Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος και την ευχάριστη διάθεση, με την οποία συμβάλλει στην ελεύθερη διάθεση της γνώσης. Για την αντιγραφή: Κόλλας Αντώνης.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ - ΟΡΙΣΜΟΣ α + β,. Αν f() = + να βρείτε τα α, β, ώστε η, > συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο. f(). Αν lim = 7 και η f είναι συνεχής στο 0 = 3, να αποδείξετε ότι 3 3 η f είναι παραγωγίσιμη στο 3. 3. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [0, + ) και ισχύει ότι ημ f() + ημ, για κάθε 0. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0. 4. Έστω η συνάρτηση f:, παραγωγίσιμη στο 0 και στο και ισχύει ότι f(0) = f(). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: g() = f() f( ),, > είναι παραγωγίσιμη στο /, αν και μόνο αν f (0) = f (). 5. Δίνεται η συνάρτηση f:, παραγωγίσιμη στο και για την οποία ισχύει ότι f () =. Να αποδείξετε ότι: lim ( + ) f()- f = + + 6. Έστω η συνάρτηση f:, παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει ότι f( + y) = f() + f(y) + y, για κάθε, y. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. 7. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f(0) = 3, f (0) =. f() 6 Να βρεθεί το lim. 0 0
8. Δίνεται η συνάρτηση f:, παραγωγίσιμη στο 0. Να αποδείξετε ότι: f(α) f(β) α. lim = (α β) f (0), με α, β *. 0 f (3) f () β. lim = f(0) f (0) 0 9. Θεωρούμε μια συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: f( + y) = e f(y) + e y f() + y + α για κάθε, y. Να αποδείξετε ότι: α. f(0) = α β. η Cf περνά από την αρχή των αξόνων. γ. αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε ισχύει ότι: 0 f (0) = f(0) + f (0) e e + 0, για κάθε 0. δ. αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0, τότε είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: 0 f (0) = f(0) + f (0) e + 0, για κάθε 0. ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ & ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 0. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: α. f() = γ. f() = ε. f() = ζ. f() = θ. f() = e + β. f() = ln ημ + δ. f() = ημ συν + εφ ln + + e στ. f() = η. f() = ι. f() = ln e 4 + ημ ημ ln ημ + συν. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ() = [ Ρ ()],.
. Να αποδείξετε ότι: α. αν f() = ln, τότε f() f () + = 0. β. dy αν y = / e, τότε + ( )y = 0. d γ. αν y = e (ημ συν) τότε y y e συν = 0. 3. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, με g(e) = και g (e) =. Αν f() = g() +, τότε να βρείτε τον f (e). ln 4. Να αποδείξετε ότι: e α. lim = 0 β. lim = 80 5 5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: α. f() = ημ 4 β. f() = ημ3 γ. f() = ημ συν δ. f() = εφ (4 3 + ) ε. f() = συν ( + 3) στ. f() = συν ln ζ. f() = ημ ( + 3 ) η. f() = ( + 3) 4 ( 3 5) 3 6. Α. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: α. f() = ln με > 0 β. f() = εφ Β. Να βρείτε την dy/d στο 0 της συνάρτησης: y = (u + 3), u = t 3, t = και 0 =. 7. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: ημ, 0 α. f() = 0, = 0 β. f() = + 3 + 8. Έστω η συνάρτηση h με h(u) = [ g (u) + ] 3. Αν g(3) = 3 και g (3) =, να βρείτε την h (3).
9. Δίνεται η f() = e + 3 +,. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να λύσετε την εξίσωση f () = 0. γ. Αν γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο A f, να αποδείξετε ότι ( f )() =. 0. α. Αν f() = c ( α) ( β) ( γ) με c, α, β, γ και α, β, γ τότε να αποδείξετε ότι: f () = + + f() α β γ β. Να βρεθεί η f αν f() = ( + 5) 3 ( + + 4 ).. Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο. Να αποδειχτεί ότι: Α. Αν η f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή. Β. Αν η f είναι περιττή, τότε η f είναι άρτια. Γ. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και περιττή τότε: α. f ( α) = f (α) β. f (0) = 0 Δ. Αν η f είναι άρτια και g() = ( + ) f() + 3 τότε g (0) = 3.. Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο και ισχύει ότι f ( ) g() = e, με f () 0. Να δείξετε ότι g () = g() f (). 3. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύει f( + 3) = + 3 + 5. Να βρεθεί το f (3). 4. Δίνεται η συνάρτηση f, για την οποία είναι f( + y) = f() f(y) και f() f() 0, για κάθε, y. Αν ισχύει ότι lim = l, τότε να 0 αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο.
5. Δίνεται ότι οι συναρτήσεις f, h είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο [0, ] και ισχύει: f () h 3 () = 9, [0, ]. Αν f() = 3 και f () =, να βρεθεί το h (). 6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και άρτια, τότε να αποδείξετε ότι και η g() = f ( f ( ) ) f είναι άρτια. 7. Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο και ισχύει ότι f( + y) g( + y) = f() g(), για κάθε, y. Να αποδειχτεί ότι: f () = g (),. 8. Εξηγήστε γιατί η παρακάτω διαδικασία οδηγεί σε άτοπο: 4 3 3 = = 4+ 44 + 4+ 44... + 3 4 ( ) 3 3 3 προσθετέοι 3 3 3 3 = + + + + 444 444... φορές 4 = 3 4 + 444 3 + 3 44444 +... + 3 3 φορές 4 3 = 3 3 4 = 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 9. Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι: α. f ( + h) f () lim = f (), για κάθε. h 0 h β. f ( h) f () lim = f (), για κάθε. h 0 h 30. Να αποδειχτεί ότι: α. Αν y = ln(e + ), τότε: y = ( y ) ( + y ). β. Αν y = ημ(ln) + συν(ln), τότε: y + y + y = 0. 3. Αν η συνάρτηση f έχει πρώτη και δεύτερη παράγωγο στο και για κάθε ισχύει f( ) = f(), να αποδείξετε ότι f () = 0. 3
3. Να αποδείξετε ότι: α. νπ Αν f() = συν, τότε f (ν) () = συν +. β. Αν f() = e, τότε f (ν) () = e ( + ν). ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 33. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 = και ισχύει f() lim = 7. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α (, f()) και να αποδείξετε ότι είναι κάθετη στην ευθεία + 9y + 5 = 0. 34. Αν f: (0, + ) με f() = / και α > 0, να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου, που σχηματίζουν οι ημιάξονες Ο, Oy και η εφαπτομένη της καμπύλης στο 0 = α, είναι ανεξάρτητο του α. 35. Έστω f() = + και g() = 8 +. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των Cf, Cg, αντίστοιχα, που τέμνονται στον άξονα y y και είναι κάθετες μεταξύ τους. α + α + β + α, 36. Αν f() = γ, να βρεθούν τα α, β, γ,, < + ώστε η εφαπτομένη της Cf στο Α (, f()) να είναι παράλληλη προς την + y = 0. 37. Αν f() = α ln + β + 3, να βρείτε τα α, β, ώστε η ευθεία (ε): y + 4 = 0 να είναι εφαπτόμενη της Cf στο σημείο της Α (, f()). ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 38. Αν f() = 4 και g() = + 8 0. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των Cf και Cg. 39. Δίνονται οι συναρτήσεις g() = και f() = α + β +. Να βρείτε τα α, β, ώστε οι γραφικές παραστάσεις τους να έχουν κοινή εφαπτόμενη στο σημείο με τετμημένη 0 =.
40. Για ποια τιμή του α 0 η εφαπτόμενη της Cf, όπου f() = 3 στο Α (, f()) είναι εφαπτόμενη και της Cg, με g() = α/ ; 4. Αν η ευθεία (ε): y = 0 είναι εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της y = f(), στο σημείο της o =, τότε να βρεθεί η εφαπτόμενη (ε) της Cg, g() = f στο σημείο με =. 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση f, που έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο f() με f () 0, για κάθε. Αν η Cg της g με g() = τέμνει τον f () άξονα, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο τομής, σχηματίζει με τον γωνία 45 0. 43. Να βρείτε τον α, ώστε η συνάρτηση f με f() = α, να έχει εφαπτόμενη την y =. 44. Έστω η συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ότι: ln f(), για κάθε Δ. Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο o = και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Μ (, f()). 45. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι: f( + ) f( ) =, για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο (, f()) είναι κάθετη στην ευθεία y =. 46. Δίνεται η συνάρτηση f() = α ln, > 0 και α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο σημείο της Μ (, f()) και αποδείξτε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Ρ, για κάθε α. 47. Μια συνάρτηση f: έχει την ιδιότητα: f( ) 3 + f( 3) + 4,. Έστω μεταβλητή ευθεία, η οποία διέρχεται από το Μ ( /, 0) και τέμνει τη Cf σε δύο διαφορετικά σημεία Α και Β. α. Να βρείτε τον τύπο της f. β. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της Cf στα Α και Β τέμνονται κάθετα.
48. Έστω f δευτεροβάθμια, πολυωνυμική συνάρτηση, ώστε: 3 f( + ) f( ) = + 4 5,. α. Να βρεθεί ο τύπος της f. β. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της Cf, οι οποίες άγονται από το σημείο Α (, /4), είναι κάθετες μεταξύ τους. 49. Έστω οι συναρτήσεις f, g, h:, με: f() 0 g() = f() h() για κάθε f, g, h είναι δύο φορές παραγωγίσιμες και h () = [h ()] Αν Μ (0, y0) κοινό σημείο των Cf και Cg, να αποδείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο Μ. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 50. Μια σκάλα μήκους 3 m είναι ακουμπισμένη σ' έναν κατακόρυφο τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας έλκεται από τον τοίχο, με ρυθμό m/sec. Να βρείτε: α. Πόσο γρήγορα γλιστράει το πάνω άκρο της σκάλας, όταν το κάτω άκρο απέχει από τον τοίχο 5 m. β. Το ρυθμό μεταβαβολής του εμβαδού του τριγώνου, που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος, όταν το κάτω άκρο της απέχει από τον τοίχο m. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln, > 0 και το σημείο Μ (α, lnα), με α > 0. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο σημείο Μ. β. Για ποια τιμή του α, η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; γ. Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα y y, με σταθερή ταχύτητα v = m/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ, ως προς το χρόνο t, τη χρονική στιγμή t0, κατά την οποία η εφαπτόμενη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 5. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: α. f() = ln β. f() = /ln γ. f() = + συν, [0, π) δ. e e, 0 f() = ln, > 0 53. Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [0, 3], με f () > 0 και f() f() =, f() =. Αν g() =, 0 3, να βρείτε τα + f () διαστήματα μονοτονίας και το σύνολο τιμών της g. 54. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων: α. ln( ) + + 6 = 0 β. ln + e = 0 55. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. ln( + ) + = 0 + β. e + + e = 0 56. Έστω f: (0, + ), παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει: f () f()/ = ln και f() =. α. Να βρεθεί ο τύπος της f. β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. 57. Να αποδείξετε τις ανισότητες: α. e < ln < e β. ln(ημ) < ημ, για κάθε (0, π) γ. e π < π e ln( ) 58. Έστω η συνάρτηση f() =,. ln Α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.
Β. Να αποδείξετε ότι: α. ln(e ) ln(e + ) < β. ln(e π ) ln(e π + ) < π γ. ln( ) ln( + ) < ln, > 59. Έστω μια συνάρτηση f: (0, + ), με f() > 0 για κάθε > 0, η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: ln(f()) + e f() = ln 3 + e + e, για κάθε > 0. Να μελετήσετε την f, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 60. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με f () 0,. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(e ) = f( + α), α. 6. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, με f() > 0 για κάθε, για την οποία ισχύει ότι: f 3 () + ln(f() + e f() = 3 + +,. α. Να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β. Να λύσετε την εξίσωση f(ln) = f( ) 6. Έστω συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει ότι: f( ) = f( + ), για κάθε. Αν ισχύει ότι f () 0,, να λύσετε την εξίσωση f() = 0. 63. ln Δίνεται η συνάρτηση f() = α. Να εξεταστεί η f, ως προς τη μονοτονία. β. Να αποδείξετε ότι αν α, β (, + ) και β α β = α β α τότε α = β. 64. Αν g () > συν g(), για κάθε, να αποδείξετε ότι: g() > ημ /, για κάθε 0. 65. Οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο με f(0) = g(0) και για κάθε ισχύει f () g() > f() g () και g() > 0. Να αποδείξετε ότι: α. Η h() = f()/g() είναι γνησίως αύξουσα στο. β. f() g() για κάθε [0, + ) και f() g(), (, 0].
66. Έστω μια συνάρτηση f: για την οποία ισχύει ότι f () > f() και f(0) =. Να αποδείξετε ότι f() > e, για κάθε > 0. 67. Αν η συνάρτηση f: είναι παραγωγίσιμη με f(0) = 0 και f () + f() > 0, για κάθε, να αποδείξετε ότι f() > 0, 0. 68. Αν η συνάρτηση f: είναι παραγωγίσιμη με f(0) = 0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f()/, > 0, είναι γνησίως φθίνουσα. 69. Αν f() = 004 τότε: e Α. α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f. β. Να βρείτε τα όρια lim f(), lim f(). + Β. α. Να δείξετε ότι η f() = 0 έχει ακριβώς μια λύση στο. β. Να λύσετε στο [0, π) την ανίσωση: 4 συν e συν > e 70. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και για κάθε > f () ισχύει f() = ln, να δείξετε ότι: α. Η g() = f() ln είναι σταθερή στο (, + ). β. Αν f(e) = 3, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ. Αν f(e) =, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. 7. α. Να αποδείξετε ότι ln( + ) >, για κάθε [0, + ). 5 β. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0, + ), ώστε: 3 5 3 4 f () + f () + 3f() = ( + ) ln( + ) + + 004 5 6 Να μελετηθεί η f, ως προς τη μονοτονία της. 7. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, που είναι συνεχής στο [0, ], παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει: f () f() f(0), (0, ). +
ΑΚΡΟΤΑΤΑ 73. Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα: α. f() = ln β. f() = συν, 0 π γ. f() = ln / δ. f() = e / ε. f() = e, 4 στ. f) = ln( ), < 74. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f() = ( + α) ( β), με α, β > 0 έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα. 75. Να βρεθεί για ποιες τιμές του α, η συνάρτηση f με: f() = 3 + (α ) + + 0 είναι γνησίως αύξουσα, σε όλο το. 76. Να βρεθεί κ, ώστε η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f() = e κ να είναι το e. 77. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. Η συνάρτηση f() = 3 + α + β + 9 να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα για = και = 3. β. Η συνάρτηση f() = α ln + β/ + α να έχει στη θέση 0 = τοπικό ακρότατο με τιμή + ln. 78. α. Να μελετήσετε, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, τη συνάρτηση f() = e / ν, ν *. β. ν e Να αποδείξετε ότι e, (0, + ). ν 79. Δίνεται η συνάρτηση f() = e +. α. Να αποδείξετε ότι η Cf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, σε ένα μόνο σημείο της. β. Να λύσετε την εξίσωση: e + = +. γ. Να αποδείξετε ότι: e ( ),.
80. Δίνεται η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα, αν ισχύει κάποια από τις επόμενες σχέσεις: α. (f()) + = + f(),. β. f() = ( + α + ) e,, α <. 8. Έστω η συνάρτηση f() = ln. Να βρείτε το σημείο της Cf στο οποίο η f έχει τη μικρότερη κλίση. 8. Να βρείτε τις τιμές του λ, αν η συνάρτηση: f() = 3 (λ ) + (λ + 5) δεν έχει ακρότατα. ln 8. Αν α, β > 0 και ισχύει α + β ότι α β = για κάθε > 0, να αποδείξετε 83. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύουν: f(0) = και e f() 0, για κάθε. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α (0, ). 84. Έστω η συνάρτηση f: (0, ), η οποία είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με f() 0, για κάθε (0, ). Αν υπάρχουν, (0, ) με τέτοια, ώστε f() = f() = 0, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (0, ) με f (ξ) = 0. 85. Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α, β]. Αν υπάρχουν, (α, β) τέτοιοι, ώστε f(α), f(β) (f(), f()), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (ξ, ξ), ώστε f (ξ) = 0. 86. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 + α + β + γ, με α, β, γ και έστω ότι η εξίσωση f() = 0 έχει τρεις πραγματικές ρίζες, για τις οποίες είναι ρ < ρ < ρ3. Να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχουν ξ (ρ, ρ) και ξ (ρ, ρ3), ώστε η f να παρουσιάζει στο ξ τοπικό μέγιστο και στο ξ τοπικό ελάχιστο. β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε η συνάρτηση y = f () να έχει στο ξ τοπικό ελάχιστο.
87. Έστω συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, α] με την f να είναι περιττή. Αν η f στο 0 ( α, α) παρουσιάζει ακρότατο, να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, α), ώστε: f (ξ) + f (ξ) = α f (α) 88. Έστω g, f παραγωγίσιμες συναρτήσεις, για κάθε. Αν ισχύει: f() + g() και f(3) g(3) = 9 να δείξετε ότι ισχύει f (3) g (3) = 6. α 89. Αν για κάθε > 0 ισχύει ln + α/ α, να βρείτε το α. 90. Έστω οι συναρτήσεις f, g: οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: f() + και f() e g() = e, για κάθε. Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Α (0, ), να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των Cf και Cg στο 0 = 0, τέμνονται κάθετα. 9. Δίνεται η συνάρτηση f() = α α, > 0, λ > 0, για την οποία γνωρίζουμε ότι f() 0, για κάθε > 0. α. Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστη τιμή για = α. β. Να δείξετε ότι α = e. γ. Να δείξετε ότι η f() είναι γνησίως αύξουσα στο [e, + ). 9. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:, που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με f () > f (), για κάθε. Αν η f παρουσιάζει, για 0 = 0, τοπικό ακρότατο το f(0) = 0, να αποδείξετε ότι: α. Αν < 0 τότε f() < f (). β. Αν > 0 τότε f() > f (). 93. α. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f() = ln + λ, λ. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (0, f(0)), όπου o η θέση του τοπικού ακρότατου, όταν το λ διατρέχει το. 94. Έστω η συνάρτηση f() = e + λ, λ. α. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης. β. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ, για την οποία ισχύει f() 0, για κάθε. 0
γ. Αν λ + /e να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα, η + συνάρτηση g() = ( λ). 95. Αν f() = λ e λ, λ > 0, > 0 τότε: α. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο. β. Να βρείτε την τιμή του λ, για την οποία το μέγιστο τη f γίνεται ελάχιστο. 96. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης : e 8 α + = 0, αν α. 97. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 α 4 + α = 0 έχει τρεις πραγματικές ρίζες, για κάθε α. 98. Μία συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο. Αν υπάρχει α, ώστε f(α) = f (α) = f (α) = 0 και f () > 0, για κάθε, τότε: α. Να βρείτε τη μονοτονία των f, f και f. β. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f () = 0, f () = 0 και f() = 0 έχουν μοναδική ρίζα. 99. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [α, β] και ισχύει ότι: α β > 0, β < f() < και f (), [α, β] α αβ να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0 (α, β) τέτοιο, ώστε: αβ f(0) = o 00. Έστω η f() = 3 3 + 5α. α. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. β. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = 0, όταν το α διατρέχει το. 0. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f() = 3 + κ + + λ (κ, λ ) Να αποδείξετε ότι = /3.
0. Δίνεται ο μιγαδικός z = e + i, με 0. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: z 3. 03. Έστω η συνάρτηση f() = z, [0, ], όπου: z = ( ) e + i ( ), [0, ] α. Να βρείτε το μιγαδικό, του οποίου το μέτρο γίνεται μέγιστο. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και η ευθεία y =, τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο. 04. Αν ( 4) f () + f() = 0, [0, 4] να αποδείξετε ότι f() = 0, για κάθε [0, 4]. 05. Να αποδείξετε ότι: α. ισχύει e + e + > 0, για κάθε. β. η συνάρτηση f() = ln( + ) e + είναι γνησίως αύξουσα στο. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 06. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες, καθώς και τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων: α. h() = + 8/ β. g() = 3 5 5 3 γ. g() = + + (ln ) δ. f() = e 07. α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f() = ln, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = ln + ln + 3 είναι κυρτή στο (0, + ). γ. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο. 08. Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f() = 5 + 5α 4 + 0β 3 +,, α, β, έχει τρία σημεία καμπής, να δείξετε ότι α > β.
09. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, + ), για την οποία ισχύουν: f() < και f () =, > 0. f() Να αποδείξετε ότι: α. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. β. Η f είναι κυρτή στο (0, + ). 0. Δίνεται ότι η γραφική παράσταση της f() = α + β ln + β, όπου α, β, έχει σημείο καμπής το Α (, 3). α. Να αποδείξετε ότι α = 4 και β =. β. Να βρείτε τα διαστήματα, όπου η Cf είναι κυρτή ή κοίλη. γ. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής της. δ. Να αποδείξετε ότι 4 ln + 3,.. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f () 0, για κάθε και g συνάρτηση τέτοια, ώστε g() f () = 8 f(), για κάθε. Αν η Cf έχει σημείο καμπής το Α (, f()), να αποδείξετε ότι g () = 8.. Να αποδείξετε ότι η Cf της συνάρτησης: f() = 4 + 4α 3 + 3(α 4α + 5) + α +, α δεν έχει σημεία καμπής. 3. Η συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει α, ώστε f(α) = f (α) =, τότε η εξίσωση f() = είναι αδύνατη στο διάστημα (α, β), β > α. 4. Έστω η συνάρτηση f: με την ιδιότητα: ( + + ) f () + e f() = 0, για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η Cf έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. 5. Η συνάρτηση f έχει συνεχή η παράγωγο και f () ημ = 0, για κάθε. Να δείξετε ότι το Α (0, f(0)) δε μπορεί να είναι σημείο καμπής της Cf.
6. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f γνησίως φθίνουσα στο, f () 0,, f () > 0 και η συνάρτηση g() = f() f( ),. α. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. β. Να βρείτε τα διαστήματα, που η g είναι κυρτή ή κοίλη, καθώς και τα σημεία καμπής της Cg. 7. Έστω μια κυρτή συνάρτηση f: [0, + ), με f(0) = 0. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f()/ είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). 8. Αν f() = e λ /λ, με λ > 0, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων καμπής της γραφικής παράστασης της f, για κάθε λ (0, + ). 9. α. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε, Δ ισχύει: + f() f( + f α+ β ) (Jensen) β. Να αποδείξετε ότι: e > (e )(e ), α β +. α β 0. Έστω η συνάρτηση f() = ln( ln ). α. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο Af. α + β β. Να αποδείξετε ότι: ln ln α lnβ, α, β Αf.. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f:, που η γραφική της παράσταση στρέφει τα κοίλα άνω και περνά από την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει ότι: 3f() 4f(3/4).. Η συνάρτηση f: (0, ) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει ότι: f () + ( 4) f() + = 0, για κάθε (0, ). Να αποδείξετε ότι η Cf δεν έχει σημεία καμπής. DE L' HOSPITAL 3. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α. lim ( ln ) + β. lim ( ln ) 0 +
γ. ε. lim e + ημ + συν lim 0 (e ) ημ + δ. lim ln + στ. e + + lim 4e + + 3 4. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: 3 α. lim ημ συν εφ β. ( ) δ. στ. lim lim 0 + lim εφ γ. lim + lim ημ ε. ( ) συν 5. Να υπολογιστούν τα όρια: α. γ. e lim β. 0 + lim + + + δ. lim 0 ημ ημ ημ lim 0 + ημ 6. Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση: f() = και ότι f () = 0,5. ln,, 0 < = 7. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει ( συν) f() = ln( + ), για κάθε >. Να βρείτε το f(0). 8. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει: f() + e ημ = f() ημ + e, για κάθε. Να βρείτε το f(0).
9. Έστω η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει ότι: f() ln( + ),. Να δειχθεί ότι η Cf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο 0 = 0. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 30. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α. h() = γ. f() = e 3 e β. f() = ln 3. Να βρείτε τα α, β, γ, ώστε η γραφική παράσταση της f με (α ) + β + 5 f() = να έχει ως ασύμπτωτες τις ευθείες = 3 + γ και y = 3. 3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = ln είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() = ln(e + ) ln. 33. Έστω η συνάρτηση f: και η συνάρτηση g, με g() = f(e ). Αν η ευθεία y = + εφάπτεται της Cf στο 0 = 0, να βρείτε την ασύμπτωτη της Cg στο +. 34. Έστω οι συναρτήσεις f, g: (0, + ) με: g() = f() + + ln( + ) ln, για κάθε > 0. Αν η ευθεία y = + 3 είναι ασύμπτωτη της Cf στο +, να βρείτε την ασύμπτωτη της Cg στο +. 35. Έστω συνάρτηση f: (0, + ) για την οποία ισχύει: e f(), για κάθε > 0. Να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι ασύμπτωτη της Cf. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 36. Να μελετήσετε τις συναρτήσεις: α. f() = 3 β. f() = ημ +, [ π, π]
γ. f() = + δ. f() = ln ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 37. Αν Μ το σημείο του διαγράμματος της f με f() = ln λ + 3, που αντιστοιχεί στο τοπικό της ελάχιστο, να βρεθεί η απόσταση ΟΜ, όταν ο ρυθμός μεταβολής του ΟΜ ως προς λ γίνει μηδέν. 38. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â = 90 ο, για το οποίο ισχύουν τα εξής: η κορυφή Γ έχει συντεταγμένες ( 4, 0), η κορυφή Α είναι στο διάστημα [0, 4] του άξονα και η κορυφή Β είναι σημείο της παραβολής y = 4. Για ποια τιμή των συντεταγμένων του Β το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ γίνεται μέγιστο; ΓΕΝΙΚΕΣ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ 39. Μια συνεχής συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το (, + ), δε μηδενίζεται πουθενά και f(0) = /. Αν μια αρχική της f είναι η /f τότε: α. Να βρείτε τον τύπο της f. β. Να μελετήσετε την f, ως προς τα κοίλα, γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. 40. Έστω συνάρτηση f, συνεχής στο [α, β], με α > 0, παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν για τους μιγαδικούς z = α + i f(α) και w = β + i f(β) ισχύει η σχέση z + iw = z iw, να αποδειχτεί ότι υπάρχει, τουλάχιστον έαν, 0 (α, β), ώστε f (0) = f(0) / o. 4. α. Αν για τους μιγαδικούς z, z ισχύει z z = z + z (), να δείξετε ότι Im( z z) = 0. β. Έστω η συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο [α, β]. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = f(α) + i f(β) και z = f(β) i f(α), για τους οποίους ισχύει η ισότητα (), του προηγούμενου ερωτήματος. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ ξ (α, β) τέτοιοι, ώστε να ισχύει f (ξ) + f (ξ) = 0.
4. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ), ισχύει ότι: f() + f () = 0. ln Αν f(e) = τότε: α. Να βρεθεί ο τύπος της f. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z αν ισχύει ότι: z z (z + z ) + lim f () + = e e 43. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, παραγωγίσιμες στο (0, + ), για τις οποίες ισχύει: f() = g() + α e, > 0. Έστω, επιπλέον, ο αριθμός αρνητικός, πραγματικός α και ο θετικός, πραγματικός β, για τον οποίο ισχύει lim g() = β. + α. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = α + α + β είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο +. β. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z = α + βi, α, β, βρίσκεται στην ασύμπτωτη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, όταν + και το μέτρο του είναι, τότε να γράψετε τους μιγαδικούς αριθμούς w = z / και w = z 003 / 00 στη μορφή + yi. γ. Να αποδείξετε ότι: f() g() + α e, > 0. 44. Έστω οι μιγαδικοί w = + yi και z = w (3 + 4i) + w(3 4i),, y. Α. Να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός. Β. Να βρεθεί ο μιγαδικός w αν ισχύει ότι w = z 5. Γ. Έστω z = 50. α. Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ(w), που είναι εικόνες των μιγαδικών w. β. Να βρεθεί ο μιγαδικός w με το μικρότερο μέτρο. 45. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο [α, β], παραγωγίσιμες στο (α, β), με g() g () 0, για κάθε (α, β) και
οι μιγαδικοί w = f(α) i g(β), z = g(α) i f(β), ώστε να ισχύει: w + z = w + z. Να αποδείξετε ότι: α. Re(z w) = 0 f (ξ) f(ξ) β. υπάρχει ξ (α, β), ώστε + = 0. g (ξ) g(ξ)