obţem : b b y b y y y Scăzâd cele epes obţem ş b y b y. y y. Dec epes ucţe sple de odul I este : y y S y.8 Î plcţ ucţ sple de odul I se oloseşte m puţ deoece de obce u este devblă. Eemplu : Detemţ ucţ sple de odul I tştă ucţe : R cos petu dvzue { } Dec se sce stel: 4

4 - Deoece vem 5 odu ezultă că vem 4 tevle ş 4 polome de odul I. D.8 ucţ sple tştă lu este : S y y y petu S y y y petu S y y y petu S 4 y 4 4 4 4 y y petu Fucţ căuttă deve :. ; ; ; S Î gu umătoe este epezettă ucţ sple împeuă cu ucţ cosus cu utoul pogmulu MAPLE: >

.. FUNCŢII SPLINE DE GRADUL II Fe tevlul b ş o dvzue lu b : < < < - < b. Fe o ucţe : b R pesupuem cuoscute vlole lu î odule y... Deţe : Fucţ sple de gdul II tştă ucţe ş dvzu este ucţ detemtă de - polome de gdul II S stel: S S b - c petu. Coeceţ b ş c se detemă puâd codţle: - ucţ sple să tecă p ece puct dcă S y - ucţ sple este cotuă pe b dcă S S. - ucţ sple este etedă pe b dcă S S Deoece vem coecet ş codţ m tebue să toducem o codţe suplmetă. De egulă se lege c uul d cpetele ucţe sple să e u puct de etem locl dcă S. Eemplu : Detemţ ucţ sple de odul II tştă ucţe : R cos petu dvzue { } Dec se sce stel: 44

- Fucţ sple de gdul II tştă ucţe este : S b c petu ; S b c petu S b c petu S b c petu. Petu deteme coeceţlo puem codţle : S y S ; S ; S - - ; S ;. S b. c ucţ este cotuă : S S. b. c. S S b c. -; -; S S. b c. ; devt este cotuă: S S. b c. b ; S S b. c. b ; S S. b c. b ; 4 Codţ suplmetă: S b 4 Atuc cellţ coeceţ sut: c 4 b 4 c 4 b c 4 4 b ş c. 45

46 Atuc ucţ sple de gdul II este :. 5 6 4 ; 8 4 ; 8 4 ; 4 S Î gu umătoe este epezettă ucţ sple împeuă cu ucţ cosus cu utoul pogmulu MAPLE: >.4. FUNCŢII SPLINE CUBICE DE GRADUL III Fe tevlul b ş o dvzue lu b : < < < - < b. Fe o ucţe : b R pesupuem cuoscute vlole lu î odule y.

.4. Deţe : Se umeşte ucţe sple cubcă su de gdul III tştă ucţe ş dvzu o ucţe S : b R cu umătoele popetăţ: - estcţ lu S l ece subtevl - este u polom de gd cel mult te; - ucţ sple tece p ece puct l dvzu dcă S y ; - ucţle S S S sut cotue pe b..4.. Teoemă : Dcă : b R ş o dvzue lu b : < < < - < b tuc estă o sguă ucţe sple cubcă S : b R ce îdepleşte codţle : S y b ucţ sple este cotuă pe tevlul b dcă S S ; c ucţ sple este etedă pe b dcă S S ; d dou devtă ucţe sple este cotuă dcă S S Deoece vem odu ş dec ucţ sple cubcă e polome de gdul cel mult. Atuc vem 4 ecuoscute coeceţ polomelo. D codţle -d obţem 4 - ecuţ cu 4 ecuoscute dec e m tebue codţ. Aceste pot : e S S b. I Î cest cz se obţe ş umt ucţe sple cubcă tulă. Îte de demost cest ezultt tebue să demostăm umătoe popozţe de lgebă lă..4.. Popozte : Oce mtce păttcă stct dgol domtă este esgulă. Demostţe. Fe A M R cu popette: > * Dcă vom ăt că sstemul A dmte um soluţ blă v ezult că deta. Pesupuem p bsud că estă stel îcât A 47

48 Fe { }.. m. Cum epeztă soluţe petu sstemul A ezultă că :.. su Atuc vem : cee ce cotzce *. Să demostăm cum teoem.4. Fe M S. Deoece estcţ S ucţe sple S l tevlul - epeztă u polom de gd cel mult tuc devt s de odul l dole v pe cest tevl ucţ lă : M M S " ude -. P tege se obţe egltte : D C M M S 6 petu -. Costtele de tege C ş D se detemă d codţle de tepole dcă S y. Dec : S - 6 y D C M ; S y D C M 6. Se obte stel epes : M M S 6 M y M y 6 6..9 Fucţ S este o ucţe cotuă pe tevlul b le căe vlo î puctele cocd cu y. Puem codt c devt să e o ucţe cotuă pe tevlul b. M M y y M M S 6 '.

Petu c ucţ S să e cotuă pe b tebue c estcţle e l tevlele dvzu să îdeplescă codţle : S S.Atuc vem : y y y y M M M 6 6. L cele ecuţ se m dugă cele codţ : S S su dcă se cuosc vlole devte ucţe se pot dăug codţle S y ş S y II Se obţe stel u sstem de ecuţ cu ecuoscute M sstem tdgol ş stct dgol domt. U semee sstem m ătt că e o soluţe ucă. Îlocud soluţle sstemulu î.9 obţem ucţ sple căuttă..4.4. Eemplu : Detemţ ucţ sple cubcă tştă ucţe : R cos petu dvzue { } Dec se sce stel: - Fucţ sple de gdul II tştă ucţe este : S b c d petu ; S b c d petu S b c d petu S b c d Petu deteme coeceţlo puem codţle :. ucţ tebue să tecă p pucte petu 49

S ; S ; S - ; S ; S ;. ucţ este cotuă S S ; S S ; S S ;. devt este cotuă S S ; S S ; S S ; 4. devt dou este cotuă S S ; S S ; S S ; 5. codţ suplmetă S ; S ; Devt ucţe S este : S b c d petu ; S b c d petu S b c d petu S b c d petu. Devt dou ucţe S este : S c 6d petu ; S c 6d petu S c 6d petu S c 6d petu. Se obţe ucţ sple cubcă tulă : S 8 ; 7 7 4 7 4 ; 7 7 7 7 8 6 4 4 ; 7 7 7 8 8 48 8 7 7 7 7 5

Î gu umătoe este epezettă ucţ sple împeuă cu ucţ cosus cu utoul pogmulu MAPLE: >.5. EVALUAREA ERORII DE INTERPOLARE PRIN FUNCŢII SPLINE.5.. Popozţe : Dcă C b ş ucţ sple cubcă de tepole S petu ucţ ş dvzue : < < < - < b. Pesupuem că ucţ sple îdepleşte codţ S ş S su codţ tulă S S b tuc : b " d S" d " S" b b Demostţe : " " S" S" " S" S" d 5

" S" S" de ude deducem : b " d " S" d S" d " S" b b b S" d Îtucât C b S C b ş S este o costtă pe tevlul -. P tege p păţ ultmul teme l egltăţ deve: b " S" S" d S" " S" d S" ' S' S"' ' S' d M ' S' M ' S' dcă ucţ sple îdepleşte u d codţle I su II tuc ultmul teme este ul dec popozţ este demosttă..5.. Cosecţă : Dcă ucţ sple cubcă S ce tepoleză ucţ ş stsce u d codţle I su II tuc e este ucă. Demostţe : Pesupuem că est două ucţ sple cubce S ş S cu ceste popetăţ. Atuc : S S - S este o ucţe sple de tepole etu ucţ detc ulă. Aplcăm popozţ teoă petu ucţ ş ucţ S obţem: b d S" b " d. Cum S C b ezultă S dec S β. Pe de ltă pte ucţ S tepoleză ucţ detc ulă pe tevlul b dec tebue c SSb cee ce mplcă S ş dec S S pe b..5.. Teoemă : Dcă C b ş S este ucţ sple cubcă de tepole petu ucţ ş dvzue : < < < - < b. Dcă ucţ sple îdepleşte u d codţle I su II tuc: ' S' " ; 5

b S " ude m / este om tulă d L b dcă b g g d. Demostţe : S dec - S. D teoem lu Rolle ezultă că ucţ - S dmte câte o ădăcă ξ pe ece d tevle -. Fe - dcă > ξ tuc : S " t S" t ξ dt D egltte lu Scwz deducem: ' S' " S" dt dt ξ / / ξ / b " S" d / ξ " S" D popozţ teoă ce pote scsă ş sub om : S" " S" " S" " " dec ' S' ". Petu demost elţ b plecăm de l egltte : S t S' t ezultă că ' dt deoece ' t S' t " S " dt " / 5

.6. UTILIZAREA PROGRAMELOR MATLAB ŞI MAPLE PENTRU INTERPOLARE PRIN FUNCŢII SPLINE.6.. Fucţ sple î MAPLE Petu deteme ucţe sple tştă ue ucţ pogmul MAPLE dspue de o ucţe pedetă sple. Fucţ detemă ucţ sple de gdul uu do te su ptu. St: sple yvd Agumete : lstă/vecto cu puctele dvzu; y lstă/vecto cu vlole ucţe î puctele dvzu; v umele vble d ucţ sple d opţ umă îteg su ume pedet. Î lst/vectoul elemetele sut dstcte î ode cescătoe. Agumetul d speccă gdul polomelo ce deesc ucţ sple. El pote u umă îteg poztv vloe mplctă este su u cuvât cee : le qudtc cubc qutc. Utlze ucţe tebue pecedtă de comd edlbsple. Eemple: > 54

.6.. Fucţ sple î MATLAB Mtlb utlze ucţe sple petu găs cub sple soctă ue ucţ. De eemplu petu czul ucţ s >> :; y s; :.5:; yy spley; ploty'o'yy 55

Cptolul III APLICAŢII ALE INTERPOLĂRII FUNCŢIILOR.. UTILIZAREA INTERPOLĂRII LA DERIVAREA NUMERICĂ Deve umecă cu utoul polomelo Newto cu deeţe te Î czu pctce câd se cee deteme devte ucţ este dtă î om uu tbel utlze metodelo ltce de clculul deeţl deve mposblă ş tuc se ce pel l pome umecă devte căutte deve umecă. Metod I: Î cls XI se studză devt ue ucţ ît-u puct. U d deţle devte ue ucţ ît-u puct este : lm ş stel obţem pome devte : pome este cu tât m buă cu cât este les m mc. Metod II: Fe că ucţ este detemtă î tevlul b ş este epezettă tbul p pucte. Se cee stble elţe ltce petu devt ceste ucţ. C ucţ de pome se lege u polom de tepole. Dcă odule dvzu ce descu umec ucţ dtă sut ecdstte dcă ude tuc petu stble elţe ltce petu devt ceste ucţ să pomăm ucţ de oge cu polomul Newto cu deeţe te.5.atuc ucţ 56

57!...!! P ude: ; - Descem ptezele ş obţem:... 4! 6 6!! 4 4 Îtucât P P tuc : d dp d dp d d d d Atuc devâd elţ. obţem :.. 4! 6 8 4! 6! ' 4 Petu ce coespude lu se obţe: Petu devt II- pocedăm stel:. d P d d P d d d d d ; Dec 8 6 4 Petu ce coespude lu se obţe:... Alog se pot obţe pomă petu devtele de od m me... 5 4 ' 5 4.. 6 5 " 5 4.. 4 7 5 4

..: Eemplu: Folosd omulele de deve.-. cu deete te să se deteme devtele de odul I II petu ucţ ş odule ; ; 4 ; 6; 4 8 ; 4 Petu pute comp ezulttele costum două tbele uul cu devt ş devt dou ucţe ş cel de-l dole tbel cu pomăle devte coom omulelo. -.. 6 ; ' ; " ; 4 4 -.9658465 -.698485 -.564659.98977 4.86689655 -.5945 -.666898 4.456754 6.759476 -.64878897.66675758.6996 8.69756976 -.594889976.4744666.95549487.5 -.5.5 4 5 -.846585 -.679575.7656 -.56458 -.8866595.9658465 -.99469496 -.7559.854798 -.99785 4.86689655 -.67748479.6879.4545945 6.759476 -.558.57894 8.69756976 -.9756976.5 58

Atuc :.846.679 76.56.88 4 5.997 5.679 76.56.88 6 Deve cu utoul polomelo Lgge : -.654 Metod costă î îlocue ucţe cu polomul Lgge coespuzăto ş deve cestu... Eemplu : Folosd polomul de tepole Lgge să se deteme devtele de odul I II petu ucţ ; ; 4 ; 6; 4 8 ; 4 Polomul de tepole Lgge tşt ucţe este : P ş odule Atuc P -.78 4.47.5999.968.5 P.5 ; P -.55 log petu celellte vlo. Petu devt II- se deveză polomul P. Dec P -4.687 4..998.968. P -.968 ; P.4. Obsevăm că dcă ceştem odul devte eoe devte umece este me. Este ecomdt evte devă umece deoece c dcă pomt este buă u ezultă că devt pomte este o devtă buă...4 Eemplu : Fe uct g s ude g C b Se obsevă d ;g dcă d d ;g. 59

.. UTILIZAREA INTERPOLĂRII LA INTEGRAREA NUMERICĂ Î czul câd tegtul ucţ de sub semul tegle u este o smplă ucţe tege p metode ltce este deseo dclă su c mposblă. Alteo c u se cuoşte epes ltcă ucţe c um o see de vlo le e petu o dvzue ude tevl b uu Î stel de czu se cută o ucţe g ce costtue o buă pome petu ş ce pote uşo tegtă: b d g d b Se utlzeză î geel umătoul lgotm î cdul metodelo umece de tege:. Se împte tevlul b î subtevle cu utoul celo pucte le dvzu;. Se pomeză ucţ cu u polom g ude g g ude g sut polome;. Se tegeză ucţ obţâdu-se: b d g d b d b 4. Se pomeză tegl b b d cu g d p mmlze b estulu d. Fomulele de tege umecă se umesc cudtu. 6

Cudtu Newto - Cotes Fomul de tege Newto Cotes utlzeză petu pome ucţe polomele de tepole Lgge. Cele pucte le dvzu sut ecdsttestute l dstţ b. Polomul de tepole Lgge coespuzăto ucţe ş dvzu este : P l ude l polomele Lgge udmetle. b P ume vem : d A omul Newto Cotes îcsă b ude A Czu Ptcule: l d. Czul I Fe ucţ :b R ş dvzue ce e do două pucte ecdstte : ş Atuc polomul de tepole Lgge coespuzto ucţe ş dvzu este: P ξ D..7 Eoe de tepole este : R! 6

6 Atuc : d R d P d d! ξ Atuc d Deoece putem spue că ş b tuc : omul tpezulu Evlue estulu omule tpezulu b b b bd b b b " "! ξ ξ ξ " " 6 " b b b b ξ ξ ξ Dcă otăm cu M sup{ ; b} tuc putem sce: eoe petu omul tpezulu Czul II Fe ucţ :b R ş dvzue ce e te pucte ecdstte : ş su b b b b b d b M M R

6 Atuc polomul de tepole Lgge coespuzto ucţe ş dvzu este: P Itegâd polomul P obţem : b d P 4 dec omul lu Smpso Evlue estulu omule lu Smpso Alog c l omul tpezulu obţem Ude Msup{ 4 ude b} Eecţu : Folosd omul tpezulu po omul lu Smpso să se clculeze vloe pomtvă tegle d de ude să se deducă vloe pomtvă lu l. Rezolve Cu utoul omule lu Lebtz-Newto deducem l l l l d D omul tpezulu deducem că 4 d D omul lu Smpso obţem : 9 4 6 4 d b b b b d 4 6 88 9 5 5 b M M R

Se şte că l.986.. dec metod lu Smpso pomeză m be ezulttul. d Eecţu : Să se clculeze vloe pomtvă tegle olosd metod tpezulu espectv metod lu Smpso. Rezolve: D omul tpezulu deducem că d 4 D omul lu Smpso deducem că d 75 6 6 4 5..5 78 d Cu utoul omule lu Lebtz-Newto deducem ctg 7854 64

Cptolul IV CONSIDERAŢII METODICE ŞI METODOLOGICE 4.. ASPECTE GENERALE Pocesul de îvăţămât este pcplul subsstem l sstemulu de îvăţămât î cdul cău se elzeză stue ş îvăţe elevlo ş studeţlo p temedul ctvtăţlo poectte ogzte ş dte de căte poeso î coomtte cu umte ome ş pcp ddctce ît-u cotet metodc decvt pelâd l esuse mtele ş ddctce decvte î vedee tge dezdetelo educţe. Scemtc elţ ucţolă dte sstemul de educţe sstemul de îvăţămât pocesul de îvăţămât se epeztă stel: Socette Sstemul de educţe Sstemul de îvăţămât Sstemul şcol Pocesul de îvăţămât Sstemul de educţe cupde ş educţ pemetă sttuţ/ogzţ ecoomce poltce cultule; educţe de tp oml ooml oml; Sstemul de văţmât cupde ş sttuţ de educţe oomlă clubu tbee cete de pegăte poesolă; 65

Sstemul şcol cupde îvăţămâtul pm secud postlcel supeo ş specl; educţe omlă; Pocesul de îvăţămât cupde ctvtăţle ddctce/eductve; Pocesul de îvăţămât ucţoeză c o utte p îmbe escă ş ecesă te ucţ ş compoete udmetle: pede îvăţe ş evlue. A ped u îsemă c poesoul să tsmtă omţ elev să le epoducă. A ped îsemă ogz ş d epeeţele de îvăţe şcolă Cş. M putem spue că pede este ctvtte poesoulu de ogze ş coducee oetelo de îvăţe ce u dept scop clte ş stmule îvăţă ecete l elev. Î pocesul de pede-îvăţe poesoul combă dete mloce de comuce veble oveble ş pveble gce sceme elzte pe tblă su slde-u puse l etopoecto etc. Do cecetăto mec A. Meb ş M. Wee Decodg o cosstet commucto u costtt pe l mlocul lo '7 căî comuce olă mpctul cel m me îl deţ u cuvtele c elemetele socte vzul su soo cu umte mese ole. Astel: mlocele vzule cupd tât elemete oveble le comucă mmcă gestu pve pozţe - cât ş modltăţle de epezete vzulă celo pezette sceme gce ol sldeu etc. u u mpct de 55% sup scultătolo; mlocele vocle tmul vob volum toţ ş leule voc u u mpct de 8%; mlocele veble cuvtele ostte u u mpct de do 7%. C dcă ceste pocete electă do o mede elulu î ce ome pecep mesele ole este mpott petu u poeso să olosescă mloce vzule ş vocle ce să susţă ş să îtăescă î olosul elevlo cele comucte. 66

Mlocele de comuce vzulă ce stu l îdemâ poesoulu sut: tbl egă tdţolă ş m mode ce lbă plşele d âte su cto vdeopoectoul etc. Avtele olos cesto mloce este că pemt o m buă puee î evdeţă mesulu: mesul este vzulzt m smplu; omţ este epusă pemet; cotueză mesul vebl ccetuâd puctele mpotte le teme dscutte. Subsumte vzululu mlocele oveble le comucă u u mpct deosebt î elţle ce se ceeză îte colocuto. Îte ceste cotctul vzul cu udtoul î czul ue pelege su cu pteeul de comuce î czul dlogulu e u ol deosebt. E mpott să pveşt spe cel/ce cău/căo te desez u să evţ cotctul vzul cu ceşt plecâd oc î pămât su ţâdu-ţ pve spe u puct oece. De semee gestc ş mmc tebue cotolte petu u duce udtoulu umte stă emoţole pe ce le îcecă vobtoul u poeso ce ămâtă u ceo o cte totă o dstge ăă să ve teţ elevlo sup stă sle pop de te emoţe elşte esguţă etc; de semee u poeso ce u-ş pote cotol ecţle mmce ţă de ăspusule geşte le elevlo pote ce bţ; de semee tcule de epese pot gee dstgee teţe de l temă ş c eeve ş muzmetul elevlo. Îte elemetele vocle/pveble sut mpotte tmul /vtez vob u tm pe pd pote ce dcultăţ î ecepte mesulu de semee u tm pe let pote ee plctselă ş eteţe; pomtv 5 de cuvte pe mut este tmul ecet; ccetue tebue să vzeze pucte cuvtelo mpotte le comucă ccetue pote scmb ueo sesul comucă; toltte u tebue să e dctă c mede 67

ueo petu îţelege zumzetul clse se oloseşte c toltte şopttă ce mpue teţ clse. Îtebăle descdee dlogulu cu elev Gâdtoul cez Coucus 55-479 î.c. peocupt de educţe omul câtev pecepte ce pute costtu o cocluze l cele pezette m sus ş o toducee petu olul pe ce-l e dlogul î îvăte: Spue-le ş vo ut! Ată-le ş îş vo mt! Pue- să că ş vo îţelege! Pue- să că se eeă desgu l mplce elevlo î pop îvăţe. Petu - detem pe elev să gâdescă să ezolve pobleme să găsescă soluţ poesoul tebue să găsescă stteg de - mplc pe elev î îvăţe ş de gesto î mod decvt stel de stuţ ddctce. 4.. METODE DE PREDARE - ÎNVĂŢARE Metodele de îvăţe sut sceme de cţue detcte de teole îvăţă; ele sut plcte coţutulo dscple studte ş epeztă cţu teozte de elev. Estă m multe modltăţ de clsce metodelo dte ceste pezetăm metodele tdtole clsce ş cele modee. L metodele tdţole cetul cţu este pus pe poeso: cette pe ctvtteeecţul stue pogmtă lgotmze su cette pe coţutul îvăţăpelegee eplcţ poveste. L metodele modee cetul cţu este pus pe elev: cette pe ctvttelucă pctce îvăţe p descopee îvăţe p epemet ocu ddctce smule su cette pe coţutul îvăţădezbtee covesţe dlog. 68

Nole pogme ltce îcueză utlze metodelo modee d u tebue lăste deopte c metodele tdţole. Este ecomdt îmbe celo două metode. Î cele ce umeză vom detl câtev metode ddctce pe ce le cosde de o mpotţă deosebtă î pocesul educţol dtotă ptulu că elev le îdăgesc ş îţeleg m be oţule pedte stel. 4 Istue ssttă de clculto IAC epezt o metodă ddctcă ce oloseşte c pcpl mtel ddctc clcultoul ş sot-ul educţol. Î ultm peodă tote şcolle u ost dotte cu lbotoe omtce dotte cu pltom AeL Advce eleg. AeL este u pcet de pogme educţole cet de m SIVECO ş oeă supot petu pede ş îvăţe teste ş evlue dmste coţutulu ş motoze îtegulu poces educţol. AeL este o soluţe modeă de eleg oed cltăţ de gestoe ş pezete de dete tpu de coţut educţol pecum ş mtele tectve tp multmed. Apope ece dscplă e pcete de lecţ î bblotec vtulă. Peodc ceste sut ctulzte îmbuătăţte de căte SIVECO î bseţ lo ele pot cete de căte poeso ce u u mm de cuoştţe î domeul tml su Oce. Vem să î oem poesoulu o ueltă î plus petu o utlz lătu de tblă ş o buct de cetă. - Şte Mocov AeL poduct Mge. Lecţle î AeL se desăşoă stel: - Elev ş poesoul descd clcultoele ş tă î pogmul AeL cu use-ul ş pol pe ce u pmt-o teo; - D meul: Cls Vtulă poesoul lege lecţ cetă teo pe ce doeşte să o pede după ce tsmte mometele lecţe; - Elev cceseză meul Clsă Vtulă ş vo pm mometele lecţe. 69

Mometele lecţe pot mtele tectve documete wod slde-u powepot lmuleţe eductve teste etc. Avtul ceste metode costă î ptul că elev u pot tece l u ou momet pâă ce u u ezolvt coect ceţele mometulu espectv l ezolve uu test pmesc ezulttul pe loc. Dezvtul costă că elev u ămâ cu multe otţe ş de cee este ecomdt se utlz cestă metodă petu e cuoştţelo. De semee clcultoul pote olost cocomtet cu vdeopoectoul. Astel se pote ce lecţ î powepot ş po se peztă elevlo. E pot pm şe cu momete d lecţ espectvă ecoomsdu-se tmp mpott. Astel oţule ş gule sut mult m cle decât pe tblă ş elev sut mult m teţ. Petu geomet î sptu etă u pogm Cb D cet de comp ceză Cbolog. Cu utoul cestu pogm se pot costu tote copule geometce se pot mpul ceste copu se pot secţo se pot duce segmete depte vecto î spţu. Se pot eplc uşo elevlo de gmzu oţu dcle de geomete cum : pepedcultte î spţu pepedcultte pe u pl ug dedu. Dezvtul cestu pogm este cel că este destul de scump d pote îcect de zle. Despe pogmele Mtlb ş Mple m m mtt î cestă luce. Ele sut oloste m mult î mtemtcle supeoe d m pot utlzte ş î ezolve uo eecţ ş pobleme de lceu. Se pot olos petu tse gcelo uo ucţ petu clcul mtcl petu ezolve uo ecuţ ş ssteme de ecuţ etc. Iteetul este o susă ote mpottă de omţ petu elev ş poeso. Iomtze şcollo ş coecte cesto l teetul de vteză este u vs elzt ît-o pocet destul de me. C ş şcolle d medul ul u lbotoe cu clcultoe legte l teet. 7

De pe teet cdele ddctce pot să se omeze ş să se documeteze. Pot comuc cu coleg d lte şcol d lte ţă pe teme de tees comu. Pot descăc mtele teeste pe ce le pot utlz ulteo l clsă. Pot de semee să puă l dspozţ lto dete mtele pop. Totuş estă ş câtev dezvte: omţle de pe teet sut evecte de multe o epoesoste elev u ueo tedţ să descce mteleleeete ş să le pede poesoulu c ş cum ceţ lo ueo c ăă le ctt d u poeso bu pote ezolv tote ceste pobleme cu destulă uşuţă. Î cocluze clcultoul este u mloc ote utl de o depde cât de ecet îl olosm. 4Itedscpltte Î mod tdţol coţutul dscplelo şcole ost coceput cu o ccetută depedeţă uo dscple ţă de ltele dcă ece dscplă de îvăţămât să e de se stătătoe. Astel cuoştţele pe ce elev le cumuleză epeztă cel m dese u smblu de elemete zolte ducâd l o cuoştee sttcă lum. Î uele czu l uele mte sut ecese oţu teoetce de l lte mte ceste oţu teoetce sut pedte m tâzu. Î lte czu celeş oţu teoetce sut pedte l mte dete pezâd stel tmp peţos. Coţutul uu îvăţămât tedscpl pote pomovt l velul plulu de îvăţămât l velul pogmelo şcole p umăe legătulo îte obecte ş p omule uo obectve stuctv-eductve comue l velul mulelo şcole ş p coţutul lecţlo. D păcte mulele şcole u electă ccteul tedscpl l îvăţămâtulu. Se mpue o coele m buă pogmelo dscplelo tece cu pogm de mtemtcă. De cele m multe o mtemtc devseză teoetc celellte ştţe desczâd dumu costud modele. Mtemtc oeă suppot teoetc 7

petu multe dscple : zcă cme bologe. O ecuţe mtemtc pote o lege cme su zc. Popoţle ucţle tgoometce c s lte bstctză le mtemtc se îtâlesc î zcă ş cme l oce ps petu desce telo tu. Itedscpltte este o om coope te dscple dete cu pve l o poblemtc ce complette u pote sups dect pt-o coveget s o combe pudet m multo pucte de vedee. C.Cucos996 Petu utlz cestă metodă poesoul tebue să cuoscă be ş ltă dscplă decât ce pe ce o pedă să cuoscă pogmele şcole coespuzătoe dscplelo espectve ş să găsescă plcţ teeste ce utlzeză oţu de l m multe mte. Multe oţu mtemtce pot m be îţelese dcă sut tegte î lte ştţe. De eemplu mtemtc ş zc pot pedte ote be tedscpl. Legătu dte cele două mte este ote vece totuş petu elev estă uele pobleme î îţelegee cesto dscple : - mulţ elev u destul de bu l mtemtcă u le plce totuş zc ş pe ce dcă o îvţă o c dt-o oblgţe ; - lţ elev u îţeleg l ce le olosesc multe oţu teoetce d mtemtcă ; Este ote mpott să ştm să puem cuoştţele de zcă î stâsă legătuă cu mtemtc î vt de z cu z să pvm evoluţ cesto p psm plcţlo lo ş veţ omelo. Eemplu de tedscpltte : Stble modelulu mtemtc ucţe empce l pocesulu de ebee pe utlzâd pome cu polome Lgge: Cosdeăm tbelul umăto: 7

Dtele se pot obţe cu utoul ste-ulu ttp://www.csgetwo.com/odesclc.tml ce clculeză destte pe î ucţe de tempetuă Tempetu pe 6 9 C Destte pe q Kg/m 995.678 98. 965.6 94.54 Detemăm polomul Lgge tşt odulo : ; 6; 9; ş ucţe detă tbel stel: 995678 ; 98; 9656; 9454 Cu utoul pogmulu Mple lăm polomul de tepole Lgge P stel: > P.649876 489444444 76677778.584 Petu pec vlbltte modelulu mtemtc se detemă vloe clcultă destăţ ρ * petu tempetu T C ş se compă cu vloe oglă stel : * P 95876 eoe este : ε ρ ρ 95876 95897 9 Modelul mtemtc l destăţ î ucţe de tempetuă v : ρ.649876 T 489444444 T 76677778 T.584 4Metode tectve de gup Îvăţe î gup eeseză cpctte de decze ş de ţtvă dă o otă m pesolă muc d ş o complemettte m me pttudlo 7

ş tletelo cee ce sguă o ptcpe m ve m ctvă susţută de ote multe elemete de emulţe de stmule ecpocă de coopee uctuosă. Io Cegt Specc metodelo tectve de gup este ptul că ele pomoveză tecţue dte mţle ptcpţlo dte pesoltăţele lo ducâd l o îvăţe m ctvă ş cu ezultte evdete. Acest tp de tectvtte detemă detce subectulu cu stuţ de îvăţe î ce ceste este tet cee ce duce l ts-ome elevulu î stăpâul pope tsomă ş omă. Itectvtte pesupue tât competţ detă dept om motvţolă mă de se cluzâd ctvtte de vse pope î ce dvdul vlzeză cu cellţ petu dobâde ue stuţ socle su supeotăţ - cât ş coopee ce este o ctvtte oettă socl î cdul căe dvdul colboeză cu cellţ petu tgee uu ţel comu Ausubel 98. Ele u sut ttetce; mbele mplcă u umt gd de tecţue î opozţe cu compotmetul dvdul. Avtele tectu: - î codţle îdepl uo sc smple ctvtte de gup este stmultvă geeâd u compotmet cotgos ş o stăde compettvă; î ezolve sclo complee ezolve ue pobleme obţee soluţe coecte e clttă de emtee de poteze multple ş vte; D. Ausubel 98 - stmuleză eotul ş poductvtte dvdulu; - este mpottă petu utodescopee poplo cpctăţ ş lmte petu utoevlue; - estă o dmcă teguplă cu lueţe voble î plul pesoltăţ; 74

- subecţ ce luceză î ecpă sut cpbl să plce ş să stetzeze cuoştţele î modu vte ş complee îvăţâd î celş tmp m temec decât î czul luculu dvdul; - dezvoltă cpctăţle elevlo de luc împeuă - compoetă mpottă petu vţă ş petu ctvtte lo poesolă vtoe.joso ş Joso98; - dezvoltă telgeţele multple cpctăţ specce telgeţe lgvstce ce mplcă sesbltte de vob ş de sce; clude bltte de olos eectv lmb petu se epm etoc poetc ş petu -ş mt omţle telgeţe logcemtemtce ce costă î cpctte de lz logc poblemele de elz opeţ mtemtce ş de vestg ştţc scle de ce deducţ telgeţ spţlă ce se eeă l cpctte poteţlul de ecuoşte ş olos ptteule spţulu; cpctte de ce epezetă u do vzule telgeţ tepesolă cpctte de îţelege teţle motvţle doţele celollţ ceâd opotutăţ î muc colectvă telgeţ tpesolă cpctte de utoîţelegee utopecee coectă poplo setmete motvţ teme telgeţ tulstă ce ce omul cpbl să ecuoscă să clsce ş să se spe d medul îcouăto telgeţ molă peocuptă de egulcompotmet ttud Gde H. 99; - stmuleză ş dezvoltă cpctăţ cogtve complee gâde dvegetă gâde ctcă gâde ltelă cpctte de pv ş cecet lucule î lt mod de el cotolul gâd; - muc î gup pemte împăţe sclo ş esposbltăţlo î păţ mult m uşo de elzt; 75

- tmpul de soluţoe poblemelo este de cele m multe o m scut î czul luculu î gup decât tuc câd se îcecă găse ezolvălo pe cot popu; - cu o de decvtă îvăţe p coopee dezvoltă ş dvescă pcepele cpctăţle ş depdele socle le elevlo; - teelţle dte memb gupulu emulţ spoeşte teesul petu o temă su o scă dtă motvâd elev petu îvăţe; - lucul î ecpă oeă elevlo posbltte de -ş împătăş păele epeeţ dele sttegle pesole de lucu omţle; - se educe l mm eomeul bloculu emoţol l cetvtăţ; - gupul dă u setmet de îcedee de sguţă tee ecpocă memblo ce duce l dspţ c de eşec ş cuul de -ş sum scul; - tecţue colectvă e c eect ş educe stăpâ de se ş uu compotmet tolet ţă de ople celollţ îâgee subect-vsmulu ş ccepte gâd colectve Ceguţ L. Ope p. 47 Clsce metodelo ş teclo tectve de gup: După ucţ ddctcă pcplă putem clsc metodele ş tecle tectve de gup stel:.metode de pede-îvăţe tectvă î gup: - Metod pedă/îvăţă ecpoce Recpocl tecg Plsc; - Metod Jgsw Mozcul; - STAD Studet Tems Acevemet Dvso Metod îvăţă pe gupe mc; - Ştu / veu să ştu / m îvăţt; 76

- Metod scmbă peec Se-P Ccles; - Metod pmde; - Îvăţe dmtztă;.metode de e ş sstemtze cuoştţelo ş de vece tectvă î gup: - Ht cogtvă su t coceptulă Cogtve mp Coceptul mp; - Mtcele; - Lţule cogtve; - Fsboe mps sceletul de peşte; - Dgm cuzelo ş eectulu; - Pâz de păă Spde mp Webs; - Tec lo de uă Lotus Blossom Tecque; - Metod R.A.I. ; - Ctoşele lumose;.metode de ezolve de pobleme p stmule cetvtăţ: - Bstomg; - Stbustg Eploz stelă; - Metod Pălălo gâdtoe Tg ts Edwd de Boo; - Cuselul; - Mult-votg; - Ms otudă; - Itevul de gup; - Studul de cz; - Icdetul ctc; 4.Metode de cecete î gup: - Tem su poectul de cecete î gup; - Epemetul pe ecpe; - Potoolul de gup. 77

Î cele ce umeză vom detl câtev d ceste metode pe ce le cosde m mpotte ş cum le-m plct l clsă.. Metod pedă/îvăţă ecpoce P cestă metodă elev sut puş î stuţ de e poeso de eplc coleglo ezolve uo pobleme. Am utlzt cestă metodă stel: l cls VII- l sâştul utăţ de îvăţe: Fomule de clcul pescutt elev u pmt u test de evlue. Î ucţe de ezulttele cestu test m împăţt cls î două păţ: elev ce u obţut ezultte bue ş ce ce u u obţut ezultte bue l cest test. Î um ue tge l soţ s-u omt gupe de câte do elev câte u elev d ece pte. Elevul-poeso e sc de -l îvăţ pe elevul celăllt tote oţule pe ce cest u le- stăpât. După o peodă s- tecut l vece elevlo-elev ş î ucţe de ezulttele cesto u ost otţ. Am costtt î um vecălo că pope toţ elev ş-u îsuşt oţule espectve. Elev u luct împeuă ş csă cee ce î mod obşut u o c. C ş elev d pm gupă m-u mtust că u îţeles ceste oţu mult m be. Dezvtul costă î ptul că u toţ elev sut teesţ de cestă metodă m les ce d dou gupă.. Metod mozculu Jgsw Fece elev e o scă de studu î ce tebue să devă epet. Poesoul stbleşte o temă ce pote împăţă î 4-5 sub-teme. Se ogzeză cls î ecpe de câte 4-5 elev ece dte ceşt pmd câte o şă de îvăţe umeottă de l l 4. Fşele cupd păţ le uu mtel ce umeză îţeles ş dscutt de căte elev. Se peztă succt subectul de ttt ş se eplcă scle de lucu ş modul î ce se v desăşu ctvtte. 78

Fece elev studză sub-tem lu cest lucu pote eectut î clsă su pote costtu o temă de csă. După ce u pcus z de lucu depetet epeţ cu celş umă se euesc costtud gupu de epeţ. Elev peztă u pot dvdul sup cee ce u studt depedet. Au loc dscuţ pe bz dtelo ş mtelelo vute l dspozţe se dugă elemete o ş se stbleşte modltte î ce ole cuoştţe vo tsmse ş celollţ memb d ecp ţlă. Epeţ tsmt cuostţele smlte eţâd l âdul lo cuoştţele pe ce le tsmt coleg lo epeţ î lte sub-teme. Gupele peztă ezulttele îteg clse. Î cest momet elev sut gt să demosteze ce u îvăţt. Poesoul pote pue îtebă pote cee u pot su u eseu o pote d spe ezolve ecău elev o şă de evlue. Metod mozculu e vtul că mplcă toţ elev î ctvtte ş că ece dte e deve esposbl tât petu pop îvăţe cât ş petu îvăţe celollţ. De cee metod este ote utlă î motve elevlo cu ămâe î umă: ptul că se tsomă petu scut tmp î poeso le coeă u scedet mol sup coleglo.. Metod LOTUS-FLOAREA DE NUFAR Se dă poblem su tem cetlă ce se v sce mlocul tble/plse. Se cee coplo s se gdesc l dele su plctle legte de tem cetlă; Idele coplo se tec î cele 8 petle de l A l H sesul celo de cesoc. Cele 8 de deduse vo deve o teme cetle petu lte cte 8 petle ; 4. Metod Bstomg Acestă metodă îsemă omule cât m multo de-ocât de tezste pute păe ceste c ăspus l o stuţe euţtă după pcpul cttte geeeză cltte. Coom cestu pcpu petu uge l de vble ş edte este ecesă o poductvtte cât m me. 79