IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική ευστάθεια.λογιστικού τύπου 3.Διακριτοποίηση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Γενική λύση Ονομάζουμε διαφορική εξίσωση ης τάξης μια εξίσωση όπου η παράγωγος μιας άγνωστης συνάρτησης εξαρτάται από την τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αλλά και από την τιμή της ίδιας της συνάρτησης: = f(, ) Κάθε συνάρτηση () που την ικανοποιεί ταυτοτικά σε κάποιο διάστημα είναι λύση της σαυτό το διάστημα. Μια διαφορική εξίσωση έχει γενικά πολλές λύσεις. Συνήθως το σύνολο των λύσεων εκφράζεται μέσω μιας σταθεράς που μπορεί να πάρει αυθαίρετη τιμή, στη μορφή: = (,c) ή πλεγμένα F(,,c) = οπότε λέμε ότι έχουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Αν καθορίζεται και η τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο: ( ) = τότε λέμε ότι έχουμε και αρχική τιμή ή γενικότερα αρχική συνθήκη. Σαυτή την περίπτωση μπορούμε να προσδιορίσουμε τη σταθερά c και από τη γενική λύση να βρούμε μια συγκεκριμένη λύση. Στην ειδική περίπτωση που το δεν εμφανίζεται στο δεξιό μέρος, μπορούμε να βρούμε την γενική λύση ολοκληρώνοντας: = f() = f()d = F() + c Στη γενική περίπτωση η εύρεση της λύσης απαιτεί μια περισσότερο σύνθετη διαδικασία πλεγμένης ολοκλήρωσης αντίστροφη της πλεγμένης παραγώγισης. Γιαυτό οι λύσεις καλούνται και ολοκληρώματα.. Χωριζόμενων μεταβλητών καλούνται οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής: = g()h() Λύνονται χωρίζοντας τις μεταβλητές και ολοκληρώνοντας ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά. d d = g()h() g()d H() G() c d = = + h() Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης χωριζόμενων μεταβλητών είναι οι ελλιπείς διαφορικές εξισώσεις, όπου το δεξιό μέρος εξαρτάται μόνο από το ή μόνο από το : = f() ή = f() αντίστοιχα. Η πρώτη είναι η τετριμμένη που αναφέραμε παραπάνω. Η δεύτερη καλείται αυτόνομη, και θα την επανεξετάσουμε παρακάτω. Παράδειγμα d. = d d α c d = = + + = Στη θέση της σταθεράς α αντικαταστήσαμε μια νέα αυθαίρετη σταθερά c= α. Το γράφημα αποτελείται από ομόκεντρους κύκλους, όπως στο πρώτο γράφημα του παρακάτω σχήματος.. d d d = = = + c + = c d Βρήκαμε τη λύση σε πλεγμένη μορφή. Το γράφημα αποτελείται από μια οικογένεια υπερβολών με διαφορετικές ασύμπτωτες, όπως στο δεύτερο γράφημα παρακάτω, με c> στη θετική περιοχή. d d 3. = d ln / α d = = + Λύνοντας αλγεβρικά ως προς, βρίσκουμε τις λύσεις όπως στο τρίτο γράφημα παραπάνω: c> c= c<
α / α / / α = e e =± e e =, όπου αντικαταστήσαμε: c=± e. 3. Ρυθμοί Θεωρούμε τους παρακάτω τρεις ρυθμούς μεταβολής μιας συνάρτησης () : = m : οριακός ρυθμός ή παράγωγος / = r : σχετικός οριακός ρυθμός ή ρυθμός ανάπτυξης / = ε : ελαστικότητα. Αντίστροφα, αν γνωρίζουμε έναν από τους παραπάνω ρυθμούς, βρίσκουμε τη συνάρτηση ολοκληρώνοντας την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση. Ειδικά στην περίπτωση που κάποιος από τους ρυθμούς είναι σταθερός, καταλήγουμε σε διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών και βρίσκουμε τις γνωστές συναρτήσεις: = m = m+ c, γραμμική r / = r =, εκθετική ε / = ε = c, δύναμη 4. Γραμμικές καλούνται οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν το δεξιό μέρος γραμμικό ως προς : r() β() = + Γενικά, ο συντελεστής r και ο προσθετικός όρος β μπορεί να εξαρτώνται από το. Αν ο προσθετικός όρος είναι μηδενικός η εξίσωση καλείται γραμμική ομογενής και είναι χωριζόμενων μεταβλητών, με γενική λύση: R() = r() = όπου R() είναι μια οιαδήποτε παράγουσα της r() : R () = r() R() = r()d, χωρίς σταθερά στην ολοκλήρωση, λόγω του c που την περικλείει Θεωρούμε τώρα και την γενική περίπτωση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης αλλά με σταθερό συντελεστή r. Τότε:. Η ομογενής έχει τη γενική λύση: r = r =. Η μη ομογενής έχει τη γενική λύση: r r r = r+ β() = () +, με = e e β()d, χωρίς σταθερά στην ολοκλήρωση, λόγω του c που την περικλείει. Παράδειγμα. = +, με σταθερό συντελεστή r =, και β=. Βρίσκουμε: = = = γενική λύση: e e d e (e ) = +. = +, με σταθερό συντελεστή r =, και β=. Βρίσκουμε: = e e d = e [ e + e d] = 4 Η γενική λύση είναι: =.5.5+ 5. Γραμμική αυτόνομη καλείται η γραμμική διαφορική εξίσωση που έχει σταθερούς και τον συντελεστή και τον προσθετικό όρο. Ο παραπάνω τύπος μας δίνει τη γενική λύση στη μορφή: r = + = +, με r β Αν έχουμε και αρχική τιμή στο = e e βd= : σταθερή r, τότε η λύση γράφεται: r r β r( ) β = + ( )e όπου = r Παρατήρηση. Το παραπάνω ισχύει εφόσον r. Αν r = τότε βρίσκουμε: = β = β+ c Παράδειγμα3. =., με αρχική τιμή: () = Είναι αυτόνομη γραμμική με αρχική τιμή... Γενική λύση: {r =., β= } = /.= = +
. Η αρχική συνθήκη μας δίνει: = + c c= Επομένως η λύση που ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη είναι:. = + ( )e 6. Bernoulli αυτόνομη καλείται η διαφορική εξίσωση της μορφής: κ = + με κ r β Αν την πολλαπλασιάσουμε με κ, βρίσκουμε την εξίσωση: κ κ+ = r + β η οποία μετατρέπεται σε γραμμική αυτόνομη με την αντικατάσταση: κ κ κ {z= +, z = ( κ+ ) = z / ( κ+ )} Δηλαδή εκτελούμε ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής. Παράδειγμα4. = = + Είναι τύπου Bernoulli αυτόνομη με κ=. Πολλαπλασιάζοντας με = + Μετατρέπεται σε γραμμική αυτόνομη με την αντικατάσταση z=, z = () z = z+ z = z / + Βρίσκουμε τη γενική λύση: / / z = z / + z= + = z = (+ ) Ισχύει μόνο στο διάστημα: / / σε όλο τον άξονα αν c z= + e c στο διάστημα ln( c), αν c<, βρίσκουμε: 7. Aσυμπτωτικές ιδιότητες διαφορικών εξισώσεων αναφέρονται στη συμπεριφορά των λύσεων όταν +. Θα μελετήσουμε τις ασυμπτωτικές ιδιότητες των λύσεων της αυτόνομης γραμμικής: r β = r+ β = + όπου = : σταθερή r Υποθέτοντας r, βρίσκουμε για c= ότι η σταθερή συνάρτηση: = = β / r είναι μια λύση της αυτόνομης γραμμικής εξίσωσης. Ονομάζουμε την τιμή της σταθερή τιμή της διαφορικής r εξίσωσης. Για τα γραφήματα των λύσεων αρκεί να προσθέσουμε στις γνωστές εκθετικές την σταθερή τιμή. c> > c= = c< < r< r> r= Παρατηρούμε τώρα ότι στο όριο όταν +, η διαφορά μιας οιασδήποτε λύσης από τη σταθερή λύση ικανοποιεί: r r αν r< () = = ( )e αν r > Λέμε ότι η σταθερή τιμή = β / r, είναι ασυμπτωτικά :. Ευσταθής ή ελκτική αν r<,. Ασταθής ή απωθητική αν r> Τα παραπάνω ισχύουν εφόσον r. Αν r=, τότε η εξίσωση έχει τη γενική λύση: = β = β+ c Τώρα δεν έχουμε σταθερή τιμή. Τα γραφήματα είναι παράλληλες ευθείες, οπότε ασυμπτωτικά οι λύσεις ούτε πλησιάζουν ούτε απομακρύνονται μεταξύ τους. Λέμε ότι εμφανίζουν ουδέτερη ευστάθεια. 3
8. Αυτόνομες καλούνται οι διαφορικές εξισώσεις, όπως η αυτόνομη γραμμική, στις οποίες το δεξιό μέρος εξαρτάται μόνο από το : = f() Μια αυτόνομη διαφορική εξίσωση εκφράζει μια σταθερή σχέση μεταξύ της παραγώγου και της τιμής της άγνωστης συνάρτησης, ίδια για όλα τα. Είναι χωριζόμενων μεταβλητών και η επίλυσή της επιτυγχάνεται με απλή ολοκλήρωση αλλάζοντας το ρόλο των δύο μεταβλητών {,} : d d = f() = = d F() c d d f() = + f() Βρήκαμε τη λύση σε πλεγμένη μορφή. Αντιστρέφοντας την F, βρίσκουμε τη γενική λύση σε κανονική μορφή: = f() = F ( c) Παρατηρούμε ότι τα γραφήματα των λύσεων μιας αυτόνομης διαφορικής εξίσωσης προκύπτουν το ένα από το άλλο με οριζόντια μετατόπιση. 9. Σταθερές τιμές Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων, όπως των αυτόνομων γραμμικών που εξετάσαμε παραπάνω, είναι ότι γενικά έχουν σταθερές λύσεις: () Οι τιμές τους καλούνται σταθερές τιμές ή τιμές ισορροπίας της διαφορικής εξίσωσης, και δίνονται από τα μηδενικά της συνάρτησης στο δεξιό μέρος: f() = Παράδειγμα5. Θα βρούμε τις σταθερές τιμές των παρακάτω αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων, εκ των οποίων η είναι γραμμική αυτόνομη και οι,3 Bernoulli αυτόνομες:. = r+ β : r+ β= = β / r. = = = = = = : f() ( ) {, } = : f() = = ( ) = { =, = } 3. 4. = + :. Διάγραμμα ροής f() = + =, δεν έχει σταθερές τιμές Οι ιδιότητες μονοτονίας μιας λύσης = () της αυτόνομης διαφορικής εξίσωσης: = f(), εξαρτώνται μόνο από την τιμή του, και συγκεκριμένα από το πρόσημο της παράστασης f(). Θεωρώντας λοιπόν τα πρόσημα της συνάρτησης f() στον άξονα, παρατηρούμε ότι: + 3 3 f() = 6 ροή γράφημα λύσης Διάγραμμα ροής και γράφημα λύσης: = 6 = 3+. Τα μηδενικά: f() =, δίνουν τις σταθερές τιμές, και χωρίζουν τον άξονα σε διαστήματα.. Οι λύσεις = () είναι γνήσια αύξουσες στα διαστήματα με f() >, και γνήσια φθίνουσες στα διαστήματα με f() <. 4
Οι σταθερές τιμές και τα διαστήματα μονοτονίας σχηματίζουν στον άξονα ένα διάγραμμα ροής των τιμών του, το οποίο σε συνδυασμό με την παρατήρηση ότι οι λύσεις προκύπτουν η μια από την άλλη με οριζόντια μετατόπιση μας δίνει το γράφημα του συνόλου των λύσεων.. Ασυμπτωτική ευστάθεια Όπως και στις γραμμικές αυτόνομες που μελετήσαμε προηγουμένως, λέμε ότι για + μια σταθερή τιμή της αυτόνομης εξίσωσης είναι ασυμπτωτικά:. Ευσταθής ή ελκτική, αν η ροή του πλησιάζει προς αυτή.. Ασταθής ή απωθητική αν η ροή του απομακρύνεται από αυτή. Παίρνοντας υπόψη το πρόσημο της f() εκατέρωθεν του, συμπεραίνουμε ότι: Μια σταθερή τιμή της αυτόνομης εξίσωσης = f(), είναι ασυμπτωτικά:. ευσταθής αν f ( ) <. ασταθής αν f ( ) > Το κριτήριο δεν αποφαίνεται αν f ( ) = ή f ( ) =. Σ αυτή την περίπτωση πρέπει να μελετήσουμε το πρόσημο εκατέρωθεν του, δηλαδή να καταφύγουμε στο διάγραμμα ροής. Ο παραπάνω χαρακτηρισμός αφορά χωριστά την κάθε σταθερή τιμή. Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί να πλησιάζει από τη μια πλευρά της και να απομακρύνεται από την άλλη οπότε λέμε π.χ. ότι είναι: πάνω ευσταθής-κάτω ασταθής ή αντίστροφα. / 3 3 = = + = + Γραφήματα γενικής λύσεως αυτόνομων. Λογιστικού τύπου, καλούνται οι αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις: = f() με όπου η f() έχει δύο μηδενικά, το ένα στο = και το άλλο γνήσια θετικό, με θετικές τιμές ενδιάμεσα, και αρνητικές εκτός. Οι εξισώσεις αυτής της μορφής και οι λύσεις τους καλούνται λογιστικού τύπου. Οι εξισώσεις τύπου Bernoulli αυτόνομες ανήκουν συνήθως σ αυτή την κατηγορία. Παράδειγμα. Η αυτόνομη εξίσωση = ορίζεται μόνο για, και είναι λογιστικού τύπου. Έχει τις σταθερές τιμές: f() = = =, = Βρίσκουμε το διάγραμμα ροής και στη συνέχεια το γράφημα των λύσεων παρακάτω. Παρατηρούμε ότι η = είναι ασταθής, ενώ η = είναι ευσταθής. Μπορούμε να τις χαρακτηρίσουμε και απευθείας χρησιμοποιώντας το κριτήριο της παραγώγου: f () =+ > ασταθής f () = f () = < ευσταθής Δηλαδή, αρχίζοντας σε κάποιο με τιμή, η μετέπειτα εξέλιξη του θα είναι η εξής:. Αν = ή, τότε θα παραμείνει σ αυτή την τιμή για όλα τα.. Αν >, τότε θα ελαττώνεται τείνοντας ασυμπτωτικά προς τη σταθερή τιμή = καθώς +. 3. Αν < <, τότε θα αυξάνει απομακρυνόμενο από την σταθερή τιμή =, και τείνοντας ασυμπτωτικά προς τη σταθερή τιμή = καθώς +. 5
4. Όσον αφορά την κυρτότητα των λύσεων, θεωρούμε την η παράγωγο: = f() = f () Τα σημεία καμπής βρίσκονται στις τιμές του στις οποίες η παράγωγος f () μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο. Στην περίπτωσή μας έχουμε: / f () = / = ɶ = / 4 Όπως δείχνουμε και στο δεύτερο σχήμα παρακάτω, το αυξάνει με αύξοντα ρυθμό για μικρότερες τιμές του, με φθίνοντα για μεγαλύτερες. Παρατήρηση. Η συγκεκριμένη διαφορική εξίσωση λύθηκε παραπάνω και αναλυτικά, ως αυτόνομη τύπου Bernoulli. Επομένως το παρακάτω είναι το γράφημα της γενικής λύσης της: / = = (+ ) = f() + / 4 / 4 f() = ροή γράφημα αυτόνομη εξίσωση λογιστικού τύπου: = 3. Διακριτοποίηση Όπως και στην ολοκλήρωση, δεν υπάρχει γενική θεωρία επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, παρά μόνο τεχνικές για την επίλυση ειδικών τύπων, όπως οι χωριζόμενων μεταβλητών, οι γραμμικές, οι Bernoulli, κλπ. Στη γενική περίπτωση προβλήματα με αρχική συνθήκη επιλύονται αριθμητικά, με τεχνικές αντίστοιχες των αθροισμάτων Riemann που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Η απλούστερη μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μέθοδος Euler, όπου αντικαθιστούμε την διαφορική εξίσωση με μια εξίσωση διαφορών: n+ n () = f(,) = f( n, n ) n+ = n + f( n, n )(n+ n ) n+ n Λύνεται με την γενική επαναληπτική μέθοδο αρχίζοντας με την αρχική τιμή: = ( ) Η ακολουθία που βρίσκουμε είναι μια προσέγγιση της ακολουθίας που αντιστοιχεί στις τιμές της συγκεκριμένης λύσης της διαφορικής εξίσωσης. Η παραπάνω γενική διαδικασία αριθμητικής επίλυσης καλείται διακριτοποίηση. 6
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ Ασκήσεις Διαφορικές εξισώσεις. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών: = /, = ( / ), = ( / ), = ( / ), = ( / ). Θεωρούμε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: α) Να βρεθούν οι γενικές λύσεις, και με αυθαίρετη σταθερά και με αρχική τιμή: () = και ( ) = β) Για τις αυτόνομες να βρεθούν και να χαρακτηριστούν οι σταθερές τιμές και να γίνει το διάγραμμα ροής και το γράφημα της γενικής λύσεις. ρυθμοί: / =, / =, / =, / =, / = +, / =, / = σ, / = σ, αυτόνομες γραμμικές: = + 4, = + 4, = r+ β αυτόνομες τύπου Bernoulli: = +, =, = + Συνεχής ανατοκισμός 3. Να διαπιστωθεί ότι με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο ρ και συνεχή ανατοκισμό, μια κατάθεση θα διπλασιαστεί σε χρόνο: ln.7 7 τ= = ρ ρ %ρ Να υπολογιστεί το παραπάνω για τις τιμές %ρ = {%,%}. Να υπολογιστούν οι αντίστοιχοι χρόνοι αν ο τοκισμός είναι ετήσιος. 4. Ένα κεφάλαιο απαξιώνεται συνεχώς με σχετικό ρυθμό ρ. Να διαπιστωθεί ότι θα χάσει το μισό της αξίας του σε χρόνο τ= ln /ρ 7 / %ρ. 5. Ένα δάνειο ύψους A έχει ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο με συντελεστή ρ, ετήσιο ρυθμό δόσης Δ, και διάρκεια T. Υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό, το υπόλοιπο του δανείου K= K(t), θα ικανοποιεί την δυναμική εξίσωση: Kɺ = ρk Δ με K() = A α) Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των παραπάνω μεγεθών: {A,ρ,Δ,T}. β) Ο χρόνος για την εξόφληση του μισού δανείου. γ) Αν A=, %ρ = 6%, η δόση Δ ως συνάρτηση του χρόνου εξόφλησης T. Να γίνει και το γράφημα. 6. Υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό με συντελεστή ετήσιου ονομαστικού επιτοκίου ρ και σταθερό ρυθμό αναλήψεων Δ ετησίως, μια κατάθεση K θα εξελίσσεται χρονικά σύμφωνα με την διαφορική εξίσωση: Kɺ = ρk Δ Ένα άτομο θέλει να ανοίξει ένα λογαριασμό καταθέτοντας ένα ποσό A εφάπαξ, που να του εξασφαλίζει ένα έσοδο ύψους 6 μονάδων μηνιαίως, για έτη. Να βρεθεί το ελάχιστο A, υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό με ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο 5%, και σταθερό ρυθμό ανάληψης. Δυναμική 7. Θεωρούμε παραγωγικό κεφάλαιο K, και υποθέτουμε τα εξής:. Παράγεται προϊόν με ετήσιο ρυθμό: Q= K. Το παραγόμενο προϊόν μοιράζεται μεταξύ κατανάλωσης και επένδυσης: Q= C+ I, όπου I= sq με s : συντελεστής αποταμίευσης.. Το κεφάλαιο απαξιώνεται συνεχώς στο χρόνο t με σχετικό ρυθμό ρ, ενώ αναβαθμίζεται συνεχώς λόγω επενδύσεων. Τότε το κεφάλαιο θα εξελίσσεται σύμφωνα με τη δυναμική εξίσωση: Kɺ = ρk+ I Kɺ = ρk+ sk α) Να βρεθούν οι τιμές μακροχρόνιας ισορροπίας του κεφαλαίου K, του ρυθμού επένδυσης I, και του ρυθμού κατανάλωσης C, ως συναρτήσεις των {s,ρ}, και να υπολογιστεί η ελαστικότητά τους ως προς s β) Να βρεθεί η τιμή του s που μεγιστοποιεί τον ρυθμό κατανάλωσης C 8. Να επαναληφτεί η προηγούμενη άσκηση με: Q= Q (σταθερή), / 3 K, α K (< α< ), K, K 7