ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣΗΣ ΝΟ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕ.Λ. 8 ΜΑΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ Α Α. Εστω μια συνάρτηση f και x ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x, όταν Α. lim f ( x) f ( x ). x x i. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x, x ισχύει x, x. Πράγματι: Αν x x, τότε προφανώς f ( x ) f ( x). Αν x x, τότε στο διάστημα [ x, x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ( x, x) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( x) f ( x) x x Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ), οπότε, λόγω της (), είναι f ( x ) f ( x). Αν x x, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότ ι f ( x ) f ( x). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f ( x ) f ( x). ii. Η πρόταση: «Αν η f είναι κυρτή στο Δ, τότε f (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ» είναι Ψευδής. Αντιπαράδειγμα: 4 3 3 Η συνάρτηση f ( x) x είναι είναι παραγωγίσιμη στο με f ( x) 4x. Η f ( x) 4x είναι γνησίως αύξουσα στο και άρα η f είναι κυρτή.ωστόσο f ( x) x για την οποία δεν () ισχύει f ( x) για κάθε x, αφού f (). Α3. α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό. Β. ΘΕΜΑ Β
i. Η f στο διάστημα, είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει f (x) για κάθε x,. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Η f στο διάστημα, 4 είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει f (x) για κάθε x,4. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,4. Η f στο διάστημα 4, 6 είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει f (x) για κάθε x 4,6. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 4,6. Η f στο διάστημα 6,8 είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει f (x) για κάθε x 6,8. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 6,8 (Μπορούμε να πούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 4,8 ) Η f στο διάστημα 8, είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει f (x) για κάθε x 8,. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ii. 8,. Η f στο διάστημα, είναι συνεχής και η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Επομένως η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα προς τα άνω) στο διάστημα,. Η f στο διάστημα, είναι συνεχής και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Επομένως η f είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω) στο διάστημα,. Η f στο διάστημα,5 είναι συνεχής και η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,5. Επομένως η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα προς τα άνω) στο διάστημα,5.
Η f στο διάστημα 5, 6 είναι συνεχής και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 5,6. Επομένως η f είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω) στο διάστημα 5,6. Η f στο διάστημα 6, 7 είναι συνεχής και η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 6,7. Επομένως η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα προς τα άνω) στο διάστημα 6,7. Η f στο διάστημα 7, είναι συνεχής και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο iii. διάστημα 7,. Επομένως η f είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω) στο διάστημα 7,. Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι τα σημεία,4,6,8 που είναι εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της και στα οποία η f μηδενίζεται, καθώς και τα σημεία -, που είναι άκρα του πεδίου ορισμού της της f. Οι αριθμοί, 8 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων, ενώ οι αριθμοί -,4, είναι θέσεις τοπικών ελαχίστων. Ο αριθμός 6 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου αφού η η f δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 6. Τέλος τα σημεία,, 5, 6, 7 είναι θέσεις σημείων καμπής, αφού σε αυτά η f είναι συνεχής και αλλάζει η μονοτονία της f. Β. i. Επειδή η συνάρτηση S είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,t το κινητό για t, t κινείται κατά την αρνητική φορά.
Επειδή η η συνάρτηση S είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα t, το κινητό για t t κινείται κατά την θετική φορά. ii. Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα του κινητού είναι u( t) S ( t) και ότι τις χρονικές στιγμές, 3 παρουσιάζει καμπή. Από το δοθέν σχήμα έχουμε: Στο διάστημα,t η S στρέφει τα κοίλα κάτω και άρα η u( t) S ( t) είναι γνησίως φθίνουσα σε αυτό. Δηλαδή η ταχύτητα μειώνεται. Στο διάστημα t, t 3 η S στρέφει τα κοίλα άνω και άρα η u( t) S ( t) είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό. Δηλαδή η ταχύτητα αυξάνεται. Στο διάστημα t, 3 η S στρέφει τα κοίλα κάτω και άρα η u ( t ) S ( t ) είναι γνησίως φθίνουσα σε αυτό. Δηλαδή η ταχύτητα μειώνεται. Ένας ενδεικτικός πίνακας μεταβολών της ταχύτητας είναι ο επόμενος: t t t 3 u( t) S ( t) t t Άρα, ταχύτητα του κινητού αυξάνεται στο διάστημα 3, t μειώνεται. ΘΕΜΑ Γ t, t 3 και στα διαστήματα,t και Γ. Για να είναι η f αντιστρέψιμη αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι συνάρτηση «-».Έστω x, x με f x f x ( ) ( ).Έχουμε διαδοχικά: f ( x ) f ( x ) f ( ) f ( ) ln( x 4) ln( x 4) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) x 4 x 4 x x Άρα η συνάρτηση f είναι «-». Γ. Έχουμε: f ( x) f ( x) ( fof )( ) ln(ln( x 4) ) f ( f ( ) ln(ln( x 4) ) f (ln( x 4) ln(ln( x 4) ) () Θέτουμε: ln( x 4) y, y και η () γίνεται: f ( y) ln( y ), y ή f ( x) ln( x ), x Η γραφική της παράσταση είναι η γνωστή λογαριθμική καμπύλη που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α(-,)(να την σχεδιάσετε).
Γ3. To πεδίο ορισμού της fof είναι: Dfof x / f ( x) x / ln( x ) x / x, Για κάθε x, έχουμε: x x x ( fof )( x) f ( ) f ( f ( x)) f ( ) f ( x) x f ( x) Θεωρούμε τη συνάρτηση: x x g( x) f ( x) ln( x ), x και εφαρμόζουμε το Θ.Bolzano στο διάστημα,,. Είναι: 3 Η g είναι συνεχής στο, 3 3,. g ( ) ( ) ( ) ln 3 3 3 3 ( ) ( ) g ln ( 3 ) δηλαδή: οπότε ισχύει το Θ.Bolzano. g, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο 3 ( ) g, Άρα υπάρχει, ένα τουλάχιστον, x, 3 έτσι ώστε : g x fof x f x ( ) ( )( ) ( ) Γ4. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για x με είναι επίσης παραγωγίσιμη x με f ( x), x. Η f x f ( x) για κάθε x. x Επομένως η f είναι κοίλη (στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω) ή ότι η φθίνουσα για x. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f στα διαστήματα: x x x x x,,,,, x f είναι γνησίως αφού η f είναι παραγωγίσιμη σε αυτά (άρα και συνεχής) διότι είναι παραγωγίσιμη στο (, ).
Άρα υπάρχουν αντίστοιχα, τουλάχιστον ένα, x x x και τουλάχιστον ένα x x, x, τέτοια ώστε: x x x x f f ( x ) f f ( x ) f ( ) ( I ) x x x x x x x x x f ( x ) f f ( x ) f f ( ) ( ) x x x x x Έχουμε διαδοχικά: x x x x f f ( x ) f ( x ) f f ( ) f (ξ ) x x x x x x f ( x ) f ( x ) f ΘΕΜΑ Δ Δ. Η συνάρτηση f ( x) ln x x x είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: f ( x) x x και επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα. Παρατηρούμε ότι: f x x x f () Έχουμε: f ( ) () x ( ), x f x f f ( x) x f ( x) f () f ( x), (ως Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον επόμενο πίνακα: x f ( x) + f (x) γν.αύξουσα γν.φθίνουσα
Μονοτονία f η είναι γνησίως αύξουσα στο γνησίως φθίνουσα στο,, Ακρότατα: η f παρουσιάζει για x= μέγιστο το f()=- Εναλλακτικά ος τρόπος (για τον υπολογισμό του ακροτάτου). Για κάθε x εχουμε: x x ln x x (Ι) και x x (ΙΙ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) έχουμε: ln x x x x ln x x x x x f ( x) f ( x) f () για κάθε x. Επομένως η f παρουσιάζει στο ολικό μέγιστο, το f () Δ. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: f x f ln t t dt f x f ln t f f Για την f ισχύουν: Είναι συνεχής στο [,] (ως παραγωγίσιμη στο (,+) Είναι παραγωγίσιμη στο (,) (ως παραγωγίσιμη στο (,+) αφού για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού, υπάρχει x, τέτοιο, ώστε: f xo f f Η ρίζα x o είναι μοναδική στο διάστημα (, ) αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και -. Εναλλακτικά: ος τρόπος:
Θεωρούμε την συνάρτηση: x f x f f για την οποία ισχύουν: είναι συνεχής στο [,] (ως παραγωγίσιμη στο (,+) f f f f f f διότι f f f f 3 f f f ln ln Από το Θ.Bolzano υπάρχει x, τέτοιο, ώστε: x o f xo f f f x o f f Η ρίζα x o είναι μοναδική στο διάστημα (,) αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και -. Εναλλακτικά: 3 ος τρόπος: Έστω η συνάρτηση: x f x x f f Για την f ισχύουν: Είναι συνεχής στο [,] (ως παραγωγίσιμη στο (,+) Είναι παραγωγίσιμη στο (,) (ως παραγωγίσιμη στο (,+) k f f, k f f από το Θ.Roll έχουμε : υπάρχει x, τέτοιο, ώστε: k xo f xo f f f x o f f Η ρίζα x o είναι μοναδική στο διάστημα (,) αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και «-». Δ3. Η f παρουσιάζει για x= μέγιστο το f() άρα: Επομένως : f x f x f
f ί ά x x x hx f f f x x x x x x για κάθε x, το εμβαδόν του χωρίου ισούται με : ln h x dx u u u du f dx x x u x f dx f udu x x u u u ln u u du Δ4. Η f παρουσιάζει για x= μέγιστο το f() άρα: i) Η απόσταση των (A λ,β λ ) είναι: f x f x f και γράφεται ως συνάρτηση του λ, 4 5 f g f f f d( ) f ( ) d ( ) f ( ), d ( ) f ( ) λ d ( ) - + d () γν.φθίνουσα γν.αύξουσα άρα η ελάχιστη τιμή είναι d f ii) lim f f ln lim lim ln ln lim γιατί : ln D. L. H lim ln lim D. L. H lim lim lim lim
lim lim lim lim lim ln lim lim lim ln D. L. H Επιστημονική επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρουμελιώτης Αντώνης, καθηγητής Μαθηματικών