6. Rezolvarea numerică a problemei Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale

Transcript

1 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 9 6 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 6 Geelităţi Ecuţiile dieeţile epezită uul dite cele mi impotte istumete mtemtice eces petu îţeleee uo ezultte di mecică izică etc Î cest cpitol pezetăm metode umeice petu ezolve poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile Fie D [ b] J R : D R şi D Poblem Cuc petu ecuţi dieeţilă costă î detemie uei soluţii ecuţiei dică uei ucţii deivbile : I [ b] R stel c petu oice I D şi I ce stisce codiţi iiţilă După cum este cuoscut ăsie soluţiei ecte poblemei - u este posibilă decât î umite czui De eemplu detemie soluţiei ecte pi teici clsice ecuţiei pet simple u este posibilă Se justiică stel ecesitte ecueii l metode poimtive petu ezolve poblemei Cuc Remitim petu îceput câtev ezultte pivid eisteţ uicitte şi stbilitte soluţiei cestei pobleme Deiiţie Fucţi : D R se umeşte lipscitziă î pot cu J dcă eistă o costtă L > stel c petu oice D şi z D e loc ielitte z L z

2 9 Bzele Alizei Numeice Obsevţie Dcă eistă şi este măiită pe D tuci este lipscitziă pe D Ît-devă di Teoem lui Le ezultă z c z petu u umit c îte şi z deci putem lee L m 4 D Î ce piveşte eisteţ şi uicitte soluţiei poblemei - e loc umătoe teoemă Teoem Pesupuem că sut îdepliite codiţiile: i este cotiuă pe [ b] î pot cu ; ii este lipscitziă pe D î pot cu ; iii este puct iteio lui D Atuci petu u α > covebil eistă o soluţie uică pe I[ α α] poblemei - Deoece cos Eemplul Fie ecuţi si D [ ] R coom obsevţiei de mi sus putem lu L Atuci petu oice cu < < eistă o soluţie poblemei Cuc petu ecuţi dtă pe u umit itevl [ α α] [ ] După cum se ştie soluţi poblemei se lă cu metod poimţiilo succesive Fie t t dt I Atuci şiul de ucţii este uiom coveet pe itevlul I şi limit s lim este soluţie uică poblemei - Mi mult e loc ML C LC e! 5 ude M sup C m b I

3 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 9 Metod poimţiilo succesive Picd este o metodă poimtivă de ezolve poblemei Cuc Se poimeză soluţi cu şi se cuoşte o evlue eoii Atuci M L Şiul poimţiilo succesive este: dt t dt t t dt!!!!!!! Este cl că e ce este soluţi ectă poblemei Eemplul Fie ecuţi D [ ] R Metod poimţiilo succesive e dezvtjul că pesupue clculul uo itele lucu diicil de elizt Di cestă cuză cestă metodă este mi puţi olosită î pctică metod vâd o impotţă deosebită mi les di puct de vedee teoetic Î cee ce piveşte stbilitte soluţiei poblemei - e iteeseză compotmetul soluţiei l modiicăi mici le ucţiei şi le dtei iiţile Cosideăm deci poblem petubtă δ 6 ε 7 cu celeşi ipoteze sup ucţiei c î Teoem Pesupuem î plus că δ este cotiuă pe [ b] Atuci poblem 6-7 e soluţie uică ottă ; δ ε Teoem Pesupuem stisăcute ipotezele Teoemei şi că ucţi δ este cotiuă pe [ b] Atuci poblem 6-7 v ve soluţie uică ; δ ε pe u itevl [ -α α] α > uiom petu tote petubăile ε şi δ ce stisc: ε ε δ ε cu ε suiciet de mic Î plus dcă este soluţi poblemei epetubte tuci

4 94 Bzele Alizei Numeice m ; δ ε k α cu k / α L ε α δ 8 Utilizâd cest ezultt se pote im că poblem - este coect pusă su stbilă Deci dcă se c mici modiicăi î ecuţi dieeţilă su î dt iiţilă tuci soluţi u se modiică semiictiv Soluţi depide cotiuu de dtele poblemei ume ucţi şi dt iiţilă Di puct de vedee izic semiicţi Teoemei costă î ptul că petu eomee izice descise de ecuţii dieeţile mici btei su eoi î codiţiile iiţile su î îsăşi lee de evoluţie u deomeză pe puteic pocesul Rezulttul este impott cu tât mi mult cu cât semee petubţii su eoi sut îtotdeu ievitbile Se pote îtâmpl c o poblemă să ie stbilă d post codiţiotă î pot cu clculul umeic deşi semee situţii u p pe des î pctică Petu îţelee mi bie câd cest se pote poduce vom estim petubăile soluţiei dtote petubăilo î poblemă Vom simpliic discuţi cosideâd umi petubăile ε î dt iiţilă ; petubăile δ itevi î ăspusul il coom 8 Petubăm deci vloe iiţilă c î 7 Fie ;ε soluţi petubtă Atuci ; ε ; ε α α ; ε Dcă este soluţi poblemei epetubte - şi z ;ε este eoe tuci z ; ε ; ε z ; ε 9 z ; ε ε Apoime 9 este vlbilă câd ; ε este suiciet de pope de cee ce se îtâmplă petu vloi mici le lui ε şi itevle mici [ -α α] Ecuţi dieeţilă poimtivă 9 se pote ite uşo Se obţie t t z ; ε ε ep dt t Dcă deivt pţilă stisce t t t α ε

5 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 95 tuci z ; ε ămâe măiită de ε câd ceşte Î cest cz se spue că poblem Cuc este bie codiţiotă C eemplu de compote opusă cosideăm poblem cu > Cum putem clcul ect z ; ε εe Atuci petube lui se măeşte câd ceşte Eemplul Ecuţi dieeţilă e e soluţi ; ε e εe ce se depăteză pid de soluţi ectă Spuem că poblem este post codiţiotă Reveim cum l poblem - Di cosideete pctice se pesupue că dică se îlocuieşte codiţi cu Acestă pesupuee u este estictivă petu că dcă m ăsit u loitm ce ezolvă poblem - tuci cu cest loitm putem ezolv şi poblem - Ît-devă ie I [ ] şi I [ b] Pe itevlul I cem scimbe de vibilă X Atuci X Y X şi ecuţi devie Y X X Y X [ ] i codiţi iiţilă devie Y 4 Metodele umeice petu ezolve poblemei - costu î leee uo odui de obicei ecidistte k k k N şi detemie uo vloi poimtive le soluţiei ecte î ceste odui vloi pe ce le otăm cu k Aşd k k Se cuosc două clse impotte de metode umeice petu ezolve poblemei Cuc Metode diecte ui-ps î ce este clcult pit-o elţie de ecueţă î ucţie umi de vloe k clcultă teio Î cestă cteoie ită metod Tlo şi metodele Rue-Kutt Metode idiecte cu mi mulţi pşi î ce se clculeză pit-o elţie de ecueţă î ucţie de vloile pecedete km k k Î cestă cteoie ită metodele Adms-Bsot Adms-Moulto şi metod pedicto-coecto k k

6 Bzele Alizei Numeice 96 6 Metode diecte Metod lui Tlo Fie oduile ecidistte şi soluţi ectă poblemei - Aşd Pesupuem că este dieeţibilă de u umă suiciet de oi Cum di omul lui Tlo ezultă!!! p p p R p ude! p R p p p ξ ξ Di ezultă succesiv etc Atuci: etc Petu p obţiem 4!!! R

7 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 97 Apoimăm soluţi ectă î deci cu!!! eoe iid dtă de 4 IV R4 M 4 ude M 4 sup 4! [ ] ude se clculeză c mi sus Î cotiue cosideâd soluţi poblemei ce stisce deci poid cu puctul se detemiă ce poimeză pe şmd Î eel se poimeză cu dt de IV!!! Evidet eoile se cumuleză Eemplul 4 Fie ecuţi Aleem Î cest cz Atuci 6 Deci Apoimăm cu dt de 6!!! Obţiem 459 Pe de ltă pte soluţi ectă poblemei este deci 4599 Dezvtjul metodei Tlo costă î ptul că pesupue clculul deivtelo k l iece ps cee ce este diicil de elizt Acestă deicieţă este îlătută de metodele ce umeză Dcă p se obţie metod lui Eule Î cest cz vloile poimtive le lui sut dte de 5 ude evidet

8 98 Bzele Alizei Numeice Metod lui Eule e o itepete eometică ote simplă: dcă s- detemit vloe - petu detemi se cosideă soluţi ecuţiei ce tece pi - - deci ce stisce - - ; se duce poi tet l icul cestei soluţii î puctul - - ; se itesecteză cestă tetă cu dept obţiâdu-se Di cest motiv metod lui Eule se mi umeşte şi metod liiilo poliole După cum se obsevă di iu de mi jos eoile se cumuleză O Eemplul 5 Folosid metod Eule să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc 4 5 î puctul î doi pşi Î cest cz Atuci: Metodele Rue-Kutt se deosebesc de metod lui Tlo pi ptul că îlocuiesc clculul deivtelo ucţiei pi evluăi le lui î divese pucte Metod ost itodusă de mtemticiul em Cl Dvid Rue î 895 şi dezvolttă de u lt mtemtici em Wilelm Kutt î 9 Vom liz î detliu

9 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 99 metod Rue-Kutt de odiul doi Vloile poimtive le lui sut dte de b b 6 i Costtele b b umeză i detemite Dcă otăm tuci di omul lui Tlo petu ucţii de două vibile obţiem O b b O b b 7 Pe de ltă pte di metod lui Tlo vem!! O 8 Idetiicâd coeicieţii lui şi di 7 şi 8 ezultă b b 9 Deoece sistemul 9 e ecuţii şi 4 ecuoscute u di ecuoscute pote i lesă bit De eemplu dcă leem b α tuci b α deci α α b stel că omulele 6 se mi sciu

10 Bzele Alizei Numeice α α α Petu α se obţie metod Eule îmbuătăţită [ ] Petu α se obţie metod Eule modiictă Eemplul 6 Folosid metod Eule îmbuătăţită să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc 5 4 î puctul î doi pşi Î cest cz Cum [ ] pi clcul se obţie 8 Simil [ ] Eemplul 7 Folosid metod Eule modiictă să se detemie soluţi poimtivă poblemei Cuc di Eemplul 6 î puctul î doi pşi

11 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile Î cest cz deci 4 i 5868 Î cotiue pezetăm metod Rue-Kutt de odiul ptu î om pticulă sub ce este cel mi des utiliztă WKutt ude 4 şi Eemplul 8 Folosid metod Rue-Kutt de odiul 4 să se detemie soluţi poimtivă poblemei Cuc di Eemplul 6 î puctul î doi pşi Folosid otţiile di Eemplul 6 se obţie: deci [ 4 ] 6 Petu clculăm mi îtâi Î coseciţă

12 Bzele Alizei Numeice [ ] Acestă metodă se pote plic şi petu sisteme de ecuţii dieeţile Fie sistemul de ecuţii dieeţile d d d d 4 cu codiţi iiţilă 5 Fomulele se sciu î cest cz stel ude: şi

13 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile Asup cosisteţei stbilităţii şi coveeţei metodelo diecte Oice metodă diectă petu ezolve pobelemei Cuc pote i scisă sub om eelă Φ 8 ude ucţi Φ se umeşte ucţie de ceştee Petu elţi 8 se scie sub om Φ 9 Deiiţie Dcă este soluţi ectă poblemei Cuc - se umeşte eoe de tuciee metodei ucţi t Φ ude b şi > stel c b [ Deiiţie Se spue că omul 8 dă o poime cosistetă poblemei b dcă t câd uiom î pot cu [ Di se vede că petu o metodă cosistetă vem Φ Deiiţie Se spue că omul 8 dă o poime cosistetă de odi p dcă eistă N > petu oice ] şi u îte pozitiv p stel c sup b t N Popoziţi Metod lui Tlo de odi p este cosistetă de odi p Metodele Rue-Kutt de odiul p dt sut metode cosistete de odiul p Demostţie Petu metod dtă de omul lui Tlo de odiul p vem p t p! p ξ ude < ξ < p Aleâd N sup ezultă cosisteţ de odiul p p! b Spe eemplu metod lui Eule este cosistetă de odiul Petu metodele Rue-Kutt este diicil să obţiem o omă eplicită lui N Pâă cum m cosidet eoile de tuciee dică eoile ce p pi discetize ecuţiei dieeţile Ne iteeseză îsă î ce măsuă soluţi ecuţiei p

14 4 Bzele Alizei Numeice cu dieeţe dică ecuţiei obţiută pi discetize deci şiul poimeză soluţi ecuţiei dieeţile Aşd vom bod poblem coveeţei soluţiei ecuţiei cu dieeţe l soluţi ecuţiei dieeţile Acestă coveeţă tebuie deiită cu teţie De eemplu dcă lizăm compote şiului câd petu it u vom obţie u cocept util deoece î cest cz i pe oi e iteeseză ce se îtâmplă petu Deci tebuie să cosideăm compote şiului câd cu it Petu obţie o soluţie petu vloe ită tebuie să măim umăul de pşi ceuţi petu jue l di dcă psul desceşte Deiiţie Metod umeică diectă se umeşte coveetă dcă petu oice [ b] vem lim Acestă deiiţie se dtoeză lui G Dlquist Î studiul coveeţei metodelo diecte este utilă umătoe lemă Lem Au loc ielităţile: e R m m e m N Demostţie Cum este coseciţă imedită lui este suiciet să justiicăm D este coseciţă imedită omulei lui Tlo deoece ξ e e ude ξ este îte şi Î cotiue vom liz coveeţ metodelo diecte Fie e Deci e epezită eoe loblă dite soluţi ectă şi soluţi poimtivă î oduile Di obţiem Φ t Scăzâd 8 di cestă elitte vem e e [ Φ Φ ] t Evidet e Di eeicie ptul că t - este mic u este suiciet petu siu că e este mic A tebui să ătăm că m e C m t

15 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 5 ude costt C este idepedetă de ; este cee ce umim stbilitte metodei de poime Î cele ce umeză pesupuem că ucţi de ceştee Φ stisce codiţi lui Lipscitz Φ Φ z K z b z R > 4 [ ] şi că metod este cosistetă de odi p cu costt N Cosideăm mi îtâi czul K > Atuci di ezultă că eistă > stel c petu ] să vem p e e K N Aplicâd cestă ielitte ecusiv ezultă p e K e N [ K K ] Deoece e di Lem ezultă că K K e e K p p p e N N N K K K Petu K se obţie imedit p N e Am demostt deci umătoe teoemă Teoem Dcă metod 8 este cosistetă de odi p cu costt N i ucţi Φ stisce codiţi lui Lipscitz 4 tuci eistă > stel c petu ] vem e K p N dcă K K 5 p N dcă K ude este soluţi ectă poblemei Cuc Deci metod este coveetă Acestă teoemă s- obţiut poid de l picipiu impott l lizei umeice ce se pote euţ stel: CONSISTENŢĂ STABILITATE CONVERGENŢĂ Deiiţie O metodă umeică diectă se umeşte coveetă de odiul p N dcă eistă C > stel îcât C oice i [ b] Teoem spue că o metodă umeică cosistetă de odiul p N şi petu ce ucţi de ceştee stisce codiţi Lipscitz 4 este coveetă de odiul p Număul p itodus de Teoem u este uic detemit dcă p

16 6 Bzele Alizei Numeice eistă: dcă < şi p este odi de coveeţă tuci şi p cu < p < p este u odi de coveeţă petu cestă metodă Se pote pue poblem detemiăii uui odi de coveeţă miml petu o metodă dtă Î pctică este suiciet să se detemie u odi de coveeţă covebil Metodele pezette mi sus u odie de coveeţă dieite Spe eemplu se pote ăt că metod lui Eule îmbuătăţită e odi de coveeţă dcă eistă L > stel îcât L [ b] J Î ucţie de L se pote detemi K di 4 Ţiâd sem de petu cestă metodă vem Φ [ ] Atuci Φ Φ z z z z L z L L [ z z ] L z L deci K L Î cest cz di omul Tlo ezultă t R Q ude R este eoe de l omul Tlo i Q eoe ce se ce opid temeii de odiul doi di omul Rue-Kutt Dcă deivtele lui şi le lui sut măiite tuci metod Eule îmbuătăţită e odiul de cosisteţă Î îceiee meţioăm că metod olosită î studiul stbilităţii soluţiei poblemei Cuc se pote plic şi î czul metodei Eule Cosideăm metod umeică loă poblemei Cuc: z z [ z δ ] 6 z ε Compăm cele două soluţii umeice z câd Fie e z - Atuci z ε Scăzâd 5 di 6 obţiem e e [ z ] δ ce e ceeşi omă c Utilizâd celşi pocedeu c îdemostţi Teoemei ezultă

17 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 7 b e L b m z e ε δ L Î coseciţă eistă costtele k k idepedete de stel c m z k ε k δ 7 Acestă ielitte este loă ielităţii 8 di czul poblemei Cuc iiţile Aşd metod Eule este stbilă umeic De ltel tote metodele umeice petu poblem Cuc u cestă omă de stbilitte imitâd stbilitte poblemei iiţile Aliz se pote simpliic luâd δ şi cosideâd umi eectul petubăii iiţile Nu vom liz ici poblem eoilo de otujie 6 Metode idiecte cu mi mulţi pşi Metod Adms-Bsot Să pesupuem că pit-o metodă diectă de eemplu de tip Rue-Kutt s-u detemit vloile î oduile ude k k Se pue poblem detemiăii uei vloi poimtive petu este soluţi ectă poblemei Cuc Iteâd pe itevlul [ ] obţiem: d Petu clcul itel olosim o metodă umeică de eemplu o metodă Newto-Côtes petu oduile ecidistte -m i m 8 i i- i m Dcă [ ] tuci eistă t [] stel îcât t 9 Fie P m poliomul de itepole Le coespuzăto tbelului -m i -m i ude i i i i m Vom poim vloe ectă pi Pm d După cum se ştie P m Li i i i m ude 4

18 8 Bzele Alizei Numeice j t j Li j m i j j m i j j i j i m i t k t m t i t i t k i m [ i ] i m! i! t i Făcâd scimbe de vibilă 9 î 4 obţiem: m i t k k i dt i m i m! i! t i Dcă otăm cu m i t k A k i dt 4 i m! i! t i obţiem Ai i 4 i m cuoscută sub umele de omul Adms-Bsot Î cotiue vom eplicit omul 4 petu vloi pticule le lui m Astel petu m deci câd se olosesc oduile şi - omul 4 devie A A ude coom 4 t t t A dt!! t A t t t dt t!! t Î coseciţă petu m omul lui Adms-Bsot se scie 4 Simil petu m se obţie i petu m

19 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 9 Î cee ce piveşte evlue eoii scăzâd 4 di 8 obţiem [ Pm ] d deci Pm d Deci eoe di metod lui Adms-Bsot este mi mică decât sum dite eoe di metod Rue-Kutt olosită î clculul lui şi eoe de l itee umeică Î czul m se obţie olosid scimbe de vibilă 9 : M M Pm d d t t dt 5 M ude M sup [ b] Deci eoe de itee î cest cz este de odiul Să meţioăm cum că iteâd pe [ - ] î locul lui 8 se pote coside d 46 Se pote poced poi c mi sus Acestă metodă este tibuită lui E J Nstöm 95 Petu m de eemplu se obţie - 47 Metodele Adms-Bsot şi Nstöm sut cuoscute c metode eplicite deoece elţi de ecueţă 4 su ce coespuzătoe petu metod Nstöm u coţi ; ele epimă eplicit î ucţie de - -m Eemplul Folosid metod Adms-Bsot de odi tei să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc 4 5 î puctul 5 detemiâd soluţi î cu metod Rue-Kutt de odiul ptu î ptu pşi

20 Bzele Alizei Numeice Petu plic metod Rue-Kutt de odi ptu luăm: şi obţiem Petu detemi vloe poimtivă soluţiei î 5 olosim metod Adms-Bsot de odi tei ude obţiâdu-se soluţi ectă iid 5 Metod Adms-Moulto Pesupuem că pit-o metodă diectă m detemit vloile poimtive î oduile k k k şi că < b Fie P m poliomul de itepole Le coespuzăto tbelului -m -m Fomul coespuzătoe lui 4 este: Pm d 48 Pocedâd c mi sus obţiem Bi i 49 i m ude m t k i k Bi!! dt i m 5 i m i t i cuoscută sub umele de omul Adms-Moulto Vom pticuliz cum cestă omulă Petu m se obţie 5 petu m petu m

21 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile Deoece ecuoscut pe şi î membul dept deci î eel u se pote eplicitde cee metod Adms-Moulto este o metodă implicită De obicei 49 tebuie ezolvtă c o ecuţie lebică pit-o metodă itetivă Se lee poi se clculeză F F etc ude F pe di sciee covebilă lui 49 sub om F Petu clcul o poimţie buă eplicită de eemplu Adms-Bsot Se pote demost umătoe teoemă se pote utiliz o omulă Teoem 4 Fie şiul ecuet k k Bi i B k N 54 i m Dcă ucţi stisce codiţiile Teoemei şi este les stel îcât k B L < L iid costt lui Lipscitz tuci şiul este coveet şi limit s lim k stisce ecuţi Bi i k i m Eoe di metod Adms-Moulto se pote estim c şi î czul metodei Adms-Bsot Eemplul Folosid metod Adms-Moulto de odi uu să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc 4 5 î puctul 5 cosideâd soluţi 5 obţiută cu metod Eule modiictă cu 5 Atuci 5 46 şi cum k 5 8 k obţiem 5 4 5

22 Bzele Alizei Numeice Metod pedicto-coecto Adms-Bsot-Moulto Pesupuem că pit-o metodă diectă m detemit vloile poimtive î oduile Fie m m şi b Î pim etpă etp pedicto se detemiă vloe poimtivă cu metod Adms-Bsot petu m m Vloe stel detemită se oteză cu şi este olosită î cotiue î etp dou etp coecto petu detemie vloii cu metod Adms-Moulto cu m m Cele mi utilizte metode pedicto-coecto sut: [ ] m m k k m m k k m m k k Eemplul Folosid metod Adms-Bsot-Moulto de odi să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc 5 4 î puctul 5 cosideâd soluţi 5 obţiută î eemplul C şi î eemplul vem: şi obţiem Petu detemi vloe poimtivă soluţiei î 5 olosim metod Adms-Bsot de odi tei

23 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile si obţiem Notăm 5 7 şi plicăm î cotiue metod Adms-Moulto de odi Obtiem: 5 9 ; 5 9 Î cotiue vom bod u umit tip de stbilitte petu ilust umite idei ce u pot i pezette î czul metodei Eule Am ătt l metod Eule că metodele umeice petu poblem Cuc u o umită omă de stbilitte imitâd stbilitte poblemei Cuc Î pticul cest tip de stbilitte ccteizeză şi metod 47 dtă de Di păcte cestă stbilitte u este stisăcătoe petu scopui pctice Vom ăt cestă metodă u este covebilă î pot cu u umit ses de stbilitte pe ce o vom deii Deoece elţi de ecueţă depide de este eu să dăm ezultte eele pivid stbilitte umeică uei stel de metode Este istuctiv să căutăm cu metod de mi sus soluţi umeică poblemei R 55 căei soluţie este e Acestă poblemă o vom utiliz c poblemă model Dcă o metodă umeică se compotă ău cu o poblemă tât de simplă c 55 este puţi pobbil c cest să ie buă petu ecuţii dieeţile mi complicte Î cest cz 47 devie 56 Vom clcul soluţi ectă cestei ecuţii şi o vom comp cu soluţi ectă ecuţiei 55 e Ecuţi 56 este u eemplu de ecuţie liiă cu dieeţe de odi Eistă o teoie eelă petu ecuţii liie cu dieeţe de odi p Multe metode petu ezolve ecuţiilo dieeţile u u lo î ezolve ecuţiilo cu dieeţe iid u id î ezolv 56 Vom îcepe căutâd soluţii lii idepedete petu ecuţii cu dieeţe Aceste sut combite sub om soluţiei eele Simil cu soluţiile epoeţile le ecuţiilo dieeţile liie căutăm soluţii petu 56 de om 57 petu u umit ecuoscut Îlocuid î 56 petu ăsi codiţii ecese petu obţiem Împăţid cu ezultă 58 Este vlbilă şi ecipoc Dcă stisce 58 tuci dt de 57 stisce 56 Ecuţi 58 se umeşte ecuţie ccteistică petu metod 47 Rădăciile sle sut

24 Bzele Alizei Numeice 4 59 Soluţi eelă lui 56 este 6 β β Coeicieţii β şi β di 6 se detemiă di codiţiile c şi să coicidă cu ce se obţie di 6 petu şi β β β β Soluţi cestui sistem este β β D e ceste sut vloile soluţiei ecte Atuci olosid omul lui Tlo obţiem β β O e O e Petu ceste vloi β şi β câd Î coseciţă câd deci di 6 ezultă că temeul tebui să coespudă soluţiei ecte De pt β β e [ ] O e Ît-devă 4 O e O Atuci [ ] O e O e deoece e O Î coseciţă ] [ O e O e Petu vede diicultte utilizăii omulei 6 î ezolve umeică ecuţiei 55 să emiăm cu teţie vloile eltive le lui şi Petu < < e loc > >

25 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 5 Atuci temeul v ceşte mi puţi pid decât şi temeul coect î 6 β v domi Totuşi petu < vom ve < < < - > Î coseciţă β v domi β câd ceşte petu it ecotâd cât de mic este les iiţil Temeul β câd pe câd temeul β ceşte î mitudie lteâd c sem câd ceşte Temeul β se umeşte soluţie pzită metodei umeice 56 deoece u coespude uei soluţii ecuţiei dieeţile oiile Ecuţi oiilă e o milie de soluţii cu u pmetu depizâd de vloe iiţilă d poimţi 56 e mili de soluţii 6 cu doi pmeti ce depide de şi Nou soluţie β este o ceţie metodei umeice; petu poblem 55 cu < e ce c soluţi umeică să se depăteze de soluţi coectă câd Di cuz cestei compotăi spuem că metod 47 este slb stbilă Eemplul 4 Fie poblem model cu şi 5 Se plică metod 47 cu şi detemit cu metod Eule Petu 5 soluţi devie etivă şi lteeză c sem l iece ps Se costtă că dcă e sem etiv tuci istbilitte slbă pe uzul î ezolve poblemei Cuc pi metod 47 k k k k k k Eemplul 5 Fie poblem Soluţi cestei ecuţii dieeţile este stict cescătoe petu D deci < petu > Ne şteptăm l o umită istbilitte Luâd 5 se costtă că de l 5 soluţi umeică îcepe să descescă juâd î 5 să ie etivă k k k k

26 6 Bzele Alizei Numeice Itee umeică ecuţiilo dieeţile de odiul îtâi î MATLAB Î MATLAB ucţiile ode şi ode45 su odeeum şi ode45eum ezolvă ecuţii dieeţile de odiul îtâi pi metod Rue-Kutt de odiul doi espectiv ptu pmetii vâd umătoele semiicţii: este umele işieului de tip m ce coţie ucţi sut coodotele puctului iiţil i este puctul î ce se cee vloe poimtivă soluţiei e este pecizi soluţiei implicit - espectiv -6 um tuci câd e vloe dieită de zeo se tipăesc ezulttele itemedie Eemplu Să se detemie vloe poimtivă soluţiei umătoei pobleme Cuc î puctul psul iid stbilit î mod utomt de ucţi ode ode45 Se ceeză işieul de tip m umit ce coţie cu secveţ % Fisieul cu ucti este de tip m uctio *^^; după ce se peleză ucţi ode45 stel []ode45 ; disp Soluti poimtiv ite si ; disp; disp;

27 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile 7 Eeciţii Folosid metod Tlo de odiul să se ăsescă soluţi poimtivă umătoelo pobleme Cuc î puctele meţiote î î 4 pşi R ' '' ''' î î 4 pşi R ' '' ''' Să se detemie soluţi poimtivă ecuţiilo dieeţile umătoe olosid metod Eule şi Eule îmbuătăţită î cu psul R Cu metod Eule petu i i i i i i i 5 obţiem: i i i i i Cu metod Eule îmbuătăţită i i [ i i i i i i ]

28 8 Bzele Alizei Numeice obţiem: i i î 5 cu psul R Cu metod Eule petu i i i i i i 5 obţiem: i i Cu metod Eule îmbuătăţită i i [ i i i i i i ] obţiem: i i Folosid metod Rue-Kutt de odiul ptu să se detemie soluţi poimtivă umătoelo ecuţii dieeţile de odiul îtâi î codiţiile pecizte î iece cz î pte 8 5 î 5 pşi î R î î 4 pşi R 5

29 Rezolve umeică poblemei Cuc petu ecuţii dieeţile Folosid metod Adms-Bsot de odi să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc : ' î puctul 5 luâd şi detemiâd cu metod Rue-Kutt de odi 4 vloe lui 4 R Folosid metod Rue-Kutt de odi 4 se detemiă 4885 şi plicâd omul Adms Bsot petu m ăsim Folosid metod Adms-Bsot de odi să se detemie soluţi poimtivă umătoei pobleme Cuc : ' 5 î puctul 5 luâd şi detemiâd cu metod Rue-Kutt de odi 4 vloe lui 4 R Folosid metod Rue-Kutt de odi 4 se detemiă şi plicâd omul Adms Bsot petu m ăsim 54 9 Folosid metod Adms-Moulto de odi să se detemie soluţi poblemei ' Cuc î puctul 5 luâd 5 şi detemiâd cu metod Rue-Kutt de odi 4 vloe lui 5 R Cu metod Rue-Kutt de odi 4 se detemiă vloe poimtivă i după iteţii cu metod Adms-Moulto se obţie ezulttul 58874

30 Bzele Alizei Numeice Folosid metod Adms-Moulto de odi să se detemie soluţi poblemei Cuc ' î puctul 5 luâd şi detemiâd cu metod Eule îmbuătăţită vloe lui 4 Folosid metod Adms-Bsot-Moulto petu m şi m să se detemie soluţi poimtivă după iteţii poblemei Cuc de l eeciţiul 9