UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO SIMONA OBLAK

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO SIMONA OBLAK

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in računalništvo Cavalierijevo načelo DIPLOMSKO DELO Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Simona Oblak Ljubljana, januar 2013

Program dela V diplomskem delu obravnavajte Cavalierijevo pravilo za ploščine ravninskih likov in prostornine teles. Na primerih pokažite uporabo tega pravila. Ljubljana, april 2012 Mentor: dr. Marko Razpet III

Zahvala Najprej bi se rada zahvalila svojemu mentorju, profesorju dr. Marku Razpetu, za njegovo strokovno pomoč, za potrpežljivost pri popravljanju mojega diplomskega dela ter za vzpodbudne besede, ko sem jih potrebovala. Hvala prof. Ivanki Šircelj - Žnidaršič za lektoriranje. Nadalje bi se zahvalila svoji družini, možu in otrokom, ki sem jih v tem času včasih postavila na stranski tir. Hvala tudi mojim in moževim staršem, ker so me vzpodbujali in mi omogočili, da sem imela potreben čas za zbrano pisanje diplomskega dela. In ne nazadnje hvala tudi vsem mojim prijateljem, ki so ostali neimenovani pa so vseeno pripomogli k temu, da lahko po dolgem času zaključim začeti študij. IV

Povzetek Diplomsko delo govori o geometriji, predvsem o ploščini ravninskih likov in prostornini geometrijskih teles. Glavni del diplomskega dela je namenjen italijanskemu matematiku Bonaventuri Cavalieriju in njegovemu načelu v ravnini in prostoru. Cavalierijevo načelo je uporabno tako v osnovni kot v srednji šoli pri računanju ploščine nekaterih likov in računanju prostornine piramide in poševnih geometrijskih teles. Ključne besede Cavalierijevo načelo, Bonaventura Cavalieri, Arhimed, geometrija, ploščina, lik, trikotnik, pravokotnik, paralelogram, prostornina, telo, prizma, kocka, piramida, valj, stožec, krogla, integral V

Abstract Cavalieri s principle The dissertation is about geometry, in particular about the area of the planar shapes and volume of geometric solids. The main part of this dissertation is focusing on the Italian mathematician Bonaventura Cavalieri and its principle in the plane and space. Cavalieri s principle can be useful in both the primary and secondary school when calculating the area of some planar shape and the volume of pyramids and geometric oblique solid. Keywords Cavalieri s principle, Bonaventura Cavalieri, Archimedes, geometry, area, shape, triangle, rectangle, parallelogram, volume, solid, prism, cube, pyramid, cylinder, cone, sphere, integral MSC(2010): 01A99, 01A45, 28A75. VI

Kazalo 1 Uvod 1 1.1 Kratka zgodovina geometrije................... 1 1.2 Ploščina likov in prostornina teles................ 3 1.3 Problem ploščine likov...................... 6 2 Življenjepis Bonaventure Cavalierija 11 3 Cavalierijeva teorija nedeljivosti 14 3.1 Cavalierijevo načelo v ravnini.................. 16 3.2 Cavalierijeva teorija in Arhimedovo tehtanje.......... 18 3.3 Primeri uporabe Cavalierijevega načela v ravnini........ 23 3.4 Cavalierijevo načelo v prostoru.................. 29 3.5 Prostornina posplošene piramide................. 35 3.6 Primeri uporabe Cavalierijevega načela v prostoru....... 38 3.7 Cavalierijevo načelo in temeljna teorija integralnega računa.. 46 4 Sklepne besede 51 Literatura 53 VII

1 Uvod V vsakdanjem življenju neprenehoma potrebujemo matematiko. Velikokrat kaj štejemo, računamo, merimo,... Tudi v zgodovini so ljudje že zelo zgodaj uporabljali matematiko, da so si poenostavili življenje. Matematika se je razvijala zaradi potreb ljudi, zato je bila preprosta in uporabna. Na začetku jih je zanimalo samo to, kako določeni postopki potekajo. Merili so meje med posameznimi območji, tlakovali ceste, pri gradnji večjih objektov so potrebovali izračune o temeljih in višini zgradbe, zanimalo jih je, kako velike so njihove posode ipd. V svojem diplomskem delu sem na začetku kratko opisala razvoj geometrije skozi zgodovino in predstavila osnovne geometrijske pojme. Ustavila sem se pri pojmih ploščina in prostornina, glavni del mojega diplomskega dela pa predstavlja delo italijanskega matematika Bonaventure Cavalierija, predvsem uporaba njegovega načela nedeljivosti pri računanju ploščine likov in prostornine teles. 1.1 Kratka zgodovina geometrije Geometrija je ena izmed najstarejših matematičnih panog, ki nam pomaga razumeti prostor okrog nas. Posveča se proučevanju prostora, oblike ter velikosti raznih likov in teles v njem. Beseda geometrija izvira iz grških besed gea (zemlja) in metros (merjenje) ter bi jo dobesedno poimenovali zemljemerstvo. Začetke geometrije zasledimo že pri narodih, ki so pred več tisočletji živeli na območju Egipta, Mezopotamije, Indije in Kitajske. Zaradi velikih rek, ki so poplavljale rodovitne doline, so bile meje med posameznimi območji zabrisane. Meje je bilo potrebno ponovno obnoviti, da so preprečili mejne spore, in to so lahko storili le z natančnim merjenjem, risanjem in računanjem. V Mezopotamiji so poznali 15 pitagorejskih trojic (celih števil a, b, c, za katere 1

je a 2 + b 2 = c 2 ), v Egiptu pa vsaj en primer, to je pravokotni trikotnik s stranicami, dolgimi 3, 4 in 5 enot. Iz Egipta so trgovci prenesli geometrijo v staro Grčijo, kjer se je od 7. stoletja pr. Kr. pospešeno razvijala. Teoretično geometrijsko znanje je postalo bolj natančno, ko sta se v 5. stoletju pr. Kr. razvila pojma trditve in njenega dokaza. Za to so bili zaslužni predvsem Hipokrat (460 380 pr. Kr.), Evdoks (410 347 pr. Kr.) in Arhit (428 347 pr. Kr.). Slika 1: Ohranjen del iz knjige Evklidovih Elementov, najden je bil v Egiptu, izvira iz približno leta 100. [25] V 3. stoletju pr. Kr. se je nabralo že toliko gradiva in različnih metod, da se je pojavila potreba po združitvi vsega znanja o geometriji v neki enoten sistem. To je uspelo Platonovemu učencu Evklidu (365 275 pr. Kr.), ki je v svojem delu Osnove (Elementi) zbral vse dotedanje geometrično znanje in ga sistematično predstavil. Evklid je izhajal iz nekaterih izjav, ki so se mu zdele tako očitne in razvidne, da jih ni dokazoval. Te izjave je imenoval postulati oziroma aksiomi (pri Evklidu ni jasne razlike med tema dvema pojmoma). Knjiga je samo po letu 1440 (po iznajdbi tiska) doživela več kot 500 izdaj 2

v skoraj vseh jezikih sveta. Kljub pomanjkljivostim Evklidovih aksiomov (večkrat se je pri dokazih opiral na lastno intuicijo) je njegov nauk dolga leta veljal za absolutno resnico v geometriji. Novo geometrijo je uspelo zgraditi šele Nikolaju Lobačevskemu (1793 1856), Carlu Gaussu (1777 1855) in Janosu Bolyaiju (1802 1860), ki so odkrili neevklidsko geometrijo. Njihovo delo je bilo pomembno izhodišče za vse ostale matematike, ki so se ukvarjali s posplošitvijo evklidske geometrije. Med njimi je potrebno omeniti rezultate Bernharda Riemanna (1826 1866), ki je odkril eliptično geometrijo. Felix Klein (1849 1925) je vpeljal nov pristop pri obravnavi različnih geometrij, in sicer na osnovi teorije grup. Logično brezhibne temelje evklidske geometrije pa je postavil David Hilbert (1862 1943) v svojem delu Osnove geometrije (1899). Na Hilbertovem sistemu aksiomov evklidske geometrije temelji tudi vse osnovnošolsko in srednješolsko poučevanje geometrije. Kadar uporabljamo besedo geometrija, pravzaprav mislimo evklidsko geometrijo, ki spada v splošno izobrazbo današnjega človeka. Najenostavnejši geometrijski pojmi so točka, premica in ravnina. Geometrija je zgrajena na teh treh pojmih, zato točki, premici in ravnini pravimo osnovni geometrijski elementi. [3, 6, 7, 9, 23, 24] 1.2 Ploščina likov in prostornina teles Pojma ploščine in prostornine so poznala že ljudstva, ki so živela na območju Egipta in Mezopotamije. Znali so izračunati ploščino nekaterih geometrijskih likov in prostornino enostavnih teles. Pri računanju ploščine in prostornine je bil zelo uspešen Arhimed (287 212 pr. Kr.). Njegov izračun ploščin je bil predhodnik integralnega računa. Bil naj bi tudi prvi, ki je izračunal površino 3

in prostornino krogle, stožca in valja. Zanimiv je njegov izrek o prostornini krogle in valja, ki pravi, da je prostornina krogle enaka 2/3 prostornine tej krogli očrtanega valja ter prostornina valja enaka trikratniku prostornine valju včrtanega stožca. [24, 26] Ploščina je mera za velikost geometrijskega lika oziroma dela ravnine. Enota za merjenje ploščine je enotski kvadrat 1. Ploščino lika izrazimo z nenegativnim številom, ki nam pove, koliko enotskih kvadratov potrebujemo, da v celoti prekrijemo dani lik. Skladni liki imajo enako ploščino. Ploščina lika, ki je razcepljen na več delov, je enaka vsoti ploščin posameznih delov. Ploščino označimo s črko S. [4, 8, 27] Ploščine nekaterih osnovnih ravninskih likov (slika 2): Kvadrat s stranico a: S = a 2. Pravokotnika s stranicama a in b: S = ab. D C D C a b A a B A a B D C C C 1 b v a v a b v c a A a B B 1 A c B Slika 2: Kvadrat, pravokotnik, paralelogram in trikotnik 1 To je kvadrat s stranico, ki meri 1 dolžinsko enoto. 4

Paralelogram s stranicama a in b ter višino v a : S = a v a. Trikotnik s stranico c ter višino v c : S = 1 2 cv c. [4, 27] Prostornina telesa nam pove, koliko prostora zasede geometrijsko telo. Enota za merjenje prostornine je enotska kocka. Izrazimo jo z nenegativnim številom, ki nam pove, koliko enotskih kock potrebujemo, da dano telo povsem zapolnimo. Skladna telesa imajo enako prostornino. Če je telo sestavljeno iz več delov, je prostornina celega telesa enaka vsoti prostornin posameznih delov telesa. Prostornino označimo s črko V. [4, 8] Prostornine nekaterih osnovnih geometrijskih teles (slika 3): Kocka z robom a: V = a 3. Kvader z robovi a, b in c: V = abc. D F E H F G a E H F G c E v A D a B C a A D a B C b A B C V V v v v r S A C r S B Slika 3: Kocka, kvader, prizma, valj, piramida in stožec 5

Prizma s ploščino osnovne poskve S in višino v: V = Sv. Valj s polmerom osnovne ploskve r in višino v: V = πr 2 v. Piramida s ploščino osnovne ploskve S in višino v: V = 1Sv. 3 Stožec s polmerom osnovne ploskve r in višino v: V = 1 3 πr2 v. [4] 1.3 Problem ploščine likov Ploščino enostavnih likov, ki so omejeni z ravnimi črtami, znamo izračunati. Kako pa bi čimbolj natančno določili ploščino krivočrtnega ravninskega lika (na primer kroga, elipse in drugih likov)? Na del ravnine, kjer leži dani lik 2, narišemo kvadratno mrežo (slika 4). Kvadratki, ki so v celoti vsebovani v danem liku, so obarvani temno sivo. Kvadratki, ki ležijo deloma v liku in deloma zunaj lika, pa so obarvani svetlo sivo. Z N 1/2 n, n [0, ), označimo notranjo ploščino, to je skupno ploščino temno sivih kvadratkov s stranico 1/2 n, z Z 1/2 n, n [0, ), pa označimo zunanjo ploščino, to je skupno ploščino svetlo in temno sivih kvadratkov s stranico 1/2 n skupaj. Večje kot je število n, bolj gosta je mreža kvadratkov in bolj natančen je izračun ploščine lika. Trdimo lahko, da je notranja ploščina N 1/2 n vedno manjša ali enaka od zunanje ploščine Z 1/2 n: N 1/2 n Z 1/2 n, n [0, ). (1) Ploščina S danega lika bo tako vedno večja ali enaka notranji ploščini ter manjša ali enaka zunanji ploščini danega lika: N 1/2 n S Z 1/2 n, n [0, ). (2) 2 Za primer vzemimo elipso, ker znamo izračunati njeno ploščino. 6

Slika 4: Ploščina elipse, kvadratki s stranico, dolgo 1 enoto Večja kot je gostota mreže, bliže sta notranja in zunanja ploščina natančni ploščini lika. Ko se n približuje in je natančna zgornja meja (supremum) notranje ploščine enaka natančni spodnji meji (infimum) zunanje ploščine, je to dvoje po definiciji enako ploščini danega lika: sup N 1/2 n = S = inf Z 1/2n. (3) n n Lahko se zgodi, da je sup N 1/2 n < inf Z 1/2n. Tedaj lik nima ploščine. n n 7

Kaj pa če liku kvadratkov ne moremo včrtati? Če tak lik lahko pokrijemo s števno mnogo kvadratki, katerih skupna ploščina je poljubno majhna, potem rečemo, da ima lik ploščino 0. Poglejmo si primer elipse. Kvadratki imajo za začetek stranico dolgo 1 enoto za n = 0 (slika 4). V tem primeru je število temno sivo obarvanih kvadratkov 64 in 36 svetlo sivo obarvanih kavdratkov. Zapišemo lahko N 1 = 64 in Z 1 = 100, neenačba (1) N 1 Z 1 velja, saj je 64 < 100. Po neenačbi (2) je ploščina dane elipse najmanj 64 in največ 100 kvadratnih enot, 64 < S < 100. Za bolj natančen izračun pa poglejmo še mrežo z dvakrat manjšimi stranicami kvadratkov (slika 5). Slika 5: Ploščina elipse, kvadratki s stranico, dolgo 1 2 enote Kvadratki imajo stranico dolgo 1 2 enote za n = 1. Iz enega kvadratka 8

s slike 4 naredimo 4 kvadratke na sliki 5. Pri n = 1 je število temno sivih kvadratkov 308 in število svetlo sivih kvadratkov 72. Zato je N 1/2 = 308 1 4 = 77 in Z 1/2 = 380 1 4 = 95. Dobimo že bolj natančno oceno, in sicer ploščina elipse je najmanj 77 in največ 95 kvadratnih enot, 77 < S < 95. Naprej bi lahko prešteli še kvadratke, ki imajo stranico dolgo 1 4, 1 8,... začetne enote. Spodnja meja bi se večala in zgornja meja manjšala, dokler ne bi pri dovolj gosti mreži dobili skoraj enaki vrednosti, ki bi bili tudi boljši oceni za ploščino elipse. Za primerjavo izračunajmo ploščino S elipse po znanem obrazcu S = πab, kjer je a velika polos in b mala polos. Iz slike 4 odčitamo, da je a = 7 enot in b = 4 enote. Izračunamo ploščino elipse: S. = 88 kvadratnih enot. Vidimo, da se ploščina elipse ujema z zgornjimi izračuni in je res večja od 77 in manjša od 95 kvadratnih enot. Podoben razmislek bi veljal tudi pri prostornini geometrijskih teles, le da bi namesto kvadratkov vzeli kocke, ki bi sestavljale telo. Notranja prostornina M 1/2 n, n [0, ) je skupna prostornina kock, ki so v celoti vsebovane v telesu, zunanja prostornina S 1/2 n, n [0, ) pa skupna prostornina kock, ki so deloma v telesu in deloma izven njega skupaj s kockami znotraj telesa. Prav tako bi lahko trdili, da je notranja prostornina vedno manjša ali enaka zunanji prostornini: M 1/2 n S 1/2 n, n [0, ). (4) Prostornina V danega telesa pa je večja ali enaka notranji prostornini ter manjša ali enaka zunanji prostornini: M 1/2 n V S 1/2 n, n [0, ). (5) 9

Ko se vrednost n približuje in je natančna zgornja meja notranje prostornine enaka natančni spodnji meji zunanje prostornine, je to dvoje po definiciji prostornina danega geometrijskega telesa: sup M 1/2 n = V = inf S 1/2n. (6) n n Tudi tu se lahko zgodi, da je sup M 1/2 n < inf S 1/2n. Tedaj telo nima n n prostornine. Kaj pa če telesu ne moremo včrtati kock? Če tako telo lahko pokrijemo s števno mnogo kockami, katerih skupna prostornina je poljubno majhna, ima telo prostornino 0. [32] 10

2 Življenjepis Bonaventure Cavalierija Bonaventura Cavalieri je bil italijanski matematik. Ukvarjal se je s trigonometrijo, geometrijo, optiko, astrologijo in astronomijo. Rodil se je kot Francesco leta 1598 v Milanu. Ko je bil star komaj 15 let, se je pridružil manjšemu redu jezuatov 3 in prevzel ime Bonaventura. Leta 1616 je bil premeščen v samostan v Piso, kjer je študiral filozofijo in teologijo ter prišel v stik z benediktincem Benedettom Castellijem, predavateljem za matematiko na univerzi v Pisi. Cavalieri je postal njegov učenec. Castelli je bil tako zadovoljen z njim, da ga je leta 1617 predstavil svojemu učitelju Galileu Galileiju. Potem je med letom 1619 1641 Cavalieri poslal več kot 100 pisem Galileiju. Ta ni odgovoril na vsa njegova pisma, ampak mu je pošiljal le priložnostna pisma. Ker je Cavalieri pokazal veliko nadarjenost, je Castelli prosil Galileija, naj ga podpre, tako da je leta 1618 začasno prevzel Castellijeva predavanja na univerzi. Leta 1619 je kandidiral za predavatelja na univerzi v Bologni, vendar ni bil sprejet. Prav tako je bil neuspešen na univerzi v Pisi. Svojo neuspešnost je pripisoval temu, da jezuati v Rimu niso bili najbolj priljubljeni. Leta 1621 je postal diakon in asistent kardinala Federica Borromeja v samostanu v Milanu, kjer je poučeval teologijo. Leta 1623 je postal prior samostana St. Peter v Lodi, tri leta kasneje pa prior samostana jezuatov v Parmi. Leta 1629 je, verjetno z Galileijevim posredovanjem, postal profesor na univerzi v Bologni. Na mesto profesorja je bil imenovan za dobo treh let, vendar ga je Cavalieri podaljšal do svoje smrti, to je do 30. novembra 1647. 3 Jezuati (ne jezuiti) so skupnost moških redovnikov, ki jo je leta 1360 ustanovil Giovanni Columbini iz Siene v Toskani. Red se je prvotno imenoval Apostolski duhovniki svetega Hieronima in je sledil načelom sv. Avguština. Negovali in pokopavali so ljudi, ki so oboleli oziroma umirali za kugo. Zaradi sekularizacije ga je leta 1668 papež Klemen IX ukinil. 11

Slika 6: Bonaventura Cavalieri [12] Cavalieri je bil eden najvplivnejših matematikov svojega časa in avtor mnogih del o trigonometriji, geometriji, optiki, astrologiji in astronomiji. V veliki meri je bil zaslužen za to, da so v Italiji uvedli logaritme kot računsko orodje. V knjigi Directorium generale uranometricum (1632) je objavil logaritemske tabele vključno z logaritmi trigonometričnih funkcij, ki jih za svoje delo potrebujejo astronomi. Poleg tega je objavil še več knjig z matematično vsebino: Lo specchio ustorio overo trattato delle settioni coniche, et alcuni loro mirabili effetti (1632), Rota planetaria (1640), Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica (1643), Trattato della ruota planetaria perpetua (1646). Najbolj je poznan po svojem delu Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota Nekateri postopki za razvoj nove geometrije 12

s ponavljajočimi se nedeljivimi oblikami (slika 7), kjer je opisal svojo teorijo o nedeljivosti, ki jo je razvil že leta 1629, objavil pa šele leta 1635. Težko je Slika 7: Naslovnica Cavalierijeve knjige Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. [28] bilo slediti Cavalieriju na 700 straneh te njegove knjige, zato je bila deležna velike kritike. Švicarski matematik Paul Guldin mu je očital, češ da njegova teorija ni bila postavljena na trdne temelje oziroma je brez trdnega dokaza (Cavalieri je svojo teorijo opisal verbalno in ni bilo enostavno razbrati in razumeti podrobnosti metode). Prav tako je matematik Carl B. Boyer kritiziral jezik, ki ga je Cavalieri uporabil v svoji knjigi, ker naj bi bil nejasen, zmeden in težko razumljiv. Kljub vsemu pa je bila knjiga Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota takrat zelo pomembna, kar se kaže v tem, da je bila ponovno natisnjena leta 1653. Kot odgovor na kritiko 13

svojega dela je Cavalieri tik pred smrtjo napisal Exercitationes geometricae sex (1647) Šest geometrijskih nalog, kjer je izboljšal predstavitev svojega principa. Cavalierijevo delo predstavlja pomemben mejnik pri razvoju integralnega računa za matematike sedemnajstega stoletja, predvsem za Isaaca Newtona in Gottfrieda Wilhelma Leibniza. [2, 13, 14, 15, 16, 18, 29] 3 Cavalierijeva teorija nedeljivosti Cavalierijevo teorijo lahko zasledimo že pri zgodnjih grških matematikih, Demokritu (okoli leta 410 pr. Kr.) in Arhimedu (287 212 pr. Kr.). Arhimed je teorijo uporabil, da je prikazal razmerje med prostornino in površino krogle. Kitajski matemetik Zu Gengzhi (429 500), ki je nadaljeval delo Liu Hui (okoli leta 250), pa je enako teorijo uporabil pri izpeljavi formule za prostornino krogle. Verjetno pa so Keplerjevi poskusi integriranja tisti, ki so direktno vplivali na Cavalierija, da je razvil svojo metodo nedeljivosti. Teorija sloni na starogrškem pristopu izračunavanja ploščin z metodo izčrpavanja in Keplerjevi metodi neskončno majhnih geometrijskih količin. Njegovo metodo oziroma nekatere zelo podobne postopke so učinkovito uporabili nekateri matematiki: Evangelista Torricelli (1608 1647), Pierre de Fermat (1601 1665), Blaise Pascal (1623 1662), Grégoire de Saint-Vincent (1584 1667), Isaac Barrow (1630 1677) in drugi. Cavalierijeva razprava o teoriji nedeljivosti je sicer zelo zgovorno, a nejasno napisana. Ni enostavno razumeti, kaj je Cavalieri mislil z besedo indivisible nedeljiv. Po Cavalierijevi teoriji je vsaka dolžina unija nedeljivih točk, vsak ravninski lik je sestavljen iz neskončno mnogo tankih in medsebojno vzporednih dolžin (presečnih daljic) ter vsako geometrijsko telo je sestavljeno 14

iz neskončno mnogo tankih in medsebojno vzporednih ploskev (presečnih ploskev). Naprej je Cavalieri ugotavljal, če drsamo katerokoli od vzporednih presečnih daljic danega lika po njeni osi (nosilki daljice), tako da krajišča teh daljic še vedno sestavljajo neprekinjeno (povezano) mejo ravninskega lika, potem je ploščina tako nastalega lika enaka ploščini originalnega lika, zato ker sta oba lika sestavljena iz istih daljic (slika 8). lik A lik B Slika 8: Lika A in B, oba sestavljena iz enakih medsebojno vzporednih daljic S podobnim drsanjem vzporednih presečnih ploskev danega geometrijskega telesa dobimo drugo telo, ki ima enako prostornino kot originalno telo (slika 9). Slika 9: Obe geometrijski telesi sta sestavljeni iz enakih medsebojno vzporednih ploskev, zato imata enaki prostornini. 15

Če te ugotovitve posplošimo, dobimo tako imenovano Cavalierijevo načelo. [5, 12, 17, 20] 3.1 Cavalierijevo načelo v ravnini Konstruiramo dva ravninska lika med dvema vzporednima premicama (lika imata enaki višini). Če imajo vse presečne daljice na vzporednicah začetnima vzporednicama obeh likov enako dolžino, potem je tudi ploščina teh dveh likov enaka. CS G =CS K CS G CS K likg lik K Slika 10: Cavalierijevo načelo Slika 10 kaže zgoraj opisani koncept. Na sliki sta dve vzporedni premici, med katerima sta dva različna lika G in K. Prikazani sta presečni daljici CS G lika G in CS K lika K na eni izmed vzporednic začetnima premicama. Cavalierijevo načelo pravi, da če imajo vse te presečne daljice enake dolžine, potem sta tudi ploščini likov enaki. Cavalieri kot dokaz za svojo teorijo predloži argument, prikazan na sliki 11. 16

G` K` G`` K`` Slika 11: Cavalierijev dokaz Cavalierijeva predpostavka je, da imata dana lika na katerokoli vzporednici med osnovnima vzporednicama enako dolge presečne daljice. Lika, ki zadoščata tem pogojem, lahko naložimo enega na drugega tako, da ima njun presek pozitivno ploščino. Lik G naložimo na lik K tako, da je ploščina preseka največja možna. Ker sta ploščini v preseku enaki, ju odstranimo. Če sta ploščini likov G in K različna, se morata razlikovati v likih, ki sta ostala, potem ko smo odstranili presek. Označimo ostanek lika G z G in ostanek lika K z K. Lika G in K prav tako ustrezata Cavalierijevi predpostavki (da imata enake vse presečne daljice na vzporednicah). Zato zopet naložimo lika G in K enega na drugega in odstranimo njun presek. Cavalieri trdi, da bi z nadaljevanjem tega postopka navsezadnje izčrpali oba, tako lik G kot lik K. Ker ne bi nič ostalo, se lika ne moreta razlikovati v 17

ploščini. Cavalierijeva teorija je primer močnega instinkta z nekoliko pomanjkljivim dokazom. Njegova teorija, da ponavljajoče nalagamo lika enega na drugega in odstranjujemo preseke, ni bila dokazana in v splošnem ni resnična. Teorija velja le, če dodamo še pogoje glede oblike likov. [5] 3.2 Cavalierijeva teorija in Arhimedovo tehtanje Arhimed je bil največji matematik helenistične dobe. Rodil se je leta 287 pr. Kr. v Sirakuzah na Siciliji. Najpomembnejši Arhimedovi prispevki k matematiki so izračuni ploščine ravninskih likov in prostornine geometrijskih teles. Odkril je izrek o vzgonu (Arhimedov zakon), ki ga še danes uporabljajo za Slika 12: Arhimed [26] 18

določitev gostote snovi. V svojih delih je Arhimed združil presenetljivo originalnost z mojstrsko računsko tehniko in strogostjo dokazovanja. (Struik, 1986, str. 65) Izumil je celo nekaj obrambnih naprav za prebivalce Sirakuz, ki so se z njimi kar nekaj časa uspešno branili pred napadi Rimljanov. Rimljani so leta 212 Sirakuze dokončno zavzeli. Rimski vojak naj bi Arhimeda ubil, ker je bil preveč zatopljen v svoje raziskovalno delo in ni upošteval vojakovega ukaza. [10, 26] Arhimed je bil nekoč vpleten v sodni primer, ko so morali ugotoviti, ali je bila krona, ki jo je naročil kralj, narejena iz zlata, kot je zahteval kralj, ali iz zlitine. Arhimed je vedel, da bi bila pri enaki masi prostornina zlitine večja kot prostornina zlata. Prav tako je vedel, da bi bila sila vzgona na zlitino z večjo prostornino večja od sile vzgona na zlato z manjšo prostornino. S temi informacijami je Arhimed rešil problem tako, da je na eno stran tehtnice postavil krono, na drugo stran pa toliko zlata, da je bila tehtnica uravnotežena. Vse skupaj je nato potopil v vodo. Medtem ko je bila tehtnica v vodi, se je tista stran tehtnice, kjer je bila krona, dvignila višje od tiste, kjer je bilo naloženo zlato. S tem je pokazal, da ima krona večji vzgon in večjo prostornino kot zlato pri enaki masi. To je bil dokaz, da je krona narejena iz zlitine. Tako je Arhimed tehtal pravico. Arhimed je bil mislec, njegovi eksperimenti pa so mu pomagali pri njegovih matematičnih prizadevanjih. S pomočjo poskusov s tehtnico je našel prostornine in težišče likov. Po Arhimedovem zgledu lahko izvedemo poskus na Cavalierijevi teoriji. Imamo dva ravninska lika, ki zadostujeta Cavalierijevim pogojem. Lika izrežemo iz papirja, ki ima konstantno gostoto. 4 Dokazali bomo, da imata enaki masi in s tem tudi enaki ploščini. Imamo uravnoteženo tehtnico, ki 4 Kjerkoli na listu izrežemo izbrani lik, vedno ima enako maso. 19

ima osrednjo os in uteži lahko visijo na različni razdalji od osrednje osi. Lik, ki se razteza po dolžini ene strani tehtnice, ima masno središče v tisti točki, v kateri ga obesimo na tehtnico in enako vpliva na tehtnico kot prvotno postavljeni lik (tehtnica je uravnotežena) (slika 13a). Lik, ki je simetrično porazdeljen glede na njegovo središče, ima središče in masno središče v isti točki (slika 13b). masno središče masno središče = središče masno središče = središče središče masno središče (a) (b) Slika 13: Središče in masno središče. Ravninska lika G in K (iz slike 10) položimo na levo in desno stran tehtnice tako, da bo njuna os poravnana z ustrezno roko tehtnice (slika 14a). Prav tako je potrebno zagotoviti, da je njuna začetna in končna razdalja od osrednje osi tehtnice enaka. To lahko naredimo, ker imata oba lika enako višino (slika 10). Če izberem katerokoli razdaljo na levo in desno stran od osrednje osi tehtnice, so zaradi Cavalierijeve lastnosti presečne daljice na določeni razdalji obeh likov enako dolge in te točke so uravnotežene. Ker so tako uravnotežene vse točke, sta tudi oba lika uravnotežena. S tem še nismo dokazali, da je njuna masa enaka. To se zgodi, če je tehtnica uravnotežena, ko oba lika visita v eni točki, ki sta enako oddaljeni od osrednje osi teh- 20

tnice. V ta namen naredimo natančne kopije likov G in K in jih položimo na tehtnico v obratni smeri njunih osi (slika 14b). Na levi strani imamo tako en par: lik G in njegovo kopijo, na desni strani pa drug par: lik K in njegovo kopijo. Postavitev kopij ohrani Cavalierijevo značilnost tudi za par, tako sta tudi oba para likov v ravnotežju. Prav tako sta oba para likov simetrična glede na svoje središče. Zaradi simetričnosti je masno središče enako središču. Par likov premaknemo tako, da visita v točki, kjer je masno središče pripadajočega para lika, ker s tem nismo nič spremenili, tehtnica ostane v ravnotežju (slika 14c). Ker je masno središče enako oddaljeno od osrednje osi tehtnice, sta para likov enako težka. Ker je par, lik in njegova kopija, dvakrat težji od prvotnega lika, sta tudi prvotna lika enako težka. masno središče = središče (a) (b) masno središče, enako na obeh straneh (c) Slika 14: Demonstracija Cavalierijevega načela 21

Pripomba: Ta demonstracija Cavalierijevega načela ni dokaz v Evklidovem smislu. Nikjer ni pisnega zapisa o tem, da bi Arhimed dokazal Cavalierijevo teorijo, čeprav jo je uporabil, da je dokazal relacijo med prostornino in površino krogle. [5] Tako kot Cavalierijevo načelo je uporabna tudi posplošitev Cavalierijevega načela: Če so vse presečne daljice na vzporednicah začetnima vzporednicama obeh likov vedno v enakem razmerju, potem je tudi njuna ploščina v tem razmerju. Imamo lika G in K, ki zadoščata pogoju: d hg = sd hk, (7) ker je d hg dolžina presečne daljice lika G na višini h, d hk dolžina presečne daljice lika K na višini h, s konstanta za vsako višino. Konstanta s se nanaša na vsako višino, zato je razmerje dolžin čez cel lik konstantno. Sledi zveza med ploščinama likov: S G = ss K, (8) kjer je S G ploščina lika G, S K ploščina lika K. 22

3.3 Primeri uporabe Cavalierijevega načela v ravnini 1. Primer Imamo pravokotnik (slika 15a) s stranicami a in b ter paralelogram (slika 15b) z višino a in osnovnico b. Cavalierijevo načelo pravi, da sta ploščini enaki. b b b a a (a) (b) (c) Slika 15: Liki z enako ploščino Za pravokotnik in paralelogram velja, da so presečne daljice na vzporednicah enake dolžine kot stranica (osnovnica) b. Ker vemo, da je ploščina pravokotnika S P R = ab, lahko sklepamo, da je ploščina paralelograma prav tako S pa = ab. Presečne daljice tretjega lika (slika 15c) imajo prav tako konstantno dolžino b. Torej ima ta lik enako ploščino kot pravokotnik oziroma paralelogram, in sicer S C = ab. [5] 2. Primer Iz Cavalierijeve teorije sledi, da imajo vsi trikotniki z enako višino in enako osnovnico enako ploščino. Poglejmo si sliko 16, kjer sta med dvema vzporednicama (oddaljenima za h) narisana poljubna trikotnika G in K. Njuni osnovnici imata enaki dolžini b. Pokažimo, da je vsaka presečna daljica na poljubni vzporednici v obeh trikotnikih enaka. 23

h d m m b trikotnik G b trikotnik K Slika 16: Trikotnika z enako ploščino Izberemo vzporednico, ki je od zgornje vzporednice oddaljena za d. Oba kosa trikotnika, ki ležita nad izbrano vzporednico, oblikujeta trikotnika, ki sta podobna s svojim originalnim trikotnikom. Označimo osnovnico manjšega trikotnika z m. Razmerji b/h in m/d sta zaradi podobnih trikotnikov enaki. Če razmerji izenačimo in izrazimo m, dobimo dolžino izbrane presečne daljice: m d = b h, m = b h d. Ker so dolžine h, d in b enake za oba trikotnika G in K, sta presečni daljici na vzporednici enaki. To lahko trdimo za vsako vzporednico med začetnima vzporednicama. Po Cavalierijevi teoriji iz tega sledi, da sta ploščini trikotnikov G in K enaki. Ker smo vzeli poljubna dva trikotnika, to velja za vse trikotnike z enako višino in enako osnovnico. Poseben primer trikotnika je pravokotni trikotnik (slika 17a), ki je enostaven za raziskovanje. Pravokotni trikotnik je polovica pravokotnika z enako 24

višino in osnovnico, tako da je njegova ploščina polovica ploščine pripadajočega pravokotnika: S = 1 hb. [5] 2 h h (a) b (b) b Slika 17: Pravokotni trikotnik kot polovica pravokotnika in trikotnik kot polovica paralelograma Iz prejšnjega primera vemo, da je ploščina pravokotnika s stranicama h in b enaka ploščini paralelograma z višino h in osnovnico b. Podobno kot za pravokotni trikotnik lahko sklepamo, da je poljubni trikotnik polovica paralelograma z enako višino in osnovnico, tako je ploščina trikotnika polovica ploščine pripadajočega paralelograma: S = 1 hb (slika 17b). 2 3. Primer Dan je krog s polmerom r. Ta krog vzporedno premaknemo za dolžino d, vzemimo za lik L sled kroga pri tej translaciji (slika 18). Koliko je ploščina tega lika? Konstruiramo pravokotnik, ki ima osnovnico dolžine d in drugo stranico dolžine 2r. Ploščina tega pravokotnika je S P R = 2rd. Če izberemo katerokoli vzporednico premici AB, imata lik L in pravokotnik enako dolžino presečne daljice (zaradi vzporednega premika). Po Cavalierijevi teoriji iz tega sledi, da imata lik L in pravokotnik enako ploščino. Torej je ploščina lika L: S L = 2rd. 25

C D 2r S 1 S 2 A d B d Slika 18: Lik L in pravokotnik [17] 4. Primer Načrtamo krožnico s premerom 2r in naj bo AB neki premer te krožnice. Narišemo premico p, ki je pravokotna na premer AB ter seka krožnico v točkah C in D, premer AB pa v točki P. Na premici p določimo točko E levo od točke C in točko F desno od točke D, tako da velja CE = DF = BP. Če tak postopek ponovimo za vse premice, vzporedne premici p, dobimo krivuljo v obliki gobe (slika 19). Kako izračunamo ploščino lika, ki je omejen s to krivuljo? Konstruiramo enostavnejši lik, ki je sestavljen iz daljic, ki so enake tistim, iz katerih je oblikovana goba. Tako bomo zadostili Cavalierijevemu pogoju o enakosti presečnih daljic dveh likov. V ta namen bomo dolžine BP nanašali na premico p namesto na levo in desno stran krožnice na levo in desno stran točke P. Pri tem nastane pravokotni trikotnik MNB, ki ima vse presečne daljice enake kot lik, omejen s krivuljo v obliki gobe brez kroga. Po Cavalie- 26

rijevi teoriji imata lika enaki ploščini. Ploščina trikotnika MNB je S T = 4r 2, ploščina kroga s središčem v S pa je S K = πr 2. Ploščina lika, omejenega s krivuljo v obliki gobe, je tako S G = 4r 2 + πr 2 = r 2 (π + 4). B E C P D F p S M A N Slika 19: Krivulja v obliki gobe in trikotnik MNB [17] 5. Primer Koliko je ploščina elipse, ki ima osi dolge 2a in 2b (slika 20). Elipsi b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 opišemo krožnico x 2 + y 2 = a 2. Narišemo vzporednico osi y, x = x 1. Ta vzporednica seka krožnico in elipso, dobimo pripadajoče presečne daljice (tetive) 2y 1 = 2 a 2 x 2 1 za krožnico in 2y 2 = 2 b a a 2 x 2 1 za elipso. Razmerje 2y 1 2y 2 = a je enako ne glede na to, b kje narišemo vzporednico osi y, ki seka krožnico in elipso. Tako je izpolnjen Cavalierijev pogoj, da so vse presečne daljice dveh likov v istem razmerju. Ker to velja, potem je tudi ploščina teh dveh likov v istem razmerju, in sicer v našem primeru je S K : S E = a : b. Ker je ploščina kroga S K = πa 2, potem je ploščina elipse S E = πab. 27

y p A 0 x 1 B x Slika 20: Krožnica in elipsa Z opisanim postopkom lahko dobimo ploščine mnogih likov v ravnini. [17] 28

3.4 Cavalierijevo načelo v prostoru Če imata telesi enaki višini in če so ploščine vseh presekov z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi enaki, sta tudi njuni prostornini enaki. Slika 21: Ilustracija Cavalierijevega pravila (Legiša, 1997, str. 125) Cavalieri je svojo teorijo predstavil tudi v tridimenzionalnem prostoru. Tridimenzionalna različica je podobna dvodimenzionalni, vzporedne premice zamenja z vzporednimi ravninami in presečne daljice s presečnimi ploskvami (preseki) z enakimi ploščinami. Slika 22 prikazuje konstrukcijo. Slika 22: Cavalierijevo načelo v treh dimenzijah Dokaz za dvodimenzionalni primer, ki ga je predlagal Cavalieri, lahko prevza- 29

memo tudi pri tridimenzionalnem primeru. V tem primeru bi ponavljajoče odstranjevali preseke teles, tako da bi bil skupen volumen maksimalen, in tako izčrpali obe telesi. Ta proces izčrpavanja je še bolj zastrašujoč kot tisti v dvodimenzionalni verziji. Po drugi strani pa argument z uravnoteženo tehtnico lahko z manjšimi prilagoditvami prenesemo z dvodimenzionalnega na tridimenzionalni primer. Uporaben rezultat je posplošitev Cavalierijeve teorije: Če imata telesi enaki višini in če so ploščine vseh presekov z ravnino vzporedno osnovni ploskvi vedno v enakem razmerju, sta tudi njuni prostornini v tem razmerju. Predpostavljamo, da imamo telesi G in K, ki zadoščata pogoju: S hg = ss hk, (9) kjer je S hg ploščina presekov skozi telo G na višini h, S hk ploščina presekov skozi telo K in s konstanta za vsako višino. Konstanta s se nanaša na vsako višino, zato je razmerje ploščin skozi vse telo konstantno. Drži naslednja zveza: V G = sv K, (10) kjer je V G prostornina telesa G in V K prostornina telesa K. 30

Posplošitev Cavalierijeve teorije pokažimo za racionalne vrednosti konstante s. Domnevamo lahko, da so vsi preseki telesa K kvadrati (če ne, lahko telo z enako prostornino konstruiramo z uporabo presekov, ki so kvadrati). Ker je s racionalno število, potem je s = p/q, kjer sta p in q celi števili. Razdelimo telo K na q delov, kot je prikazano na sliki 23. s/q s s b/q b = osnovnica presek Slika 23: Prikaz Cavalierijevega načela Iz slike vidimo, da je ploščina presekov vsakega dela enaka, in sicer je A K /q. Potem ima po Cavalierijevi teoriji vsak del tudi enako prostornino, V K /q. Konstruiramo telo K, z uporabo p ponavljanj kateregakoli dela telesa. Potem je prostornina K enaka: V K = p V K q = sv K. Glede na to, kako smo konstruirali telo K, imata G in K preseke enakih ploščin, kar po Cavalierijevem načelu pomeni, da imata tudi enako prostor- 31

nino: V G = V K. Če vstavimo vrednost V K, dobimo rezultat: [5] V G = V K = sv K. Cavalierijevo načelo 5 ali zahtevo 6 ali pravilo 7 omenjajo tudi avtorji različnih učbenikov za matematiko v 2. letniku srednje šole. Cavalierijevo načelo v učbeniku Geometrija za šesti razred gimnazije, Žabkar, 1956: Cavalierijevo načelo se glasi: Dve telesi, ki ju lahko položimo med dve vzporedni ravnini in ki sta taki, da naredi vsaka, tema ravninama vzporedna ravnina, na obeh preseka z enako ploščino, imata enako prostornino. (Žabkar, 1956, str. 79) Slika 24: Cavalierijevo načelo (Žabkar, 1956, str. 79) Na sliki 24 je prikazano Cavalierijevo načelo. Med dve vzporedni ravnini sta postavljeni telesi, ki sta sestavljeni iz enakih pokončnih prizem. Vsi 5 Žabkar, 1956, str. 79. 6 Pucelj, Štalec 1970, str.150. 7 Legiša, 1997, str. 124. 32

ti pari prizem, ki so na enaki razdalji od ravnine Σ, imajo enako osnovno ploskev in enako višino ter zato tudi enako prostornino. Ker je prostornina telesa sestavljena iz vsote teh pokončnih prizem, je tudi prostornina obeh teles enaka. [11] Cavalierijeva zahteva v učbeniku Geometrija za II. razred gimnazije, Pucelj in Štalec, 1970: Če sta poljubna ravninska preseka dveh geometrijskih teles s skupno presečno ravnino, ki je vzporedna določeni stalni ravnini, med seboj ploščinsko enaka, sta prostornini obeh teles enaki. (Pucelj in Štalec, 1970, str. 150) Slika 25: Cavalierijeva zahteva (Pucelj in Štalec, str. 151) Poglejmo tristrani prizmi (slika 25), ki imata enaki višini in skladni osnovni ploskvi. Prizmi postavimo med dve vzporedni ravnini in ju presekemo z ravnino, vzporedno začetnima dvema ravninama. Presečna trikotnika sta skladna in zato sta po Cavalierijevi zahtevi prizmi prostorninsko enaki. Enako velja tudi za prizmi, ki imata enaki višini in osnovni ploskvi ploščinsko enaki (na primer tristrana in štiristrana prizma na sliki 25). [8] 33

Cavalierijevo pravilo v učbeniku Matematika, drugi letnik, Legiša, 1997: Če za telesi U, W najdemo tako ravnino Φ, da imata preseka teh dveh teles s poljubno ravnino, vzporedno Φ, enako ploščino, sta prostornini obeh teles enaki: V (U) = V (W ). (Legiša, 1997, str. 124) Slika 26: Cavalierijevo pravilo (Legiša, 1997, str. 124) Imamo poljubno ravnino Φ, ki je vzporedna ravnini Φ. Ploščino preseka telesa U z ravnino Φ označimo s S 1 in ploščino preseka telesa W z ravnino Φ označimo s S 2. Če za vsako ravnino Φ velja, da je S 1 = S 2, imata telesi U in W enako prostornino (slika 26). Obe telesi prerežemo s poljubno ravnino, ki je vzporedna ravnini Φ. Ploščini obeh presekov sta enaki, označimo ju s S. Nato obe telesi prerežemo še z eno ravnino, vzporedno s Φ in zelo blizu prejšnje ravnine, oddaljene za d (slika 26). Dobimo dve rezini, njuna prostornina pa je enaka prostornini valja z osnovno ploskvijo S in višino d, to je Sd. Tako lahko sklepamo, da sta prostornini rezin na isti višini (razdalji od osnovne ravnine Φ) pri obeh telesih enaki. Dani telesi sta sestavljeni iz takih enakih rezin, zato sta enaki tudi njuni prostornini. [4] 34

3.5 Prostornina posplošene piramide Posplošene piramide 8 so telesa, ki jih konstruiranamo tako, da so ploščine njihovih presekov enake ploščini presekov standardnih piramid 9. Prepoznavna značilnost piramid je, da so vsi preseki v bistvu osnovne ploskve, ki jim spremenimo velikost (pomanjšamo) ter da je faktor te spremembe velikosti enak kvadratu razmerja med razdaljo od preseka do vrha piramide in višino piramide. Za primer vzemimo pravilno štiristrano piramido (slika 27). Višino piramide označimo s h. Osnovna ploskev te piramide pa je kvadrat s stranico a in ploščino S = a 2. a =ab/h b b h a Slika 27: Razmerje med višino, osnovnico in presekom 8 Mazer, 2010, str. 85. 9 Mazer [5] pravi, da so klasične piramide tiste, ki imajo za osnovno ploskev kvadrat ali pravokotnik. 35

Vsak presek je prav tako kvadrat. Stranice presekov na razdalji b od vrh piramide so: a b = a b h, kjer je a b stranica kvadrata, b pa je razdalja od preseka do vrha. Ploščina preseka S b je enaka: S b = a 2 b = a 2 ( b h) 2 = S ( ) 2 b. (11) h Enačba (11) pove lastnost posplošenih piramid; ploščina vseh presekov mora biti enaka produktu ploščine osnovne ploskve in razmerja med višino preseka in višino piramide. Preseki si morajo biti geometrijsko podobni. Primera dveh posplošenih piramid sta na sliki 22, stožec (preseki so krogi) in tristrana piramida (preseki so trikotniki). Po Cavalierijevem načelu formula za standardne piramide velja tudi za posplošene piramide, zato ker imajo enake ploščine presekov, kot so dani v enačbi (11). Ker pa je ploščina presekov S n odvisna le od ploščine osnovne ploskve S in razmerja b/h posplošene piramide, mora obstajati formula, ki povezuje prostornino posplošene piramide z višino piramide in ploščino osnovne ploskve. Radi bi poiskali to formulo. Konstruiramo kocko z uporabo šestih enako velikih piramid. Slika 28a prikazuje tri izmed šestih piramid (zgornjo, levo in sprednjo), slika 28b pa prikazuje kocko, sestavljeno iz šestih piramid. Z a označimo rob kocke, prostornina kocke je potem a 3, ploščina osnovne ploskve pa a 2, višina h pa je a 2 (ali a = 2h). Izenačimo prostornino kocke s prostornino šestih enakih piramid in dobimo enakost: 36

6V P = V C, V P = V C 6, V P = a3 6 = aa2 6 = hs 3, (12) kjer V P je prostornina piramide, V C je prostornina kocke, 2h nadomestimo z a v končni enakosti, z S nadomestimo ploščino osnovne ploskve a 2 v končni enakosti. (a) (b) Slika 28: Kocka. sestavljena iz šestih enakih piramid Formula velja za izračun prostornine določenih piramid, in sicer za tiste, za katere velja, da je količnik med višino in kvadratnim korenom iz ploščine osnovne ploskve enak 1 2, h S = 1. To omejitev lahko presežemo z uporabo 2 posplošitve Cavalierijevega načela. 37

Dana je splošna piramida z višino h in ploščino osnovne ploskve S. Konstruiramo drugo piramido, ki ima enako višino in ploščino osnovne ploskve S = 4h 2. S izberemo tako, da velja h S = 1 2. Določimo s = S S. Ker imata piramidi enaki višini, velja relacija v enačbi (9) in lahko uporabimo posplošitev Cavalierijevega načela, enačbo (10). Z uporabo enačb (9) in (10) dobimo formulo za prostornino posplošene piramide: V S = sv S = s hs 3 = hs 3, (13) kjer je V S prostornina piramide z višino h in ploščino osnovne ploskve S ter V S prostornina piramide z višino h in ploščino osnovne ploskve S. Velja, da imajo vse piramide, ki imajo enako višino in enako osnovno ploskev, tudi enako prostornino. [5] 3.6 Primeri uporabe Cavalierijevega načela v prostoru 1. Primer Pokažimo, da je prostornina poševne prizme z višino v in ploščino osnovne ploskve S enaka prostornini pokončne prizme z enako višino in skladno osnovno ploskvijo (slika 29). Poleg pokončne prizme postavimo poševno prizmo s skladno osnovno ploskvijo in enako višino tako, da osnovni ploskvi obeh prizem ležita v isti ravnini Φ. Prizmi presekamo s poljubno ravnino Φ, ki je vzporedna ravnini Φ. Oba preseka sta skladna z osnovnima ploskvama, zato sta skladna tudi med seboj. To velja za vse preseke, zato je po Cavalierijevem načelu prostornina poševne prizme enaka prostornini pokončne prizme. 38

Slika 29: Pokončna in poševna prizma z isto višino nad skladnima večkotnikoma imata enako prostornino. (Legiša, 1997, str. 125) V zgornjem primeru smo vzeli prizmi, ki imata skladni osnovni ploskvi, vendar to ni nujno. Če vzamemo prizmi, ki imata enaki višini in osnovni ploskvi ploščinsko enaki, prav tako velja, da sta prostornini obeh prizem enaki (slika 30). Te ugotovitve veljajo tudi pri piramidah, stožcih in valjih. [4, 8, 11] Slika 30: Šeststrana prizma ima s kvadrom enako višino in ploščinsko enako osnovno ploskev. Po Cavalierijevem načelu imata obe telesi tudi enako prostornino. (Žabkar, 1956, str. 80) 39

2. Primer Izpeljimo formulo za prostornino tristrane piramide. Slika 31: Tristrano prizmo razrežemo na tri piramide z enako prostornino. (Legiša, 1997, str. 128) Dana je pokončna tristrana prizma ABCA 1 B 1 C 1 (slika 31). Od prizme najprej odrežimo piramido ABCA 1 (I). Ostanek prizme prerežimo še s ploskvijo A 1 B 1 C, da dobimo piramidi AB 1 C 1 A 1 (II) in CBB 1 A 1 (III). Dokažimo, da imajo te tri piramide enako prostornino. Piramidi II in III imata skladni osnovni ploskvi, CB 1 C 1 = CB1 B (ker je CBB 1 C 1 pravokotnik), in skupni vrh v A 1, torej imata enaki višini. Po Cavalierijevem načelu sta tudi njuni prostornini enaki. Prav tako imata piramimi I in II skladni osnovni ploskvi, A 1 AB = BB 1 A 1, skupni vrh v C in s tem enaki višini. Piramidi imata tudi enaki prostornini. Iz enakosti prostornin piramid II in III ter I in II sklepamo, da imajo vse tri piramide enako prostornino. Ker je vsota prostornin piramid I, II in III prostornina prizme, je prostornina tristrane piramide enaka tretjini prostornine te tristrane prizme: V = vs 3, kjer je S ploščina osnovne ploskve in v višina prizme oziroma piramide. 40

Pokažemo lahko tudi, da obrazec za prostornino tristrane piramide velja za poljubno (štiristrano, petstrano,... ) piramido s ploščinsko enako osnovno ploskvijo in enako višino. Poljubno in tristrano piramido lahko postavimo med dve vzporedni ravnini, tako da njuni osnovni ploskvi ležita na eni ravnini in se z vrhom dotikata druge ravnine. Piramidi imata enaki višini in ploščinsko enaki osnovni ploskvi, kar po Cavalierijevem načelu pomeni, da imata tudi enaki prostornini. [4, 11, 17] 3. Primer Izpeljimo formulo za prostornino krogle s polmerom R (slika 32). 2R d d d r R Slika 32: Krogla in dva stožca v enakostraničnem valju 41

Kroglo postavimo v enakostranični valj, to je valj, ki ima osni presek kvadrat. Za primerjavo bomo vzeli telo, ki ga dobimo, ko iz enakostraničnega valja naredimo dva skladna stožca, ki imata osnovni ploskvi isti, kot sta osnovi ploskvi valja, skupni vrh pa v razpolovišču daljice, ki povezuje središči obeh osnovnih ploskev valja. Naj osnovni ploskvi obeh teles ležita na isti ravnini in poglejmo presek z vzporedno ravnino na razdalji d od zgornje osnovne ploskve (slika 32 spodaj). Polmer preseka krogle je enak R 2 (R d) 2 = 2Rd d 2 in njegova ploščina (2Rd d 2 )π. Ploščina krožnega venca na sliki 32 levo je tako S 1 = R 2 π (2Rd d 2 )π = (R d) 2 π. Polmer preseka iste ravnine in stožca (na sliki 32 desno) je enak R d, ploščina tega preseka pa S 2 = (R d) 2 π. Glede na to, da je S 1 = S 2 in razdalja d poljubna, lahko po Cavalierijevem načelu sklepamo, da je razlika med prostornino valja (V V ) in krogle (V K ) enaka vsoti prostornin obeh stožcev (V S ): V V V K = 2V S. Naprej velja 2R 3 π V K = 2 3 R3 π. Prostornina krogle s premerom R je tako enaka: V K = 4 3 R3 π. [17] 4. Primer Izračunajmo prostornino odseka krogle (slika 33). v ρ v x R R Slika 33: Krogelni odsek 42

Z v označimo višino odseka in z ρ polmer njegove osnovne ploskve (slika 33). Polmer osnovne ploskve odseka je enak 2Rv v 2, njena ploščina pa je (R v) 2 π. Ploščina krožnega venca na višini v je enaka S 1 = R 2 π (2Rv v 2 )π = (R v) 2 π. Polmer osnovne ploskve okrnjenega stožca 10 je R in polmer kroga na višini v, x = R v. Ploščina tega kroga je enaka S 2 = (R v) 2 π (slika 33). Ker je S 1 = S 2 in ker je v poljuben, lahko podobno kot v prejšnjem primeru sklepamo, da je razlika prostornine valja z višino v in odseka krogle enaka prostornini okrnjenega stožca, V V V OD = V S. Naprej vstavimo V V = R 2 πv in V S = 1 3 R3 π 1 3 (R v)3 π = πv 3 (3R2 3Rv + v 2 ) ter dobimo prostornino odseka V OD = v2 π(3r v). Iz te formule lahko izpeljemo še eno, 3 in sicer V OD = vπ 6 (3ρ2 + v 2 ). [17] 5. Primer Izračunajmo prostornino rotacijskega telesa krogelni prstan, ki nastane z rotacijo krožnega odseka okoli osi, ki je vzporedna tetivi in poteka skozi središče krožnice (slika 34). Naj bo dan krog s polmerom R. Z rotacijo tega kroga dobimo krogelni prstan višine v. Krogli včrtamo valj s polmerom r in višino v. Primerjamo ploščino preseka tako konstruiranega telesa s ploščino preseka (z isto ravnino) krogle s polmerom v/2, ki leži na ravnini osnovne ploskve krogelnega prstana. Najprej izračunamo ploščino preseka krožnega prstana na sliki 34 zgoraj z ravnino na oddaljenosti d od središča S krogle: S 1 = (R 2 d 2 )π r 2 π = (R 2 d 2 r 2 )π. Ploščina preseka manjše krogle je enaka ( ( ) 2 S 2 = v 2 d 2) π = (R 2 r 2 d 2 )π. Ker je S 1 = S 2 in d poljuben, lahko po Cavalierijevemu načelu sklepamo, da imata krogelni prstan in manjša krogla 10 Stožec brez vrha. 43

S S v d r Slika 34: Krogelni prstan (polmer v/2) enako prostornino. Iz prejšnjega primera vemo, kako izračunamo prostornino krogle, zato sklepamo, da je prostornina krogelnega prstana ( ) 2 V P R = 4 v 3 2 π = 1 6 v3 π. [17] 6. Primer S pomočjo Cavalierijevega načela izračunajmo prostornino torusa. Torus nastane tako, da krog zavrtimo okoli premice, ki s krogom nima skupne točke (slika 35). 44

p b a 2r r d 2πd 2r Slika 35: Torus Naj bo dan krog s polmerom r in središčem S in ga zavrtimo okoli premice, ki je od središča kroga oddaljena za d > r. Dobimo torus, ki naj leži na ravnini M. Na isto ravnino položimo valj s polmerom osnovne ploskve r in višino dolžine v = 2πd, in to tako, da ta valj leži na eni od svojih stranic. Obe telesi presekamo z ravnino, ki je vzporedna ravnini M. Presek torusa je krožni kolobar z zunanjim polmerom a in notranjim polmerom b. Njegova ploščina je enaka S 1 = (a 2 b 2 )π. Presek valja z isto ravnino je pravokotnik s stranicama a b in 2πd, njegova ploščina pa je S 2 = 2πd(a b). Če nameso d vstavimo a+b 2, dobimo S 1 = (a b)(a + b)π = (a 2 b 2 )π = S 2. Po Cavalierijevem načelu lahko sklepamo, da je prostornina torusa enaka prostornini valja, in sicer V T = πr 2 2πd = 2r 2 π 2 d. [17] 45

3.7 Cavalierijevo načelo in temeljna teorija integralnega računa Cavalierijevo načelo pravi, da imata dva lika z enakimi presečnimi daljicami enaki ploščini. Poglejmo sliko 36, kjer vodoravno os označimo z x, navpično z y. Naj bo spodnja meja lika A dana s funkcijo f A (x) in zgornja meja s funkcijo g A (x), enako naj bosta dani funkciji f B (x) in g B (x) za zgornjo in spodnjo mejo lika B. Njune presečne daljice so enake. Za vsak x [x i, x f ] velja f A (x) g A (x) = f B (x) g B (x), zato lahko pokažemo enakost ploščin (S A = S B ): S A = = = xf x i xf x i xf x i = S B. f A (x)dx xf x i [f A (x) g A (x)]dx [f B (x) g B (x)]dx g A (x)dx y f (x) A y f (x) B g (x) A g (x) B x i x f x x i x f x Slika 36: Cavalierijevo načelo in integracija 46