Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ.6.8 ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f : που είναι - είναι και γνησίως μονότονη.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες ) Μονάδες A. Να διατυπώσετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η συνάρτηση f() = ημ με έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου. β) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ, η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει f () > για κάθε Δ. συν γ) Ισχύει lim =. δ) Αν η f είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=. ε) Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() =, { } B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Μονάδες 8 B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες B. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Μονάδες 6 B. Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δε σβήνει.) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Έχουμε ένα σύρμα μήκους 8 m, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα. Με το ένα από αυτά, μήκους m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο. Γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα, συναρτήσει του, είναι ( ) 6 56 E() =, (,8). Μονάδες 5 6π Γ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου. Μονάδες Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m. Μονάδες ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση α f () e, = με α >. Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α> η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. Μονάδες Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά, με <, τέτοια ώστε η συνάρτηση f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο. Μονάδες 7 Δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = f() είναι αδύνατη στο ( α, ). Μονάδες 6 Δ. Αν α = να αποδείξετε ότι : f () d >. Μονάδες 9 5 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολ. βιβλίο σελ:99 Α. α) Ψ β) Σχολ. βιβλίο σελ:5 Α. Σχολ. βιβλίο σελ:6 Α. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β. Για η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο 8 8 f () = =.
8 f () = = 8= = 8 = - 8 f () f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και στο (, ) και γνησίως φθίνουσα στο [-,) Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο = το f( ) = B. Για είναι f () = < για κάθε (,) (, ). Η f είναι κοίλη στο (,) και στο (, ) και δεν έχει σημεία καμπής Β. lim f () = lim = και lim f () = lim = Η ευθεία = (άξονας y y) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f f() f() lim = lim = και lim (f () ) = lim =. Όμοια lim = και lim (f() ) =. Η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο και στο. Β. - f () f () f()
ΘΕΜΑ Γ Γ. Με μήκος φτιάχνουμε τετράγωνο, άρα αν α η πλευρά του έχουμε, περίμετρος Π= α α = m η πλευρά του. Το ως μήκος πρέπει να είναι > αλλά και < 8 που είναι το συνολικά μήκος του σύρματος, άρα < < 8. Επομένως το εμβαδόν του τετραγώνου είναι E = m. 6 Το υπόλοιπο του σύρματος είναι 8 με το οποίο κατασκευάζουμε τον κύκλο που έχει μήκος: 8 L = πr 8 = πr R = m π Οπότε ο κύκλος έχει εμβαδόν: ( 8 ) 8 Ε = πr = π = m π π Το άθροισμα των εμβαδών τετραγώνου και κύκλου είναι: ( 8 ) π ( 8 ) π ( 6 6 ) Ε = E E = = = = 6 π 6π 6π ( π ) π 56 6 6 56 = =, (, 8) 6π 6π E ( π 6) ( π ) 6π 8π Είναι E = = m και είναι, E > > ενώ, π π E < < π Γ. Η E είναι παραγωγίσιμη με = ( ) = ( ) με (,8) 8 E () με = π Ε OE και η E παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το π 6 E = ( π ) 6 8 m = 6π ( ) 8 8 Τότε η διάμετρος του κύκλου δ = R = π 8 = m και η πλευρά του τετραγώνου είναι α = = = δ π π Άρα, είναι E (, ] και E [,8) Γ. Η Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο =, π άρα το σύνολο τιμών στο είναι 6 6 E( ) = E, E, lim Ε(), π = = π π αφού από το Γ, E 6 = π 6 56 56 6 και έχουμε lim Ε() = lim = = 6π 6π π Ακόμη, η Ε είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο =,8 άρα 6 =,8 =, lim Ε() =, π π E E E 8 αφού 8 8 π 6 56 π 8 6 8 56 lim Ε() = lim = = 6π 6π
6 6 Είναι π<, 5π< 6 5< και 5 >. Άρα, 5 E, π π π και E =, π άρα υπάρχει μοναδικό, π E = 5 Ενώ 5 E, ώστε E στο άρα 5 Τελικά υπάρχει μοναδικό, π ΘΕΜΑ Δ E = ώστε 5 α Δ. Για κάθε η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με f () = e και > > > α > >α. α α f () e e =. α f () e f () f () α Η C f έχει μοναδικό σημείο καμπής στο = α με τιμή f α = α. Δ. Η f και συνεχής στο A = (,α] άρα f(α ) = [f (α), lim f ()) με f(α) = α = ( α) < α lim f () = lim e =, f(α ) = [( α), ) Η f και συνεχής στο Α = [α, ) άρα f(a) = [f(α), lim f ()) α e lim f () = lim = διότι e lim α α = lim e =, DLH f (A ) = [( α), ) Το f (A ) άρα υπάρχει Aτέτοιο ώστε f = To είναι μοναδικό γιατί η f στο Α. Το f (A ) υπάρχει f (A ) τέτοιο ώστε f ( ) =. Το είναι μοναδικό γιατί η f στο Α Για < < α η f άρα f () < f f () < Για α< < η f άρα f () < f ( ) f () < Για Για f < f () > f f () > f > f () > f f () > α f () f() άρα Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο α α Δ. f () = e = (e ). α > α< < < < <. Επομένως όπως φαίνεται από λύση του Δ έχουμε: α,. α α α e e e f () < < και f γνησίως φθίνουσα [ ] f <α< < f() > f( α ) > f() > f( ). Δηλαδή f() < f() για κάθε α (, ), οπότε η εξίσωση f() = f() είναι αδύνατη στο ( α, ). Δ. Για α = : f () = e και f () = e. Η εξίσωση της εφαπτομένης της f,f () είναι : y f () = f ()( ) y ( ) = ( ) y =. Η f είναι κυρτή στο [, ) άρα η εφαπτόμενη της βρίσκεται κάτω από τη C f με εξαίρεση το σημείο επαφής. C στο σημείο
Επομένως για κάθε [, ) έχουµε f() f() ( ) και η ισότητα ισχύει μόνο για =. Άρα: f () d > ( ) d (). I = ( ) d = d Θέτουμε u = = u. Τότε : du = d, u =, u =. Άρα 5 u u 6 I = (u ) udu (u u u )du (u u )du = = = = = = 5 5 5 5 Τελικά () f () d >. 5 ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΝΔΑΛΑΚΗΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΑΘΑΝΑΣΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΑΛΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΡΑΤΖΙΑΣ ΝΙΚΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΓΕΡΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΝΑ ΚΑΤΣΟΥΛΗ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΜΑΚΡΑΚΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΑΣΦΕΝΤΑΓΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΠΕΤΑΝΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΝΙΚΟΣ ΣΠΛΗΝΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΕΡΖΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΧΡΙΣΤΟΦΑΚΗ